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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA“Norte de la Universidad Peruana”
SECCIÓN JAÉNFACULTAD DE INGENIERÍA
INTEGRALES MULTIPLES
Como anteriormente se trato sobre el área comprendida entre la gráfica de una función positiva: y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x = b.
Dicha área se representaba como
∫a
b
f ( x )dx.
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INTEGRALES DOBLES SOBRE UN RECTANGULO
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INTEGRALES DOBLES
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Teorema: Cualquier función continua sobre un rectángulo es integrable
PROPIEDADES DE LA INTREGRAL DOBLE
INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MAS GENERALES
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Sea D una región de tipo I, II ó III. Sea z = f(x,y) una función continua.
Consideremos una región del tipo I. Entonces:
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Análogamente consideremos una región del tipo II, se tiene:
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INTEGRAL TRIPLE
Definición:
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Propiedades de las integrales triples
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CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES
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Teorema del cambio de variable para integrales dobles
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CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
JACOBIANO
COORDENADAS CILÍNDRICAS
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Cambio a Coordenadas Cilíndricas
Diferencial de Volumen en Coordenadas Cilíndricas
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Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas
COORDENADAS ESFERICAS
Cambio a Coordenadas Esféricas
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Diferencial de Volumen en Coordenadas Esféricas
Integrales Triples en Coordenadas Esféricas
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
A. Masa de un Sólido
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B. Momentos de Primer Orden
C. Centro de Masa
D. Momentos de Inercia de una Región Sólida
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Propiedades
PRACTICA N º01 ANALISIS MATEMATICO III
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1)Hallar el valor de las siguientes integrales.
a) ∫0
π /2
∫0
y
(cos2 y ) √1−k2 senx dxdy 0<k2<1
Solución:
1º gráfica:
¿∫0
π /2
∫x
π /2
[cos (2 y ) ]√1−k2 sen2 x dydx
¿∫0
π /2
√1−k2 sen2[ sen2 y2 ]
x
π /2
dx
¿∫0
π /2 √1−k2 sen2
2(−sen2x )dx
¿∫0
π /2 √1−k2 sen2
2(−2 senxcosx )dx
Sea: 1−k2 sen2 x=u
-2k 2 senxcosxdx=du
−2 senxcosxdx=du
k2
I=∫ √u2k2
= 12k 2
u32
32
= u32
3k2=
(1−k 2sen2 x )32
3k 2
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I=1
3k2 [(1−k2 sen2π2 )
32−(1−k 2 sen20 )
32 ]
I= 1
3k2[√(1−k2 )3−1 ]
I=(1−k 2 )
32
3k2…………………………………….Rpta
b)∫0
π2
∫0
senx
(1+ 1
√1− y2 )dydx
¿∫0
π2
[ y+arcseny ]|0senx
dx
¿∫0
π2
( senx+ x )dx
¿(−cosx+ x2
2 )0
π2
¿ [(−cos π2 + π 2
8 )— cos0+02)]¿2.234………………………………………. Rpta
c ¿T=∫0
a
∫0
√a2−x2
∫0
√a2−x2− y2
√a2−x2− y2dzdydx
Solución:
1 ºpaso :
-transformandoa cilindricas :
0≤ x≤a
0≤ y≤√a2−x2…………………………. y=0 ; y2+x2=a2
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0≤ z≤√a2−x2− y2……………………z2+x2+ y2=a2
x=rcosθ
y=rsenθ
Z=z………..J (r ,θ , z )=r
T={(r , θ , z )0
≤r≤a;0≤θ≤π2,0≤z ≤√a2−r2}
2 ºpaso :
Grafica:
3 ºpaso :
T=∫0
a
∫0
π2
∫0
√a2−r2
r √a2−r2dzdθdr
T=∫0
a
∫0
π2
r (a2−r2 )dθdr
T=∫0
a
r (a2−r2 ) π2dr
T=( a2r22 − r4
4 )|0
a
T=π2 ( a42 −a4
4 )
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XY
Z
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T=π a4
8…………………………………………. Rpta
d ¿∭ dxdydz, S limitado por los tres coordenados, z=x2+ y2 y el plano x+ y=1.
Solución:
1º grafica:
2ºdesarrollando la integral:
v=∫0
1
∫0
1−x
∫0
x2+ y2
dzdydx
v=∫0
1
∫0
1−x
(x2+ y2 )dydx
v=∫0
1
[ x2 y+ y3
3 ]0
1−x
dx
v=∫0
1 [ x2 (1−x )+ (1−x )3
3 ]dxv=∫
0
1 [ x2−x3+[1−x3−3 x (1−x ) ]
3 ]dxv=13∫0
1
[3 x2−3x3+1−x3−3x+3 x2 ]dx
v=13∫0
1
[6 x2−4 x3+1−3x ] dx
v=13 [2 x3−x4+x−
3 x2
2 ]0
1
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v=13
[2−1+1−3 /2 ]
v=16u3………………………………………… ..Rpta .
e)∫∫∫¿¿¿¿, siendo z la región entre x2+ y2+z2=a2 y x2+ y2+z2=b3, a>b>0
a) Grafica:
b) transformación
T=|X=δsen∅ cosθy=sen∅ senθ
z=δcosθ
j (δ ,θ ,∅ )=δ 2 senθ
T={(δ ,θ ,∅ ) /b≤δ ≤a0≤θ≤2π 0≤∅ ≤π2 }
V=∫b
a
∫0
2 π
∫0
π2
(δ−3)δsenθd∅ dθdδ
V=∫b
a
∫0
2 π
−δ−1 cos∅|π20 dθdδ
V=∫b
a
∫0
2 π
−δ−1dθdδ
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X
Y
Z
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V=2π∫b
a
δ−1dδ
V=2πlnδ|abV=2π ln ( a
b)u3
f ¿∭s
√ x2+ y2+z2dzdydx, S es el sólido limitado por las superficies:
z=3∇ z=√x2+ y2
Transformando a cilíndricos:
x=sinφ cosθ
y=sinφ sinθ
z=cos φ
J ( , θ ,φ )=❑2sinφ
Entonces: z=√ x2+ y2
❑2cos2φ=❑2sin2φ sin2θ+❑2 sin2φ cos2θ
cos2φ=sin2φ (sin¿¿2θ+cos2θ)¿
tan2φ=1
tanφ ¿1 , entonces φ=π4
→z=3
cos φ=3
cosπ4=3
¿3√2
Donde:
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T={( ,θ ,φ )0
≤≤3√2;0≤θ≤2 π ;0≤φ≤ π /4 }De:
∭s
√ x2+ y2+z2dv
→∫0
3√2
∫0
2π
∫0
π /4
(❑2 sinφ )dφdθd
∫0
3√2
∫0
2π
−❑3( √22
−1)dθd
2π ∫0
3√2
❑3( 2−√22
)d
v=149.1u3
g)∭s
(x2+ y2)dxdydz, S limitado por: x2+ y2=2 z , z=2
Solucion
Transformando a cilindricos.
x=r cosθ J (r ,θ , z )=r
y=rsinθ
z=z
T={(r ,θ , z )/0≤r≤2 ,0≤θ≤2π ,r2
2≤z ≤2}
∫0
2
∫0
2 π
∫r2
2
2
r2(r)dzdθdr
∫0
2
∫0
2 π
r3(2− r2
2)dθdr
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2π∫0
2
(2 r3− r5
2)dr
v=16 π3
u3
2) Calcular el área de la región acotada por las curvas: y2 = 2x y x2 + y2 – 4y =0
Desarrollando la integral tenemos:
3) Calcular el área de la región limitada por las curvas:
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1º Transformado a coordenadas polares
x = r.cosθ
y = r.senθ
Representan un lemniscata y una circunferencia
2º Integrando
4) Calcular el área de la región limitada por las curvas: xy=4; xy=8; xy3=15; xy3=5
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5) Calcular el volumen del solido limitado por las superficies:
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6) Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies:
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18) Hallar el volumen del solido común a las dos esferas:ρ = 2˄ ρ = 2√2cosφ
SOLUCION
X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ
E1: ρ = 2→x2 + y2 +z2 = 4
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E2:ρ = 2√2cosφ→ x2 + y2 +z2 = 2√2 z
x2 + y2 +(z−√2)2 = 2
Interceptando Grafica
ρ = 2 = 2√2cosφ y
→φ = π4
TRANSFORMANDO φ = π4
PARA E1 2√2
0≤θ≤2 π
0≤φ≤2π
0≤ ρ≤2
PARA E2 ρ = 2√2cosφρ = 2
0≤θ≤2 π 2 x
π4≤φ≤
π2
0≤ ρ≤2√2cos φ
E1 U E2
V (S)= ∫0
2π
∫0
π4
∫0
2
ρ2Senφdρdφdθ + ∫0
2π
∫π4
π2
∫0
2√2cosφ
ρ2Senφdρdφdθ = π3
(16 - 6√2 )
V (S)= π3
(16 - 6√2 )
19) Hallar el volumen del solido común a la esfera ρ = a y al cono
φ=α, donde 0≤α ≤π2
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2
E1
E2
0
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SOLUCION
X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ z
E1: ρ = a→ x2 + y2 +z2 = a2
φ=α : tagφ=tanα = √x2+ y2
z = z tanα = √ x2+ y2
0≤θ≤2 π
0≤φ≤α, pero 0≤α ≤π2
0≤φ≤π2
y
0≤ ρ≤a
V (S)= ∫0
2π
∫0
π2
∫0
a
ρ2Senφdρdφdθ
V (S)= 2a3π3
x
20) Hallar el volumen del solido limitado por la superficie con ecuación:
¿ = a3 x , a¿0
SOLUCION
X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ
x2+ y2+z2= ρ2
REMPLAZAMOS EN LA ECUACION
¿ = a3 x
¿ = a3ρ cos φ
ρ3=a3 cosφ
ρ=a 3√cosφ
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→ x≥0 : cos φ≥0→0≤φ≤π2
0≤θ≤2 π
0≤φ≤2π
0≤ ρ≤a 3√cos φ
V (S)= ∫0
2π
∫0
π2
∫0
a 3√cosφ
ρ2Senφdρdφdθ
V (S)= a3π3
21) Hallar el volumen por encima del cono x2 + y2 = z2 y dentro de la esfera ρ = 2√2cosφ
X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ z
x2 + y2 +z2 = 2a z
x2 + y2 +¿= a2
0≤θ≤2 π
0≤φ≤π
0≤ ρ≤a
y
V (S)= ∫0
2π
∫0
π
∫0
a
ρ2Senφdρdφdθ
V (S)= 4 a3π3
x
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22. Hallar el centroide de la región limitada por la parte superior de la elipse 25x2 + 16y2 = 400 y por la parte superior por el eje X.
Como es simétrico respecto al eje y, el centro será:C (4/3; 0)
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23. Hallar el centro de masa del sólido dentro del paraboloide x2 + y2 = z y fuera del cono x2 + y2 = z2. La densidad del volumen es constante.
1º. En forma cartesiana resulta
2º. Transformado a Coordendas Cilíndricas:
T={(r , θ , z )/0≤r ≤1 ;0≤θ≤2π ;r2≤ z ≤r }
3º. Como existe simetría respecto al eje x, y. Además son nulos.Es decir C (0, 0, z)
a) Para: z=M xy
V
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Por lo tanto, C = (0; 0; 0.5)
24. Hallar el centro de masa del sólido limitado por las superficies: z2 = x2 + y2,
x2 + y2 + z2 = a2 sobre el cono, la densidad des constante.
1º. Existe simetría respecto al eje x, y.Entonces; C (0, 0, z)
z=M xy
V2º. Puntos de intersección:
De la gráfica: z=a
√2
V=∭ dV
3º. Transformando a coordenadas esféricas
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