Distribuciones discretas de Probabilidad

Contenidos

Variables aleatoriasDistribuciones discretasValor esperadoDistribución BinomialDistribución GeométricaDistribución Binomial NegativaDistribución HipergeométricaDistribución de Poisson

Variables aleatorias

Es una descripción numérica del resultado de un experimento aleatorioDe acuerdo a lo anterior las podemos clasificar como discretas o continuasLas discretas son variable aleatorias con un rango finito ( o infinito contable)Las continuas son variables que pueden asumir cualquier valor en un intervalo o conjunto de intervalosUna forma de determinar si una variable es continua o discreta es imaginarse que los valores de esa variable son los puntos en una recta numérica

Distribución de probabilidad

La distribución de una variable X se define como una descripción del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valoresPara una variable aleatoria discreta la distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad, representada por f(x). Donde esta función define la probabilidad de cada valor de la variable analizada

Las condiciones requeridas para una función son:

1

( ) ( )

( ) 0

( ) 1n

i

f x P X x

fx x

fx x

Cantidad discreta

Pro

babi

lida

d

Función de probabilidad uniforme discreta: es la representación más sencilla de distribución de probabilidad, se define como:

Valor esperado de una variable aleatoria discreta es una medida de localización central de una variable aleatoria. Es un promedio ponderado de los valores que puede tener una variable en donde los factores de ponderación son las probabilidades y se expresa de acuerdo a:

( ) /f x x n

1

( ) ( )n

ii

E x x f x

Varianza de una variable aleatoria discreta es una medida de dispersión o variabilidad y corresponde a promedio ponderado de las desviaciones de una variable aleatoria respecto a su promedio, elevadas al cuadrado

2

2

1

( ) ( )n

ii

Var x x f x

Ejercicio

Dada la siguiente tabla de distribución de probabilidades de una variable aleatoria y.

Determine si es correcta la distribución de probabilidadesCalcule E(y)Calcule Var(y) y d.s(y)

y F(y)

2 0.20

4 0.30

7 0.40

8 0.10

Total 1.00

Distribución Binomial

Es una distribución discreta de probabilidad conocida por sus variadas aplicaciones que se relaciona con un experimento de etapas múltiplesUn experimento binomial tiene cuatro propiedades:

1. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o Fracaso

2. La probabilidad de éxito (∏), sigue siendo constante de un ensayo al siguiente, al igual que lo hace la probabilidad de fracaso (1-∏).

3. La probabilidad de un éxito en un ensayo es totalmente independiente de cualquier otro ensayo.

4. El experimento debe repetirse muchas veces

Distribución Binomial

Ejemplos:1. El lanzamiento de una moneda repetidas veces

cumple con las propiedades del DB.2. Los sindicatos desean saber que los

trabajadores desean o no unirse al sindicato.3. Los banqueros hacen encuestas a los expertos

en economía sobre si las tasas de interés aumentarán o no.

4. El personal de mercadeo de una compañía de calzado desea saber si un consumidor prefiere o no su producto.

5. Un candidato a una posición de gobierno local o estatal desea saber si cuenta o no con respaldo popular.

Un ejemplo de distribución Binomial es determinar la probabilidad de que en n intentos al lanzar una moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso)La fórmula combinatoria de n objetos seleccionados en un grupo proporciona la cantidad de resultados experimentales que resultan en x éxitos

Cantidad de resultados experimentales con exactamente x éxitos en n intentos

También es necesario conocer la probabilidad asociada a cada uno de los resultados experimentales el cual se puede determinar a través de la siguiente relación

)!(!

!

xnx

nnCx

)()1( xnx

Combinado las dos expresiones obtenemos la función de distribución Binomial

Donde: ∏= éxito; (1-∏)= fracason= número de observaciones; x=número estbalecido de éxitos

)()1(*)!(!

!)( xnx

xnx

nxf

Valor esperado de la distribución binomial de probabilidad

Varianza de la distribución binomial de probabilidad

nxE )(

)1()( 2 nxVar

Distribución Poisson

Es una distribución de probabilidad que muestra la probabilidad de x ocurrencias de un evento en un intervalo especificado de tiempo o e espacioLas propiedades de un experimento de Poisson son:

La probabilidad de una ocurrencia es igual (constante) para dos intervalos cualesquiera de igual longitud (tiempo y espacio)La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo

La distribución de Poisson se expresa como: (x = cantidad de ocurrencia)

Se puede usar esta distribución de probabilidad como una aproximación de la distribución binomial cuando ∏, la probabilidad éxito es pequeña y n, la cantidad de intentos, es grande. Tan sólo se iguala =n·∏

( )!

xef x

x

Ejemplo

Se necesita estimar la cantidad de llegadas de automóviles a la ventanilla de servicio de un banco, durante un período de 15 minutos en las mañanas de los días hábiles. Los datos históricos indican que en este período la cantidad de automóviles en promedio es 10. A la gerencia le interesa saber cual es la probabilidad exacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos

5 1010(5) 0.0378

5!

ef

Ejercicios

Se comprobó que un nuevo detergente para ropa quita bien la mugre y las manchas del 88% de las prendas lavadas. Suponga que se van a lavar 10 prendas con el nuevo detergente

¿Cuál es la probabilidad de obtener buenos resultados en las 10 prendas?¿Cuál es la probabilidad de encontrar mal lavadas al menos 2 prendas?¿Qué tipo de distribución empleó?

Un director regional tiene la responsabilidad del desarrollo de una empresa, y le preocupa la cantidad de quiebras de empresas pequeñas. Si la cantidad promedio de quiebras de empresas pequeñas por mes es de 10, ¿cuál es la probabilidad de que quiebren exactamente 4 empresas pequeñas durante un mes?, Suponga que la probabilidad de una quiebra es igual en dos meses cualesquiera, y que la ocurrencia o no ocurrencia de una quiebra en cualquier mes es independiente de las quiebras en los demás meses

La mayoría de las personas conoce el póker con manos de 5 cartas. Con 52 cartas que incluyen 4 ases, cuál es la probabilidad de que la mano de cinco cartas contenga:

Un par de asesExactamente un asNingún asCuando menos 1

Distribución GeométricaEn una serie de intentos independientes, con una probabilidad constante p de éxito, sea la variable X el número de ensayos realizados hasta la obtención del primer éxito. Se dice que X tiene una distribución geométrica con parámetro p cuando

La media y varianza para esta distribución son

Una característica de esta distribución es que carece de memoria, es decir, se puede empezar a contar en cualquier ensayo o intento hasta obtener el éxito

1( ; ) (1 )

cantidad de intentos

xfx x p p p

x

2

( ) 1/

(1 )( )

E X p

pVar X

p

Ejemplo

La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son independientes respecto a la presencia de la molécula. Determine cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara

125 1(125;0.01) (1 0.01) 0.01 0.0029fx

Tarea: Graficar distribución

Ejemplo

El gerente de una gran tienda necesita determinar cual es la probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan a la tienda hagan una compra. Él sabe que la probabilidad de que un cliente compre es de 0.3

Cantidad de resultados experimentales

Probabilidad de cada resultado experimental en donde 2 de los tres clientes compran

Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que 2 de 3 clientes que ingresan a la tienda compren.

063.0)3.01(3.0 )13(2

3)!23(!2

!323

C