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Geometra2010
Propiedad Intelectual Cpech
Clase N 14Geometra de Proporcin I
PPTCANMTGEA04014V1
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APRENDIZAJES ESPERADOS
Identificar tringulos congruentes y semejantes.
Resolver ejercicios que involucren segmentosdivididos interior y exteriormente, armnicamenteo en seccin urea.
Resolver ejercicios que involucren congruencia y
semejanza de tringulos.
Resolver ejercicios que involucren equivalencia defiguras.
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1.Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definicin
1.2Tringulos Congruentes
3.1 Definicin
3.2 Tringulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homlogos3.4 Razn entre reas y permetros
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3.5 Postulados de semejanza
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4.1Divisin Interior
4.2Divisin Exterior
4.3 Divisin Armnica
4. Divisin de un segmento
4.4 Seccin urea o Divina
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1. Figuras congruentes ( )
1.1 DefinicinDos figuras son congruentes cuando tienen la mismaforma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si alcolocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda suextensin.
Ejemplos:
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A
C
B D
F
E
1.2 Tringulos congruentesPara determinar si dos tringulos son congruentes,existen algunos criterios. Los ms utilizados son:
1 Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos tringulos son congruentes si sus ladoscorrespondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
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2 Lado, ngulo, lado (L.A.L.)
Dos tringulos son congruentes si tienen dos ladosrespectivamente congruentes y el ngulo comprendido
entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
aa
5
3
5
3
Ejemplo:
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
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3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A)
Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulosrespectivamente congruentes y el lado comprendido entre
ellos congruente.
A B
C
E
F
D
aa
1212
Ejemplo:
b b
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
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2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma rea.
Ejemplo:El cuadrado de lado 2p , es equivalente al crculo de radio2 de la figura:
rea = 4p rea = 4p
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3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polgonos sean semejantes es necesarioque se cumplan dos condiciones:
3.1 Definicin
Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices
con ngulos congruentes.
G
F
J
I
Ha
b
gd
e
A
E
D
C
Ba
b
gd
e
1que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y
2que sus lados homlogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea.
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A
E
D
C
B
a
b
gd
e
G
F
J
I
Ha
b
gd
e
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Adems, estn en razn 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homlogos, comotambin lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
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Dos tringulos son semejantes si sus nguloscorrespondientes son congruentes, y sus ladoshomlogos proporcionales.
3.2 Tringulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
a
b
g
E
F
D
a
b
g
Los Lados homlogos estn enrazn: 1:3 = k
5
3
15
9
4
12
Recuerda que al establecer unasemejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homlogo a DE
BC es homlogo a EF
AC es homlogo a DF ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
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P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomlogosLos lados homlogos en los tringulos semejantes, correspondena los lados proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 510
= 36
= 48
= 12
Adems, los elementos que cumplen la misma funcin en cadatringulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales,tambin son homlogos y proporcionales.
= k
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PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hChR
Adems, =hChR
2,4
4,8=
12
= k
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Recuerda: Teorema de Euclides
hC = a bc
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La razn entre las reas de dos tringulos semejantes, esigual al cuadrado de la razn entre sus elementos homlogos.
Ejemplo:
Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
ABPQ
= = k510
= 12
AABC
APQR=
6
24=
1
4= k2
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3.5 Postulados de semejanza
1 Postulado AA.
Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulosrespectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
34o 55o
E
F
D
34o
55o
ABDF
BCFE
ACDE
= = = kAdems
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ABC ~ DFE por AA
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2 Postulado LLL.
Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ladosrespectivamente proporcionales.
Ejemplo:
ABC ~ FDE por LLL
A B
C
4
E
F
D
5
6
12 8
10
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
Adems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED
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3 Postulado LAL.
Dos tringulos son semejantes si tienen dos ladosrespectivamente proporcionales y el ngulo comprendidoentre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
4
E
F
D
5 12
15
57
57
ABC ~ FED por LAL
Adems BAC=DFE y CBA=FED
BCED
412
515
13
= = = kACFD
=
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Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
a
b
g4 10
Q
R
P
a
g
b
6Solucin:
10QR
46
= 60 = 4QR 15 = QR
Es decir:
ABPR
10QR
46
= =
Los tringulos de la figura son semejantes por AA y se tieneque ABC ~ PRQ , entonces:
ABPR
CBQR
ACPQ= = = k Con k razn de semejanza
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4. Divisin de un segmento4.1 Divisin interior
CA B
Si el punto Cdivide interiormente al segmento AB en raznm:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB
= mn
Si Q divide interiormente al segmento AB en la razn 3:5,y QB= 45, entonces, cunto mide AB?
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QA B
45
AQQB
= 35
Solucin:
AQ45
= 35
AQ =345
5
AQ = 27
27
Por lo tanto, AB mide 72
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4.2 Divisin exteriorSi el punto Ddivide exteriormente al segmento AB en raznm:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD
= mn
Si D divide exteriormente al segmento AB en la razn5:2, y AD = 20, entonces, cunto mide BD?
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AD
BD
= 5
2
20
BD
= 5
2BD
=
202
5BD = 8
BA D812
20Solucin:
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4.3 Divisin armnicaDividir el segmento ABarmnicamente en razn m:n,implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razn.
Ejemplo:
mACCB
= = nADBD
Al dividir armnicamente el segmento AB en la razn 3:2,cunto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
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Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
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12+yy
Solucin:
x y
ACCB = 32 = 32 3x = 2(12 - x) 12- xx3x = 24 - 2x
5x = 24
ADBD
= 32
= 32
24 + 2y = 3y
365
x = 245
24 = y
245
24A C B D
12 - x
12
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4.4 Seccin urea o DivinaEl punto X divide el trazo ABen seccin urea,si el trazo mayor es media proporcionalgeomtrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX
= AXBX
(AX)2 = ABBX
En la figura, P divide al segmento AB en seccin urea,con AP > PB. Cul es la ecuacin que permite calcular lamedida de AP, si PB = 5?
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Solucin:
(AP)2 = (AP + 5)5(AP)2 = 5AP + 25
(AP)2 - 5AP - 25= 0
5
PA B
(AP)2 = ABPB
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Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, en las pginas 273, 274 y 276.
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Equipo Editorial: Patricia Valds
Olga Orchard
Pablo Espinosa