-283-
CINEMA Tl CA DE •
RO T ACION
C AP I TULO 1 1 .
P R O BL e MAS
l.· Un di sco de ton6¡rato e n una .ese ¡iratoria s e mueve a ra •
~6n d. 33 r ey/.in. Decir cu Al ' s la yeloci d.d line.l d e un
punto del di sco en el sitio dond e .stA la a guja (a) .1 co •
• enzar l. gr.bac i6n y (b) .1 ter_ín.r l. mi,... L.s d1sta~
ci. s d. l •• guja al eje de l •• es. gir~ori. son de 0.149
• Y 0.013 ., re'p.ctiy.~ente. en es.s do, ~osicio nes .
So luc i6 n :
v ~ 33 RP" = 33 ., rad/_in 2 66 rad/_in.
a) r1
= 0.149.
Si >1 Or 1
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~ ,, 1 r __ ,
, , , , , _ 0 .073.
" ,
r l'e lllpl ,l:r.aud o valoras
"
w.' , -28~-
"'66IxO.073 ; 1 S.13 (; 2 .. / /llio_ , .'.1 ,
l,a val oc idad anlu l¡¡r d el lIotor da un ol..:tom6vit se a umenta
dt. 1200 a 3000 rp. en 1 2 seg (a) tC uAl es su ac elaraci6 n an
guIar , supuniindol a unifor.e? (b) tCu l ntas revo l uciones e -
fe c túa eJ ~otor d uran t e est a tieMPo?
.!l.!.!.2.!. : "1 : 1200 rp. , " 2 '" 3000 rp., t~12. eg .
Soluc i6n: (a) CO IIO la aceler a ei60 angul ar es u nif o r .e serA
igua l a la aceleraci6n a n gul ar . adi a .
oc • ------- (l)
Las velocidades angulares serA n :
" 1,200 r~v x
"" 3000 X 211
" 2" 60
1 lIi n 60 seg
rad/seg
2_ red • 1 rey ~ 1 , 200
60 . "
Reempla:r.a nd o valores en ( 1 ) obteneMos:
" (3,000 - 1 , 200)2 , 12 x 60
, " S' _ IS.7 rad/seg
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se intervalo de ~ seg es ;
pero " • o
• • o
• O
-286-
(1)
la velocidad a ng.¡jar '011
serT: -
i ~ "'l t t ~ o:: t:2 --- (2)
de donde: , " •
,. :2 11 1 20 _ ](<0)2 , . , ~ 2~ ' red /seg
Reemplazando va l ores e n la ecu~ci6n e l ) o bt e nemos:
" : 3: 8 seg.
Rpta : lt : 8 se g
1._ Un vola nte pesado que gira alrededo r de su aje va di sminu
yendo su velocidad debido al rozamiento sobr a sus chumace
rola. Al t er~inar el primer minuto, su v elocidad a ngular es
0.90 de la velocidad a ngular w que tenia al principi o . Su o
poniendo que la ~ fu~r%as d. roz.~i.nto so n cons tant •• , en -
contrar su velocidad angular al terminar el s eg undo minuto.
'010
' t z 60 seg ,
S9lución:
" : 0,9 ... o
Como las fu erzas de fri cci6n so n co nstante s , e l vol a nte ten
dri una ratardaci 6n angular constan te.
"':2 es la velocidad a ngular cu a ndo el tiem po e s t:2 : 1 :20 seg
Hallare~o s la desac el eraci6n a ngul a r:
• • • • ~ " ------ (2) , o
• • O. , • • 0. 1 • , o o o o ra d /a eg ~ • • • , , " " Re eaplazand o vil l ore s ., , . e cuac i 6 n ( 1 ) ;
. " , o O . , .. W K 1 2 0 ~ 0.8 w rad/seg .
o o
,
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- 28 7-
B.- El ~ngulo que gir~ el vol~nte d e un gene r ado r durante Uf' in
tervalo de ti empo t
g ; a t
est,s dado por
, " b t e t
1 .. ecuaci6n:
• si en do a , b , y c co nstantes.
cel e raci6n ang ular ?
So lución:
LCu' l es la expre si6n ~ ~ R" a
La a c ele r aci6n angu l ar es:
d'. d. oc • -;-;r " ,
" • ., b' " .. :; l' t
, • • • •
" - "
"" , o,
'>l
,
Rpta: loe = 6 b t - 12 ct' J 9.- Un cuerpo se mueve en el plano x - y de t al manera q~e x=R
cos wt e y : R sen wt . En estas expresiones . x e I so n
tantes. (a) Elimine ~ t de esta~ ecu~cionec par ~ enr~n tr~r
la ecuaci6 n de la curva en la c ual se mu e ve el c u r r ~~. ¿Qué
c urv a es? ¿Qui signifJcH la constante w 1 (b) Deriva el' las
ecua cio nes de ~ y de 1 con respecto al tiempo p~l a ~1¡CO n
trar las com ponente~ 3 e Z Je la veloc idad de l c u~rrJ . Vx
y v. Co mbin e v y v para encontrar la magn i tu d y ji r ec-, " c i 6n de v. Describa e l movimien t o del cue rpo. ( e ) ~eri vp
v y v co n respecto al tiempo para ob t e n e r la lIl .. gni!ud y , , direcció n de la a c elera c ión resultante.
Solu c ión: ,. ) Elim i namos .!. d. , .. dos ec ua ciones:
, • , y • ,
, , :0\ ~ Y
, 00' ., , • " 0o, ,
" "O ., l ' • , 00
'1 2 2 '1 R ( eos wt t s en wt ) = R
, "' , .,
es ta e s la ec uac i 6n d e un a c i rc unferenci ~ .
\1 ,
( : 1
la v e l o c ida d ¡a ng u l a r ~ or q u e el e lol erpo s e; . u e v e el! 'J:," e i r
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c uufe l'encia.
(b) La ~agoitu d de la velocidad v se rá,
(3)
La di r ccción de ves : tag (ji : ...:t. ____ (14) v •
[o c ootremos l as co .. po oentes de la veloci dad
Il ws eowt v '" R"cos"t , J v'
, k , v • v • Rw se n wt) • (R " coswt) • ,
v Rw cos "t <os , • ...L • - c tg( " t ) v Rwsen"t •
•
,
'd L. mago i tud d. ,. ace lerac ión res ultante es:
J.; , (S) • • • - -- -- ---,
dv dv : --.lL.. ,. , ,
----'-. • - cos wt • • • • • • " , " 2 ,
• ,. s e n" t • • , r.' 2
, , , • • ( " x) • (-w y) • , .
lo direc c i6n d, lo "cele1'ac16n resul t ante se r' :
t "8 líI tag(-.. t )
• . e
O. Uoa "u e d a gira co n uoa aceleración angular (1 dada p o r
3 o .. "a t 2
Jbt •
siend o t el t ie mpu y a y b constantes. S i la rued~ l ie~e
un,) ·,e lol: id"d a n gul~r i n icial
de (a) la veloc i da4 a Olu l a r y
e ¡vn '.t u l t ie.po .
w • e s cri ba las e cua c ¡Qn e~ o
( b) e l Angu lo des c ri to e o f UIl
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, ) dw dt
d w CI = dt
,
, lb'
-2!1<1-
3 , = (~¡¡It • 3bt )dt dw
in tegrando:
b) w •
" . "
r w
w o
o
d w
, . " dO : ( w ~ at~ _ bt 3 )d t
o
, int egrand°fa
o
dO
0·0 = w t ~ o o
•
,
ar: , o • O •
o w t -t- a
o - b :' 11
11. La 6rbita de la Tierra en torno del So l , aunque e l lptica,
es casi un círculo. (a) Calc ualr l a velocjdad angular de
l a Tierra (considerada co.o par t í cula ) en torno del Sol y
~u vnlocidad lineal med i a en su 6rbita. ( b ) ¿Cu&l es la a-
celeración cen tripeta de l a Tierra co n respecto al So l ?
So l uci6n: (a) La velocidad angular será:
W : O/ t ---- - (1) donde T·ad .
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t ~ 365 x 86~OO se&11 dla )
• • ,,,,;'!',,,,,,,, 3foS • 86400 " 10-8
rad/s e g .
La ve locidad medIa en su 6rbi ta es su velocida d tangencial.
v"' v R (2)
Jonde R ~ 14g • 109 m
íbl
-8 v : ( ... 3" • )( 10 )
Como lupo nemos .,. lo
Sol .. caai ,. circulo
se r -' : • • v 2/ R o
Rp t a: ( . ) • • 6.3'+.
3 10 !II / seg
6rbita ,. lo Ti erra '" torno ,.1 luego lo ace l e rac J 6n eentr1peta
-8 , " r ad /sea
• • 9. Sn , lO' 111/.1&
(b) • o • , . "
!? Id ) ¿Cull as la velocidad angu l ar d i un pun t o di la super f!
c íe de la Tie r ra a una latitud de 45° N e n torno del eje de
l os polo,? ¿C u!l es la velocidad line a l? (b) ¿Cblllo son e
s~s valores ca. parados c on 101 valo res li _ l1ares par a u n
punto colocado en e l ecuador?
501uc i6n:
~a) COIIIO l. Tie rr a 15 un cu erpo rt¡1do y supo n i endo que ee
• •
lIIueve alreded o r del eje y v ~
dad anl\,llar es:
• , , . 16,400
La ve l ocida d line.l d, un pu~
to P en su luperficie a la la
titud Ioso N .erl:
v ~ vd = rWT
COI 45°
donde Rt : 6.37 x 10" .(radio
d e la Tierra).
• p • '0 l ueg o la veloci-
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• • .,. x 6.31& x 1 0 " J2
86)100 x ¿)C ~ 321.6L ",/seg
(b) ra ~a u n pu n to ~n e l ecuador.
I .ld/sce· -, , ., \1 2 \lRr ~ 1.29 x 1 0 . )( 6.316 x 10 11611.2 m/s~g
1~. ,Cual es la a ce leracion centr!pet~ d ~ un punto d. la pe r i f~
rle de un di s c o de 30 cm qu e gira I 3) ! ) re.,/~in?
S91ue16n: lOO '" ~ " • • J " •
r • ,. J • 2 20 0s ,
" • ' . • • r • ( ) . , ( 0.3) 18'
3 . 66 ./s eg 2 • • '. ,
donde : • eee leraei 6n eentrIpeta ,
'. • acele raei 6n r adial
de di.lllletro. (~ ) ¿Cull es la velocida d en¡u l ar d. l as rue-
das alr.dedor del e je ? (b) Si l iS rueda s . e detienen uní -
tor •••• nt. en 30 v uel ta . , ¿Cull .s la a cel. r aci6n angular?
(e) L Ouf distancia recorre el autom6v,i l d urante •• t ll pe -
r Lodo de frena do?
v = 60 .i /h e 88 pies/ s e¡
2R t 30 pl¡ : ,.S pie.
Salud6n :
( a ) La velocidad angular es:
• .. . - " • •
(b) L, sacel.r le j,!,n
2 2 2~ • ", • " • o
••• ~"70 . ..
anaull r es:
------ (1)
rad/se,
pero: ", • O • • JO , ,. rad / sea
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oc
(o) " es pacio
mi.ento es: , ,
" • , , )O
Rpta:
" o r
- 292 -
,". rec o rre dur.soto: ."
• -.-.---- (2 )
'" • 1 . 2~ • 23' pi " s
w ~ 70.~ rad/seg (. )
(b) oc
(e-) s
2 ~ -l J.l ra d /seg
= 236 pies
1 3. 1 2
r ad /seg •
pe rí odo de fI"I!Il "' -
l b . ( a) Si l a héli c e de un avión tiene un r adio de ~ pies y gira
a 2 , 000 rp. y el avi6n lleva una veloc i dad con respe c t o al
su el o de 100 !IIi/h, ¿Cuál es la v e locida d de un pun to de la
punta de la hélice? ( b ) ¿Qué clase de trayectoria desc ribe
ese puntol
Snluc i6n: (a) Sea R un
punto .. lo ¡.>"ut .. d. R V lo hil ice. lo veloe id.sd , A
." R será: --- VR
'R • " • --. -- ( 1) VT , L. !lIiIgnit ud d. " es:
-L----------______ -+T
• , j (vT
)2 • R
" , .R , 1000
" • I • Ol¡ 1.33
(v A) 2
'p. • ,. p ies /s!! s ·
r lld11 t.in rey )( 60 seg
VA ~ 100 .i/h = 1116.7 p ie s/ .eg.
. " Luego: ,-______ _.---------------.
vR
= )(1116.7)2 -+- (1 . OI¡7.J3)f: 1 ,0 57.4 ni/ses
(b) La tra yectoria que de sc ribe es una héli ce.
¡Rpta: VR = 1,OS7.~ m/seg.1
17. ¿Cu:1l es 1" velocidad ,"lguli'lr J c un a.utmn6vil fl ue en una. c a
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r r eter ~ da una vuelta de 110 m de r a dio ,o1' una ? e l ocid~d
d .. "9.3 klll/hr?
So luci6n.
v = "8.3 km/h ~ ~8. 3 km/h x 1 h/ 3&00 seg x 1000 n/l km
= "B .3 mIs T.T
r 11 0 1J1 .
Sa bem os que: " . Ree~plazand~ va lo r es:
.!!..!d w z -tTt- z 0 .12 rad/ seg
w = 0. 12 rad/segl
l B. Un cuerpo rigido, a pa rtir del punt o de re p ~s o , gira e n tO~
no de un eje fijo con a celeraci6n angular constante. (a)
txpre sar la aceleración radia l y la acel e r aci6n tangen c ial
de una part1 cula del cue rpo en fun c ió n de la aceleración a~
gula l' del
(b) Si lJ
mism o . Sea r la dist a nci a de la particula al eje.
aceleración I·esultante d e 1 ... p'lI·r i c ula en un e i e.!:
la i nstante f o rma un ~n8ul o de &0° con re s~~ = t o a la a~c le ~
raci ó n tangen c ial , ¿c uAl e s el Angula t ota l 1ue ha girado
el cuerpo hasta ese instante?
co ns tante
u: ~ co ns tant e
" " o
Soluci6n:
(a) tI punt~ P del
cuerpo rSg,id o ,
s e mueve una distan
c ia ..lL a l o la rgo del
arco cuando el c uerpo
gi ra un 'ngulo Q, de tal mynera q ue:
S : RiiI
I'er iv ando ( 1 ) re specto a t:
ds .d g R~ wR d r d t
pe r o
(n
d , d"t =
."
v(v e l o cida d l ine al de
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P en ~ S~ i nst5nte) y su
direcci6n es tangen te a
la ci r cun f ere ncia.
S,l b$mo~ que:
d, • "
d{ wR) ~ : -d-'- • • ,
~r : - W R (po rQue es de se n
t jdu cont r ~rio al vector po
"ici6n 11)
y
•
(b) Por o tro lad o sa beaos que co.o a; z constante
W : v tcr::t s a;t------(l)
De h ti g
, , • "' , , per u ~ , , •
, , t ag
, • • " R. , 1, • .fJ7"2
, " Rw
• R~
o
, , " Ra; t
1 ve.o~ que t58 60° ~ • e
"
" , ,
~ • p~ , ---- ----, toR 60"
,"0 • .j'"3"¡2 r a d •
" ~R
rad .1
(2)
(J)
( " )
19. () del texto). Un aitod o pera .edir la ve locida d de l a l u ~
e.plee una rueda dentada li r atorla.
una ranura en el bo rd e exterior de la ru eda co.o ae il ustra
en la ril. 11 - 12 , va ha eia un e apejo d i stante, y regr e s~ ~
la rue da e xa ctamente e n el tiempo necesario para pas a r po r
s i¡uiente ranure d e l e r ued a . Una rueda par a e s te f i n
tiene un radio de ~. O ca y 500 d ien t e . en su bo r de .
dici o ne s t o.ad a . c uaQd o e l es pe jo es t eb a a SOO • d . l a rue-
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d" indic"ron una 5
v~l oc idad de la luz de 3.0 Jo; 10 km/seg .
( .) LCu ~1 era la veloc idad angular (constante) d. la rueda ~
(b) LCu ~ ) era la ve l oc idad li n al ~. un punt o de ; u perife-
L s
"1 ~ espejo semip l "tea do (~u ca pa ref le ctora e s tan delgad a
que s olo la .itad d e la luz que llega e s refl~jada
s iendo t ran s mitida la otra mitad).
r ~0.05 m
nCllllet 'O de d ien te s ~ 500
L = 500 m.
v ~ J, O 5
x 10 klll/ seg.
SOlud6n :
(a) ti tiemp o de ida y vuelta qu e t"rde el r"yo de luz en
re co rrer la distancia de r a " 2 es :
: 2 I./c (t, y deb e ser igual a l tiempo que requiere la r ued a para gir a r
161 .1ngulo O, (donde Q es l a dist a ncilll a ngu l lllr del cen tro d e
un h ueco al ce ntro de un diente) .,.1;e tiemp o es '.
Para que se cu mpla lo deseado:
2L :; ~ de donde o •
o, . . -2L
_-,("3C·CO,-.,--,1"OC'-im:/i-·"'·~"'C(-,lC/Cl",o~o"oC-'r-,·c·:.!...) " 300 r e y /s e g v :; 2 JI Soo
ro. :; 300--' ,., 2 rad 8 I 1 rey :; 1, S~ rad seg
(b) La velocidad lineal de un pun t o de su borde ~e r á:
v :; wr E l, 88~ x 0 .0 5 :; 9~. 20 mlse g
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Rpt¡¡,:
- 296-
( a ) " '" 1, 8 811 rad /aeg
( b) v '" 9 11 .2 ./s eg.
'o . Uc ins~cto d e masa 8.0 x 10-2 g c a~ina hacia afuera con una
velocid ad co nst a nte de 1.6 c./seg s i gu i en do una linea r adial
mdrcada en el p la to ro tat o r i o de un f onógra f o qua gi r a con
velocid a d angular constante de 33 ~ rev /min . (a) Obte ner la
v~locid d d y la acelerac i ón del in s ecto tal como l o ve de sde
nfuera un ubs ervador, c uand o el insecto está a 1 2 c m del eje
de ,·otación. (b) ¿Cuál seria el ml01mo coeficiente de ro ~~
mlO,n t o para pe rmitir q u e el i nsecto s a liera hasta l a perit!
ría de la rresa g i rator ia ( r a dio " 16 cm) si n deslizar? (e)
¿Cómo .: ambiari an los r e sult a dos de (a) y de (b) s.i se apli
ca ra a la mesa giratoria una ac eleraci ón angular que aumen _
tar~ Su ve l ocid ad angu l a r ?
Soluci6 n : 100 r ..
" o -,- .. i n
100 ,. rod 1 alin " 0--,-- -1 rn 60 o.,
iI)vT:wT
reem plaza ndo datos:
hl "
"
" ' T
200"" 12 '" " 1 . 8 9 c. /s 180
- 1 . 6 Cal /s ha c i a af ue ra
, " 111 6.23 cm/s . ha c ia aden t ro
~ r '" 11 cmfs2
" 0 .2
200n o "TliOrad /seg
" peralanece ... .'i , .... Il:..t .• n::e,
el va l Or de " a ume n t a; a r ( b ) a ume nta rá
VT
, aR
, ~T aumentar§n po r qu e
au ment ar á ma t por . 1 te r mi no
" .n por el a umen to d e aR
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