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APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA.
INTRODUCCION
Utilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de
carcter local de las funciones. El estudio de estas caractersticas nos facilitar la
representacin grfica de las mismas.
Se trata aqu de obtener informacin de las funciones a partir de su derivada.
A menudo la vida nos enfrenta al problema de encontrar un mejor modo de hacer
una determinada labor. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de
cultivos que sea la ms apropiada para obtener el mayor aprovechamiento.
Algunas veces un problema de esta naturaleza puede asociarse de tal manera que
involucre maximizar o minimizar una funcin sobre un conjunto especfico.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen
el clculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, deforma
independiente. Los conceptos son difciles y hasta bien entrado el siglo XIXno se
simplificaron. A ello contribuy la aparicin de una buena notacin, que es laque
usaremos. Las aplicaciones prcticas de esta teora no dejan de aparecer
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DESARROLLO DEL TEMA
LA DERIVADA
Si la ley de movimiento de una partcula puede ser expresada a travs de la
frmula , esto quiere decir que en cada momento , nos es posible
ubicar a dicha partcula en el eje , as, si quiero saber donde se encuentra la
partcula 1 despus de haber empezado el movimiento tengo que hacer la
siguiente operacin: , esto significa que 5 metros es lo que se ha
desplazado el vehculo un segundo despus de haber empezado a desplazarse.
De este modo podemos hacer esto para cualquier valor de .
Ahora, nos plantearemos resolver el siguiente problema: Encontrar la velocidad
instantnea de un vehculo que se desplaza siguiendo la ley donde
representa el desplazamiento del vehculo en un tiempo
Figura 1:
Podemos hacer esto para cualquier intervalo de tiempo, de este modo podemos
representar una posicin en un tiempo dado como un punto en el plano de la
siguiente manera: Tomemos dos rectas que se cortan en ngulo recto en el plano;
el punto de interseccin de estas rectas lo llamamos origen, a la recta horizontal la
llamamos eje del tiempo y a la recta vertical la llamamos eje de posicin .
Dividamos ambas rectas en varios segmentos de la misma longitud. Ahora
tomemos el caso anterior en el que para , , este instante en
el tiempo y el espacio queda representado por el punto formado por el punto
formado por la interseccin de las rectas horizontal que pasa a una altura 5 en el
eje de las posiciones y la recta vertical que pasa por el (ver figura 1). Si esto
lo hacemos para todo tiempo, notaremos que obtendremos una curva en el plano
que llamaremos grfica de la funcin.
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Vale la pena hacer hincapi aqu, en la construccin hecha hasta este momento.
1. Hemos representado el tiempo por una recta y cada segundo que
transcurre, por un punto de tal recta.
2. El desplazamiento en lnea recta del vehculo lo representamos como una
recta que corta al eje del tiempo formando un ngulo recto y cada punto de
este eje representa la distancia decorrida por el objeto.
3. Un punto del plano determina una posicin del vehculo para cada tiempo
determinado.
4. La grfica de la funcin representa el recorrido del vehculo en el tiempo.
Esto significa que una curva representa la evolucin en el tiempo de una
partcula.5. Tambin se debe notar lo siguiente: Estamos estudiando una partcula en
movimiento, es decir, una partcula material determinada en un espacio y
un tiempo dado. Espacio, tiempo, materia y movimiento, todos
independientes entre si, pero siempre estn unidos. No existe materia que
no ocupe lugar o que se encuentre esttica en el espacio y el tiempo.
Figura 2:
Prosigamos, ms abajo seguiremos sacando conclusiones de todo esto, pero para
ello tenemos que seguir avanzando en la solucin del problema.
Recordemos que el problema que queremos resolver, es encontrar la velocidad de
una partcula en un tiempo dado, es decir, encontrar su velocidad instantnea.
Pero, qu es la velocidad instantnea? cmo se determina? geomtrcamente
(abstracto), qu es la velocidad instantnea?
La velocidad instantnea es la velocidad que lleva la partcula en un tiempo
determinado. Para fijar ideas, consideremos una partcula que se mueve en lnea
recta siguiendo la ley dictada por la siguiente tabla.
2 1
4 2
6 3
8 4
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Observemosmos lo siguiente: La inclinacin de la grfica del movimiento de un
vehculo determina que tan rpido se desplaza esta. Para medir la inclinacin de la
grfica, tendremos que medir la inclinacin de la recta tangente a ese punto.
Entonces, podremos decir que la velocidad instntanea de un movimiento en un
tiempo dado , est dada por la pendiente del recta tangente, ya que esta
mide que tan inclinada se encuentra una grfica. (ver figura 4).
Figura 4:
Para determinar la pendiente de la recta tangente en emplearemos unmtodo inventado por Pierre Fermat. Lo notable de este mtodo es que l
empieza a hacer uso del movimiento en las matemticas.
Primero tomemos el punto de la grfica , en el cual se desea
encontrar la pendiente de la recta tangente, en nuestro caso y cualquier otro
punto de la grfica . A la recta que pasa por ambos puntos la llamamos
recta secante.
Ahora hagamos que se aproxime a . A este proceso lo llamamos tiende a
(notacin: ). Pedir todo esto es equivalente a pedir que el punto se mueva
sobre la grfica, de tal modo que se aproxime a sorpresa! la recta secante
formada por y tender a la recta tangente en esto significa que la
pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente cuando
( tiende a ). (ver figura 5).
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Figura 5:
Al proceso de encontrar la pendiente de la recta tangente de la grfica de una
funcin en un instante dado lo llamamos derivar.
Aqu describiremos con ms detalle todo lo anterior.
La pendiente de la recta (ver figura 6)secante est dada por:
Figura 6:
Segn lo anterior, el lmite de la pendiente de la recta secante es la pendiente de
la recta tangente cuando . Todo lo anterior se escribe de la siguiente
manera:
A la llamamos la derivada de con respecto a en
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En virtud de lo arriba sealado, la derivada no solamente mide la pendiente de la
recta tangente, si la funcin representa el desplazamiento de una partcula, la
derivada en el instante determina la velocidad instantnea cuando
Como ejemplo, determinaremos la velocidad de la partcula que sigue la funcin
de desplazamiento
Ahora si Esto significa que la partcula
lleva una velocidad de 10 metros sobre segundo despus de 1 segundo de
movimiento.
PRIMERA DERIVADA:
La primera derivada es la recta tangente a la curva. Es decir que podemos saber
la pendiente de una curva en cualquier punto.
En fsica la primera derivada de una funcin posicin (con respecto al tiempo) nos
da la velocidad.
SEGUNDA DERIVADA
Con la segunda derivada podemos saber intervalos de concavidad y puntos de
infexin.
En fsica cuando se deriva una funcin velocidad con respecto al tiempo
obtenemos la aceleracin.
Todo esto es importante en el trazado de curvas, problemas de fsica, problemas
de mximos y mnimos etc..
Prueba de la primera derivada
Funciones crecientes y decrecientes
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.
Una funcin que siempre es creciente odecreciente en un intervalo, se dice quees montona en ese intervalo.
En la figura de la izquierda se esboza la
interpretacin geomtrica del teorema:"Prueba de la primera derivada".
En la parte izquierda de la figura se tiene
un valor mximo relativo en c, y se observa
que f'(x)>0 parax
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P r o c e d i m i e n t oPara determinar los valores extremos relativos de una funcin seprocede de la siguiente manera:1. Se halla la derivada de la funcin: f'(x)2. Se hallan los #s crticos de la funcin, esto es los valores de xpara
los cualesf'(x) = 0 o para los cuales f' no existe.
3. Se aplica el criterio de la primera derivada
Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 14, proceda a lo siguiente: (a) obtenga los extremos relativos
de f aplicando la prueba de la primera derivada; (b) determine los valoresxen losque ocurren extremos relativos; (c) determine los intervalos en los que f escreciente; (d) determine los intervalos en los cuales f es decreciente; (e) trace lagrfica correspondiente.
S o l u c i o n e s
x f (x) f '(x) Conclusin
f decrece
0 ftiene un mnimo relativo
+ f crece
APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA(A MAXIMOS
Y MINIMOS)
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En la resolucin de problemas en el que se debe determinar el mximo o
mnimo de alguna expresin debe tomarse en cuenta los siguientes pasos:
Determinar la magnitud que debe hacerse mxima o mnima, y asignarle
una letra.
Hacer un dibujo cuando sea necesario
Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir
una ecuacin en la que se establezca lo que se debe hacer mximo o
mnimo.
Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuacin
(ecuacin auxiliar)
Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en trminos de
una sola variable utilizando para ello la ecuacin auxiliar. Determinar el
dominio de esta funcin.
Obtener la primera derivada de esta funcin para determinar los valores
crticos.
Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda
derivada, si los valores crticos son mximos o mnimos.
Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el
problema
Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geomtricas
Cuando se tiene la grfica de una funcin continua resulta bastante fcil
sealar en qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constante.
Sin embargo, no resulta fcil decir en que intervalo la funcin es creciente,
decreciente o constante sin la grfica de la funcin.
El uso de la derivada de una funcin puede ayudar a determinar si una
funcin es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para
esto, se necesita el teorema y la definicin a continuacin para mostrar
varios ejemplos.
Teorema: Sea f una funcin derivable en el intervalo (a,b). Luego,
i) Si f(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).
ii) Si f(x)f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce
como un valor mximo (o mximo absoluto) de f.
Si f(c) es el mximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su
mximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto ms alto de la
grfica.
Anlogamente, si existe un nmero c en el intervalo [a,b] tal que f(c)
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
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Uno de los ordenes de derivacin es el de la segunda derivada, aunque no es
despreciable la utilizacin de las derivadas de orden superior, sobre todo en
clculo de errores. Curiosamente las aplicaciones fsicas implican, por lo general,
derivadas de segundo orden como podra ser las ecuaciones de movimiento.
En esta seccin presentaremos una interpretacin grfica de los criterios de la
segunda derivada que nos servir para poder obtener los mximos o mnimos de
una funcin. Antes de analizar como es la relacin de la segunda derivada
conoceremos algunas definiciones:
Definicin.
Cncava hacia abajo. Se dice que una funcin es cncava hacia abajo cuando
la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)
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Definicin.
Puntos de inflexin y nmero de inflexin. Sea f una funcin y a un nmero.
Supongamos que existe nmeros b y c tales que b
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Criterios de la segunda derivada para mximos y mnimos relativos
Sea f una funcin con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo
abierto conteniendo al nmero a. Si f esta definida entonces podemos considerar
los siguiente aspectos:
a).- Si f(a)=0 y f(a)0 entonces se dice que f tiene un mnimo local en a.
Rapidez de cambio
La expresinx
xfxxf
+ )()(representa el cuociente entre la variacin de
la variable dependiente (funcin) y la variacin experimentada por la variable
independiente, por este motivo se le denomina razn media de cambio de la
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funcin f(x), cuando se toma el lmite a esta expresin en que x 0, es decir la
derivada, se le denomina tambin razn instantnea de cambio.
Este concepto se aplica tambin en cinemtica al expresar la posicin de un
cuerpo con movimiento unidimensional en funcin del tiempo x = x(t), en tal caso
la razn instantnea de cambio de la posicin, corresponde al concepto de rapidez
instantnea.
dt
dx
t
xfxxfv
x=
+=
)()(lim
0
Para encontrar entonces la razn de cambio se debe determinar en primer lugar larelacin entre las variables mediante una funcin y posteriormente obtener su
derivada.
Ejemplo:
Encontrar la rapidez de variacin del volumen de un cubo con respecto a la
longitud de un lado.
Solucin:
Si la relacin entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas
(a) es:
V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variacin, esto es: V = 3a 2
Ejemplo:
Se vierte agua en un estanque cilndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de
altura a razn de 50 litros por minuto. Con que rapidez asciende el nivel del
agua?
Solucin:
Llamando h a la altura del nivel de lquido en cualquier momento, se puede
expresar el volumen del contenido en funcin de h de la forma: V = r2 h
despejando h se tiene:
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h = 2r
V
en que y r son constantes, luego derivando resulta:
dt
dV
rdt
dh2
1
=
pero dado que ingresa agua a razn de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:
min/3980,0050,056,12
1m
dt
dh==
Mximos y mnimos de una funcin
Definicin: Decimos que f(c) es el valormximo absoluto de una funcin f en
un intervalo (a,b) que contiene a c, si f(c) f(x) x (a,b). De manera
anloga se define un valor mnimo absoluto de una funcin en su intervalo.
Teorema: Diremos sin demostracin que si f(x) es continua en un intervalo
cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un mximo y un mnimo en [a,b]
Extremos de una funcin.
f(x) A C
E
D F
B
X a b c d e f
Sea f(x) una funcin continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la funcin
presenta dos valores mximos en A, C (f(a), f(c)) y un valor mnimo en B (f(b)),se
conocen como mximos absolutos. Los puntos D, F corresponden a mnimos en
su entorno y por lo tanto son mnimos relativos, anlogamente E que corresponde
a un mximo relativo.
Definicin
Decimos que f(c) es un mximo relativo de una funcin f si existe un intervalo
abierto (c , c + ), con >0, tal que f(x) est definida y f(x) f(c), x (c ,
c + ).
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Decimos que f(c) es un mnimo relativo de una funcin f si existe un intervalo
abierto (c , c + ), con >0, tal que f(x) est definida y f(x) f(c), x (c ,
c + ).
Teorema
Sea f(x) una funcin continua en el intervalo abierto (a, b) y sea c un punto de este
intervalo. Si f(c) es un extremo de f, entonces f(c) = 0 o bien no existe.
Demostracin
Sea f(c) un valor mximo relativo de f, y supongamos que f (c) existe. Entonces
existe un intervalo abierto (c , c + ), con >0 tal que x c en este
intervalo:
(1) f(x) - f(c) 0
Cuando x (c , c): (2) x c < 0
De (1) y (2) se sigue que x (c , c) (3) 0)()(
cx
cfxf
Por consiguiente: 0)()(
lim)(
=
cx
cfxfcf
cx
En forma anloga, x
(c, c + ) (4) x c > 0
De (1) y (4): 0)()(
cx
cfxfx (c, c + ) y f (c) 0
Puesto que por hiptesis f (c) existe, tenemos que de f (c) 0 y 0 f (c), se
tiene que f(c) = 0 o bien no existe. La demostracin es anloga cuando f(c) es un
mnimo relativo de f.
Un nmero c para el cual una funcin f est definida y para el cual f(c) = 0 o f(c)
no existe, se llama un nmero crtico para f.
Criterio de la segunda derivada para clculo de los extremos.
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As como la primera derivada mide la rapidez de variacin de la funcin, la
segunda derivada mide la rapidez de variacin de la primera derivada, cuando la
segunda derivada es positiva para un nmero c, significa que la primera derivada
es creciente.
Si f(c) = 0 y f(c) > 0, entonces f (x) crece, de valores negativos a valores
positivos cuando x crece al pasar por c, es decir, f(c) es un mnimo relativo de f.
En forma semejante, si f (c) = 0 y f(c) < 0, entonces f (c) decrece de valores
positivos a valores negativos cuando x crece al pasar por c; esto significa que f(c)
es un mximo relativo de f.
Supongamos que f y fexisten en todo punto en un intervalo abierto
(a, b) que contiene a c y sea f(c) = 0. Entonces:
1. Si f(c) < 0, f(c) es un mximo relativo de f.
2. Si f(c) > 0, f(c) es un mnimo relativo de f.
Ejemplo:
Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de la funcin
indicada:
f(x) = x3 6x2 15x
Solucin:
f(x) = 3 x2 12 x 15 = 0 Puntos crticos: x1 = -1 y x2 = 5
f(x) = 6x 12 f (-1) = -18 < 0 en x1 = -1 se tiene un mximo de
f.
f(5) = 18 > 0 en x2 = 5 se tiene in mnimo de f.
Ejemplo:
Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una parte se
dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. Dnde
se deber hacer el corte para que la suma de las reas del cuadrado y del crculo
sea un mnimo?
Solucin:
L
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x L - x
Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medir x/4, con el
resto se construye la circunferencia en que el radio medir: 2 r = L x
2
xLr
= . Las reas, por lo tanto, medirn:
Acuadrado =2
16
1x y Acrculo =
4
)( 2xL
El rea total ser:
Atotal =2
16
1 x +4)( 2xL
La primera derivada del rea total respecto de x, resulta:
)(2
1
8
1xLx
dx
dA=
Igualando a 0 y despejando el valor de x, queda:)82(2
16
+=
Lx
La segunda derivada del rea total respecto de x queda: 02
1
8
12
2
>+=dx
Ad
lo que
nos indica que es positiva x, en consecuencia, el valor del rea es un mnimo.
Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm x = 11,2 cm