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VECTORES EN EL ESPACIO (โ๐)
1. VECTORES EN EL ESPACIO (โ๐)
Se ha visto que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado de nรบmeros reales. De manera anรกloga, cualquier punto en el espacio se puede representar por una terna ordenada de nรบmeros reales (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง). Los
vectores de la forma (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) constituyen el espacio โ๐. El espacio โ3 se llama tambiรฉn espacio de tres dimensiones o tridimensional, tiene tres rectas perpendiculares entre sรญ, a las que se llama el eje x, el eje y y el eje z.
Los tres ejes de nuestro sistema determinan tres planos coordenados, que se llama, plano xy, plano xz y yz.
2. Magnitud o norma de un vector en โ๐
La magnitud o norma de un vector ๐ฏ = (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) en โ๐ es la longitud de cualquiera de sus representaciones
y se denota por โ โ y estรก dada por la formula โ โ = โ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2.
Ejemplo: Halla la norma del vector ๐ฏ = (๐,โ๐, ๐) Soluciรณn:
โ๐ฏโ = โ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2 = โ22 + (โ7)2 + 32 = โ62
x
y
z
3. Operaciones con vectores en โ๐ y propiedades. a) Suma y resta: Se hace componente a componente. Es decir si ๐ฎ = (๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ง1) y ๐ฏ = (๐ฅ2, ๐ฆ2, ๐ง2)
entonces: ๐ฎ + ๐ฏ = (๐ฅ1 + ๐ฅ2, ๐ฆ1 + ๐ฆ2, ๐ง1 + ๐ง2) ๐ฎ โ ๐ฏ = (๐ฅ1 โ ๐ฅ2, ๐ฆ1 โ ๐ฆ2, ๐ง1 โ ๐ง2)
b) Producto por un escalar: si ๐ฎ = (๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ง1) y ๐ โ โ, entonces ๐๐ฎ = (๐๐ฅ1, ๐๐ฆ1, ๐๐ง1)
Parelelismo de vectores en โ๐: Dos vectores son paralelos entre si, si todas sus componentes son proporcionales.
Dado si ๐ฎ = (๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ง1) y si ๐ฏ = (๐ฅ2, ๐ฆ2, ๐ง2), ๐ฎ
๐ฏโ
๐ฅ1
๐ฅ2=
๐ฆ1
๐ฆ2=
๐ง1
๐ง2= ๐ โ โ
Entonces ๐ฎ = ๐๐ฏ
Propiedades:
Dados ๐, ๐ y ๐ vectores en โ๐ y ๐ es escalar.
๐ + ๐ es un vector en โ๐
๐ + ๐ = ๐ + ๐ (๐ + ๐) + ๐ = ๐ + (๐ + ๐) ๐ + ๐ = ๐ + ๐, donde el vector ๐ = (0, 0,0)
๐ + (โ๐) = (โ๐) + ๐ = ๐, al vector โ๐ se el llama inverso aditivo de ๐.
๐(๐ + ๐) = ๐๐ + ๐๐ (๐1 + ๐2)๐ = ๐1๐ + ๐2๐, donde ๐1 y ๐1 son escalares.
๐1(๐1๐) = (๐1๐2)๐, donde ๐1 y ๐1 son escalares.
1๐ = ๐ 0๐ = ๐
Ejemplo: Si ๐ = (1,1,2) y ๐ = (โ2,1,0). Hallar ๐ + ๐, ๐ โ ๐ y 3๐ + 2๐
๐ + ๐ = (1,1,2) + (โ2,1,0) = (โ1,2,2)
๐ โ ๐ = (1,1,2) โ (โ2,1,0) = (3,0,2)
3๐ + 2๐ = 3(1,1,2) + 2(โ2,1,0) = (3,3,6) + (โ4,2,0) = (โ1,5,6)
4. Vector unitario
Un vector unitario es un vector con magnitud o longitud 1. Si ๐ฏ es un vector diferente de cero, entonces
๐ฎ =๐ฏ
โ๐ฏโ es un vector unitario que tiene la misma direcciรณn que ๐ฏ
Ejemplo: Encuentre un vector unitario que tenga la misma direcciรณn que ๐ฏ = (2,4, โ3)
Soluciรณn:
โ๐ฏโ = โ22 + 42 + (โ3)2 = โ29, entonces ๐ฎ =(2,4,โ3)
โ29= (
2
โ29,
4
โ29,
โ3
โ29)
Existen tres vectores especiales en โ๐ que nos permiten representar otros vectores en el espacio de manera conveniente. Se denota el vector (1,0,0) por el sรญmbolo i y el vector (0,1,0) con el sรญmbolo j y el vector (0,0,1) con el sรญmbolo k. Si ๐ฏ = (๐, ๐, ๐) es cualquier vector en el espacio, entonces (๐, ๐, ๐) = ๐๐ข + ๐๐ฃ + ๐๐ค
5. Direcciรณn de un vector en โ๐
Ahora se puede definir formalmente la direcciรณn de un vector en โ๐. No se puede definir como el รกngulo ๐ que forma el vector con el eje x positivo.
Definiciรณn: la direcciรณn de un vector ๐ฏ en โ๐ se define como el vector unitario ๐ฎ =๐ฏ
โ๐ฏโ
6. Producto escalar de dos vectores en โ๐
Sea ๐ฎ = (๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ง1) y ๐ฏ = (๐ฅ2, ๐ฆ2, ๐ง2) dos vectores en โ๐. Entonces el producto escalar (producto punto o producto interno) de ๐ฎ y ๐ฏ denotado por ๐ฎ โ ๐ฏ esta dado por: ๐ฎ โ ๐ฏ = ๐ฅ1๐ฅ2 + ๐ฆ1๐ฆ2 + ๐ง1๐ง2. Ejemplo: Si ๐ฎ = (3,1,โ2) y ๐ฏ = (โ1,4,0) encontrar el producto interno de ๐ฎ โ ๐ฏ
๐ฎ โ ๐ฏ = (3)(โ1) + (1)(4) + (โ2)(0) = โ3 + 4 + 0 = 1 Propiedades:
Dados ๐ฎ, ๐ฏ y ๐ฐ vectores en โ๐ y ๐ es escalar. a) ๐ฎ โ ๐ฏ = ๐ฏ โ ๐ฎ b) ๐ฎ โ (๐ฏ + ๐ฐ) = ๐ฎ โ ๐ฏ + ๐ฎ โ ๐ฐ c) ๐ฎ โ (๐๐ฏ) = (๐๐ฎ) โ ๐ฏ = ๐(๐ฎ โ ๐ฏ) d) ๐ฎ โ ๐ฎ โฅ 0 e) ๐ฎ โ ๐ฎ = โ๐ฎโ๐
Criterios de vectores ortogonales: Dos vectores no nulos ๐ฎ y ๐ฏ en โ3 son ortogonales si y solo si ๐ฎ โ ๐ฏ = 0
7. Angulo que forman dos vectores en โ๐
La fรณrmula es la misma que en el plano โ๐
cos๐ =๐ฎ โ ๐ฏ
โ๐ฎโโ๐ฏโ
Ejemplo: Si ๐ฎ = (3,โ1,2) y ๐ฏ = (โ4,0,2). Hallar el รกngulo entre ellos Obtenemos primero el producto punto ๐ฎ โ ๐ฏ = (3)(โ4) + (โ1)(0) + (2)(2) = โ12 + 0 + 4 = โ8 Hallamos la norma de ๐ฎ y ๐ฏ
โ๐ฎโ = โ32 + (โ1)2 + 22 = โ14
โ๐ฏโ = โ(โ4)2 + 02 + 22 = 2โ5
Reemplazando en la formula tenemos: cos ๐ =โ8
(โ14)(2โ5)= โ0.48
cos ๐ = โ0.48 como es negativo el coseno estรก en el segundo cuadrante. ๐ = 118.7ยฐ
8. El productor vectorial. Producto cruz Hasta aquรญ el รบnico producto de vectores que se ha considerado ha sido el producto escalar o producto punto. Ahora se define un nuevo producto, llamado producto cruz (o producto vectorial), que estรก definido solo en
โ๐ Definiciรณn: Sea ๐ฎ = (๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ง1) y ๐ฏ = (๐ฅ2, ๐ฆ2, ๐ง2) dos vectores en โ๐. Entonces el producto cruz (producto vectorial) de ๐ฎ y ๐ฏ denotado por ๐ฎ ร ๐ฏ, en un nuevo vector definido por:
๐ฎ ร ๐ฏ = (๐ฆ1๐ง2 โ ๐ง1๐ฆ2, ๐ง1๐ฅ2 โ ๐ฅ1๐ง2, ๐ฅ1๐ฆ2 โ ๐ฆ1๐ฅ2) Note que el resultado del producto cruz es un vector, mientras que el resultado del producto punto es un escalar. Una manera practica de obtener el resultado de la operaciรณn producto cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante:
๐ฎ ร ๐ฏ = |๐ข ๐ฃ ๐ค๐ฅ1 ๐ฆ1 ๐ง1
๐ฅ2 ๐ฆ2 ๐ง2
|
Donde |๐ข ๐ฃ ๐ค๐ฅ1 ๐ฆ1 ๐ง1
๐ฅ2 ๐ฆ2 ๐ง2
| = ๐ข |๐ฆ1 ๐ง1
๐ฆ2 ๐ง2| โ ๐ฃ |
๐ฅ1 ๐ง1
๐ฅ2 ๐ง2| + ๐ค |
๐ฅ1 ๐ฆ1
๐ฅ2 ๐ฆ2|
Ejemplo: Sea ๐ฎ = (1,2, โ1) y ๐ฏ = (2,โ1,0) dos vectores en โ๐. Encontrar el producto cruz ๐ฎ ร ๐ฏ
๐ฎ ร ๐ฏ = |๐ข ๐ฃ ๐ค1 2 โ12 โ1 0
| = ๐ข |2 โ1
โ1 0| โ ๐ฃ |
1 โ12 0
| + ๐ค |1 22 โ1
|
๐ฎ ร ๐ฏ = ((2)(0) โ (โ1)(โ1))๐ข โ ((1)(0) โ (โ1)(2))๐ฃ + ((1)(โ1) โ (2)(2))๐ค
๐ฎ ร ๐ฏ = โ๐ข โ 2๐ฃ โ 5๐ค = (โ1,โ2,โ5) Propiedades:
Dados ๐ฎ, ๐ฏ y ๐ฐ vectores en โ๐ y ๐ es escalar. a) ๐ฎ ร ๐ = ๐ ร ๐ฎ = ๐ b) ๐ฎ ร ๐ฏ = โ(๐ฏ ร ๐ฎ) c) (๐๐) ร ๐ฏ = ๐(๐ฎ ร ๐ฏ) d) ๐ฎ ร (๐ฏ + ๐ฐ) = (๐ฎ ร ๐ฏ) + (๐ฎ ร ๐ฐ) e) (๐ฎ ร ๐ฏ) โ ๐ฐ = ๐ฎ โ (๐ฏ ร ๐ฐ) f) ๐ฎ โ (๐ฎ ร ๐ฏ) = ๐ฏ โ (๐ฎ ร ๐ฏ) = ๐ (Es decir ๐ฎ ร ๐ฏ es ortogonal a ๐ฎ y ๐ฏ) g) Dados ๐ฎ y ๐ฏ vectores diferentes de cero, entonces ๐ฎ y ๐ฏ son paralelos si y solo si ๐ฎ ร ๐ฏ = ๐
De las propiedades anteriores se puede volver a establecer que:
โel producto cruz ๐ฎ ร ๐ฏ es ortogonal tanto a ๐ฎ como a ๐ฏโ
Se sabe que ๐ฎ ร ๐ฏ es ortogonal a ๐ฎ como a ๐ฏ, pero siempre habra dos vectores unitarios ortogonales a ๐ฎ y a ๐ฏ. Para saber cual tiene la direccion de ๐ฎ ร ๐ฏ se usa la regla de la mano derecha. Se coloca la mano derecha de manera que el indice apunte en la direccion de ๐ฎ y el dedo medio en la direccion de ๐ฏ, entonces el pulgar apuntarรก en la direccion ๐ฎ ร ๐ฏ.
9. Aplicaciones del producto cruz Teorema: Si ๐ es el angulo entre ๐ฎ y ๐ฏ, entonces: โ๐ฎ ร ๐ฏ โ = โ๐ฎโโ๐ฏโ sen ๐ Existe una interpretaciรณn geomรฉtrica interesante del teorema anterior que lo observamos en la siguiente aplicaciรณn: a) Calculo del รกrea del paralelogramo sustentado por dos vectores:
b) Calculo del รกrea del triรกngulo sustentado por dos vectores El รกrea del triรกngulo sustentado por dos vectores ๐ฎ y ๐ฏ, es la mitad del รกrea del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:
v
u
uxv
El รกrea del paralelogramo que tiene
lados adyacentes ๐ฎ y ๐ฏ es igual a:
โ๐ฎโโ๐ฏโ sen ๐ = โ๐ฎ ร ๐ฏ โ
Entonces:
๐ด๐ = โ๐ฎ ร ๐ฏ โ
๐ด๐ก =1
2โ๐ฎ ร ๐ฏ โ
c) Calculo del volumen del paralelepรญpedo sustentado por tres vectores
Ejemplo: halla el รกrea del triรกngulo sustentado por los vectores ๐ฎ = (1,2, โ1) y ๐ฏ = (2,โ1,0) Soluciรณn
๐ฎ ร ๐ฏ = |๐ข ๐ฃ ๐ค1 2 โ12 โ1 0
| = โ๐ข โ 2๐ฃ โ 5๐ค
๐ด๐ก =1
2โ๐ฎ ร ๐ฏ โ =
1
2โ(โ1,โ2,โ5)โ =
1
2โ(โ1)2 + (โ2)2 + (โ5)2 =
โ30
2
Ejemplo: Hallar el area del triangulo que tiene por vertices los puntos (1, โ2,0), (1,1,1) y (โ2,0,1) Solucion: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de los puntos; luego se procede de manera analoga a lo mencionado anteriormente.
En este caso ๐ฃ1 = ๐1๐2โโ โโ โโ โโ = (1 โ 1,1 + 2,1 โ 0) = (0,3,1)
๐ฃ2 = ๐1๐3โโ โโ โโ โโ = (โ2 โ 1,0 + 2,1 โ 0) = (โ3,2,1)
๐ฃ1 ร ๐ฃ2 = |๐ข ๐ฃ ๐ค0 3 1
โ3 2 1| = ๐ข โ 3๐ฃ โ 9๐ค
โ๐ฃ1 ร ๐ฃ2โ = โ(1)2 + (โ3)2 + (โ9)2 = โ91
๐ด๐ก =1
2โ๐ฃ1 ร ๐ฃ2โ =
โ91
2
Ejemplo: hallar el volumen del paralelepipedo sustentado por los vectores ๐ฎ = (1,โ2,1), ๐ฏ = (2,0, โ1) y ๐ฐ = (1,2,3) Soluciรณn:
๐ฃ๐๐๐ข๐๐๐ = |(๐ฎ ร ๐ฏ) โ ๐ฐ| = |1 โ2 12 0 โ11 2 3
| = 1 |0 โ12 3
| โ (โ2) |2 โ11 3
| + 1 |2 01 2
| = 2 + 14 + 4 = 20 ๐ข3
๐ = |(๐ฎ ร ๐ฏ) โ ๐ฐ|
Triple producto escalar