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1
Análisis Matemático I Profesora: Betina Williner
Clasificación de funciones
Clasificaremos los distintos tipos de funciones teniendo en cuenta la operación que
realizamos sobre la variable independiente.
EnterasRacionales
ALGEBRAICASFraccionarias
Irracionales
FUNCIONES
Exponenciales
Logarítmicas
TRASCENDENTES Trigonométricas (directas e inversas)
Hiperbólicas
Módulo
Parte entera/mantisa
Signo
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Una función es algebraica si se puede formar mediante las operaciones algebraicas(suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces).
FUNCIONES RACIONALES ENTERAS
A las funciones racionales enteras también las llamamos polinomios. Estas funcionestienen la siguiente forma:
02
210 ...)( Ν∈∧∈++++= n Ra xa xa xaa x P i
n
n
Los ai son los llamados coeficientes del polinomio, n es entero no negativo y si an ≠ 0decimos que P es un polinomio de grado n. Las funciones polinómicas tienen dominioel conjunto de los números reales R. Son ejemplos las siguientes:
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2
73
2124
3
53)(
78.514
32)(
x x xQ
x x x x P
−+=
−+−=
π
P es un polinomio de grado 12 y Q es un polinomio de grado 7. Nosotros ya trabajamos con funciones polinómicas de grado 0 (las funcionesconstantes), polinomios de grado 1 (y = m x +b) cuya gráfica es una recta y polinomiosde grado 2 (y = a x2 +b x + c), cuya gráfica es una parábola.
Las funciones de la forma n x x f y == )( , donde n es natural, se suelen llamar funciones potenciales o de potencias (son un caso particular de polinomios). Graficamos acontinuación alguna de ellas:
n impar (en este caso R I D f f == , son funciones biyectivas e impares)
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
y
y= x5
y= x3
y=x
n par (en este caso [ )+∞== ,0, f f I R D , son funciones pares)
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3
-2 -1 0 1 2
x
1
2
3
4
5y
y= x6
y= x4
y= x2
Observación: algunos autores consideran que el exponente n puede tomar cualquier valor real, nosotros lo consideraremos natural.
FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS
Estas funciones son cociente de polinomios, es decir tienen la forma:
)(
)()(
xQ
x P x f = donde P y Q son polinomios
El dominio de toda función racional es el conjunto de todos los números reales para loscuales 0)( ≠ xQ . En símbolos: }0)(/{ ≠∈= xQ R x D f
Por ejemplo: la función4
12)(
2
24
−
+−=
x x x f es una función racional fraccionaria con
dominio }2,2{}22/{ −−=−≠∧≠∈= R x x R x D f .
La función racional fraccionaria1
2)(
2+
=x
x g tiene dominio R ya que su denominador
no se anula en el conjunto de números reales.
Dentro de esta clase de funciones tenemos las homográficas, que tienen la forma:
0,0 ≠−≠+
+= bcad c
d cx
bax y
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4
con dominio }/{},/{ ca R I cd R D f f −=−−= . Por ejemplo: y = 1/x con gráfica:
-2 -1 1 2x
-4
-2
2
4
y
FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Son aquellas funciones en las que la variable independiente está afectada por una raíz oexponente fraccionario. Entre ellas:
x y = con dominio [ )+∞= ,0 f D y cuyo gráfico es:
-1 1 2 3 4x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
3
x y = cuyo dominio es Df = R y cuyo gráfico es:
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5
-2 -1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Así tenemos las funciones del tipo n x y = donde n es natural:
n impar (distinto de 1) (en este caso R I D f f == , son funciones biyectivas e impares)
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
y= x7
y= x5
y= x3
n par (en este caso [ )),0 +∞== f f I D
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6
-1 1 2 3 4x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0y
y= x6
y= x4
y= x
FUNCIONES TRASCENDENTES
FUNCIONES EXPONENCIALES
Son aquellas funciones que tienen la forma xa x f y == )( donde 1≠∧∈+ a Ra .
Todas las funciones exponenciales xa x f y == )( tienen dominio Df = R e imagen),0( +∞= f I
Estas funciones tienen distintas características dependiendo del valor de a.Consideramos los casos a > 1 y 0 < a < 1.
a > 1
Graficamos las funciones x x y y 3,2 == , x y 4=
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7
-3 -2 -1 1 2 3
x
2
4
6
8
10
12
14
y=4 x
y=3 x
y=2 x
Observamos que:- Son funciones crecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje y en (0,1)- No tienen intersección con el eje x.
0<a<1
Graficamos las funciones x x
y y
=
=
3
1,
2
1,
x
y
=
4
1
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8
-3 -2 -1 1 2 3
x
5
10
15
y=H1ê4L x
y=H1ê3L x
y=H1ê2L x
Observamos que:- Son funciones decrecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje y en (0,1)- No tienen intersección con el eje x
- No tienen paridad definida.
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Las funciones del tipo x x f y alog)( == donde 1≠∧∈+ a Ra , se llaman funciones
logarítmicas. Recordemos que: xa x y y
a =⇔= log (son inversas de las funciones
exponenciales)Todas las funciones logarítmicas x x f y alog)( == tienen dominio ),0( +∞= f D e
imagen If = R Al igual que las funciones exponenciales, tienen distintas características dependiendodel valor de a. Consideramos los casos a > 1 y 0 < a < 1.
a>1
Graficamos las funciones x y x y x y 432 log,log,log ===
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9
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x
-4
-3
-2
-1
1
2y
y=log4x
y=log3x
y=log2
x
Observamos que:- Son funciones crecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje x en (1,0)- No tienen intersección con el eje y
0<a<1
Graficamos las funciones x y x y x y 4/13/12/1 log,log,log ===
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10
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x
-2
-1
1
2
3
4
5y
y=log1ê4x
y=log1ê3x
y=log1ê2x
Observamos que:- Son funciones decrecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje x en (1,0)- No tienen intersección con el eje y
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función seno
La función senx= tiene el siguiente gráfico:
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11
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
Características:
- [ ]1,1Im, −== R Dom - Es impar: senx x sen −=− )(- No es inyectiva- }/{ Ζ ∈=ℜ∈= k k x xCeros π - Periódica de período π 2 . Es decir: Ζ ∈=+ k senxk x sen )2( π
Función coseno
La función xcos= tiene el siguiente gráfico:
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-
1.0
-0.5
0.5
1.0
y
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12
Características:
- [ ]1,1Im, −== R Dom - Es par: x x cos)cos( =− - No es inyectiva
- }2
)12(/{ Ζ ∈+=ℜ∈= k k x xCerosπ
- Periódica de período π 2 . Es decir: Ζ ∈=+ k xk x cos)2cos( π
Identidades importantes para recordar
x
senxtgx
cos=
senx
x gx
coscot =
x x
cos
1sec =
senxecx
1cos =
1cos22=+ x x sen
Función tangente
La función y = tg x tiene el gráfico:
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-6
-
4
-2
2
4
6
y
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13
Sus características principales son:
- Rk k x x R Dom =Ζ ∈+=ℜ∈−= Im}2
)12(/{π
- Es impar: tgx xtg −=− )(
- No es inyectiva- }/{ Ζ ∈=ℜ∈= k k x xCeros π - Periódica de período π . Es decir: Ζ ∈=+ k tgxk xtg )( π
Función cotangente
La función y = cotg x tiene el gráfico:
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-6
-4
-2
2
4
6
y
Sus características principales son:
- Rk k x x R Dom =Ζ ∈=ℜ∈−= Im}/{ π - Es impar: gx x g cot)(cot −=−
- No es inyectiva
- }2
)12(/{ Ζ ∈+=ℜ∈= k k x xCerosπ
- Periódica de período π . Es decir: Ζ ∈=+ k gxk x g cot)(cot π
Función secante
La función y = sec x tiene el gráfico:
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14
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-6
-4
-2
2
4
6
y
Sus características principales son:
- ( ] [ )+∞∪−∞−=Ζ ∈+=ℜ∈−= ,11,Im}2
)12(/{ k k x x R Domπ
- Es par, es decir: x x sec)sec( =− - No es inyectiva- No tiene ceros- Periódica de período π 2 : Ζ ∈=+ k xk x sec)2sec( π
Función cosecante
La función y = cosec x tiene el gráfico:
-2 p -3 p
2-p -
p
2
p
2p
3 p
22 p
x
-5
5
y
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15
Sus características principales son:
- ( ] [ )+∞∪−∞−=Ζ ∈=ℜ∈−= ,11,Im}/{ k k x x R Dom π - Es impar, es decir: ecx xec cos)(cos −=− - No es inyectiva- No tiene ceros- Periódica de período π 2 . Es decir: Ζ ∈=+ k ecxk xec cos)2(cos π
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Función seno hiperbólico
La función seno hiperbólico se define:2
x xee
Shx y−
−== Su gráfico es:
-4 -2 2 4x
-40
-20
20
40y
Sus características principales:
- ℜ=ℜ= Im Dom
- Es biyectiva e impar - }0{=Cero
Función coseno hiperbólico
La función seno hiperbólico se define:2
x xee
Chx y−
+== Su gráfico es:
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16
-4 -2 2 4x
-5
5
10
15
20
25
30y
Sus características principales:
- [ )+∞=ℜ= ,1Im Dom - No es inyectiva y es par - No tiene ceros
Identidades importantes para recordar
Chx
ShxThx = Shx
ChxCothx = 122=− xSh xCh
Función tangente hiperbólica
La función tangente hiperbólica se define: x x
x x
ee
ee
Chx
ShxThx y
−
−
+
−=== Su gráfico es:
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17
-4 -2 2 4x
-
1.0
-0.5
0.5
1.0
y
Sus características principales:
- ( )1,1Im −=ℜ= Dom - Es biyectiva e impar - }0{=Cero
FUNCIÓN MÓDULO
La función módulo o valor absoluto se define:
<−
≥==
0
0
x x
x x x y
Su gráfico es:
-4 -2 2 4 x
1
2
3
4
5
y
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18
Y sus principales características:
- [ )+∞=ℜ= ,0Im Dom - Es par
- No es inyectiva
FUNCIÓN SIGNO
La función signo se define:
<−
>==
01
01
x
x
x
x y
Su gráfico es:
-4 -2 2 4x
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
y
Sus principales características:
- }1,1{Im}0{ −=−ℜ= Dom - No es inyectiva
- Es impar
FUNCIÓN PARTE ENTERA
Definimos como parte entera de un número real x al mayor número entero que es menor o igual que él. Lo denotamos con [ ] x Así se cumple la siguiente desigualdad:
[ ] [ ] 1+<≤ x x x
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19
Por ejemplo:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 3569,35363669,35
34444
92,910102,9
1467,1451451457,145
4897,333897,3
−<−≤−−=−
−<−≤−−=−
−<−≤−−=−
<≤=
<≤=
porque
porque
porque
porque
porque
La función parte entera es f(x) = [ ] x y su gráfico:
Características:
- Z R Dom == Im
- No es inyectiva- No tiene paridad definida
FUNCIÓN MANTISA
La mantisa de un número real x, que se indica mant(x), se define como la diferencia dedicho número y su parte entera, es decir [ ] x x xmant −=)( . En los ejemplos anteriores:
31,0)36(69,35)69,35(
0)4(4)4(8,0)10(2,9)2,9(
7,01457,145)7,145(
897,03897,3)897,3(
=−−−=−
=−−−=−
=−−−=−
=−=
=−=
mant
mant
mant
mant
mant
La función y = f(x) = mant(x) tiene el siguiente gráfico:
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20
[ )1,0Im == R Dom , no es inyectiva y no tiene paridad definida.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Función arcoseno
Ya hemos visto que la función f(x) = sen(x) no es inyectiva en su dominio. Para poder calcular la función inversa debemos restringir el dominio, es decir, definirla en unintervalo donde sí sea inyectiva. Por convención, tomamos
[ ] senx x f f =−→
− )(/1,1
2,
2:
π π , cuyo gráfico es:
Esta función es biyectiva, por lo tanto tiene función inversa. Para hallarla debemosdespejar x en la igualdad y = sen(x). La forma de hacerlo es la siguiente
arcseny x senx =⇔= , es decir x es el ángulo cuyo seno vale y. Ésta es la funcióninversa, que expresándola en las variables correspondientes queda:
[ ] arcsenx x f f =
−→−
−− )(/2
,2
1,1: 11 π π
Por ejemplo:
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21
2
1
662
1 2
2
442
2
122
1
−=
−−=
−
==
==
π π
π π
π π
sen porquearcsen
sen porquearcsen
sen porquearcsen
El gráfico de esta función es:
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-p
2
-p
4
p
4
p
2
y
Graficando las dos funciones:
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
y=
x
y=senx
y=arcsenH
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22
Función arcocoseno
Las mismas consideraciones que hicimos para definir la función arcoseno, debemoshacerlas para definir la función arcocoseno. Tenemos que encontrar un intervalo dondela función y = cos x sea inyectiva. En este caso por convención se toma [ ]π ,0
Entonces [ ] [ ] [ ] [ ] x x f f x x f f arccos)(/,01,1:cos)(/1,1,0: 11 =→−=−→ −− π π
La gráfica de f(x) = cos x en ese intervalo es:
p
2p
x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
La gráfica de f -1(x) = arccos (x) :
-1.0 -0.5 0.5 1.0 x
p
2
p
y
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23
Los dos gráficos juntos:
-1 1 2 3x
-1
1
2
3
y
Función arco tangente
En este caso, por convención tomamos:
arctgx x f R f tgx x f R f =
−→⇔=→
−
−− )(/2
,2
:)(/2
,2
: 11 π π π π
El gráfico de f -1(x) = arctg x es:
-5 5x
-2
-1
1
2y
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24
Transformaciones de funciones
Podemos graficar muchas funciones conociendo éstas últimas (racionales, irracionales,trascendentes) y diferentes transformaciones que se pueden realizar sobre ellas.Tenemos distintos tipos de movimientos:
- Desplazamientos o traslaciones verticales y horizontales- Reflexiones respecto al eje x y al eje y.- Contracciones y dilataciones verticales y horizontales
Desplazamientos o traslaciones verticales y horizontales
Si a una función le sumamos un número “c” obtenemos un desplazamiento vertical: si ces positivo, la curva se traslada hacia arriba, si c es negativo, hacia abajo. Veamos un
ejemplo con la función x y = . Graficaremos en el mismo par de ejes
2,3, −=+== x y x y x y . La primera es la función original, la segunda es unatraslación de la misma 3 unidades hacia arriba y la tercera dos unidades hacia abajo:
Si queremos realizar un desplazamiento horizontal hacemos: )( c x f y −= Si c es positivo se traslada c unidades hacia la derecha y si c es negativo, -c unidades a la
izquierda. Con esta misma función graficamos 1,1 +=−= x y x y . La primera es la
traslación de x y = una unidad hacia la derecha y la segunda una unidad hacia laizquierda:
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25
Entonces, para recordar:
Desplazamientos horizontales y verticales sea y = f(x)
c x f y += )( es el desplazamiento de )( x f y = c unidades hacia arriba si c >0 y –cunidades hacia abajo si c<0
)( c x f y −= es el desplazamiento de )( x f y = c unidades hacia la derecha si c >0 y –cunidades hacia la izquierda si c<0
Reflexiones
Si queremos reflejar la curva )( x f y = respecto al eje x, hacemos: )( x f y −= Si queremos reflejar la curva )( x f y = respecto al eje y, hacemos: )( x f y −=
Realicemos estos movimientos en la función y = lnx. Primero la reflexión respecto aleje x:
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26
Ahora respecto al eje y:
Contracciones y dilataciones verticales y horizontales
Supongamos que queremos “alargar” o “comprimir” una función en forma vertical. Por ejemplo, grafiquemos la función y = sen x. Para “alargarla” o dilatarla en forma verticaldebemos multiplicarla por un factor c, con c>1. Para comprimirla o contraerlaverticalmente, debemos multiplicarla por un factor c, con 0<c<1. Veámoslográficamente:
Por último, si queremos contraer o dilatar una función genérica y = f(x) en formahorizontal, debemos hacer y = f(cx), con c>1 y 0<c<1, respectivamente. Continuemoscon el ejemplo de la función y = senx:
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27
Para recordar:
Sea y = f(x) una función cualquiera, c>0 un número real positivo:
- y = c f(x) es una dilatación vertical (o alargamiento vertical) de la función f enun factor c, si c>1
- y = c f(x) es una contracción vertical (o comprensión vertical) de la función f enun factor c, si c<1.
- y = f(c x) es una contracción horizontal (o compresión horizontal) de la funciónf en un factor c, si c>1.
- y = f(c x) es una dilatación horizontal (o alargamiento horizontal) de la funciónf en un factor c, si c<1.