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Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoDecanato de Ingeniería Civil
Departamento de Ingeniería Estructural
Ingeniería Estructural IIgProf. María Eugenia Marante
Abril 20121
Ingeniería Estructural IIContenidoContenido
Formulación matricial del Método de Rigidez Directa I t d ió l ét d d áli i Introducción al método de análisis
Resortes elásticos Cerchas o armaduras Vigas Pórticos Casos especiales
Dinámica estructural Sistemas de un grado de libertadg Sistemas de varios grados de libertad
Uso de programas comerciales para el análisis estructural
2
Uso de programas comerciales para el análisis estructural
Abril 2012
Ingeniería Estructural II EvaluacionesEvaluaciones Examen parcial (20 %) Formulación matricial del Método de Rigidez
Directa: Resortes, cerchas y vigas.
Prueba corta (15 %) Formulación matricial del Método de RigidezDirecta: Pórticos.
Examen parcial (25 %) Formulación matricial del Método de RigidezDirecta: Casos especiales.
Trabajo (10 %) Uso de programa comercial en análisis matricial Trabajo (10 %) Uso de programa comercial en análisis matricial.
Examen parcial (10 %) Dinámica estructural, sistemas de un gradode libertad.
Examen parcial (10 %) Dinámica estructural, sistemas de variosgrados de libertad.
3
Trabajo (10 %) Uso de programa comercial en análisis dinámico.
3 Abril 2012
Ingeniería Estructural II BibliografíaBibliografía
Análisis de Estructuras: Jairo Uribe Escamilla.
Analysis of Structures, H.H. West.
Computer analysis of Structural Systems, John Fleming.
Análisis de estructuras reticulares, James Gere y WilliamWeaver.
Análisis Estructural, Aslam Kassimali.
Análisis Estructural, R.C. Hibberler.
Dinámica Estructural, Mario Paz.
Estructuras Antisísmicas, Gabriel Estrada Uribe.
4
Norma Antisísmica COVENIN 1756-2001.
4 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
Concepto de Análisis Estructural
Ingeniería Estructural II
Es el proceso mediante el cual el ingeniero estructural
determina la respuesta de una estructura debido a cargas o
i ifi d S ú l l d l i lacciones especificadas. Según la naturaleza de las acciones la
estructura se comporta o responde de diferentes maneras.
Puede sufrir:Puede sufrir:
• Deformaciones elásticas estables
• VibraciónVibración
• Cedencia del material
• Pandeo
5 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
Esta respuesta es medida usualmente mediante la
Ingeniería Estructural II
determinación de
• Desplazamientos y fuerzas internas
E f d f i• Esfuerzos y deformaciones
• Frecuencias naturales, modos e historia de la vibración
• Condición de inestabilidad• Condición de inestabilidad
6 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
Principio de superposición:
Ingeniería Estructural II
“Si los desplazamientos y esfuerzos en todos los puntos de una
estructura son proporcionales a las cargas que los causan, los
d l i l f l l d ldesplazamientos y los esfuerzos totales que resultan de la
aplicación simultánea de varias cargas son la suma de los
desplazamientos y esfuerzos causados por dichas cargasdesplazamientos y esfuerzos causados por dichas cargas,
aplicadas separadamente” .
7 Abril 2012
Ingeniería Estructural IICondiciones para aplicar el principio de superposición:
1) El material sigue la Ley de Hooke es decir que el material
Ingeniería Estructural II
1) El material sigue la Ley de Hooke, es decir que el material
es perfectamente elástico y tiene una relación lineal entre el
esfuerzo y la deformación.esfuerzo y la deformación.
2) Los desplazamientos de la estructura son pequeños, es
decir que todos los cálculos que involucran lasq q
dimensiones totales de la estructura pueden basarse en las
dimensiones originales de ella.
3) No existe interacción entre los efectos axial y flexionante en
los miembros, esto implica que el efecto de las fuerzas
8
axiales en la flexión es despreciable.Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEjemplo:
Ingeniería Estructural II
i
Q1 Q2
ij
D1
D2
Q3
D3
9 Abril 2012
Considerando únicamente la acción Q1
ij
Q1
jD11
D21
DD31
D11: Desplazamiento del punto 1 producido por la acción Q1
D21: Desplazamiento del punto 2 producido por la acción Q1
D R t ió d l t 3 d id l ió Q
10
D31: Rotación del punto 3 producido por la acción Q1
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIConsiderando únicamente la acción Q2
Ingeniería Estructural II
ij
Q2
jD12
D22
DD32
D12: Desplazamiento del punto 1 producido por la acción Q2
D22: Desplazamiento del punto 2 producido por la acción Q2
11
D32: Rotación del punto 3 producido por la acción Q2
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIConsiderando únicamente la acción Q3
Ingeniería Estructural II
ij Q3j
D13 D23
Q3
D3333
D13: Desplazamiento del punto 1 producido por la acción Q3
D23: Desplazamiento del punto 2 producido por la acción Q3
12
D33: Rotación del punto 3 producido por la acción Q3
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEl desplazamiento total es:
Ingeniería Estructural II
1312111
DDDDDDDD
3332313
2322212
DDDDDDDD
13 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITipos de análisis a considerar:
Ingeniería Estructural II
Análisis estáticos: Cuando se consideran cargas estáticas o que
actúan en forma gradual sin cambios bruscos de magnitudactúan en forma gradual sin cambios bruscos de magnitud
como en el caso del peso propio. Pueden ser cargas
concentradas, distribuidas y momentos.co ce t d s, d st bu d s y o e tos
Análisis lineal elástico: Cuando se considera que el material
cumple con la Ley de Hooke, es decir, que hay
proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones.
14 Abril 2012
Ingeniería Estructural IICondiciones fundamentales a satisfacer en cualquier
áli i t t l
Ingeniería Estructural II
análisis estructural:
• Ecuaciones de equilibrio interno y externo.
• Las condiciones de compatibilidad geométrica• Las condiciones de compatibilidad geométrica,
continuidad y restricciones.
• Las relaciones carga-desplazamiento (que dependen de las e c o es c g desp e to (que depe de de
relación esfuerzo-deformación del material, de las
propiedades geométricas de la sección transversal y de la
configuración geométrica de la estructura).
15 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEcuaciones de equilibrio:Una estructura se dice en equilibrio cuando inicialmente está
Ingeniería Estructural II
q
estática y permanece en esta condición una vez aplicado el
grupo de cargas sobre ella.
Para que esta condición se cumpla:
;0M;0M;0M
;0F;0F;0F
zyx
zyx
En el caso de una estructura plana en el plano xy las
ecuaciones de equilibrio se reducen a:
;0M;0F;0F zyx
16 Abril 2012
Condiciones de compatibilidad y de frontera
C ti id d d l d l i t l l d t d l• Continuidad de los desplazamientos a lo largo de toda la
estructura (condiciones geométricas).
• Los desplazamientos deben ser consistentes con las• Los desplazamientos deben ser consistentes con las
condiciones de borde (apoyos).
• Desplazamientos consistentes con los miembrosesp e tos co s ste tes co os e b os
conectados. Ejemplo: en una conexión rígida entre dos
miembros, los desplazamientos (traslaciones y rotaciones)
deben ser los mismos en los dos miembros.
17 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIRelaciones entre acciones y desplazamientos:
C idé t li l lá ti tid l ió d
Ingeniería Estructural II
Considérese un resorte lineal-elástico sometido a la acción de
la fuerza Q:K
Q
D
D desplazamiento del resorte debido a la acción deD = desplazamiento del resorte debido a la acción de
compresión ejercida por la fuerza Q
18 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIQFD .DKQ .
Ingeniería Estructural II
K: constante de rigidez del resorte (unidades: fuerza/longitud) =
fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario.
F: constante de flexibilidad del resorte (unidades: longitud/fuerza) =
d l i t d id l it i d l f Q
p p p
desplazamiento producido por un valor unitario de la fuerza Q.
11 11 FF
KóKK
F
Estas relaciones son válidas para cualquier estructura
FK
19
linealmente elástica que está sujeta a una sola carga.Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEjemplo 1: Q
LQ 3
Ingeniería Estructural II
D EILQD
48.
1
F EILF
48
3
F
S
EI48
S
1 348
LEIS
20 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEjemplo 2: Viga sometida a 3 cargas:
Ingeniería Estructural II
Q1 Q2
Q3
DD3
Curva elástica:
D1
D2
21 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
F21
F31
1Ingeniería Estructural II
F11
21
1.1111 FD
1.1.
3131
2121
FDFD
3131
22 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
F22
F32
1
Ingeniería Estructural II
F12
1.1212 FD
1.1.
3232
2222
FDFD
1.3232 FD
23 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
F23
F33 1
Ingeniería Estructural II
F13
23
1.1313 FD
1.1.
3333
2323
FDFD
3333
24 Abril 2012
Aplicando el principio de superposición:
1312111 DDDD
D11: desplazamiento en 1 causado por la carga Q111 p p g 1D12: desplazamiento en 2 causado por la carga Q2D13 : desplazamiento en 3 causado por la carga Q3
En general:
1312111 DDDD 1.1.1. 1312111 FFFD
3332313
2322212
DDDDDDDD
1.1.1.1.1.1.
3332313
2322212
DFFDFFFD
25 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
F21
F31
1
Ingeniería Estructural II
F11
F21
F12
F22
F32
1
F12
F13
F23
F33 1
26 Abril 2012
Ingeniería Estructural IICada uno de los desplazamientos que aparecen a la derecha deestas ecuaciones es una función lineal de una de las cargas:
Ingeniería Estructural II
3132121111
QFQFQFDQFQFQFD
g
3332321313
3232221212
QFQFQFDQFQFQFD
Fij = coeficientes de flexibilidad (desplazamientos causados porit i )una carga unitaria)
27 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIIgualmente es posible expresar las acciones o fuerzas entérminos de los desplazamientos. En este caso tienen la forma:
Ingeniería Estructural II
p
3132121111 DSDSDSQ
3332321313
3232221212
DSDSDSQDSDSDSQ
Sij = coeficientes de rigidez (acción debida a un desplazamientoit i )unitario)
28 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIS21
S31
3132121111 DSDSDSQ
Ingeniería Estructural II
1
S31
S11
SS22
S323232221212 DSDSDSQ
1
S
29
S12
Abril 2012
Ingeniería Estructural II
DSDSDSQ
Ingeniería Estructural II
S331
3332321313 DSDSDSQ
S23SS13
30 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITeorema de reciprocidad de MaxwellSi las cargas sobre una estructura se aplican gradualmente
Ingeniería Estructural II
desde cero hasta un valor final, dichas cargas realizan untrabajo que es igual al área bajo la curva fuerza-desplazamiento y vale:
1121 DQW
1Q
W2
El trabajo realizado por un sistema de cargas es:1D
n
nnDQDQDQDQW 332211
121
21
21
21
31
i
iiDQW12
1
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEn forma matricial:
1111
Ingeniería Estructural II
Q D t i l
QDDQo tttt
21
21W
21
21W QDDQ
Q y D son matrices columnas
Sabiendo que : yFQD ttt QFD Sabiendo que : yFQD
QFQFQQ ttt
21
21W
QFD
tFF 22
FF SS S y F son matrices simétricas
32
jiij FF jiij SS S y F son matrices simétricas
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMétodos Matriciales:
Ingeniería Estructural II
1. Método de Flexibilidad o Método de las fuerzas
2. Método de Rigidez o Método de los desplazamientosg p
Constituyen la herramienta más poderosa con que cuenta elingeniero para analizar todo tipo de estructura.
La mayoría de los programas comerciales para el diseño yáli i t t l b l ét d d lanálisis estructural se basan en el método de los
desplazamientos debido a su mayor potencial de utilizaciónen combinación con la computadora.
33 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMétodos Matriciales:
Ingeniería Estructural II
1. Método de Flexibilidad o Método de las fuerzas
2. Método de Rigidez o Método de los desplazamientosg p
Constituyen la herramienta más poderosa con que cuenta elingeniero para analizar todo tipo de estructura.
La mayoría de los programas comerciales para el diseño yáli i t t l b l ét d d lanálisis estructural se basan en el método de los
desplazamientos debido a su mayor potencial de utilizaciónen combinación con la computadora.
34 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMétodo de Flexibilidad:
Ingeniería Estructural II
1) Se definen redundantes estáticas
2) Se plantean las ecuaciones de equilibrio }]{[}{ QBF 2) Se plantean las ecuaciones de equilibrio
{F} = Fuerzas internas en los extremos de los miembros
[B] = matriz de equilibrio (fuerzas internas en los extremos de [ ] q (
los miembros producidos por cargas unitarias en la
dirección de las cargas nodales).
35
{Q} = Acciones nodales (cargas generalizadas)Abril 2012
Ingeniería Estructural II
3) Se plantean las ecuaciones de elasticidad: }]{[}{ QFD
Ingeniería Estructural II
= desplazamientos en los extremos de los miembros.
= matriz de flexibilidad de los miembros de la estructura
}{D
][F
F
F
F][
][
2
1
4) S l t l i d tibilid d
mF ][
4) Se plantean las ecuaciones de compatibilidad
36 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMétodo de Rigidez:
Ingeniería Estructural II
1) Aplicación de las ecuaciones de elasticidad (Cálculo de la
matriz de rigidez de cada elemento).
2) Aplicación de las ecuaciones de compatibilidad
(Desplazamientos de valores conocidos en los apoyos).
3) Aplicación de las ecuaciones de equilibrio (Cálculo de las
fuerzas internas y chequeo del equilibrio en los nudos).
37 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
Algebra Matricial:
Ingeniería Estructural II
g
1) Definición de matriz y notación
Arreglo de números distribuidos en filas y columnas Arreglo de números distribuidos en filas y columnas.
Una matriz se denota con una letra encerrada entre corchetes: [A]
El orden de la matriz = m-filas x n-columnasEl orden de la matriz m filas x n columnas
Elemento aij = elemento ubicado en la fila i y en la columna j
38 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITipos de matrices:
• Matriz cuadrada: matriz con igual número de filas y
Ingeniería Estructural II
• Matriz cuadrada: matriz con igual número de filas y
columnas4321
19638765
A
4423841963
x
39 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITipos de matrices:
• Matriz transpuesta: dos matrices cuadradas [A] y [B] son
Ingeniería Estructural II
• Matriz transpuesta: dos matrices cuadradas [A] y [B] son
transpuestas si todos los elementos cumplen la igualdad aij =
bji.bji.
4321
4351
19638765
A
39738662tAB
442384 x
442184 x
40 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITipos de matrices:
• Matriz diagonal = matriz con todos los elementos nulos con
Ingeniería Estructural II
• Matriz diagonal = matriz con todos los elementos nulos con
excepción de los que se encuentran en la diagonal (a11, a22, …,
a ).ann).
0001
09000060
A
4420000900
x
41 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITipos de matrices:
• Matriz identidad: matriz diagonal cuyos elementos son
Ingeniería Estructural II
• Matriz identidad: matriz diagonal cuyos elementos son
iguales a 1. Se denota como [I].
0001
01000010
I
4410000100
x
42 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITipos de matrices:
• Matriz columna: matriz que contienen una sola columna de
Ingeniería Estructural II
• Matriz columna: matriz que contienen una sola columna de
elementos. La matriz columna se denota con una letra
encerrada entre llaves {Q}.encerrada entre llaves {Q}.
299
3448
Q
145734
x
43 Abril 2012
Ingeniería Estructural IITipos de matrices:
• Matriz simétrica: si los elementos de una matriz cuadrada [A]
Ingeniería Estructural II
Matriz simétrica: si los elementos de una matriz cuadrada [A]
cumplen la igualdad aij = aji , entonces se dice que la matriz [A]
es simétrica.
4321
19738762
A
442184 x
44 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIOperaciones básicas:
Ingeniería Estructural II
• Multiplicación por un escalar
• Suma y resta de matrices
• Multiplicación de matrices
• Determinante de una matriz
I ió d t i• Inversión de matrices
• Relaciones para ecuaciones lineales
45 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIFormulación Matricial del Método de Rigidez Directa
Ingeniería Estructural II
Relación entre acción y respuesta
• Vector de fuerzas nodales
QFDoDKQ
Q
• Vector de desplazamientos nodales
Q
D
• Matriz de rigidez de la estructura: Kij carga producida eni, en dirección de la carga aplicada en i producida por undesplazamiento unitario en j.
K
• Matriz de flexibilidad de la estructura: Fijdesplazamiento producido en i, en dirección de la cargaaplicada en i producida por una carga unitaria en j
F
46
aplicada en i, producida por una carga unitaria en j .
Abril 2012
Ingeniería Estructural IISi se expande la expresión: DKQ
Ingeniería Estructural II
n DKKKQ 1112111
n DKKKQ
2222212
nnnnnn DKKKQ 21
47 Abril 2012
Ingeniería Estructural IISi se obliga a la estructura a sufrir un desplazamiento unitarioen D1 mientras D2 = D3 D = 0
Ingeniería Estructural II
en D1 mientras D2 D3… Dn 0
111112111 1n KQKKKQ
212222212 0n KQKKKQ
121 0 nnnnnnn KQKKKQ
1ra. Columna de Fuerzas que hay que aplicar para producir un desplazamiento unitario D1 sin que se muevan los otros nudos
K
48 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de un resorte elástico
Ingeniería Estructural II
Q2 ,D2K
1 2
Q1 ,D1
1 2
Por definición:
112111 DKKQ
2121111
DKDKQD.KD.KQ
222212 DKKQ 2221212 D.KD.KQ
49 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIDeterminación de los términos de la matriz de rigidez
Ingeniería Estructural II
Caso 1: D1=1, D2=0
212221212
112121111
KD.KD.KQKD.KD.KQ
Q2K
12Q1 1Q1
1
KQQKD.KQ
12
11KKQ
KKQ
212
111
50 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIDeterminación de los términos de la matriz de rigidez
Ingeniería Estructural II
Caso 2: D1=0, D2=1
222221212
122121111
KD.KD.KQKD.KD.KQ
Q2K
1 2Q11
KDKQ 22KKQ 121
1
KQQKD.KQ
121
22KKQ 222
121
51 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
Matriz de rigidez del resorte:
KK
K
Ingeniería Estructural II
Matriz de rigidez del resorte:
KKK
Ecuación del elemento:
2
1
2
1
D
D
KK
KK
Q
Q
22 DKKQ
52 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez del ensamblaje de dos resortes elásticos
Ingeniería Estructural II
Ka
1
Kb Q3 ,D3Q2 ,D2Q1 ,D1
1 2Por definición:
DKKKQ
3
2
1
232221
131211
2
1
D
D
KKK
KKK
Q
Q
3232221212
3132121111
D.KD.KD.KQD.KD.KD.KQ
33332313 DKKKQ3332321313 D.KD.KD.KQ
53 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural IIEcuación de los elementos:
21
12
21
12
D
D
KK
KK
Q
Q aa Q21 ,D21Q12 ,D12Ka
2121 DKKQ aa
DKKQ
32
23
32
23
D
D
KK
KK
Q
Q
bb
bb Kb Q32,D32Q23 ,D23
54 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural II
Ecuaciones de Compatibilidad: DD Ecuaciones de Compatibilidad:
22321
112
DDDDD
DD
332 DD
23212
121
QQQQQ
Ecuaciones de Equilibrio:
323 QQ
55 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural IIEcuación del Sistema:
1212 DKKQ aa
2323 DKKQ bb
21
12
21
12
DKKQ
Q
aa
aa
3232 DKKQ bb
32132212
211
DKD)KK(DKDKDKDKDKQDKDKQ
bbaabbaa
aa
323
32132212
DKDKQ bb
bbaabbaa
Matricialmente:
2
1
2
1 0
D
D
KKKK
KK
Q
Q
bbaa
aaMatricialmente:
56 Abril 2012
3
2
3
2
0 DKKQ
Q
bb
bbaa
Análisis EstructuralAnálisis EstructuralMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axialesfuerzas axiales
Area de la sección: A Módulo de elasticidad del material: Ey
iQjQ
xi j
xL e
E
De elasticidad:AEQLe
E1
57 Abril 2012
Ingeniería Estructural IISi el elemento está en el espacio::
Ingeniería Estructural II
iiQ , jjQ ,LEA ,,i j
Equilibrio: jiji QQQQ 0
Compatibilidad: alargamiento ije
Equilibrio: jiji QQQQ 0
ijijjAEAEAEeAEQ ijijj LLL
eL
Q
AEAEQQ
58
jiji LLQQ
Abril 2012
Ingeniería Estructural II
ijijj LAE
LAE
LAEe
LAEQ
Ingeniería Estructural II
ijijj LLLLQ
jijiAEAEQQ
Matricialmente:
jiji LLQQ
j
i
j
i
AEAEL
AEL
AE
jj
LAE
LAEQ
59 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEstructura formada por dos barras
Ingeniería Estructural II
AAA LEA ,,BBB LEA ,, Q
PP
Ai
AiQ , A
jAjQ ,
Bi
BiQ , B
jBjQ ,
A
AAA
LEAK
B
BBB
LEAK
60 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMétodo de Rigidez Directa:
Ingeniería Estructural II
1) Aplicación de las ecuaciones de elasticidad (Cálculo de la
matriz de rigidez de cada elemento)
2) Aplicación de las ecuaciones de compatibilidad
(Desplazamientos de valores conocidos)
3) Aplicación de las ecuaciones de equilibrio (Cálculo de las
fuerzas internas y chequeo del equilibrio en los nudos)
61 Abril 2012
Ingeniería Estructural II1) Ecuaciones de Elasticidad:
Ingeniería Estructural II
Aj
Ai
AA
AA
Aj
Ai
KKKK
Bj
Bi
BB
BB
Bj
Bi
KKKK
2) Ecuaciones de Compatibilidad:
Bj
BAj
Ai i
321 ;;
3) Ecuaciones de Equilibrio:
Incógnitas: 132 ,, Q
3) Ecuaciones de Equilibrio:
Bj
Bi
Aj
Ai QFQQPQQ ;?;1
62 Abril 2012
Ingeniería Estructural II1) Ecuaciones de Elasticidad:
Ingeniería Estructural II
A
Ai
AA
AA
A
Ai KKQ
B
Bi
BB
BB
B
Bi KKQ
A
jAAA
j KKQ
B
jBBB
j KKQ
Aj
AAi
AAj
Aj
AAi
AAi
KKQ
KKQ
Bj
BBi
BBj
Bj
BBi
BBi
KKQ
KKQ
jijQ jijQ
63 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
AAAAA KKQ BBBBB KKQ 1) Ecuaciones de Elasticidad:
Ingeniería Estructural II
Aj
AAi
AAj
jii
KKQ
KKQ
Bj
BBi
BBj
jii
KKQ
KKQ
2) Ecuaciones de Compatibilidad:Bj
BAj
Ai i
321 ;;
BBAA QFQQPQQ ?3) Ecuaciones de Equilibrio:Bj
Bi
Aj
Ai QFQQPQQ ;?;1
AA KKQ
32212
211
BB
BBAA
KKFQ
KKKKPQ
KKQ
64
323 BB KKFQ
Abril 2012
Ingeniería Estructural II
211 AA KKQ
Ingeniería Estructural II
323
32212
BB
BBAA
KKFQ
KKKKPQ
323 Q
Matricialmente:
0AA KKQ
2
11
0
0
BB
BBAA
AA
KKKKKK
KK
FPQ
30 KKF
65 Abril 2012
Ingeniería Estructural IISolución general por el Método de los Desplazamientos:
Ingeniería Estructural II
DKQ En el caso general:
DKKQ Q
a
n
aaan
nann
a
n
DD
KKKK
aaanana
anannnn
DKDKQDKDKQ
nQ Fuerzas externas nodales conocidas
aQ Fuerzas externas nodales desconocidas
nD Desplazamientos nodales desconocidos
aQ Desplazamientos nodales conocidos
66
a
Abril 2012
Ingeniería Estructural II )(
)(bDKDKQaDKDKQ
aaanana
anannnn
Ingeniería Estructural II
Despejando de (a)
)(bDKDKQ aaanana
nD
)(11 cDKKQKD anannnnnn
Reemplazando en (b)Reemplazando en (b)
aaaanannannnnana DKDKKKQKKQ 11
)(11 dDKKKKQKKQ anannanaannnana
67 Abril 2012
Ingeniería Estructural IICálculo de los desplazamietos:
Ingeniería Estructural II
)(11 cDKKQKD anannnnnn
Cálculo de las reacciones:
)(11 dDKKKKQKKQ anannanaannnana
Cuando los desplazamientos en los apoyos sean nulos:
nnnn QKD 1
nnnana QKKQ 1
68 Abril 2012
Ingeniería Estructural IISistema de Coordenadas Ortogonales:
Ingeniería Estructural II
Sistema Global: a este sistema se refieren los datos de la estructura• Coordenadas de los nudos
• Cargas externas nodales• Cargas externas nodales
• Desplazamientos nodales
Sistema Local: a este sistema se refieren los datos de los elementos:
• Dimensiones de la sección transversal
• Momentos de Inercia
• Cargas sobre los elementos
69
• Fuerzas internasAbril 2012
Ingeniería Estructural IIEl sistema local es definido por el usuario al definir las inicidencias
d l l t ( d i d j)
Ingeniería Estructural II
de los elementos (nodo i y nodo j)Sistema Global:
Sistema Local:
yx
yx y
y
Sistema Local: yx
x
70
xAbril 2012
xIngeniería Estructural II
AEAE
xjxQCoordenadas Locales:
Ingeniería Estructural II
j
i
xj
xi
AEAEL
AEL
AE
y
Expandiendo la ecuación a 4 componentes :
LLixQ
Expandiendo la ecuación a 4 componentes :
ixiQ 0101
j
i
xj
yi
LAE
01010000 DKQ
71
jyjQ 0000
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEn el caso de una cercha los nodos se pueden mover encualquier dirección
Ingeniería Estructural II
cualquier dirección
xy
yjQjxQy
cos
cos yixixj
QsenQQ
senQQQ
xjxQ
xjQ
jyQjyQy cosyixiyi QsenQQ
cos yjxjxj senQQQ
x cosyjxjyj QsenQQ
72 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatricialmente:
Ingeniería Estructural II
yi
xi
yi
xi
sensen
00cos00cos
yj
xj
yi
yj
xj
yi
QQQ
sensen
QQQ
cos00cos00
yj
QQ DTDQTQ
73 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatricialmente: DTDQTQ
Ingeniería Estructural II
DKQ DTKQT
Premultiplicando por 1T DTKTQTT 11 Premultiplicando por T DTKTQTT
DKQ Matriz ortogonal
TKTK t tTT 1
g
74 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez en Coordenadas Locales:
0101
Ingeniería Estructural II
010100000101
LAEK
00000101L
Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales:Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales:
22
22
scsscs
csccsc
AEc cos22
22 csccsc
scsscs
LAETKTK t
sencs
senscos
22
75
22 scsscs
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas de corte y flexión
y
Ingeniería Estructural II
jjM ,
y
i jiiM ,
xL e
Q iyiQ ,jyjQ ,iyiQ ,
iyiQ
j
ix
yj
i K
MQM
44
76
jjM
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIRecordando el significado físico de cada columna de la matrizde rigidez, se deben determinar las fuerzas que mantienen la
t t ilib i d d l i t it i
Ingeniería Estructural II
estructura en equilibrio para cada desplazamiento unitario.
Propiedades: Area de la sección: A ; Inercia de la sección: IMódulo de elasticidad del material: E
26LEI
???12
3LEI
1i
26LEI
12
???62
3
EILEIL
312
LEI
2L3
12LEI
???6
???123
EILEI
77
???2LAbril 2012
Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural II
LEI4
LEI21i
46
??61223
EIEILEI
LEI
6EI
L L
26LEI
??612
??462
EIEILEI
LEI
2L
??26
??
2
23
LEI
LEI
LL
LL
78 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
6EI2
6LEI
Ingeniería Estructural II
1j26LEI
3
12LEI
312
LEI
?646
?12612323
EIEIEILEI
LEI
LEI
?12612
?646
323
22
EIEIEILEI
LEI
LEI
?626
22
323
LEI
LEI
LEI
LLL
79 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
LEI2
LEI41j
Ingeniería Estructural II
26LEI
26LEI
L L
LEI
LEI
LEI
LEI 612612
2323
EIEIEIEILEI
LEI
LEI
LEI
612612
264622
LEI
LEI
LEI
LEI
LLLL4626
22
2323
80
LLLL 22
Abril 2012
Ingeniería Estructural II
jjM ,
y
iiM ,
Ingeniería Estructural II
xL
i j
EIEIEIEI 612612jyjQ ,iyiQ ,
i
i
i
yi
LEI
LEI
LEI
LEI
LLLL
M
Q
2646
22
2323
j
j
j
yj
EIEIEIEILEI
LEI
LEI
LEI
M
Q
4626
6126122323
81
LLLL 22
Abril 2012
Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos Sección 0.3 m x 0.4 m
E = 19 x 106 KN/m2
Ingeniería Estructural II
KN50
m3 m3
1 2 3
82 Abril 2012
Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos
R l ió t ió t DKQ
Ingeniería Estructural II
Relación entre acción y respuesta
• Vector de fuerzas nodales
DKQ
Q
• Vector de desplazamientos nodales
• Matriz de rigidez de la estructura
D
K Matriz de rigidez de la estructura
Cuando existen cargas sobre los elementos se llevan a losnodos:
eQDKQ
83
• Vector de fuerzas de empotramiento eQ
Abril 2012
Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos DKQ
Ingeniería Estructural II
84 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural II
85 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural II
86 Abril 2012
Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos Sección 0.3 m x 0.4 m
E = 19 x 106 KN/m2
Ingeniería Estructural II
KN50
1 2
m3 m3
1 2
1 2
87 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión
Ingeniería Estructural II
jjM ,
y
i jiiM ,
jxjQ ,
xL e
jyjQ ,iyiQ ,ixiQ ,
jjM ,
y
i jiiM ,
iiQ , jjQ ,
y
i j xL e
jyjQ ,iyiQ ,
xL
i j
88 Abril 2012
Ingeniería Estructural II
yy
Matriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión
Ingeniería Estructural II
jjM ,
xL
i jiiM ,
iiQ , jjQ ,
x
y
i j L e
jyjQ ,iyiQ ,L
EIEIEIEI 612612 22
LEI
LEI
LEI
LEI
LLLL2646
22
2323
22
22
scsscs
csccsc
AE
EIEIEIEILEI
LEI
LEI
LEI
4626
612612
22
2323
22
22 csccscL
89
LLLL 22
22 scsscs
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión
jjM ,
y
iiM ,
Ingeniería Estructural II
jj
xL e
i j
jyjQ ,iyiQ ,ixiQ ,
jxjQ ,
ixi
LEI
LEI
LEI
LEI
LAE
LAE
Q
Q
61206120
0000
2323
j
i
i
xj
i
yi
AEAELEI
LEI
LEI
LEI
LLLL
Q
M
Q
0000
260460 22
2323
j
j
j
j
yj
xj
EIEIEIEILEI
LEI
LEI
LEI
LL
M
Q
Q
4626
61206120
0000
2323
90
jj
LEI
LEI
LEI
LEI 460260 22
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión en Coordenadas Locales
jjM , xy
Ingeniería Estructural II
AEAE
x
y jyjQ ,
jxjQ ,
L
j DKQ y
i
i
yi
xi
LEI
LEI
LEI
LEI
LAE
LAE
Q
Q
61206120
0000
2323
iiM ,
iyiQ ,ixiQ ,
Li
x
j
i
xj
i
LAE
LAE
LEI
LEI
LEI
LEI
Q
M
0000
260460 22
iyiQ ,
j
j
j
yj
EIEIEIEILEI
LEI
LEI
LEI
LL
M
Q
460260
61206120 2323
91
LLLL
00 22
Abril 2012
Ingeniería Estructural IIEn el caso de un elemento arbitrariamente orientado:Ingeniería Estructural II
xy
yjQjxQy
yixiyi
yixixj
QsenQQ
senQQQ
cos
cos
xjxQ
xjQ
jyQjyQy
ii MM
yjxjyj
yjxjxj
QsenQQ
senQQQ
cos
cos
xjj
yjxjyj
MM
QQQ
92 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatricialmente:
Ingeniería Estructural II
Q
Q
cs
sc
Q
Q
yi
xi
yi
xi
0000
0000
c cos
Q
M
scQ
M
xj
i
xj
i
0000
000100
sensc cos
jM
Qcs
M
Q yj
j
yj
j
100000
0000
jj
93
DTDQTQ Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatricialmente: DTDQTQ
Ingeniería Estructural II
DKQ DTKQT
Premultiplicando por 1T DTKTQTT 11 Premultiplicando por T DTKTQTT
DKQ Matriz ortogonal
TKTK t tTT 1
g
94 Abril 2012
Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión en Coordenadas Globales
Ingeniería Estructural II
ixi
EIEIAEEIAEEIEIAEEIAE
sLEIcs
LEI
LAEs
LEIc
LAEs
LEIcs
LEI
LAEs
LEIc
LAEQ
6121261212
6121261212233
2233
i
i
i
yi
LEIc
LEIs
LEI
LEIc
LEIs
LEI
cLEIc
LEIs
LAEcs
LEI
LAEc
LEIc
LEIs
LAEcs
LEI
LAE
M
Q
266466
6121261212
2222
22
32
322
32
3
jxj sLEIcs
LEI
LAEs
LEIc
LAEs
LEIcs
LEI
LAEs
LEIc
LAE
LLLLLL
Q 612126121223
23
223
23
2
j
j
j
yj
LEIc
LEIs
LEI
LEIc
LEIs
LEI
cLEIs
LEIc
LAEcs
LEI
LAEc
LEIc
LEIs
LAEcs
LEI
LAE
M
Q
466266
6121261212
2222
22
32
322
32
3
95
jjLLLLLL 2222
Abril 2012