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Cálculo integralActividad 1. Área entre curvas
Unidad 2. Aplicaciones de la integración
Julio César Hernández Cruzal11503387Desarrollo de software
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1. Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas.2. Decide si integrar con respecto a x o y.3. Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho.4. Calcula el área de la región de las siguientes funciones:
a).
y=x 2, y=4 x x=0, x=4 donde se cruzan22=4 < 4 (2)=8
A=∫0
4
[ 4 x−x2]dx= 4 x2
2− x
3
3 ∣0
4
2 x2− x3
3 ∣0
4
=32−643
=96−643
=323
≈10.67μ2
b).
y= x+1, y=9−x2 , x=−1, x=20+1=1 < 9−02=9
A=∫−1
2
[9−x2−(x+1)]dx
=∫−1
2
[−x2− x+8]dx=−x3
3− x
2
2+8 x∣
−1
2
=−2 x3−3 x2+48 x6 ∣
−1
2
=−2(2)3−3(2)2+48 (2)
6−(−2(−1)3−3(−1)2+48(−1)
6 )=−16−12+96
6−(2−3−48
6 )=68
6+49
6=117
6=72=19.5μ2
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c).
y=x , y=3 x , x+ y=4 y=4−xx=0 y1=0 , y 2=0 , y3=4x=1 y1=1, y2=3 , y3=3x=2 y1=2 , y2=9, y3=2
12
< 32
32
< 4−32=9
2[0,1] y1< y2, [1, 2] y1< y3
A=∫0
1
[3 x−x ]dx+∫1
2
[4− x−x ]dx
=∫0
1
2 xdx+∫1
2
4−2 x dx
= x2∣01+4 x− x2∣1
2=1+4−3=2μ2
d).
y= 1x, y= 1
x2 , x=2
x=1 y1=1 y2=11
(32)
=23
> 1
(32)
2 =1
(94)
=49
y1 > y2
A=∫1
2 1x− 1x2 dx=ln∣x∣−(−x−1)∣1
2
= ln∣x∣+1x∣1
2
≈1.19−1≈0.19μ2
e).
y=4 x2, y= x2+34 x2=x2+3 3x 2=3 x2=1 x=±1
4(0)2=0 < 02+3=3y1< y2
A=∫−1
1
[ x2+3−4 x2] dx=∫−1
1
[3−3 x2] dx
=3 x−x3∣−11
=2−(−2)=4μ2
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f).
y= x√ x2−9 , y=0, x=5x √ x2−9=0 x2=9 x=±3
x √42−9 > 0
A=∫3
5
x√ x2−9dx=12∫0
16
√udu= 12⋅u
32
32 ∣
0
16
= √u3
3 ∣0
16
=√40963 =
643 ≈21.33μ2
g).
y= x3−x , y=3 xx3−x=3 x x3−4 x=0
x (x2−4)=0 x=0 x=±213−1=0 < 3(1)=3
y1< y2
A=∫0
2
[3 x−( x3−x)] dx=∫0
2
4 x− x3dx
=2 x2− x4
4 ∣0
2
=8−164
=164
≈4μ2
h).
y=cos x , y=sec2 x , x=−π4, x=π
4cos (0)=0 < sec2(0)=1
A=∫−π
4
π4
sec2 x−cos x dx= tan x−sin x∣−π4
π4
=tan( π4 )−sin( π4 )−(tan(−π
4 )−sin(−π4))
≈1−0.7071−(−1+0.7071)≈0.29−(−0.29)=0.58μ2
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i).
y=sin x , y=sin (2 x ) , x=0, x=π/2sin (1)≈0.8414 < sin (2(1))≈0.9092
y1< y2
A=∫0
π/2
sin (2 x )−sin x dx
=−cos (2 x )
2+cos x∣
0
π2
=−cos(2( π2 ))
2+cos( π2 )−(− cos(0)
2+cos (0))
=12+0−(−
12+1)=1
2 −12=0μ2
j).
y=e x , y=x , x=0, x=1
e12≈1.65 > 0.5y1> y2
A=∫0
1
e x−x dx=e x− x2
2 ∣0
1
≈2.72−0.5−1≈1.22μ2