acosta, delgado, rodríguez. la derivada de carathéodory

EDUCACIÓN

LA DERIVADA DE CARATHÉODORY*

ERNESTO ACOSTA G.

CÉSAR DELGADO G.

CARLOS RODRÍGUEZ B.

Resumen. La definición de derivada de

Carathéodory permite pensar en una nueva

forma de presentar los cursos de cálculo.

1. Introducción

En el volumen 98, No1, de Enero de 1991 de la revista American

Mathematical Monthly, Stephen Kuhn presenta una formulación

de derivada que nos llamó mucho la atención [Kuhn]. Según

Kuhn, parece ser que Constantine Carathéodory quien por primera

vez hizo esta formulación en su libro Teoría de Funciones de

Variable Compleja (1954) [Car.] . Kunh muestra cómo esta

formulación simplifica notablemente la demostración de algunos

de los teoremas básicos del cálculo diferencial, sobre todo el de

la regla de la cadena. Sin embargo, éste se muestra escéptico

acerca de su uso en el cálculo de derivadas.

En este artículo queremos compartir con el lector la formulación

de Carathéodory presentando la demostración de algunos teoremas

básicos del cálculo diferencial, mostrando cómo ésta se puede

extender a funciones de Rn en Rm

y ejemplificando el uso de la

Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

Ernesto Acosta G. et al. Educación


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misma con algunos cálculos. Para esto destacaremos el álgebra de

las funciones de pendientes (en la terminología de [Aco , Del]).

2. La formulación de Carathéodory

Supongamos que queremos calcular la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de una función f en el punto (a ,f(a)), f

definida en un intervalo abierto U , aU . Para esto construiremos

la función de las pendientes de las rectas secantes a la gráfica

de f en (a ,f(a)):

( ) ( )

( ) , .f x f a

x x U ax a

La pendiente de la recta tangente en cuestión será el límite,

cuando x t iende a a , de (x), si éste existe, y la notamos f ´(a):

)()(lim afxax

Dicho en otras palabras, la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de f en (a ,f(a)) existe si t iene una discontinuidad

removible en a . Esto motiva la siguiente definición.

Definición. Sea f una función definida en un intervalo abierto U ,

y a un punto en U . f es diferenciable en a, en el sentido de

Carathéodory, si existe una función f (x ,a), continua en a , que

satisface la relación

),)(,()()( axaxafxf f para todo xU (1)

El número f (a , a) es la derivada de Carathéodory de f en a . En

lo que sigue escribiremos f (x) en lugar de f (x , a), sin olvidar

que f depende de a .

No es difícil ver que esta definición es equivalente a la que

usualmente se da para la derivada y que f (a , a) = f ´(a).

La consecuencia más inmediata de esta definición es que si f es

diferenciable en a , también es continua en a . En efecto si f es

diferenciable en a existe f continua en a tal que

.)())(()( afaxxxf f



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Como el producto y la suma de funciones continuas son funciones

continuas se concluye que f es continua en a .

Consideraremos ahora la familia a(U ,R) de funciones f definidas

en el intervalo abierto U que son diferenciables en aU y la

familia a(U ,R) de funciones definidas en U que son continuas en

aU . Definimos : a a por (f) = f , donde f satisface (1).

Tenemos, entonces, el siguiente teorema que consigna algunas de

las propiedades de .

Teorema 1 . (El álgebra de ( a)). Si f , g a(U ,R) y ,R entonces f g , f g y fg (si g0) a(U ,R) y

i) f g f g

i i) ( )fg f gg f a

i ii) / ( ( ) ( ) ) / ( )f g f gg a f a g a g

Demostración.

i) Si h = f g entonces,

h(x) h(a) = (f(x) g(x)) (f(a) g(a))

= (f(x) f(a)) (g(x) g(a))

= f (x) g(x))(x a).

f g es suma y producto de funciones continuas en a ,

por tanto, h a(U ,R) y h = f g .

i i) Si h = f g entonces

h(x) h(a) = f(x)g(x) f(a)g(a)

= g(x)(f(x) f(a)) f(a)(g(x) g(a))

= (g(x) f (x) f(a) g(x))(x a)

Claramente g f f(a) g es continua en a . Por lo tanto,

h a(U ,R) y h = g f f(a) g .

Similarmente, el lector puede probar iii).



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Corolario 1 . Bajo las hipótesis del teorema 1

i) (f g)’(a) f ’(a) g’(a)

ii) (f g)’(a) = g(a) f ’(a) f (a) g’(a)

iii) (f g)(a) = 2

( ) '( ) ( ) '( ), ( ) 0

[ ( )]

g a f a f a g ag a

g a

Teorema 2. Sea f definida en el intervalo abierto U , aU , y g

definida en el intervalo abierto V, f(U)V, con f a(U ,R) y

g f (a )(V,R). Entonces g o f a(U ,R) y

g o f ( g o f ) f

Demostración . Si h = g o f entonces

h(x) h(a) = g(f(x)) g(f(a))

= g(f(x))(f(x) f(a))

= g(f(x)) f(x)(x a)

f es continua en a por ser diferenciable en xa , por hipótesis g

es continua en f(a) y f es continua en xa y por tanto ( g o f) f

es continua en a . Tenemos así que gof a(U ,R) y que

h( gof) g .

Corolario 2 . (Regla de la cadena). Bajo las hipótesis del teorema 4

(g o f )’(a) g’(f(a))f ’(a)

Usando los argumentos usuales se demuestran los teoremas de

valores extremos, de Rolle y del valor medio, la diferencia está en

que el argumento fuerte de las demostraciones recae en el álgebra

de las funciones continuas.

3. Extensión de la derivada a funciones vectoriales

Queremos ahora extender el concepto de derivada a funciones

vectoriales. La forma más conocida de hacer esto es mediante la



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introducción de la derivada total como aproximación lineal de la

función en un punto. Esto corresponde a la definición de derivada

de Frechét. Sin embargo, veamos que una interpretación

conveniente de la relación (1) nos permite extender la derivada de

Carathéodory a funciones vectoriales.

Sea f una función de Rn en Rm

y a un punto en Rn . Como ya lo

hemos dicho debemos dar una interpretación a la expresión

f (x) f (a) = f (x) (x a) .

Identifiquemos f(x) f(a) con un vector columna de Rm y xa con

un vector columna de Rn . Por lo tanto f (x) se puede interpretar

como una matriz mn (realmente f(x)(Rn,Rm

)), que se

identifica con el espacio mn de matrices reales mn). Pues

bien, como la relación (1) tiene sentido para f podemos dar la

siguiente definición.

Definición. f es diferenciable en a si existe f : Rn mn ,

continua en a , tal que

f (x) f(a) = f(x)(x a).

Si f existe, Df(a) = f(a) mn .

En [Aco, Del] se demuestra la equivalencia entre la derivada de

Frechét y Carathéodory y los teoremas básicos del cálculo

vectorial, pudiéndose apreciar el poder de simplificación de (1)

en las argumentaciones con la formulación de Carathéodory. Esto

se observa, en particular, en la demostración del teorema de la

función inversa. Básicamente las demostraciones son las mismas

de los teoremas 1 y 2 que presentamos aquí.

4. Cálculo de derivadas

Veamos ahora cómo se usa (1) para calcular derivadas. Para

efectuar el cálculo tendremos que factorizar (xa) de la diferencia

f(x)f(a) y mostrar que el factor resultante f (x) es una función

continua en a . Si éste es el caso, f ’(a) no será otra cosa que

f(a).



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Ejemplos.

1. Calculemos la derivada de una función constante f: RR ,

f(x)k , en un punto aR . En este caso f(x) f(a)0, por lo

que la factorización es

0 0 (xa)

El factor resultante f es idénticamente 0, que es continua

en a y por lo tanto f (a)0.

2. Calculemos ahora la derivada de f : R R definida por

f(x)xn en un punto aR . En este caso f(x)f(a)x

na

n y la

factorización es

xna

n (x

n1 x

n2a… xa

n2 a

n1) (xa).

El factor resultante es f (x) xn1

xn2

a… an1

que por

ser un polinomio es continua en a y f(a) nan1

.

3. Ensayemos ahora con: f : R R definida por f(x) senx .

Calculemos su derivada en xa . La diferencia f(x)f(a) no

se puede factorizar sino para xa como

( )senx sena

senx sena x ax a

Tenemos que ver entonces si el factor f (x) senx sena

x a

t iene una discontinuidad removible en xa . En efecto,

12

12

( ) 1cos ( ) ,

( ) 2

sen x asenx senax a

x a x a

que tiene a cos a como límite cuando x t iende a a . Luego,

podemos definir f(a)cos a para que f sea continua en a.

4. La función f : R R definida por

1 , 0( )

0 , 0

xx sen x

f xx



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es continua en 0, pero no es diferenciable en 0. En efecto,

1 1( ) (0) ( 0)f x f sen sen x

x x

pero el factor resultante f(x)1

senx

no tiene una

discontinuidad removible en x0.

5. Si F : Rn Rm es lineal y aRn

, la diferencia f(x) f(a)

se factoriza muy fácilmente:

F(x) F(a) F(x a).

Por lo tanto, f (x) F para todo x y Df (a) F .

6. Si F : R2 R2 está definida por F(x ,y) (x

2,y

2) y

(a ,b) R2 , la diferencia F(x ,y) F(a ,b) se puede factorizar

así:

F(x y) F(a b) (x2,y

2) (a

2,b

2)

(x2a

2, y

2b

2) ((xa)(xa), (yb) (yb))

0

0

x a x a

y b y b

f (x ,y) 0

0

x a

y b

es continua en (a ,b) y

2 0( , ) .

0 2

aDf a b

b

7. Sea f(x) Ax x una forma cuadrática de Rn en R , calculemos

la derivada en aRn :

f(x)f(a) Ax x Aa a

Ax x Ax a Ax a Aa a

Ax (xa) Aa x Aa a

Ax (xa) Aa (x a)

(Ax Aa) (x a)



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f (x) Ax Aa es continua en a y Df(a) 2Aa .

8. Consideremos ahora G : R2 R definida por G(x) [F(x)]

2

donde F : R2 R es lineal y calculemos DG(a), a R2

.

Observemos que G f o F , donde f(y) y2. Entonces por el

teorema 2

G ( f o F) F

y por los ejemplos 2 y 5

f (y) y b , F(x) F

donde b F(a). Por lo tanto

G(x) {F(x) F(a)} F

= F(x a) F

y DG(a) G(a) 2F(a) F .

Cada lector deberá sacar su propia conclusión. Los autores

pensamos que esta forma es más natural y simple que la

tradicional.

5. Referencias

[Kuhn] Stephen Kuhn, The Derivative a la Carathéodory, American

Mathematical Monthly , Vol.98, No.1, January, (1991).

[Car] Constantine Carathéodory, Theory of functions of complex

variable, Vol.I, Chelsea, New York, (1954).

[Aco,Del] Ernesto Acosta, César Delgado, Frechét vs. Carathéodory.

Enviado para publicación a American Mathematical Monthly,

Diciembre, (1991).

Ernesto Acosta G., César Delgado G., Carlos Rodríguez B.,

Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle,

Apartado Aéreo 25360, Cali, Colombia.

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