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Ecuaciones EmpíricasObjetivos:1.Determinar la ecuación empírica del periododel pendulo simple
2.Desarrollar metodos graficos y analiticos
para obtener informacion del fenomeno enestudio
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Problema científico
olución !ipot"tica
Datos e#perimentales
$n%lisis gr%fico o estadístico
Ecuación Empírica
&y ~ x
y = kx n
y = 0,51x 0.63
nn
yy
xx
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En todo experimento de laboratorio, seobtiene un conjunto de valores
correspondientes a dos variables, unadependiente de la otra. Esta dependenciaentre variables se puede expresar
matem ticamente mediante una !unci"n #uetoma el nombre de ecuación empírica .
'undamento teórico
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$a relaci"n de dependencia #ue existeentre dos cantidades puede ser expresadaen !orma m s es#uem tica y simple,utili%ando una gráfica . &s', es importante(acer notar #ue el estudio de !unciones y)r !icas es el instrumento b sico con el#ue cuenta todo estudiante de ciencias.
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*uando un !en"meno ocurre es +til tomardatos experimentales y elaborar )r !icas yecuaciones matem ticas con el !in derelacionar ma)nitudes #ue intervienen enel !en"meno de una !orma m s precisa
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E()$(*+, E-P /*($
Es una ecuaci"n obtenida a partir del )r !icode un conjunto de valores experimentales dedos variables. $a relaci"n entre las dosvariables se expresa mediante la !unci"nmatem tica
y 0 f x
donde y es la variable dependiente x es la variable independiente .
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-urante un experimento la variableindependiente puede tomar valoresarbitrarios, y el valor de la variabledependiente es observado y medidosubsecuentemente.
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3(ómo proceder para
!acer un buen gr%fico&1. so de papel milimetrado/. uena elecci"n de escalas3. uen aprovec(amiento del espacio disponible
en el papel milimetrado. 2ra%ar una l'nea continua #ue represente la
tendencia de los puntos experimentales5. *omparar la curva obtenida con las curvas
tipo
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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,
64
54
24
14
;r%fica < vs '< m =142
>ariable independiente
> a r i a b l e d e p e n
d i e n
t e
3 i l i m e t r a d o
4 i n s t r u m e n
t o d e m e d i d a 5
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e s c a
l a s 64
54
24
14
4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,
Escala de1 cm 0 1 ,
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e s c a
l a s
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e s c a
l a s
4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,
Escala de2 cm 0 14 ,
64
54
24
14
$ 4m
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e s c a
l a s
4 1 2 5 6 7 8 = 145 ' ,
Escala de7 cm 0 1 ?g
2.4
1.4 @
4.4
m4k)
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9 @ 8 @
7 @
6 @
5 @
2 @ 1 @
4 @
;rafica A vs <
P e r i o
d o
A 1 s e g u n d o s
2
4 4B14 4B24
-
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C @
8 @
6 @ 2 @
4 @
;rafica A vs <
P e r
i o d o A
1 s e g u n
d o s
2
4 4B14 4B24 4B54: < metros
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apel milimetrado (ori%ontal
9 @
8 @
7 @ 6 @
5 @
2 @
1 @
4 @
;r%fica A vs <
4 4B14 4B24
P e r
i o d o
A 1 s e g u n
d o s
2
√
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9 @
8 @
7 @ 6 @
5 @
2 @
1 @
4 @
;r%fica λ vs f
4 4B14 4B24
< o n g i t u
d d e o n
d a 1 m e t r o s 2
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9 @
8 @
7 @ 6 @
5 @
2 @
1 @
4 @
;r%fica λ vs f
4 4B14 4B24
< o n g i t u
d d e o n
d a 1 m e t r o s 2
√
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1. /elación lineal y 0 $ F G#y
x
y
x
$ineal )eneral $ineal proporcionaly = & 7 x y = x
()/>$ A*PO
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2. /elación Potencial: y 0 H #n
y
x
y
x
y
x
y = k x n
0 8 n 8 1y = k x n
n 8 0
y = k x n
n 9 1
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5. /elación E#ponencial: y 0 H eI#
y
x
y
xy = k e : ;xy = k e ;x
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/elación lineal y 0 $ F G#
y
x = endiente inclinaci"n de la recta respecto al eje <
&
& = nterceptodistancia entre 0 y el punto de corte *
0
= tan >
*
& = 0*
1
/
>
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Determinación de constantes: -"todo ;r%fico/elación lineal y 0 $ F G#
y
x
∆ y
∆ x1
/ / = 4x/ , y /
1 = 4x1 , y 1
∆ y = y / A y1∆ x = x / A x1
endiente = =∆ y y / A y1
∆ x x / A x1
&
ntercepto &
0 x1 x/
y1
y /
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,, ' ,' , < m< m '
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3Ku" relación e#iste entre el periodo deun pendulo y su longitud&
$
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El pendulo simple
A 0 H <n
ln A 0 ln H F n ln <
L 0 $ F G Mn 0 G
ln H 0 $ → H 0 e$
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Aabla 1: Periodo A vs longitud <
, < cm t1 s t2 s t5 s t6 s t7 s A s
1 24
2 27
5 54
6 64
7 74
8 84
9 94C C4
J J4
14 144
Σ t i50
Τ =
ti tiempo de 10 oscilaciones
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Aabla 2: ln A vs ln <
, < cm A s
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Aabla 5: -etodo estadisticoM L ML M2 L2
, < cm A s
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Escalas Ntiles
1 cm2 cm
7 cm P a p e l
m i l i m
e t r a
d o
)nidadfísica =14
n
4 1 2 5 674 1 2
4
-
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Escala 1cm 0 1 ,: :
@ @ @ @ @ @ @ @
4 1 2 5 6 7' ,1 cm
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-
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4 1 2 5 67 ' ,
@ @@@@
4B8
Escala 1 : 1
Ejercicio de lectura de escala
5BJ7
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4 1 2 =145 ' ,
4B5=145
Escala: 2cm 0 1=145,
Ejercicio de lectura de escala
1B47=145 2B67=145
4B2 4B6 4B8 4BC
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41444
@ @@@@
124
Escala 7 cm 0 1=145 ,
Ejercicio de lectura de escala
664 JC4
'uer a ne tons244 644 844C44
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Escala 1 : 7Papel /ealidad
: :
@ @ @ @ @ @ @ @
4 14 24' ,
1=14
2 cm
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Escala 1 : 2Papel /ealidad
: :
@ @ @ @ @ @ @ @
4 14' ,
1=14
7 cm
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4 1 2 5 6 7 8 9 '
24
17
14
7
4
' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166
6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7
;r%fica < vs '< m =142
x y
-
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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,
24
17
14
7
4
' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166
6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7
;r%fica < vs '< m =142
$ 0 intercepto 0 4.4C m
< 0 19.7 @ J.7
' 0 8 @1 0 7 ,
Pendiente G 0∆ $∆ FG 0 4.418 m ,
< 0 4.4C m
< 0 4.4C F 4.418'
x y
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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,
24
17
14
7
4
' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166
6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7
;r%fica < vs '< m =142
$ 0 intercepto 0 4.4C m
< 0 19.7 @ J.7
' 0 8 @1 0 7 ,
Pendiente G 0∆ $∆ FG 0 4.418 m ,
< 0 4.4C m
< 0 4.4C F 4.418'
x y
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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,
24
17
14
7
4
' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166
6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7
;r%fica < vs '< m =142
$ 0 intercepto 0 4.4C m
< 0 19.7 @ J.7
' 0 8 @1 0 7 ,
Pendiente G 0∆ $∆ FG 0 4.418 m ,
< 0 4.4C m
< 0 4.4C F 4.418'
x y
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4 1 2 5 6 7 8 9 ' ,
24
17
14
7
4
' ,' , < m< m2.J92.J9 4.1274.1275.9C5.9C 4.1664.166
6.7J6.7J 4.1724.1727.647.64 4.1884.1888.218.21 4.19C4.19C9.459.45 4.1J74.1J7
;r%fica < vs '< m =142
$ 0 intercepto 0 4.4C m
< 0 19.7 @ J.7
' 0 8 @1 0 7 ,
Pendiente G 0∆ $∆ FG 0 4.418 m ,
< 0 4.4C m
< 0 4.4C F 4.418'
x y
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apel milimetrado (ori%ontal
9 @
8 @
7 @ 6 @
5 @
2 @ 1 @
4 @
;rafica ' vs <
4 4B14 4B24
f u e r E a :
' 1 , e O t o n
2
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apel milimetrado (ori%ontal
9 @
8 @
7 @ 6 @
5 @
2 @ 1 @
4 @
;rafica A vs <
4 4B14 4B24
P e r i o d o
A 1 s e g u n
d o s
2
i li ió d
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Ejemplo Gi el )r !ico de los datos experimentaleses una de las curvas de potencias #ue se muestran
en la Fi)ura /, su ecuaci"n emp'rica tendr la!orma
y = k x n 43
donde H y n son constantes por determinar.
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a Esta ecuaci"n puede ser lineali%ada tomandolo)aritmos a ambos miembros
ln y = ln k 7 n ln x 4
y (aciendo el si)uiente cambio de variables
@ = ln y ; < = ln x; &= ln k ; = n.la ecuaci"n 43 se trans!orma en
@ = & 7 < 45
#ue es la ecuaci"n de una recta y consecuentementeel )r !ico de las nuevas variables Y vs X debe seruna l'nea recta.
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b En el caso #ue se conociera el valor de la
constante n de la ecuaci"n 43 la !orma delineali%ar esta curva es (aciendo el si)uientecambio de variables
@ = y , < = x n , = k
con lo cual la nueva ecuaci"n es el de una recta
del tipo@ = < 46
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Determinación de las constantes de la recta
Método Gráfico
? l i" li l & 7
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?elaci"n lineal y = & 7 xy
x
∆ y
∆ x1
// = 4x/ , y /1 = 4x1 , y 1
∆ y = y / A y1∆ x = x / A x1
endiente = = 4B∆ y y / A y1 ∆ x x / A x1
&
ntercepto &
0 x1 x/
y1
y /
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Determinación de las constantes de la recta
Método EstadísticoEste m"todo consiste en aplicar el m"todo deloscuadrados mínimos para calcular lasconstantes $ y G. Para ello usamos lasfórmulas C y J .
Este m"todo tiene la ventaja de minimi ar loserrores e#perimentales en la determinación de$ y G.
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*ntercepto: $ 0 C #2 y @ # #y
, #2 @ # 2
Pendiente: G 0 J, #y @ # y
, #2 @ # 2
(%lculo del intercepto $ y la pendiente G
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σ = y2
@ G #y @ $ y , 2
D 0 , #2 @ #2
G 0 σ ,
D $ 0 σ #
2
D
(%lculo de los errores absolutos de $ y G
Procesamiento y an%lisis
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Procesamiento y an%lisis