78 Unidad 4| División y factorización de polinomios
4 División y factorización de polinomios REFLEXIONA Y CONTESTA
¿Qué crees que ocurre si el número de ranuras es menor que el número de imágenes?
Si el número de ranuras es menor que el número de imágenes se verán las imágenes salteadas y no habrá sensación de movimiento.
ANALIZA Y SACA CONCLUSIONES
Elige uno de los artefactos que hayas encontrado y trata de construir una ilusión óptica.
Respuesta libre.
Actividades propuestas
1. Divide los siguientes monomios e indica si el resultado es o no un monomio.
a) 4
2
243
xx
− d)
5 2
2 3
93
x yx y
b) 2 4
2 3
4510
x tx t
− e)
3 2
4
84a ba b
c) 28
16xxy
f)
2 3
4
1530
z yz y
a) 4
22
24 83
x xx
−= − ⇒ Es un monomio. d)
5 2 3
2 3
9 33
x y xx y y
= ⇒ No es un monomio.
b) 2 4
2 3
45 910 2
x t tx t
− −= ⇒ Es un monomio. e)
3 2
4
8 24a b ba b a
= ⇒ No es un monomio.
c) 28
16 2x xxy y
= ⇒ No es un monomio. f)
2 3 2
4 2
1530 2
z y yz y z
= ⇒ No es un monomio.
2. Indica cuál de los siguientes monomios es divisible por 4x2y2.
a) 16xy2 c) 3xy
b) 15x3y d) x3y2
a) 2
2 2
6 441
x yy
xx
= ⇒ No c) 2 2
3 34 4
xyx y xy
= ⇒ No
b) 3
2 2
1545
41 x
x y yx y
= ⇒ No d) 2
3
2
2
4 4xx y
y x= ⇒ Sí
3. Actividad resuelta
División y factorización de polinomios | Unidad 4 79
4. Divide los siguientes polinomios y expresa el resultado como la suma de un polinomio y una fracción donde el grado del polinomio numerador sea de menor grado que el polinomio denominador.
a) (6x3 – x2 – 25x + 15) : (2x2 + 3x – 4) d) (x4 – 3x2) : (x2 – 4)c)
b) (x4 + 5x3 – 2x2 + 17x – 18) : (x2 + 4) e) (x4 – 2x+ 8) : (x2 + x)
c) (3x3 – 2x2 + x + 18) : (x + 4) f) (3x3 – x + 5) : (2x + 1)
a) 3 2
2 2
6 25 15 2 53 52 3 4 2 3 4
x x x xxx x x x− − + −
= − ++ + + −
d) 4 2
22 2
3 414 4
x x xx x−
= + +− −
36x 2 2
3
25 15 2 3 4
6
x x x x
x
− − + + −
− 2
2
9 12 3 5
10
x x x
x
− + −
−2
13 15
10
x
x
− +
15 20
2 5
x
x
+ −
−
4x 2 2
4
3 4x x
x
− −
− 2 2
2
2
4 x 1
x
x
x
+ +
+
− 4
4
+
b) 4 3 2
22 2
5 2 17 18 3 65 64 4
x x x x xx xx x
+ − + − − += + − +
+ + e)
4x 22
2 2
2 2x 8 81x xx xx x x x
− − + − += − − +
+ +
4 x 3 2 2
4
5 2 17x 18 4x x x
x
+ − + − +
− 2 2
3
4 x 5 6
5
x x
x
− + −
2
3
6 17x 18
5
x
x
− + −
−
2
20
6
x
x
−
−2
3 18
6
x
x
− −
24
3 6x
+
− +
4x 2 2
4
2 2x 8 x x x
x
− − + +
− 3 2
3
x 1
x x
x
− − −
− 2
3
2 2x 8
x
x
− − +2
2
x
x
+
−2
2 8
x
x
− +
8
x
x
+
− +
c) 33x 2
22 18 2103 14 574 4
x x x xx x
− + += − + −
+ + f)
33x 2
415 3 3 1 8
2 1 2 4 8 2 1x x x
x x− +
= − − ++ +
3 3x 2
3
2 18 4
3
x x x
x
− + + +
− 2 2
2
12 3 14 57
14
x x x
x
− − +
−2
18
14
x
x
+ +
56
57
x
x
+
18
57x
+
− 228
210
−
−
3 3x
3
5 2 1
3
x x
x
− + +
− 2 2
2
3 3 3 1 2 2 4 8
3 2
x x x
x
− − −
−
2
5
3 2
x
x
− +
34
1 4
x
x
+
− 5
1 4
x
+
18
418
+
5. Actividad resuelta.
80 Unidad 4| División y factorización de polinomios
6. Comprueba que los siguientes polinomios son múltiplos de P(x) = 2x2 + x – 3 y escríbelos como producto de dos polinomios tales que uno de ellos sea P(x).
a) A(x) = 2x3 + 9x2 + x – 12
b) B(x) = 2x4 + 3x3 – 18x2 – 11x + 24
c) C(x) = – 4x2 – 2x + 6
a) 2x3 + 9x2 + x – 12 = (x + 4) · (2x2 + x – 3)
b) (2x4 + 3x3 – 18x2 – 11x + 24) = (x2 + x – 8) · (2x2 + x – 3)
c) – 4x2 – 2x + 6 = – 2 · (2x2 + x – 3)
7. Actividad resuelta.
8. Calcula, en cada caso, el valor de k para que las siguientes divisiones de polinomios sean exactas.
a) 3 2
2
6 21 213 3 3
x x x kx x− + +
− + c)
4 3 2
2
3 5 23 2
x x x kxx x
− + + +− +
b) 4 3 24 5 12
4 1x x x x k
x− + + +
− d)
4 33 5 153
x x kxx
+ − +− +
a) k + 15 = 0 ⇒ k = – 15 c) 1 – k = 0 ⇒ k = 1
36x 2 2
3
21 21 3 3 36
x x k x xx
− + + − +
− 2
2
6 6 2 5
15
x x x
x
+ − −
−2
15 15
x kx
+ +
+ 15 15 15
xk
− ++
43x 3 2 2
4
5 2 3 23
x x kx x xx
− + + + − +
− 3 2 2
2
2
2 1 3 2 3
x x xx kxx
+ − +
− +−
( )2
1xk x
+ −
−
b) k + 3 = 0 ⇒ k = – 3 d) 393 – 3k = 0 ⇒ k = 131
44x 3 2
4
5 12 4 1
4
x x x k x
x
− + + + −
− 3 3 2
3
3
4
x x x
x
+ − +
− 2
2
12 4
x x kx
+ + ++ 2
12x
x−
12k
x+
− 33k++
43x 3
4
5 15 3
3
x kx x
x
+ − + − +
− 3 3 2
3
9 3 14 42 (126 ) 14
x x x x k
x
+ − − − − −
+3
15 14
kxx
− +
− 2
2
42
42
x
x
+
+2
15 42
kxx− +
−
( )126
126
x
k x
+
−
( )15
126 k x
+
− − 378 3
393 3
k
k
+ −
−
32x 2 2
3
9 12 2 3
2
x x x x
x
+ + − + −
− 2
2
3 4
8
x x x
x
− + +
2
4 12
8
x
x
+ −
4 12
0
x− +
42x 3 2 2
4
3 18 11 24 2 3
2
x x x x x
x
+ − − + + −
− 3 2 2
3
3 8
2
x x x x
x
− + + −
2
3
15 11 24
2
x x
x
− − +
− 2
2
3
16
x x
x
− +
−3
8 24
16
x
x
− +
+ 8 24
0
x− −
2 2
2
4 2 6 2 34 2 6 2
0
x x x xx x
− − + + −
+ − + −
División y factorización de polinomios | Unidad 4 81
9. Actividad resuelta.
10. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) (3x2 – 4x + 5) : (x – 3) d) (x5 – x3 + x2 – 2x) : (x + 3)
b) (2x3 − 3x2 + 2x – 3) : (x + 2) e) (x5 + 3x4 – 5x3 + x2 – 1) : (x + 1)
c) (2x4 − 3x + 2) : (x – 2) f) (x6 – x4 + 2x2) : (x – 1)
a) C(x) = 3x + 5 y R(x) = 20 d) C(x) = x4 –3x3 + 8x2 – 23x + 67 y R(x) = – 201
3 –4 5 1 0 –1 1 –2 0
3 9 15 –3 –3 9 –24 69 – 201 3 5 20 1 –3 8 –23 67 –201
b) C(x) = 2x2 – 7x + 16 y R(x) = – 35 e) C(x) = x4 + 2x3 – 7x2 + 8x – 8 y R(x) = 7
2 –3 2 –3 1 3 –5 1 0 –1
–2 –4 14 –32 –1 –1 –2 7 –8 8 2 –7 16 –35 1 2 –7 8 –8 7
c) C(x) = 2x3 + 4x2 + 8x + 13 y R(x) = 28 f) C(x) =x5 + x4 + 2x + 2 y R(x) = 2
2 0 0 –3 2 1 0 –1 0 2 0 0
2 4 8 16 26 1 1 1 0 0 2 2 2 4 8 13 28 1 1 0 0 2 2 2
11. Actividad resuelta.
12. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) 2 1 2 : ( 2)2
x x x − + −
c) 3 21 1 1 : ( 1)2 3
x x x − + −
b) 3 21 2 1 : ( 3)3
x x x x − + + +
d) (x5 – x3 + 2x2 – 3x – 1) : (x – 3)
a) C(x) = x + 32
y R(x) = 5 c) C(x) = 21 1 12 6 6
x x+ + y R(x) = 76
1 12
− 2 12
13
− 0 1
2 2 3 1 12
16
16
1 32
5 12
16
16
76
b) C(x) = x2 – 103
x + 12 y R(x) = – 35 d) C(x) = x4 + 3x3 + 8x2 + 26x + 75 y R(x) =224
1 13
− 2 1 1 0 –1 2 –3 –1
–3 –3 10 –36 3 3 9 24 78 225
1 103
−
12 –35 1 3 8 26 75 224
82 Unidad 4| División y factorización de polinomios
13. Comprueba si las siguientes divisiones son exactas.
a) (2x3 − 3x2 – 5x + 6) : (x – 2) c) (2x4 – 5x3 − 7x – 6) : (x – 3)
b) (x4 + x3 − x2 + 3x + 2) : (x + 2) d) ( )3 2 1 12 : 212 6
x x x x − + − −
a) Es exacta porque R(x) = 0 c) Es exacta porque R(x) = 0
2 –3 –5 6 2 –5 0 –7 –6 2 4 2 –6 3 6 3 9 6 2 1 –3 0 2 1 3 2 0
b) Es exacta porque R(x) = 0 d) Es exacta porque R(x) = 0
1 1 –1 3 2 1 –2 112
16
−
–2 –2 2 – 2 –2 2 2 0 16
1 –1 1 1 0 1 0 112
0
14. Actividad resuelta.
15. En cada caso, calcula el valor de k para que las siguientes divisiones sean exactas.
a) (− 2x2 – x – k) : (x – 2) d) (4x3 – 23x2 + 17x + k) : (x – 5)
b) (x3 − 2x2 + 3x + k) : (x + 2) e) 3 21 1 : ( 2)2 2
x x x k x + − + −
c) (x4 – x3 − x – k) : (x + 3) f) 21 1 1:2 6 2 2
kx x x + + +
a) – k – 10 = 0 ⇒ k = – 10 d) k + 10 = 0 ⇒ k = – 10
–2 –1 –k 4 –23 17 k 2 –4 –10 5 20 –15 10 –2 –5 –k – 10 4 –3 2 k + 10
b) k – 22 = 0 ⇒ k = 22 e) k + 9 = 0 ⇒ k = – 9
1 –2 3 k 1 12
12
− k
–2 –2 8 –22 2 2 5 9
1 –4 11 k – 22 1 52
92
k + 9
c) –k + 111 = 0 ⇒ k = 111 f) 1 02 24k+ = ⇒ 1
12k = −
1 –1 0 –1 –k 12
16
2k
– 3 –3 12 –36 111 12
− 14
− 124
1 –4 12 –37 –k + 111 12
112
−
2k + 1
24
División y factorización de polinomios | Unidad 4 83
16. Comprueba si son raíces de los polinomios los valores que se indican.
a) P(x) = x2 − 4x x = 2
b) P(x) = 3x3 + 8x2 – 5x − 6 x = –3
c) P(x) = x5 – x3 – 2x + 2 x = 1
a) No es raíz porque P(2) = 22 – 4 · 2 = 4 – 8 = – 4 ≠ 0
b) Es raíz porque P(– 3) = 3 · (– 3)3 + 8 · (– 3)2 – 5 · (– 3) − 6 = − 81 + 72 + 15 – 6 = 0
c) Es raíz porque P(1) = 15 – 13 – 2 · 1 + 2 = 1 – 1 – 2 + 2 = 0
17. Sin realizar la división, calcula el valor del resto.
a) (3x2 – 4x + 3) : (x – 1) b) (2x3 − x2 – 2x + 8) : (x + 1) c) (x4 − 3x3 – x + 10) : (x – 2)
¿Cuáles de las divisiones anteriores son exactas?
Aplicando el teorema del resto:
a) R = P(1) = 3 · 12 – 4 · 1 + 3 = 3 – 4 + 3 = 2
b) R = P(–1) = 2 · (–1)3 – (–1)2 – 2 · (–1) + 8 = – 2 – 1 + 2 + 8 = 7
c) R = P(2) = 24 – 3 · 23 – 2 + 10 = 16 – 24 – 2 + 10 = 0
Únicamente es exacta la división del apartado c).
18. ¿Cuáles de los siguientes valores son raíces del polinomio P(x) = x3 − 5x2 + 7x + 3?
a) x = 1 b) x = – 1 c) x = 3 d) x = – 3
a) P(1) = 13 – 5 · 12 + 7 · 1 + 3 = 1 – 5 + 7 + 3 = 4 ≠ 0 ⇒ x = 1 no es raíz de P(x)
b) P(–1) = (–1)3 – 5 · (–1)2 + 7 · (–1) + 3 = –1 – 5 – 7 + 3 = –10 ≠ 0 ⇒ x = –1 no es raíz de P(x)
c) P(3) = 33 – 5 · 32 + 7 · 3 + 3 = 27 – 45 + 21 + 3 = 6 ≠ 0 ⇒ x = 3 no es raíz de P(x)
d) P(–3) = (–3)3 – 5 · (–3)2 + 7 · (–3) + 3 = – 27 – 45 – 21 + 3 = –90 ≠ 0 ⇒ x = –3 no es raíz de P(x)
19. Actividad resuelta.
20. Calcula el valor de k para que el polinomio P(x) sea divisible por el binomio que se indica.
a) P(x) = 2x2 – 3x + k divisible por x − 3 c) P(x) = x5 – x3 + k divisible por x – 2
b) P(x) = x3 – 2x2 + x + k divisible por x + 3 d) 3 21 1( ) 32 2
P x x x x k= − + + divisible por x + 2
Para que el polinomio P(x) sea divisible entre el binomio x – a, debe verificarse que P(a) = 0.
a) P(3) = 2 · 32 – 3 · 3 + k = 9 + k = 0 ⇒ k = – 9
b) P(–3) = (–3)3 – 2 · (–3)2 + (–3) + k = –48 + k = 0 ⇒ k = 48
c) P(2) = 25 – 23 + k = 24 + k = 0 ⇒ k = – 24
d) ( ) ( ) ( )3 21 1( 2) 2 3 2 2 172 2
P k k− = ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − + = − + = 0 ⇒ k = 17
21. Calcula el valor de k para que el resto de la división 3 21 2 2 : ( 2)3
x x x k x − − − +
valga 8 .3
Por el teorema del resto, P(–2) = ( ) ( ) ( )3 21 8 8 16 82 2 2 2 2 23 3 3 6 3
k k k − −⋅ − − − − ⋅ − − = − − = ⇒ = =
22. Actividad resuelta.
84 Unidad 4| División y factorización de polinomios
23. Indica cuáles de los siguientes polinomios tienen como uno de sus factores a x + 3.
a) P(x) = 2x2 + x − 12 c) R(x) = 2x3 + 6x2 – 5x − 12
b) Q(x) = 2x2 + x − 15 d) S(x) = 2x3 + 6x2 + 5x + 15
x + 3 es un factor de P(x) si P(–3) = 0.
a) P(–3) = 2 · (–3)2 + (–3) – 12 = 3 ⇒ x + 3 no es un factor de P(x)
b) Q(–3) = 2 · (–3)2 + (–3) – 15 = 0 ⇒ x + 3 es un factor de Q(x)
c) R(–3) = 2 · (–3)3 + 6 · (–3)2 – 5 · (–3) – 12 = 3 ⇒ x + 3 no es un factor de R(x)
d) S(–3) = 2 · (–3)3 + 6 · (–3)2 + 5 · (–3) + 15 = 0 ⇒ x + 3 es un factor de S(x)
24. Sin necesidad de realizar la división, comprueba si el polinomio P(x) = 3x3 + 8x2 – 9x + 28 tiene como factor el monomio x + 4.
Por el teorema del factor, x + 4 es un factor de P(–4) = 0.
P(–4) = 3 · (–4)3 + 8 · (–4)2 – 9 · (–4) + 28 = 0
Por tanto x + 4 sí es un factor de P(x).
25. ¿Cuáles de los siguientes binomios son factores del polinomio P(x) = x3 − 2x2 – x – 2?
a) x – 2 c) x + 1 e) x – 3
b) x + 2 d) x – 1 f) x +3
a) P(2) = 23 – 2 · 22 – 2 – 2 = – 4 ≠ 0 ⇒ x – 2 no es un factor de P(x)
b) P(–2) = (–2)3 – 2 · (–2)2 – (–2) – 2 = – 16 ≠ 0 ⇒ x + 2 no es un factor de P(x)
c) P(–1) = (–1)3 – 2 · (–1)2 – (–1) – 2 = –4 ≠ 0 ⇒ x + 1 no es un factor de P(x)
d) P(1)= 13 – 2 · 12 – 1 – 2 = – 4 ≠ 0 ⇒ x – 1 no es un factor de P(x)
e) P(3)= 33 – 2 · 32 – 3 – 2 = 4 ≠ 0 ⇒ x – 3 no es un factor de P(x)
f) P(–3) = (–3)3 – 2 · (–3)2 – (–3) – 2 = –44 ≠ 0 ⇒ x + 3 no es un factor de P(x)
26. ¿Cuáles son los restos de las siguientes divisiones?
a) 10 2
3xx
−+
b) 17 10 5
1x x x
x− +
+
a) Por el teorema del resto, el resto de la división 10 2
3xx
−+
coincidirá con el valor numérico de x10 – 2 en x = –3.
Por tanto R = (–3)10 – 2 = 59 047.
b) Por el teorema del resto, el resto de la división 17 10 5
1x x x
x− +
+ coincidirá con el valor numérico de x17 – x10 + x5
en x = –1.
Por tanto R = (–1)17 – (–1)10 + (–1)5 = –3
27. Actividad resuelta.
División y factorización de polinomios | Unidad 4 85
28. Calcula las raíces enteras de los polinomios:
a) P(x) = x2 – x – 12 c) R(x) = x3 + 7x2 + 2x – 40
b) Q(x) = x3 + x2 – 17x + 15 d) S(x) = x3 + 6x2 + x + 6
a) Las raíces son 4 y –3 c) Las raíces son 2, – 4 y – 5
1 –1 –12 1 7 2 –40 4 4 12 2 2 18 40 1 3 0 1 9 20 0
– 4 –4 –20 1 5 0
b) Las raíces son 1, 3 y –5. d) La raíz es –6.
1 1 –17 15 1 6 1 6
1 1 2 –15 –6 –6 0 –6
1 2 –15 0 1 0 1 0
3 3 15 x2 + 1 no tiene raíces reales 1 5 0
29. Utiliza la regla de Ruffini para factorizar los polinomios
a) P (x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 c) R (x) = x3 – 7x + 6
b) Q (x) = x3 + 4x2 + x – 6 d) S(x) = x4 – 1
a) P(x) = (x – 1) · (x – 2) · (x – 3) c) R(x) = (x – 1) · (x – 2) · (x + 3)
1 –6 11 –6 1 0 –7 6 1 1 –5 6 1 1 1 –6
1 –5 6 0 1 1 –6 0 2 2 –6 2 2 6
1 –3 0 1 3 0
b) Q(x) = (x – 1) · (x + 2) · (x + 3) d) S(x) = (x – 1) · (x + 1) · (x2 +1)
1 4 1 –6 1 0 0 0 –1
1 1 5 6 1 1 1 1 1 1 5 6 0 1 1 1 1 0
–2 –2 –6 –1 –1 0 –1 1 +3 0 1 0 1 0
30. Extrae factor común para factorizar los polinomios.
a) P(x) = x3 – x2 c) R(x) = – 2x3 – 8x
b) Q(x) = – x3 + 3x2 d) S(x) = 6x4 – 8x3
a) P(x) = x3 – x2 = x2 · (x – 1) c) R(x) = – 2x3 – 8x = – 2x · (x2 + 4)
b) Q(x) = – x3 + 3x2 = –x2 · (x – 3) d) S(x) = 6x4 – 8x3 = 2x3 · (3x – 4) = 3 463
x x ⋅ −
31. Usa las igualdades notables y factoriza los polinomios:
a) P(x) = 4x2 – 16x + 16 c) Q(x) = 9x2 + 6x + 1
b) 2 4( )9
P x x= − + d) 21( ) 14
P x x x= + +
a) P(x) = 4x2 – 16x + 16 = (2x – 4)2 c) Q(x) = 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2
b) 2 4 2 2( )9 3 3
P x x x x = − + = − ⋅ +
d) 2
21 1( ) 1 14 2
P x x x x = + + = +
86 Unidad 4| División y factorización de polinomios
32. Actividad resuelta
33. Factoriza los polinomios:
a) P(x) = x3 – 3x2 + 4 c) P(x) = x4 – 2x2 + 1
b) P(x) = x4 + 4x3 + 4x2 d) P(x) = x4 + 5x3 + 3x2 – 9x
a) P(x) = x3 – 3x2 + 4 = (x + 1) · (x – 2)2
b) P(x) = x4 + 4x3 + 4x2 = x2 · (x2 + 4x + 4) = x2 · (x + 2)2
c) P(x) = x4 – 2x2 + 1 = (x2 – 1)2 = (x – 1)2 · (x + 1)2
d) P(x) = x4 + 5x3 + 3x2 – 9x = x · (x3 + 5x2 + 3x – 9) = x · (x – 1) · (x + 3)2
1 5 3 –9 1 1 6 9
1 6 9 0 –3 –3 –9
1 3 0
34. Actividad interactiva.
35. Indica si estas expresiones son fracciones algebraicas:
a) 3
4
34 9
x xx x
+ +− +
b) 2
23 5x x
x x
− +− +
c) 3
4x x
x+−
a) Es fracción algebraica b) Es fracción algebraica c) No es fracción algebraica
36. Calcula el valor numérico de la fracción algebraica 3 2
4 3 2
5 7 38 22 24 9x x x
x x x x+ + +
+ + + + en x = 0, en x = –1 y en x = 1.
Para x = 0 el valor numérico es 3 19 3=
Para x = –1 el valor numérico no existe porque ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 3 2
1 5 1 7 1 3 001 8 1 22 1 24 1 9
− + ⋅ − + ⋅ − +=
− + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − +
Para x = 1 el valor numérico es 3 2
4 3 2
1 5 1 7 1 3 16 11 8 1 22 1 24 1 9 64 4
+ ⋅ + ⋅ += =
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
37. Actividad resuelta.
1 –3 0 4 –1 –1 4 –4
1 –4 4 0 2 2 –4
1 –2 0
División y factorización de polinomios | Unidad 4 87
38. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
a) 2
2
8 1512
x xx x+ +− −
b) 2 2 1
1x x
x+ ++
c) 3 2
2
8 21 185 6
x x xx x+ + +
+ +
a) ( ) ( )( ) ( )
2
2
3 58 15 512 4 3 4
x xx x xx x x x x
+ ⋅ ++ + += =
− − − ⋅ + −
{2 8 64 60 8 2 58 15 0 32 2
x x x − ± − − ± −+ + = ⇒ = = = ⇒− x2 + 8x + 15 = (x + 3) · (x – 5)
{2 1 1 48 1 7 412 0 32 2x x x ± + ±
− − = ⇒ = = = ⇒− x2 – x – 12 = (x + 3) · (x – 4)
b) ( )22 12 1 11 1
xx x xx x
++ += = +
+ +
c) ( ) ( )( ) ( )
23 2
2
2 38 21 18 35 6 2 3
x xx x x xx x x x
+ ⋅ ++ + += = +
+ + + ⋅ +
x3 + 8x2 + 21x + 18 = (x + 1) · (x + 2) · (x – 7) {2 5 25 24 5 1 25 6 0 32 2x x x − ± − − ± −+ + = ⇒ = = = −
1 8 21 18 –2 –2 –12 –18
1 6 9 0 –3 –3 –9
1 3 0
{2 5 25 24 5 1 25 6 0 32 2x x x − ± − − ± −+ + = ⇒ = = = ⇒− x2 + 5x + 6 = (x + 3) · (x + 2)
39. Actividad resuelta.
40. Simplifica extrayendo factor común.
a) 3 2
3
2 4 62 2
x x xx x+ −
+ b)
2
2
23
x y xyx y xy
−+
c) 3 2
2
3 36 6x x yx xy++
a) 3 2 2
3 2
2 4 6 2 32 2 1
x x x x xx x x+ − + −
=+ +
b) 2
2
2 2 13 3 1
x y xy xx y xy x
− −=
+ + c)
3 2 2
2
3 36 6 2 2x x y x xyx xy x y+ +
=+ +
41. Actividad resuelta.
42. Simplifica 3 2
3 2
9 17 3 ,8 11 2
+ + −+ + −
x x xx x x
tras mostrar que su numerador y su denominador son múltiplos de x2 + 6x – 1.
El numerador y el denominador son múltiplos de x2 + 6x – 1 porque las divisiones son exactas. 3 x 2 2
3
9 17 3 6 1x x x x
x
+ + − + −
− 2
2
6 3
3
x x x
x
− + +
2
18 3
3
x
x
+ −
− 18 3
0
x− +
3 x 2 2
3
8 11 2 6 1x x x x
x
+ + − + −
− 2
2
6 2
2
x x x
x
− + +
2
12 2
2
x
x
+ −
− 12 2
0
x− +
Sustituyendo el numerador y el denominador en la fracción algebraica del enunciado: ( ) ( )( ) ( )
23 2
3 2 2
3 6 19 17 3 38 11 2 2 6 1 2
x x xx x x xx x x x x x x
+ ⋅ + −+ + − += =
+ + − + ⋅ + − +
88 Unidad 4| División y factorización de polinomios
43. Haz las siguientes operaciones de fracciones algebraicas.
a) 5 6 3 2 4 32 5 2 5 2 5
x x xx x x+ + +
+ −− − −
b) 2 21 5 33 1 3 1 3 1− + + +
− ++ + +
x x x x xx x x
a) 5 6 3 2 4 3 4 52 5 2 5 2 5 2 5x x x xx x x x+ + + +
+ − =− − − −
b) 2 2 21 5 3 2 43 1 3 1 3 1 3 1
x x x x x x xx x x x− + + + + −
− + =+ + + +
44. Realiza estas operaciones con fracciones algebraicas.
a) 2 22 2
x xx x
−+
− + b) 3 2
1 2x x−
− −
a) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2 2 22 2 2 4 2 4 2 3 42 2 2 2 4 4
x x x xx x x x x x x xx x x x x x
− ⋅ + + ⋅ −− + − − + − −+ = = =
− + − ⋅ + − −
b) ( ) ( )( ) ( ) 2 2
3 2 2 13 2 3 6 2 2 41 2 1 2 2 2 3 2
x x x x xx x x x x x x x x
⋅ − − ⋅ − − − + −− = = =
− − − ⋅ − − − + − +
45. Resuelve.
a) 22 31 2
x xx x
⋅− +
b) 2
1:2 3 1
x xx x
+− +
c) 1 3:3 1x x
− −− +
a) 2 3
2
2 3 61 2 2
x x xx x x x
⋅ =− + + −
b) 2 3
2 2
1 1:2 3 1 2 3 1 2 3
x x x x x xx x x x x x
+ + += ⋅ =
− + − + − −
c) 1 3 1 1 1:3 1 3 3 3 9
x xx x x x− − − + +
= ⋅ =− + − − −
46. Actividad resuelta.
47. Dadas las fracciones algebraicas 3( )2
xA xx+
=+
y 1( )1
xB xx+
=−
, calcula:
a) A(x) + 3B(x) b) –2A(x) + B(x) c) 2A(x) – 12
B(x)
a) A(x) + 3B(x) = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
1 3 2 3 3 3 3 3 3 6 6 4 11 32 1 2 2 2
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x
− ⋅ + + + ⋅ + + − − + + + + + += = =
+ ⋅ − − + − + −
b) –2A(x) + B(x) = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2 6 1 2 1 2 2 6 6 2 2 82 1 2 2 2
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x
− − ⋅ − + + ⋅ + − + − + + + + + − − += =
+ ⋅ − − + − + −
c) 2A(x) – 12
B(x) = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2 6 2 2 1 2 4 4 12 12 2 2 3 5 142 2 2 2 2 4 4 2 2 4
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x
+ ⋅ − − + ⋅ + − + − − − − − + −= =
+ ⋅ − − + − + −
48. Actividad resuelta.
División y factorización de polinomios | Unidad 4 89
49. Opera las siguientes fracciones algebraicas y simplifica.
a) 2
2
( 1) 1( 1) 1x xx x+ −
⋅− +
b) 2
3
( 5)5
x xx x
+⋅
+ c) 3 6 2 1:
4 4x x
x x+ ++ +
a) 22
2
( 1)( 1) 1( 1) 1
xx xx x
++ −⋅ =
− +
( )1x⋅ −2( 1)x − ( )1x⋅ +
11
xx+
=−
b) ( )2
3
55
x xxx x
+⋅ =
+( ) 25x⋅ +
( )5x + 2x x⋅ ⋅ 2
5xx+
=
c) ( ) ( )3 6 43 6 2 1:
4 4
x xx xx x
+ ⋅ ++ +=
+ + ( )4x + ( )3 62 12 1xxx+
=+⋅ +
50. Actividad resuelta.
51. Realiza estas operaciones con fracciones algebraicas.
a) 2 31
xxx
− ++
b) 3 52 7 2 7
x xxx x
−− +
− −
a) ( ) ( ) 2 22 1 3 1 2 2 3 3 2 32 31 1 1 1
x x x xx x x x x xxx x x x
⋅ + − ⋅ + + + − − + −− + = = =
+ + + +
b) ( ) 2 22 7 3 53 5 2 7 3 5 2 9 52 7 2 7 2 7 2 7 2 7
x x x xx x x x x x x xxx x x x x
⋅ − − + −− − − + − − −− + = = =
− − − − −
52. Actividad interactiva.
53. Efectúa las siguientes operaciones de monomios e indica si el resultado es o no un monomio.
a) 3x
x d)
2
819
xyy
−
b) 2
3
22
xx
− e) 3 4 3
2 4 2
5418
x y zx y z
c) 2 3
2
248
a bab
f) ( )( )
5
325 3
15 3x
x− ⋅ −
⋅ −
a) 3
2x xx
= ⇒ Monomio d) 2
81 99
xy xy y
− −= ⇒ No monomio
b) 2
3
2 22 2
xx x
− −= ⇒ No monomio e)
3 4 3
2 4 2
54 318
x y z xzx y z
= ⇒ Monomio
c) 2 3
2
24 38
a b abab
= ⇒ Monomio f) ( )( )
( )5 2
3
25 3 5 3315 3
x xx
− − − −=
−⇒ Monomio
54. Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios.
a) 2 4 3 4 3 2
2 2
36 6 546
a b a b a ba b
− + c) 6 5 3
3
54 12 186
x x xx
− −
b) 2 3 2 236 12 4
4ab ab a b
ab− +−
d) 3 212 6 24
2x x x
x− + −
−
a) 2 4 3 4 3 2
2 22 2
36 6 54 6 96
a b a b a b b ab aa b
− += − + c)
6 5 33 2
3
54 12 18 9 2 36
x x x x xx
− −= − −
b) 2 3 2 2
236 12 4 9 34
ab ab a b b b abab
− += − + −
− d)
3 2212 6 24 6 3 12
2x x x x x
x− + −
= − +−
90 Unidad 4| División y factorización de polinomios
55. Haz las siguientes divisiones de polinomios.
a) (6x3 – 3x2 – 21x +10) : (2x2 + 3x – 1) c) (3x4 + 4x3 + 6x2 + 14x – 4) : (–x2 + 3)
b) (8x3 + 18x2 + x +14) : (2x + 5) d) (6x4 – 16x3 + 21x2 – 16x + 7) : (3x2 – 2x + 2)
a) 3 2
2 2
6 3 21 10 43 62 3 1 2 3 1
x x x xx x x x
− − += − +
+ − + − c)
42
2 2
26 413 4 153
3 4 6 14 43
x x xx x xxx x
+= − −
+− +
− + − ++ + −3 2
36x 2 2
3
3 21 10 2 3 1
6
x x x x
x
− − + + −
− 2
2
9 3 3 6
12
x x x
x
− + −
−2
18 10
12
x
x
− +
18 6
4
x+ −
43x 3 2 2
4
4 6 14 4 3
3
x x x x
x
+ + + − − +
− 2 2
3
9 3 4 15
4
x x x
x
+ − − −
2
3
15 14 4
4
x x
x
+ + −
−
2
12
15x
x+
2
26 4
15
x
x
+ −
− 45
26 41x
+
+
b) 3 2
28 18 14 14 32 5 2 5
x x x x xx x
+ + + −= − + +
+ + d)
42
2 2
26 413 4 153
3 4 6 14 43
x x xx x xxx x
+= − −
+− +
− + − ++ + −3 2
38x 2
3
18 14 2 5
8
x x x
x
+ + + +
− 2 2
2
20 4 3
2
x x x
x
− − +
−2
14
2
x
x
+ +
+ 5
6x 146 15
1
x
x
+
+− −
−
43x 3 2 2
4
4 6 14 4 3
3
x x x x
x
+ + + − − +
− 2 2
3
9 3 4 15
4
x x x
x
+ − − −
2
3
15 14 4
4
x x
x
+ + −
−
2
12
15x
x+
2
26 4
15
x
x
+ −
− 45
26 41x
+
+
56. Relaciona cada cociente y resto con el dividendo y el divisor en las siguientes divisiones.
Dividendo Divisor Cociente Resto
x3 – 2x2 + 2x – 3 x – 3 x – 4 12
x2 + 2x – 5 –x + 5 19x – 13 –x2 – 3x +2 x2 + x + 5 15x – 23
Dividendo Divisor Cociente Resto
x3 – 2x2 + 2x – 3 x – 3 x2 + x + 5 12
x2 + 2x – 5 x – 4 15x – 23 –x2 – 3x +2 –x + 5 19x – 13
57. Actividad resuelta.
58. Calcula los valores de a y b para que la división de polinomios (3x2 + ax + b) : (x2 – 2x + 1) sea exacta.
23x 2
2
2 1
3
ax b x x
x
+ + − +
− 6 3 3
( 6) 3
x
a x b
+ −
+ + −
Para que (a + 6)x + b – 3 sea nulo: }6 0 6 33 0a a bb+ = ⇒ = − =− =
División y factorización de polinomios | Unidad 4 91
59. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) (6x2 – x + 1) : (x – 3) c) (2x4 + x2 – 3x + 2) : (x – 2)
b) (x3 – 3x2 + 2x – 3) : (x + 1) d) (–x3 + x2 – 2x – 5) : (x + 3)
a) C(x) = 6x + 17 y R(x) = 52 c) C(x) = 2x3 + 4x2 + 9x + 15 y R(x) = 32
6 –1 1 2 0 1 –3 2 3 18 51 2 4 8 18 30 6 17 52 2 4 9 15 32
b) C(x) = x2 – 4x + 6 y R(x) = –9 d) C(x) = –x2 + 4x – 14 y R(x) = 37
1 –3 2 –3 –1 1 –2 –5 –1 –1 4 –6 –3 3 –12 42
1 –4 6 –9 –1 4 –14 37
60. Mediante la regla de Ruffini, calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones y escríbelas de la
forma ( ) ( )( ) ( )
D x RC xd x d x
= +
a) (2x2 + x – 6) : (x + 2) d) (x5 + 2x – 3) : (x – 2)
b) (3x3 – 7x2 – 11x + 5) : (x – 3) e) 4 21 1:2 3
x x x + −
c) 3 23 5 13 1 :2 2 2
x x x x + − + +
a) 22 6 2 3
2x x x
x+ −
= −+
d) 5
4 3 22 3 332 4 8 182 2
x x x x x xx x+ −
= + + + + +− −
2 1 –6 1 0 0 0 2 –3 –2 –4 6 2 2 4 8 16 36
2 –3 0 1 2 4 8 18 33
b) 3 2
23 7 11 5 103 2 53 3
x x x x xx x
− − + −= + − +
− − e)
4 2
3 2
1111 11 11 1622
1 13 18 543 3
x xx x x
x x
+= + + + +
− −
3 –7 –11 5 1 0 12
0 0
3 9 6 –15 13
13
19
1154
11162
3 2 –5 –10 1 13
1118
1154
11
162
c) 3 2
2
3 5 93 1 52 2 431 122 2
x x xx
x x
+ − += − +
+ +
3 32
52
− 1
12
− 32
− 0 54
3 0 52
− 94
92 Unidad 4| División y factorización de polinomios
61. Calcula el resto de las siguientes divisiones.
a) (3x3 – 2x2 + x + 2) : (x + 2) c) (x2 – 3x + 4) : (x – 2)
b) 21 3 12 :2 4 2
x x x − + +
d) (x5 – x2 – x + 1) : (x – 3)
a) R = 3 · (–2)3 – 2 · (–2)2 + (–2) + 2 = –32 c) R = 22 – 3 · 2 + 4 = 2
b) 21 1 3 1 52
2 2 4 2 2R = ⋅ − − ⋅ − + =
d) R = 35 – 32 – 3 + 1 = 232
62. Calcula el valor de k para que el polinomio P(x) = 2x3 – x2 + k sea divisible por el binomio (x – 1).
Por el teorema del resto R = P(1) = 2 · 13 – 12 + k = 1 + k = 0 ⇒ k = –1
63. Calcula el valor de k para que el resto de la división entre el polinomio P(x) = 2x3 – x2 + k y el binomio (x + 2) valga 4.
Por el teorema del resto R = P(–2) = 2 · (–2)3 – (–2)2 + k = –20 + k = 4 ⇒ k = 24
64. Sin realizar la división, comprueba que el polinomio P(x) = 3x3 + 8x2 – 9x + 28 tiene como factor x + 4.
Por el teorema del factor, x + 4 es un factor de P(x) porque P(–4) = 3 · (–4)3 + 8 · (–4)2 – 9 · (–4) + 28 = 0.
65. Comprueba si los polinomios que se indican tienen como factor el monomio x + 3.
a) P(x) = x2 – 9 c) P(x) = x2 + 9
b) P(x) = 3x2 + 4x – 15 d) P(x) = 3x2 – 14x + 15
a) P(–3) = (–3)2 – 9 = 0 ⇒ Es factor.
b) P(–3) = 3 · (–3)2 + 4 · (–3) – 15 = 0 ⇒ Es factor.
c) P(–3) = (–3)2 + 9 = 18 ≠ 0 ⇒ No es factor.
d) P(–3) = 3 · (–3)2 – 14 · (–3) + 15 = 84 ≠ 0 ⇒ No es factor.
66. ¿Qué valor debe tener k para que el binomio x + 3 sea un factor del polinomio P(x) = x3 + 3x2 + 3x + k?
Para que x + 3 sea un factor del polinomio P(x), el resto de la división P(x) : (x + 3) debe ser cero.
Por el teorema del resto, R = P(–3) = (–3)3 + 3 · (–3)2 + 3 · (–3) + k = –9 + k = 0 ⇒ k = 9.
67. Calcula el resto de las siguientes divisiones.
a) 50 25 3
1x x x
x− + +
− b)
6 310
x xx+ +−
a) Llamando P(x) = x50 – x25 + x + 3, entonces R = P(1) = 150 – 125 + 1 + 3 = 4.
b) Llamando P(x) = x6 + x + 3, entonces R = P(10) = 106 + 10 + 3 = 1 000 013.
División y factorización de polinomios | Unidad 4 93
68. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios y factorízalos usando el teorema del resto y la regla de Ruffini.
a) P(x) = x2 + 8x + 7 c) P(x) = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36
b) P(x) = 2x3 – x2 – 11x + 10 d) P(x) = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9
a) Las raíces son 1 y –7 c) Las raíces son –2 y 3 (dobles)
P(x) = (x + 1) · (x + 7) P(x) = (x + 2)2 · (x – 3)2
1 8 7 1 –2 –11 12 36 –1 –1 –7 –2 –2 8 6 –36
1 7 0 1 –4 –3 18 0 –2 –2 12 –18 1 –6 9 0 3 3 –9
1 –3 0
b) Las raíces enteras son 1 y 2. d) La única raíz entera es 3 (doble).
P(x) = (x – 1) · (x – 2) · (2x + 5) P(x) = (x2 + 1) · (x – 3)2
2 –1 –11 10 1 –6 10 –6 9 1 2 1 –10 3 3 –9 3 –9
2 1 –10 0 1 –3 1 –3 0 2 4 10 3 3 0 3 2 5 0 1 0 1 0
69. Extrae factor común para factorizar los polinomios.
a) P(x) = 5x3 – 15x2 c) P(x) = 2x3 – 3x2 +x
b) P(x) = –4x4 + 8x3 d) P(x) = x4 – 3x3 + 5x2
a) P(x) = 5x3 – 15x2 = 5x2 · (x – 3)
b) P(x) = –4x4 + 8x3 = 4x3 · (–x + 2)
c) P(x) = 2x3 – 3x2 +x = x · (2x2 – 3x + 1) = x · (x – 1) · (2x – 1)
2 –3 1 1 2 –1
2 –1 0
d) P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 = x2 · (x2 – 3x + 5)
70. Utiliza las igualdades notables para factorizar los polinomios.
a) P(x) = 9x2 – 30x + 25 c) P(x) = 4
4x – x3 +x2
b) P(x) = 14
x2 + x + 1 d) P(x) = x4 – 4
a) P(x) = 9x2 – 30x + 25= (3x – 5)2 c) P(x) = 4
4x – x3 +x2 =
222 21 1
4 2x xx x x ⋅ − + = ⋅ −
b) P(x) = 14
x2 + x + 1 = 21 1
2x +
d) P(x) = x4 – 4 = (x2 – 2) · (x2 + 2) = 2( 2)( 2)( 2)x x x+ − +
71. Actividad resuelta.
94 Unidad 4| División y factorización de polinomios
72. Factoriza el polinomio P(x) = 6x3 + 7x2 – 1 sabiendo que 13
x = es una de sus raíces y calcula el resto de
ellas.
P(x) = 6x3 + 7x2 – 1 = ( ) ( )1 1 6 33
x x x − ⋅ + ⋅ +
6 7 0 –1 13
2 3 1
6 9 3 0 –1 –6 –3
6 3 0
Las raíces de P(x) son –1, − 12
y 13
73. Sabiendo que 14
x = − es una raíz de P(x) = 16x3 + 40x2 +17x + 2, factorízalo y calcula el resto de sus raíces.
P(x) = 16x3 + 40x2 +17x + 2 = ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 12 16 4 16 2 16 2
4 4 4 4x x x x x x x x + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ +
16 40 17 2 14
− –4 –9 –2
16 36 8 0 –2 –32 –8
16 4 0
Las raíces de P(x) son –2 y 14
− (doble)
74. Actividad resuelta.
75. Mediante extracción de factor común, factoriza los siguientes polinomios de dos variables.
a) P(x, y) = 2x3y2 – 2xy4 c) 33 2( , )9 15
P x y x xy= −
b) P(x, y) = 15x3y +25x d) 2 21 1( , )2 6
P x y x y y= −
a) P(x, y) = 2x3y2 – 2xy4 = 2xy2 · (x2 – y2) = 2xy2 · (x – y) · (x + y)
b) P(x, y) = 15x3y +25x = 5x · (3x2y + 5)
c) 3 23 2 1 2( , )9 15 3 5
P x y x xy x x y = − = ⋅ −
d) 2 2 21 1 1 1( , )2 6 2 3
P x y x y y y x y = − = ⋅ −
76. Di si son fracciones algebraicas las siguientes expresiones.
a) 2
71
xx+
− b)
3
23 5x x
x x+− +
c) 3
5x
x−
a) No es fracción algebraica b) Es fracción algebraica c) Es fracción algebraica
División y factorización de polinomios | Unidad 4 95
77. Calcula, si es posible, el valor numérico de la fracción 3 2
4 3 2
5 7 38 22 24 9x x x
x x x x+ + +
+ + + + en x = –1 y x = 2.
Para x = –1 no existe porque ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 3 2
1 5 1 7 1 3 1 5 7 3 01 8 22 24 9 01 8 1 22 1 24 1 9
− + ⋅ − + ⋅ − + − + − += =
− + − +− + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − +
Para x = 2 el valor numérico es 3 2
4 3 2
2 5 2 7 2 3 8 20 14 3 45 12 8 2 22 2 24 2 9 16 64 88 48 9 225 5
+ ⋅ + ⋅ + + + += = =
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + +
78. ¿Son equivalentes las siguientes fracciones algebraicas?
a) 2
2
4( )6 3
x xA xx x
+ +=
+ +y 2( )
3xB xx−
=+
b) 2
2
6 7 3( )12 7 1
x xA xx x− −
=+ +
y 2 3( )4 1xB xx−
=+
a) No son equivalentes porque (x2 + x + 4) · (x + 3) = x3 + 4x2 + 7x + 12 ≠ x3 + 4x2 – 9x – 6 = (x2 + 6x +3) · (x – 2)
b) Sí son equivalentes porque (6x2 – 7x – 3) · (4x + 1) = 24x3 – 22x2 – 19x – 3 = (12x2 + 7x + 1) · (2x – 3)
79. Factoriza el numerador y el denominador de las siguientes fracciones algebraicas y simplifícalas.
a) 2
2
2 5 33 8 3
x xx x
− −− −
c) 2
2
6 92 7 3x xx x+ ++ +
b) 3 2
2
5 64 4
x x xx x+ ++ +
d) 3 2
3 2
4 65 2 8
x x xx x x
+ + −+ + −
a) 2x2 – 5x – 3 = (x – 3) · (2x + 1) 3x2 – 8x – 3 = (x – 3) · (3x + 1)
2 –5 –3 3 –8 –3 3 6 3 3 9 3
2 1 0 3 1 0
( )2
2
32 5 33 8 3
xx xx x
−− −=
− −
( )( )
2 1
3
x
x
⋅ +
− ( )2 13 13 1
xxx+
=+⋅ +
b) ( )( )
( )23 2
22
25 65 64 4 2
x xx x xx x xx x x
⋅ +⋅ + ++ += =
+ + +
( )( ) 2
3
2
x
x
⋅ +
+
( ) 23 32 2
x x x xx x⋅ + +
= =+ +
c) 2x2 + 7x + 3 = (x + 3) · ( 2x + 1)
2 7 3 –3 –6 –3
2 1 0
( ) 22
2
36 92 7 3
xx xx x
++ +=
+ + ( )3x + ( )3
2 12 1xxx+
=+⋅ +
d) ( )3 2
3 2
14 65 2 8
xx x xx x x
−+ + −=
+ + −
( )2x⋅ + ( )( )
3
1
x
x
⋅ +
− ( )2x⋅ + ( )344
xxx+
=+⋅ +
1 4 1 –6 1 5 2 –8 1 1 5 6 1 1 6 8
1 5 6 0 1 6 8 0 –2 –2 –6 –2 –2 –8
1 3 0 1 4 0
80. Actividad resuelta.
96 Unidad 4| División y factorización de polinomios
81. Mediante la extracción de factor común, simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
a) 2 2 2
2 2 2
5 5( , )10 20
x y xyA x yx y xy
−=
+ b)
3 3
3 2 4( , )2 2
a b abA a ba b ab
−=
−
a) 22 2 2
2 2 2
55 5( , )10 20
xyx y xyA x yx y xy
−= =
+( )
2
1
10
x
xy
⋅ −
( ) ( )1 1
2 2 2 42x xx xx− −
= =⋅ + +⋅ +
b) 3 3
3 2 4( , )
2 2
aba b abA a ba b ab
−= =
−
( )2 2a b⋅ −
2 a 2b ( )2 2a b⋅ −
12b
=
82. Realiza estas sumas y restas de fracciones algebraicas.
a) 11 3
xx x
+− +
c) 2 1 3 21 2
x xx x
− −−
+ −
b) 2 22 3
3 3x xx x− +
++ −
d) 2 22 1 3
1 2x x x x
x x− + + −
−+ +
a) ( )( ) ( )
2 2
2 2
3 11 3 31 3 1 3 3 3 2 3
x x xx x x x xx x x x x x x x x
+ + ⋅ − + + − ++ = = =
− + − ⋅ + + − − + −
b) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 22 2 3 2 3 2 3
2 2
2 3 3 32 3 3 2 6 3 3 9 2 153 3 3 3 9 9
x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x
− ⋅ − + + ⋅ +− + − − + + + + + + ++ = = =
+ − + ⋅ − − −
c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2 1 2 3 2 12 1 3 2 2 4 2 3 3 2 2 6 41 2 1 2 2 2 2
x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x
− ⋅ − − − ⋅ +− − − − + − − + + − − +− = = =
+ − + ⋅ − − + − − −
d) 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
2 2
2 1 3 2 4 2 2 3 3 51 2 2 2 3 2
x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x− + + − + − − + + − − − − + + + + +
− = =+ + + + + + +
83. Dadas 22 3( )
2t tA tt+
=−
y 2 1( )5
tB tt−
=+
, calcula:
a) A(t) + 2B(t) b) 3A(t) + 5B(t) c) –2A(t) + 2B(t)
a) A(t) + 2B(t) = 2 2 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 1 2 10 3 15 4 8 2 4 3 21 422 5 2 5 10 3 10
t t t t t t t t t t t tt t t t t t t+ − + + + + − − + + +
+ ⋅ = =− + − + − + −
b) 3A(t) + 5B(t) = 2 2 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 1 6 30 9 45 10 20 5 10 9 61 5 103 52 5 2 5 10 3 10
t t t t t t t t t t t t tt t t t t t t+ − + + + + − − + + + +
⋅ + ⋅ = =− + − + − + −
c) –2A(t) + 2B(t) = 2 2 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 1 4 20 6 30 4 8 2 4 6 30 30 42 22 5 5 2 10 3 10
t t t t t t t t t t t t tt t t t t t t+ − − − − − + − − + − − − +
− ⋅ + ⋅ = =− + + − − + −
84. Actividad resuelta.
85. Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas.
a) ( )2
1 233 xx
+−−
c) ( ) ( )2 3
2 1 2 21 1 1
x x xx x x
− −+ +
− − −
b) ( )25 5
x xx x
++ +
d) ( ) ( )2 3
4 23 3 3
x x xx x x− −
− −+ + +
a) ( )
( )( )2 2 2 2
1 2 31 2 1 2 6 2 53 6 9 6 93 3
x x xx x x x xx x
+ ⋅ − + − −+ = = =
− − + − +− −
b) ( )
( )( ) ( )
2 2
2 2 2 2
5 5 65 10 255 5 5
x x xx x x x x x xx x xx x x
⋅ + + + + ++ = = =
+ + ++ + +
c) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 3 3 3
2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 22 1 2 21 1 1 1 1
x x x x x xx x x x xx x xx x x x x
− + ⋅ − + ⋅ − + −− ⋅ − + ⋅ − + −− −+ + = = =
− − − − −3 2 2 2 3 2
3 2 3 2
2 4 2 2 1 2 2 2 2 3 3 33 3 1 3 3 1
x x x x x x x x x x xx x x x x x
− − + + − + − + − − + −= =
− + − − + −
d) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 3 3 3
6 9 4 3 23 4 3 24 23 3 3 3 3
x x x x x xx x x x xx x xx x x x x
+ + ⋅ − − ⋅ + − −+ ⋅ − − ⋅ + − −− −− − = = =
+ + + + + 3 2 2 2 3 2
3 2 3 2
4 6 24 9 36 3 2 19 349 27 27 9 27 27
x x x x x x x x x x xx x x x x x
− + − + − − − − + + − −= =
+ + + + + +
División y factorización de polinomios | Unidad 4 97
86. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.
a) 25
xx
++
c) 3 132 3
xx−
−+
b) 2 12 31
xxx
−− +
+ d) 2
2
3 5 21
x xx
−− +
+
a) ( )2 5 2 10 3 1025 5 5 5
x xx x x xx x x x
⋅ + + + + ++ = = =
+ + + +
b) ( ) ( ) 2 22 3 1 2 12 1 2 2 3 3 2 1 2 42 31 1 1 1
x x xx x x x x x xxx x x x
− ⋅ + + −− + − − + − + −− + = = =
+ + + +
c) ( ) ( )3 2 3 3 13 1 6 9 3 1 3 1032 3 2 3 2 3 2 3
x xx x x xx x x x
⋅ + − −− + − + +− = = =
+ + + +
d) ( ) ( )2 2 4 2 2 4 22
2 2 2 2
3 5 1 23 5 3 5 2 2 3 321 1 1 1
x x xx x x x x x x xxx x x x
− + + ⋅ − +− − − + − + − + + −− + = = =
+ + + +
87. Realiza los siguientes productos de fracciones algebraicas.
a) 3 4 2 12 3 3
x xx x− +
⋅+ −
b) 2
2
3 1 2 12 3
x x xx x− + −
⋅+ −
a) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
3 4 2 13 4 2 1 6 3 8 4 6 5 42 3 3 2 3 3 2 6 3 9 2 3 9
x xx x x x x x xx x x x x x x x x
− ⋅ +− + + − − − −⋅ = = =
+ − + ⋅ − − + − − −
b) ( ) ( )( ) ( )22 3 2 2 3 2
2 2 3 2 3 2
3 1 2 13 1 2 1 2 6 3 2 1 2 7 5 12 3 2 3 3 2 6 2 3 6
x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
− + ⋅ −− + − − − + + − − + −⋅ = = =
+ − + ⋅ − − + − + − −
88. Divide las siguientes fracciones algebraicas.
a) 4 3 2 1:4 2 3
x xx x
− +− −
b) 2
2
3 1 2 1:3 2 3 3
x x xx x x
− + + −+ − −
a) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
4 3 2 34 3 2 1 8 12 6 9 8 18 9:4 2 3 4 2 1 2 8 4 2 7 4
x xx x x x x x xx x x x x x x x x
− ⋅ −− + − − + − += = =
− − − ⋅ + + − − − −
b) ( ) ( )( ) ( )
22 3 2 2 3 2
2 2 3 2 2 3 2
3 1 3 33 1 2 1 3 9 9 3 3 3 10 6 3:3 2 3 3 3 2 2 1 3 6 3 2 4 2 3 8 2
x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x
− + ⋅ − −− + + − − + + + − − − + + −= = =
+ − − + ⋅ + − + − + + − + + −
89. Opera las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado.
a) ( )2
3
12 31 (2 3)
xxx x
−−⋅
− − c)
3
3
2 8:1 ( 1)
x xx x+ +
b) 2
2 11 2
x x xx x x
− −⋅ ⋅
− − d)
( )2
1 3 3:1 1
x xx x− −+ +
a) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
23 3 2
1 2 3 12 3 1 11 (2 3) 1 (2 3) 4 12 92 3
x x xx x xx x x x x xx
− − ⋅ −− − −⋅ = = =
− − − ⋅ − − +−
b) ( ) ( )( ) ( )2 2
2 12 1 11 2 1 2
x x xx x xx x x x x x x
⋅ − ⋅ −− −⋅ ⋅ = =
− − − ⋅ ⋅ −
c) ( )( )
( )3 23 2
3 3 2 2
2 1 12 8 2 1:1 ( 1) 1 8 4 4
x x xx x x xx x x x x x
⋅ + + + += = =
+ + + ⋅
d) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
2
2
1 1 1 11 3 3 1:1 1 3 3 3 1 31
x x x xx x xx x x xx
− ⋅ + − ⋅ +− − += = =
+ + ⋅ − ⋅ −+
98 Unidad 4| División y factorización de polinomios
90. Actividad resuelta.
91. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.
a) 1133
xxx
+−
++
b) 12
32 4
1
x
x
−−
−+
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 31 1 1 1 4 8 4 31 :1 3 9 1 4 83 3 1 3 4 8 4 83
3 3 33
x xx x x x x x xxx x x xx x x x xx x xx
+ ⋅ ++ + + + + + += = = = + = =
− + + − +⋅ + + − + + +++ + ++
b) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
2
2
2 3 11 2 6 1 2 72 2 7 12 7 4 2 2 5 73 3 3 3 :2 2 4 4 4 22 4 1 3 1 3 4 2 4 10 641 1 11
x x xx xx x x xx x x x
x xx x x x x x xx x xx
⋅ − − − − −− − ⋅ +− − − − −− − − −= = = = = =
− − − −− ⋅ + − + − ⋅ − − − + +−+ + ++
92. Comprueba si los siguientes binomios son factores del polinomio P(x) = x3 – 3x2 + 4.
a) x – 2 c) x + 1 e) x – 3
b) x + 2 d) x – 1 f) x + 3
a) P(2) = 23 – 3 · 22 + 4 = 0 ⇒ Es factor.
b) P(–2) = (–2)3 – 3 · (–2)2 + 4 = –16 ⇒ No es factor
c) P(–1) = (–1)3 – 3 · (–1)2 + 4 = 0 ⇒ Es factor
d) P(1) = 13 – 3 · 12 + 4 = 2 ⇒ No es factor
e) P(3) = 33 – 3 · 32 + 4 = 4 ⇒ No es factor
f) P(–3) = (–3)3 – 3 · (–3)2 + 4 = –50 ⇒ No es factor
93. Calcula el valor de k para que las siguientes divisiones sean exactas-
a) (2x2 – x + k) : (2x + 5) c) (x3 + 11x2 + 28x + k) : (x + 5)
b) (x3 − x2 − 3x + k) : (x2 + 2x + 3)
a) k + 15 = 0 ⇒ k = – 15 c) k + 9 = 0 ⇒ k = – 9
22x3
2 5
2
x k x
x
− + +
− 5 3
6
x x
x
− −
−
6
k
x
+
+ 15
15k
+
+
3x 2 2
3
3 2 3x x k x x
x
− − + + +
− 2
2
2
2 3 3
3 6
3
x x x
x x k
x
− − −
− − +
+ 6 9
9
x
k
+ +
+
b) k + 10 = 0 ⇒ k = – 10
1 11 28 k –5 –5 –30 10 1 6 –2 k + 10
94. Comprueba que el polinomio 6x3 + 11x2 – 44x + 15 es múltiplo del polinomio 2x2 + 7x – 3.
6x3 + 11x2 – 44x + 15 es múltiplo del polinomio 2x2 + 7x – 3 porque la división es exacta.
36x 2 2
3
11 44 15 2 7 3
6
x x x x
x
+ − + + −
− 2
2
2
21 9 3 5
10 35 15
10
x x x
x x
x
− + −
− − +
+ 35 15
0
x+ −
División y factorización de polinomios | Unidad 4 99
95. Calcula el valor que debe tener k para que el resto de la división (4x3 – 3x2 + 2x + k) : (x + 3) sea –146.
Por el teorema del resto, P(–3) = 4 · (–3)3 – 3 · (–3)2 + 2 · (–3) + k = –141 + k = –146 ⇒ k = –5
96. Escribe un polinomio de tercer grado que sea divisible por x – 1 y por x + 2.
P(x) = x · (x – 1) · (x + 2) = x3 + x2 – 2x es un polinomio de tercer grado divisible por x – 1 y por x + 2.
97. Dada la expresión P(x) = (3x + 1) + (3x + 1)2:
a) Desarróllala, escribiéndola como un polinomio ordenado de segundo grado.
b) Factorízala como producto de dos polinomios de primer grado.
c) Calcula el valor numérico de P(x) en los puntos 13
x = − y x = 0.
a) P(x) = (3x + 1) + (3x + 1)2 = 3x + 1 + 9x2 + 6x + 1 = 9x2 + 9x + 2.
b) P(x) = (3x + 1) + (3x + 1)2 = (3x + 1) · (1 + (3x + 1)) = (3x + 1) · (3x + 2)
c) 21 1 13 1 3 1 0 0 0
3 3 3P − = ⋅ − + + ⋅ − + = + =
P(0) = (3 · 0 + 1) + (3 · 0 + 1)2 = 1 + 1 = 2
98. Dada la fracción algebraica 2
2
6 9 2715 48 9
x xx x− −− +
:
a) Comprueba que tanto el numerador como el denominador de la fracción son múltiplos de 3x – 9.
b) Simplifica la fracción y comprueba que en ambas se obtiene el mismo valor numérico para x = 2 y x = 4.
a) El numerador y el denominador de la fracción son múltiplos de 3x – 9 porque tanto la división del numerador entre 3x – 9 como la del denominador entre 3x – 9 son exactas.
6x2 – 9x – 27 = (3x – 9) · (2x + 3) 15x2 – 48x + 9 = (3x – 9) · (5x – 1)
26x2
9 27 3 9
6
x x
x
− − −
− 18 2 3
9
x x
x
+ +
27
9x
−
− 27
0
+
215x2
48 9 3 9
15
x x
x
− + −
− 45 5 1
3
x x
x
+ −
− 9
3x
+
+ 9
0
+
b) ( ) ( )( ) ( )
2
2
3 9 2 36 9 27 2 315 48 9 3 9 5 1 5 1
x xx x xx x x x x
− ⋅ +− − += =
− + − ⋅ − −
2
2
6 2 9 2 27 21 715 2 48 2 9 27 9
22 2 3 75 2 1 9
x
⋅ − ⋅ − −= = ⋅ − ⋅ + −= ⇒
⋅ += ⋅ −
2
2
6 4 9 4 27 33 1115 4 48 4 9 57 19
42 4 3 115 4 1 19
x
⋅ − ⋅ −= = ⋅ − ⋅ += ⇒
⋅ += ⋅ −
99. Calcula el valor de a y b para que la división (6x3 + 4x2 + ax + b) : (3x2 + 2x – 5) sea exacta
36x 2 2
2
4 3 2 5
6
x ax b x x
x
+ + + + −
− 24 10 2
( 10)
x x x
a x b
− +
+ +
Para que (a + 10)x + b sea nulo: }10 0 10 00a a bb+ = ⇒ = − ==
100 Unidad 4| División y factorización de polinomios
100. Calcula, en los casos en que sea posible, el valor de k para que las fracciones A(x) y B(x) sean equivalentes.
a) 2
2
2( )3 4 1
x x kA xx x
− +=
+ + y 2 3( )
3 1xB xx−
=+
b) 2
2
6 7 3( )12 7
x xA xx x k− −
=+ +
y 2 3( )4 1xB xx−
=+
a) Si A(x) y B(x) son equivalentes entonces (2x2 – x + k) · (3x + 1) = (3x2 + 4x + 1) · (2x – 3).
(2x2 – x + k) · (3x + 1) = 6x3 + 2x2 – 3x2 – x + 3kx + k = 6x3 – x2 + x · (3k – 1) + k
(3x2 + 4x + 1) · (2x – 3) = 6x3 – 9x2 + 8x2 – 12x + 2x – 3 = 6x3 – x2 – 10x – 3
Igualando coeficientes {3 1 10 33k kk− = − ⇒ = −= −
b) Si A(x) y B(x) son equivalentes entonces (6x2 – 7x – 3) · (4x + 1) = (12x2 + 7x + k) · (2x – 3).
(6x2 – 7x – 3) · (4x + 1) = 24x3 + 6x2 – 28x2 – 7x – 12x – 3 = 24x3 – 22x2 – 19x – 3
(12x2 + 7x + k) · (2x – 3) = 24x3 – 36x2 + 14x2 – 21x + 2kx – 3k = 24x3 – 22x2 + (2k – 21) x – 3k
Igualando coeficientes {2 21 19 13 3k kk− = − ⇒ =− = −
101. Actividad resuelta.
102. La fracción algebraica 2 8( )
2 4x xC x
x+
=+
representa el precio, en euros, de bajar x canciones de una web.
a) Calcula el precio de descargarse 10 canciones. ¿Cuánto cuesta, en este caso, cada canción?
b) Calcula la expresión algebraica que determina el precio de cada canción cuando se adquieren x canciones.
a) 210 8 10 180(10) 7,5
2 10 4 24C + ⋅
= = =⋅ +
Al comprar 10 canciones cada una cuesta 7,5 : 10 = 0,75 €
b) El precio unitario vendrá dado por ( ) ( )( )
2 2
2
88 8 82 4 2 4 2 4 2 4
x xx x x x xP x : xx x x x x x
⋅ ++ + += = = =
+ + ⋅ + +
103. Calcula las expresiones algebraicas que representan el área A(x) y las longitudes B(x) y C(x) de la figura.
A(x) = (8x + 3) · (3x – 1) – (9x2 – 1) = 24x2 – 8x + 9x – 3 – 9x2 + 1 = 15x2 + x – 2
2( ) 15 2( ) 5 23 1 3 1A x x xB x xx x
+ −= = = +
− −
215x2
2 3 1
15
x x
x
+ − −
− 5 5 2
6
x x
x
+ +
2
6x
−
− 2
0
−
C(x) = 8x + 3 – B(x) = 8x + 3 – (5x + 2) = 8x + 3 – 5x – 2 = 3x + 1
División y factorización de polinomios | Unidad 4 101
104. Una de las raíces del polinomio x3 – ax + 6 es x = 1. La suma de las otras dos raíces es:
A. 5 B. –1 C. 6 D. –8
Como x = 1 es raíz del polinomio entonces 13 – a + 6 = 0. Entonces a = 7.
Utilizando Ruffini, se obtiene que las raíces del polinomio x3 – 7x + 6 son 1, 2 y –3.
1 0 –7 6 1 1 1 –6
1 1 –6 0 2 2 6
1 3 0
La respuesta correcta es la B.
105. El polinomio P(x) de 4º grado y coeficiente principal 2, tiene por raíces 0 y 1 y al dividirlo por x – 2 y x + 1 da 24 y 0 como resto, respectivamente. Sus coeficientes suman:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
El polinomio es de la forma P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Como 1 es raíz del polinomio, entonces P(1) = a + b + c + d + e = 0. Por tanto los coeficientes suman 0. La respuesta correcta es la A.
106. Una expresión equivalente a 2
3 2
16 2512 7 10
a x xa a a
−− −
es:
A. (4 5)(3 2)
a xa a++
B. 2
16 2512 7 10
ax xa a
−− −
C.
91012 7
x
aa
−
− − D. Nada de lo anterior
Factorizamos el numerador: 16a2x – 25x = x · (16a2 – 25) = x · (4a – 5) (4a + 5)
Factorizamos el denominador. Extraemos en primer lugar factor común: 12a3 – 7a2 – 10a = a · (12a2 – 7a – 10)
Resolviendo la ecuación resultante al 12a2 – 7a – 10 = 0
30 524 47 49 480 7 23
24 24 16 224 3
a
=± + ± = = =
− −=
Por tanto el denominador se factoriza: ( ) ( )2 5 2 512 3 4 3 2 4 53 4 3 4
a a a a a a a a a ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = + ⋅ −
Sustituyendo el numerador y el denominador en la fracción algebraica del enunciado:
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
22
3 2 2
16 25 4 5 4 5 4 5 4 516 2512 7 10 12 7 10 3 2 4 5 3 2 3 2
x a x a a x a a xa x xa a a a a a a a a a a a a
⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + + ⋅−= = = =
− − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅
La respuesta correcta es la A.
107. Al simplificar211 :
1 1mm m
m m + + − − −
se obtiene:
A.2
2
2 mm− B.
22 mm− C.
21 m−
D. 11m −
( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 21 1 1 11 1 1 21 : : : :1 1 1 1 1 1 1 1
m m m m mm m m m m m mm mm m m m m m m m
+ ⋅ − + ⋅ − − − + − − − − + + − = = = = − − − − − − − −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )22 2 12 11
m mm mm m
− ⋅ −− ⋅ −= =
− ⋅ − ( )1m − ( ) ( )
221
mmm−
=⋅ − ⋅ −
La respuesta correcta es la B.
102 Unidad 4| División y factorización de polinomios
108. Encuentra el error en estas operaciones.
a) ( )
2
2 2 2
2 1 2 (2 1) (2 1) 2 4 12 1 (2 1) 4 12 1
x x x x x x xx x xx− − − ⋅ + − + − +
− = =+ + ++
b) ( )
2
2 2 2
2 1 2 (2 1) (2 1) 2 4 32 1 (2 1) 4 4 12 1
x x x x x x xx x x xx− − − ⋅ + − − − −
− = =+ + + ++
a) ( )
2 2
2 2 2 2
2 1 2 (2 1) (2 1) 2 4 1 2 4 12 1 (2 1) 4 4 1 4 4 12 1
x x x x x x x x xx x x x x xx− − − ⋅ + − + − − + − +
− = = =+ + + + + ++
b) ( )
( ) 2 2
2 2 2 2
(2 1) (2 1) 22 1 2 4 1 2 4 12 1 (2 1) 4 4 1 4 4 12 1
x x xx x x x x xx x x x x xx
− ⋅ + − −− − − − + − +− = = =
+ + + + + ++
PONTE A PRUEBA
Tu estantería matemática.
Actividad resuelta
El ortoedro.
El área de la base de un ortoedro mide x2 + 3x + 2 siendo uno de sus lados x + 2 tal y como muestra la figura. El volumen del cuerpo es x3 + 3x2 + 2x.
1. ¿Cuáles de estas expresiones representan las medidas de A(x) y B(x)?
A. A(x) = x + 1 y B(x) = x B. A(x) = 2x + 1 y B(x) = 2x C. A(x) = x – 1 y B(x) = x D. A(x) = x + 1 y B(x) = 2x
( )2 3 2 1
2x xA x x
x+ +
= = ++
( )3 2
2
3 23 2
x xB x xx x+ +
= =+ +
2x2
3 2 2x x
x
+ + +
− 2 1
2
x x
x
x
− +
+
− 2
0
−
3x 2 2
3
3 2 3 2x x x x
x
+ + + +
− 23 2
0
x x x− −
La respuesta correcta es la A.
2. La siguiente figura representa el desarrollo del ortoedro anterior. Escribe las expresiones algebraicas que corresponden a las longitudes (1), (2) (3) y (4).
(1) = x + 2 (2) = A(x) = x + 1 (3) = x + 2 (4) = A(x) = x + 1
3. Escribe una expresión algebraica que determine el área total que se precisa para construir el ortoedro.
Atotal = 2 · [(x + 2) · A(x) + A(x) · B(x) + B(x) · (x + 2)] = 2 · (x2 + 3x + 2 + x2 + x + x2 + 2x) = 6x2 + 12x + 4.
División y factorización de polinomios | Unidad 4 103
Tecleando.
Javier y Elena se han presentado a un concurso de mecanógrafos. Javier tiene que escribir un texto de 180 caracteres y Elena otro de 150 caracteres. Javier ha tardado 40 segundos más que Elena en terminar el texto.
1. ¿Cuál de estas expresiones algebraicas indica el tiempo que tarda Elena en escribir 100 caracteres?
A. 15 000x
B. 18 0004x +
C. 23x D. ( )5 40
9x⋅ +
Llamando x a los segundos que ha tardado Elena en teclear 150 caracteres, entonces ha tardado 100 2100
150 150 3x x x
⋅ = = segundos en escribir 100 caracteres.
La respuesta correcta es la C.
2. ¿Cuál de estas expresiones algebraicas indica el tiempo que tarda Javier en escribir 100 caracteres?
A. 15 000x
B. 18 0004x +
C. 23x D. ( )5 40
9x⋅ +
Como Elena ha tardado x segundos en teclear 150 caracteres, entonces Javier ha tardado x + 40 en teclear 180
caracteres. Por tanto Javier ha tardado ( ) ( )100 40 5 4040 100180 180 9
x xx ⋅ + ⋅ ++⋅ = = segundos en escribir 100
caracteres.
La respuesta correcta es la D.
3. Expresa el número de caracteres que escribirían, cada uno, en un minuto y el número total de caracteres que escribirían entre los dos si trabajaran durante un minuto cada uno con su ordenador.
Elena escribirá, en 60 segundos, 60 150 9000x x⋅
= caracteres.
Javier escribirá, en 60 segundos, 60 180 10 80040 40x x
⋅=
+ + caracteres.
Entre los dos escribirían, en 60 segundos, ( )( ) 2
9000 40 10 8009000 10 800 19 800 360 00040 40 40
x x xx x x x x x
⋅ + + ++ = =
+ ⋅ + +
caracteres.
4. ¿Cuánto tiempo tardarían entre los dos en escribir un documento de 4500 caracteres? ¿De esos 4500 caracteres, cuántos habrían escrito cada uno de ellos?
Entre los dos tardarían ( ) ( )2 2
2
270 000 40 150 404500 6019 800 360 000 19 800 360 000 11 200
40
x x x xx x x
x x
⋅ + ⋅ +⋅= =
+ + ++
segundos.
Elena habría escrito ( ) ( ) ( )2 2
2
150 40 22 500 40 22 500 40150 :
11 200 11 200 11 200x x x x x
xx x x x
⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ = = + + +
caracteres y Javier habría
escrito ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2150 40 27 000 40 27 000180 : 4011 200 11 200 40 11 200
x x x x xxx x x x
⋅ + ⋅ +⋅ + = = + + ⋅ + +
caracteres.
5. Si la velocidad de Elena es de 150 caracteres en 40 segundos, calcula el tiempo que tardarían los dos juntos en realizar la tarea del apartado 4. ¿Cuántos caracteres habrían escrito cada uno de ellos?
Entre los dos tardarían ( )2150 40 40 40
75011 40 200⋅ + ⋅
=⋅ +
segundos en escribir 4500 caracteres.
Elena habría escrito ( )22 500 40 402813
11 40 200⋅ +
=⋅ +
caracteres y Javier habría escrito 27 000 40 168811 40 200
⋅=
⋅ +caracteres.
104 Unidad 4| División y factorización de polinomios
AUTOEVALUACIÓN
1. Divide los polinomios.
a) (10x3 – 25x2) : (–5x) b) (2x3 – 7x2 + 3x - 5) : (x2 + 2x –5)
a) (10x3 – 25x2) : (–5x) = –2x2 + 5x b) (2x3 – 7x2 + 3x – 5) : (x2 + 2x – 5)
32x 2 2
3
7 3 5 2 5
2
x x x x
x
− + − + −
− 2
2
2
4 10 2 11
11 13 5
11
x x x
x x
x
− + −
− + −
+ 22 55
35x 60
x+ −
−
2. Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a) (2x3 – 5x2 + 4x – 2) : (x + 3) b) (x5 – x2 + 5) : (x – 2)
En cada caso, escribe el dividendo en función del divisor, cociente y resto.
a) 2x3 – 5x2 + 4x – 2 = (x + 3)(2x2 – 11x + 37) – 113 b) (x5 – x2 + 5) = (x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 7x + 14) + 33
2 –5 4 –2 1 0 0 –1 0 5 –3 –6 33 –111 2 2 4 8 14 28
2 –11 37 –113 1 2 4 7 14 33
3. Sin realizar la división, comprueba que uno de los factores del polinomio P(x) = 3x3 + 4x2 + x + 10 es x + 2.
Por el teorema del factor, x + 2 es un factor de P(x) porque P(–2) = 3 · (–2)3 + 4 · (–2)2 + (–2) + 10 = 0.
4. Calcula el valor de k para que sea exacta la división (x4 + 2x3 – 7x2 + k) : (x + 4).
Por el teorema del resto, el resto de la división (x4 + 2x3 – 7x2 + k) : (x + 4) coincide con el valor numérico del polinomio P(x) = x4 + 2x3 – 7x2 + k en x = –4. Como P(–4) = (–4)4 + 2 · (–4)3 – 7 · (–4)2 + k = 16 + k, entonces la división será exacta si 16 + k = 0; es decir, si k = –16.
5. Factoriza los siguientes polinomios.
a) P(x) = 2x3 + 7x2 + 2x – 3 c) P(x) = 9x2 – 12x +4
b) P(x) = x4 – x2 d) P(x, y) = 2x3y3 + 4xy4
a) P(x) = 2x3 + 7x2 + 2x – 3 = (x + 1) · (x + 3) · (2x – 1)
2 7 2 –3 –1 –2 –5 3
2 5 –3 0 –3 –6 3
2 –1 0
b) P(x) = x4 – x2 = x2 · (x2 – 1) = x2 · (x – 1) · (x + 1)
c) P(x) = 9x2 – 12x +4 = (3x – 2)2
d) P(x, y) = 2x3y3 + 4xy4 = 2xy3 · (x2 + 2y)
División y factorización de polinomios | Unidad 4 105
6. Calcula las raíces del polinomio P(x) = 3x3 – 9x + 6.
P(x) = 3x3 – 9x + 6 = 3 · (x3 – 3x + 2)
Factorizamos el polinomio x3 – 3x + 2, aplicando la Ruffini.
Como x3 – 3x + 2 = (x – 1)2 · (x + 2), entonces P(x) = 3 · (x – 1)2 · (x + 2).
Las raíces de P(x) son 1 (doble) y –2.
7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
a) ( )2
2
2 152 10
x xA xx x
+ −=
− − b) ( )
3 2 2
2 2 3
2 32 3
x y x yB xx y xy
+=
+
a) 2x2 + x – 15 = (x + 3) · (2x – 5) 2x2 – x – 10 = (x + 2) · (2x – 5)
2 1 –15 2 –1 –10 –3 –6 15 –2 –4 10
2 –5 0 2 –5 0
( )( ) ( )2
2
3 2 52 152 10
x xx xA xx x
+ ⋅ −+ −= =
− − ( ) ( )2 2 5x x+ ⋅ −
32
xx+
=+
b) ( )23 2 2
2 2 3
2 32 3
xx y x yB xx y xy
+= =
+
y ( )2 3x y⋅ +
x 2y ( )2 3x y⋅ +
xy
=
8. Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas y simplifica todo lo que puedas los
resultados.
a) 2 3 12 2
x xx x
−+
− + b) 2 3 2 1
3 2x xx x
− −−
+ +
a) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2 3 1 22 3 1 2 4 3 6 2 5 3 22 2 2 2 4 4
x x x xx x x x x x x x xx x x x x x
⋅ + + − ⋅ −− + + − − + − ++ = = =
− + − ⋅ + − −
b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
2 3 2 2 1 32 3 2 1 2 4 3 6 2 6 3 4 33 2 3 2 2 3 6 5 6
x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x
− ⋅ + − − ⋅ +− − + − − − − + + − −− = = =
+ + + ⋅ + + + + + +
9. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas y simplifica todo lo que
puedas los resultados.
a) ( )
2
32
2 11
x x xx x x+ +
⋅+ +
b) ( )3
3 4
2 32 3 : xxx x
++
a) ( )
( )( ) ( )
22
3 4 22
12 1 11 1 1
x xx x xx x x x x x
⋅ ++ +⋅ = =
+ + ⋅ + + b) ( ) ( )
( ) ( )
3 4
3 23 4 3
2 3 2 32 3 :2 3 2 3
x x xx xx x x x x
+ + ⋅+= =
⋅ + +
10. Una de las dimensiones de un rectángulo es L(x) = x2 + 1 y su área vale A(x) = 3x3 + x2 + 3x + 1.
a) Calcula la medida del otro lado. b) Calcula las medidas y el área del rectángulos si 12
x =
a) Llamando L1 a la medida del otro lado se tiene que ( ) ( )( )
3 2
1 2
3 3 1 3 11
A x x x xL x xL x x
+ + += = = +
+
33x 2 2
3
3 1 1
3
x x x
x
+ + + +
−2
2
3 3 1
1
x x
x
x
− +
+
− 1
0
−
b) Las medidas serán 21 1 51
2 2 4L = + =
, 11 1 53 12 2 2
L = ⋅ + =
y 3 21 1 1 1 253 3 1
2 2 2 2 8A = ⋅ + + ⋅ + =
.
1 0 –3 2 1 1 1 –2 1 1 –2 0 –
–2 2 1 –1 0
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