apunte funciones transferencias pasivas ii ok

Síntesis de funciones transferencias pasivas (II) Teoría de Circuitos

SÍNTESIS DE TRANSFERENCIAS PASIVAS (II)

Supongamos tener una función transferencia con polos en S = j .

Siempre tenemos que, una función transferencia de tensiones, a circuito abierto está determinada por:

Si D(s) tiene raíces complejas conjugadas, entonces Z11 o Y22 deben tener, también, sus ceros complejos conjugados en el semiplano izquierdo. Por lo tanto se trataría de un cuadripolo R-L-C.Podríamos hacer la síntesis, con el método gráfico del corrimiento de los ceros de Y22 (Z11) para obtener la Y21 (Z21) correspondiente al mismo cuadripolo; pero para admitancias (impedancias) con ceros complejos conjugados en el semiplano izquierdo, y no sobre un eje, éste método no se puede aplicar. Veamos, entonces, dos métodos nuevos para sintetizar estas redes:

1) Supongamos una función Transferencia de tensión con polos complejos conjugados:

Nos ocuparemos de transferencias pasabajos, pasalto o pasabanda, por lo tanto: N(s) = 1 Pasabajo de tercer orden N(s) = S Pasabanda de primer orden en el origen y de segundo orden en el infinito N(s) = S 3 Pasalto de tercer ordenPor ejemplo:

T(s)=.K S

S3 .a2

S2 .a1

S a0

Se puede implementar una red de éste tipo:

O sea un cuadripolo simplemente cargado, entonces, la transferencia de tensiones, considerando la resistencia unitaria y los parámetros admitancia del cuadripolo, será:

El denominador será, siempre, un polinomio completo, pues tiene raíces en el SPI. Luego, es siempre posible realizar Y22 dividiendo la parte par del polinomio denominador por la parte impar o viceversa para obtener una función reactancia.

En nuestro caso quedaría así:

_____________________________________________________________________________________________Página 1

T s( ) = N

D=

Z21

Z11

Y21

Y22

o

+ V1

N + V2 Rc = 1

V2

V1

=Y

21

Y22

1(1)


T(s)=

.K S

.a2

S2 a0

S3 .a1

S

.a2

S2 a0

1

Comparando con la expresión (1), hacemos:

Y21

=.K S

.a2

S2 a0

Y22

=.S S2 a

1

.a2

S2 a0

Vemos que Y22 es una admitancia L-C. Nótese que si Y21 tiene numerador impar o par, también lo debe tener Y21 para que se pueda cumplir la condición de Fialkow, o sea que se debe tener en cuenta esto para realizar el cociente de las partes par e impar del denominador de T(s) para formar Y22. Ahora debemos sintetizar Y21 mediante Y22 y obtendremos un cuadripolo L-C:

Y21 __0________________X__________________________0___

Y22 __0________________X__________0_______________X___

Y1=Y22-KS __0________________X___________________________0___

Z1=1/Y1 __X________________ 0___________________________X___

Z2=Z1-K/S ___0_____________________________________________X_

Z3=Z2-KS=0 ___________________________________________________

Luego, el cuadripolo N tiene la siguiente configuración:

_____________________________________________________________________________________________Página 2


Para completar la red debemos cargar al cuadripolo con una resistencia unitaria:

2) En el método anterior se ha considerado, en la síntesis, la excitación como si fuera una fuente ideal. La misma síntesis se puede realizar considerando una fuente con impedancia interna resistiva pura. Ahora debemos considerar que el cuadripolo L-C está doblemente cargado, y con cargas resistivas puras:

La idea es sintetizar la función impedancia de entrada (V1/I1) para S = j, del cuadripolo cargado: Ze=Re + jXe, con los datos del problema:

Rg, Rc ,T(s)

Y luego sintetizarla.

Potencia activa entregada a toda la carga Ze: Pi = PLC + PC

Pi = .I

12 R

e

Potencia activa consumida en la carga Rc:

Como el cuadripolo es L - C, no consume potencia activa, por lo tanto, PLC = 0, por lo tanto, Pi = Pc. Y siendo:

Pi= .V

g2 R

e

Rg

Ze

2

Tenemos que:

_____________________________________________________________________________________________Página 3

V2

2

Rc

= .V

g2 R

e

Rg

Ze

2

Síntesis de funciones transferencias pasivas (II) Teoría de Circuitos Luego :

O sea:

Multiplicamos ambos miembros por:

y obtenemos:

..4 R

g

Rc

V2

Vg

= ..4 R

gR

e

Rg

2 ..2 Rg

Re

Re

2 Xe

2

Sumando 1, en ambos miembros, tenemos:

Llamamos al 2º miembro:

En la banda de paso es T(j) = constante y Ze = Rc, por lo tanto:

Si Rc = Rg tenemos j 0Si Rc Rg 0 tenemos j< 1

Cuando Rc = Rg, decimos que la carga está adaptada al generador. Se produce, entonces, la máxima transferencia de energía. En la carga no se puede disipar mayor energía que en esa situación, y j.Para todo otro valor de Rc tendremos j< (no hay adaptación entre el generador y la carga). En este caso en la carga se disipa menor energía que la máxima, y el resto se disipa en la resistencia interna del generador, como si se reflejara sobre ella. Por eso al factor j se le llama Coeficiente de reflexión.

En la banda de atenuación T(j) tiende a cero, por lo tanto:

Ze tiende a cero y j)tiende a 1 o Ze tiende a y j)tiende a 1

Veamos como podemos llegar a obtener expresiones matemáticas que nos permitan realizar la síntesis del cuadripolo doblemente cargado:

_____________________________________________________________________________________________Página 4

V2

Vg

2

= .R

cR

e

Rg

Ze

2

.4R

g

Rc

(1)

j( )( )2 =

Rg

Ze

2

Rg

Ze

2(2)


a) Partimos de la expresión (1): j)2

o sea:

luego, si hacemos = S/j nos queda:

Se puede separar (-S2) en el producto (S) (-S) solo si los polos y los ceros de (-S2) tienen simetría cuadrantal. Si se puede realizar esa separación y teniendo como datos Rg, Rc y la función transferencia

b) Como la idea es sintetizar la impedancia de entrada del cuadripolo cargado (Ze) vamos a buscar una relación entre Ze y (S). De la expresión (2) tenemos:

2 j desarrollando el cuadrado del módulo nos queda:

j -j Por lo tanto haciendo = S/j

s s

_____________________________________________________________________________________________Página 5

1 ...4R

g

Rc

T( )s T( )s

Rg

Ze

2

Rg

Ze

2

.( )Rg Ze( )jw ( Rg Ze( ( )jw.( )Rg Ze( )jw ( )Rg Ze( )jw

.( )Rg Ze( )s ( )Rg Ze( )s

.( )Rg Ze( )s ( )Rg Ze( )s

Rg Ze( )s

Rg Ze( )s

(a)(-S2) =

T S( ) =V

2

Vg

S( ) podremos determinar (S). De lo contrario la síntesis es irrealizable.

Síntesis de funciones transferencias pasivas (II) Teoría de Circuitos luego s

Es pues el módulo al cuadrado j2, es el mismo para las dos posibilidades. Despejando Ze tenemos dos funciones posibles: 1 - s 1 + s (b) Ze = Rg --------------- o Ze = Rg ---------------- 1 + s 1 - s

Utilizando las expresiones (a) y (b) podemos diseñar un filtro pasivo con los siguientes datos:

Rg (Resistencia interna del generador) Rc ( Resistencia de carga)

T(s) (Función transferencia a sintetizar)EJEMPLO:Sintetizar la siguiente función transferencia de tensiones mediante una red pasiva:

T(s) =

Rg = 300 Rc = 600

1) Usamos primero la expresión (a):

s -s

s s

s s

DETERMINACIÓN DE K:

_____________________________________________________________________________________________Página 6

K

S2 .2 S 1

1 .4Rg

RcT(s) T(-s)

1 .2K2

.S2 .2 S 1 S2 .2 S 1

S4 1 .2 K2

.S2 .2 S 1 S2 .2 S 1

Síntesis de funciones transferencias pasivas (II) Teoría de Circuitos Observando la T(s) vemos que es un pasabajos por lo tanto la mayor transferencia de tensiones la tiene para S = 0 que para una determinada aproximación, es la misma en toda la banda de paso.En esas condiciones, el circuito L-C, es “transparente”, y la red será:

Este valor, es el que asume el módulo para S = j, en toda la banda de paso.

Para el pasabajo se produce en S = 0

Para el pasalto se produce para S Para el pasabanda se produce en S = j1

por lo tanto: en el circuito

y en la función., por lo tanto K= 2 / 3 .

_____________________________________________________________________________________________Página 7

V2

Vg

= R

c

Rg

Rc

V2

Vg

.V

2

Vg

( )0 =R

c

Rc

Rg

=2

3

.V

2

Vg

( )0 = K

Donde:

Por lo tanto la transferencia será


Entonces: luego: - S2)=

Los 2n ceros de esta función deben presentar simetría cuadrantal respecto de los dos ejes del plano S. De lo contrario, no podremos decir que la mitad de 2n ceros es de s , y la otra mitad de - s ; por ejemplo:

a)

b)

0

En el caso a) se pueden separar los ceros en dos funciones s y -s :

s ) = y -s) =

En el caso b se tendrán dos funciones; pero no con ese tipo de numeradores, pues no tenemos simetría cuadrantal. Aquí no se puede separar los ceros de manera que resulte la misma función dos veces, una en s y otra en -s.Esto se puede observar en el ejemplo b. Cuando ocurre esto, la T(s) es irrealizable.

En nuestro caso tenemos:

Luego:

_____________________________________________________________________________________________Página 8

T(s)=

2

3

S2 .2 s 1

S4 1

9

S4 1

S2 .2 S 2

S2 .2 S 1

S2 .2 S 2

S2 .2 S 1

0 j1 0 En esta distribución el numerador de (s) es S2 + 2S + 2 y el de (-s) es -1 1 S2 - 2S + 2 0 -j1 0

En esta distribución hay un doble cero en el origen y un par conjugado en j1. j1 Un numerador podría ser S2 + 1 y el otro sería S2. Pero aquí no podríamos encontrar

dos numeradores con coeficientes reales uno en S y otro en –S.

-j1


S =

Se pueden elegir los ceros para s de cualquier semiplano; pero de manera que siempre los ceros que quedan formen - s .El denominador de s será, siempre, el de T(s) y el de - s será el de T(-s).

Ahora determinamos Ze. Las expresiones que nos daban Ze eran: 1 + s 1 - s a) Ze = Rg --------------; y b) Ze = Rg --------------- 1 - s 1 + s

Normalizamos Ze respecto de Rc, de modo que todos los elementos del circuito queden normalizados en impedancia respecto de Rc, y en frecuencia respecto, en este caso, de la frecuencia de corte, pues se trata de un pasabajo.

Ahora podemos explicitar las Ze:

a) Ze =

b) Ze =

En la expresión a) Ze(0) = 1 En la expresión b) Ze(0) = 0,25

Vemos que para S = 0, (y en toda la banda de paso), la expresión a), tiene el valor 1, o sea el valor de la Rc normalizada. Y la expresión b) el valor 0,25. Es decir que debemos usar la Ze de la expresión a) para la síntesis, pues es la que da el valor de la Rc normalizada. En general se normaliza el nivel de impedancia respecto de Rc.Entonces, de la expresión a) tenemos:

Ze =

T(s) es un pasabajo, todos los ceros están en infinito, por lo tanto, para S , debe ser V2 = 0.

De manera que la Ze, para S debe tener alguna rama en serie que se abra (polo de impedancia), o alguna rama en paralelo que se cortocircuite (polo de admitancia), si quisiéramos realizar la T(s) con una red escalera.

_____________________________________________________________________________________________Página 9

,0 .5,,.2 S2 2 .226S 1 3333

,,0 .594S 0 667

,0 .5,,0 .594S 0 667

,,.2 S2 2 .226S 1 3333

,,S2 1 .113 S 0 666

,,0 .594S 0 666

y (-S) =

Síntesis de funciones transferencias pasivas (II) Teoría de CircuitosUna red de este tipo se puede conseguir sintetizando los ceros de la T(s) a través de la Ze. En este caso vemos que la Ze tiene un polo en infinito, Si lo retiramos conseguimos, con esto, un cero de la transferencia en el infinito. Entonces retiramos el polo de Ze en ,un inductor, ( Cauer I ).

Seguimos aplicando Cauer I, mediante divisiones sucesivas, obtenemos el cuadripolo siguiente:

Hay que intentar los casos Pasalto y Pasabanda:

Para Pasalto: Para la determinación de K tenemos: En el circuito T() = RC/(RC + Rg) En la función T() = KLa síntesis de Ze se realiza con Cauer II, pues los ceros están, todos, en el origen.

Para Pasabanda (de 1er orden):Para la determinación de K tenemos: En el circuito T(j1) = RC/(RC + RG). En la función T(j1) = K/ 2. Siempre que la función T(s) esté normalizada respecto de la frecuencia media.-

La síntesis de Ze se realiza con Cauer I y Cauer II pues los ceros están en el origen y en el infinito.

_____________________________________________________________________________________________Página 10

0,5 1,6385

0,8932 1

apunte funciones transferencias pasivas ii ok

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