EDUCACIÓN
LA DERIVADA DE CARATHÉODORY*
ERNESTO ACOSTA G.
CÉSAR DELGADO G.
CARLOS RODRÍGUEZ B.
Resumen. La definición de derivada de
Carathéodory permite pensar en una nueva
forma de presentar los cursos de cálculo.
1. Introducción
En el volumen 98, No1, de Enero de 1991 de la revista American
Mathematical Monthly, Stephen Kuhn presenta una formulación
de derivada que nos llamó mucho la atención [Kuhn]. Según
Kuhn, parece ser que Constantine Carathéodory quien por primera
vez hizo esta formulación en su libro Teoría de Funciones de
Variable Compleja (1954) [Car.] . Kunh muestra cómo esta
formulación simplifica notablemente la demostración de algunos
de los teoremas básicos del cálculo diferencial, sobre todo el de
la regla de la cadena. Sin embargo, éste se muestra escéptico
acerca de su uso en el cálculo de derivadas.
En este artículo queremos compartir con el lector la formulación
de Carathéodory presentando la demostración de algunos teoremas
básicos del cálculo diferencial, mostrando cómo ésta se puede
extender a funciones de Rn en Rm
y ejemplificando el uso de la
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misma con algunos cálculos. Para esto destacaremos el álgebra de
las funciones de pendientes (en la terminología de [Aco , Del]).
2. La formulación de Carathéodory
Supongamos que queremos calcular la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de una función f en el punto (a ,f(a)), f
definida en un intervalo abierto U , aU . Para esto construiremos
la función de las pendientes de las rectas secantes a la gráfica
de f en (a ,f(a)):
( ) ( )
( ) , .f x f a
x x U ax a
La pendiente de la recta tangente en cuestión será el límite,
cuando x t iende a a , de (x), si éste existe, y la notamos f ´(a):
)()(lim afxax
Dicho en otras palabras, la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f en (a ,f(a)) existe si t iene una discontinuidad
removible en a . Esto motiva la siguiente definición.
Definición. Sea f una función definida en un intervalo abierto U ,
y a un punto en U . f es diferenciable en a, en el sentido de
Carathéodory, si existe una función f (x ,a), continua en a , que
satisface la relación
),)(,()()( axaxafxf f para todo xU (1)
El número f (a , a) es la derivada de Carathéodory de f en a . En
lo que sigue escribiremos f (x) en lugar de f (x , a), sin olvidar
que f depende de a .
No es difícil ver que esta definición es equivalente a la que
usualmente se da para la derivada y que f (a , a) = f ´(a).
La consecuencia más inmediata de esta definición es que si f es
diferenciable en a , también es continua en a . En efecto si f es
diferenciable en a existe f continua en a tal que
.)())(()( afaxxxf f
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Como el producto y la suma de funciones continuas son funciones
continuas se concluye que f es continua en a .
Consideraremos ahora la familia a(U ,R) de funciones f definidas
en el intervalo abierto U que son diferenciables en aU y la
familia a(U ,R) de funciones definidas en U que son continuas en
aU . Definimos : a a por (f) = f , donde f satisface (1).
Tenemos, entonces, el siguiente teorema que consigna algunas de
las propiedades de .
Teorema 1 . (El álgebra de ( a)). Si f , g a(U ,R) y ,R entonces f g , f g y fg (si g0) a(U ,R) y
i) f g f g
i i) ( )fg f gg f a
i ii) / ( ( ) ( ) ) / ( )f g f gg a f a g a g
Demostración.
i) Si h = f g entonces,
h(x) h(a) = (f(x) g(x)) (f(a) g(a))
= (f(x) f(a)) (g(x) g(a))
= f (x) g(x))(x a).
f g es suma y producto de funciones continuas en a ,
por tanto, h a(U ,R) y h = f g .
i i) Si h = f g entonces
h(x) h(a) = f(x)g(x) f(a)g(a)
= g(x)(f(x) f(a)) f(a)(g(x) g(a))
= (g(x) f (x) f(a) g(x))(x a)
Claramente g f f(a) g es continua en a . Por lo tanto,
h a(U ,R) y h = g f f(a) g .
Similarmente, el lector puede probar iii).
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Corolario 1 . Bajo las hipótesis del teorema 1
i) (f g)’(a) f ’(a) g’(a)
ii) (f g)’(a) = g(a) f ’(a) f (a) g’(a)
iii) (f g)(a) = 2
( ) '( ) ( ) '( ), ( ) 0
[ ( )]
g a f a f a g ag a
g a
Teorema 2. Sea f definida en el intervalo abierto U , aU , y g
definida en el intervalo abierto V, f(U)V, con f a(U ,R) y
g f (a )(V,R). Entonces g o f a(U ,R) y
g o f ( g o f ) f
Demostración . Si h = g o f entonces
h(x) h(a) = g(f(x)) g(f(a))
= g(f(x))(f(x) f(a))
= g(f(x)) f(x)(x a)
f es continua en a por ser diferenciable en xa , por hipótesis g
es continua en f(a) y f es continua en xa y por tanto ( g o f) f
es continua en a . Tenemos así que gof a(U ,R) y que
h( gof) g .
Corolario 2 . (Regla de la cadena). Bajo las hipótesis del teorema 4
(g o f )’(a) g’(f(a))f ’(a)
Usando los argumentos usuales se demuestran los teoremas de
valores extremos, de Rolle y del valor medio, la diferencia está en
que el argumento fuerte de las demostraciones recae en el álgebra
de las funciones continuas.
3. Extensión de la derivada a funciones vectoriales
Queremos ahora extender el concepto de derivada a funciones
vectoriales. La forma más conocida de hacer esto es mediante la
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introducción de la derivada total como aproximación lineal de la
función en un punto. Esto corresponde a la definición de derivada
de Frechét. Sin embargo, veamos que una interpretación
conveniente de la relación (1) nos permite extender la derivada de
Carathéodory a funciones vectoriales.
Sea f una función de Rn en Rm
y a un punto en Rn . Como ya lo
hemos dicho debemos dar una interpretación a la expresión
f (x) f (a) = f (x) (x a) .
Identifiquemos f(x) f(a) con un vector columna de Rm y xa con
un vector columna de Rn . Por lo tanto f (x) se puede interpretar
como una matriz mn (realmente f(x)(Rn,Rm
)), que se
identifica con el espacio mn de matrices reales mn). Pues
bien, como la relación (1) tiene sentido para f podemos dar la
siguiente definición.
Definición. f es diferenciable en a si existe f : Rn mn ,
continua en a , tal que
f (x) f(a) = f(x)(x a).
Si f existe, Df(a) = f(a) mn .
En [Aco, Del] se demuestra la equivalencia entre la derivada de
Frechét y Carathéodory y los teoremas básicos del cálculo
vectorial, pudiéndose apreciar el poder de simplificación de (1)
en las argumentaciones con la formulación de Carathéodory. Esto
se observa, en particular, en la demostración del teorema de la
función inversa. Básicamente las demostraciones son las mismas
de los teoremas 1 y 2 que presentamos aquí.
4. Cálculo de derivadas
Veamos ahora cómo se usa (1) para calcular derivadas. Para
efectuar el cálculo tendremos que factorizar (xa) de la diferencia
f(x)f(a) y mostrar que el factor resultante f (x) es una función
continua en a . Si éste es el caso, f ’(a) no será otra cosa que
f(a).
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Ejemplos.
1. Calculemos la derivada de una función constante f: RR ,
f(x)k , en un punto aR . En este caso f(x) f(a)0, por lo
que la factorización es
0 0 (xa)
El factor resultante f es idénticamente 0, que es continua
en a y por lo tanto f (a)0.
2. Calculemos ahora la derivada de f : R R definida por
f(x)xn en un punto aR . En este caso f(x)f(a)x
na
n y la
factorización es
xna
n (x
n1 x
n2a… xa
n2 a
n1) (xa).
El factor resultante es f (x) xn1
xn2
a… an1
que por
ser un polinomio es continua en a y f(a) nan1
.
3. Ensayemos ahora con: f : R R definida por f(x) senx .
Calculemos su derivada en xa . La diferencia f(x)f(a) no
se puede factorizar sino para xa como
( )senx sena
senx sena x ax a
Tenemos que ver entonces si el factor f (x) senx sena
x a
t iene una discontinuidad removible en xa . En efecto,
12
12
( ) 1cos ( ) ,
( ) 2
sen x asenx senax a
x a x a
que tiene a cos a como límite cuando x t iende a a . Luego,
podemos definir f(a)cos a para que f sea continua en a.
4. La función f : R R definida por
1 , 0( )
0 , 0
xx sen x
f xx
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es continua en 0, pero no es diferenciable en 0. En efecto,
1 1( ) (0) ( 0)f x f sen sen x
x x
pero el factor resultante f(x)1
senx
no tiene una
discontinuidad removible en x0.
5. Si F : Rn Rm es lineal y aRn
, la diferencia f(x) f(a)
se factoriza muy fácilmente:
F(x) F(a) F(x a).
Por lo tanto, f (x) F para todo x y Df (a) F .
6. Si F : R2 R2 está definida por F(x ,y) (x
2,y
2) y
(a ,b) R2 , la diferencia F(x ,y) F(a ,b) se puede factorizar
así:
F(x y) F(a b) (x2,y
2) (a
2,b
2)
(x2a
2, y
2b
2) ((xa)(xa), (yb) (yb))
0
0
x a x a
y b y b
f (x ,y) 0
0
x a
y b
es continua en (a ,b) y
2 0( , ) .
0 2
aDf a b
b
7. Sea f(x) Ax x una forma cuadrática de Rn en R , calculemos
la derivada en aRn :
f(x)f(a) Ax x Aa a
Ax x Ax a Ax a Aa a
Ax (xa) Aa x Aa a
Ax (xa) Aa (x a)
(Ax Aa) (x a)
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f (x) Ax Aa es continua en a y Df(a) 2Aa .
8. Consideremos ahora G : R2 R definida por G(x) [F(x)]
2
donde F : R2 R es lineal y calculemos DG(a), a R2
.
Observemos que G f o F , donde f(y) y2. Entonces por el
teorema 2
G ( f o F) F
y por los ejemplos 2 y 5
f (y) y b , F(x) F
donde b F(a). Por lo tanto
G(x) {F(x) F(a)} F
= F(x a) F
y DG(a) G(a) 2F(a) F .
Cada lector deberá sacar su propia conclusión. Los autores
pensamos que esta forma es más natural y simple que la
tradicional.
5. Referencias
[Kuhn] Stephen Kuhn, The Derivative a la Carathéodory, American
Mathematical Monthly , Vol.98, No.1, January, (1991).
[Car] Constantine Carathéodory, Theory of functions of complex
variable, Vol.I, Chelsea, New York, (1954).
[Aco,Del] Ernesto Acosta, César Delgado, Frechét vs. Carathéodory.
Enviado para publicación a American Mathematical Monthly,
Diciembre, (1991).
Ernesto Acosta G., César Delgado G., Carlos Rodríguez B.,
Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle,
Apartado Aéreo 25360, Cali, Colombia.