division por horner-trilce modificado
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División algebraica I(Método de Horner)
Como ya sabes, las cuatro operaciones aritméticasfundamentales son:
SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN
+ - x De igual manera, en el Álgebra se verán estas cuatro
operaciones.
Así, por ejemplo:
• SUMA
• RESTAy
• PRODUCTO
+
+
• DIVISIÓN
Fueron vistas en los dos prime-ros capítulos del bimestre (ope-raciones con polinomios I y II).
Fue visto durante las dos últi-mas clases. (Capítulos III y IV:Productos notables I y II).
¡¡Es el capítulo de hoy!!...
Parte teórica
Para dividir polinomios, existen tres métodos:
1. Método clásico2. Método de William Horner3. Método de Paolo Ruffini
Sin embargo, sea cual fuere el método que usemos, esnecesario que los polinomios a dividir estén completos yordenados en forma descendente.
• Polinomio completo (con respecto a una variable)
Significa que el polinomio debe poseer todas laspotencias, de la variable en referencia, inferiores a sugrado.
Ejemplos:
1. P (x) = 5x2 - 2 + 7x + 9x3
2. 11x)x(2x27x2Q 2223
)x( +−+−=
3. S(z) = z3 + 5 - 6z + z2
• Polinomio ordenado (con respecto a una variable)
Para dividir polinomios, el ordenamiento de losexponentes de sus variables debe ser en formadecreciente, partiendo desde su grado.
Ejemplos:
5x - 2x + 7x + 1P 23)x( =
y + y + y + y + 1Q 23)y( = 4
z + z + z - 1S 2)z( = 3
Observa losexponentes delas variables.Los dos primerospolinomios estánordenados.El último no.¿Por qué?
1.
2.
3.
Hoy, estudiaremos la división mediante el "Método deHorner".
Método de Horner
En la división:
P(x) Q(x)
S (x)T(x)
• P(x) es el DIVIDENDO • Q(x) es el DIVISOR• S(x) es el COCIENTE • T(x) es el RESIDUO
En el método de Horner, se hará uso del siguientediagrama:
el cuál será llenado de la siguiente manera:
Estoscoeficientessí cambiande signo
Estecoeficienteno cambiade signo
COEFICIENTES DEL DIVIDENDOC
OEFDELDIVISOR
Aquí irán los coeficientedel cociente
Aquí irán loscoeficiente del residuo
ÁlgebraMediante operaciones entre los coeficientes dados
(DIVIDENDO Y DIVISOR) se obtendrán los coeficientesrequeridos (COCIENTE Y RESIDUO), los cuales permitiráncalcular los polinomios resultantes.
resueltos
1. Dividir:
2xx2x3xxx
2
432
+++−+−
Resolución:ordenando el polinomio dividendo:
2xx2x3xxx
2
234
+++−+−
1-1-2
1
1
-1-1
-2
1-221
-34-10
2
-20
luego:cociente: Q(x) = x2 - 2x + 1resto: R(x) = 0
2. Efectuar la división de polinomios:
3xx42x3x16x5x14x8
2
2345
+++++++
Resolución:
4-1-3
8
2
14-2
3
5-6-3
-1
16
-91
2
3
3-24
2
-6-4
cociente: Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2residuo: R(x) = 4x - 4
3. Hallar “m”, “n” y “p”; si la división no deja resto:
6x2x3pnxmxx14x9x12
3
2345
−+−+−+−
Resolución:
30-26
12
4
- 90
-3
14-80
2
- m2460
(-m+30)
n
-18-4
(n-22)
-p
12
(-p+12)
como la división no deja resto, entonces: -m + 30 = 0 → m = 30 n - 22 = 0 → n = 22 -p + 12 = 0 → p = 12
4. Calcular “p” y “q”, si la división es exacta:
5x6xqpxx
2
24
++++
Resolución:ordenando y completando:
5x6xqx0pxx0x
2
234
+−++++
16-5
1
1
06
6
p-536
p+31
0
-306p+186
(6p+156)
q
-5p-155(-5p+q-155)
como es exacta:
6p + 156 = 0 26p6
156p −=→−=→
-5p + q - 155 = 0 → -5(-26) + q - 155 = 0
q = 25
Bloque I
1. Dividir:
2x5x35x3x25x6
2
23
el residuo es:
a) 2x - 5 b) -26x + 5 c) x+ 5d) -6x + 25 e) 5x - 2
2. Al dividir:
5x39x18x19x6 23
su cociente es:
a) 2x2 - 3x + 1 b) 2 + 3x + x2
c) 2x2 + 3x + 1 d) 4e) x2 - x + 1
3. Si dividimos:
1xx21xx2x4
2
34
División algebraica I
su residuo es:
a) 2x2 + 1 b) x - 1c) x2 + x + 1 d) x + 1e) 0
4. Al dividir:
6x5x4x5x15x126x22
2
342
el residuo es:
a) x + 1 b) 0 c) x2 - 1d) x - 1 e) 5
5. Dividir:
1xx1xx2x4
2
23
e indicar el cociente.
a) 3x - 7 b) 4x - 6 c) 4x - 7d) 3x - 6 e) 0
6. Dividir:
3x5x227x65x38
2
34
; dar su residuo.
a) 0 b) 19x2 + 5xc) 5x d) 19e) 1
7. Hallar el cociente de la siguiente división:
(x3 + 5x2 - 7x + 5) (x2 + 2x - 3)
a) x + 5 b) x2 + 3c) x + 3 d) -10x + 14e) 10x - 14
8. Hallar el residuo de la división:
1x3x5xx2x3x
2
234
a) x2 + 1 b) 4x - 6 c) -2d) -6 e) 4x
9. Al efectuar la siguiente división:
(4x4 + 13x3 + 25x + 12 + 28x2) (4x2 + 6 + 5x)
el residuo es:
a) 2x + 6 b) -(2x + 6)c) -6+2x d) x - 2e) -2x + 6
10.En el siguiente esquema de división:
1-1
2
a
2
4
2
b5
d
-4c
3
-2 -41
7
92
Hallar la suma de "a + b + c + d"
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12
11.Si la división:
3x3xnmxx13x2x
2
235
es exacta, hallar "m + n".
a) 9 b) -9 c) 24d) -12 e) 12
12.Si la división:
2xxmx5nxx4x2
2
234
; es exacta,
hallar "m + n"
a) 2 b) 13 c) 9d) 8 e) 19
Bloque II
1. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:
2xx28x4x2x5x2
2
234
a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 13
2. Calcular la suma de coeficientes del cociente luego dedividir:
2x6x53x7x6xx5
2
345
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
3. La suma de los coeficientes del cociente y residuo de lasiguiente división:
3x2x3xx3x
2
23
, es:
Álgebraa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Hallar el residuo al dividir:
2xx39x7x10x18x7x6
23
2345
Dar como respuesta un término del residuo.
a) - x
2 b) -x c) 2d) -1 e) x
5. Si la división:
2xxnmxx5x3x
2
234
; es exacta, hallar "n".
a) 12 b) 10 c) 8d) -6 e) -10
6. Calcular el valor de "" para que:
(x5 - 3x4 + 2x2 + 4)
sea divisible por "x - 2".
a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 6
7. Hallar "m+n+p", si la división:
7x5x4x3pnxmxx7x17x6
23
2345
es exacta.
a) 22 b) 18 c) 17d) 25 e) 28
8. Hallar "a" para que el residuo de la división:
2axaaxaxx 223
, sea "5a + 11".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
9. Dividir:(9xa+2 + 3xa+1 + xa + xa-1) (3xa - xa-1)
Dar su cociente.
a) 3x2 + 2x + 1 b) x2 + x + 1c) 2x2 + x + 3 d) x2 + 2x + 3e) 1
10.Dividir:
a1a1aa2a3a x2x3x4x
316x
25x6
Dar su cociente:
a) x2
31x
21x2 2 b) 3
1x21x2
c) 31x
21x2 2 d) x
2x31x2
e) N.A.
Bloque III
1. Hallar “A + B” si la división:
3x2x2BAxx3x2
2
24
+++++
es exacta.
a) 2 b) 4 c) 5d) 12 e) 13
2. Calcular el cociente de la siguiente división:
1xx3BAxx2x5x3
2
234
+++++−
a) (x - 1)2 b) (x + 1)2 c) x2
d) x2 - 1 e) x2 - 1
3. Indicar el cociente de la siguiente división:
1x3x26x2xx9x2
2
234
+−++++
a) (x + 3)2 b) (x - 3)2 c) x2 + 3d) x2 - 3 e) x2
4. Determinar “A + B” en la siguiente división exacta:
1x5xBAx8x2x9x2
2
234
+−+++−
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. La siguiente división:
1xxmxmxx4x3
2
234
++++++
deja como resto 4, calcular “m”
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. La siguiente división:
1xxmx4mxx3x5
2
234
+−+++−
deja como residuo: (x + 3), calcular “m”
División algebraica I
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. Calcular “n” en la siguiente división exacta:
4x2x4x6nxnxnx
2
234
++−−++
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. Calcular “n” en la siguiente división exacta:
2x3x32x52nx3nx2nx
2
234
−+−+++
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
9. Determinar “A . B”, si en la siguiente división el cocientey residuo son idénticos.
2x2xBAxx6x
2
23
+++++
a) 130 b) 132 c) 134d) 136 e) 138
10.Determinar “A . B”, si en la siguiente división el cocientey residuo son idénticos.
3xxBAxx2x
2
23
−−++−
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
Autoevaluación
1. Hallar el cociente de:
1x1xx 24
a) x3 - x2 + 2x - 2 b) -x2 - 2c) x3 + x2 + x - 2 d) x3 - 2x + 1e) x2 - 1
2. Calcular el residuo al dividir:
1x2x2x2x 23
a) 85
b) 31
c) 817
d) -1 e) 31
3. Al dividir:
3x27x3x8xx2 234
indicar el término independiente del cociente.
a) 6 b) -6 c) 2d) 4 e) -3
4. Indica el residuo al dividir:
1x2
5,03xx2x 23
a) 121
b) 481
c) 241
d) 121
e) 241
5. Dividir:
(12x4 - 7x3 - 74x2 - 7x + 12) (3x2 - 7x - 4)
Indicar un término de su cociente.
a) -1 b) -3 c) -7xd) -4x2 e) 0