Divisin Algebraica II

5 Secundarialgebra

Formando Ingresantes Desde el Colegio!

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Mtodo de RuffiniSe utiliza tambin para dividir polinomios, y se aplica cuando el divisor es de la forma:

o para cualquier expresin transformable a sta.Se trabaja slo con coeficientes.

REGLAS O PASOS A SEGUIR:

I. Se verifica si el polinomio dividendo est completo y ordenado. En caso falte uno o ms trminos, stos se completarn con ceros.II. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo, en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y sta se coloca en un ngulo inferior izquierdo del esquema. (Segunda fila)III. Se baja el primer coeficiente del dividendo, siendo ste el primero del cociente. Luego este valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la primera fila y en la tercera columna.IV. Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior, tantas veces, hasta que la ltima operacin efectuada caiga debajo del ltimo coeficiente del dividendo, es decir en la segunda fila y ltima columna.V. Se reduce esta ltima columna y el resultado ser el valor del resto, y este siempre ser un valor numrico.

Ejemplo 1:

Dividir entre .

Resolucin:Para dividir por el mtodo de Ruffini se disponen los coeficientes del dividendo y el valor que anula al divisor en un esquema como el siguiente:

Procedimiento:Se baja el primer coeficiente del dividendo, debajo de la lnea horizontal, el cual se multiplica por el valor de x que anula el divisor (en este caso 2) y el producto se coloca en la siguiente columna. As:Reducimos esta segunda columna, escribiendo la suma, la cual se debe multiplicar por el valor que anule el divisor y escribir el producto en la siguiente columna y as sucesivamente.

Cociente: Residuo:

Ejemplo 2:Dividir:

Resolucin:

Cociente: Resto:

Ejercicios Propuestos

1. Hallar la suma de los coeficientes del cociente:

a) b) c)

d) e)

2. Hallar el cociente al dividir:

a) b) c)

d) e)

3. Hallar el residuo de la divisin en:

Sabiendo que su cociente toma el valor numrico de 2; para a) 3b) 1c) 3d) 2e) 44. Hallar el residuo de:

a)b)c) 2d) 5e) 2

5. En la divisin:

Calcular la suma de coeficientes del cociente:

a) b) c)

d) e) 0

6. Al efectuar la divisin:

se observa que la suma de los coeficientes del cociente y el resto es cero, el valor de ste ltimo es:a) 1b) 4c) 2d) 8e) 2

7. Hallar el resto de dividir:

, entre sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 37.a) 46b) 45c) 44d) 43e) 42

8. Calcular a en:

Si:a) 2b) 1c) 0d) 1e) 2

9. Dividir:

Dar como respuesta el trmino independiente del cociente.

a) 6b) c)d) 5e) 8

10. Al dividir:

la suma de coeficientes del cociente es igual al resto. Calcule el valor de ka) 5b) 4c) 3d) 2e) 7

11. Calcular el resto que se obtiene de dividir:

Sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 25.a) 10b) 25c) 15d) 6e) 2012. Calcular si la suma de los coeficientes del cociente es 256 y el resto es 24.

a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

13. Determinar la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir:

a) 165b) 162c) 163d) 164e) 161

14. Halle el resto de dividir: , sabiendo que en esta otra divisin:

se obtiene un cociente entero de coeficientes es igual al doble de los del residuo.

a) b) c)

d) e)

15. Hallar el trmino independiente del cociente de dividir:

a) b) 30c)

d) 60e)

16. Hallar el valor de "a" si al dividir:

entre se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su resto.a) 13b) 155c) 160d) 163e) 165

17. Al dividir:

se obtuvo como resto: . Calcular ma) 1b) 4c) 3d) 2e) 5

18. Calcular el trmino independiente del cociente de:

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

19. Hallar la suma de coeficientes del cociente de dividir:

a) b) c)

d) e) 20. Dividir por Ruffini y dar como respuesta la suma de coeficientes del cociente.

a) b) c)

d) e)

21. Al efectuar la divisin:

el trmino independiente del cociente es ; halle el grado del dividendo:a) 13b) 23c) 33d) 18e) 19

22. Cuando se divide:

el cociente es:

Calcular

a) 11b) c)

d) e)

23. En el esquema de Ruffini:

Halle: a) 13b) 9c) 6d) 16e) 27

24. Halle el cociente de la siguiente divisin:

D como respuesta la suma de sus coeficientes:a) 36b) 360c) 511d) 512e) 0

25. Sea N el producto de los coeficientes del cociente de:

Luego: , es:

a) b) c)

d) e)

26. Para la divisin:

Si R es el residuo de la divisin es S la suma de coeficientes del cociente.

Calcular:

a) b) c)

d) e) 27. Si los coeficientes del cociente entero de dividir:

son nmeros consecutivos es .

Calcular a) 21b) 22c) 23d) 16e) 17

28. En la siguiente divisin:

Determinar el resto para que la suma de coeficientes del cociente sea 93.a) 10b) 14c) 18d) 20e) 22

29.

Un alumno se equivoca en la escritura de uno de los coeficientes del polinomio de modo que al dividirlo entre obtiene como resto. Indicar el posible valor del coeficiente incorrecto.

a) b) c)

d) e) 6

30. Hallar la suma del residuo y la suma de coeficientes del cociente de dividir:

a) b) c)

d) e) 6

Teorema del Resto

El teorema del resto o de Descartes se utiliza con la finalidad de hallar el residuo en una divisin sin efectuar la operacin, la operacin se realiza entre un divisor binomio de la forma o cualquier otra expresin transformable a sta.

RECOMENDACIONES:I. Igualar el divisor a ceroII. Calcular un valor para xIII. El valor de x se reemplaza en el dividendo y el valor obtenido es el resto de la divisin.

Lema o Enunciado De Descartes

Dado un polinomio como dividendo y un divisor de la forma .

Para calcular el resto en forma directa, se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y sta se reemplaza en el dividendo.

CASOS QUE SE PRESENTAN:

CASO I:

Ejemplo 1: Hallar el resto de dividir

Resolucin:

Igualamos el divisor a cero:

Este valor de:

Lo reemplazamos en el dividendo

Rpta.

CASO II:

Ejemplo 1: Hallar el resto de dividir:

Resolucin: Primero procedemos a hacer un cambio de variable:

Luego trataremos de colocar el dividendo en funcin de : Reemplazando:

De la misma forma con el divisor: Ahora igualamos el divisor a cero:

Este valor de lo reemplazamos en el dividendo para hallar el resto.

Rpta.

Ejercicios Propuestos

1. Hallar el residuo de dividir el polinomio:

entre

a) b) c)

d) e)

2. Hallar el residuo en:

a) b) c) 2

d) e) 0

3. Hallar la suma de coeficientes del residuo de la divisin:

a) 10b) 12c) 11d) 13e) 144. Halle el residuo de la siguiente divisin:

a) b) c)

d) 1e)

5. Hallar el resto:

a) 1b) 2c) 4d) 6e) 7

6.

Si: , . Hallar el resto de dividir

a) 1b) c) x

d) e) 0

7. Calcular el resto de dividir:

a) 129b) 513c) 257d) 255e) 128

8.

Al dividir: entre

Se obtuvo como resto:

Determinar:a) 2b) 3c) 4d) 2e) 1

9. Hallar el resto en:

a) 2b) 4c) 4d) 2e) 41

10. Calcular el resto de la siguiente divisin:

a) b) c)

d) e)

11. Hallar el resto en la divisin

a) 8b) 16c) 15d) 18e) 256

12. Calcule el resto de:

a) 2b) 0c) 5d) 7e) 8

13. El resto de dividir

; es:a) 34b) 35c) 64d) 3e) 3014. Calcular "n" si el residuo de la divisin:

es: ; "n" es par.a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1

15. Calcular el resto de:

a) b) c)

d) e)

16. Si el resto en:

es de la forma: . Calcular: a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

17. Si el resto de dividir:

entre es 2; hallar: a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

18. Hallar el resto al dividir:

a) b) c)

d) e)

19. Si la divisin:

es exacta, los coeficientes del resto suman:a) 2b) 1c) 2d) 1e) 0

20. Calcular k para que el polinomio:

sea divisible por a) 1b) 2c) 3d) 4e) 2

21. Hallar el resto en:

a) b) c)

d) e)

22. Indicar el resto de la divisin:

a) b) c)

d) e) 23. Calcular el residuo al dividir:

a) b) c) d) 0e) 1

24. Hallar el resto en.

a) 0b) 8c) 16d) 1000e) 8000

25. Calcular el residuo al efectuar:

a) b) c) d) 1e) 0

26. Hallar el resto en:

a) 21b) 27c) 24d) 29e) 25

27. Siendo n un nmero natural, el resto de la siguiente divisin:

; es:

a) 0b) 1c)

d) 2e)

28. Encontrar el valor de m para que la siguiente divisin:

sea exacta.

a) b) 9c) 4d) 0e) 8

29. Qu valor debe tener m para que el polinomio:

Sea divisible entre

a) b) c)

d) e)

30. Determinar el resto de la divisin:

a) 20b) 19c) 18d) 17e) 16

Divisibilidad algebraicaTEOREMA 1

Un polinomio es divisible por otro si existe un polinomio de modo que:

Esto implica que la divisin de entre da como cociente exacto, por lo que el resto ser un polinomio idnticamente nulo.As en:

; Si:

Este criterio trae como consecuencia al Teorema del Factor.

TEOREMA 2

Si un polinomio se anula para , entonces dicho polinomio ser divisible por o lo contiene como factor.

En consecuencia; conocido un .Si:

es divisible por

es divisible por

es divisible por

TEOREMA 3

Si un polinomio es divisible separadamente por , y , entonces dicho polinomio ser divisible por el producto: Es decir:Si:

Entonces:

TEOREMA 4

Si al dividir un polinomio entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas nos dar como resto dicho resto comn:

As sea un polinomio cualquiera, y:

Entonces: EjemploHallar el residuo de la divisin:

Resolucin:Para hallar el residuo de dividir.

Por ser de segundo grado el divisor, el resto ser de primer grado; es decir, de la forma:

Ahora aplicaremos el algoritmo de la divisin:

Aplicando:

Ahora por ser una identidad debe cumplirse para cualquier valor de la variable x

Entonces lo que hacemos es darle valores a la variable x, convenientemente de manera que anulen el cociente o se haga cero.

Partimos dndole el valor de , y lo reemplazamos en la identidad.

Ahora

Resolviendo I y II, tendremos que:

y

Y como el residuo es:

Reemplazamos los valores obtenidos:

Ejercicios Propuestos

1.

Al dividir un polinomio entre se obtiene como residuo: . Calcular el residuo que se obtiene de dividir dicho polinomio entre .a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

2.

Un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente es la unidad es divisible por y por " y al dividirlo por como resto 20.

Qu resto dara al dividir dicho polinomio por ?

a) 8b) c) 12

d) e) 0

3.

Si es un polinomio entero en x de tercer grado divisible separadamente por y cuya suma de sus coeficientes es 18 y su trmino independiente 8, el polinomio es:

a)

b)

c)

d)

e)

4.

Si se divide un polinomio entre se obtiene como resto. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre .

a) b) c)

d) e)

5.

Si es un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente es la unidad divisible separadamente por y siendo la suma de sus coeficientes igual a 10, el polinomio es:

a)

b)

c)

d)

e)

6.

Si un polinomio de tercer grado en m es divisible separadamente entre y , sabiendo adems que la suma de sus coeficientes es 12 y su trmino independiente es 12. Determinar su coeficiente lineal:

a) 5b) c)

d) e) 12

7.

Calcular el trmino independiente de un polinomio de quinto grado en a que sea divisible entre y que al dividirlo separadamente entre y . Los restos obtenidos son 7 y 232, respectivamente.

a) 10b) c)

d) e)

8.

Encontrar un polinomio de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre , y se obtenga siempre el mismo residuo 6 y al dividirlo entre el resto sea 42. Dar como respuesta la suma de los coeficientes:

a) 95b) c)

d) e)

9.

Un polinomio de cuarto grado en t es divisible entre , tiene raz cuadrada exacta al dividirlo entre y , los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes:a) 36b) 40c) 39d) 37e) 3810.

Determinar el resto de la divisin por de un polinomio que dividido por da como residuo y que al dividirlo por da como residuo Calcular la suma de coeficiente del residuo:

a) 2b) 4c) d) 3e) 5

11.

Hallar el valor de n que permite que la divisin algebraica: tenga en el cociente como trmino independiente a 1820, sabiendo que el residuo de la divisin de la misma es .a) 1b) 1/2c) -1/2d) 5/4e) -3/4

12. Luego de efectuar una divisin de dos polinomios en x el producto de la suma de coeficientes del divisor y cociente es 15. La diferencia de los cuadrados de la suma de coeficientes del dividendo y el resto es 180. Cunto suman los coeficientes del dividendo y el resto?a) 10b) 12c) 13d) 16e) 18

13. En la divisin de 2 polinomios, se sabe que todo el cociente como el resto obtenido, son polinomios completos de 10 y 17 trminos respectivamente. Si el residuo tiene el mximo nmero de trminos que debe tener, luego el grado del dividendo es:a) 24b) 25c) 26d) 27e) 28

14.

Hallar el residuo de la divisin de por sabiendo que el trmino independiente del cociente es 5 y que a) 3b) 6c) 8d) 9e) 10

15.

Se divide un polinomio por y resulta un cociente y un residuo Cul es el valor de la suma de los coeficientes de si la suma de coeficientes de es 66?a) 1b) 2c) 4d) 8e) 10

16.

Calcular el valor de sabiendo que el polinomio:

Sea divisible por y a) 8b) 9c) 10d) 12e) 15

17.

Al dividir un polinomio se encuentra que el trmino independiente del dividendo es y el divisor es . Hallar el trmino independiente del cociente; si el trmino independiente del resto es .a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 18.

Al dividir entre se obtuvo de residuo . Calcular el resto de dividir entre .

a) b) c)

d) e)

19.

Si un polinomio de tercer grado que sea divisible separadamente entre y tiene como suma de coeficientes y trmino independiente a y , respectivamente. Hallar el trmino lineal del polinomio .

a) b) c)

d) e)

20.

Al dividir un polinomio entre se obtuvo como residuo y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a . Encontrar el residuo de dividir entre .a) 3b) 5c) 7

d) e)

21.

Un polinomio de tercer grado; es divisible entre ; pero al dividirlo entre ; y deja siempre residuo 10. Hallar la suma de coeficientes del polinomio .

a) 6b) c)

d) e)

22.

Un polinomio de tercer grado (polinomio mnico) es divisible por y por y al dividirlo por da como resto . Hallar el resto del polinomio entre .

a) b) c)

d) e)

23.

Indicar el trmino independiente de un polinomio de tercer grado tal que al dividirlo por ; y ; d el mismo resto 20 y adems que sea divisible por .a) 4b) 14c) 36d) 18e) 1024.

Un polinomio de variable x es divisible entre: y tiene por trmino independiente 2 y por grado n. Sabiendo que disminuido en 9 y 388 es divisible entre y , respectivamente; el valor de n es:a) 5b) 7c) 9d) 8e) 3

25.

Al dividir entre el cociente entero resulta ; el resto . Al dividir: entre el residuo resulta . Determine el residuo de dividir: entre , e indique como respuesta el coeficiente principal del residuo.a) 2b) 5c) 4

d) e)

26.

Un polinomio de sexto grado, tiene raz cuadrada exacta; es divisible separadamente entre y ; si se divide entre ; da de resto 225, entonces el valor de la suma de sus coeficientes es:a) 576b) 144c) 81d) 500e) 1

27.

Dividir entre lamentablemente, el problema fue mal copiado por un alumno, ya que ste invirti el orden de los coeficientes del divisor. Hallar la diferencia del residuo de la divisin del problema original menos el residuo encontrado por dicho alumno.

a) b) c)

d) e)