Prof. S. Vélez 1

Dominio y Campo de Valoresde una Función

Objetivos

•Determinar el dominio de una función dado su gráfica•Determinar el campo de valores, recorrido

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•Determinar el campo de valores, recorridoo alcance de una función dado su gráfica.

¿Cómo se determina el dominio y alcance (Campo de Valores) en una gráfica?

• El dominio será el conjunto de valores en el eje de las abscisas ( eje de x) para los cuales la función tiene al menos un punto con ese valor.

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con ese valor.• El campo de valores (alcance) será el

conjunto de valores en el eje de las ordenadas ( eje de y) para los cuales la función tiene al menos un punto con ese valor.

• La notación de intervalo es la más común representación del dominio y el campo de valores en estos conjuntos que no pueden

Intervalos

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valores en estos conjuntos que no pueden separarse uno del otro (continuos)

• Observemos distintos tipos de intervalos para los cuales a y b son números reales, tales que a < b.

[ ]( )( ][ )

ba

ba

ba

,

,

,

Notación dedesigualdad

Intervalo

bxa

bxa

bxa

≤<<<≤≤

Intervalos

Prof. S. Vélez 5

[ )( )[ )( )( ]b

b

a

a

ba

,

,

,

,

,

∞∞

∞∞

−

−

bx

bx

ax

ax

bxa

≤<≥>

<≤

Intervalos

[ ]( )( ][ )ba

ba

ba

ba

,

,

,

,

Intervalo Gráfica¿Qué incluye?

a y b y todos los números entre ambos

todos los reales entre a y b pero sin ellos

todos los reales entre a y b y al número b pero NO incluye a

todos los reales entre a y b y al número a

x

x

x

a b

a b

a b

Prof. S. Vélez 6

[ )( )[ )( )( ]b

b

a

a

ba

,

,

,

,

,

∞∞

∞∞

−

−

todos los reales entre a y b y al número a pero NO incluye b

todos los reales mayores que a pero NO incluye a

todos los reales mayores o iguales que a

todos los reales menores que b pero NO incluye b

todos los reales menores o iguales que b

xa b

x

x

x

x

a

a

b

b

Aspectos importantes de la notación de intervalo

Ej. 1 Determina el dominio y campo de valores de cada gráfica.

1

2

3

4 y

Prof. S. Vélez 8

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

( ),−∞ ∞D =C.V.= ( ),−∞ ∞

R= R=

Ej. 2 Ej. 2 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores.valores.

2

3

4

yD = ( )∞∞− ,

R=

Prof. S. Vélez 9

-3

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 1 2 3x

[ )∞,0C.V.=0≥y

2

3

4

y

Ej. 3 Ej. 3 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores.valores.

D = ( )∞∞− , R=

Prof. S. Vélez 10

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

( ]3 ,∞−C.V.=

3≤y

Ej. 4 Ej. 4 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores.valores.

1

2

3

4 y

Prof. S. Vélez 11

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

( ),−∞ ∞D =R= C.V.= ( ),−∞ ∞

R=

Ej. 5 Ej. 5 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores.valores.

1

2

3

4 y

Prof. S. Vélez 12

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

D = C.V.= 0≥y( ),−∞ ∞ℜ= [ )∞,0

Ej. 6 Ej. 6 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores.valores.

1

2

3

4 y

Prof. S. Vélez 13

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

D = C.V.=( ),−∞ ∞ [ )∞− ,2ℜ= 2−≥y

Ej. 7 Ej. 7 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores.valores.

1

2

3

4 y C.V.= ( ]3,∞−

3≤y

Prof. S. Vélez 14

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

D = ( ),−∞ ∞ ℜ=

Ej. 8 Ej. 8 Determine el dominio y el campo de Determine el dominio y el campo de valores.valores.

1

2

3

4 yC.V.= ( ]4,2−42 ≤<− y

Prof. S. Vélez 15

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

D = ], 3(−3 33 ≤<− x

Ej. 9 Ej. 9 Determine el dominio y el campo de V.Determine el dominio y el campo de V.

1

2

3

4 y( ) ( )∞∪∞−= ,22,D ( ) ( )∞∪∞−= ,00,..VC

Prof. S. Vélez 16

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

D = C.V.={ }2≠x { }0≠y

Asíntota Vertical

Ej. 10 Ej. 10 Determine el dominio y el campo de V.Determine el dominio y el campo de V.

1

2

3

4 yD = { }1−≠x

( ) ( )∞−∪−∞−= ,11,D

Prof. S. Vélez 17

-3

-2

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

C.V.= { }1≠y( ) ( )∞∪∞−= ,11,..VC

2

3

4

y

Ej. 11 Ej. 11 Determine el dominio y el campo Determine el dominio y el campo de valores.de valores.

D =[ )∞− ,3

3−≥x

Prof. S. Vélez 18-3

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 1 2 3x

[ )1 ,2− [ )∞ ,3∪C.V.=

x y-2 2-1 -10 -2

Dominio Recorridoy

y = x 2 – 2

(2,2)(-2,2)

Ej. 12 Ej. 12 DeterminDeterminaa elel domindominioio y y alcancealcance

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0 -21 -12 2

x

(1,-1)

(0,-2)

(-1,-1)

( ),−∞ ∞D =

[ )∞,0C.V.=

Ej. 13 Ej. 13 DeterminDeterminaa elel domindominioio

4 (2, 3)

y

Dominio:

[ ]10,0=D

100 ≤≤ x

Prof. S. Vélez 20

0

-4(0, -3)

(4, 0)(10, 0)

(1, 0)x

Ej. 14 Ej. 14 DeterminDeterminaa elel alcancealcance o Campo de Valoreso Campo de Valores

4 (2, 3)

yAlcance o C. V.:

[ ]3,3−=A

33 ≤≤− y

Prof. S. Vélez 21

0

-4(0, -3)

(4, 0)(10, 0)

(1, 0)x

Ej. 15 Ej. 15 DeterminDeterminaa los los interceptinterceptoos en X s en X dede la la siguientesiguiente grgráficaáfica..

4 (2, 3)

y Interceptos en x:( ) ( ) ( ) 10,0 ,4,0 ,0,1

Prof. S. Vélez 22

0

-4(0, -3)

(4, 0)(10, 0)

(1, 0)x

4 (2, 3)

y Interceptos en y:

( )3,0 −

Ej. 16 Ej. 16 DeterminDeterminaa los los interceptinterceptoos en Y s en Y dede la la siguientesiguiente grgráficaáfica..

Prof. S. Vélez 23

0

-4(0, -3)

(4, 0)(10, 0)

(1, 0)x

¿Cómo encontrar el dominio en forma algebraica?

Posibles restricciones del dominio.Posibles restricciones del dominio.

1.1. División por cero:División por cero: La división por La división por

Prof. S. Vélez 24

1.1. División por cero:División por cero: La división por La división por cero no está definida. cero no está definida.

Ejemplo:Ejemplo:

34

4

xx

x

− ∴ ≠−

Posibles restricciones del dominio.Posibles restricciones del dominio.

2.2. Raíces Raíces parespares de números de números negativos:negativos: Las raíces pares de Las raíces pares de números negativos son números números negativos son números imaginarios o complejos.imaginarios o complejos.

Ejemplo:Ejemplo:

Prof. S. Vélez 25

Ejemplo:Ejemplo:

ℜ≠−=−

≥=∴−

242

44 xDx

No hay restricciones del dominio No hay restricciones del dominio para raices impares.para raices impares.3. Raíces 3. Raíces imparesimpares de números de números

negativos:negativos: Las raíces impares de Las raíces impares de números negativos son números números negativos son números realesreales

Ejemplo:Ejemplo:

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Ejemplo:Ejemplo:

ℜ=∴−

ℜ=∴−

Dx

Dx5

3

2

5

4. Determine el dominio de cada función4. Determine el dominio de cada función ..

Hay posible división por cero.

3( )

1

xf x

x

−=−

1 0x − ≠

Prof. S. Vélez 27

=Dominio ( ),1−∞ ∪ ( )1,∞

1

1 0x − ≠1x ≠

{ }1ℜ −

5. 5. Determine el dominio de cada funciónDetermine el dominio de cada función ..

Hay posible división por cero.

62

2)(

+−=

x

xxf

Prof. S. Vélez 28

2 6 0x + ≠3x ≠ −=Dominio ( )3,−∞− ∪( )∞− ,3 { }3R= − −

-3

04 ≥−x

Nota: Raíz cuadrada, no pueden habernúmeros negativos dentro de la raíz.

4.6 −= xy

Prof. S. Vélez 29

4≥x =Dominio [ )∞,4

4

02 ≥−x

Nota: Raíz cuadrada, no pueden haber números negativos dentro de la raíz.

2.7 −= xy

Prof. S. Vélez 30

2≥x =Dominio [ )∞,2

2

01≥+x

Nota: Raíz cuadrada, no pueden habernúmeros negativos dentro de la raíz.

1.8 += xy

Prof. S. Vélez 31

1−≥x =Dominio [ )∞− ,1

-1

07 ≥− x 7≤x

xy −= 7.9

Nota: Raíz cuadrada, no pueden habernúmeros negativos dentro de la raíz.

Prof. S. Vélez 32

7−≥− x7≤x

=Dominio ( ]7,∞−1

7

1 −−≥

−− x

031 ≥− x3

1≤x

Nota: Raíz cuadrada, no pueden haber números negativos dentro de la raíz.

xy 31.10 −=

Prof. S. Vélez 33

13 −≥− x3

=Dominio

∞−3

1,

3 1

3 3

x− −≤− −

Nota: No hay restricciones.¿ Por qué?

3 4)(.11 += ttg

Prof. S. Vélez 34

Dominio R=

06 ≥+x:que Tenemos 1.

6−≥x

2

6)(.12

++

=x

xxf

Prof. S. Vélez 35

6−≥x

[ ) ( )6, 2 2, D= − − ∪ − ∞

:Además2.2

02

−≠≠+

x

x

-6 -2

:que Tenemos 032 >−x32 >x3>x

32

15)(.13

−+=

x

xxf

Prof. S. Vélez 36

2

3>x

3,

2D

= ∞

1.5

Prof. S. Vélez 37