Las distribuciones binomial y normal.

De Moivre

Bernouilli

Variables aleatorias :

• Se llama variable aleatoria a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral E un numero real.

Ej: a) La variable aleatoria X que representa el número de caras en el lanzamiento de tres monedas toma los valores 0,1,2,3.

b) La variable X que representa la suma de las caras superiores de dos dados toma los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

c) La variable X que representa la longitud de las judías verdes toma valores, por ejemplo, en el intervalo (0-20) cm.

d) La variable X que representa la medida del perímetro craneal de una serie de individuos toma valores, por ejemplo, en el intervalo (60-90) cm.

Variables aleatorias discretas:

• Serán las de los ejemplos a) y b) ya que sólo pueden tomar ciertos valores enteros

Variables aleatorias continuas:• Serán las de los ejemplos c) y d) ya que

pueden tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo real.

• Función de probabilidad. Se llama Función de probabilidad de una

variable aleatoria X a la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi.

Se debe verificar:

€

pi =i=1

n

∑ p1 + p2 + p3 + ...+ pn =1

€

0 ≤ pi ≤1

€

P(a ≤ X ≤ b) = P(X = a) + P(X = a +1) + ...+ P(X = b)

€

P(X ≤ b) =1− P(X > b)

Media y varianza:Se llama media o esperanza de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, …, xn, con probabilidades p1, p2, …,pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresión:

Se llama varianza de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, …, xn, con probabilidades p1, p2, …,pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresión:

Se llama desviación típica de una variable aleatoria X, a la raíz cuadrada positiva de la varianza, se representa por

€

μ =x1⋅ p1 + x2⋅ p2 + x3⋅ p3 + ...+ xn ⋅ pn = x i⋅ pii=1

n

∑

€

σ 2 = x12⋅ p1 + x2

2⋅ p2 + x32⋅ p3 + ...+ xn

2⋅ pn − μ 2 = x i2⋅ pi

i=1

n

∑ − μ 2

€

σ

Función densidad:Si representamos el histograma de frecuencias de una variable aleatoria continua, a medida que los intervalos de la clase van siendo más pequeños y el tamaño de las muestras mayor, el polígono de frecuencias se aproxima a una curva continua, la función cuya gráfica es esta curva límite se llama función de densidad, f(x)

Distribución binomial o de Bernouilli.Si un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

1ª En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A (éxito) y su contrario Ā (fracaso).

2ª El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.

3ª La probabilidad del suceso A es constante y, por lo tanto, no varía de una prueba a otra: p probabilidad de A;

q =1-p será la de Ā.

€

P(obtener r éxitos) = P(X = r) =n

r

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅ pr ⋅ qn −r

Para un experimento aleatorio que sigue un modelo binomial con n pruebas, la representaremos por B(n,p):

En este caso:

€

μ =np

€

σ 2 = npq

€

σ = npq

Media o esperanza:

Varianza:

Desviación típica:

Ejemplos:• El Ayuntamiento de una ciudad ha comprobado que el 23% de los

ciudadanos acude a las piscinas municipales. Si se escoge al azar una muestra de 15 personas de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas haya acudido a las piscinas municipales?La variable X, que cuenta el número de personas que han utilizado en alguna ocasión los polideportivos municipales, sigue una distribución binomial B(15, 0.23). Por tanto:

€

P(X = 0) =15

0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅ 0,230⋅ 0,7715−0 = 0,0198

• En un concurso de tiro, la probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es de 1/3 . Si dispara 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en cinco ocasiones? ¿Y de que acierte al menos una vez?

La variable X cuenta el número de aciertos en el blanco, y sigue una distribución binomial B(12,1/3). Por tanto:

€

P(X = 5) =12

5

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅

1

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟5

⋅2

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟7

= 0,1908

€

P(X ≥1) =1 − P(x = 0) =1 −12

0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⋅

1

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟0

⋅2

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

12

= 0,9923

La distribución Normal• Se trata de una distribución continua.• Recibe ese nombre porque es la más aparece en diferentes

situaciones.• Una variable aleatoria continua X sigue una distribución

normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ) si se cumple:– 1.- La variable puede tomar cualquier valor real, es decir,– 2.- La función de densidad será:

€

x ∈(−∞,∞)

€

f (x) =1

σ 2πe

−1

2

x − μ

σ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

-El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

-Es simétrica respecto a la media µ.

-Tiene un máximo en la media µ.

-Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

-El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

-En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

- El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

-Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

- La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

La curva recibe el nombre de campana de Gauss

En todas el área bajo la curva es =1

Distribución normal estándar

• De las N(μ, σ) es de especial interés N(0, 1), para la cual

Será útil ya que según nos dice una propiedad:Si X sigue una distribución normal N(μ, σ) , la variable Y=aX+b seguirá también una distribución normal N(μy, σy),con

μy= μX+b σy=|a|σ

€

f (x) =1

2πe

−x 2

2

• Esto nos permitirá tipificar la variable X, y así convertir N(μ, σ) en N(0, 1), la cual está tabulada, transformando X en otra variable

€

Z =X − μ

σ

• Teorema Central del Límite:La distribución binomial B(n, p) se aproxima a una curva normal de media μ = n · p y desviación típica

σ = , cuando n tiende a ∞, es decir, cuando n se hace muy grande.

€

npq

• Teorema de De Moivre:• Una distribución binomial B(n, p) se puede

aproximar mediante una distribución normal , de este modo, si tipificamos la

variable como , tendrá una distribución cercana a N(0,1).

Esto será admisible cuando:

€

N np, npq( )

€

Z =x − np

npq

€

n ≥ 30

np ≥ 5

n(1 − p) ≥ 5

• El “precio” que hay que pagar por pasar de una a otra se denomina “corrección por continuidad” y consiste en hacer determinados ajustes para que la aproximación realizada sea lo más precisa posible.

€

P(x = a) = P(a − 5 ≤ X′ ≤ a + 0,5)

€

P(a < x < b) = P(a + 5 ≤ X′ ≤ b − 0,5)

€

P(x < a) = P(X′ ≤ a − 0,5)

€

P(x > a) = P(X′ ≥ a + 0,5)

€

P(a ≤ x ≤ b) = P(a − 5 ≤ X′ ≤ b + 0,5)

€

P(x ≤ a) = P(X′ ≤ a + 0,5)

€

P(x ≥ a) = P(X′ ≥ a − 0,5)

Ejemplos: