59
CAPÍTULO V
Análisis de estabilidad de taludes y factor de seguridad
La aplicabilidad de los métodos se ha hecho con el cálculo manual, con la ayuda de un ordenador y la elaboración de una hoja de cálculo para mayor agilidad; sin embargo para mayor rapidez en la obtención de resultados, en nuestro medio y con la ayuda de la investigación en Internet encontramos diversos programas aplicables al cálculo de Factores de seguridad, como el caso de SLOPE/w que es una herramienta muy útil que ha contribuido a nuestra investigación. Siendo así, hemos usado este programa en Versión educativa (ó demo y que es la única disponible en la red en forma gratuita) accesible a todo el público, cuyo sitio en Internet es www.geo-slope.com, para comparar los resultados obtenidos mediante el cálculo manual. El manejo de este programa se presenta en el anexo A-25 con la explicación del ingreso de datos, obtención de resultados y gráficas. Los métodos de análisis de taludes y su estabilidad en los problemas de deslizamiento de tierra, incluyen factores tales como: la geología, parámetros geotécnicos, geometría, presencia de grietas de tensión, cargas dinámicas por acción de sismos, flujos de agua, etc. Determinar su solución implica que su factor de seguridad debe expresarse con la mayor precisión y exactitud. Sin embargo la solución a una inestabilidad no implica la intervención de una persona sino de un grupo interdisciplinario de personas con ideas amplias y criterios vastos para dar una solución o soluciones técnicas, económicas y sustentables. El propósito de analizar la estabilidad de un talud es llegar al cálculo del factor de seguridad, parámetro que constituye una primera pauta para formular el tipo de solución que se le dará al talud. Nivel Freático La localización del nivel freático corresponde a la línea de presión de poros igual a cero, equivalente a que la presión neta en el sitio es igual a la presión atmosférica. El nivel de agua determina los niveles de presiones hidrostáticas sobre una superficie localizada por debajo de ese nivel o los valores de presión negativa o de succión para el suelo por encima (Fig. 5.1), (Suárez, 1998). En taludes naturales de laderas, la línea de nivel freático general sigue una línea aproximadamente paralela a la superficie del terreno y ésta sube por el recargue debido a la infiltración. El agua subsuperficial puede dividirse entre zonas de presión de poros positiva y negativa. Las presiones de poro positivas son superiores y las negativas son inferiores a la presión atmosférica. La línea divisoria es el nivel freático donde la presión es igual a la presión atmosférica, la cual se designa como presión cero. Por debajo del nivel freático el suelo se encuentra saturado, lo cual equivale a que el agua llena todos los poros de los suelos y todas las cavidades de los materiales.
60
d) Saturado 80%
b) Saturado
e) Totalmente saturado
c) Saturado 50%
a) Completamente drenado 0% saturado
Fig. 5.1 Saturación y niveles freáticos La elevación del nivel freático de una localidad determinada depende de varios factores, tales como las fluctuaciones de las precipitaciones y de los caudales y fugas de los cuerpos de agua. El nivel de agua puede tener como base el pie del talud o puede estar suspendido por un manto impermeable dentro del talud. En el primer caso las fallas a producirse serán preferentemente de pie, mientras en el caso segundo las fallas tienden a ser a mitad del talud. El nivel freático y en general la presencia de agua en los materiales en la proximidad de la superficie de falla, desempeñan un papel fundamental en la estabilidad y de hecho, hacen algo más complejo el mecanismo para la generación de las fallas. Presión de poros o presión hidrostática: La presión de poros es la presión interna del agua de saturación. La presión de poros dentro del suelo depende de la localización de los niveles freáticos, presiones internas de los acuíferos y las características geológicas del sitio (Fig. 5.2), (Suárez, 1998).
de poros
hw
de falla
Grieta de tensión
Presión
U
V
H Superficie
Fig. 5.2 Presión de poros sobre una superficie de falla potencial
61
La presión de poros varía de acuerdo a las variaciones del régimen de aguas subterráneas. Los incrementos de presión pueden ocurrir rápidamente en el momento de una lluvia, dependiendo de la intensidad de la lluvia, de la tasa de infiltración del área tributaria, etc. Un incremento en la presión de poros positiva o una disminución de la presión negativa, equivale a una reducción de resistencia al cortante y de la estabilidad. 5.1 Concepto de factor de seguridad “Es una medida para conocer cual es el factor de amenaza de que el talud falle en las peores condiciones de comportamiento para el cual se diseña. Fellenius (1927) presenta al factor de seguridad como la relación entre la resistencia al corte real, calculada del material en el talud y los esfuerzos de corte críticos que tratan de producir la falla, a lo largo de una superficie supuesta de posible falla” (Suárez, -1998).
cortealEsfuerzocortealsistenciaSF
____Re. =
En superficies circulares donde existe un centro de giro y momentos resistentes y actuantes, FS es:
∑∑ = DR MM ActuanteMomentoresistenteMomentoSF
__. =
Otro criterio es el de dividir las masa a estudiar en una serie de rodajas, dovelas o bloques y considerar el equilibrio de cada dovela por separado. Una vez realizado el análisis de cada una se evalúan las condiciones de equilibrio de la sumatoria de fuerzas o de momentos.
∑∑=
tecoralEsfuerzoscortealsistencia
SFtan__
__Re.
( )∑=
=
=ni
iiiD senWrM
1* α ( )
+=∆+= ∑∑
=
==
ni
iiiiR NLcrlcrM
1tantan* φφσ
Donde ( r ) es el radio,( W ) peso de la dovela, ( α ) es el ángulo del radio del círculo de falla con la vertical bajo el centro de cada dovela, ( ∆L ) es la longitud del arco de deslizamiento interceptado por la dovela, ( L ) es longitud total del arco, ( c ) y ( φ ) la cohesión y fricción del suelo respectivamente, y Ni la resultante de las fuerzas normales efectivas.
∑
∑=
=
=
=
+= ni
iii
ni
ii
senW
NLcFs
1
1
*
*tan
α
φ
Finalmente al estimar el factor de seguridad mínimo para un problema particular es necesario considerar algunos factores como los señala Jaime Suárez Díaz – (1998): a. Las consecuencias del evento respecto al cual se está aplicando el FS. b. El efecto numérico en el valor de factor de seguridad debido a variaciones en los
parámetros implicados. c. La confiabilidad de los valores medidos o supuestos de los parámetros implicados. d. El aspecto económico del problema, debe tratarse en forma individual. Ejemplo.
62
Después de un abatimiento repentino: 1.20 Talud natural muy antiguo: 1.10 a 1.20 Condiciones de infiltración en régimen establecido: 1.25 Al final de la construcción (Terraplenes y Cortes): 1.30 Pilas de escombros: 1.50 Problemas con edificios: 2.0
e. Un criterio amplio para evaluar FS considera lo siguiente: Si puede ocurrir la pérdida de vidas humanas al fallar el talud 1.7 Si la falla puede producir la pérdida de más del 30% de la inversión de la obra específica o pérdidas económicas considerables. 1.5 Si se pueden producir pérdidas económicas no muy importantes 1.3 Si la falla del talud no causa daños 1.2
5.2 Métodos de análisis
Los métodos empleados para este análisis se fundamentan en que sólo son aplicables para superficies de fallas rotacionales. Esta es una limitante pues no siempre se va encontrar con este tipo específico de deslizamiento. El método de Fellenius y de Bishop Simplificado se emplea para superficies circulares, al contrario del método de Janbú aplicable a todo tipo de superficies curvas no necesariamente circulares. En el presente trabajo de investigación se pudo observar que el tipo de falla es de tipo rotacional por la orientación de los árboles y su deslizamiento forma una superficie cóncava en forma de cuchara, ocasionado por la influencia de aguas superficiales y subterráneas. Siendo esta falla de tipo rotacional, conviene aplicar el análisis de superficies de falla en forma rotacional llamado círculo de deslizamiento. El siguiente diagrama recoge los diferentes métodos de cálculo. Para efectuar el cálculo de estabilidad de un talud lo primero que hay que hacer es suponer qué forma presentará la superficie de rotura, para posteriormente establecer en ella las ecuaciones de equilibrio (ΣX=0; ΣY=0; ΣM=0).
63
En la Tabla 5.1 Tipos de fallas y sus métodos de análisis.
TIPO DE ROTURA METODO DE ANALISIS OBSERVACIONES
Rotura Plana • Métodos gráfico-analíticos (Hoek y Bray. 1981)
Permite efectuar una estimación rápida del factor de Seguridad; aunque realmente ocurre en taludes rocosos.
Rotura en Cuña • Ábacos de estabilidad (Hoek y Bray. 1981) • Métodos analíticos (Hoek y Bray. 1988)
Válido solo para diaclasas fricciónales. Válido para geometrías complejas con superficies planares.
Rotura Circular (Raramente ocurre en taludes rocosos; normalmente se produce en materiales blandos como rocas intensamente fracturadas y meteorizadas, en terraplenes y escombreras de residuos mineros y en suelos)
• Abacos de Estabilidad (Janbú, 1973; (Hoek y Bray. 1981; Duncan et al. 1987) • Método Ordinario de Rebanadas (Fellenius,1927) • Método Modificado de Bishop (1935).
Adecuado para muchos fines: rápido pero requiere interpolación. No satisface el equilibrio de fuerzas, solamente satisface el equilibrio de momentos. Satisface el equilibrio de momentos y el de fuerzas verticales, no satisface el equilibrio de fuerzas horizontales.
Rotura No Circular • Método de Janbú Generalizado (1973). • Método de Morgenstein y Price (1965). • Método de Spencer (1967)
Satisface todas las condiciones de equilibrio. Satisface todas las condiciones de equilibrio. Satisface todas las condiciones de equilibrio, supone que fuerzas laterales son paralelas.
Rotura por Vuelco Vuelco de Bloques Vuelco por Flexión
• Método de Goodman y Bray (1976). • Método de Aydan y Kawamoto, 1992; Adhikary et al. 1996)
Válido para bloques apoyados sobre bases inclinadas. Satisface toda condición, pero precisa calibración de campo.
Los métodos de análisis y desarrollados por el método de las dovelas son los más difundidos, varios autores han desarrollado sus propios procedimientos de cálculo, siendo los más relevantes: Fellenius, Bishop, y Janbú. La diferencia entre los métodos de análisis radica en el análisis de fuerzas horizontales y verticales, siguiendo la teoría del equilibrio límite. Localización de Centro de la superficie de falla y Grieta de Tensión Una vez determinado el nivel de agua presente en el talud, la localización del círculo crítico y la grieta de tensión no es particularmente sensible a la posición de la superficie freática. Los métodos más sofisticados para la localización de fallas circulares con factores mínimos de seguridad, constituyen los métodos iterativos, sin embargo un modo de localizar manualmente el centro de esta falla constituye el empleo de las siguientes gráficas (Fig. 5.3 y Fig. 5.4). HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241
64
H
Y
x
b
Falla por pie del talud
Grieta de
Localización del centro
tensión
crítico del círculo
Fig. 5.3. Localización de la superficie de falla critica y grieta de tensión critica para suelos drenados1 1 HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241
65
Fig. 5. 4. Localización de la superficie de falla critica y grieta de tensión critica para suelos con presencia de agua1.
1 HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241
66
Ejemplo: Si el ángulo de fricción es φ = 10º y el ángulo del talud es 26º, se tiene que las coordenadas de la ubicación del radio para este talud son: X = 0.95 * H = 0.95 (70.24) = 66.78 m. Y = 1.50 * H = 1.50 (70.24) = 105.36 m. Procedimiento general para el análisis de dovelas 1. Dividir la masa deslizante en dovelas. El ancho de cada dovela (∆x o b) debe
seleccionarse para tomar en cuenta los cambios en las propiedades de los materiales, geometría del talud y distribución de la presión de agua. Los cálculos se simplifican si se usa anchos de dovelas iguales pero, si las condiciones lo ameritan se debe tomar anchos de dovela desiguales. Se mide la inclinación α del centro de la base de cada dovela con respecto a la horizontal y el ancho ∆x de cada dovela. Calcular los valores de α, ∆x, c y Tan φ para cada dovela.
2. Calcular el peso la dovela ∆W y el peso promedio de cada dovela por unidad de área γ * Zm. Si la geometría de la rodaja es razonablemente regular, el peso ∆W = γ *Zm * ∆X. Ingresar a la hoja de calculo, hm (Z1, Z2, …..) y ∆W.
3. Calcular la presión de agua en la base de cada dovela y entrar estos valores en la hoja de cálculo. Si hay una grieta de tensión vertical en la última dovela se debe calcularse la fuerza horizontal de agua Q debido al agua en la grieta de tensión.
=
RaZwQ W ***
21 2γ
Donde, a = Brazo de momento para la fuerza Q, desde el centro de la superficie de falla, R = Radio
4. Calcular la fuerza resistente debido a la cohesión del material: C * b * Sec α 5. Calcular la fuerza resistente debido a la fricción del material
( )( ) φαµα TanSecb *)**( Cos *W −
Donde: W * Cos α Componente normal del peso en cada dovela µ * b * Sec α) Fuerza debido a la presión de agua en cada dovela 6. Determinar la fuerza (W * Senα) correspondiente al peso de cada dovela que actúa
como deslizante. 7. Calcular el factor de seguridad FS aplicando la fórmula. 8.
( ) ( )[ ]( )∑
∑+
−+=
QsenWTanSecbWbC
SFα
φαµαα*
***cos*sec*'*.
Si Q es cero entonces FS es:
( ) ( )[ ]∑
∑ −+=
αφαµαα
senWTanSecbWbC
SF*
***cos*sec*'*.
67
5.3 Método de las dovelas de Fellenius Este método asume superficies de falla circulares, divide el área de falla en dovelas verticales, se obtiene las fuerzas actuantes y resultantes para cada dovela y con la sumatoria de estas fuerzas se obtiene el factor de seguridad. “Las fuerzas que actúan sobre una dovela son (Fig. 5.5)” (Jaime Suárez Díaz – 1998). a. El peso o fuerza de gravedad, la cual se puede descomponer en una tangente y una
normal a la superficie de falla. b. Las fuerzas resistentes de cohesión y fricción que actúan en forma tangente a la
superficie de falla. c. Las fuerzas de presión de tierra y cortante en las paredes entre dovelas, las cuales no
son consideradas por Fellenius, pero sí son tenidas en cuenta en otros métodos.
( ) ( )[ ]( )∑
∑+
−+=
QsenWTanSecbWbC
SFα
φαµαα*
***cos*sec*'*.
En donde: α = Ángulo del radio del círculo de falla con la vertical bajo el centro de cada dovela. W = Peso total de cada dovela µ = Presión de poros b = Ancho de la dovela C’ = Parámetros de resistencia del suelo (Cohesión efectiva) φ = Parámetros de resistencia del suelo (Ángulo de fricción interna). Q = Fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión Si Q = 0
( ) ( )[ ]( )∑
∑ −+=
αφαµαα
senWTanSecbWbC
SF*
***cos*sec*'*.
Este método no tiene en cuenta las fuerzas entre las dovelas y no satisface el equilibrio de fuerzas, tanto para la masa deslizada como para dovelas individuales. Asume que las fuerzas normales ínter dovelas E1 = E2 y fuerzas tangenciales ínter dovelas X1 = X2 son iguales, por lo que es necesario resolver las fuerzas que actúan en la base de la dovela. Sin embargo, este método es muy utilizado por su procedimiento simple. Muy impreciso para taludes planos con alta presión de poros su empleo nos da Factores de seguridad bajos.
68
( b )( a )
h
Tuna longitudrecta con
1R
2E
W
E1
R2x2
W
αR R
RR Sen a
0
A
Bθ 1xb
N´ = N - ul
base que se supone
α
Fig.5.5 Método de las Dovelas.
Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Fellenius A. Realizar el análisis gráfico:
1. Se dibuja el perfil del terreno, líneas de división de estratos de suelo y el nivel freático (Ver figura 5.6).
2. Luego de realizar una inspección en el campo, se puede asumir ya la trayectoria de la superficie de falla definida por un radio R = 105 m. y centro O (100, 125).
3. Se traza una circunferencia de radio R y centro O con los datos anteriores. 4. Se procede a dividir la sección de la masa de suelo definida por la superficie de falla
en dovelas de un ancho constante b = 10 m. (columna 2), y las numeramos para su tabulación (columna 1).
69
Abs
cisa
8 +
280
19,2314,215,25
R =
105
m.
Cen
tro d
e ra
dio
= (1
00, 1
25)
Fig.
5.6
Aná
lisis
grá
fico
para
el c
alcu
lo m
anua
l del
F.S
Z2 =
0
10
b
X
56
7
8
9
Z3
Z1
0 1
23
4
-1-2
-3Z4
10
R =
radi
o de
l círc
ulo
X =
b =
O =
Z =
anch
o de
la d
ovel
a
dist
anci
a ho
rizon
tal d
el c
entro
de
grav
edad
de
la d
ovel
a al
cen
tro d
el c
írcul
o
cent
ro d
el c
írcul
o
altu
ra d
e la
dov
ela
Niv
el P
iezo
met
rico
OR
= 1
05 m
.
1020
3040
6050
7080
9010
011
012
013
014
015
016
017
018
019
020
021
0
102030405060708090100
110
120
130
130
120
110
100
90 80 70 60 50 40 30 20 10
Esc
ala
1:15
00D
ista
ncia
Hor
izon
tal (
m)
Elevación (m)Aná
lisis
del
mov
imie
nto
de m
asas
en
la V
ía L
oja
- Mal
acat
os
Eje
Vía
Loja
-Mal
acat
os
220
230
SC -
SM
OH
140
150
150
140
70
B. Realizar el análisis matemático: 1. Definir las propiedades de los suelos (peso específico del suelo natural y saturado,
cohesión y ángulo de fricción interna) y el peso específico del agua.
DATOS: Suelo 1 Suelo 2
OH SC - SM Radio r = 105 m Peso específico γ = 12.16 KN/m² 18.44 KN/m² Peso específico saturado γs = 16.48 KN/m² 20.70 KN/m² Cohesión C = 58.86 Kpa 34.34 Kpa Ang. Fric. Int φ = 6 º 10 º Tan < fric Tan φ = 0.1052 0.176 Peso específico agua γw = 10 KN/m²
1. Procedemos a calcular los brazos de momento x de cada dovela respecto al centro O
(columna 3).
4,35
8,62
1,45
W
Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa
Dovela 10
2. Se calcula el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6) y Sec α (columna 7).
º718.66105
45.9611
=
=
= −−
α
α SenRXsen
∑∑+=
AXA
XX*
10
( ) ( )( )2/35.4*62.8
3/35.4*2/35.4*62.89510 +=X
X10 = 95+1.45 = 96.45 m.
71
( )
( )
532.2395.01
cos1
395.0718.66cos
919.0718.66
=
==
==
==
αα
α
α
Sec
Cos
senSen
3. Se calcula la longitud de la dovela (columna 8) L = b * Sec α.
.01.11532.2*35.4 mL ==
4. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de suelo seco Z1 (columna 9), Z3 (columna14) y saturado Z2 (columna 11), Z4 (columna16) definido por el nivel freático. Z1 = 8.62 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m. Z4 = 0.00 m.
5. Se calcula el peso de la dovela W (columna 19) como la sumatoria de pesos W1 (columna 10), W2 (columna12), W3 (columna 15) y W4 (columna 17) para sus respectivas alturas Z1 a Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.
BZW **1 γ= 4321 WWWWW +++= W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 * 4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m
6. Se calcula la presión de poros µ (columna 20) como la sumatoria de presión de poros para cada estrato µ1 (columna 13) y µ2 (columna 18) afectados por el nivel freático y por su correspondiente altura Z, así: µ = γW * Z.
21 µµµ += µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0
7. Se calcula la fuerza normal debida al peso W*Cos α (columna 21).
05.90cos*395.0*98.227cos*
==
αα
WW
8. Se calcula la fuerza desestabilizadora resistente tangencial debida a la presión de poros
(columna 22) con la fórmula.
mKNFub
/00.0532.2*0sec**Fu
=== αµ
9. Calcular la resultante de las fuerzas normales efectivas a la superficie de cada dovela
(columna 23). ( )
./05.9000.005.90'cos*'
mKNNFuWN=−=
−= α
10. Luego calculamos la fuerza resistente debida a la fricción del suelo (columna24) con
la fórmula.
mKNFtagNF
/48.9105.0*05.90'*
===
φφφ
72
11. Se calcula la fuerza debida a la cohesión (columna 25) con la fórmula.
./28.648532.2*35.4*86.58*'*
mKNFcSecbCFc
=== α
12. Finalmente se calcula la fuerza desestabilizadora (columna 26) con la fórmula.
52.209919.0*98.227Sen *W
===
TT α
13. Proceder a calcular los datos para cada una de las dovelas restantes, siguiendo los
pasos anteriores del 1 a 12 con la única diferencia de considerar la forma de la figura geométrica para calcular el brazo de momento x.
37,0
5
39,9
8
10
T = W* sen α
S
DOVELA 5
N = W* cos α - µ * bα
W
Suelo: SC-SM Arenas ArcillosasPeso especifico = 18.44 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 20.70 Kn/m2Angulo de fricción = 10'Cohesión = 34.34 KPa
2,49
5,43
Z4 = hw
Z3
Z2 = 0
Z1 Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa
19,1
914
,21
5,25
Ejemplo.
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
49.94m. 94.445 X5
2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245
*
5
5
=+=
++++
+=
+=∑
∑
X
AXA
XX
∴ El brazo de momento para la dovela Nº 5 es: X = 49.88 m. ≈ 50.0 m. Z1 = 5.27 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 14.21 m. Z4 = 19.19 m.
73
14. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 13 una tabla como la siguiente (Tabla 5.2).
15. Calcular el factor de seguridad (FS) con la fórmula:
( ) ( )[ ]
( )
( )
65.046.20905
84.707567.6458.
.
*'tan*****'*.
=+
=
+=
−+=
∑∑
∑ ∑
SF
TFFc
SF
senWSecbCosWSecbCSF
φ
αφαµαα
FS = 0.65
74
TAB
LA 4
.2 C
ÁLC
ULO
PO
R E
L M
ETO
DO
DE
FELL
ENIU
S
DA
TOS:
Suel
o 1
Suel
o 2
RES
ULT
AD
O:
OH
SC -
SMR
adio
r =10
5m
F.S.
Fel
leni
us =
0.65
Den
sida
dγ
=12
.16
KN/m
²18
.44
KN/m
²D
ensi
dad
sat
γs =
16.4
8KN
/m²
20.7
0KN
/m²
Coh
esió
nC
=58
.86
Kpa
34.3
4Kp
aA
ng. F
ric. I
ntφ
=6
º10
ºTa
n <
fric
Tan
φ =
0.10
50.
176
YmYm
=10
KN/m
²
Nº D
atos
Nº D
ovel
ab
xα
= a
rsen
(x/r)
Sen
αC
os α
Sec
αL
= b
* Sec
αZ1
W1
= γ
∗ Z1
* b
Z2W
2 =
γ ∗
Z2*
bµ 1
= Y
w *
Z2Z3
W3
= γ
* Z3
* b
Z4W
4 =
γs *
Z4 *
bµ 2
= Y
w *
Z4(m
)(m
)gr
ados
(m)
KN
/m(m
)K
N/m
KN
/m²
(m)
KN
/m(m
)K
N/m
KN
/m²
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
110
4.35
96.4
566
.72
0.91
90.
395
2.53
211
.01
5.00
264.
480.
000.
000.
000.
000.
000.
000.
000.
002
910
89.3
158
.28
0.85
10.
526
1.90
119
.01
15.5
618
92.1
00.
000.
000.
000.
000.
000.
000.
000.
003
810
79.7
449
.42
0.75
90.
651
1.53
615
.36
15.9
219
35.8
70.
000.
000.
002.
8051
6.32
6.22
1287
.54
62.2
04
710
69.8
741
.72
0.66
50.
746
1.34
013
.40
12.1
214
73.7
90.
000.
000.
005.
9711
00.8
712
.95
2680
.65
129.
505
610
59.9
034
.79
0.57
10.
821
1.21
812
.18
8.11
986.
180.
000.
000.
009.
9218
29.2
516
.98
3514
.86
169.
806
510
49.9
428
.40
0.47
60.
880
1.13
611
.36
5.27
640.
830.
000.
000.
0014
.21
2620
.32
19.2
339
80.6
119
2.30
74
1039
.97
22.3
80.
381
0.92
51.
081
10.8
11.
4717
8.75
0.00
0.00
0.00
19.4
335
82.8
920
.05
4150
.35
200.
508
310
30.1
116
.67
0.28
70.
958
1.04
410
.44
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
19.1
735
34.9
519
.28
3990
.96
192.
809
210
20.1
311
.06
0.19
20.
981
1.01
910
.19
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16.7
630
90.5
417
.42
3605
.94
174.
2010
110
10.1
95.
570.
097
0.99
51.
005
10.0
50.
000.
000.
000.
000.
0011
.48
2116
.91
11.2
623
30.8
211
2.60
110
100.
190.
110.
002
1.00
01.
000
10.0
00.
000.
000.
000.
000.
0012
.15
2240
.46
9.54
1974
.78
95.4
012
-110
-9.7
9-5
.35
-0.0
930.
996
1.00
410
.04
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
13.6
925
24.4
44.
1185
0.77
41.1
013
-210
-19.
65-1
0.79
-0.1
870.
982
1.01
810
.18
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11.5
921
37.2
00.
000.
000.
0014
-312
.1-2
9.26
-16.
19-0
.279
0.96
01.
042
12.6
10.
000.
000.
000.
000.
008.
5018
96.5
50.
000.
000.
00
SUEL
O 1
: OH
SUEL
O 2
: SC
- SM
()
()
()
[]
∑∑
−+
=Se
nα*
WTa
nφa
*Se
cα*
b*
μC
osα
*W
Secα
*C
'*b
FS
75
W =
W1+
W2+
W3+
W4
µ =
µ1 +
µ2
N =
W ∗
Cos
αFu
= µ
* b
* Sec
αN
' =( W
*Cos
α) -
Fu
Fφ =
N' ∗
tag
φFc
= C
' * b
* Se
c α
T =
W *
Sen
α
KN
/mK
N/m
²K
N/m
KN
/mK
N/m
KN
/mK
N/m
KN
/m19
2021
2223
2425
2626
4.48
0.00
104.
470.
0010
4.47
10.9
764
8.28
243.
0618
92.1
00.
0099
5.24
0.00
995.
2410
4.5
1118
.93
1610
.18
3739
.73
62.2
024
34.5
695
5.39
1479
.17
260.
3352
7.46
2838
.46
5255
.31
129.
5039
20.4
617
35.3
021
85.1
638
4.59
460.
1634
94.7
863
30.2
916
9.80
5197
.17
2068
.16
3129
.01
550.
7141
8.26
3614
.60
7241
.76
192.
3063
72.7
521
84.5
341
88.2
273
7.13
390.
1034
47.0
879
11.9
920
0.50
7318
.59
2167
.41
5151
.18
906.
6137
1.22
3014
.47
7525
.91
192.
8072
09.8
220
12.8
351
96.9
991
4.67
358.
5121
59.9
466
96.4
817
4.20
6569
.25
1775
.10
4794
.15
843.
7734
9.92
1285
.72
4447
.73
112.
6044
25.4
911
31.6
332
93.8
657
9.72
345.
1243
1.43
4215
.24
95.4
042
15.2
495
4.00
3261
.24
573.
9834
3.40
8.43
3375
.21
41.1
033
61.7
141
2.64
2949
.07
519.
0434
4.77
-313
.89
2137
.20
0.00
2098
.73
0.00
2098
.73
369.
3834
9.58
-399
.66
1896
.55
0.00
1820
.69
0.00
1820
.69
320.
4443
2.96
-529
.14
Sum
ator
ia70
75.8
464
58.6
720
905.
46
TOTA
LES
76
5.4 Método de A. W. BISHOP En este método además de resolver las fuerzas que actúan en la base de la dovela considera el efecto de las fuerzas entre las dovelas; se puede suponer que las fuerzas ínter dovelas tangenciales (fuerzas de cortante) son iguales y opuestas, esto es, X1 = X2, pero que E1 ≠ E2, es decir las fuerzas normales ínter dovelas son desiguales (Fig. 5.6). Para expresar las fuerzas tangenciales se debe asumir un factor de seguridad inicial al cálculo, característica que convierte al método en iterativo por estar presente FS en ambos lados de la ecuación. La solución rigurosa de BISHOP es muy compleja y por esta razón se utiliza una solución simplificada de su método, de acuerdo a la expresión.
( ) ( )[ ]( )∑ ∑ +
−+=
QsenWbWbCSFα
ηφµ*
/'tan**'*.
Donde:
+=
SFCos
.tan*tan1* φααη
=
RaZwQ W ***
21 2γ
b = Ancho de la dovela W = Peso de cada dovela C’, φ = Parámetros de resistencia del suelo (cohesión, ángulo de fricción interna) µ = Presión de poros en la base de cada dovela = µ = γw * hw α = Ángulo del radio y la vertical en cada dovela. Q = Fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión Si Q = cero,
( ) ( )[ ]( )∑ ∑−+
=α
ηφµsenW
bWbCSF*
/'tan**'*.
Fig. 5.6 Interpretación gráfica del Método de Bishop.
77
Este método es un método de tanteos el cual se comienza asumiendo un factor de seguridad hasta igualar la ecuación. Este método es muy aceptado por la mayoría de profesionales, su rango de error con respecto a métodos más exactos como el de Spencer y Morgenstern – Price es del 3 %, con excepción en casos muy ocasionales y raros con círculos de falla de base profunda y FS menor que la unidad (Roy Whitlow (1998). Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Bishop A. Realizar el análisis gráfico:
El análisis gráfico a realizar, es el mismo procedimiento descrito en Método de Fellenius (pág. 77) y la figura 4.6.
B. Realizar el análisis matemático: 1. Definir las propiedades de los suelos (Peso específico del suelo natural y saturado,
cohesión y ángulo de fricción interna) y el peso específico del agua.
DATOS: Suelo 1 Suelo 2
OH SC - SM Radio r = 105 m Peso específico γ = 12.16 KN/m² 18.44 KN/m² Peso específico saturado γs = 16.48 KN/m² 20.70 KN/m² Cohesión C = 58.86 Kpa 34.34 Kpa Ang. Fric. Int φ = 6 º 10 º Tan < fric Tan φ = 0.1052 0.176 Peso específico agua γw = 10 KN/m²
2. Procedemos a calcular los brazos de momento x de cada dovela respecto al centro O
(columna 3).
4,35
8,62
1,45
W
Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa
Dovela 10
∑∑+=
AXA
XX*
10
( ) ( )
( )2/35.4*62.83/35.4*2/35.4*62.89510 +=X
X10 = 95+1.45 = 96.45 m.
78
3. Calcular el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6), Sec α (columna 7) y Tan α (columna 8).
º718.66105
45.9611
=
=
= −−
α
α SenRXsen
( )
( )
( ) 324.2718.66
532.2395.01
cos1
395.0718.66cos
919.0718.66
==
=
==
==
==
TanTan
Sec
Cos
senSen
α
αα
α
α
4. Calcular la longitud de la dovela (columna 9) L = b * Sec α.
.01.11532.2*35.4 mL ==
5. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de
suelo seco Z1 (columna 10), Z3 (columna 15) y saturado Z2 (columna 12), Z4 (columna 17) definido por el nivel freático. Z1 = 8.62 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m. Z4 = 0.00 m.
6. Calcular el peso de la dovela W (20) como la sumatoria de pesos W1 (11), W2 (columna 13), W3 (columna 16) y W4 (columna 18) para sus respectivas alturas Z1 a Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.
BZW **1 γ= 4321 WWWWW +++=
W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 * 4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m
7. Calcular la presión de poros µ (columna 21) como la sumatoria de presión de poros para cada estrato µ1 (columna 14) y µ2 (columna 19) afectados por el nivel freático y por su correspondiente altura Z, así: ww Z*γµ =
21 µµµ += µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0
8. Calcular la fuerza Fu (columna 22) debido a la presión de poros con la fórmula.
mKNFub
/00.035.4*00.0*Fu
=== µ
79
9. Calcular la resultante de las fuerzas correspondientes al peso menos la presión de poros (columna 23) con la formula: ( )bW *µ−
( ) ./98.22700.099.227* mKNbW =−=− µ
10. Calcular la fuerza estabilizadora Fφ (columna 24) debido a la fricción con la fórmula:
( )( )
./94.23105.0*98.227tan**
mKNFbWF
==−=
φφµφ
11. Calcular la fuerza estabilizadora Fc (columna 25) debido a la cohesión del suelo con
la fórmula:
./04.25635.4*86.58'*
mKNFcbCFc
===
12. Calcular la fuerza total estabilizadora (columna 26) debido a las propiedades de
resistencia del suelo con la formula.
./98.27994.2304.256 mKNFFc =+=+ φ
13. Calcular el producto de la tangente entre el ángulo de fricción del suelo y el ángulo α (columna 27).
244.0105.0*324.2tan*tan ==φα
14. Calcular η (columna 28) para un Factor de seguridad inicial Fs = 1 con la fórmula.
+=
FsTanTan '*1*cos φααη 491.0
1244.01*395.0 =
+=η
15. Calcular (Fc + Fφ) / η (columna 29) con la fórmula.
22.570491.0
98.279==
+η
φFFc
16. Calcular la fuerza tangencial desestabilizadora debida al peso T (columna 30) con la
formula.
mKNTsenWT
/52.209919.0*98.227*
=== α
17. Proceder a calcular los datos para cada una de las dovelas restantes, siguiendo los
pasos anteriores del 1 a 16 con la única diferencia, de consideran la forma de la figura geométrica para calcular el brazo de momento x.
80
Ejemplo.
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
49.94m. 94.445 X5
2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245
*
5
5
=+=
++++
+=
+=∑
∑
X
AXA
XX
N = W* cos α - µ * bα
W
Suelo: SC-SM Arenas ArcillosasPeso especifico = 18.44 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 20.70 Kn/m2Angulo de fricción = 10'Cohesión = 34.34 KPa
2,49
5,43
Z4 = hw
Z3
Z2 = 0
Z1 Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa
19,1
914
,21
5,25
37,0
5
39,9
8
10
T = W* sen α
S
DOVELA 5
Ejemplo.
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
49.94m. 94.445 X5
2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245
*
5
5
=+=
++++
+=
+=∑
∑
X
AXA
XX
∴ El brazo de momento para la dovela Nº 5 es: X = 49.88 m. ≈ 50.0 m. Z1 = 5.27 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 14.21 m. Z4 = 19.19 m.
18. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 17 una tabla (Tabla 5.3).
81
TAB
LA 4
.3 C
ÁLC
ULO
PO
R E
L M
ETO
DO
DE
BIS
HO
P
DA
TOS:
Suel
o 1
Suel
o 2
RES
ULT
ADO
:O
HSC
- SM
Rad
ior =
105
mF.
S. B
ishop
=0.
70D
ensi
dad
γ =
12.1
6KN
/m²
18.4
4KN
/m²
Den
sida
d sa
tγs
=16
.48
KN/m
²20
.70
KN/m
²C
ohes
ión
C =
58.8
6Kp
a34
.34
Kpa
Ang.
Fric
. Int
φ =
6º
10º
Tan
< fr
icTa
n φ
=0.
105
0.17
6Ym
Ym =
10KN
/m²
Nº D
atos
Nº D
ovel
ab
xα
= a
rsen
(x/r)
Sen
αC
os α
Sec
αTa
n α
Z1W
1 =
γ * Z
1 * b
Z2W
2 =
γs* Z
2 * b
µ 1 =
Yw
* Z2
Z3W
3 =
γ * Z
3 * b
Z4W
4= γs
* Z4
* bµ 2
= Y
w *
Z4(m
)(m
)gr
ados
(m)
KN
/m(m
)K
N/m
KN
/m²
(m)
KN
/m(m
)K
N/m
KN
/m²
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
191
104.
3596
.45
66.7
180.
919
0.39
52.
532
2.32
411
.01
5.00
264.
480.
000.
000.
000.
000.
000.
000.
000
29
1089
.31
58.2
740.
851
0.52
61.
901
1.61
719
.01
15.5
618
92.1
00.
000.
000.
000.
000.
000.
000.
000
38
1079
.74
49.4
140.
759
0.65
11.
536
1.16
715
.36
15.9
219
35.8
70.
000.
000.
002.
8051
6.32
6.22
1287
.54
62.2
47
1069
.87
41.7
150.
665
0.74
61.
340
0.89
113
.40
12.1
214
73.7
90.
000.
000.
005.
9711
00.8
712
.95
2680
.65
129.
55
610
59.9
034
.783
0.57
00.
821
1.21
80.
695
12.1
88.
1198
6.18
0.00
0.00
0.00
9.92
1829
.25
16.9
835
14.8
616
9.8
65
1049
.94
28.4
000.
476
0.88
01.
136
0.54
111
.36
5.27
640.
830.
000.
000.
0014
.21
2620
.32
19.2
339
80.6
119
2.3
74
1039
.97
22.3
750.
381
0.92
51.
081
0.41
210
.81
1.47
178.
750.
000.
000.
0019
.43
3582
.89
20.0
541
50.3
520
0.5
83
1030
.11
16.6
640.
287
0.95
81.
044
0.29
910
.44
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
19.1
735
34.9
519
.28
3990
.96
192.
89
210
20.1
311
.053
0.19
20.
981
1.01
90.
195
10.1
90.
000.
000.
000.
000.
0016
.76
3090
.54
17.4
236
05.9
417
4.2
101
1010
.19
5.56
90.
097
0.99
51.
005
0.09
810
.05
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11.4
821
16.9
111
.26
2330
.82
112.
611
010
0.19
0.10
40.
002
1.00
01.
000
0.00
210
.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
12.1
522
40.4
69.
5419
74.7
895
.412
-110
-9.7
9-5
.350
-0.0
930.
996
1.00
4-0
.094
10.0
40.
000.
000.
000.
000.
0013
.69
2524
.44
4.11
850.
7741
.113
-210
-19.
65-1
0.78
6-0
.187
0.98
21.
018
-0.1
9110
.18
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11.5
921
37.2
00.
000.
000
14-3
12.1
-29.
26-1
6.18
1-0
.279
0.96
01.
042
-0.2
9012
.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
8.50
1896
.55
0.00
0.00
0
SUEL
O 1
: OH
SUEL
O 2
: SC
- SM
L =
b/co
s α
()
()
[]
()
()
∑∑∑
∑
+=
−+
=
T/η
FφFc
F.S
senα
*W
/ηta
nφa
*b
*μ
WC
'*b
F.S
82
Supu
esto
Fs
=0.
70W
= W
1+W
2+W
3+W
4µ
= µ1
+ µ
2Fu
=µ
* bW
− (
µ * b
)Fφ
=W
− (
µ * b
)*ta
g φ
Fc =
C'
* bFc
+ F
φTa
n α
* Ta
n φ
η(F
c+Fφ
)/ηT
= W
* Se
n α
KN
/mK
N/m
²K
N/m
KN
/mK
N/m
KN
/mK
N/m
KN
/m20
2122
2324
2526
2728
2930
264.
480.
000
264.
4827
.77
256.
0428
3.81
0.24
40.
533
532.
4824
3.06
1892
.10
0.00
018
92.1
019
8.67
588.
6078
7.27
0.17
0.65
412
03.7
816
10.1
837
39.7
362
.20
622
3117
.73
548.
7234
3.40
892.
120.
205
0.84
210
59.5
228
38.4
652
55.3
112
9.50
1295
3960
.31
697.
0134
3.40
1040
.41
0.15
70.
913
1139
.55
3494
.78
6330
.29
169.
8016
9846
32.2
981
5.28
343.
4011
58.6
80.
122
0.96
412
01.9
536
08.2
772
41.7
619
2.30
1923
5318
.76
936.
1034
3.40
1279
.50
0.09
50.
999
1280
.78
3447
.08
7911
.99
200.
5020
0559
06.9
910
39.6
334
3.40
1383
.03
0.07
31.
021
1354
.58
3014
.47
7525
.91
192.
8019
2855
97.9
198
5.23
343.
4013
28.6
30.
053
1.03
112
88.6
821
59.9
466
96.4
817
4.20
1742
4954
.48
871.
9934
3.40
1215
.39
0.03
41.
029
1181
.14
1285
.72
4447
.73
112.
6011
2633
21.7
358
4.62
343.
4092
8.02
0.01
71.
019
910.
7243
1.43
4215
.24
95.4
095
432
61.2
457
3.98
343.
4091
7.38
0.00
01.
000
917.
388.
4333
75.2
141
.10
411
2964
.21
521.
7034
3.40
865.
10-0
.017
0.97
289
0.02
-313
.89
2137
.20
0.00
021
37.2
037
6.15
343.
4071
9.55
-0.0
340.
934
770.
40-3
99.6
618
96.5
50.
000
1896
.55
333.
7941
5.51
749.
30-0
.051
0.89
841.
91-5
29.1
4Su
mat
oria
1457
2.89
2089
9.13
TOTA
LES
+=
FsT
anφ
a*
Tan
α1
*co
sαη
83
19. Calcular el factor de seguridad FS con la fórmula:
( ) ( )[ ]( )
( )
70.013.2089989.14572.
/.
*/'tan**'*.
==
+=
−+=
∑∑
∑ ∑
SF
TFFc
SF
senWbWbCSF
ηφ
αηφµ
Comparamos: FSCalculado = FSimpuesto. 0.70 ≠ 1
20. Repetir el procedimiento los pasos 14 y 15 para un nuevo FS = 0.72 y comprobar su Factor de seguridad calculado, de ser el caso repetir la tabla las columnas 28, 29 y 30. En caso de no igualarse el valor del factor de seguridad calculado con el impuesto repetir los pasos 14 y 15 para el último factor calculado hasta que se iguale sus valores.
Supuesto FS = 0.76
η (Fc+Fφ)/η
T = W * Sen α (KN/m)
28 29 30 0.522 536.36 209.51 0.644 1068.23 805.09 0.827 872.74 2103.80
0.9 1011.91 3004.75 0.953 1124.76 3327.20 0.99 1235.46 3294.56
1.014 1348.42 2980.42 1.025 1296.22 2159.94 1.025 1185.75 1285.72 1.017 912.51 431.43 1.000 917.38 8.43 0.974 888.19 -313.89 0.938 767.11 -399.66 0.896 685.73 -315.30
Sumatoria 13850.77 18582.00
21. El factor de seguridad calculado es:
FS = (13850.77/18582.00) = 0.75
FSCalculado = FSimpuesto.
0.70 ≠ 0.75
∴ Realizar un nuevo cálculo para el último FS.
22. Si FS = 0.70:
84
Supuesto Fs = 0.70 η
(Fc+Fφ)/η
T = W * Sen α (KN/m)
28 29 30 0.533 532.48 243.06 0.654 1203.78 1610.18 0.842 1059.52 2838.46 0.913 1139.55 3494.78 0.964 1201.95 3608.27 0.999 1280.78 3447.08 1.021 1354.58 3014.47 1.031 1288.68 2159.94 1.029 1181.14 1285.72 1.019 910.72 431.43 1.000 917.38 8.43 0.972 890.02 -313.89 0.934 770.40 -399.66 0.89 841.91 -529.14
Sumatoria 14572.89 20899.13 El factor de seguridad calculado es. FS = (14572.89/20899.13) = 0.70
FSCalculado = FSimpuesto.
0.70 = 0.70
∴ Respuesta: FS = 0.70
5.5 Método de Janbú Janbú (1973) presenta un método de dovelas para superficies de fallas curvas, no necesariamente circulares. Cuando las propiedades del suelo o masa de roca deslizada varían a lo largo del talud o cuando la forma de la superficie de falla no es circular (Fig. 5.8), como el resultado de alguna falla estructural de la interfaz del suelo/roca se puede aplicar este método. El método de análisis de Janbú para superficies de falla curvas en taludes es uno de los métodos más versátil disponibles, presenta facilidad para la solución de problemas en el cálculo manual. Al igual que Bishop este método asume que no hay fuerza de cortante entre dovelas, y su solución no satisface completamente las condiciones de equilibrio de momentos. Sin embargo, Janbú utiliza un factor de corrección fo (Fig. 5.7) para tener en cuenta este posible error. Los valores de factores de seguridad obtenidos mediante este método son bajos.
85
Fig.5.7 Interpretación gráfica del Método de Janbú. Fuente: www.aimecuador.org/capacitacion/archivos_pdf/Estabilidad_de_taludes.pdf
Su deducción matemática esta representada por la siguiente fórmula:
( )[ ]
( )∑ +
−+
=QW
mabWbCfo
SFα
αφµ
tan**cos
1*tan**'**.
ò
( )[ ]{ }( )∑ +
−+=
QWbWbCfoSF
αηφµ
tan**tan**'**.
Donde ma*cos
1α
η =
+=
FsTanTanma '*1*cos φαα
fo = depende de la curvatura de la superficie de falla.
−+=
2
4.11Ld
Ldkfo Para c’ = 0 ⇒ k = 0.31
Para c’ > 0, φ’>0 ⇒ k = 0.50
Q = fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión.
=
RaZwQ W ***
21 2γ
Si Q = 0, entonces: ( )[ ]{ }( )∑
−+=
αηφµ
tan**tan**'**.
WbWbCfoSF
86
d
L
Superficie curvo no circular
C = f
C = 0
0.40.30.20.101.0
Suelos granulares
Suelos Mixtos
f = 0Suelos Cohesivos
1.1
1.2
f o
d / L
Fig. 5.8 Diagrama para determinar el factor fo para el método de Janbú.
Generalmente el método de Janbú con respecto a métodos más precisos como Spencer y Morgenstern – Price difieren en FS, es así que en ocasiones subestima el factor de seguridad en un 30 % y en algunos casos sobreestima hasta en un 5 % (Suárez Días – 1998). Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Janbú
A. Realizar el análisis gráfico: El análisis gráfico a realizar, es el mismo procedimiento descrito para el Método de Fellenius.
B. Realizar el análisis matemático: 1. Definir las propiedades de los suelos (peso específico del suelo natural y saturado,
cohesión y ángulo de fricción interna) y el peso específico del agua.
DATOS: Suelo 1 Suelo 2
OH SC - SM Radio r = 105 m Peso específico γ = 12.16 KN/m² 18.44 KN/m² Peso específico saturado γs = 16.48 KN/m² 20.70 KN/m² Cohesión C = 58.86 Kpa 34.34 Kpa Ang. Fric. Int φ = 6 º 10 º Tan < fric Tan φ = 0.1052 0.176 Peso específico agua γw = 10 KN/m²
87
2. Procedemos a calcular los brazos de momento x de cada dovela respecto al centro O
(columna 3).
4,35
8,62
1,45
W
Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa
Dovela 10
3. Calcular el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6), Sec α (columna 7) y Tan α (columna 8).
º718.66105
45.9611
=
=
= −−
α
α SenRXsen
( )
( )
( ) 324.2718.66
532.2395.01
cos1
395.0718.66cos
919.0718.66
==
=
==
==
==
TanTan
Sec
Cos
senSen
α
αα
α
α
4. Calcular la longitud de la dovela (columna 9) L = b * Sec α. .01.11532.2*35.4 mL ==
5. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de
suelo seco Z1 (columna 10), Z3 (columna 15) y saturado Z2 (columna 12), Z4 (columna 17) definido por el nivel freático. Z1 = 8.62 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m. Z4 = 0.00 m.
∑∑+=
AXA
XX*
10
( ) ( )( )2/35.4*62.8
3/35.4*2/35.4*62.89510 +=X
X10 = 95+1.45 = 96.45 m.
88
6. Calcular el peso de la dovela W (20) como la sumatoria de pesos W1 (11), W2 (columna 13), W3 (columna 16) y W4 (columna 18) para sus respectivas alturas Z1 a Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.
BZW **1 γ= 4321 WWWWW +++= W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 * 4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m
7. Calcular la presión de poros µ (columna 21) como la sumatoria de presión de poros para cada estrato µ1 (columna 14) y µ2 (columna 19) afectados por el nivel freático y por su correspondiente altura Z, así: ww Z*γµ =
21 µµµ += µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0
8. Calcular la fuerza Fu (columna 22) debido a la presión de poros con la fórmula.
mKNFub
/00.035.4*00.0*Fu
=== µ
9. Calcular la resultante de las fuerzas correspondientes al peso menos presión de poros
(columna 23) con la fórmula: ( )bW *µ− ( ) ./98.22700.099.227* mKNbW =−=− µ
10. Calcular la fuerza estabilizadora Fφ (columna 24) debido a la fricción con la fórmula:
( )( )./94.23105.0*98.227
tan**mKNF
bWF==
−=φ
φµφ
11. Calcular la fuerza estabilizadora Fc (columna 25) debido a la cohesión del suelo con la
fórmula:
./04.25635.4*86.58'*
mKNFcbCFc
===
12. Calcular la fuerza total estabilizadora (columna 26) debido a las propiedades de resistencia del suelo con la fórmula.
./98.27994.2304.256 mKNFFc =+=+ φ
13. Calcular el producto de la tangente entre el ángulo de fricción del suelo y el ángulo α (columna 27).
244.0105.0*324.2tan*tan ==φα
14. Calcular ma (columna 28) para un factor de seguridad inicial Fs = 1 con la fórmula.
+=
FsTanTanma '*1*cos φαα 491.0
1244.01*395.0 =
+=ma
15. Calcular η (columna 29) con la fórmula.
ma*cos1
αη = 17.5
491.0*395.01
==η
89
16. Calcular (Fc + Fφ) * η (columna 30) con la fórmula. ( ) 50.144717.5*98.279* ==+ ηφFFc
17. Calcular la fuerza tangencial desestabilizadora debida al peso T (columna 31) con la
fórmula.
2/83.529324.2*98.227*
mKNTTanWT
=== α
18. Proceder a calcular los datos para cada una de las dovelas restantes, siguiendo los
pasos anteriores del 1 a 17 con la única diferencia, de considerar la forma de la figura geométrica para calcular el brazo de momento x.
N = W* cos α - µ * bα
W
Suelo: SC-SM Arenas ArcillosasPeso especifico = 18.44 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 20.70 Kn/m2Angulo de fricción = 10'Cohesión = 34.34 KPa
2,49
5,43
Z4 = hw
Z3
Z2 = 0
Z1 Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa
19,1
914
,21
5,25
37,0
5
39,9
8
10
T = W* sen α
S
DOVELA 5
Ejemplo.
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
49.94m. 94.445 X5
2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245
*
5
5
=+=
++++
+=
+=∑
∑
X
AXA
XX
90
Para calcular el brazo de momento X de las dovelas B H X AREA A * X m. m. m. m2.
10.00 2.49 6.67 24.90 166.00 10.00 34.55 5.00 345.50 1727.50 10.00 5.43 3.33 54.30 181.00 Suma: 424.70 2074.50 X = 4.88 m.
∴ El brazo de momento para la dovela Nº 5 es: X = 49.88 m. ≈ 50.0 m. Z1 = 5.27 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 14.21 m. Z4 = 19.19 m.
19. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 18 una tabla (Tabla 5.4).
91
TAB
LA 4
.4 C
ÁLC
ULO
PO
R E
L M
ETO
DO
DE
JAN
BÚ
DA
TOS:
Suel
o 1
Suel
o 2
RES
ULT
AD
O:
OH
SC -
SMF.
S. J
ambu
=0.
67R
adio
r =10
5m
Den
sida
dγ
=12
.16
KN/m
²18
.44
KN/m
²D
ensi
dad
sat
γs =
16.4
8KN
/m²
20.7
0KN
/m²
Coh
esió
nC
=58
.86
Kpa
34.3
4Kp
aA
ng. F
ric. I
ntφ
=6
º10
ºTa
n <
fric
Tan
φ =
0.10
50.
176
YmYm
=10
KN/m
²
Nº D
atos
Nº D
ovel
ab
xα
= a
rsen
(x/r)
Cos
αSe
c α
Tan
αl =
b/c
os α
Z1W
1 =
γ * Z
1 * b
Z2W
2 =
γs* Z
2 * b
µ 1 =
Yw
* Z2
Z3W
3 =
γ * Z
3 * b
Z4W
4= γ
s* Z
4 * b
µ 2 =
Yw
* Z4
(m)
(m)
grad
os(m
)K
N/m
(m)
KN
/mK
N/m
²(m
)K
N/m
(m)
KN
/mK
N/m
²1
23
46
78
910
1112
1314
1516
1718
191
104.
3596
.45
66.7
20.
395
2.53
22.
324
11.0
15.
0026
4.48
0.00
0.00
00.
000.
000.
000.
000
29
1089
.31
58.2
70.
526
1.90
11.
617
19.0
115
.56
1892
.10
0.00
0.00
00.
000.
000.
000.
000
38
1079
.74
49.4
10.
651
1.53
61.
167
15.3
615
.92
1935
.87
0.00
0.00
02.
8051
6.32
6.22
1287
.54
62.2
47
1069
.87
41.7
20.
746
1.34
00.
892
13.4
012
.12
1473
.79
0.00
0.00
05.
9711
00.8
712
.95
2680
.65
129.
55
610
59.9
034
.78
0.82
11.
218
0.69
512
.18
8.11
986.
180.
000.
000
9.92
1829
.25
16.9
835
14.8
616
9.8
65
1049
.94
28.4
00.
880
1.13
60.
541
11.3
65.
2764
0.83
0.00
0.00
014
.21
2620
.32
19.2
339
80.6
119
2.3
74
1039
.97
22.3
70.
925
1.08
10.
412
10.8
11.
4717
8.75
0.00
0.00
019
.43
3582
.89
20.0
541
50.3
520
0.5
83
1030
.11
16.6
60.
958
1.04
40.
299
10.4
40.
000.
000.
000.
000
19.1
735
34.9
519
.28
3990
.96
192.
89
210
20.1
311
.05
0.98
11.
019
0.19
510
.19
0.00
0.00
0.00
0.00
016
.76
3090
.54
17.4
236
05.9
417
4.2
101
1010
.19
5.57
0.99
51.
005
0.09
810
.05
0.00
0.00
0.00
0.00
011
.48
2116
.91
11.2
623
30.8
211
2.6
110
100.
190.
101.
000
1.00
00.
002
10.0
00.
000.
000.
000.
000
12.1
522
40.4
69.
5419
74.7
895
.412
-110
-9.7
9-5
.35
0.99
61.
004
-0.0
9410
.04
0.00
0.00
0.00
0.00
013
.69
2524
.44
4.11
850.
7741
.113
-210
-19.
65-1
0.79
0.98
21.
018
-0.1
9110
.18
0.00
0.00
0.00
0.00
011
.59
2137
.20
0.00
0.00
014
-312
.1-2
9.26
-16.
180.
960
1.04
2-0
.290
12.6
00.
000.
000.
000.
000
8.50
1896
.55
0.00
0.00
0
SUEL
O 1
: OH
SUEL
O 2
: SC
- SM
()
[]
{}
()
∑+
−+
=Q
tanα
*W
η*
tanφ
*b
*μ
WC
'*b
*fo
F.S
92
Para
c’ =
0 ⇒
k =
0.3
1Pa
ra c
’ > 0
, φ’>
0 ⇒
k =
0.5
0
K =
0.50
d =
13.0
0m
.L
=16
4.56
m.
fo =
1.03
5F.
S Fi
nal =
0.69
Supu
esto
Fs
=0.
68W
= W
1+W
2+W
3+W
4µ
= µ1
* µ2
Fu =
µ *
bW
− (
µ * b
)Fφ
= [W
− (
µ * b
)]*ta
g φ
Fc =
C'
* b(F
c +
Fφ)
Tan
α *
Tan
φm
aη
(Fc
+ Fφ
) ∗ η
T =
W *
Tan
α
KN
/mK
N/m
²K
N/m
KN
/mK
N/m
KN
/mK
N/m
KN
/m20
2122
2324
2526
2728
2930
3126
4.48
0.00
026
4.48
27.7
725
6.04
283.
810.
244
0.54
4.69
1331
.07
614.
6518
92.1
00.
000
1892
.10
198.
6758
8.60
787.
270.
170
0.66
2.88
2267
.34
3059
.53
3739
.73
62.2
062
231
17.7
354
8.72
343.
4089
2.12
0.20
50.
851.
8116
14.7
443
64.2
652
55.3
112
9.50
1295
3960
.31
697.
0134
3.40
1040
.41
0.15
70.
921.
4615
19.0
046
87.7
463
30.2
916
9.80
1698
4632
.29
815.
2834
3.40
1158
.68
0.12
20.
971.
2614
59.9
443
99.5
572
41.7
619
2.30
1923
5318
.76
936.
1034
3.40
1279
.50
0.09
51.
001.
1414
58.6
339
17.7
979
11.9
920
0.50
2005
5906
.99
1039
.63
343.
4013
83.0
30.
073
1.02
1.06
1466
.01
3259
.74
7525
.91
192.
8019
2855
97.9
198
5.23
343.
4013
28.6
30.
053
1.03
1.01
1341
.92
2250
.25
6696
.48
174.
2017
4249
54.4
887
1.99
343.
4012
15.3
90.
034
1.03
0.99
1203
.24
1305
.81
4447
.73
112.
6011
2633
21.7
358
4.62
343.
4092
8.02
0.01
71.
020.
9991
8.74
435.
8842
15.2
495
.40
954
3261
.24
573.
9834
3.40
917.
380.
000
1.00
1.00
917.
388.
4333
75.2
141
.10
411
2964
.21
521.
7034
3.40
865.
10-0
.017
0.97
1.04
899.
70-3
17.2
721
37.2
00.
000
2137
.20
376.
1534
3.40
719.
55-0
.034
0.93
1.09
784.
31-4
08.2
118
96.5
50.
000
1896
.55
333.
7941
5.51
749.
30-0
.051
0.89
1.17
876.
68-5
50.0
0Su
mat
oria
1805
8.70
2702
8.15
TOTA
LES
+=
FsT
anφ
*T
anα
1*
Cos
αm
a
ma*Co
sα1η
=
−
+=
2
oLd
1.4
Ldk
1f
93
Calcular el factor de seguridad Fs con la fórmula: ( ) ( )[ ]
( )
( )
67.015.2702808.18032.
*.
**'tan**'*.
==
+=
−+=
∑∑
∑ ∑
SF
TFFc
SF
TanWbWbCSF
ηφ
αηφµ
Comparamos: FSCalculado = FSimpuesto.
0.66 ≠ 1
20. Repetir el procedimiento los pasos 14 a 17 para un nuevo FS = 0.68 y comprobar su Factor de seguridad calculado, de ser el caso repetir la tabla las columnas 28, 29 y 30. En caso de no igualarse el valor del factor de seguridad calculado con el impuesto repetir los pasos 14 y 15 para el último factor calculado hasta que se iguale sus valores.
Supuesto Fs = 0.68
ma η (Fc + Fφ) ∗ η T = W * Tan α KN/m
28 29 30 26 0.540 4.69 1313.11 529.83 0.650 2.98 2346.06 3150.35 0.850 1.82 1623.66 4401.66 0.920 1.46 1519.00 4703.50 0.970 1.26 1459.94 4412.21 1.000 1.14 1458.63 3917.79 1.020 1.06 1466.01 3267.65 1.030 1.01 1341.92 2250.25 1.030 0.99 1203.24 1305.81 1.020 0.98 909.46 426.98 1.000 1.00 917.38 0.00 0.970 1.04 899.70 -324.02 0.930 1.09 784.31 -416.75 0.890 1.17 718.86 -325.47 Sumatoria 17961.28 27299.79
21. El factor de seguridad calculado es. FS = (17961.28 / 27299.79) = 0.66
FSCalculado = FSimpuesto. 0.66 ≠ 0.68.
∴ Realizar un nuevo cálculo para el último FS.
94
22. Si FS = 0.67
Supuesto Fs = 0.66 ma η (Fc + Fφ) ∗ η T = W * Tan α
KN/m 28 29 30 26
0.540 4.69 1313.11 529.83
0.650 2.98 2346.06 3150.35 0.850 1.82 1623.66 4401.66 0.920 1.46 1519.00 4703.50 0.970 1.26 1459.94 4412.21 1.010 1.13 1445.84 3917.79 1.030 1.05 1452.18 3267.65 1.040 1.00 1328.63 2250.25 1.030 0.99 1203.24 1305.81 1.020 0.98 909.46 426.98 1.000 1.00 917.38 0.00 0.970 1.04 899.70 -324.02 0.930 1.09 784.31 -416.75 0.890 1.17 718.86 -325.47 Sumatoria 17921.37 27299.79
El factor de seguridad calculado es. FS = (17921.37/27299.79) = 0.66
FSCalculado = FSimpuesto. 0.66 = 0.66
Entonces: FS = 0.66.
23. Finalmente se aplica un factor de corrección fo igual a la siguiente fórmula para las condiciones descritas:
−+=
2
4.11Ld
Ldkfo Para c’ = 0 ⇒ k = 0.31
Para c’ > 0, φ’>0 ⇒ k = 0.50
Donde: K = 0.50 d = 13.00 m L = 164.56 m
035.156.16400.134.1
56.16400.1350.01
2
=
−+=of
69.067.0*035.1.*. === SFfSF o ∴ FS Final = 0.69
5.6 COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS ESTUDIADOS Para iniciar el análisis de comparación entre los métodos propuestos es necesario conocer los parámetros geotécnicos resultantes de los ensayos de laboratorio. Así mismo es necesario identificar el tipo de ensayo que se utilizó para la determinación de los parámetros
95
geotécnicos, pues este simple hecho de selección puede ser una de las causas más comunes de error y de variación de resultados. Una vez realizados los cálculos por los diferentes métodos empleados, los resultados obtenidos al aplicar las hojas de cálculo. Los resultados de valores de factor de seguridad calculados se presentan en la Tabla 5.5.
Tabla 5.5 Presentación de resultados mediante el cálculo manual.
FACTORES DE SEGURIDAD Métodos
Casos
VALORES FS
Fellenius Bishop simplificado Janbú
Caso 1 R = 95 m C (100,125)
0.77 0.80 0.81
Caso 2 R = 100 m C (100,125)
0.70 0.74 0.76
Caso 3 R = 105 m C (100,125)
0.65 0.70 0.70
Caso 4 R = 85 m C (105,115)
0.72 0.74 0.76
Caso 5 R = 90 m C (105,115)
0.69 0.74 0.72
Caso 6 R = 95 m C (105,115)
0.64 0.69 0.71
Caso 7 R = 95 m C (120,125)
0.74 0.78 0.79
Caso 8 R = 100 m C (120,125)
0.69 0.74 0.73
Caso 9 R = 105 m C (120,125)
0.65 0.70 0.72
Caso 10 R = 95 m C (100,120)
0.70 0.75 0.78
Caso 11 R = 95 m C (110,120)
0.70 0.75 0.76
Caso 12 R = 85 m C (100,110)
0.71 0.75 0.76
Caso 13 R = 85 m C (110,110)
0.69 0.74 0.73
Los métodos de estabilización de taludes aproximados son los más utilizados y dentro de ellos se destaca el método de Bishop como el más confiable y el más difundido entre los profesionales
96
Por tanto, en la tabla anterior se representan los casos más probables escogidos para el análisis de taludes y en particular para la evaluación de los métodos en nuestro proyecto respecto al método de Bishop. De esta tabla podemos apreciar: 1. La variación de los valores de FS dentro de un mismo método depende de la exactitud y
de que tan dispersos estén los puntos de prueba para la inmensa gama de superficies de falla.
2. Como se puede observar en la misma tabla, cuando se incrementa el radio desde un mismo centro de la superficie de falla, el valor de FS disminuye, por cuanto se aumenta las fuerzas desestabilizadoras representadas por la masa del suelo.
Con la ayuda del Internet encontramos el programa aplicable al cálculo de Factores de seguridad, como el caso de SLOPE/W. Los valores se presentan en la Tabla 5.6.
Tabla 5.6 Presentación de resultados mediante el programa SLOPE/W
Factores mínimos de Seguridad Momentos Fuerzas
Fellenius 0.640 - Bishop 0.706 - Janbú - 0.670
Los factores de seguridad obtenidos por los métodos manual y por el programa SLOPE/W se verifica que se obtiene valores menores a uno (1). El factor de seguridad mínimo contra la falla por capacidad de carga de un terraplén, talud o muro sobre un suelo blando, a corto plazo, debe ser mayor que uno (FS ≥ 1). El sistema de equilibrio límite supone que en el caso de una falla, las fuerzas actuantes y resistentes son iguales a lo largo de una superficie de falla equivalentes a un factor de seguridad de 1.0
97
98
99
100