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Arcoseno hiperbólico. Definición, fórmula y
gráfica.José de Jesús García Ruvalcaba
UABC
Seno hiperbólico.
• Recordemos que el seno hiperbólico es la componente impar de la función exponencial:
sinh 𝑥 =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
Gráfica del seno hiperbólico.
• Notemos que es una función biyectiva:
sinh: −∞,+∞ → −∞,+∞
Por lo tanto, no necesita ningunarestricción para invertirse. Su inversa es la función arcoseno hiperbólico.
Gráfica del arcosenohiperbólico.
arcsinh: −∞,+∞ → −∞,+∞
Fórmula explícita para el arcosenohiperbólico.
• Sea 𝑦 = arcsinh 𝑥
𝑦 = arcsinh 𝑥
𝑥 = sinh 𝑦
𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
2
• Hay que despejar 𝑦.
Continuación.
𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
2
2𝑥 = 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
0 = 𝑒𝑦 − 2𝑥 − 𝑒−𝑦
𝑒𝑦 − 2𝑥 − 𝑒−𝑦 = 0
𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒𝑦 − 1 = 0
Continuación.
𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒𝑦 − 1 = 0
𝑒𝑦 =− −2𝑥 ± −2𝑥 2 − 4 1 −1
2 1
𝑒𝑦 =2𝑥 ± 4𝑥2 + 4
2
Continuación.
𝑒𝑦 =2𝑥 ± 4𝑥2 + 4
2
𝑒𝑦 =2𝑥 ± 4 𝑥2 + 1
2
𝑒𝑦 =2𝑥 ± 2 𝑥2 + 1
2
𝑒𝑦 = 𝑥 ± 𝑥2 + 1
Desigualdades necesarias.
𝑥 + 𝑥2 + 1 > 0
𝑥 − 𝑥2 + 1 < 0
𝑒𝑦 > 0
𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 + 1
Como ejercicio, demostrar las primeras dos desigualdades.
Conclusión.
𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 + 1
𝑦 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1
arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1
𝑥 ∈ −∞,+∞
Resumen
arcsinh: −∞,+∞ → −∞,+∞
arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1