análisis+

Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoDecanato de Ingeniería Civil

Departamento de Ingeniería Estructural

Ingeniería Estructural IIgProf. María Eugenia Marante

[email protected]

Abril 20121

Ingeniería Estructural IIContenidoContenido

Formulación matricial del Método de Rigidez Directa I t d ió l ét d d áli i Introducción al método de análisis

Resortes elásticos Cerchas o armaduras Vigas Pórticos Casos especiales

Dinámica estructural Sistemas de un grado de libertadg Sistemas de varios grados de libertad

Uso de programas comerciales para el análisis estructural

2

Uso de programas comerciales para el análisis estructural

Abril 2012

Ingeniería Estructural II EvaluacionesEvaluaciones Examen parcial (20 %) Formulación matricial del Método de Rigidez

Directa: Resortes, cerchas y vigas.

Prueba corta (15 %) Formulación matricial del Método de RigidezDirecta: Pórticos.

Examen parcial (25 %) Formulación matricial del Método de RigidezDirecta: Casos especiales.

Trabajo (10 %) Uso de programa comercial en análisis matricial Trabajo (10 %) Uso de programa comercial en análisis matricial.

Examen parcial (10 %) Dinámica estructural, sistemas de un gradode libertad.

Examen parcial (10 %) Dinámica estructural, sistemas de variosgrados de libertad.

3

Trabajo (10 %) Uso de programa comercial en análisis dinámico.

3 Abril 2012

Ingeniería Estructural II BibliografíaBibliografía

Análisis de Estructuras: Jairo Uribe Escamilla.

Analysis of Structures, H.H. West.

Computer analysis of Structural Systems, John Fleming.

Análisis de estructuras reticulares, James Gere y WilliamWeaver.

Análisis Estructural, Aslam Kassimali.

Análisis Estructural, R.C. Hibberler.

Dinámica Estructural, Mario Paz.

Estructuras Antisísmicas, Gabriel Estrada Uribe.

4

Norma Antisísmica COVENIN 1756-2001.

4 Abril 2012

Ingeniería Estructural II

Concepto de Análisis Estructural


Es el proceso mediante el cual el ingeniero estructural

determina la respuesta de una estructura debido a cargas o

i ifi d S ú l l d l i lacciones especificadas. Según la naturaleza de las acciones la

estructura se comporta o responde de diferentes maneras.

Puede sufrir:Puede sufrir:

• Deformaciones elásticas estables

• VibraciónVibración

• Cedencia del material

• Pandeo

5 Abril 2012


Esta respuesta es medida usualmente mediante la


determinación de

• Desplazamientos y fuerzas internas

E f d f i• Esfuerzos y deformaciones

• Frecuencias naturales, modos e historia de la vibración

• Condición de inestabilidad• Condición de inestabilidad

6 Abril 2012


Principio de superposición:


“Si los desplazamientos y esfuerzos en todos los puntos de una

estructura son proporcionales a las cargas que los causan, los

d l i l f l l d ldesplazamientos y los esfuerzos totales que resultan de la

aplicación simultánea de varias cargas son la suma de los

desplazamientos y esfuerzos causados por dichas cargasdesplazamientos y esfuerzos causados por dichas cargas,

aplicadas separadamente” .

7 Abril 2012

Ingeniería Estructural IICondiciones para aplicar el principio de superposición:

1) El material sigue la Ley de Hooke es decir que el material


1) El material sigue la Ley de Hooke, es decir que el material

es perfectamente elástico y tiene una relación lineal entre el

esfuerzo y la deformación.esfuerzo y la deformación.

2) Los desplazamientos de la estructura son pequeños, es

decir que todos los cálculos que involucran lasq q

dimensiones totales de la estructura pueden basarse en las

dimensiones originales de ella.

3) No existe interacción entre los efectos axial y flexionante en

los miembros, esto implica que el efecto de las fuerzas

8

axiales en la flexión es despreciable.Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEjemplo:


i

Q1 Q2

ij

D1

D2

Q3

D3

9 Abril 2012

Considerando únicamente la acción Q1

ij

Q1

jD11

D21

DD31

D11: Desplazamiento del punto 1 producido por la acción Q1


D R t ió d l t 3 d id l ió Q

10

D31: Rotación del punto 3 producido por la acción Q1

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIConsiderando únicamente la acción Q2


ij

Q2

jD12

D22

DD32



11


Abril 2012

Ingeniería Estructural IIConsiderando únicamente la acción Q3


ij Q3j

D13 D23

Q3

D3333



12


Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEl desplazamiento total es:


1312111

DDDDDDDD

3332313

2322212

DDDDDDDD

13 Abril 2012

Ingeniería Estructural IITipos de análisis a considerar:


Análisis estáticos: Cuando se consideran cargas estáticas o que

actúan en forma gradual sin cambios bruscos de magnitudactúan en forma gradual sin cambios bruscos de magnitud

como en el caso del peso propio. Pueden ser cargas

concentradas, distribuidas y momentos.co ce t d s, d st bu d s y o e tos

Análisis lineal elástico: Cuando se considera que el material

cumple con la Ley de Hooke, es decir, que hay

proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones.

14 Abril 2012

Ingeniería Estructural IICondiciones fundamentales a satisfacer en cualquier

áli i t t l


análisis estructural:

• Ecuaciones de equilibrio interno y externo.

• Las condiciones de compatibilidad geométrica• Las condiciones de compatibilidad geométrica,

continuidad y restricciones.

• Las relaciones carga-desplazamiento (que dependen de las e c o es c g desp e to (que depe de de

relación esfuerzo-deformación del material, de las

propiedades geométricas de la sección transversal y de la

configuración geométrica de la estructura).

15 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEcuaciones de equilibrio:Una estructura se dice en equilibrio cuando inicialmente está


q

estática y permanece en esta condición una vez aplicado el

grupo de cargas sobre ella.

Para que esta condición se cumpla:

;0M;0M;0M

;0F;0F;0F

zyx

zyx

En el caso de una estructura plana en el plano xy las

ecuaciones de equilibrio se reducen a:

;0M;0F;0F zyx

16 Abril 2012

Condiciones de compatibilidad y de frontera

C ti id d d l d l i t l l d t d l• Continuidad de los desplazamientos a lo largo de toda la

estructura (condiciones geométricas).

• Los desplazamientos deben ser consistentes con las• Los desplazamientos deben ser consistentes con las

condiciones de borde (apoyos).

• Desplazamientos consistentes con los miembrosesp e tos co s ste tes co os e b os

conectados. Ejemplo: en una conexión rígida entre dos

miembros, los desplazamientos (traslaciones y rotaciones)

deben ser los mismos en los dos miembros.

17 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIRelaciones entre acciones y desplazamientos:

C idé t li l lá ti tid l ió d


Considérese un resorte lineal-elástico sometido a la acción de

la fuerza Q:K

Q

D

D desplazamiento del resorte debido a la acción deD = desplazamiento del resorte debido a la acción de

compresión ejercida por la fuerza Q

18 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIQFD .DKQ .


K: constante de rigidez del resorte (unidades: fuerza/longitud) =

fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario.

F: constante de flexibilidad del resorte (unidades: longitud/fuerza) =

d l i t d id l it i d l f Q

p p p

desplazamiento producido por un valor unitario de la fuerza Q.

11 11 FF

KóKK

F

Estas relaciones son válidas para cualquier estructura

FK

19

linealmente elástica que está sujeta a una sola carga.Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEjemplo 1: Q

LQ 3


D EILQD

48.

1

F EILF

48

3

F

S

EI48

S

1 348

LEIS

20 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEjemplo 2: Viga sometida a 3 cargas:


Q1 Q2

Q3

DD3

Curva elástica:

D1

D2

21 Abril 2012


F21

F31

1Ingeniería Estructural II

F11

21

1.1111 FD

1.1.

3131

2121

FDFD

3131

22 Abril 2012


F22

F32

1


F12

1.1212 FD

1.1.

3232

2222

FDFD

1.3232 FD

23 Abril 2012


F23

F33 1


F13

23

1.1313 FD

1.1.

3333

2323

FDFD

3333

24 Abril 2012

Aplicando el principio de superposición:

1312111 DDDD

D11: desplazamiento en 1 causado por la carga Q111 p p g 1D12: desplazamiento en 2 causado por la carga Q2D13 : desplazamiento en 3 causado por la carga Q3

En general:

1312111 DDDD 1.1.1. 1312111 FFFD

3332313

2322212

DDDDDDDD

1.1.1.1.1.1.

3332313

2322212

DFFDFFFD

25 Abril 2012


F21

F31

1


F11

F21

F12

F22

F32

1

F12

F13

F23

F33 1

26 Abril 2012

Ingeniería Estructural IICada uno de los desplazamientos que aparecen a la derecha deestas ecuaciones es una función lineal de una de las cargas:


3132121111

QFQFQFDQFQFQFD

g

3332321313

3232221212

QFQFQFDQFQFQFD

Fij = coeficientes de flexibilidad (desplazamientos causados porit i )una carga unitaria)

27 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIIgualmente es posible expresar las acciones o fuerzas entérminos de los desplazamientos. En este caso tienen la forma:


p

3132121111 DSDSDSQ

3332321313

3232221212

DSDSDSQDSDSDSQ

Sij = coeficientes de rigidez (acción debida a un desplazamientoit i )unitario)

28 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIS21

S31

3132121111 DSDSDSQ


1

S31

S11

SS22

S323232221212 DSDSDSQ

1

S

29

S12

Abril 2012


DSDSDSQ


S331

3332321313 DSDSDSQ

S23SS13

30 Abril 2012

Ingeniería Estructural IITeorema de reciprocidad de MaxwellSi las cargas sobre una estructura se aplican gradualmente


desde cero hasta un valor final, dichas cargas realizan untrabajo que es igual al área bajo la curva fuerza-desplazamiento y vale:

1121 DQW

1Q

W2

El trabajo realizado por un sistema de cargas es:1D

n

nnDQDQDQDQW 332211

121

21

21

21

31

i

iiDQW12

1

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEn forma matricial:

1111


Q D t i l

QDDQo tttt

21

21W

21

21W QDDQ

Q y D son matrices columnas

Sabiendo que : yFQD ttt QFD Sabiendo que : yFQD

QFQFQQ ttt

21

21W

QFD

tFF 22

FF SS S y F son matrices simétricas

32

jiij FF jiij SS S y F son matrices simétricas

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMétodos Matriciales:


1. Método de Flexibilidad o Método de las fuerzas

2. Método de Rigidez o Método de los desplazamientosg p

Constituyen la herramienta más poderosa con que cuenta elingeniero para analizar todo tipo de estructura.

La mayoría de los programas comerciales para el diseño yáli i t t l b l ét d d lanálisis estructural se basan en el método de los

desplazamientos debido a su mayor potencial de utilizaciónen combinación con la computadora.

33 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMétodos Matriciales:


1. Método de Flexibilidad o Método de las fuerzas

2. Método de Rigidez o Método de los desplazamientosg p

Constituyen la herramienta más poderosa con que cuenta elingeniero para analizar todo tipo de estructura.

La mayoría de los programas comerciales para el diseño yáli i t t l b l ét d d lanálisis estructural se basan en el método de los

desplazamientos debido a su mayor potencial de utilizaciónen combinación con la computadora.

34 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMétodo de Flexibilidad:


1) Se definen redundantes estáticas

2) Se plantean las ecuaciones de equilibrio }]{[}{ QBF 2) Se plantean las ecuaciones de equilibrio

{F} = Fuerzas internas en los extremos de los miembros

[B] = matriz de equilibrio (fuerzas internas en los extremos de [ ] q (

los miembros producidos por cargas unitarias en la

dirección de las cargas nodales).

35

{Q} = Acciones nodales (cargas generalizadas)Abril 2012


3) Se plantean las ecuaciones de elasticidad: }]{[}{ QFD


= desplazamientos en los extremos de los miembros.

= matriz de flexibilidad de los miembros de la estructura

}{D

][F

F

F

F][

][

2

1

4) S l t l i d tibilid d

mF ][

4) Se plantean las ecuaciones de compatibilidad

36 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMétodo de Rigidez:


1) Aplicación de las ecuaciones de elasticidad (Cálculo de la

matriz de rigidez de cada elemento).

2) Aplicación de las ecuaciones de compatibilidad

(Desplazamientos de valores conocidos en los apoyos).

3) Aplicación de las ecuaciones de equilibrio (Cálculo de las

fuerzas internas y chequeo del equilibrio en los nudos).

37 Abril 2012


Algebra Matricial:


g

1) Definición de matriz y notación

Arreglo de números distribuidos en filas y columnas Arreglo de números distribuidos en filas y columnas.

Una matriz se denota con una letra encerrada entre corchetes: [A]

El orden de la matriz = m-filas x n-columnasEl orden de la matriz m filas x n columnas

Elemento aij = elemento ubicado en la fila i y en la columna j

38 Abril 2012

Ingeniería Estructural IITipos de matrices:

• Matriz cuadrada: matriz con igual número de filas y


• Matriz cuadrada: matriz con igual número de filas y

columnas4321

19638765

A

4423841963

x

39 Abril 2012


• Matriz transpuesta: dos matrices cuadradas [A] y [B] son


• Matriz transpuesta: dos matrices cuadradas [A] y [B] son

transpuestas si todos los elementos cumplen la igualdad aij =

bji.bji.

4321

4351

19638765

A

39738662tAB

442384 x

442184 x

40 Abril 2012


• Matriz diagonal = matriz con todos los elementos nulos con


• Matriz diagonal = matriz con todos los elementos nulos con

excepción de los que se encuentran en la diagonal (a11, a22, …,

a ).ann).

0001

09000060

A

4420000900

x

41 Abril 2012


• Matriz identidad: matriz diagonal cuyos elementos son


• Matriz identidad: matriz diagonal cuyos elementos son

iguales a 1. Se denota como [I].

0001

01000010

I

4410000100

x

42 Abril 2012


• Matriz columna: matriz que contienen una sola columna de


• Matriz columna: matriz que contienen una sola columna de

elementos. La matriz columna se denota con una letra

encerrada entre llaves {Q}.encerrada entre llaves {Q}.

299

3448

Q

145734

x

43 Abril 2012


• Matriz simétrica: si los elementos de una matriz cuadrada [A]


Matriz simétrica: si los elementos de una matriz cuadrada [A]

cumplen la igualdad aij = aji , entonces se dice que la matriz [A]

es simétrica.

4321

19738762

A

442184 x

44 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIOperaciones básicas:


• Multiplicación por un escalar

• Suma y resta de matrices

• Multiplicación de matrices

• Determinante de una matriz

I ió d t i• Inversión de matrices

• Relaciones para ecuaciones lineales

45 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIFormulación Matricial del Método de Rigidez Directa


Relación entre acción y respuesta

• Vector de fuerzas nodales

QFDoDKQ

Q

• Vector de desplazamientos nodales

Q

D

• Matriz de rigidez de la estructura: Kij carga producida eni, en dirección de la carga aplicada en i producida por undesplazamiento unitario en j.

K

• Matriz de flexibilidad de la estructura: Fijdesplazamiento producido en i, en dirección de la cargaaplicada en i producida por una carga unitaria en j

F

46

aplicada en i, producida por una carga unitaria en j .

Abril 2012

Ingeniería Estructural IISi se expande la expresión: DKQ


n DKKKQ 1112111

n DKKKQ

2222212

nnnnnn DKKKQ 21

47 Abril 2012

Ingeniería Estructural IISi se obliga a la estructura a sufrir un desplazamiento unitarioen D1 mientras D2 = D3 D = 0


en D1 mientras D2 D3… Dn 0

111112111 1n KQKKKQ

212222212 0n KQKKKQ

121 0 nnnnnnn KQKKKQ

1ra. Columna de Fuerzas que hay que aplicar para producir un desplazamiento unitario D1 sin que se muevan los otros nudos

K

48 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de un resorte elástico


Q2 ,D2K

1 2

Q1 ,D1

1 2

Por definición:

112111 DKKQ

2121111

DKDKQD.KD.KQ

222212 DKKQ 2221212 D.KD.KQ

49 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIDeterminación de los términos de la matriz de rigidez


Caso 1: D1=1, D2=0

212221212

112121111

KD.KD.KQKD.KD.KQ

Q2K

12Q1 1Q1

1

KQQKD.KQ

12

11KKQ

KKQ

212

111

50 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIDeterminación de los términos de la matriz de rigidez


Caso 2: D1=0, D2=1

222221212

122121111

KD.KD.KQKD.KD.KQ

Q2K

1 2Q11

KDKQ 22KKQ 121

1

KQQKD.KQ

121

22KKQ 222

121

51 Abril 2012


Matriz de rigidez del resorte:

KK

K


Matriz de rigidez del resorte:

KKK

Ecuación del elemento:

2

1

2

1

D

D

KK

KK

Q

Q

22 DKKQ

52 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez del ensamblaje de dos resortes elásticos


Ka

1

Kb Q3 ,D3Q2 ,D2Q1 ,D1

1 2Por definición:

DKKKQ

3

2

1

232221

131211

2

1

D

D

KKK

KKK

Q

Q

3232221212

3132121111

D.KD.KD.KQD.KD.KD.KQ

33332313 DKKKQ3332321313 D.KD.KD.KQ

53 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural IIEcuación de los elementos:

21

12

21

12

D

D

KK

KK

Q

Q aa Q21 ,D21Q12 ,D12Ka

2121 DKKQ aa

DKKQ

32

23

32

23

D

D

KK

KK

Q

Q

bb

bb Kb Q32,D32Q23 ,D23

54 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural II

Ecuaciones de Compatibilidad: DD Ecuaciones de Compatibilidad:

22321

112

DDDDD

DD

332 DD

QQ

23212

121

QQQQQ

Ecuaciones de Equilibrio:

323 QQ

55 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIIngeniería Estructural IIEcuación del Sistema:

1212 DKKQ aa

2323 DKKQ bb

21

12

21

12

DKKQ

Q

aa

aa

3232 DKKQ bb

32132212

211

DKD)KK(DKDKDKDKDKQDKDKQ

bbaabbaa

aa

323

32132212

DKDKQ bb

bbaabbaa

Matricialmente:

2

1

2

1 0

D

D

KKKK

KK

Q

Q

bbaa

aaMatricialmente:

56 Abril 2012

3

2

3

2

0 DKKQ

Q

bb

bbaa

Análisis EstructuralAnálisis EstructuralMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axialesfuerzas axiales

Area de la sección: A Módulo de elasticidad del material: Ey

iQjQ

xi j

xL e

E

De elasticidad:AEQLe

E1

57 Abril 2012

Ingeniería Estructural IISi el elemento está en el espacio::


iiQ , jjQ ,LEA ,,i j

Equilibrio: jiji QQQQ 0

Compatibilidad: alargamiento ije

Equilibrio: jiji QQQQ 0

ijijjAEAEAEeAEQ ijijj LLL

eL

Q

AEAEQQ

58

jiji LLQQ

Abril 2012


ijijj LAE

LAE

LAEe

LAEQ


ijijj LLLLQ

jijiAEAEQQ

Matricialmente:

jiji LLQQ

j

i

j

i

AEAEL

AEL

AE

QQ

jj

LAE

LAEQ

59 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEstructura formada por dos barras


AAA LEA ,,BBB LEA ,, Q

PP

Ai

AiQ , A

jAjQ ,

Bi

BiQ , B

jBjQ ,

A

AAA

LEAK

B

BBB

LEAK

60 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMétodo de Rigidez Directa:


1) Aplicación de las ecuaciones de elasticidad (Cálculo de la

matriz de rigidez de cada elemento)

2) Aplicación de las ecuaciones de compatibilidad

(Desplazamientos de valores conocidos)

3) Aplicación de las ecuaciones de equilibrio (Cálculo de las

fuerzas internas y chequeo del equilibrio en los nudos)

61 Abril 2012

Ingeniería Estructural II1) Ecuaciones de Elasticidad:


Aj

Ai

AA

AA

Aj

Ai

KKKK

QQ

Bj

Bi

BB

BB

Bj

Bi

KKKK

QQ

2) Ecuaciones de Compatibilidad:

Bj

BAj

Ai i

321 ;;

3) Ecuaciones de Equilibrio:

Incógnitas: 132 ,, Q

3) Ecuaciones de Equilibrio:

Bj

Bi

Aj

Ai QFQQPQQ ;?;1

62 Abril 2012

Ingeniería Estructural II1) Ecuaciones de Elasticidad:


A

Ai

AA

AA

A

Ai KKQ

B

Bi

BB

BB

B

Bi KKQ

A

jAAA

j KKQ

B

jBBB

j KKQ

Aj

AAi

AAj

Aj

AAi

AAi

KKQ

KKQ

Bj

BBi

BBj

Bj

BBi

BBi

KKQ

KKQ

jijQ jijQ

63 Abril 2012


AAAAA KKQ BBBBB KKQ 1) Ecuaciones de Elasticidad:


Aj

AAi

AAj

jii

KKQ

KKQ

Bj

BBi

BBj

jii

KKQ

KKQ

2) Ecuaciones de Compatibilidad:Bj

BAj

Ai i

321 ;;

BBAA QFQQPQQ ?3) Ecuaciones de Equilibrio:Bj

Bi

Aj

Ai QFQQPQQ ;?;1

AA KKQ

32212

211

BB

BBAA

KKFQ

KKKKPQ

KKQ

64

323 BB KKFQ

Abril 2012


211 AA KKQ


323

32212

BB

BBAA

KKFQ

KKKKPQ

323 Q

Matricialmente:

0AA KKQ

2

11

0

0

BB

BBAA

AA

KKKKKK

KK

FPQ

30 KKF

65 Abril 2012

Ingeniería Estructural IISolución general por el Método de los Desplazamientos:


DKQ En el caso general:

DKKQ Q

a

n

aaan

nann

a

n

DD

KKKK

QQ

aaanana

anannnn

DKDKQDKDKQ

nQ Fuerzas externas nodales conocidas

aQ Fuerzas externas nodales desconocidas

nD Desplazamientos nodales desconocidos

aQ Desplazamientos nodales conocidos

66

a

Abril 2012

Ingeniería Estructural II )(

)(bDKDKQaDKDKQ

aaanana

anannnn


Despejando de (a)

)(bDKDKQ aaanana

nD

)(11 cDKKQKD anannnnnn

Reemplazando en (b)Reemplazando en (b)

aaaanannannnnana DKDKKKQKKQ 11

)(11 dDKKKKQKKQ anannanaannnana

67 Abril 2012

Ingeniería Estructural IICálculo de los desplazamietos:


)(11 cDKKQKD anannnnnn

Cálculo de las reacciones:

)(11 dDKKKKQKKQ anannanaannnana

Cuando los desplazamientos en los apoyos sean nulos:

nnnn QKD 1

nnnana QKKQ 1

68 Abril 2012

Ingeniería Estructural IISistema de Coordenadas Ortogonales:


Sistema Global: a este sistema se refieren los datos de la estructura• Coordenadas de los nudos

• Cargas externas nodales• Cargas externas nodales

• Desplazamientos nodales

Sistema Local: a este sistema se refieren los datos de los elementos:

• Dimensiones de la sección transversal

• Momentos de Inercia

• Cargas sobre los elementos

69

• Fuerzas internasAbril 2012

Ingeniería Estructural IIEl sistema local es definido por el usuario al definir las inicidencias

d l l t ( d i d j)


de los elementos (nodo i y nodo j)Sistema Global:

Sistema Local:

yx

yx y

y

Sistema Local: yx

x

70

xAbril 2012

xIngeniería Estructural II

AEAE

xjxQCoordenadas Locales:


j

i

xj

xi

AEAEL

AEL

AE

QQ

y

Expandiendo la ecuación a 4 componentes :

LLixQ

Expandiendo la ecuación a 4 componentes :

ixiQ 0101

j

i

xj

yi

LAE

QQ

01010000 DKQ

71

jyjQ 0000

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEn el caso de una cercha los nodos se pueden mover encualquier dirección


cualquier dirección

xy

yjQjxQy

cos

cos yixixj

QsenQQ

senQQQ

xjxQ

xjQ

jyQjyQy cosyixiyi QsenQQ

cos yjxjxj senQQQ

x cosyjxjyj QsenQQ

72 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatricialmente:


yi

xi

yi

xi

QQ

sensen

QQ

00cos00cos

yj

xj

yi

yj

xj

yi

QQQ

sensen

QQQ

cos00cos00

yj

QQ DTDQTQ

73 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatricialmente: DTDQTQ


DKQ DTKQT

Premultiplicando por 1T DTKTQTT 11 Premultiplicando por T DTKTQTT

DKQ Matriz ortogonal

TKTK t tTT 1

g

74 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez en Coordenadas Locales:

0101


010100000101

LAEK

00000101L

Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales:Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales:

22

22

scsscs

csccsc

AEc cos22

22 csccsc

scsscs

LAETKTK t

sencs

senscos

22

75

22 scsscs

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas de corte y flexión

y


jjM ,

y

i jiiM ,

xL e

Q iyiQ ,jyjQ ,iyiQ ,

iyiQ

j

ix

yj

i K

MQM

44

76

jjM

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIRecordando el significado físico de cada columna de la matrizde rigidez, se deben determinar las fuerzas que mantienen la

t t ilib i d d l i t it i


estructura en equilibrio para cada desplazamiento unitario.

Propiedades: Area de la sección: A ; Inercia de la sección: IMódulo de elasticidad del material: E

26LEI

???12

3LEI

1i

26LEI

12

???62

3

EILEIL

312

LEI

2L3

12LEI

???6

???123

EILEI

77

???2LAbril 2012


LEI4

LEI21i

46

??61223

EIEILEI

LEI

6EI

L L

26LEI

??612

??462

EIEILEI

LEI

2L

??26

??

2

23

LEI

LEI

LL

LL

78 Abril 2012


6EI2

6LEI


1j26LEI

3

12LEI

312

LEI

?646

?12612323

EIEIEILEI

LEI

LEI

?12612

?646

323

22

EIEIEILEI

LEI

LEI

?626

22

323

LEI

LEI

LEI

LLL

79 Abril 2012


LEI2

LEI41j


26LEI

26LEI

L L

LEI

LEI

LEI

LEI 612612

2323

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

612612

264622

LEI

LEI

LEI

LEI

LLLL4626

22

2323

80

LLLL 22

Abril 2012


jjM ,

y

iiM ,


xL

i j

EIEIEIEI 612612jyjQ ,iyiQ ,

i

i

i

yi

LEI

LEI

LEI

LEI

LLLL

M

Q

2646

22

2323

j

j

j

yj

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

M

Q

4626

6126122323

81

LLLL 22

Abril 2012

Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos Sección 0.3 m x 0.4 m

E = 19 x 106 KN/m2


KN50

m3 m3

1 2 3

82 Abril 2012

Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos

R l ió t ió t DKQ


Relación entre acción y respuesta

• Vector de fuerzas nodales

DKQ

Q

• Vector de desplazamientos nodales

• Matriz de rigidez de la estructura

D

K Matriz de rigidez de la estructura

Cuando existen cargas sobre los elementos se llevan a losnodos:

eQDKQ

83

• Vector de fuerzas de empotramiento eQ

Abril 2012

Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos DKQ


84 Abril 2012


85 Abril 2012


86 Abril 2012

Ingeniería Estructural IICargas sobre los elementos Sección 0.3 m x 0.4 m

E = 19 x 106 KN/m2


KN50

1 2

m3 m3

1 2

1 2

87 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión


jjM ,

y

i jiiM ,

jxjQ ,

xL e

jyjQ ,iyiQ ,ixiQ ,

jjM ,

y

i jiiM ,

iiQ , jjQ ,

y

i j xL e

jyjQ ,iyiQ ,

xL

i j

88 Abril 2012


yy

Matriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión


jjM ,

xL

i jiiM ,

iiQ , jjQ ,

x

y

i j L e

jyjQ ,iyiQ ,L

EIEIEIEI 612612 22

LEI

LEI

LEI

LEI

LLLL2646

22

2323

22

22

scsscs

csccsc

AE

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

4626

612612

22

2323

22

22 csccscL

89

LLLL 22

22 scsscs

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión

jjM ,

y

iiM ,


jj

xL e

i j

jyjQ ,iyiQ ,ixiQ ,

jxjQ ,

ixi

LEI

LEI

LEI

LEI

LAE

LAE

Q

Q

61206120

0000

2323

j

i

i

xj

i

yi

AEAELEI

LEI

LEI

LEI

LLLL

Q

M

Q

0000

260460 22

2323

j

j

j

j

yj

xj

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

LL

M

Q

Q

4626

61206120

0000

2323

90

jj

LEI

LEI

LEI

LEI 460260 22

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión en Coordenadas Locales

jjM , xy


AEAE

x

y jyjQ ,

jxjQ ,

L

j DKQ y

i

i

yi

xi

LEI

LEI

LEI

LEI

LAE

LAE

Q

Q

61206120

0000

2323

iiM ,

iyiQ ,ixiQ ,

Li

x

j

i

xj

i

LAE

LAE

LEI

LEI

LEI

LEI

Q

M

0000

260460 22

iyiQ ,

j

j

j

yj

EIEIEIEILEI

LEI

LEI

LEI

LL

M

Q

460260

61206120 2323

91

LLLL

00 22

Abril 2012

Ingeniería Estructural IIEn el caso de un elemento arbitrariamente orientado:Ingeniería Estructural II

xy

yjQjxQy

yixiyi

yixixj

QsenQQ

senQQQ

cos

cos

xjxQ

xjQ

jyQjyQy

ii MM

yjxjyj

yjxjxj

QsenQQ

senQQQ

cos

cos

xjj

yjxjyj

MM

QQQ

92 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatricialmente:


Q

Q

cs

sc

Q

Q

yi

xi

yi

xi

0000

0000

c cos

Q

M

scQ

M

xj

i

xj

i

0000

000100

sensc cos

jM

Qcs

M

Q yj

j

yj

j

100000

0000

jj

93

DTDQTQ Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatricialmente: DTDQTQ


DKQ DTKQT

Premultiplicando por 1T DTKTQTT 11 Premultiplicando por T DTKTQTT

DKQ Matriz ortogonal

TKTK t tTT 1

g

94 Abril 2012

Ingeniería Estructural IIMatriz de Rigidez de una barra prismática sometida afuerzas axiales, corte, flexión en Coordenadas Globales


ixi

EIEIAEEIAEEIEIAEEIAE

sLEIcs

LEI

LAEs

LEIc

LAEs

LEIcs

LEI

LAEs

LEIc

LAEQ

6121261212

6121261212233

2233

i

i

i

yi

LEIc

LEIs

LEI

LEIc

LEIs

LEI

cLEIc

LEIs

LAEcs

LEI

LAEc

LEIc

LEIs

LAEcs

LEI

LAE

M

Q

266466

6121261212

2222

22

32

322

32

3

jxj sLEIcs

LEI

LAEs

LEIc

LAEs

LEIcs

LEI

LAEs

LEIc

LAE

LLLLLL

Q 612126121223

23

223

23

2

j

j

j

yj

LEIc

LEIs

LEI

LEIc

LEIs

LEI

cLEIs

LEIc

LAEcs

LEI

LAEc

LEIc

LEIs

LAEcs

LEI

LAE

M

Q

466266

6121261212

2222

22

32

322

32

3

95

jjLLLLLL 2222

Abril 2012

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