documentos_completos_de_matemáticas_iv

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DDDooommmiiinnngggooo,,, 222111 dddeee MMMaaarrrzzzooo dddeee 222000111000

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ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS IV

Ing. Adán Ramos Bautistahttp://rabablog.blogspot.com/[email protected]://groups.google.com.mx/group/grupos_raba_cb/

Viernes, 19 de Marzo de 2010Página 2 de 81

Los que siguen son conceptos que debes de dominar, para tener éxito en este curso.

a) Medición de un segmento.b) Operaciones elementales (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada)

con los numeras eales (enteros y fraccionarios, tanto positivos como negativos).c) Desarrollo de un binomio al cuadrado.d) Resolver ecuaciones de 1º y 2º grado (por factorización, completar cuadrados,

productos notables y formula general).e) Simplificar radicales.f) Resolver ecuaciones simultáneas: 2x2 y 3x3.g) Teorema de Pitágoras.h) Funciones trigonométricas.i) Ángulos notables.j) Desigualdades lineales.

a) Comer, dejar basura o hacer pintas (y fuera de él).b) Trabajos de otras asignaturas o actividades ajenas a la asignatura de Matemáticas IV.c) No utilizar (filmar, jugar, etc.) o hablar por teléfono celular, contesta brevemente y

reincorpórate a tus actividades de clase.d) No utilizar el teléfono celular como calculadora, tanto en clase como en exámenes.e) Activar juegos mecánicos, eléctricos u electrónicos (incluyendo reproductores

musicales) en el salón de clases.

MATEMÁTICAS IV

FUNCIONES YRELACIONES

PLANOCARTESIANO

SECCIONESCONICAS

RECTA ELIPSE

y mx b

CIRCULO

2 2 2x y r

PARABOLA

24y p x2 2

2 2 1x ya b

HIPERBOLA

2 2

2 2 1x ya b

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CRITERIO DE EVALUACION DEL CURSO:

70% Evaluaciones Sumativas, la calificación máxima de cada evaluación es 7 y lacalificación parcial integrada se completa con tareas y asistencia.

20% Tareas y Documentos, estos son obligados para tener derecho a cada evaluaciónparcial.

10% Asistencia, cada 2 justificaciones equivale a una falta y cada 3 retardos equivale auna falta (- 1/6= - 0.17 c/f).

100% Solo con el 100% de asistencia, se tiene un punto más sobre la Calificación Final.No aplica con inasistencias justificadas y retardos.

El alumno tiene derecho a faltar en el curso 6 veces (que corresponde al 20% del curso,según el reglamento de la Institución).Con dos (2) inasistencias se pierde el derecho a la correspondiente evaluación parcial.Con mas de una (1) “w” en las evaluaciones sumativas y no sobrepase de 6 faltas, lacalificación final será de 5.

Ejemplo de calificaciones:

Matemáticas IV Primera Evaluación Parcial Integrada Segunda Evaluación Parcial Integrada

Horario: 11:00 - 13:00 Tareas Asistencia Tareas Asistencia

No. Alumno (a)

Eval.Sum. Num Calif A R J F Calif

Calificación


Calificación

1 Alumn@ “A” w 0 0.0 7 0 0 1 0.83 0.8 5.0 2 2.0 6 0 0 0 1.00 8.0

2 Alumn@ “B” 0.0 0 0.0 8 0 0 0 1.00 1.0 5.0 2 2.0 3 0 0 3 0.50 7.5

3 Alumn@ “C” 5.5 4 2.0 8 0 0 0 1.00 8.5 5.0 2 2.0 6 0 0 0 1.00 8.0

4 Alumn@ “D” 4.0 4 2.0 7 0 0 0 1.00 7.0 5.0 2 2.0 4 0 0 2 0.67 7.7

5 Alumn@ “E” w 0 0.0 4 0 0 3 0.50 0.5 5.0 1 1.0 5 0 0 1 0.83 6.8

6 Alumn@ “F” 1.0 4 2.0 8 0 0 0 1.00 4.0 6.0 2 2.0 6 0 0 0 1.00 9.0

Tercera Evaluación Parcial Integrada Cuarta Evaluación Parcial Integrada

Tareas Asistencia Tareas AsistenciaEval.Sum. Num Calif A R J F Calif

Calificación


Calificación

5.0 6 2.0 4 0 0 1 0.83 7.8 6.8 0 0.0 1 0 0 1 0.83 7.6

2.0 6 2.0 2 0 0 3 0.50 4.5 0.0 0 0.0 1 0 0 2 0.67 0.7

5.0 6 2.0 4 0 0 1 0.83 7.8 5.5 1 2.0 1 0 0 1 0.83 8.3

1.0 6 2.0 3 0 0 2 0.67 3.7 2.0 1 2.0 2 0 0 0 1.00 5.0

5.0 6 2.0 2 0 0 3 0.50 7.5 w 0 0.0 0 0 0 3 0.50 w

5.0 0 0.0 5 0 0 0 1.00 6.0 7.0 1 2.0 2 0 0 0 1.00 10.0

Asistencia

A F Calif.

18 3 0.36

14 8 -0.67

19 2 0.57

16 4 0.10

11 10 w

21 0 1.00

Cal.Evals ,tar yasist

CaliFinal

6.05 6

w w

8.32 8

7.48 7

w w

7.25 8

MANERA DE ENTREGAR LAS TAREAS Y DOCUMENTOS1. En el mismo cuaderno de notas de la asignatura, pero en la segunda mitad del cuadernoo en hojas aparte. También los Documentos se pueden resolver en tus copias (los que sepuedan).2. Deben de contener escrito con pluma el número del Documento, nombre del alumno yfecha (no se revisarán si omites estos requisitos).

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DOCUMENTO 1-A

TEMARIO DE ASIGNATURA

UNIDAD 1 La relación entre función lineal, lugar geométrico y sistemas de referencia

Tema 1.1 El lugar geométrico en diferentes sistemas de referencia

Subtema 1.1.1 Sistemas de referencia.- Sistema polar (r, θ).- Sistema rectangular (x, y).

Subtema 1.1.2 Condiciones que generan un lugar geométrico en los dos sistemas dereferencia gráficamente.Subtema 1.1.3 Coordenadas rectangulares.

- Distancia entre dos puntos.- Punto de división de un segmento en una razón dada.

Subtema 1.1.4 Transformación de coordenadas.- De rectangulares a polares.- De polares a rectangulares.

Tema 1.2 Función lineal como lugar geométrico en diferente sistemas de referencia

Subtema 1.2.1 Pendiente de una recta.- Concepto de pendiente.- Ángulo de inclinación.- Ángulo entre dos rectas.

1º EVALUACION SUMATIVA: ______________________

Subtema 1.2.2 Función lineal (ecuaciones de la recta).- Ecuación de la recta punto pendiente.- Ecuación de la recta pendiente ordenada al origen.- Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.- Ecuación de la recta en la forma simétrica.- Ecuación general de la recta.- Ecuación normal de la recta.- Distancia de un punto a una recta.

Subtema 1.2.3 Función lineal en el sistema de coordenadas polares.- Conversión de una función lineal en coordenadas rectangulares a su forma polar.- Gráfica de una función lineal en su forma rectangular y polar.

Tema 1.3 Aplicación de las funciones lineales.

Subtema 1.3.1 Desigualdades.- Concepto de desigualdad.- Representación gráfica de las desigualdades.

Subtema 1.3.2 Aplicación de sistemas de ecuaciones y/o desigualdades.- Gráfica de un sistema de desigualdades.- Resolución de problemas.


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Unidad 2 Cónicas: un caso general

Tema 2.1 Explorando las cónicas

Subtema 2.1.1 Cónicas- Modelos físicos de las cónicas

Subtema 2.1.2 Características de las cónicas- Características geométricas- Puntos y parámetros

Tema 2.2 Circunferencia y parábola

Subtema 2.2.1 Circunferencia- Ecuación ordinaria- Ecuación general

Subtema 2.2.2 Parábola- Ecuación ordinaria- Ecuación general


Tema 2.3 Modelo general de las cónicas

Subtema 2.3.1 Deducción del modelo general de las cónicas a través de la ecuación desegundo grado

- De la ecuación general a la ecuación ordinaria de la circunferencia- Ecuación general de segundo grado

Subtema 2.3.2 Elipse e hipérbola- Ecuación de la elipse en su forma ordinaria- Ecuación de la elipse en su forma general- Conversión de la ecuación general a la forma ordinaria de la elipse- Ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria- Ecuación de la hipérbola en su forma general- Conversión de la ecuación general a la forma ordinaria de la hipérbola- Ecuación general de segundo grado

Tema 2.4 Aplicaciones geométricas y físicas de las cónicas

Subtema 2.4.1 Aplicaciones de la circunferencia y parábola- Circunferencia que pasa por tres puntos- Estudio de movimientos circulares

Subtema 2.4.2 Aplicaciones de la elipse e hipérbola- Movimiento planetario, arco elíptico, lentes hiperbólicos, etc.


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tial ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS IV



UNIDAD I: LA RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN LINEAL, LUGAR GEOMÉTRICO Y SISTEMASDE REFERENCIA.

MAPA CONCEPTUAL

Economía

que pueden ser

Resolución deProblemas

Programación Lineal

Física

para aplicar en

se desarrolla a través de

Función Lineal

como una

Ecuación de 1º gradocon dos incógnitas

para

analizar

Línea rectaen sus formas

Punto -punto

LUGAR GEOMÉTRICO

pararelacionar

Pendiente Inclinación

tiene

como

General

Punto -Pendiente

Simétrica NormalPendiente -ordenada al

origen

Desigualdadespara

transformarde

Sistemas de referencia

Rectangular Polar

Distancia entredos puntos

Punto de divisiónen una razón dada

como

para analizar

Gráficas de lugaresgeométricos

se transforma en

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tial ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS IV



UNIDAD II: CÓNICAS UN CASO GENERAL.MAPA CONCEPTUAL

se desarrolla a través de

CÓNICAS

Explorando Cónicas

ModelosFísicos

a través de

por medio de

Circunferencia

Cortes

a través de

CaracterísticasGeométricas

Parámetros

Gráficas

por medio de

Parábola

ModeloGeneral

tiene

identificando

Dominio Imagen Regla deCorrespondencia

Ecuación General de2º grado

dando lugar a

Elipse Hipérbola

Aplicaciones

en

Física

Geometría

Astronomía

Arquitectura

tiene

como

. . .

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DOCUMENTO 1-BEVALUACIÓN DIAGNOSTICA

Nombre del alumno@: ___________________________ Grupo _40___ Fecha ___________

Profesor _______ Adán Ramos Bautista _____________________ Aciertos ___________

(*Inicia por tu apellido Paterno, Materno y Nombre (s), con letra lo mas legible posible)

Esta evaluación no tiene carácter de acreditación sin embargo permite explorar los aprendizajes queposees y que son necesarios para el desarrollo del curso, por lo que debes resolverla en formaindividual y realizando tu mejor esfuerzo.

INSTRUCCIONES: En cada uno de los reactivos da respuesta a lo que se solicita, anotando losprocedimientos para su resolución y señalando la respuesta correcta a tinta.

I. Coloca en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponde a la respuesta correcta.

1. ( ) El resultado de la operación es:

a) 6.4

b) 4.6

c) 4.0

d) 6.0

32

1

632

4

2. ( ) Al resolver la proporción x tiene el valor de:

a) 3.0

b) 4.0

c) 12.0

d) 6.0

32

6x

3. ( ) Para calcular el área de la figura se utiliza la expresión algebraica:

a) 2A x 4

b) A 2x 4

c) 4 2A x x 4

d) 2A 2x 4

4. ( ) Si se completa x2 + 6x+_____ a un Trinomio Cuadrado Perfecto esta queda como:

a) x2 + 6x + 36

b) x2 + 6x + 6

c) x2 + 6x + 12

d) x2 + 6x + 9

x

x

2

2

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5. ( ) La factorización de la expresión algebraica 8x2 + 2x – 21 se escribe como:

a) (2x – 3 ) (4x + 7)

b) (8x + 7 ) (x – 3 )

c) (2x + 3 ) (4x – 7 )

d) (8x – 7 ) (x + 3 )

6. ( ) El resultado de factorizar el binomio 6x – 12 es:

a) 3 (x – 6 )

b) 6 (x – 2 )

c) 3 (x + 6 )

d) 6 (x + 2 )

II. Efectúa el procedimiento adecuado para la resolución de cada reactivo.

7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

113y4x 35yx

8. Localiza los puntos:A(-3,8), B(4,-2), C(0,-6)

-9-8

-7-6

-5-4

-3-2

-10

12

34

56

78

9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9. Determina el valor numérico de la expresión 3x – 6x + 10. Sabiendo que x = - 2

10. Obtén el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo θ en el siguiente triángulorectángulo.

Sen θ=

Cos θ=

Tan θ =

5

4

3

θ

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DOCUMENTO 2-A

“LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARESY POLARES“.

INSTRUCCIONES: Lee y contesta lo que se te pide en tu cuaderno de notas, los siguientespárrafos.

i. Localiza los siguientes puntos en el plano Cartesiano, según sea el caso manejadiferentes escalas si se requiere.

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

P (1,4), P (1,2), P (-4,3), P (2,5), P (0,-6), P (-3,-2),

P (5,0), P (-7,0), P (0,3), P (1/2,1/2), P (2/3,3/2), P (-4/5,4/5)

ii. Localiza los siguientes puntos en el plano Polar.

0 0 0 01 2 3 4 5 6

0 0 0 07 8 9 10 11 12

3 21P (1,90 ), P (4,45 ), P (2,60 ), P (1,0 ), P -1, , P , ,2 2 3

5 5 - 2P - ,150 , P 3, , P (2,390 ), P (0,405 ), P 3, , P ,-1804 4 3 3

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DOCUMENTO 3-A

"MODELO ALGEBRAICO Y SU RELACIÓN CON EL LUGAR GEOMÉTRICO”.RECOMENDACIONES:

Encuentra el lugar Geométrico que segenera al darle valores a la siguiente

función:(2 )r sen

r ( , )r 00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

Analiza la siguiente función y completala tabla, así como obtener su gráfica.

0r sen

r ( , )r 300

450

600

900

1200

1350

1500

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Analiza la siguiente ecuación y completa latabla, así como obtener su gráfica.

3 3 6 0x y

x y (x,y)-3-2-10123


4 0x y

x y (x,y)3210-1-2-3


3 28 15 0x x x y

x y (x,y)543210-1

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DOCUMENTO 4-A

"DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS".

INSTRUCCIONES: Lee y contesta lo que se te pide en los siguientes párrafos.

Localiza y dibuja en papel milimétrico (pegado en tú cuaderno), los siguientes puntos en elplano Cartesiano, según sea el caso maneja diferentes escalas si se requiere. Calcula ydibuja la distancia entre cada pareja de puntos.

1 2 1

1 2

1 2 3

1 2

1 2 5

1 2

1) P 7,1 y P 2,3 d = 5.385

2) P 4,8 y P 7,3

3) P 1,1 y P -8,-5 d =10.82

4) P 0,4 y P 3,0

5) P -2,-2 y P 7,1 d = 9.49

6) P 5,3 y P 3,5

1 2

1 2 8

1 2

1 2

1 2

1 2 12

7) P 6,2 y P 8,5

8) P -4,3 y P 0,0 d = 5

9) P 2 2, 7 y P 2,0

10) P 3,9 y P 7,-1

11) P -6,0 y P 0,6

12) P 3,5 y P 5 3, 5 d = 7.5

13) ¿Cuál es la ordenada (eje “y”) del punto de abscisa (eje “x”) igual a -1, que equidista delos puntos P1(6,8) y P2(-3,4)?

14) ¿Cuál es la abscisa (eje “x”) del punto cuya ordenada (eje “y”) 1/2, que equidista de lospuntos P1(-1,0) y P2(5/2,-3)?

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DOCUMENTO 5-A

"APLICACIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”.

Localiza los siguientes puntos en el plano Cartesiano y dibuja el triangulo que se forma conesos puntos como vértices y calcula las longitudes de sus lados.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1) P -3,6 , P -4,3 y P 4,7

2) P -1,2 , P -6,2 y P -2,-3

3) P -2,-1 , P 5,-2 y P 3,1

4) P 0,0 , P 2,4 y P 8,5

5) Prueba que el trianguló con vértices P1(2,5), P2(4,-1) y P3(6,5) es isósceles (dos ladosiguales).

6) Prueba que el cuadrilátero cuyos vértices P1(8,-3), P2(6,5), P3(-2,3) y P4(0,-5) es uncuadrado (los 4 lados son iguales y sus diagonales miden lo mismo).

7) Prueba que el cuadrilátero cuyos vértices P1(1,-4), P2(4,5) , P3(1,6) y P4(-2,-3) es unrectángulo (sus diagonales miden lo mismo).

P1

P2

P3

l 1

l 3

l 2

Nomenclatura (El orden entre Puntos y lados

P1

P2l 1

l 3

l 4

P3

P4

l 2

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DOCUMENTO 5-B

"APLICACIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”.

INSTRUCCIONES: A continuación se presenta una lista de problemas, en tu cuaderno trazala gráfica de cada uno de ellos y realiza el procedimiento para resolverlos.

1. Calcula el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son:A (1,-1), B (5,2), C (2,6) y D (-2,3).

2. De acuerdo a la medida de sus lados, clasifica el triángulo cuyos vértices son:P (-2,-3), Q (4,3) y R (-3,4)

3. Determina, calculando la distancia entre dos puntos, si los puntos:P1 (3,3), P2 (0,1) y P3 (9,7) son colineales.

4. Al ubicar a una “buza” en sistema de referencia de coordenadas rectangulares (ver figura),ésta se encuentra en B (14,-8) y un lanchero en L (3,0), la distancia entre la buza y ellanchero mide _____ (la distancia esta dada en metros)

5. Un submarino se ubica en el mar con coordenadas S (2,-5) y en esos momentos detectaun barco sobre la superficie con coordenadas B (13,0) respecto a un sistema dereferencia de coordenadas rectangulares. ¿Cuál es la distancia entre el submarino y elbarco?

S (2,-5)

B (13, 0)x

y

L (3,0)

B (14, -8)

14

- 8

xy

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DOCUMENTO 5-C

"DIVISION DE SEGMENTOS".

Localiza los siguientes pares de puntos en el plano Cartesiano, traza el segmento. Dada larazón (r) obtén el punto sobre el segmento y sus coordenadas, así como, el punto medio entodos los casos.

1 2

1 2

1 2

1 2

1) P -3,6 y P 4,7 con r =1 6

2) P -6,2 y P -2,-3 con r =1 5

3) P -2,-1 y P 5,-2 con r =1 4

4) P 2,4 y P 8,5 con r =1 3

5) En las siguientes gráficas localiza lo que se indica.a) Las coordenadas de Q1 y Q2, éstas coordenadas dividen al segmento 1 2PP en 3

partes iguales, se llaman puntos de trisección.

b) Las coordenadas de T1, T2, T3 y T4 que dividen al segmento 1 2PP en 5 partes iguales.

yx

x

y

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DOCUMENTO 5-D

"DIVISION DE SEGMENTOS".

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los problemas que se te presentan, en tucuaderno traza la grafica y resuelve cada uno de ellos.

1. Las longitudes del brazo y del cuerpo de una guitarra eléctrica son, respectivamente, 64cm. y 32 cm. Los extremos del cuerpo de la guitarra son A (4,5) y B (4,20). ¿Cuáles sonlas coordenadas del extremo final del brazo de la guitarra?

2. ¿A medio camino? En el plano, el volcán Iztaccihuatl (la cabeza) aparenta estar a la mitadde la distancia en línea recta entre Xochimilco y la ciudad de Puebla. Comprueba o refuta lapercepción sobre la posición del volcán respecto a estos sitios.

32

64

B

P

A

3.6

2.7

1.8

3.8 8.5 13.2

Xochimilco

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DOCUMENTO 6- A“LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN SISTEMAS DE COORDENADAS

RECTANGULARES Y POLARES“.

INSTRUCCIONES: Lee y contesta lo que se te pide en tu cuaderno de notas, los siguientespárrafos.

i. Encuentra las coordenadas Cartesianas de los siguientes puntos dados encoordenadas Polares y ubícalos en el plano.

0 0 0 01 2 3 4 5 6

0 0 0 07 8 9 10 11 12

3 1 2πP (1,90 ), P (4,45 ), P (2,60 ), P (1,0 ), P -1, , P , ,2 2 3

5 5 2P - ,150 , P 3, , P (2,390 ), P (0,405 ), P 3,- , P ,-1804 4 3 3

ii. Representa en coordenadas Polares los siguientes puntos dados en coordenadasCartesianas y ubícalos en el plano.

,

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

1 1 3 3P (2,2), P (0,3), P ,- , P - ,- , P 3,-1 , P (-2 3,2 ),2 2 5 5

P (1,0), P (0,-5), P 18, 6 , P 5, 15 , P 3,3 3 , P

iii. Ejercicios: Realiza los siguientes ejercicios de acuerdo con los ejemplospresentados:

En tu trabajo requieres diseñar un anuncio luminoso con forma de estrella octogonal. Parahacerlo te auxilias de un plano cartesiano donde realizas el dibujo como se indica. ¿Cuálesson las coordenadas de los vértices?

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DOCUMENTOS 7-A.

"PENDIENTE ENTRE DOS PUNTOS Y ANGULO DE INCLINACIÓN".


Se realiza un Rally en campo traviesa, donde una de las pruebas a realizar por ti son: encinco franjas de terreno tienes que realizar el recorrido sentado y de frente, según su ángulode inclinación, determina y clasifica sus pendientes.

Encuentra y dibuja en tu cuaderno la pendiente de la recta que forma y pasa por los dospuntos dados. Una vez encontrada la pendiente calcula su ángulo de inclinación (tan ).

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

11) P -9,0 y P 0,3 m = y =18.4°32) P 3,2 y P 6,2 m = 0 y = 0°

13) P 5,7 y P -1,4 m = y = 26.6°224) P -5,5 y P 1,1 m = - y =146.3°3

5) P -2,-2 y P -1,6 m = 8 y = 82.9°

6)

1 2

1 2

P 7.5,-2.2 y P 4.8,-5.5

7) P 1 4,1 2 y P 3,5 2

π π

π π

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

8) P -5,3 4 y P 8,11 4

9) P -3 2,-1 2 y P -8 3,-4

910) P 4 ,0 y P 0,9 m = - y =114°411) P 3 ,5 y P 8 ,2

12) P -6,-3 y P 4,-7

13) P 3,1 y P 0,1

14) P 4 2,8 y 2P 2,6

15) Encuentra la pendiente de las rectas l1, l2 y l3 donde:

l1 pasa por los puntos P1(-5,2) y P2(-3,4)l2 pasa por los puntos P1(-5,2) y P2(4,2)l3 pasa por los puntos P1(-5,2) y P2(-1,-3)

Dibuja todas las rectas en el mismo sistema de ejes coordenados (una sola grafica). ¿Quépuedes decir de estas rectas?

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DOCUMENTOS 8-A.

"ANGULO ENTRE DOS RECTAS".


Encuentra y dibuja en tu cuaderno las pendientes y las rectas que se forman y determinaque tipo de de pendientes son entre si (perpendiculares, colineales o donde se cortan), asícomo el ángulo que forman entre si (en caso de existir).

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

1) P -9,0 ,P 0,3 y Q -5,3 4 , Q 8,11 4

2) P 3,2 ,P 6,2 y Q -3 2,-1 2 , Q -8 3, -4

3) P 5,7 ,P -1,4 y Q 4 ,0 , Q 0,9

4) P -5,5 ,P 1,1 y Q 3 ,5 , Q 8 ,2

5) P

2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

-2,-2 ,P -1,6 y Q -6,-3 , Q 4,-7

6) P 7.5,-2.2 ,P 4.8,-5.5 y Q 3,1 ,Q 0,1

51 17) P , ,P 3, y Q 4 2,8 , Q 2,64 2 2

Solución 1 2 1 21) P -9,0 ,P 0,3 y Q -5,3 4 ,Q 8,11 4

a) Con los Puntos 1 2P -9,0 y P 0,3 , calcular:

2 1

12 1

y - y 3 - 0 3 1x - x 0 - -9 9 3

m

b) Con los Puntos 1 2Q -5,3 4 y Q 8,11 4 , calcular:

2 1

22 1

3 8 8 811 -y - y 84 4 4 4 413x - x 8 - -5 8 + 5 13 52

1m

c) Con las Pendientes calculadas 1 2ym m , se calcula el ángulo entre ellas:

8 1 24 -52 -28 -2852 3 156 156 156

156 +8 1641 8 8156 1563 52 156

-28 156

-1 -1 -1 -1 -12 1

1 2

-1

-m - m

β= tan = tan = tan = tan = tan =1+ m m 1+ 1+

tan

156 ' '

-28 7-

164 41164-1 -1= tan = tan = -9.69° β= -9.69° β= 180° -β= 180° - 9.69° = 170.31°

x

y

Recta 2 y m2

Recta 1 y m1

=170.31°

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTOS 8-B.“EJERCICIOS: ANGULO, CONDICIÓN DE PARALELISMO Y

PERPENDICULARIDAD”

1. Dos avionetas realizan una maniobra para ejecutar una acrobacia en el desfile del 16 deseptiembre, ambas sueltan humo de colores, para lucir el espectáculo. El humo que dejanlas avionetas, describen trayectorias lineales que pasan por los siguientes puntos:A (-4, 1), B (3, 4), C (-4, -2) y D (3, 1). Determina que tipo de rectas son las trayectorias:perpendiculares, paralelas u oblicuas.

Res. m1 = 3/7 m2 = 3/7 son paralelas

2. Un avión vuela con una trayectoria lineal dada por los puntos (2, 12) y (-3, -7), en ciertomomento pasa por entre dos montañas altas que están situadas en los puntos (5, 2) (-3, 5). Determina que tipo de rectas forman las trayectorias del avión con la alineación de lasmontañas y calcula además el ángulo formado entre ellas.

Res. Oblicuas °

3. Hallar los ángulos interiores (por medio de pendientes) del triángulo cuyos vértices sonlos puntos A (-2, 1) B (3, 4) C (5, -2)

Res. A = 55º B = 77º C =48º

4. Dos personas, después de hablar por teléfono deciden encontrarse en la puerta de unrestaurante R (-2, 7) Sí uno de ellos vive en A (5, 3) y sigue una trayectoria ACR siendoC(2,0) y el otro vive en B (-7,-2) y sigue la trayectoria BR.

Determina si las líneas de la trayectoria ACR son paralelas, perpendiculares u oblicuas,así como el ángulo que se forma entre ellas.

Res.Oblicuas θ = 75º

5. Una recta 1 , pasa por los puntos (-2, -1) y (2, 3) y otra recta 2 pasa por el punto

(-1, 2) y por el punto A cuya ordenada es -4. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que 1es perpendicular ha 2

Res. A (5, -4) la abscisa X = 5.

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 10-A

“PUNTO – PENDIENTE”

INSTRUCCIONES: Lee con atención lo siguiente.

Para deducir la ecuación partamos de un ejemplonumérico.

Sea ℓla recta que pasa por el punto P(x1, y1) y tienependiente igual a m. Para precisar, supongamos que“P” tiene coordenadas (2, 3) y m = 3/4. Observatambién la figura siguiente:

Si un punto Q(x, y) está en la recta, entonces, la pendiente de P a Q tiene que ser 3/4. Estoes,

43

2x3y

De donde: 2)(x43

3y , es decir, 3x – 4y + 6 = 0

Esta es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente 3/4. En el casogeométrico de que la recta cruce por el punto P(x1, y1) y tenga pendiente m, la proposiciónde que Q(x, y) está en la recta (de acuerdo a la siguiente figura) equivale a la proposición deque la pendiente m entre P y Q es:

1

1

xxyy

m

o también )xm(xyy 11

Esta última ecuación recibe el nombre de la forma punto – pendiente de la ecuación de unarecta. O sea, con las coordenadas de un punto y el valor numérico de la pendiente seobtiene la ecuación de la recta que cruza por el punto y tiene la pendiente dada, bastandopara ello con sustituir sus valores numéricos.

De la lectura, ¿se comprendió el cómo se obtiene la ecuación punto – pendiente de unarecta?

Si no lo comprendiste, pregúntale a tu profesor para que se te sea aclarada en algúnapartado donde se te presentó la dificultad.

Si lo comprendiste, aplica el modelo matemático en los siguientes ejercicios.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -2 2 4x

y

P

ℓ

P(x1, y1)

Q(x, y)

y

x0

Co

nfid

en

tial




¡TÚ PUEDES HACERLO BIEN, RESUÉLVELOS!

INSTRUCCIONES: Encuentra la ecuación de la recta si un punto y su pendiente son los quese indican, además represéntalos gráficamente:

1. P (-1, -5) con m = 0 Respuesta y + 5 = 0

2. P (3, -7) con m = 4/7 Respuesta 4x – 7y – 61 = 0

3. P (0, 4) con m = -2/3 Respuesta 2x + 3y – 12 = 0

4. P (2, 3) con m = -1 Respuesta x + y – 5 = 0

Co

nfid

en

tial




RESUELVE EL SIGUIENTE PROBLEMA DE BOTÁNICA:

¿Crees que cada vez que cortas el pasto es necesario cortarlo de nuevo inmediatamente?Da gracias a que no tienes que cortar la grama que crece en África y Asia. Esta planta crecea razón de 15 cm. por día. Supón que cortas una planta de grama a una altura de 5 cm.

a) Determina la ecuación que represente la altura de la planta (y) después de (x) días.

Respuesta y = 0.17x

b) Si no lo cortas de nuevo, ¿qué altura alcanzará la planta en una semana?

Respuesta 1.19 pulgadas.

c) ¿Se puede mantener este ritmo de crecimiento indefinidamente? Explica.

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 10-B

“PENDIENTE – ORDENADA AL ORIGEN”


Introduzcamos un nuevo elemento, la intercepción con “y”, y combinémoslo con lapendiente para deducir otra forma de la ecuación de la recta.Una recta no paralela al eje “y” tiene que interceptarlo en el punto (0, b) donde “b” es la

intersección con “y” el cual representa la distancia del origen al punto de intersección (véasela siguiente figura).

Si sustituimos el punto en la forma punto – pendiente de la ecuación de la recta tendremos:y – b = m(x – 0)

De dondey = mx + b

Esta última es la ecuación de la recta bajo la forma pendiente – intercepción con “y”,también llamada forma pendiente – ordenada al origen.Observa que si x = 0, esta ecuación se reduce a “y = b”, y representa una paralela al eje de

las abscisas, distante “b” unidades del origen.

ℓ(0, b)

y

x0

Co

nfid

en

tial




EJEMPLO ILUSTRATIVOEncontrar la ecuación de la recta con pendiente m=–1/3 e intercepción con “y” igual a – 2,

además, representarlo gráficamente.

Solución: Se trata de un caso tan simple que no hay más que reemplazar los datos enforma pendiente intercepción con “y”:

y = mx + b, por lo tanto 2x31y , o bien, x + 3y + 6 = 0.

Para su representación gráfica contamos con la ordenada en el origen, lo que equivale aafirmar que conocemos el punto (0, -2) perteneciente a la recta. Será suficiente, entonces,con localizar otro punto a la recta, asignando un valor arbitrario a “x”, por ejemplo, - 3.

23)(31y y = 1

Por lo tanto, la recta cuya ecuación es 2x31y también pasa por (-3, -1).

Su gráfica:

12

3y x

ℓ

Co

nfid

en

tial




TÚ PUEDES HACERLO BIEN, RESUÉLVELOS!

INSTRUCCIONES: Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente m y que corta aleje “y” en el punto dado, además, represéntalo gráficamente.1. m = 0, b = 5 Respuesta y – 5 = 0

2. m = 11, b = 0 Respuesta 11x – y = 0

3. m = 4/5, b = - 8 Respuesta 4x – 5y – 40 = 0

4. m = 1/2, b = 6/7 Respuesta x – 14y + 6 = 0

5. 10m , 7b Respuesta 7x10y

Co

nfid

en

tial




PASA TIEMPO

En los países de habla inglesa la temperatura se mide en grados Fahrenheit (° F) y no engrados Centígrados (° C) como lo hacemos nosotros.

Si la temperatura varía de – 30° C hasta 30° C, ¿cuál será la expresión matemática que nospermita convertir de una temperatura a otra?

Si ya la determinaste, ahora completa la taba siguiente.

° C ° F-30-20-10

0102030

A partir de los datos que obtuviste, haz su representación gráfica.GRAFICA

De la expresión que determinaste pare relacionar ambas temperaturas, ¿cuál es el valor dela pendiente y la ordenada al origen?

m =

b =REFLEXIONA

¿Para qué temperatura la escala en Centígrados y Fahrenheit marcan lo mismo?

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 10-C

“RECTA BAJO LA FORMA DOS PUNTOS”


Se sabe que en geometría euclidiana dos puntos determinan una recta. En analíticatambién, si se conocen las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos. En este caso seutilizará un ejemplo numérico para llegar a la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(-3,-3) y P2(2,1).

Solución: El problema se puede resolver dando un par de pasos. Primero se sustituyen lascoordenadas de los puntos en la expresión de la pendiente de la recta por dos puntoscualesquiera deducida en la clase anterior.

5

43231

3231

xxyy

m12

12

Segundo, tomando la pendiente ya obtenida y las coordenadas de cualquiera de los puntosdel problema, se reemplazan por los términos correspondientes en la forma punto-pendientede la ecuación de la recta.

Con las coordenadas P1(-3,-3), tendremos

3)(x54

3y

3x543y

El procedimiento descrito puede transformarse en una ecuación general si se aplica a dospuntos

P1(x1, y1) y P2(x2, y2). La pendiente de la recta por estos puntos es:

12

12

xxyy

Sustituyendo este valor de la pendiente en la forma punto-pendiente, obtenemos

)x(xxxyy

yy 112

121

que es la forma de dos puntos para la ecuación de la recta. En estricto, ésta no es una formanueva, sino la de punto-pendiente en la cual la pendiente se expresa en términos decoordenadas.

Co

nfid

en

tial




EJEMPLO ILUSTRATIVO

Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(4, -1) y P2(8, 3), podemoselegir ahora a P como el punto conocido y sustituimos en

5xy4x1y

4)(x4

131y

4)(x481)(3

1)(y

)x(xxxyy

yy 112

121

Veamos ahora que pasa si, en lugar de elegir a P1, elegimos a P2:

5xy8x3y

8)(x4

133y

8)(x481)(3

3y

)x(xxxyy

yy 112

121

Hemos obtenido, como era de esperarse, la misma ecuación.

ℓ

-10

-8

-6

-4

-2

0-4 -2 2 4x

Co

nfid

en

tial




TÚ PUEDES HACERLO BIEN, RESUÉLVELOS!

INSTRUCCIONES: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y hacer surepresentación geométrica para cada uno de ellos.

1. A(3, -4), B(2, 2)

Respuesta 6x + y – 14 = 02. A(4, 0), B(-7, -1)

Respuesta x – 11y – 4 = 03. P1(3, 5) y P2(1, -7)

Respuesta 6x – y – 13 = 04. A(-6, 8), B(3, -1)

Respuesta x + y – 16 = 0

5.

31

,21

Q,81

,43

P

Respuesta 10x +12y – 9 = 0

Co

nfid

en

tial




PASA TIEMPO

Matemáticas no solamente tiene un fin abstracto, sino también su metodología es aplicada adiferentes aspectos de la vida cotidiana como en el caso siguiente:

ANÁLISIS DE COSTOS. Un colegio organiza un paseo a las grutas de Cacahuamilpa. Alhacer el análisis del costo, se determina que si asisten 30 niños, el costo que debe cubrircada uno debe ser de 80 pesos. Si van 40 niños, entonces el costo será de 75 pesos porniño. Suponiendo que la ecuación de la demanda es lineal, ¿cuál sería el costo que debecubrirse por persona si asisten 90 niños?

Para poder responder a éste problema, es importante que recuerdes el modelo matemáticode la recta bajo la forma dos puntos

¿Cuál es el modelo matemático?

¿Cuáles son los puntos a considerar?

¿Cuál sería la ecuación de la recta?

De manera que si asisten 90 niños, entonces ¿cuánto debe de pagar cada niño?

Represéntalo gráficamente:

GRAFICA

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 11-A

TIPOS DE ECUACIONES

Instrucciones: Lea detenidamente este documento junto con el profesor y si tienes duda enalgún paso pregunta durante la lectura.

a) ECUACIÓN SIMÉTRICA:

Sea l una recta que intercepta a los ejes coordenados “x” e “y” en los puntos A(a,0)yb)B(0, , respectivamente.

Cuya pendiente es,abm y su ecuación de la recta l es: 1

by

ax donde 0,a 0b ,

también se le llama reducida o de abscisa y ordenada al origen.

Ejemplo: Los puntos donde un segmento intercepta a los ejes son 6,0)A( y 2)B(0, Hallarsu ecuación en forma general.

Solución:

1° Paso: Sustituir los datos dados en la ecuación simétrica de la recta.

1by

ax

, 12

y6

x

2° Paso: se realiza el quebrado del lado izquierdo de la igualdad.

112

6y2x

12y

6x

ℓy

x

B(0, b)

0

A(a, 0)

Co

nfid

en

tial

Ing.

3u

4

5

6

b

LgciPa

E

D


Adán Ramos Bautistahttp://rabablog.blogspot.com/[email protected]://groups.google.com.mx/group/grupos_raba_cb/


” Paso: Quitamos el denominador pasando al lado derecho de la igualdad, multiplicando alno.

126y2x(1)(12)6y2x

° Paso: Igualamos a cero la ecuación, aplicando la transposición de términos.

0126y2x

° Paso: Aplicamos un axioma fundamental de las ecuaciones.

-2x - 6y -12 0=

-1 -1, o de otra manera -1 -2x - 6y -12 = -1 0

0126y2x Ecuación general.” Paso: su grafica:

) PUNTO-PENDIENTE:

a ecuación lineal en dos variables “x” e “y” de la forma 0CByAx se denomina formaeneral de la ecuación de la recta, y en donde los coeficientes A, B y C son números realesualesquiera, con la condición de que A o B debe ser diferente de cero y C puede o no sergual a cero.ara saber si ecuación 0CByAx representa siempre una línea recta, es necesarionalizar su comportamiento para cuando el coeficiente de “y” es igual a cero.

Si 0B 0CB(0)AxAC

x

Si 0B 0BC

BBy

BAx

BC

BAx

y

s decir: bmxy

ondeBAm Pendiente de la recta

BCb Ordenada en el origen

A (-6,0)

B (0, -2)

ℓ

Co

nfid

en

tial




Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta y determina los coeficientes de la forma general que

pasa por el punto 1,4)A( y tiene una pendiente igual a23

Solución:1” Paso: utilizamos la ecuación punto-pendiente.

)xm(xyy 11

2” Paso: Sustituiremos los valores de23m y el punto 1,4)A( en la ecuación

punto-pendiente.

1))((x23

(4)y

1)(x23

4y Ecuación punto – pendiente

3” Paso: Pasamos multiplicando el dos al lado izquierdo de la igualdad.

1)3(x4)2(y

4” Paso: Eliminamos el Paréntesis, aplicando la propiedad distributiva de los números reales.

33x82y

5” Paso: Igualamos a cero la ecuación, aplicando la transposición de términos.

033x82y

052y3x Ecuación de la recta en su forma general.

6” Paso: Igualamos la ecuación, obtenida con su forma 0CByAx

Quedando: 3A , 2B , 5C

Co

nfid

en

tial

Ing.

7

S

c

LnrpddEdPsr

t




” Paso: Graficar la ecuación general.

e tienen las siguientes formulas

35

35

AC

a

25

25

BCb

) ECUACIÓN NORMAL.

a ecuación de la recta en la forma normal es: 0pysenwxcosw , donde “p” es unúmero positivo, numéricamente igual a la longitud de la recta normal, trazada del origen o laecta l , con la que es perpendicular, y tiene un ángulo positivo “w” y se mide en la parteositiva del eje x hacia la recta normal; dicho ángulo puede tener valores entre 00 y 3600, esecir 360w0º . Si la recta l pasa por el origen, el valor de “P” es cero en la forma normale la ecuación.ntonces la recta normal se dirige arriba del origen, por lo que el valor del ángulo “W” estáado entre 0° y 180°.ara cualquier valor de “P” y “W”, la recta l trazada por el punto y)P(x, y perpendicular alegmento op , y se determina perfectamente al aplicar la ecuación punto - pendiente de laecta; también por trigonometría para cualquier posición de la recta l es: pcoswx y

psenwy ; por lo que las coordenadas del punto 1P son: psenw)(pcosw, , gráficamenteenemos:

C (-1,4)

B (0,5/2)

A (5/3,0)

ℓ

Co

nfid

en

tial




Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta en su forma normal, si 30w y 5pSolución:

1° Paso: se sustituyen los valores de “p” y “w” en la ecuación normal.

05ysen30xcos300pysenwxcosw

2° Paso: se obtienen los valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables:

23

cos30 , y21

sen30

3° Paso: sustituimos los resultados de las funciones trigonométricas en la ecuación normal.

0521y

23x

05y21x

23 Ecuación de la recta en su forma normal.

4° Paso: se transforma la ecuación de la recta normal a su forma general. Resolviendo elquebrado de lado izquierdo de la igualdad

02

101yx3 20

210

21yx

23 multiplicamos por 2 la ecuación.

ℓ

y

x

P1(x1, y1)

y1

x1

psenw

pcosw

p

Co

nfid

en

tial




022

102yx

232

010yx3

010yx3 Ecuación de la recta en su forma general.

5° Paso Gráficamente se tiene

Nota: Si deseas saber como se obtuvo la función:23cos30 ,

21sen30

Consulta el libro: Geometría y Trigonometría por Baldor, Pág.: 311 y 31

W=45º

l

x

y

P=5

y1

x1

3 1x + y - 5 = 0

2 2

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO: 11-B

ECUACIONES GENERAL A LA FORMA NORMAL

Instrucciones: Lee detenidamente este documento junto con el profesor y si tienes duda enalgún paso pregunta durante la lectura.

La ecuación de la recta 0CByAx se obtiene dividiendo cada término entre 22 BA con el signo contrario a “C”.

Ejemplo: Obtener la ecuación normal de la recta 103y4x e indicar la distancia al origen(incluir su gráfica).

Solución:

1° Paso: Se divide cada término de la ecuación general entre, obtenemos: 5(3)(4) 22

2y53

x54

510

53y

54x

02-y53

x54

Ecuación General

El valor 2 es la distancia del Origen a la recta; mientras que los valores53 y

54 son seno y el

coseno del ángulo que forma esta distancia con el eje “x”. Con esto la ecuación de la formanorma equivale a:

dysenαxcosα

Donde d es la distancia perpendicular del origen a la recta

Co

nfid

en

tial




Su gráfica es:

Despejamos a ;

54

cosα , 0.8cosα , 36.86arccos0.8α

53

senα , 0.6senα , 36.86arcsen0.6α 036.86α

Concluimos: La ecuación General y la Ecuación Normal que se observan en la gráfica,representan a la recta .

Por lo tanto son iguales.

1

2

3

4

5

1 2 3 4 50

y'

y

x' x

253

54

yx

286.3686.36cos ysenx

Ecuación Normal

Ecuación General

)0,25(

)3

10,0(

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO: 11-C

PROBLEMAS DE ECUACIONES

Instrucciones: Lee con atención y resuelve cada uno de los problemas aplicando losmétodos que ya conoces.

DE LA GRAFICA A ALA ECUACION SIMETRICA

1.- Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x e y son 5 y 6, respectivamente,hallar su ecuación en forma.

a) Simétrica. Sol. 16y

5x

b) De simétrica transformar a la ecuación general. Sol. 0305y6x

c) Incluye su grafica.

DE LA GRAFICA A LA ECUACION SIMETRICA Y DE LA ECUACION SIMETRICA A LAECUACION GENERAL.

2.- El consumo de agua de un edificio es de 6000 litro por día y su cisterna tiene unacapacidad de 48000 litros. Obtener el modelo matemático que representa la existencia deagua en la cisterna después de x días de uso (Incluye su grafica).

Sol. 148000

28x

MODELO MATEMÁTICO

x

y

Sol

(0,48000

(8, 0)

Litros

Días

Co

nfid

en

tial




DE LA ECUACION PUNTO-PENDIENTE A LA ECUACION GENERAL.

3.- Hallar; la ecuación de la recta en forma general y determina sus coeficientes y pasa porel punto (-2,7) y tiene una pendiente igual a 1.

Sol. 09yx A = 1, B =-1 C = 9

DE LA GRAFICA AL MODELO MATEMATICO Y DEL MODELO MATEMATICO A LAECUACION GENERAL.

4.- Una arrendadora de autos cobra 200.00 pesos por día, más $10.00 por cada kilómetrorecorrido en la renta de coches compactos.Obtén el modelo matemático y en forma general, además cuanto se pagará? Los kilómetrosrecorridos, después de 60km, el lunes, 80 km el martes, 100 km el miércoles 1200 km.(Incluye su grafica)

Sol. 10x$200y Modelo Matemático $80y1 $1000y1 $1200y2

Sol. 0200y10x Ecuación General

DE LOS PARAMETROS A LA ECUACION NORMAL Y DE LA ECUACION NORMAL A LAGENERAL

5.- Hallar la ecuación de la recta en la forma normal, para los siguientes valores de p y wademás transforma a la forma general.

a) P = 4, w = 60°, Incluir su grafica Sol. 04ysen60xcos60

08y3x Ecuación normal

b) p = 7, w = 45°, Incluir su grafica. Sol. 07ysen45xcos45

014Y2X2 Ecuación general

Co

nfid

en

tial




DE LA GRAFICA A LA ECUACIÓN NORMAL Y DE LA ECUACIÓN NORMAL A LAGENERAL

6.- Dada la siguiente figura hallar la ecuación de la recta en forma normal, ademástransforma a la forma general.

Sol. 02.5ysen45xcos45 Ecuación Normal

Sol. 02.50.7071y0.7071x Ecuación General.

DE LA GRAFICA AL MODELO MATEMATICO Y DEL MODELO MATEMATICO A LAECUACION GENERAL.

7.- Un taxi cobra por banderazo $ 6.00 más $ 5.00 por cada kilómetro recorrido.Obtén el modelo matemático y la ecuación general, además ¿Cuánto pagará por recorrer 10km.?

Sol. 5x6y Modelo Matemático

Sol. 06y5x Ecuación General

Sol. Pagará: $56.00

w=45°

p=2.5

Mercado

Escuela

Cine

Casax

y

Co

nfid

en

tial




DE LA ECUACION PUNTO-PENDIENTE A LA ECUACION GENERAL

8.- Escribir cada una de las siguientes ecuaciones en su forma general:

a) 3)(x321y Sol. 093y2x

b) 53xy Sol. 05y3x

c) 18y

2x Sol. 0162y8x

DE LA ECUACION GENERAL A LA ECUACION PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN

9.- Determina la pendiente-ordenada en el origen y grafica de 122y3x

Sol. ,23m b =-6

DE LA ECUACION GENERAL A LA ECUACION SIMETRICA

10.- A partir de la ecuación 063y2x escribe su forma simétrica y encuentra sugrafica.

Sol. 12y

3x

(-3,0)

(0,2)

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 12-A

"MODELO ALGEBRAICO Y SU RELACIÓN CON EL LUGAR GEOMÉTRICO”.

1) Analiza la siguiente ecuación ycompleta la tabla, obtén su gráfica.

y - 2x = 0

x y (x, y)

Convierte las coordenadas de la tablaanterior a coordenadas polares y obtén sugráfica.

r ( , )r

Co

nfid

en

tial





3 3 6 0x y

x y (x, y)


r ( , )r

Co

nfid

en

tial





4 0x y

x y (x, y)


r ( , )r

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 12-B“ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL SISTEMA DE REFERENCIA POLAR”

Ejercicio 1:Analiza la siguiente ecuación y completa latabla utilizando la ecuación polar de la recta,obtén su gráfica.

3x +3y - 6 = 0

r ( , )r


x + 4y = 0

r ( , )r 3210-1-2-3


x - y = 0

r ( , )r 5432103

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DOCUMENTO 13-A

CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA DESIGUALDADES.

Instrucciones analiza lo que se indica en cada caso.

Representa mediante expresiones con variables, cada uno de los siguientes enunciadosmatemáticos.

1) Un número cualquiera menos tres unidades x -3

2) Un número cualquiera más 18 unidades x + 18

3) La suma de los números cualesquiera x + y

4) El doble de un número cualesquiera menos el triple de otro 2x -3y

5) El producto de dos números cualesquiera entre dos xy/2

6) El triple del cuadrado de un número cualquiera menos la mitad del cubo de otronúmero cualesquiera 3x2 - y3/2

7) 5a3b2 + 23b2 - a3b2 = 7a3 b2 - a3b2 = 6a3b2

8) (-2x2y3) (-3x3y2) (2x2y4) = 12x 7y9

9) (-2xy2) 3 = -8x3y6

10) 2x+20 = 40Sol.

2x = 40 - 202x = 20x = 20/2x = 10

11) x+3/2 = x/3

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DOCUMENTO 13-B

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Las desigualdades también llamadas inecuaciones, pueden ser de una o más incógnitas,como:

Desigualdad con una variable (x) 5x - 4 > 30

Desigualdad con dos variables (x, y) 5x - 4y > 15

Las que estudiamos son las desigualdades de primer grado con una o dos incógnitas.

Las desigualdades se emplean cuando se desea conocer el conjunto de elementosnuméricos que cumplen con ciertas condiciones dadas en una expresión.

Intervalo numérico.- Es un conjunto de números reales que puede ser finito o infinito y serepresenta como un conjunto o a través de un segmento de recta.

Intervalos limitados

1.- Intervalo abierto.- Es aquel conjunto numérico comprendido entre dos extremos, a y b sinincluir dichos extremos.

2.- Intervalo cerrado.- Es el conjunto numérico comprendido entre dos extremos ay bincluyendo dichos extremos.

3.- Intervalo abierto por la derecha.- es el conjunto numérico comprendido entre dosextremos, a y b sin incluir el extremo derecho.

4.- Intervalo abierto por la izquierda.- Es aquel conjunto numérico comprendido entre dosextremos a y b sin incluir el extremo izquierdo.

Intervalos al infinito.

1.- Intervalo abierto por la derecha.- Es el conjunto numérico que no incluye el extremoderecho.

2.- Intervalo abierto por la izquierda.- Es el conjunto numérico que no incluye el extremoizquierdo.

3.- Intervalo cerrado por la derecha.- Es el conjunto numérico que incluye el extremoderecho.

4.- Intervalo cerrado por la izquierda.- Es el conjunto numérico que incluye el extremoizquierdo.

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Los tipos de intervalo y sus diferentes representaciones se muestran en la siguiente tabla.

Límites de un Conjunto de Números o Valores en la Recta Numérica.

Tipo Intervalo Desigualdad Recta Numérica ySegmento

Abierto (a, b) a < x < b

Cerrado [a, b] a ≤x ≤b

Abierto por la Derecha (a, b] a < x ≤b

Abierto por la Izquierda [a, b) a ≤x < b

Límites de un Conjunto de Números o Valores en la Recta Numérica Infinitos.

Tipo Intervalo Desigualdad Recta Numérica ySegmento

Abierto por la Derecha (-, b) -< x < b

Abierto por la Izquierda (a, +) a < x < +

Cerrado por la Derecha (-, b] -< x ≤b

Cerrado por la Izquierda [a, +) a ≤x < +

Abierto por la Izquierday por la Derecha (-, +) -< x < +

[ )a b

a b

( ]a b

a b

[ ]a b

a b

( )a b

a b

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PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

La comparación entre dos expresiones a través de los símbolos de orden cumple con lassiguientes propiedades: Si a, b y c :

1.- Propiedad Tricotomía.Dados los números a y b, su comparación obedece a una y solo a una de las siguientesexpresiones:a < b a = b ó a > b

2.- Propiedad de la adición.Si a los elementos de una desigualdad se suma cualquier número real, “c” la desigualdadcambia.

3.- propiedad del producto.-a) Si los elementos de una desigualdad se multiplican o dividen por c Є R+ la desigualdad no cambia.Si a < b - ac < bc y a/c < b/cSi a < b - ac > bc y a/c > b/c

4) Propiedad Transitiva.-Si a < b Λ b < c a < c

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3.- Hallar la zona del conjunto de puntos que satisfacen las desigualdades del siguientesistema.Gráfica Desigualdad 1 (convertida en Ecuación)

1

1

1

3x + 5y - 12

3x + 5y = -123x + 5y + 12 = 0

A = 3B = 5

C = 12

1

1

1

12a = - = -4

312b = - = -2.453

m = - = -0.65

Gráfica Desigualdad 2 (convertida en Ecuación)

2

2

2

2x - y 5

2x - y = 52x - y - 5 = 0

A = 2B = -1

C = -5

2

2

2

-5 5a = - = = 2.5

2 2-5 5

b = - = - = -5-1 1

2m = - = 2

-1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Área de Solución de la Desigualdad 1

des_1

3x + 5y - 125y -3x -12

-3x -12y

5

Área de Solución de la Desigualdad 2des_2

2x - y 52x - 5 yy 2x - 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Gráfica(Ecuación 1)

Gráfica(Ecuación 2)

1 2

GráficaRecta 2

GráficaRecta 1

Área deSolución

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DOCUMENTO 13-CPROBLEMAS DE DESIGUALDADES

1.- ¿Cuántos chocolates de $6.00 puede comprar María para que le queden $4.00, de formaque el dinero que tenga esté entre 10 y 22 pesos?10 < 6x + 4 < 226 < 6x < 181 < x < 3

Respuesta: x = 2 chocolates

2.- Tienes que realizar un trabajo de investigación en Internet y solo puedes gastar $27, elcosto por hora de la PC es de $7 y las impresiones es de $3 (color). ¿Cuál es el modelomatemático o desigualdad que describe el problema?

Respuesta: ¿ ?

3.- Grafica en el plano cartesiano la siguiente desigualdad y obtén su área de solución:x - 4y > 2Respuesta:para graficar necesitamos

1a = 2 P 2,0

21 1b = - P 0, -2 2

x

y

4.- Grafica en el plano cartesiano la siguiente desigualdad y obtén su área de solución:5x +3y 30

5.- Hallar la zona del conjunto de puntos que satisfacen las desigualdades

3x +5y -122x - y 5Respuesta:

1 1

1 2

1

a = -4 P -4, 0

12 12b = - P 0, -5 5-3x -12

y5

2 1

2 2

2

5 5a = Q , 02 2b = -5 Q 0, -5

y 2x +5

x

y

5.- Hallar la zona del conjunto de puntos que satisfacen las desigualdades

5x +3y < 305x -3y 15

Adan

Cuadro de texto

6.-

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DOCUMENTO 16 – A

“EXPLORANDO CÓNICAS”.

Propósito de la actividad: Consolidar los aprendizajes y habilidades que persigue el subtema2.1.1.

Las secciones cónicas se descubrieron en el periodo Clásico de Grecia (600 a 300 a.C.)estableciendo el estudio de las propiedades geométricas de las mismas. En el siglo XVII elestudio de las aplicaciones de las cónicas jugó un papel importante en el desenvolvimientodel cálculo, porque lleva al concepto de derivada.

Se denomina superficie cónica de revolución la que se produce por la rotación de una rectaalrededor de otra recta fija a la que corta de modo oblicuo en ángulo constante. La recta quégira recibe el nombre de generatriz y la que se encuentra fija, eje. Estas se cortan en unpunto central llamado vértice, que divide al cono recto formado en dos partes, denominadoshojas o mantos.

Mueve circularmente otra aguja sobre las paredes de los vasos y al girar en torno a la uniónde los dos conos comprenderás por qué se denomina superficie cónica de revolución.

En la figura 1 el eje es la aguja de tejer en su posición vertical; AB es la generatriz, ycualquier posición de esta última el elemento o manto.

Desde el punto de vista geométrico, una sección cónica es la intersección de un plano y unasuperficie cónica doble; esta intersección da lugar a las cuatro cónicas básicas:circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

A continuación ejemplificaremos la forma para obtener las cónicas: con unas tijeras haz uncorte perpendicular al eje en un cono como se ve en la figura 2.

Generatriz

VérticeEje

Figura 1

A

B

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1. Cortes a un cono que dan lugar a lascurvas cónicas

2. El corte para una circunferencia se indicaen la figura siguiente

3. El corte para una parábola se indica en lafigura siguiente

4. El corte para una elipse se indica en lafigura siguiente

5. El corte para una hipérbola se indica en lafigura siguiente

6. Pon nombre a las cónicas que resultan alhacer los siguientes cortes

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DOCUMENTO 18-A"ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA"


Hallar la ecuación ordinaria y Dibujar la circunferencia dados el centro y radio en cadacaso.

h kC , ; r 2 2 2x yh k+ - = r-

1. C (-3, 5), r = 7. 2. C ( 4, 1), r = 3.

3. C (-2, - 4), r = 4. 4. C (-5, 3), r = 4.

5. C ( 0, 0 ), r = 5. 6. C ( 0, 0 ), r = 3.

Hallar el centro y el radio de cada una de las siguientes ecuaciones de circunferencia.

2 2 2x yh k+ - = r- 2C , ;k r =h r

1. 2 2x + y = 64 2. 2 2x -3 + y -1 =16

3. 2 2x + 4 + y +5 = 9 4. 2 2

x - 2 + y +3 = 25

5. 2 2x + 4 + y -5 = 49 6. 2 2x -5 + y = 36

7. 22x + y +2 = 4 8. 2 2x - 6 + y -5 =15

9. 2 2x -1 + y +5 = 28 10. 2 2

x -8 + y -7 = 32

Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia según su grafica.

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DOCUMENTO 19-A

"DEMOSTRAR SI ES O NO UNA CICUNFERENCIA".


Demuestre si las siguientes ecuaciones son una circunferencia, un punto o el conjunto vacío,en caso de existir la circunferencia Dibújala.

1. x2 + y2 + 8x + 4y + 16 = 0 2. x2 + y2 - 10x + 6y - 15 = 0

3. x2 + y2 - 2x - 4y + 5 = 0 4. x2 + y2 + 14x + 2y + 58 = 0

5. x2 + y2 + 6x - 2y + 10 = 0 6. x2 + y2 + 8x - 10y + 50 = 0

7. x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 8. x2 + y2 + 8x - 6y + 30 = 0

9. x2 + y2 - 4x - 12y + 31 = 0 10. x2 + y2 + 4x + 2y = 0

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DOCUMENTO 20-A

"CONSOLIDACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA".


Ejercicios en clase1.

1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos P1(3, 2) y P2(-5, 4).Hallar la ecuación de la curva (recomendaciones: localiza y une los dos puntos que se teproporcionaron, el centro es justo la mitad del segmento dibujado).

2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C ( -4, -2 ) y que pasa porel punto P ( 2, 6 ).

3. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 3x + 4y - 16 = 0, con el centroen el punto C (- 3, -5 ).

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersecciónde las rectas 3x - 2y - 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0.

5. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por (1,-4) y es concéntrica con:x2 + y2 - x + 10y + 18 = 0.

Ejercicios extraclase.

1. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro C ( -3, -1 ), y que es tangente a larecta cuya ecuación es: 6x + 3y - 18 = 0.

2. Determinar la ecuación de la circunferencia de radio = 1, cuyo centro es el punto deintersección entre las rectas x + 4y -1 = 0 y x - 4y + 7 = 0.

3. Hallar la distancia que hay del centro de la circunferencia cuya ecuación es2 24x + 4y - 4x + 24y + 21 = 0 , a la recta de ecuación 5x + 3y - 6 = 0.

4. Hallar la ecuación de la recta que une los centros de las circunferencias cuyas ecuacionesson: x2 + y2 + 4x - 10y + 20 = 0 y x2 + y2 + 8x + 6y + 21 = 0.

5. Hallar el área y el perímetro de la circunferencia cuya ecuación es x2+y2-4x+10y+20 = 0.

1 Recomendaciones: localiza y une los dos puntos que se te proporcionaron, calcula la distancia entre estospuntos y el centro es justo la mitad del segmento dibujado)

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DOCUMENTO 22-A

“IDENTIFICACIÓN DE LA GRÁFICA DE LA PARÁBOLA Y SUS MODELOSALGEBRAICOS”.

Propósito: Que el alumno identifique la posición de la gráfica de la parábola y los elementosdel modelo algebraico.

Proporcionar el modelo algebraico de la gráfica de las siguientes parábolas:

R = R = R =

R = R = R =

R = R = R =

Encontrar el Dominio (apóyate en el DOCUMENTO 13-B, pag. 51), Contradominio y regla decorrespondencia de las siguientes parábolas, expresadas en su Fórmula General( 2 2Ax +Dx +Ey +F = 0 o Cy +Dx +Ey +F = 0 ):

1) x2 + 8x – 16y + 28 = 0.

2) y2 – 32x + 6y - 36 = 0.

3) 2y2 + 5x - y + 1 = 0.

4) -3x2 + 6x + y + 4 = 0.

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DOCUMENTO 23-A

“APLICACIONES DE LA PARÁBOLA”.


A continuación veremos el procedimiento para encontrar la distancia ala cual se debencolocar los extremos de un puente colgante si su longitud es igual al lado recto de unaparábola cuyo punto medio se encuentra 10 m arriba de la carretera y su foco a 90m dealtura.

Paso 1

Ubicar la parábola en un plano cartesiano para localizar las coordenadas del vértice y foco.

Se trata de una parábola vertical que abre hacia arriba. Las coordenadas del vértice son V(0,10) Y las del foco F(0,90)

CablePrincipal

Lado Recto

10 m

x

y

90m

LR = 4p

p

pV

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Paso 2

Para encontrar el valor de p, si es la distancia del vértice al foco, de la gráfica observamosque es igual a 80.

Paso 3

Para calcular el valor del lado recto

LR = 4p = (4)(80) = 320.

El valor del lado recto es 320; por lo tanto, la distancia a la cual se deben colocar los posteses de 320 m.

Ahora encontraremos la ecuación de la parábola en forma general.

Paso 1

Los datos del vértice V(0, 10) y de p = 80, se sustituyen en la ecuación de la parábolavertical con vértice fuera del origen.

(x - h)2 = 4p (y - k)

(x - 0)2 = 4 (80) (y - 10)

x2 = 320 (y - 10)

Paso 2

Se desarrollan las operaciones del paréntesis y se iguala a cero.

x2 = 320 (y - 10)

x2 = 320y - 3200

x2 - 320y + 3200 = 0

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DOCUMENTO 24-A

“EJERCICIOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y DE LA PARÁBOLA”.

Propósito: Ejercitar la habilidad para desarrollar un binomio cuadrado, para convertir de laforma ordinaria a la general.

1. Instrucciones: Desarrolle los binomios e iguala con cero para expresar las ecuacionessiguientes en su forma general.

a) (x - h)2 + (y - k)2 = r2

b) (y - k)2 = 4p(x - h)

c) (x - h)2 = 4p(y - k)

d) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 5

e) (y - 2)2 = -8(x + 3)

f) (x+2)2=16y

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DOCUMENTO 24-B

“MODELOS ALGEBRAICOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y DE LA PARÁBOLA”.

Propósito: Ejercitar el método de complementar un trinomio cuadrado perfecto para laconversión de forma general a la ordinaria de la circunferencia y de la parábola.

1. Instrucciones: Obtener los parámetros y gráfica de las siguientes circunferencias:

a) 2 2x + y + 4x - 6y -3 = 0

b) 2 2x + y -8x -6y+20 = 0c) 2 2x + y + 4x +6y =19d) 2 29x +9y -30x +18y -2 = 0

Solución de a): 2 2x + y + 4x - 6y -3 = 0

Ordena los términos con relación a una misma variable en forma descendiente e iguala consu término independiente

1° Opción

_____ _____ 2 22 2

1 2x +4x+ + y - 6y+ = 3+ ? + ?2 2

1 2? ?

2° Opción

_____ _____ 2 22 2

1 2x +4x+ + y - 6y+ = 3+ ? + ?2 2

1 2? ?

Completa los trinomios cuadrados perfectos (TPC) por suma y resta

2 2 2 22 2x +2 2 x + 2 + y - 2 3 y + 3 = 3+ 2 + 3

2 21 2? ?

2 22 2

2 2 6 64 4x +4x+ +y -6y+ =3+ +2 2 2 22 2

1 2? ?

Factoriza y simplifica las expresiones

2 22 2

2 2

x +2 2 x + 2 + y - 2 3 y + 3 = 3+ 4+ 9

x +2 + y -3 =16

2 22 2

2 2

x +4x+ 2 + y - 6y+ 3 = 3+4+9

x +2 + y -3 =16

Compara la ecuación anterior con el modelode la cónica correspondiente, en esté caso

2 2 2x -h + y -k = r

La cual corresponde a una circunferencia concentro fuera del origen.

2 2x +2 + y -3 =16

C -2,3 ; r = 16 = 4

Con esta información localiza y Dibuja suGráfica (como se muestra a la derecha).

Otra alternativa que también puedes utilizar, son las expresiones siguientes:

, , , ,

2 2

2 22 2

x + y + 4x - 6y -3 = 0

Donde : A =1, D = 4, E = -6, F = -3

-6D E 4 4 6C - - C - - C - C -2 3

2A 2A 2 1 2 1 2 2

1 1r = -4AF+D +E r = -4 1 -3 + 4 + -6

2A 2 1

1 1 1 8r = 12+16 +36 = 64 = 8 = = 4

2 2 2 2

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2. Instrucciones: Obtener los parámetros y gráfica de las siguientes parábolas:

a) 25x + 40x+10y -20 = 0

b) 24x +32x -12y -8 = 0e) 22x +2x - 4y -10 = 0d) 22x -10x + y +27 = 0

Solución de a) 25x + 40x+10y -20 = 0Ordena los términos con relación a una misma variable en forma descendiente en ambos lados de la ecuación,dejando los términos que contiene la variable cuadrática del lado izquierdo y dividiendo entre su coeficiente siesté es diferente de uno, pasando a la derecha la variable complementaria y el término independiente.

1° Opción

_____

2

2

2

2

22

5x + 40x+10y - 20 0=5 5

40 10 20x + x + y - = 05 5 5

x +8x +2y-4 =0

x +8x = -2y+4

x +8x + = -2y+4+ ?2?

2° Opción

_____

2

2

2

2

22

5x + 40x+10y - 20 0=5 5

40 10 20x + x + y - = 05 5 5

x +8x +2y-4 =0

x +8x = -2y+4

x +8x + = -2y+4+ ?2?

Completa el trinomio cuadrado perfecto (TPC) de la expresión de la izquierda por suma y resta

2 22x +2 4 x + 4 = -2y+4+ 4

2?

2 22x +8x+ 8 2 = -2y+ 4+ 8 2

2?


22

2

2

x +2 4 x + 4 = -2y+4+16

x + 4 = -2y+20

x+4 = -2 y -10

2 22

2

2

2

x +8x+ 4 = -2y+4+ 4

x + 4 = -2y+ 4+16

x + 4 = -2y+ 20

x+4 = -2 y -10

La cual corresponde a una Parábola Vertical conVértice fuera del origen.

2x+ 4 = -2 y -10

V -4,10 ; 4p = -24p = -2, y por tanto, p = -1/2, lo que implica aperturahacia abajo;

2 1

LR = 4p = -2 =2 p =- =-4 2

y = k - p = 10 - (-1/2) = 10.5, directriz.

Con esta información localiza y Dibuja su Gráfica.Otra alternativa que también puedes utilizar, son las expresiones siguientes:

2

22

5x + 40x +10y - 20 = 0Donde : A = 5, D = 40, E =10, F = -20

40 - 4 5 -20D D - 4AF 40 40 1600 + 400V - , V - , V - , V -4, 10

2A 4AE 2 5 4 5 10 10 200

E 10 E 10 10 1LR = 4p = - = - = 2 p = - = - = - = - = -0.5

A 5 4A 4 5 20 2

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DOCUMENTO 25-A

“EJERCICIOS DE ELIPSE”.

Propósito: Ejercitar la habilidad para complementar el trinomio cuadrado perfecto, paraconvertir de la forma general a la forma ordinaria.

1. Instrucciones: Obten los parámetros y gráfica de las siguientes elipses:

x2 + 4y2 – 6x + 16y +21= 0

25x2 + 10y2 = 250

Solución de a): x2 + 4y2 – 6x + 16y +21= 0

Ordena los términos con relación a una misma variable en forma descendiente e iguale consu término independiente

x2 – 6x + ___ + 4y2 + 16y + ___= -21+ ?1 + ?2

Factoriza los términos por factor común, para establecer ecuaciones de segundo grado

x2 – 6x + ___ + 4(y2 + 4y + ___)= -21+ ?1 + ?2

Completa los trinomios cuadrados perfectos por suma y resta

x2 – 6x + (6/2)2 + 4(y2 + 4y + (4/2)2)= -21 + (6/2)2 + 4(4/2)2

Factoriza y simplifique las expresiones

(x - 3)2 + 4(y + 2)2 = 4

Divide entre cuatro ambos miembros de la ecuación, obteniendo la forma ordinaria

2 2x -3 4 y +2 4+ =4 4 4

Simplifica

2 2x -3 y +2+ =1

4 1

Compara la ecuación anterior con el modelo de la cónica correspondiente, en esté caso

2 2

2 2

x -h y -k+ =1

a bque implica una elipse horizontal

Obtén de la comparativa anterior los siguientes parámetros

Centro C(h, k) = C(3, -2);

a2 = 4 y por tanto, a = 2;

b2 = 1 y por tanto, b = 1.

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Obtén a partir de los valores determinados las siguientes ubicaciones en el plano cartesiano

Procede a calcular el valor de “c”, lo que permite calcular los focos de la elipse. De laecuación:

2 2 2a =b +c

despeja "c” de la ecuación anterior

2 2c = a -b

sustituye a = 2 y b = 1

2 2c = 2 - 1

simplifica y determine el valor de "c”.

c = 3

calcula el lado recto y la excentricidad sustituyendo los valores conocidos en las expresionescorrespondientes

Excentricidad

c 3e = =a 2

Lado Recto

L. R. = 2b2/a, sustituyendo se tiene L. R. = 2(1)2/2 = 1

Eje Menor

2b = 2(1) =2, puntos de intersección del eje menor. 8(3, -3) y B(3, -1)

Eje Mayor

2a = 2(2) = 4, vértices: V(5, -2) y V’(1, -2)

x

y

C

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Grafica a través de los valores determinados, obteniendo el gráfico siguiente:

II. Instrucciones: Obtén la ecuación de la elipse en su forma ordinaria y general que cumplalas siguientes condiciones:

a) Uno de sus vértices en V (6, 0), uno de sus focos en F (-1, 10) y centro en el origen.

b) Vértices V1 (-1, -6), V2 (-1, 2) y uno de sus focos F(-1, -3).

c) Uno de sus vértice en V (2, -2), excentricidad e = 3 2 y con centro en C (-4, -2).

x

y

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 26-A

“EJERCICIOS DE HIPERBOLA”.

Propósito: Ejercitar la habilidad para completar un trinomio cuadrado perfecto, para pasar dela forma general a la forma ordinaria.

1. Instrucciones: Obtener los parámetros (vértices, focos, lado recto, asintotas y centro) ygráfica de la siguientes hipérbolas:

a) 4x2 – 9y2 + 32x + 36y + 64 = 0

b) 9x2 – 4y2 = 36

Solución de a): 4x2 – 9y2 + 32x + 36y + 64 = 0

Ordena los términos con relación a una misma variable en forma descendiente e iguale consu término independiente

4x2 + 32x ____ – 9y2 + 36y ____ = – 64 + ?1 + ?2

Factoriza los términos por factor común, para establecer ecuaciones de segundo grado

4(x2 + 8x ____) – 9(y2 - 4y ____) = – 64 + 4(?1) + (–9(?2))

Complete los trinomios cuadrados perfectos por suma y resta

4(x2 + 8x + (8/2)2) – 9(y2 - 4y + (4/2)2) = – 64 + 4(8/2)2 + (–9(4/2)2)


4(x + 4)2 – 9(y - 2)2= – 64 + 64 – 36

Divide entre -36 ambos miembros de la ecuación, obteniendo la forma ordinaria

2 24 x + 4 9 y - 2 -36- =

-36 -36 -36

Simplifica

2 2

2 2

x + 4 y - 2- + =1

9 4

y -2 x +4- =1

4 9

Compare la ecuación anterior con el modelo de la cónica correspondiente, en esté caso

2 2

2 2

x -h y -k- =1

b a, que implica una hipérbola vertical

Obtén de la comparativa anterior los siguientes parámetros

Centro C(h, k) = C(-4, 2);

a2 = 4 y por tanto, a = 2;

b2 = 9 y por tanto, b = 3.

Co

nfid

en

tial




Obtén a partir de los valores determinados las siguientes ubicaciones en el plano cartesiano.

Procede a calcular el valor de e, lo que permite calcular los focos de la hipérbola. De laecuación:

2 2 2c a b

despeja "c" de la ecuación anterior

2 2c a b

sustituye a=2 y b=3

2 22 3c

simplifica y determine el valor de c.

13c

calcula el lado recto y la excentricidad sustituyendo los valores conocidos en las expresionescorrespondientes

Excentricidad

e = c / a, sustituyendo se tiene 132

ce a

Lado Recto:

L. R. = 2b2/a, sustituyendo se tiene L. R. = 2(3)2 / 2 = 9

Grafica a través de los valores determinados, obteniendo el gráfico siguiente:

Co

nfid

en

tial




II. Instrucciones: Obtén la ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria y general quecumpla las siguientes condiciones:

a) Sean sus focos en F1 (4,-2) y F2 (4, -8) y la longitud del eje transverso igual a 4.

b) Vértices V1 (-1, 3), V2 (3, 3), y excentricidad c = 3/2.

C

Co

nfid

en

tial




DOCUMENTO 28-A“FORMULARIO”.

Formulas para convertir coordenadas.

1) 2 2r x y Conversión de Coordenadas Rectangulares aPolares (se dan x y y, y se obtienen r y ) 2) 1tan

yx

3) cosx r Conversión de Coordenadas Polares aRectangulares (se dan r y , y se obtienen x yy) 4) seny r

SIGNO DE LA FUNCIÓNCUADRANTESEN COS TAN COT SEC CSC

I + + + + + +II + - - - - +III - - + + - -IV - + - - + -

Co

nfid

en

tial




Para poder obtener un resultado coherente del ángulo , es necesario establecer unaconvención para no tener problemas al utilizar valores negativos. Siempre debemos decalcular los ángulos respecto a la horizontal (eje de las “x”), y conociendo el cuadrantedonde cae el punto hacer las siguientes operaciones.

Cuadrante I

El ángulo debe estar entre:

90° ≥θ ≥ 0°

2 21 1 1

1 11

1

1 1 1

1 1 1

tan

cos

r x y

yx

x ry r sen

Cuadrante II


180° ≥θ ≥ 90°

2 21 1 1

1' 11

1

0 '1 1

1 1 1

1 1 1

tan

180cos

r x y

yx

x ry r sen

Cuadrante III


270° ≥θ ≥ 180°

2 21 1 1

1' 11

1

0 '1 1

1 1 1

1 1 1

tan

180cos

r x y

yx

x ry r sen

Cuadrante IV


360° ≥θ ≥ 270°

2 21 1 1

1' 11

1

0 '1 1

1 1 1

1 1 1

tan

360cos

r x y

yx

x ry r sen

Co

nfid

en

tial




Ecuaciones de la Recta.

Pendiente dados dos puntos: P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

2 1 1 2

2 1 1 2

y - y y - ym =x - x x - x

; donde: -1m = tan = tan m

Punto – Pendiente:

Dado un punto P (x1, y1) y la pendientem = constante (es un número positivo onegativo), se obtiene la ecuación.

1

1

1 1

1 1

y - y = mx - x

y - y = m x - x

y = mx -mx + y

Donde: 1 1b = -mx + y

y = mx +bmx - y +b = 0

x +By +C = 0A

Ecuación Simétrica:

x y+ =1a b

; a 0, b 0

Ecuación General:x +By +C = 0A

Donde:

BA

m = - ,

Ca = -

Ay

BC

b = -

Pendiente – Ordenada al origen:

Dada la pendiente m = Constante y el valor“b” donde se cruza con el eje vertical o eje“y”, obtiene la ecuación.

y = mx +bmx - y +b = 0

x +By +C = 0A

Punto – Punto:

Dados dos puntos: P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

2 1

2 1

y - ym =

x - x

2 11 1

2 1

y - yy - y = x - x

x - xo 2 1

2 22 1

y - yy - y = x - x

x - x

Propiedades de las Pendientes*

1 2

21

m m = -11

m = -m

1 2m = m

Distancia de un Punto P0(x0, y0) a una Rectax +By +C = 0A

0 0

2

x +By +C

B2

Ad =

A +

m1 m2

m1m2

Co

nfid

en

tial




MODELOS ALGEBRAICOS DE LAS CONICAS:Asígnale un nombre a cada fórmula:

Ax +By + C = 0

Ax² + Ay² +Dx +Ey +F = 0

Ax² +Dx +Ey +F = 0 ; Cy² +Dx +Ey +F = 0

Ax² + Cy² +Dx +Ey +F = 0

Ax² - Cy² +Dx +Ey +F = 0

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0

Circunferencia.

Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijollamado centro. Ecuación de una circunferencia de centro el punto C (xo,yo) y radio “r”.

La longitud de la circunferencia es L = 2 πr.

El área de la superficie que está dentro de la circunferencia (círculo) es A = πr2.

Ecuaciones Ordinaria o Cartesiana:

Centro en el origen (0,0)2 2 2x +y =r

Centro en (h,k) 2 2 2x -h + y -k = r

Ecuación General:2 2Ax + Ay +Dx +Ey +F = 0

Centro

D EC - ,-2A 2A

Radio2 21

r = -4AF+D +E2A

Si 2 2-4AF+ D +E > 0 , la circunferencia existe.Si 2 2-4AF+D +E = 0 , la circunferencia es un punto.Si 2 2-4AF+ D +E < 0 , la circunferencia no existe.

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

x -h + y -k = r

x + y - 2xh- 2yk +h +k - r = 0

A =1, D = -2h, E = -2k, F = h +k - r

Ax + Ay +Dx +Ey +F = 0

Ecuación Paramétricas:

x = xo + R cos y = yo + R sen

Co

nfid

en

tial


Ing. Adán

DeD

T(xp

_F_F

_P

Ramos Bautistahttp://rabablog.blogspot.com/[email protected]://groups.google.com.mx/group/grupos_raba_cb/


efinición: La parábola es el lugar geométrico de los puntos que conservan unaquidistancia a un punto fijo conocido como FOCO (F) y una recta fija llamadaIRECTRIZ (DD´).

eorema: Toda Ecuación de segundo grado, con dos variables (x,y) y sin termino en,y), representa una parábola si contiene el cuadrado de una de las variables y solo larimera potencia de la otra.

2 2

2 2

= ................................. 1

= x -p + y -0

= x -p + y .................... 2

= x +p ............................... 3

_ __P PA_P

_A

2 2

22 22

2 22

2 22

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

sustituyendo (2) y (3) en (1)

x -p + y = x +p

x -p + y = x +p

x -p + y = x +p

y = x +p - x -p

y = x +2xp+ p - x - 2xp+ p

y = x +2xp+ p - x +2xp-p

y = x 2+2xp+ p 2- x 2+2xp- p

2 2y = 4xp x = 4py

Parábola

Co

nfid

en

tial




TIPOS DE PARÁBOLAS Y SU ECUACIÓN ORDINARIA

y² = + 4px

Eje focalen “x”

y² = - 4px

x² = + 4py

VÉRTICE EN ELORIGEN (0,0)

Eje focalen “y”

x² = - 4py

y - k ² = + 4p x - h

Eje focalen “x”

y - k ² = - 4p x - h

x - h ² = + 4p y - k

PA

RÁ

BO

LA

VÉRTICE FUERADEL ORIGEN (h,k)

Eje focalen “y”

x - h ² = - 4p y - k

v

+y

v

x

-y

v- x

y

+ x

y

v

x

-y

x

+y

- x

y

+ x

y

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

x -h = 4p y -k

x - 2xh - 4py +h + 4pk = 0

A =1,D = -2h,E = -4py,F = h + 4pk

Ax +Dx +Ey +F = 0

y -k = 4p x -h

y - 4px - 2yk+4ph+k = 0

C =1,D = -4p,E = -2k, F = 4ph+k

Cy +Dx +Ey +F = 0

2

2

2

2

2

2

x = 4py

x - 4py = 0A =1,D = 0,E = -4p,F = 0

Ax +Ey = 0

y = 4px

y - 4px = 0

C =1, D = -4p,E = 0,F = 0

Cy +Dx = 0

Co

nfid

en

tial

Ing.

2




ELEMENTOS Y COMPONENTES DE LAS PARÁBOLAS

Ecuación General Ax² +Dx +Ey + F = 0 A 0 (abre hacia arriba o hacia abajo)

Ecuación General Cy² +Dx +Ey + F = 0 C 0 (abre hacia la derecha o la izquierda)

CUADRO CUADRO

Ax² +Dx +Ey +F = 0; A 0 Cy² +Dx +Ey +F = 0; C 0

Eje focal ó de simetría paralelo al eje “y”. Eje focal ó de simetría paralelo al eje “x”.

2

2D D - 4AFV h, k V - ,

2A 4AE

Distancia Focal “p” y Lado Recto vale

E E E E4 = - = - LR = 4 = - =A 4A A A

p p p

2E - 4CF EV h, k V , -

4CD 2C

Distancia Focal “p” y Lado Recto vale

D D D D

4 = - = - LR = 4 = - =C 4C C C

p p p

1) Ecuación del eje x = h 1) Ecuación del eje y = k

2) Vértice: V ( h , k ) 2) Vértice: V ( h , k )

3) 4p = LR (Lado Recto ) p = LR / 4 3) 4p = LR (Lado Recto ) p = LR / 4

4) Foco: F ( h , k+p ) 4) Foco: F ( h+p , k )

5) Lado Recto: LR = 4p 5) Lado Recto: LR = 4p

6) Ecuación de la directriz DD’: y = k - p 6) Ecuación de la directriz DD’: x = h - p

7) Ecuación de la Tangente en V: y = k 7) Ecuación de la Tangente en V: x = h

Notas:1) p = Distancia que existe entre el vértice y el foco VF2) LR = Es la cuerda que pasa por el foco y perpendicular el eje

Fórmulas desarrolladas por el Ing. Adán Ramos Bautista, Diciembre de 2009.

v

+y

v +x

+ p

- p

Eje Focal

Eje Focal

v

v

+y

+ p

- p+x

Eje Focal

Eje Focal

2

2 2

Co

nfid

en

tial




Definición de Elipse:

Si un punto P se mueve tal forma que la sumade sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2llamados focos, es constante, el punto P_describe una elipse. Al ser la suma de las dosdistancias del los focos al punto P , esta sumadebe ser igual al eje mayor 2a .

Ecuación General : Ax² +Cy² +Dx +Ey +F = 0 ; A y C 0

a = CV = Semieje mayor; b = CB = Semieje menor; c = CF = Semidistancia focala² = b² +c²; donde a² > b²

Eje focal en “x” Eje focal en “y”

Centro en elorigen (0,0)

Centro fuera delorigen (h, k)



2 2

2 2

x y+ =1; a > ba b

2 2

2 2

x -h y -k+ =1

a b

2 2

2 2

x y+ =1; a > bb a

2 2

2 2

x -h y -k+ =1

b a

1) Eje focal: y = k

2) Eje menor: x = h

3) Centro: C(h, k)

4) Directrices: D1’-D1’’; a²x = h - cD2’-D2’’; a²x = h+ c

5) Excentricidad: ; ce = 0 e 1a6) Focos: 1 2F h - c, k ; F h+c,k

7)22bLado Recto (dos) : LR =

a

8) Longitud del eje mayor: 2a

9) Longitud del eje menor: 2b

10) Distancia entre focos: 2c;2 2 2 2 2c = a -b ; c = a -b ;

1) Eje focal: x = h

2) Eje menor: y = k

3) Centro: C(h, k)

4) Directrices: D1’-D1’’; a²y = k - cD2’-D2’’; a²y = k + c

5) Excentricidad: ; ce = 0 e 1a6) Focos: 1 2F h, k - c ; F h, k +c

7)22bLado Recto (dos) : LR =

a

8) Longitud del eje mayor: 2a

9) Longitud del eje menor: 2b

10) Distancia entre focos: 2c;2 2 2 2 2c = a -b ; c = a -b ;

Elipse cuyo eje es paralelo al eje “x” o al eje “y”: A 0, C 0, A, C, del mismo signo yCD² + AE² - 4ACF > 0 ; CD² + AE² - 4ACF = 0 es un punto; CD² + AE² - 4ACF < 0 no existe

Co

nfid

en

tial




E L I P S E S






a > b2 2

2 2

x y+ =1

a b

a > b

2 2

2 2

x -h y -k+ =1

a b

a > b2 2

2 2

x y+ =1

b a

a > b

2 2

2 2

x -h y -k+ =1

b a

H I P É R B O L A S


1by

ax

2

2

2

2

1b

kya

hx2

2

2

2

1bx

ay

2

2

2

2

1b

hxa

ky2

2

2

2

x

y

Cx

y

C

x

y

y

Co

nfid

en

tial




Definición de Hipérbola: Es el lugar geométricode todos los puntos contenidos el plano, tales quela diferencia en valor absoluto de las distancias decada uno de ellos a dos puntos fijos F1 y F2llamados focos, es igual a una constante.

Eje focal (A1-A2) en el eje “x”: 1by

ax

2

2

2

2

Centro en el origen; C = (0, 0)

Eje focal (A1-A2) en el eje “y”: 1bx

ay

2

2

2

2

Eje focal (A1-A2) en el eje “x”: 1

bky

ahx

2

2

2

2

Centro fuera del origen; C = (h, k)

Eje focal (A1-A2) en el eje “y”: 1b

hxa

ky2

2

2

2

COMPONENTES DE LA HIPERBOLA:

Ecuación General: Ax² +Cy² +Dx +Ey +F = 0 ; A y C 022b

Lado Recto (dos) : LR =a

Distancia entre los focos: 2c; 2 2 2 2 2c = a +b ; c = a +b ;

Longitud del eje mayor: 2a,

Longitud del eje menor: 2b

Excentricidad: e = c/a; e > 1

Indicador: CD² + AE² - 4ACF = 0

a

c

documentos_completos_de_matemáticas_iv

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