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Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 1, Número 1, Diciembre 2009. Página 37 —

EL PAPEL DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL

AULA (1)

Luis Carlos Contreras

Univers idad de Hue lva . España

Uno de los hitos que marcarán el final de siglo, en

el ámbito de la educación matemática, será la abundante

l iteratura en relación con la Resolución de Problemas.

Durante este último cuarto se ha hecho un esfuerzo

importante por unificar la terminología y universal izar las

excelencias. En educación matemática y en investigación en

educación matemática la resolución de problemas ocupa un lugar

destacado; por otro lado, los nuevos currículos apuestan por

orientar la matemática escolar de la enseñanza obligatoria desde

la perspectiva de la resolución de problemas.(1)

1: Seminario dictado en el Primer Congreso Internacional de Educación en Ciencia y

Tecnología, Catamarca 2009.

L. C. Contreras: El Papel de la Resolución de Problemas en el Aula


Entre los profesores de matemáticas, a casi nadie

le resulta ajeno el término y, sin embargo, bajo esa aparente

uniformidad se esconde una gama de significados diferentes. Nos

será fácil encontrar a dos profesores que nos aporten, en

esencia, una misma definición del término; un poco menos fácil

que le otorguen el mismo papel en el currículo y bastante difíci l

que, de hecho, util icen de igual forma la resolución de problemas

en sus aulas.(2). Esta diversif icación de significados en la práctica

no es exclusiva en la Resolución de Problemas (en adelante RP),

pero en ella se hace especialmente patente, debido al abuso de

los términos “problema”, y “ejercicio” indistintamente. Además,

una calve importante para explicar esta situación recae en el

hecho de que incluso los que abrazan epistemológicamente la

Resolución de Problemas como base para la construcción del

conocimiento matemático, se tropiezan ante la dificultad de la

gestión de un aula y la institucionalización de los aprendizajes

construidos a través de ella.

Comenzaré planteando un problema para que sea

resuelto por ustedes en el que me basaré después para reunir

algunas aportaciones relevantes en relación con el término

resolución de problemas y analizar cómo éste adquiere

significados distintos y ocupa lugares diferentes en la

construcción del conocimiento matemático escolar y, finalmente,

nos interesaremos por acercarnos al tratamiento real que tiene

en las aulas.



El problema de los soldados

El enunciado que verán a continuación puede

resultar poco afortunado, sobre todo desde posiciones pacifistas,

pero he querido mantenerlo como l legó a mis manos, desde un

curso superior de geodestas militares, y aprovechar así la

oportunidad para defender la paz, la igualdad y la justicia en el

mundo, sobre todo en momentos difíci les como los que

atravesamos.

“En un combate han participado 11000 soldados. De los supervivientes se sabe que el 56.56% no fuma y que el 56.7567% no bebe. ¿Cuántos murieron?”

Este enunciado da pie a poner en juego dos

heurísticos importantes en resolución de problemas; uno de

comprensión y otro de planificación. De comprensión pues es

preciso indagar sobre posibles datos implícitos en el enunciado

(por ejemplo que el resultado es un número natural, que por

obvio, puede no considerarse). De planificación pues cabe

preguntarse si la información no puede representase a través de

otros medios. Así, los porcentajes pueden expresarse como

fracciones, desde luego sin simplif icar el enunciado más allá de

poder comprenderlo, lo que podría l levarnos una vez resuelto el

problema, a analizar posibles extensiones del mismo.

La expresión fraccionaria de los datos abre nuevas

posibil idad de abordar conocimientos procedimentales con

escasos significados: algoritmos de conversión de número

periódico en fracción o identif icación unívoca de los racionales.



La conjunción de ambos heurísticos nos l leva, a

través de los conocimientos básicos de divisibil idad y de

identif icación de fracción irreducible, a una solución múltiple

para el problema y os ha permitido construcción (o

reconstrucción) y valoración de conocimientos.

¿Qué es resolver problemas?

Es común, al intentar contestar esta pregunta,

partir del término problema para finalizar especificando las

acciones que conducen a su resolución. Esta opción tiene la

ventaja de centrar la atención en el proceso, puesto que los

aspectos relativos a uno de sus términos han sido previamente

aclarados. Sin embargo, como hace Brownell (1942), una

definición global contribuye a una visión holística de la actividad:

“La resolución de problemas se refiere (a) exclusivamente a tareas perceptivas y conceptuales, (b) cuya naturaleza puede comprender el sujeto por razón de su naturaleza original, de su aprendizaje previo o de la organización de la tarea, pero para la cual no conoce de momento ningún medio de satisfacción. (d) El sujeto experimenta perplejidad en la situación problemática, pero no excesiva confusión... La resolución de problemas se convierte en el proceso por el que el sujeto se desembaraza de su problema... Así definido, podemos considerar los problemas situados en una zona intermedia de un continuo que abarca desde el "enigma", en un extremo, hasta la totalmente familiar y comprensible situación en el otro.” (p. 416)



En esta definición podemos aislar los elementos

principales sobre los que continuar nuestro análisis: las

características diferenciales del contexto , de la tarea y las del

sujeto (condiciones que debe reunir el que la afronta y los

cambios que éste experimenta). El grado de importancia que

adquiera cada uno de estos elementos en el combinado nos

conduce a toda la especif icidad recogida en la l iteratura sobre la

cuestión.

Así, si enfatizamos las características de la tarea

estaremos midiendo grado de dificultad de las mismas, tipo de

conocimiento que requiere y contexto al que se refiere. En esta

l ínea podemos situar las aportaciones de Kantowski (1981):

“Un problema es una situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor no tiene un procedimiento o algoritmo que le conduzca con certeza a una solución.” (p. 113).

El mismo Kantowski (1980) define:

“Un problema es una situación para la que el individuo que se enfrenta a ella no posee algoritmo que garantice una solución. El conocimiento relevante de esa persona tiene que ser aplicado en una nueva forma para resolver el problema.” (p. 195).

En este mismo sentido se manifiestan Carl (1989) y

Agre (1982). Para aquél:

“La resolución de problemas es el proceso de aplicación de los conocimientos previamente adquiridos a situaciones nuevas y no famil iares” (p. 471).



Por su parte, Agre (1982) extrae del significado de

la palabra griega problema la idea de la existencia de dificultad:

“Para calif icar como problema el proceso de resolución o de definición tiene que juzgarse que posea al menos un poco de dificultad.” (p. 130) .

El contexto es el aspecto que resaltan Blum y Niss

(1991), que entendiendo por problema:

“una situación que conlleva ciertas cuestiones abiertas que retan intelectualmente a alguien que no posee inmediatamente métodos/procedimientos/ algoritmos, etc. directos suficientes para responder” (p. 37) ,

Añaden también la idea de situación problemática,

que aporta al concepto de problema cierta flexibil idad en el

sentido de que la situación puede ser algo más natural, que surge

de un contexto de investigación o de indagación:

“El punto de partida es un problema aplicado o, como también lo l lamamos, una situación problemática real. Esta situación tiene que ser simplif icada, idealizada, estructurada, sometida a condiciones e hipótesis apropiadas, y tiene que ser precisada más por el resolutor de acuerdo con sus intereses. Eso conduce a un modelo real de la situación original que, por una parte, todavía contiene rasgos esenciales de la situación original, pero, por otra parte, está ya esquematizado de tal manera que (en la medida de lo posible) permite su abordaje con medios matemáticos” (p. 38) .



Permítanme ejemplif icar este proceso de

matematización con un problema sencil lo.

“En un corral hay gall inas y conejos. Son 18 animales en total y pueden contarse 50 patas. Averigua cuántas gall inas y conejos hay”

La capacidad de traducir la información verbal a

gráfica es una clave para resolver problemas y una garantía de

comprensión de enunciados verbales. Además, como veremos en

este problema, una solución gráfica, aparentemente informal,

puede ser la antesala de una solución más formal.

Me contaba un maestro amigo que uno de sus

jóvenes estudiantes procedió a dibujar 18 cabezas; a continuación

puso un par de patas en cada una (dado que todos tienen dos

patas, al menos, lo que significa partir de una solución base de no

conejos, es decir y = 0). Cuando contó las patas que l levaba

comprobó que eran 36 y entonces afirmó “las 14 que me quedan

las pondré de dos en dos hasta completar” , y obtuvo así la

solución del problema.

Formalmente, su proceder se esquematiza como

sigue:

- Pintar las 18 cabezas es decir que x + y = 18

- Pintar dos patas para todos es probar con y = 0 y añadir

luego dos mientras pueda es decir que 2x + 4y = 50

Esto me da pie a la segunda opción. Si ponemos el

énfasis en el sujeto, estaremos analizando los fines y el grado de

implicación o compromiso. Éste es el caso de Confrey (1991) que,



desde la plataforma del constructivismo radical,(3) uti l iza el

término problema para aclarar lo que considera úti l e importante

en la clase de matemáticas.

“La estructura no está en el problema ‐está en el significado definido social y contextualmente de las palabras al ser interpretadas por el que las escucha... Para el constructivista, el problema sólo queda definido respecto al resolutor. Un problema es sólo un problema en la medida en que es sentido problemático por el resolutor. Definido de esta forma, como obstáculo hacia la que un estudiante se dirige, un problema no posee status independiente. Con el objetivo de diferenciar este enfoque del empleo típico de problemas en las aulas de matemáticas, he elegido el término problemático, en referencia al "obstáculo" que halla el estudiante.” (p. 117).

Dicha relevancia se hace aún más patente en el

tercer presupuesto de la posición constructivista:

“Tercer presupuesto: Los problemas desempeñan un papel crucial en la construcción de conocimiento. Los problemas residen en la mente del estudiante ‐no en los l ibros de texto o en la matemática. Los problemas poseen discrepancias, obstáculos que el estudiante quiere resolver y así cataliza la acción. Para aceptar algo como problemático un individuo tiene que creer que puede ser resuelto ‐ y actuar como si el problema y la solución fueran preexistentes. El ciclo de identif icación de situaciones problemáticas, actuar y operar sobre ellos y después reflexionar sobre los resultados tiene carga emocional, es motivador y exigente. Es este proceso de construcción de conocimiento el lado crítico para los investigadores/profesores constructivistas.” (p. 119).



Un ejemplo de esto es el problema de los

cuadrados contenidos en un tablero de ajedrez.

¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?¿Y

si el tablero es de 10x10?¿y si es de nxn?

Implícito en el debate sobre el continuo ejercicio ‐

problema al que nos referíamos más arriba, cuando citábamos a

Brownell (1942), está también el carácter subjetivo de los

problemas y, consecuentemente, el grado de implicación de quien

lo aborda. Así, Agre (1982) dice que

“Lo que es un problema para una persona puede no serlo para otra, y lo que es un problema para una persona un día puede no serlo un próximo día.” (p. 130) .

Dentro de las aportaciones que enfatizan los fines

(si lo miramos desde la perspectiva de la enseñanza) o de los

logros que permitirá obtener (si lo hacemos desde la del

aprendizaje), cabría destacar a Branca (1980), para quien resolver

problemas es “fin, proceso y destreza básica” (p. 3), a Charles et

al. (1987), que lo definen como método de investigación, y a los

que lo integran como proceso característico del pensamiento

matemático (Baroody, 1993; Mason et al. , 1982). Para Baroody

(1993) es una tendencia de enseñanza que, aunque no

general izada, es recogida en las nuevas propuestas curriculares;

por ejemplo, la NCTM (1991) en los Estándares define la

“Matemática como resolución de problemas” (p. 15).

Entre los ejemplos de problemas como

investigaciones me gustaría destacar el siguiente:



“Realiza las siguientes multipl icaciones 11x13, 12x14, ¿qué observas? ¿puedes encontrar un patrón?”

Las diferentes preguntas que surgen tras el primer

hallazgo nos l levan a expresiones conocidas como “sumar por

diferencia igual a diferencia de cuadrados”.

A modo de síntesis ofrezco la siguiente tabla

resumen:

Autor(es) Aspectos a destacar

Brownell (1942)

Perplej idad del sujeto ante la situación problemática; situado en un continuo entre el “enigma” y la situación famil iar y comprensible.

Carl (1989) Aplicación de conocimientos previamente adquir idos a situaciones nuevas.

Kantowski (1980; 1981)

El resolutor no t iene un procedimiento o algoritmo que le conduzca a la solución de forma inmediata. El conocimiento relevante del sujeto ha de ser apl icado de una forma nueva.

Branca (1980) Fin, proceso y destreza básica.

Agre (1982) El proceso de resolución posee un cierto grado de dif icultad.

Mason et al . (1982) Proceso característ ico del pensamiento matemático.

Andler (1987) Un problema debe su existencia a la decis ión del resolutor de reconocerlo como tal .

Charles et al . (1987) Método de investigación.

Blum y Niss (1991)

Incluye cuestiones abiertas que retan al resolutor; éste no posee medios sufic ientes para responder.



Confrey (1991) Hay un problema en la medida que es sentido como tal por el resolutor; poseen obstáculos que hay que resolver.

N.C.T.M. (1991) Hacer Matemáticas.

Baroody (1993) Proceso característ ico del pensamiento matemático.

Síntesis de algunas aportaciones sobre la definición de

problema.

Aunque mi opción personal sobre la RP es

considerarla básicamente una investigación enmarcada en un

proceso natural de indagación donde quienes lo afrontan han de

reunir determinadas condiciones iniciales (en cuanto a

conocimientos y grado de compromiso) que permitan superar los

retos que supone y que, en la medida que se van alcanzando los

f ines perseguidos (por el resolutor o instructor), proporciona en

los sujetos que lo abordan un cambio sustancial respecto de su

situación de partida, en este trabajo incidiremos sobre el papel

que los profesores le otorgan a la RP en sus aulas.

¿Cuál es el papel de la resolución de problemas en el currículo?

Para el NCTM (1991) la respuesta es clara, es un

procedimiento constructivo:

“Es esencial desarrollar en todos los estudiantes la capacidad de resolver problemas si se quiere que sean ciudadanos productivos...” (p. 6)



y una forma de hacer Matemáticas:

“...que los estudiantes se conviertan en personas matemáticamente instruidas.. . expresión [que] denota la capacidad de un individuo para explorar, formular hipótesis y razonar lógicamente, así como usar de forma efectiva un determinado número de métodos matemáticos para resolver problemas.. . saber las matemáticas es usar las matemáticas. Una persona descubre o crea conocimiento en el curso de una actividad que real iza con un f in” (p. 7).

Qué si no se consigue tras resolver el siguiente

problema:

“¿Cuánto suman los 7 primeros impares?¿y los 10 primeros?¿y los 100 primeros?¿cuál es el impar decimoquinto?¿y el vigésimo?¿y el n ‐simo?”

Planteemos ahora el problema al revés, ¿cómo

podemos calcular la raíz cuadrada de un número?

Puig (1992) hace un recorrido destacando cuatro

claves: RP como contenido prioritario, como medio de

aprendizaje y refuerzo de contenidos, como método más

conveniente para aprender matemáticas y como aplicación. El

problema está en la dosificación o elección de cada uno de estos

ingredientes que, como señala el autor, está sujeta a las distintas

“concepciones de la naturaleza de las matemáticas y de su

enseñanza que... tiene consecuencias distintas a la hora de

diseñar el curriculum o desarrollarlo” (p. 10). Desde luego, no es

lo mismo entender RP:

“como aplicación de los conocimientos previamente adquiridos y de los métodos, los algoritmos o los



procedimientos rutinarios propios de un dominio conceptual” (p. 11) ,

que entenderlo de forma independiente de un contenido

matemático concreto y no sólo entendido cómo aprender a

resolver problemas, sino de forma integrada con el contenido:

“para que los aprendizajes que se institucionalicen sean los que se pretenden enseñar” (p. 11) .

Puig continúa con la idea de que la experiencia de

un profesor, desde su aprendizaje como alumno hasta el

momento de actuar en el aula, ha estado impregnada de

situaciones que l levan a identif icar problema exclusivamente

como vehículo para aplicar y poder probar que se conoce un

determinada concepto, método o procedimiento rutinario. Esta

consideración tiene consecuencias nefastas por la escasa

rentabil idad matemática que conlleva.

Sin ánimo de ofrecer una clasificación de tipos de

problemas, sino más bien intentando poner de rel ieve la gama de

significados con los que se identif ica la RP, me gustaría citar uno

de los trabajos de Polya (1981) en el que, desde una perspectiva

pedagógica, decía que se puede diferenciar entre:

a) Los que se resuelven mecánicamente aplicando una

regla que acaba de conocerse (una regla delante de tu

nariz).

b) Los que pueden resolverse aplicando algo que se ha

dado antes, en los que el resolutor ha de tomar alguna

decisión (aplicación con alguna elección).

c) Los que requieren combinar dos o más reglas o

ejemplos dados en clase (elección de una combinación).



d) Los que también requieren combinación, pero que

contienen ramificaciones y requiere un alto grado de

razonamiento personal (aproximación al nivel de

investigación). (Vol. 2, p. 139)

Polya establecía que el orden determina el grado

de dificultad y el valor educativo; hoy el interés se centra en los

niveles c) y d).

En el mismo sentido me gustaría tratar la

aportación de Kilpatrick (1985) cuando establece que la RP se ha

entendido o puede entenderse como un proceso de:

a) Ósmosis, caracterizada por la repetición de ejercicios y

ejercicios (condición necesaria ‐con matices ‐ pero no

suficiente) que desestima la capacidad de resolución de

problemas no escolares. Además plantea problemas

afectivos. “Ningún programa de formación en RP tendrá

éxito si tiene efectos negativos sobre las actitudes y las

creencias de los estudiantes” (p. 9).

b) Memorización y desarrollo de estrategias algorítmicas

que se aplican en situaciones similares. No es válida

cuando se enfrentan a un problema nuevo y a veces

tienen dificultad para encontrar el algoritmo adecuado.

c) Imitación, como los modelos de identif icación de

características de buen resolutor para ser enseñadas.

d) Cooperación, conocer los procedimientos de otros

mejorando los propios, negociar, discutir, ampliar el

abanico conceptual y procedimental.



e) Reflexión, no sólo se aprende haciendo, se aprende

haciendo y pensando en lo que se hace y se ha hecho.

Estamos hablando de metacognición (conocer cómo

aprendo).(4)

Finalmente, y con la misma intención seguida con

los dos autores anteriores, me gustaría retomar la aportación de

Gaulin (1986) al esquema de Hatfield (1978) que, como señala

Blanco (1997), establece tres perspectivas que “son asumidas

generalizadamente” (p. 84)]. Para Gaulin caben cinco

interpretaciones:

a) La de aquellos que entienden que todo consiste en

proponer más problemas.

b) La de los que quieren buscar y emplear aplicaciones de

los problemas a la vida diaria y a las ciencias.

c) La de algunos pedagogos, más que los especialistas en

Matemáticas, que abogan por problemas genuinos, que

promuevan la búsqueda y la investigación, más que

ejercicios y problemas rutinarios.

Estas tres pueden encuadrarse en el primer t ipo de

Hatfield (Teaching for Problem Solving), que interpreta

cómo enfocar la enseñanza de la matemática elemental

hacia la capacitación del alumno para resolver

problemas.

d) El segundo tipo establecido por Hatfield (Teaching

about Problem Solving) que puede entenderse como

enseñar heurística: aprender a buscar estrategias para

resolver problemas.



e) El tercer tipo (Teaching via Problem Solving) que puede

interpretarse como enfatizar la RP como medio

progresivo de enseñanza de la Matemática (a través de

la RP).

Naturalmente, la gama de significados que se

otorga a la resolución de problemas en el aula mantiene una

correspondencia biunívoca con estas tipologías reseñadas y, a

efectos prácticos, nos será fácil identif icar el signif icado o

significados que un profesor les otorga en su aula con uno o

varios eslabones de una cadena que va desde la consideración de

la RP como ejercicios hasta su consideración como

investigación.(5)

Para Vila (1995a), de acuerdo con Callejo (1994),

pueden establecerse cinco niveles en el continuo ejercicio ‐

problema: Ejercicios, cuestiones prácticas, problemas no

contextualizados, situaciones problema y problemas de

estrategia.

Los Ejercicios suelen ser propuestos con la

f inalidad de mecanizar/automatizar determinados procedimientos

presentados en el aula o para ayudar en la comprensión de

determinados conceptos.(6) Sus enunciados contienen indicios

claros de los procedimientos que se espera que uti l icen los

estudiantes; son precisos, concisos y bastante estandarizados;

inducen a la obtención de un sólo nivel de respuesta; se

proponen de forma repetit iva y jerarquizada.

Las Cuestiones Prácticas (o problemas

contextualizados) se suelen proponer en relación a un



conocimiento matemático concreto con la finalidad de fi jar dicho

conocimiento. Mantienen cierta conexión con la vida real o, de

alguna manera, resultan ser una aplicación de la matemática en

situaciones reales o a otras ciencias.(7) Sus enunciados son

verbales, también contienen indicios de los procedimientos que

se espera sean uti l izados normalmente relacionados con el

contexto del enunciado. Son propuestos durante el desarrollo de

unidades didácticas, después de éstas, en las que se han

expuesto los procedimientos para su resolución. Suelen

elaborarse l istados de ellos.

Los Problemas no contextualizados tienen la

f inalidad de dotar de significado a los conocimientos

matemáticos movil izados en el aula. Aunque coinciden con las

cuestiones prácticas en el énfasis de los conocimientos

matemáticos a util izar, aquellas comportan una aplicación de

determinados conocimientos, mientras éstos implican el uso de

un saber matemático más general. Suelen admitir más de un

procedimiento de resolución y se proponen sin vinculación a un

contexto matemático concreto. Su resolución suele necesitar una

argumentación expresa, son singulares y, por tanto, no admiten

ser encuadrados en l istas relacionadas. En su resolución las

estrategias de tipo intelectual son muy relevantes.

Cuando un profesor propone una Situación

Problema, pretende que sus alumnos construyan los

conocimientos matemáticos necesarios para su resolución, lo que

concede al problema una finalidad educativa. No se busca tanto

la funcionalidad como la construcción del saber. Suelen ser

imprecisos, abiertos y singulares y constituyen el origen de las



formulaciones, presentaciones o construcciones matemáticas

implicadas.

Los Problemas de Estrategia tienen como finalidad

desarrollar estrategias intelectuales polivalentes. Suele importar

más mostrar que se ha adquirido una estrategia que poner de

rel ieve que se ha construido un determinado saber. Normalmente

la arti l lería matemática que necesitan está a disposición de todos

los alumnos y el enunciado, de alguna manera, supone un reto

(Lester, 1980) para ellos.

Pero analicemos algunos ejemplos de lo anterior.

Comenzaremos por el conocido problema del matemático.

“Dos matemáticos compañeros de Facultad se encuentran tras años sin verse. Tras preguntarse por sus vidas uno de confiesa al otro ser padre de tres preciosas niñas. Ah! ¿y qué edades tienen?, pregunta uno. Como se que siempre te gustó resolver problemas, responderé a tu pregunta con uno. El producto de las edades de las tres es 36 y la suma el número de la casa que tienes a tu espalda. Tras una breve meditación, responde el otro: bribón, me ocultaste un dato! Es cierto, la mayor toca el piano”

En este problema, cuyo fondo matemático consiste

en la descomposición factorial de 36, hay una clave que implica

ponerse en el lugar del otro, que conoce el número oculto y

necesita un dato más ¿por qué?, pues porque hay más de una

posibil idad con los datos que le ha proporcionado su amigo.

Los estudiantes suelen pensar que los problemas

tienen solución única. También es preciso actuar sobre esta idea;

a veces, incluso sin ser resolubles, las situaciones puede

arreglarse. Veamos estos dos problemas:



“En una excursión a la montaña, organizada por un club alpino, cada 3 miembros comparten mochila, cada 4 comparten brújula y cada 6 comparten mapa. Si entre mochilas, brújulas y mapas hay 27 objetos, ¿cuántos miembros del club podrán participar en la excursión?”

Un reparto equil ibrado

Una primera aproximación al problema nos pone de

rel ieve la necesidad de combinar los grupos de mochila, brújula y

mapa para una mínima cooperación. Ello nos l leva a establecer 12

como número plausible de agrupamiento. En un grupo de 12 hay:

- 4 grupos de 3

- 3 grupos de 4

- 2 grupos de 6

Ello me l leva a que, por cada 12 chicos se necesitan

4 mochilas, 3 brújulas y dos mapas; es decir, 9 objetos. Dado que

tengo 27 objetos ello me permite programar la excursión para 3

grupos de 12, es decir, 36 chicos.

Optimizando la asistencia

No es menos cierto que, por cada 6, tengo un

grupo de 4 y 2 de 3, lo que me indica que cada 6 chicos podrían

l levar su mapa, su brújula y dos mochilas (lo cual es incluso más

práctico que el reparto en la solución anterior), es decir, 4

objetos. Por tanto, podría l legar a formar 6 grupos de 6 (los

mismos 36 de antes) y todavía me quedarían 3 objetos que con

suerte podrían ser distintos (mochila, brújula y mapa) y permitir



que otros 6 chicos puedan i r a la excursión, ¡total, es sólo por un

día!

Y por último, este otro:

“Al abrir la herencia de su padre, tres jóvenes árabes se encontraron ante este texto: Repartiréis mi herencia de forma que el mayor de vosotros recibirá la mitad, el siguiente la tercera parte y el menor la novena parte. ¿Cómo crees que procedieron si la herencia era de 17 camellos”

Este problema tiene una primera dificultad

evidente: 17 no se puede dividir entre 2, ni 3 ni 9; sin embargo la

dificultad encierra la solución.

En efecto, usando la táctica de empezar el problema

por el f inal o resolver unos más fáci l , se podría pensar en que todo

hubiera sido distinto si la herencia hubiera sido de 18 camellos.

De esta suerte, el mayor habría recibido 9, el segundo 6 y el

menor 2.

Pero, un buen resolutor ha de tomar conciencia de

que esta solución no resolvería el problema, puesto que 9 + 6 + 2

= 17, con lo que habría un camello de nadie. Esta es precisamente

la clave de la solución de nuestro problema: “el reparto

propuesto por el padre no cubría la totalidad”, es decir, ½ + 1/3 +

1/9 no es la unidad.

¿Quiere eso decir que el problema original no tiene

solución? En absoluto, antes al contrario, permite una solución

creativa.

Cuentan que un árabe justo pasaba por all í cuando

observó perplejos a los hijos. Bajó de su camello y les dijo:



“puesto que veo que no pondréis dar cumplimiento al deseo de

vuestro padre, os prestaré mi camello. De esta suerte, con 18 será

posible el reparto, y puesto que 9 + 6 + 2 = 17, podré l levarme el

mío tras el reparto” . Sabia solución!

La resolución de problemas debe permitir i r más

allá de una mera combinación de los datos para l legar a la esencia

de las cosas, fomentando el análisis y la búsqueda de respuestas

creativas a los retos planteados.

Para Abrantes (1989) y Borasi (1986) son ocho y

siete, respectivamente, los niveles: Ejercicios, problemas

verbales, problemas para plantear ecuaciones, problemas para

demostrar (estos dos últimos sólo los plantea Abrantes; Borasi

añade problemas como pruebas de conjeturas), enigmas o

problemas para descubrir, problemas de la vida real,(8)

situaciones problemáticas y situaciones.

Un Ejercicio no está contextualizado, tiene una

formulación explícita, única y cerrada, y para su resolución ‐por

un proceso único y de carácter exacto ‐ se prevé el uso de

algoritmos previamente conocidos.

Los Problemas verbales y los Problemas para

plantear ecuaciones muestran explícitamente el contexto en el

enunciado. Coinciden con los ejercicios en cuanto a formulación,

método de resolución y carácter de la solución.

Los Problemas para demostrar difieren de los

anteriores solamente en que admiten más de una formulación.

Las Pruebas de conjeturas muestran parcialmente

el contexto en el enunciado. Su resolución, que supone el

conocimiento de determinadas teorías, pasa por la obtención de



nuevos algoritmos. La solución es, generalmente, única (aunque

no necesariamente).

En los Enigmas para descubrir el contexto aparece

totalmente explícito en el enunciado; su resolución pasa por la

existencia de actos de “insight”.

Un Problema de la vida real puede tener varias

soluciones, que pueden ser aproximadas; presenta una

formulación parcial con muchas alternativas posibles. El contexto

f igura parcialmente en el enunciado, de cuya exploración y

modelización depende la solución.

Cuando un problema admite varias soluciones, su

formulación está sólo sugerida y por tanto admite alternativas de

reformulación y el contexto aparece sólo parcialmente en el

enunciado que es problemático, estamos ante una Situación

problemática.

El último nivel es el más general. El contexto

aparece parcialmente en el enunciado, que inicialmente no tiene

problema, su formulación es inexistente ‐ incluso implícitamente ‐

por lo que para ser abordado es necesario que sea convertido en

problemático. Estamos ante una Situación.

Para Carri l lo (1995) existen siete niveles:(9)

Ejercicios, problemas, problemas como problemas, problemas con

institucionalización de los aprendizajes, problemas con

heurísticos, problemas con reflexión y problemas con

observación.

Los Ejercicios rutinarios han de ser sustituidos por

problemas, pero de manera que podamos tener la paciencia

suficiente para que los alumnos hagan sus propuestas de



abordaje sin dar recetas que los conviertan en ejercicios, es decir,

tratándolos como problemas. Sin embargo es preciso que, de vez

en cuando dispongamos de tiempo para social izar los

aprendizajes que se van produciendo, otorgando a los problemas

un carácter de institucionalizadores de los aprendizajes.(10) Los

alumnos han de ir superando retos para los cuales no siempre

disponen de las herramientas adecuadas. Su entrenamiento debe

contener nuevos heurísticos, así como posibi l idad para tomar

conciencia de todos los actos real izados y los efectos de su

planif icación (reflexión) y capacidad para extraer los aspectos

más relevantes de la resolución (observación).

A modo de síntesis, partiendo de las directrices

curriculares, la resolución de problemas debería servir

básicamente para desarrollar la capacidad de explorar, conjeturar

y razonar. Esto puede conseguirse se vincule o no lo anterior a

contenidos matemáticos concretos, lo que determina las dos

grandes pautas de actuación en RP.

No obstante, debería reservarse tiempo para

desarrollar toda la diversidad de tareas del continuo ejercicio ‐

problema (desarrollado de diversas maneras por los distintos

autores)(11), siempre que se sea consciente de los fines que

pretendemos alcanzar en cada momento concreto (automatizar

procedimientos, potenciar relaciones signif icativas, desarrollar la

creatividad, desarrollar heurísticos, buscar vínculos con la

realidad, adquirir valores racionales, institucionalizar

aprendizajes,. . .).



¿Cómo se usa la resolución de problemas en el aula?(12)

Nos gustaría poder admitir que los esfuerzos por

integrar la resolución de problemas en el currículo de

matemáticas ha tenido frutos evidentes. Sin embargo, una

somera revisión a los estudios sobre el uso que de ellos se hace

en el aula nos indica que aún estamos en el camino. Como

señalaba Kilpatrick (1985), los diferentes puntos de vista que la

gente sostiene acerca de los tipos de problemas o sobre los

diferentes énfasis con que estos tipos son tratados en el

currículo no han sido aún diferenciados en las investigaciones

sobre RP. Su posición era compartida con Grouws, Lester, Silver y

Thompson (Si lver, 1985).

La afirmación de Kilpatrick está perdiendo vigencia

en los últimos años. Comenzaré, por ejemplo, con el trabajo de

Fernandes y Vale (1994), que establecen que factores externos,

como el contexto donde el profesor desarrolla su labor, pueden

actuar en sus prácticas a modo de potenciadores o reductores en

cuanto al uso de la resolución de problemas(13); aunque, al igual

que el resto de los que han estudiado el comportamiento(14) de

los profesores en las aulas, mantienen que son las creencias de

los profesores las que determinan con más fuerza éste y otros

aspectos de sus metodologías.

Sin embargo, como señala Cooney (1985), no basta

mantener unas “adecuadas” creencias; l levar a la práctica una

instrucción de ese tipo requiere no sólo una adecuada

preparación para la gestión del aula, precisa también y,

principalmente, del papel que los profesores dan a los problemas

en el aprendizaje, de los fines perseguidos, del papel que otorgan



a los alumnos,.. . Estas situaciones de conflicto son especialmente

fuertes en los profesores principiantes.

¿Es posible obtener un cuadro similar al elaborado

para analizar las concepciones sobre la Matemática y su

enseñanza, con 4 tendencias en resolución de problemas,

conservando las categorías?

En un primer análisis los elementos que aportan

más información son los criterios de selección del problema

(relacionados con Sentido de la Asignatura), forma de plantearlo

(que podría ubicarse en Concepción del Aprendizaje),

interacciones durante la resolución (que contienen información

sobre Metodología, Papel del Alumno y Papel del Profesor) y

forma de organizar la corrección (que estaría dentro de

Evaluación). Por tanto, parece razonable organizar los elementos

bajo las tendencias y categorías util izadas para el estudio sobre

la Concepción de la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática

(CEAM).

Ello nos conduce a la siguiente estructura:

TENDENCIA TRADICIONAL Metodología

Problemas como ejercic ios

Listado externo (texto, l ibro de problemas,. . .)

Aplicación de conceptos impart idos; al f inal de los temas

Secuencias exhaustivas (muchos ejercic ios de muchos conceptos) no organizadas

Sentido para la asignatura

Afianzar conceptos

Resolución formal; vía prioritariamente deductiva



Aplicación de la teoría

Problemas bien definidos. Resolución con "art i l ler ía pesada"

Papel de los problemas en el aprendizaje

Ampliar y reforzar el campo conceptual ; problemas monográficos

Entrenamiento en procesos formales de prueba

Imitación de esti los deductivos del profesor: estandarización

Resolución individual

Para apl icar la teoría

Las capacidades resolutorias están definidas

Resolver problemas gusta o no gusta

Papel del alumno en la R.P.

Intenta aplicar los conceptos teóricos

Capta y repite esti los

Acepta procesos y resultados

Papel del profesor en la R.P.

Enuncia el problema

Proporciona claves semánticas expl íc itas

Espera y corrige respuestas de los alumnos

Expone la resolución correcta

Los problemas en la evaluación

Elemento sancionador; énfasis en el resultado

Cuantif icación ponderada de las partes

Correcto o incorrecto ajustado al esquema previsto por el profesor

Recuerdo de fórmulas y otros hechos

Aplicación mecánica de conceptos impart idos

No valoración de esti los y estrategias personales

Entrenamiento en ejercic ios t ipo, de refuerzo

Problemas a la par con la teoría

Erradicación del error; sanción



TENDENCIA TECNOLÓGICA Metodología

Problemas como ejercic ios; cuestiones teóricas

Listado organizado

Aplicación de conceptos impart idos; al f inal de los temas

Secuencias estructuradas; espiral conceptual


Aplicar conceptos y asimilar procesos

Resolución formal de problemas de corte real

Aplicación de la teoría

Problemas bien definidos. Resolución con “art i l ler ía pesada”


Aplicar y estructurar conceptos; problemas monográficos

Identif icar los elementos de los procesos formales de prueba

Comprensión de los esti los resolutores del profesor: estandarización

Resolución individual

Para dotar de un signif icado pragmático a la teoría; para introducir un tema

Las capacidades resolutorias están definidas

A veces, el contexto consigue enganchar a rezagados


Intenta aplicar los conceptos teóricos

Capta y repite esti los

Acepta procesos y resultados


Plantea y contextual iza el problema

Proporciona claves semánticas implíc itas y expl íc itas



Espera y corrige respuestas de los alumnos

Expone la resolución correcta


Elemento sancionador; se consideran los pasos e intentos dentro de un marco convencional

Cuantif icación ponderada de las partes

Procesos adecuados o inadecuados ajustados al esquema previsto por el profesor

Identif icación de nociones a aplicar

Identif icación y apl icación de algoritmos adecuados

No valoración de esti los y estrategias personales

Entrenamiento en ejercic ios t ipo, de refuerzo

Los problemas sensiblemente por encima de la teoría

Corrección del error para buen f in

TENDENCIA ESPONTANEÍSTA Metodología

Problemas como activ idad potenciadora del descubrimiento

Selección aleatoria de problemas cotidianos

Potenciar el descubrimiento espontáneo de nociones

Secuencias aleatorias dependientes del contexto


Adquir ir procedimientos y fomentar actitudes posit ivas

Abordaje intuit ivo de problemas cotidianos

Producción de conocimientos

Problemas. Vál idos para model izar


Dotar de signif icado a los conocimientos; problemas pol ivalentes

Potenciar los procesos intuit ivos

Tomar conciencia de las estrategias personales

Resolución por grupos

Para implicar a los alumnos en su aprendizaje



Las capacidades resolutorias pueden potenciarse

Cuando el alumno se siente capaz de crear, se impl ica


Desarrol la una actividad de ensayo ‐error.

Prueba; mantiene una actitud empírica

Expresa su opinión sobre los eventos


Sugiere problemas

No hay claves semánticas expl íc itas

Orienta en momentos clave

Aporta sus conclusiones a la resolución colectiva


Instrumento formativo que permite reorientar el proceso

Valoración del esfuerzo, la impl icación del alumno y la dinámica de los grupos

Impl icación de los alumnos

Signif icado de las nociones construidas

Valoración de estrategias personales

Cambio de activ idad

No se valoran los eventuales logros conceptuales

Advertencia sobre la existencia del error

TENDENCIA INVESTIGATIVA Metodología

Problemas con inst itucional ización de los aprendizajes

Colección organizada acorde con los objetivos planteados

Entrenamiento en R.P. en un marco f lexible de adquis ic ión de conocimiento

Enfoque procedimental inmerso en redes conceptuales organizadas




Aprendizaje de heuríst icos y anál is is de procesos para la formal ización de conceptos

Resolución matemática de problemas: inducción ‐deducción

Elaboración de conocimiento conceptual y procedimental

Problemas abiertos. Condiciones inic iales susceptibles de ser modif icados generando nuevos problemas


Contribución a la construcción de redes semánticas. Problemas polivalentes

Aspectos metacognit ivos que favorezcan la construcción autónoma del conocimiento

Adquisic ión de esti los heuríst icos

Individual y colectiva. Negociación f inal en gran grupo

Como eje de la construcción de conocimientos

Las capacidades resolutorias pueden potenciarse

Cuando el alumno se siente capaz de crear, se impl ica


Aborda el problema como una invest igación

Analiza y pule su esti lo personal de resolución

Discute las aportaciones de los demás y las suyas propias


Genera problemas e implica a los alumnos

No proporciona claves semánticas

Canal iza las aportaciones posit ivas o negativas

Organiza la discusión f inal


Instrumento formativo que permite reorientar el proceso y valorar la evolución

Valoración de variables personales y discipl inares con expl ic itación de vías de mejora



Discusión de la cal idad de los procesos y mejora de los mismos

Adquisic ión de heuríst icos y signif icados conceptuales

Relevancia de las nociones construidas

Valoración de estrategias personales; anál is is de alternativas

Simpl if icación del problema manteniendo la estructura matemática subyacente

Reflexión y anál is is de los eventuales logros conceptuales

Uti l ización constructiva del error; sugerencia de heuríst icos

¿Para qué resolver problemas?

Simplif icando mucho todo anterior estamos ante

dos planteamientos educativos diferentes aunque

complementarios:

- Aprender a resolver problemas

- Aprender resolviendo problemas

Si nos posicionamos ante aprender a resolver

problemas queremos destacar la existencia de algo específico en

la resolución de problemas que lo hace meritorio de figurar en el

elenco de contenidos objeto de aprendizaje. En efecto, la

resolución de problemas puede tener una existencia de alguna

manera independiente del contenido discipl inar que se aborde.

Desde esa perspectiva, ese objeto de aprendizaje puede

alcanzarse de forma conjunta y compartida desde distintas

discipl inas académicas convirtiéndose en contenido de carácter



procedimental e incluso actitudinal, de carácter transversal

válido para una multiplicidad de situaciones cotidianas.

Esta postura está por supuesto alejada de otra

opción comúnmente asumida de que resolver problemas es

aplicar conocimientos previamente adquiridos o la capacidad de

seleccionar y uti l izar los métodos, algoritmos u otros

procedimientos rutinarios específicos vinculados a un núcleo

conceptual concreto, sin que esto pueda entenderse como que

esos conocimientos no sean necesarios o útiles. Calcular el área

de un polígono regular conocido, por ejemplo, el valor de su lado

es un ejemplo de ello. Pero entonces estamos ante una situación

abordable y por tanto no ante un reto, aspecto con el que hemos

querido caracterizar un problema.

Sí estamos, sin embargo, ante la adquisición de

destrezas típicamente matemáticas, como general izar o

particularizar, modelizar (encontrar regularidades o patrones),

clasif icar, definir, conjeturar, probar o refutar, algoritmizar, ….

Permítanme que intente ejemplif icar relatando una

experiencia cuyo eje central es un problema aritmético de

educación primaria.

¿Dónde acaba este problema?

La experiencia que se relata a continuación se

desarrolló en un curso de formación de maestros de Educación

Primaria, en el marco del análisis de las orientaciones curriculares

contenidas en el Diseño Curricular Base del área de Matemáticas

en Educación Primaria.



Los estudiantes para maestro habían tenido la

oportunidad, días atrás, de analizar el citado documento con

indicación de encontrar elementos que caracterizaran la

matemática escolar a desarrollar en las aulas de primaria. Entre

estas características habían destacado:

“Las matemáticas son un conocimiento en evolución continua.. .muchos aspectos.. .corresponden a la necesidad de resolver problemas.. . la evolución de las matemáticas no sólo se ha producido por acumulación de conocimientos.. . [ello contrasta con la forma de] presentar las matemáticas a los alumnos bajo un aspecto monolít ico, cerrado y alejado de la realidad...” (p. 377 ‐378)

poniendo de relieve, entre otras ideas, el papel de la resolución

de problemas como vertebrador del curriculum matemático,“...en el proceso histórico de construcción de las matemáticas, el razonamiento empírico ‐ inductivo.. . ha desempeñado un papel mucho más activo [que el deductivo].. . Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la solución de un caso particular.. . son auténticas pistas para elaborar proposiciones y teorías.. . la deducción formal suele aparecer.. .en una fase posterior.. .” (p. 378)haciendo explícito el

proceso empírico ‐ inductivo como característico del trabajo

matemático,

“... la construcción del conocimiento matemático es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos, de la intuición y de las aproximaciones inductivas impuestas por la realización de tareas y la resolución de problemas particulares.. . (p. 379)

o discutiendo el valor del desarrollo de procedimientos

disminuyendo el énfasis en aspectos conceptuales . . .t iene importantes implicaciones curriculares.. . la relación existente entre sus diferentes partes [del edificio



matemático] en cuanto a la util ización de estrategias o procedimientos generales que pueden util izarse en campos distintos o con propósitos diferentes.. .” (p. 381)

Como complemento a este análisis teórico les había

pedido que enunciaran un problema de matemáticas, apto para

un estudiante de educación primaria, que ejemplif icara todos

estos principios.

Destaco entre ellos el que enunciaré a continuación

porque permitió también contrastar actitudes y valores usuales

en el aula de primaria frente a las contenidas en las nuevas

orientaciones curriculares.

El problema era el siguiente:

“Tengo en el bolsi l lo monedas de 100, 50 y 25 pesetas. Si en total tengo 425 pesetas, ¿cuántas monedas tengo de cada?”

La primera reacción de parte de los estudiantes

cuando se enunció el problema fue emitir una leve protesta

argumentando que hay muchas posibil idades. Era como si

resolver problemas pasara por realizar tareas con solución única.

Les dije que, en efecto, el problema admitía más de una solución

y les pregunté si ello generaba algún problema y tuve la

impresión que, entre otros, les provocaba rechazo el hecho de no

poder contrastar “la solución” de cada uno con “la” de los

demás.

Una vez comenzado el proceso, los protocolos eran

tan variados como las estrategias que usaban, pero de forma



genérica, el proceso más común era “ir probando” con valores

concretos. En muchos casos, si este proceso culminaba en una

solución válida, no continuaban buscando más a pesar de que se

había comentado la existencia de múltiples soluciones. Para esa

mayoría lo importante en un problema no es el proceso o

procesos, no es aquello qué podamos aprender de ellos; lo

realmente relevante es “la solución”. Tampoco era relevante,

para ese grupo, analizar los intentos fall idos, retroceder sobre

los errores y extraer consecuencias que inspiren procesos

mejores.

Otro grupo, de menos estudiantes, obtuvo, ante mi

insistencia y mi cuestionamiento sobre el total de soluciones

posibles, cuatro o cinco soluciones más sin que entre ellas

mediara un procedimiento común o una relación conjeturada.

Fue una oportunidad para abordar el trabajo

sistemático como un valor educativo a desarrollar. Un trabajo

sistemático que valoran en otros, sobre todo en profesionales.

Jamás entenderían o aceptarían la superficial idad en el médico, el

abogado, el carpintero,.. . trabajar de esa forma no sistemática lo

consideran de “chapuzas”. Aceptaron entonces el reto de

intentar sistematizar lo que tenían ante ellos, aunque les parecía

que ya que habían obtenido “suficientes soluciones” deberían dar

el problema por concluido.

Una de las estudiantes procedió, entonces, como

sigue:

“Considerando que debo tener monedas de cada tipo, he partido de que no puede haber más de 3 de 100 y he ido dando valores. Si tomo 3 de 100, puedo tener como máximo 2 de 50, ya que debo tener al menos una de 25.



Ahora cambio una de 50 por dos de 25 y tengo otra solución. Ya no hay más soluciones con 3 de 100, así que ahora tomo 2 de 100 y así. . .”

Se nos iba l lenando la pizarra y alguien sugirió

que pusiéramos los valores en una tabla, cosa que hicimos:

De 100 De 50 De 25 TOTAL 3 1 3 7 3 2 1 6 2 1 7 10 2 2 5 9 2 3 3 8 2 4 1 7 1 1 11 13 1 2 9 12 1 3 7 11 1 4 5 10 1 5 3 9 1 6 1 8

Les pedí entonces que analizaran la tabla en busca

de regularidades. Al poco tiempo observaron que en la última

columna había varias sucesiones descendentes “7, 6”, “10, 9, 8,

7”, “13, 12, 11, 10, 9, 8”, así como que otras sucesiones similares

se producía en las otras columnas, de forma que la tabla podría

representarse, mediante particiones o grupos de valores como se

representa a continuación:



De 100 De 50 De 25 TOTAL 3 1 3 7 3 2 1 6 2 1 7 10 2 2 5 9 2 3 3 8 2 4 1 7 1 1 11 13 1 2 9 12 1 3 7 11 1 4 5 10 1 5 3 9 1 6 1 8

Les pregunté, entonces, si las 12 soluciones all í

representadas eran todas las posibles. De haber alguna más

estaría por encima o por debajo de las l íneas azul o roja, o por

encima de la amaril la. Pero ello significaría que en las segunda o

tercer columna, el valor que debería aparecer (siguiendo la

secuencia) es cero. Por tanto no cabían más soluciones.

Les animé, en el l ímite de la hora de la clase, a dar

un paso más, ante lo que se volvieron a sorprender (¿es que no

hemos acabado todavía?). Aproveché, entonces, un cálculo

realizado y abandonado por una estudiante al comienzo del

proceso:

425 25

17

Les hice observar que ese valor era el resultado de

traducir la última columna “cambiando a monedas de 25”. Es

decir, se trataba de encontrar 17, como alguien señaló,



combinando “grupos de 4 de 25”, que son las de 100, “grupos de

2 de 25”, que son las de 50 y monedas de 25.

Ya en el tramo final alguien aventuró que era como

resolver la ecuación:

4x + 2y + z = 17

Esta ecuación puede resolverse, considerando que

por el enunciado del problema x, y, z, son naturales y que x < 4,

dando a x los valores 3, 2 y 1 y resolviendo las distintas

ecuaciones de dos incógnitas que se generan; en definitiva,

obteniendo la tabla de valores anterior.

Como síntesis de la experiencia, reproduzco, a

continuación, las notas de una alumna que, desde el comienzo, se

ocupó más de la esencia que del “pretexto”.

“Los conocimientos procedimentales son útiles en la medida que sirven de vehículos para adquirir otros conocimientos. El objetivo f inal que debemos perseguir en la resolución de problemas es la adquisición de esos procedimientos. No se trata sólo de procedimientos, tenemos que promover un cambio de actitud, frente a la dinámica de resolución de problemas cerrados con soluciones concretas, es preciso ver los problemas como la oportunidad de crear estrategias, de aprender a ver. Un problema, por tanto, no debe concluir con una solución, es preciso fomentar una actitud sistemática [de búsqueda de mejores caminos, de análisis de las soluciones, de general izaciones]. Mediante la observación de regularidades podemos predecir la realidad”.



Básicamente éste era el mensaje que pretendía

movil izar en el aula, una forma distinta de construir un

conocimiento matemático de naturaleza distinta al conocido

por ellos, futuros maestros.

Aprender resolviendo problemas

Decía un poco antes que las dos opciones básicas

eran complementarias. Insisto en ello. Aprender a resolver

problemas conlleva el aprendizaje de herramientas heurísticas

que tienen sentido en sí mismas, pero aprender matemáticas no

es sólo aprender heurísticos. A través de algunos ejemplos

pondré de rel ieve que resolviendo problemas se construye tanto

conocimiento procedimental como conceptual.

1. De la división a la divisibil idad: el problema de los huevos de

gallina y pata

“El huevero tiene ante sí 6 cestas con huevos. Cada una tiene huevos de una clase: de gall ina o de pata. Cada cesta tiene, respectivamente, 6, 12, 14, 15, 23 y 29 huevos. El huevero dice (señalando a una cesta que no acierto a ver exactamente) que si vende esa cesta le quedará el doble de huevos de gall ina que de pata. ¿Podrías ayudarme a averiguar de qué cesta está hablando?”



Básicamente el problema puede abordarse por

tanteo o a través de divisibi l idad, aunque la primera opción

conduce de manera natural a la segunda.

El primer aspecto a destacar es que cualquier

estudiante de primaria puede abordar este problema: el reto no

está en los conocimientos que requiere y ello supone una apuesta

para el éxito y la motivación.

Si lo abordamos por tanteo no debemos olvidar

nuestro compromiso por la sistematización y el rigor y ello

supone, en este caso, que:

Hay que tomar conciencia de que hay 99 huevos

(divisible por 3)

Puesto que con lo que queda se constituyen tres

grupos iguales (el doble de uno que de otro), la

cantidad vendida ha de ser divisible por 3.

Así que la cesta buscada podrá ser la de 6, la de 12

o la de 15 huevos.

Ahora habrá que detraer, de 99, 6, 12 ó 15 con la

condición de que con los grupos que queden un subgrupo sea el

doble que el otro, lo que nos deja ante 12 como única opción.

Ahora bien, 87 permite más de un agrupamiento

posible en forma de 29 y 58:

6 y 23, frente a 14, 15 y 29

14 y 15, frente a 6, 23 y 29

29, frente a 6, 14, 15 y 23



Lo que supone, de hecho, tres soluciones posibles a

la pregunta implícita en el problema. Educar es i r más allá de la

mera respuesta; supone formar en una actitud abierta ante las

situaciones cotidianas.

Toma de decisiones, interpretación de mensajes

matemáticos cifrados, extensión del concepto de división son,

entre otros, aspectos conceptuales que se derivan de este

problema.

2. Sumas, pero más: trabajando marcha atrás.

“Tres personas deciden jugar a t irar monedas a ver si coinciden en cara o cruz. Cada uno arroja una moneda, y el que no coincide con los otros dos pierde. El perdedor debe doblar la cantidad de dinero que cada componente tenga en ese momento. Después de tres jugadas, cada jugador ha perdido una vez y tiene 240 € ¿Cuánto tenía cada uno al principio?”

Podríamos considerar la estrategia, considerar el

problema resuelto.

Ocurre a veces, de igual forma que observando un

cuadro, que también un problema se ve mejor cuando se mira

desde otra perspectiva distinta. Si te colocas en la situación final

y vas retrocediendo hasta la inicial , el camino es, a veces, más

claro.

Se util iza en los casos en los que conocemos lo que

denominamos objetivo o resultado final y el problema consiste



en determinar el conjunto correcto de operaciones que nos

l levará desde el estado inicial hasta el objetivo.

Frecuentemente lo más fáci l es partir del objetivo y

trabajar marcha atrás hasta el estado inicial . Una vez conseguido

esto, la solución es simplemente el estado inicial la misma serie

de pasos al revés.

Estos problemas también pueden resolverse hacia

delante, uti l izando Ensayo y Error en procesos normalmente

laborioso y trabajando marcha atrás simplif ica enormemente el

camino que nos conduce a la solución.

Al imaginar el problema resuelto, ya que éste es el

punto de partida para poder aplicar esta estrategia, aparecen los

datos más cercanos a lo que buscamos y más fáci lmente

encontramos el camino desde donde estamos hasta donde

queremos l legar.

En nuestro caso basta proceder como sigue:

Desarrollo del juego

Jugador nº 1

Jugador nº 2

Jugador nº 3

Después de la 3ª jugada 240 240 240

Después de la 2ª jugada 120 120 480 Perdió el

3º

Después de la 1ª jugada 60 420 240 Perdió el

2º

Al pr incipio 390 210 120 Perdió el 1º



3. Aprendiendo del ensayo y error: Las edades de un padre y un

hijo

"Un padre tiene 25 años más que su hijo. Entre los dos suman 43 años, ¿cuál es la edad de cada uno?"

La estrategia ensayo ‐error puede ser puesta en

práctica de formas diferentes, desde una opción fortuita a otra

en la que podamos aprender del error. Tenemos tres grandes

opciones:

Ensayo y error fortuito: Realizado sin pautas o al

azar.

Ensayo y error sistemático: Los valores no se

eligen a la ventura, sino de manera ordenada, de

forma que eliminemos las posibles repeticiones de

ensayo agotando las soluciones posibles hasta

encontrar lo que buscamos.

Ensayo y error dirigido: En él contrastamos cada

respuesta para ver si estamos más cerca o más

lejos del objetivo buscado.

En nuestro problema:

‐ En ensayo y error fortuito damos valores al azar sin

considerar los resultados que vamos obteniendo:

Hijo Padre (+25) Suma

10 35 45⊗

20 45 65 ⊗

12 37 49 ⊗

Etc.



‐ De forma sistemática se van dando valores de forma

ordenada hasta conseguir la solución


1 26 27 ⊗

2 27 29 ⊗

3 28 31 ⊗

Etc.

‐De forma dirigida, comenzamos por un valor cualquiera y

analizamos la consecuencia de nuestra decisión antes

de probar con un segundo valor:


10 35 45 (nos hemos pasado) sobran 2 años, uno de

cada uno ⊗

9 25 43 ☻

En este problema, la tabla que nos l leva a la

solución de forma dirigida nos está enseñando una pauta válida

para toda esta gama de problemas: observemos que siempre:

a) la suma menos la diferencia es el doble del valor

menor

b) la suma más la diferencia es el doble del valor mayor

4. Pensando en uno más fácil : Un reparto no equitativo

¿Cómo repartir 65 objetos entre 5 personas de manera que cada una tenga 3 más que en la anterior?



Para contrarrestar la tendencia habitual, suelo

decir que, al ser un problema de primaria, ha sido planteado para

que pueda resolverse sin usar álgebra; por lo tanto, deben

procurar resolverlo “como lo harían” los niños de 8 ó 9 años. Mi

intención al plantearlo es, fundamentalmente, incidir en la

importancia de los métodos intuitivos de resolución y la

necesidad de ayudar a los alumnos a reflexionar sobre ellos como

punto de partida para la construcción de herramientas

metacognitivas.

Tras dar un tiempo para resolverlo, una estudiante

para maestra (Yolanda), mostraba su proceso:

“He supuesto que todos tienen al menos uno. Así que he puesto 1 al primero y he ido añadiendo tres al segundo, seis al tercero y así. Me he dado cuenta de que todavía hay que repartir, pues sobran 30, así que he dado otro al primero y he vuelto a dar tres más al segundo y así. . .”.

En la clase se produjo un revuelo pues la mayoría

advirtió el error de Yolanda. No sin dificultades conseguí que la

dejaran continuar, a la vez que comprendía que la alumna no

había terminado el problema; tan sólo había conjeturado un

proceso y lo había iniciado sin pararse a pensar. Cuando Yolanda

hubo terminado se dio cuenta de que había repartido 5 más de lo

que podía. De nuevo fue preciso solicitar paciencia a los futuros

maestros, que querían “imponer” sus procesos, pero esta vez

hubo algo más. Yolanda, desconcertada con el valor total de 70

que había obtenido, tuvo la intención de borrar todo lo escrito en

la pizarra; intervine, entonces, para detenerla y pedirle que

reflexionara si todo era inválido, con lo que volvió sobre su



proceso tomando conciencia de que había duplicado la diferencia

de tres en la segunda parte de su proceso. Borró, por tanto, sólo

esta parte y, entonces, añadió sólo uno a cada uno de los grupos

construidos anteriormente. Comenzó a hacer lo mismo con los 25

que le quedaban y es entonces cuando se dio cuenta de que lo

podía “hacer todo de golpe, dividiendo 30 entre 5 y dando el

resultado, 6, a cada uno de los grupos” , idea que rondaba por la

clase desde hacía un rato.

Hay muchos mensajes implícitos y explícitos en mi

actuación ante la actividad; mensajes sobre la evaluación, sobre

la importancia del proceso, sobre cómo actuar ante el error de un

alumno, sobre cómo los alumnos pueden l legar a donde

queremos antes de lo que imaginamos (aunque esta alumna no es

comparable a un chico de primaria, su proceso de razonamiento

sí puede serlo). Dedicar unas pocas sesiones a analizar los

beneficios educativos de la resolución de problemas podría

convertirse en algo testimonial y anecdótico. Para comprender la

resolución de problemas como potenciadora de una actitud

abierta y una capacidad reflexiva, como ejemplificación de una

concepción dinámica del conocimiento (y la relatividad de la

verdad), como medio de visualizar una matemática integrada,

como facil itadora de la introducción de nuevos conceptos, para

comprender los procesos inductivos y deductivos, como medio de

mostrar la util idad de la matemática (como conceptos,

procedimientos y estrategias) en la vida, es necesario resolver

problemas.



ANEXO: DESCRIPCIÓN DE LAS TENDENCIA DIDÁCTICAS

La tendencia tradicional

En esta tendencia se conciben los problemas como

ejercicios que suelen ser propuestos por el profesor al f inalizar

un período de instrucción de corte teórico con la intención de

que se apliquen los conocimientos impartidos. Los problemas

suelen provenir de l istados externos (texto, l ibros de

problemas,.. .), extensos y sin una organización específica por el

profesor.

La perspectiva que implícitamente soporta esta

metodología es que aplicando la teoría se asimila y afianza

aquella. Coherentemente, los problemas están bien definidos

(con proceso y solución únicos), requieren unos conocimientos

concretos (los impartidos) y se resuelven por procesos

prioritariamente deductivos.

De esta manera se está asumiendo que se aprende

ampliando y reforzando el campo conceptual, mediante un

entrenamiento individual en los procesos formales y por

imitación de los esti los del profesor, con lo que los problemas

son monográficos y estandarizados. Así entendido el aprendizaje,

al alumno se le exige una capacidad que, de no poseer, le l leva a

la autoexclusión; en tal caso se dirá que al sujeto no le gustan los

problemas.

En este contexto, el alumno capta y repite esti los y

acepta procesos y resultados; su actividad se l imita a intentar



identif icar los conceptos o algoritmos a aplicar. El profesor es el

protagonista exclusivo del proceso; enuncia el problema, espera

y corrige (sancionando) las respuestas de los alumnos,

proporciona claves semánticas explícitas y, finalmente, expone su

resolución como la correcta.

De los productos de los alumnos se valora

fundamentalmente el resultado, calif icando ponderadamente sus

aspectos (expresión numérica, simplif icación,.. .). La evaluación

es, por tanto, un elemento sancionador donde lo correcto o

incorrecto queda determinado por el esquema previsto por el

profesor. Se valora la capacidad de recordar fórmulas y otros

hechos y la aplicación mecánica de los conceptos impartidos,

obviándose los esti los y estrategias personales. En las pruebas,

se valoran los problemas en la medida que éstos sirven para

comprobar la adquisición de la teoría. No se pueden cometer

errores; de detectar alguno hay que erradicarlo con la misma

mecánica que se util iza para la recuperación: el entrenamiento

para el refuerzo.

La tendencia tecnológica

La fi losofía reproductiva de la metodología en esta

tendencia l leva a que los ejercicios en que son convertidos los

problemas se suelan plantear como cuestiones teóricas, al final

de los temas y como aplicación de la teoría impartida. Provienen

de un l istado organizado según orden creciente de complejidad,

en una estructura de espiral conceptual, en función de los

conceptos que abarca.



La resolución de problemas se uti l iza para dotar de

un significado práctico a la teoría. No siempre se usan para el

mismo fin; a veces sirven para introducir un tema, otras para

sondear conocimientos previos, opiniones,.. . y otras como

modelo para conducir el hilo de la teoría. Los problemas suelen

tener proceso y solución únicos y, aunque se abordan

formalmente, mantienen una cierta vinculación con la realidad.

Ello pone de manifiesto la idea de que aplicando

sobre problemas monográficos se estructuran los conceptos.

Aprender, bajo este esquema, consiste en identificar los

elementos en los procesos formales de prueba y comprender los

esti los resolutores del profesor, con lo que los problemas son

estandarizados. Así entendido el aprendizaje, al alumno se le

exige una capacidad que, de no poseer, le l leva a la

autoexclusión. No obstante, a veces el contexto consigue

involucrar a estos sujetos.

En este contexto, el alumno capta y repite esti los y

acepta procesos y resultados; su actividad se l imita a intentar

asimilar los conceptos teóricos aplicándolos y reconstruyendo

procesos. El profesor es el protagonista principal del proceso,

aunque concede algún protagonismo al alumno; plantea y

contextualiza el problema, espera y corrige (con intención de

enmendar) las respuestas de los alumnos, proporciona claves

semánticas implícitas y explícitas y, f inalmente, expone su

proceso de resolución como el más correcto.

De los productos de los alumnos se consideran,

además del resultado, los pasos e intentos dentro de un marco

convencional. La evaluación es, por tanto, un elemento

sancionador donde los procesos se consideran adecuados o



inadecuados en función del esquema previsto por el profesor. Se

valora la capacidad de identif icar las nociones y algoritmos a

aplicar, obviándose los esti los y estrategias personales. En las

pruebas, se valoran los problemas en la medida que éstos sirven

para comprobar la capacidad de aplicar la teoría. Cuando se

detecta algún error se corrige en aras de obtener un mejor

producto f inal. La mecánica que se util iza para la recuperación es

el entrenamiento para el refuerzo.

La tendencia espontaneísta.

En esta tendencia, los problemas se conciben como

actividad potenciadora del descubrimiento, como vehículo para

potenciar el descubrimiento espontáneo de nociones. Se

seleccionan de forma aleatoria aquellos problemas cotidianos

más acordes con el contexto (que marca la secuencia) y el

ambiente de la clase.

Los problemas, desde esta perspectiva, sirven para

adquirir procedimientos, fomentar actitudes positivas y para

implicar a los alumnos en su aprendizaje. Son situaciones que

invitan a actuar, válidas para modelizar y sin un fin conceptual

concreto. Suelen identif icarse con problemas cotidianos que se

abordan de forma intuitiva (admitiendo, por tanto, múltiples

procesos) y que pueden poseer múltiples soluciones.

De esta forma, se establece que se aprende

dotando de significado a los conceptos, tomando conciencia de

las estrategias personales y potenciando los procesos intuitivos.

El trabajo más adecuado es el de grupos, en situaciones donde el



alumno se sienta capaz de crear (lo que le hace implicarse)

consiguiendo ampliar sus capacidades resolutorias.

El alumno suele desarrollar una actividad de

ensayo ‐error. Al ver que sus opiniones y aportaciones son

potencialmente relevantes mantiene una actitud empírica.

Hay un protagonismo compartido. El profesor

sugiere problemas y estimula en momentos clave manteniendo el

interés. En los atascos no proporciona claves semánticas

explícitas y, al final, aporta sus conclusiones a la resolución

colectiva.

La observación del proceso de resolución puede

permitir, en su caso, reorientar el proceso de aprendizaje y, por

tanto, la valoración de los problemas se hace desde una

perspectiva formativa. Se valoran el esfuerzo, la implicación, la

dinámica de grupos, las estrategias personales y el significado de

las nociones construidas. Se analiza la calidad de los procesos y

no preocupan los eventuales logros conceptuales. Ante

situaciones erróneas existe una l lamada de atención y, en

bloqueos graves, se procede a un cambio de actividad.

La tendencia investigativa

Los problemas tienen, en esta tendencia, un

carácter de instrumento institucionalizador de los aprendizajes

en un marco de social ización. Se resuelven problemas durante

todo el proceso de aprendizaje dentro de un marco flexible de

adquisición de conocimiento conceptual y procedimental. Se

organizan acorde con los objetivos planteados y su secuencia



responde a un enfoque procedimental inmerso en una red

conceptual organizada.

Se uti l izan para el aprendizaje de heurísticos y

toma de conciencia de procesos que permiten construir y

formalizar conceptos. Se resuelven incluso problemas abiertos,

se plantean situaciones en las que las condiciones iniciales son

susceptibles de ser modificadas para generar otros problemas y

sus múltiples vías de resolución, que concuerdan con los

procesos matemáticos de resolución (inducción ‐deducción)

pueden conducir a múltiples soluciones.

Para poder contribuir a la construcción de redes

semánticas, los problemas son polivalentes. Tienen como

objetivo la adquisición de esti los heurísticos y la potenciación de

aspectos metacognitivos que favorezcan la construcción

autónoma del conocimiento. Se combina el trabajo individual y el

de grupo, en situaciones donde el alumno se sienta capaz de

crear (lo que le hace implicarse) consiguiendo ampliar sus

capacidades resolutorias; hay una negociación final en gran

grupo.

El alumno aborda un problema como una

investigación, discute las aportaciones de los demás

cuestionando las suyas propias y analiza y pule su esti lo personal

de resolución. El profesor genera problemas, orienta, canalizando

las aportaciones positivas o negativas, en los atascos sugiere

heurísticos (pero no proporciona claves semánticas) y organiza la

discusión y la síntesis f inal.

La observación del proceso de resolución puede

permitir, en su caso, reorientar el proceso de aprendizaje y



conocer su evolución y, por tanto, la valoración de los problemas

se hace desde una perspectiva formativa. Se valoran las variables

personales, la adquisición de heurísticos, los significados

construidos y la relevancia de los mismos. Se discute la calidad de

los procesos con la intención de mejorarlos, se valoran las

estrategias personales y se analizan alternativas. Las situaciones

erróneas se aprovechan con un f in constructivo y, en bloqueos

graves, se procede a la simplif icación del problema manteniendo

intacta la estructura matemática subyacente.



NOTAS

1. Sin embargo, como establece Ernest (1992), ello no ha conducido hasta ahora a una traslación de esta filosofía a las aulas, donde la característica más destacable es el aprendizaje rutinario e instrumental. Para el autor, una de las razones de ello está, como ya comenté en el capítulo anterior, en la influencia negativa que los sistemas de creencias de los profesores han ejercido sobre estas orientaciones (Ernest, 1985).

2. Estas formas tienen una poderosa influencia en las actitudes que generan en los estudiantes. Schoenfeld (1987) identificó cuatro básicamente: entender la Matemática como un conjunto de procedimientos formales desligados de la vida real, que los problemas de Matemáticas se pueden resolver en 10 minutos o menos, que las formas de un argumento son más importantes que su fondo y que sólo los genios pueden hacer Matemáticas. Estas actitudes pueden y deben transformarse a través de la Resolución de Problemas. En estos mismos términos se expresan Garofalo y Lester (1985) y McLeod (1988, 1992) que han analizado también el papel de las emociones (placer/frustración) ante determinada tipología de problemas.

Como señala García (1992), hemos acostumbrado a los alumnos a identificar problemas con ejercicio y proceden intentando buscar en su memoria una réplica para "copiar" y, si pasados unos minutos no la encuentran, piden una clave al profesor.

En el mismo sentido, podemos contribuir a cambiar la visión de la valoración de los problemas, concediendo más importancia a los procesos que a los propios resultados y fomentando las estrategias personales como punto de partida (Flener, 1990; Charles et al., 1987).

Worth (1982) llama la atención sobre la necesidad de cambiar la concepción de problema que tienen los estudiantes para poder propiciar un cambio actitudinal que les permita afrontar las tareas de resolución de problemas desde una posición más autónoma, lejos del típico "¿qué hago?" (Lichtenberg, 1994).

3. En Von Glasersfeld (1991) puede encontrase información detallada sobre esta corriente de pensamiento a la que también pertenece Confrey.

4. Como decía Lester (1985, p. 66), "la intención principal de la instrucción en resolución de problemas matemáticos no es equipar a los estudiantes con una colección de estrategias y procesos, sino más bien hacerlos capaces de pensar por sí mismos. El valor de la instrucción en estrategias y procesos debería juzgarse en la medida en que las estrategias y procesos ayudan a formar un pensamiento flexible e independiente". También tienen cabida en este nivel el aprendizaje de las destrezas constructivas matemáticas (inducción, inducción



completa, deducción, reducción al absurdo,...) o de procedimientos discriminatorios (contra ejemplos, análisis de la dimensión de los problemas,...). Estos procesos, por tanto, no se entienden como meros "métodos, procedimientos, estrategias y heurísticos que los estudiantes usan en RP" (Branca, 1980, p. 4), sino también una forma de pensamiento en la resolución de problemas no algorítmicos. Esta forma de pensamiento incluye "la coordinación de conocimientos, experiencias previas, intuición, actitudes, creencias y varias habilidades" (Charles, Lester & O'Daffer, 1987, p. 7). Naturalmente, cabría en este apartado la presentación de los contenidos matemáticos mediante problemas o situaciones problemáticas (Polya, 1980; Kantowski, 1977; Putt, 1978).

5. En este trabajo me intentaré alejar de posturas radicales en cuanto a qué es y qué no es un problema. No obstante, el contraste entre las características de los ejercicios y las de los problemas puede arrojar luz sobre los distintos papeles que los profesores dan a los problemas en el aula. A tal respecto, como dice Lichtenberg (1994), desde el NCTM se sugiere no utilizar el término problema a actividades de cálculo descontextualizadas.

6. La dicotomía creatividad/rutina es utilizada a veces como elemento clasificador de los problemas. Así LeBlanc et al. (1980) los clasifican en estandarizados (caracterizados por la identificación y aplicación de algoritmos) y de proceso, con tareas no algorítmicas.

7. También el momento del aprendizaje en que son planteados los problemas suele ser un criterio clasificador; en este caso, los problemas de aplicación de Kransky (1987) ocuparían los momentos finales de una unidad. Este autor también distingue entre problemas de traducción y no rutinarios.

8. En esta línea se sitúa Ponte (1991) que orienta los problemas escolares desde tres perspectivas: problemas de la vida para los que el alumno dispone de conocimiento suficiente, situaciones del mundo real que pueden explorarse con diferentes procedimientos matemáticos e investigaciones abiertas.

9. Estos niveles se refieren al grado de compromiso o evolución del resolutor desde la perspectiva del instructor.

10. El autor utiliza el término institucionalizar en el sentido de hacer explícito y organizar el conocimiento adquirido bajo una estructura coherente.

11. Aunque, como señala Gouveira (1996) hay características que podrían considerarse como objetivamente diferenciales, en cuanto al tipo de datos, el tipo de proceso y solución, el obstáculo que supone, el papel del alumno o las capacidades que exige.

12. A lo largo de este epígrafe iré destacando en negrilla aquellos aspectos de los trabajos revisados que me proporcionarán indicadores para la elaboración de un instrumento de segundo orden con el que analizar y catalogar los datos de los profesores referidos al papel que otorgan a la resolución de problemas.



13. Entre estos factores puede estar la propia administración educativa. Un estudio reciente (Roulet, 1996) ha puesto de manifiesto que, a veces, las reformas curriculares no alcanzan el nivel de la formación de algunos profesores en el ámbito de la resolución de problemas y dificultan, por ello, la puesta en práctica de una verdadera concepción investigativa de la enseñanza. En mi modesta opinión, desgraciadamente, ese no es nuestro caso.

14. Recordemos los trabajos de Thompson (1985). Allí, la autora señalaba que uno de los aspectos donde mejor había evidenciado las diferencias entre concepciones y práctica fue en el papel otorgado a la resolución de problemas en el currícula matemático.



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