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Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2005 Secundaria
Quinto AñoP
temA
. Halle la suma de valores que toma a para que la
mínima distancia entre la unción (x)=x2–ax+4a2
y la recta y=– 3 sea 18.
A) 0 B) 4 C) 6
D) 2 E) 10
2. Si :R+→R es una unción, tal que
f xx x n
x
n
( )≤+ ++1
; n∈Z+, además el mayor
elemento del rango es 12, calcule el valor de n.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 12 E) 13
3. Sobre la ecuación irracional
x
x
x
x
x+ + − =1 1
,
podemos afrmar que
A) su conjunto solución es vacío.
B) presenta 2 soluciones positivas.
C) la suma de sus soluciones es 4.
D) si M es su conjunto solución → M ⊂ ⟨1; 3/2⟩.
E) admite una única solución.
4. Si el número real positivo
b b a b b a
m m n m m n
+ − + − −2 55 2 55
es la solución de la ecuación
lnx+ln(x4+5a2)=ln(5ax3+2b); a; b ∈R, entonces el
valor de mn+nm es
A) 1 B) 2 C) 4
D) 17 E) 3
5. Si las gráfcas de las uncionesy x= log2 e y=x+k
se intersectan en los puntos A y B, tal que AB= 2 ,
determine el punto B.
A) (2; 1) B) (1; 2) C) (2; 4)
D) (1; 1/2) E) (1/2; 1)
6. Dada la unción logarítmica
f x x x( ) log log ( )= + −2 2 8 ,
determine Dom() ∩ Ran()
A) ⟨0; 8⟩ B) ⟨0; 4] C) ⟨0; 3]
D) [4; 8⟩ E) ⟨0; 2]
7. Reduzca la siguiente expresión
log log
log log
4 4
2 2
2 5 1
2 5 1
+ +
+ +
A) 1 B) 1/2 C) 2
D) 2 E) 2 /2
8. Dado el sistema
log log
log log
log log
y z
z x
x y
z y a
x z b
y x c
+ =
+ =+ =
determine a2+b2+c2 – abc
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
9. Reduzca la siguiente expresión
log log . log log .log6 3 6 3 2+ + −log2
A) log3 B) log 3 C) log9
D) 2 9log E) 2 3log
0. Si se cumple
x
x x x x
x− + − + − = +2 3 4 5
2 3 4 51... ln( ),
para –1<x<1, determine el valor aproximado de
e
1
2
3
2
5
2
7
2
1 1
3
1
5
1
7
− − − −
+ + + + ...
A) 1,72 B) 2,7182 C) 1,32
D) 1,45 E) 2,51
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. Una unción está defnida para todos los enteros no
negativos, tal que
• (1)=1003
• ∑ ∑ − −[ ]= =m
n
k
m
fk fk
1 1
1( ) ( ) = n2 (n) – n(0)
Determine (2005)
A)1
2005B)
1
2003C) 1
D) 2001 E) 2003
2. Dada la unción
f
x xx
: ;
log .log ,
1
425
425
→
→
R
determine Ran()
A) ⟨0; 1] B) ⟨– ∞; 1] C) ⟨1/2; 1]
D) [1; +∞⟩ E) ⟨0; +∞⟩
3. En una determinada población se encontró
experimentalmente que el número de personas con
empleo (W) en unción del tiempo (T) está dado por
la siguiente ecuación − −
=ln ,W k
kT
1
2
donde: k 1= 0,5×106 y k 2= 106. Grafque el empleo
(W) en unción del tiempo (T).
4. Dada la igualdad
antilog antilog colog antilog colog3 9 27 81 243 729colog x( )( )( )( )( ))=y
Si se cumple que xm.yn=1, calcule el valor de m+n.
A) 20 B) 18 C) 21/5
D) 22 E) 19
5. Según el gráfco, las regiones BHC y ACD son
semejantes. Si m AB =m BC, determine la pendiente
de la recta L.
A) 3 B) 2 C) 3/2
D) 3 /3 E)3 /2
6. Según el gráfco, determine la pendiente de AO .
A) 3 B) 2 3 C) 13
D) 15 E) 3 5
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7. Según el gráfco, se tienen las rectas L1 , L2 y L3
L1: x+y – 3a=0
L2: –x–a +y=0
Determine la ecuación de L3.
A) y=3x B) x=2y C) y=2x
D) x=2y E) 2x–y=2
8. Según el gráfco, AB=OD; M, N y L son puntos de
tangencia
L2: x+ay +2=0
L1: ax –y – 8a=0
Calcule r
A) 1,83 B) 2,24 C) 3,2
D) 2 E) 1,5
9. Según el gráfco, OABC es un trapecio isósceles y
OC//AQ. Determine las coordenadas del punto P.
A) (8; 0) B) (12; 0) C)25
70;
D)100
70;
E)
72
70;
20. Según el gráfco, (AB)(BN)=7(BH)2 y OP=6.
Determine la ecuación de la recta PB.
A) y – 3 x – 6 3=0
B) x +3 3y – 6=0C) 6 x – y – 6 6=0
D) 6 x – y – 3 6=0
E) x – 3 y – 6=0
2. En el gráfco, se muestra un valle que está ormado
por 3 arcos de circunerencia de radio R. Indique la
distancia entre el punto de partida y el de llegada del
esquiador.
A) 2Rsena B) 2Rtana C) 4Rtana
D) 4Rsena E) 8Rsena
22. Señale la alternativa correcta.
A) sen º2403
2=
B) cos( º)− =120
1
2
C) tan225º=–1
D) sec315º= 2
E) sen( º)− =1352
2
23. En un polígono de (2n+1) lados, la medida de los
ángulos internos está en progresión aritmética. Halle
el número de radianes del ángulo intermedio.
A)( )2 1
2 1
n
n
+−
π
B)
( )2 1
2 1
n
n
−+
πC)
2
2 1
n
n
π+
D)n
n
π+1
E)( )n
n
++1
2 1
π
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24. Del gráfco, se muestra una plancha semicircular de
radio r. Determine en términos de r y q la longitud de
la varilla AM que sujeta a la plancha. (T es punto de
tangencia).
A) r(1+secq) B) r(1+cscq) C) r(1+senq)
D) r(1+cosq) E) r(1+cotq)
25. Dada la siguiente igualdad
sen sen sen ; ; ,φ φ φ φπ
+ = ∈3 2 03
determine el valor de W=4cos4f – 4cos3f–3cos2f+3
A) 2 cos37º B) tan45º C) tan60º
D) csc30º E) 3 sec60º
26. Si
f
n
( )ln(tan ) ln(tan ) ln(tan ) ... ln(tan )
ln tan
θθ θ θ θ
θ=
+ + + +
2 3
22
− −
ln tan1
2
2 θ;
∀ ∈ ∈ +θπ
04; y n Z , entonces el valor de (5) es
A) n(n+1) B) n C) n+1
D)nn( )+ 1
2E) n/2
27. De la fgura, halle la longitud de la varilla doblada
ABC en términos de h1, h
2y q.
A) (h1–h2) secq
B) (2h1–h2)cscq
C) (h1+h2)cscq
D) (2h2+h1)secq
E) (3h1– h2)cscq
28. Si
(x)=(1 – 3sen2xcos2x – 2sen4x– cos4x+sen2x)3,
halle el valor de f fπ π
20 200
+
A) –2 B) –1 C) 0
D) 1 E) 2
29. En el gráfco, se muestran tres tuberías de igual radio.
Si estas se encuentran dentro de una tubería de radio
30 cm, determine el radio de una de las tuberías.
A) 30(2 3+3) cm
B) 20( 3+3) cm
C) 10( 3+1) cm
D) 30(2 3 – 3) cm
E) 40( 3+3) cm
30. Dadas las siguientes igualdades
cot3q + cotq = 2tanx (I)
cotq – cot3q =cotx (II)Halle tanx, si x∈IIC
A) − sen2θ B) − 2 2cos θ C) − sec2θ
D) − cos2θ E) 2 2sen θ
3. Para construir una carretera de la ciudad P a la
ciudad M, un ingeniero presenta un proyecto de
construcción.
Si 2AP=AC=10 km; BN=16 km; NP=6 km y G es
baricentro del triángulo ABC, calcule la pendiente
con la que se construirá esta carretera.
A)
7
2 B)
7
4 C)
7
5
D)7
7
E)7
3
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32. Sea la unción : R → R+, cuya regla de
correspondencia es (x)=eax, e>1. Si (1) = ee el
valor de cuando x = +sen cos4 4
8 8
π πes
A) e B) e
e3
2
C) e
e4
3
D) ee E) e3e
33. Un niño de 1 m de estatura observa una rampa con
un ángulo de observación a, como se muestra en
la gráfca, y luego divisa la cima del edifcio con un
ángulo de elevación q. Halle la distancia que separa
la base del edifcio con el niño, si a+q=90º y la
altura del edifcio es 21 m.
A) 2 m B) 3 m C) 4 m
D) 5 m E) 6 m
34. En un triángulo rectángulo ABC recto B, se
cumple que cotº '
ºA =
2 24
1. Determine el valor de
M=13(sen3A+sen2C cosC).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
35. Si tan( º ')82 301
1=
+ −− +A B
C B
,
halle el valor de A+B+C.
A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12
36. Si ABCD es un cuadrado; CE=AM=2; MD=7 y H
es punto de tangencia, calcule 8tanq.
A) 3 B) 4 C) 3/2
D) 3/8 E) 8
37. Si M, P y T son puntos de tangencia, halle
7tan2q – 9.
A) 2 B) 2 2 C) 3 2
D) 4 2 E) 5 2
38. Si cos2x=3cos4x, entonces el valor que toma
3 5
3
sen sen
sen
x x
x
+es
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
39. Dada la siguiente identidad
3 1
5 37 2
sen cos
sen( º)cot ,
x x
x
A B Cx
D+ −+
= +
determine el valor de A+B+C+D.
A) 7 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
40. Si 2tan2x – 9tanx +2secx tanx=9secx – 21, determine
el máximo valor que admite secx – tanx.
A) 1 B) 1/2 C) 1/4
D) 1/5 E) 2
Domingo, 23 de octubre 2005