distribuciones de probabilidad

Probabilidad I

Modelos de Probabilidad

Material Teorico y Practica

Licenciatura en EstadsticaFacultad de Ciencias Economicas y de Administracion

Universidad de la Republica

Indice general

6. Modelos de probabilidad 1

6.1. Modelos Univariados Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Uniforme Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Binomial Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.2. Modelos Univariados Absolutamente Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Doble Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Logstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

F de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1

estadstica i facultad de ciencias economicas y de administracion udelar

Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.3. Modelos Multivariados Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Multihipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.4. Modelos Multivariados Absolutamente Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Normal Multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Wishart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.5. Relaciones entre distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.7. Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Normal Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.8. Notacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 - Modelos de Probabilidad

Captulo 6. Modelos de probabilidad

Lo siguiente es una recopilacion de los modelos de probabilidad mas comunes. Un modelo deprobabilidad es la terna (R,B, PX) que se obtiene al aplicar una variable o vector aleatorio sobreel espacio de probabilidad original (,A, P ).En lo que sigue, para todos los modelos se especifica: la funcion de cuanta o densidad, la esperanza,la varianza, el modo y la mediana de la variable o vector aleatorio. La funcion generatriz demomentos se incluye para aquellos modelos donde existe. La funcion de distribucion se especificasolo en aquellos casos en que existe en forma cerrada.

6.1. Modelos Univariados Discretos

6.1.1. Distribucion Uniforme discreta: X U(a, . . . , b)

fX(x) =1

nx Rec(X) = {a, a+ 1, . . . , b 1, b} a Z, b Z a < b n = b a+ 1

FX(x) =

0 x < abxca+1

na x < b

1 x b

MX(t) =eat e(b+1)tn(1 et) E(X) =

a+ b

2Var(X) =

n2 112

x0,5 =a+ b

26 xmo

Definicion 6.1.1. Una prueba de Bernoulli, es un experimento aleatorio que da lugar a dossucesos excluyentes y exhaustivos denominados exito y fracaso.

Definicion 6.1.2. Una sucesion de pruebas de Bernoulli es un un conjunto de pruebas de Bernoulliindependientes y repetidas en identicas condiciones. Esto implica que la probabilidad de observarexito, p, se mantiene constante prueba a prueba.

6.1.2. Distribucion Bernoulli: X Bernoulli(p)X = numero de exitos en una prueba de Bernoulli.

fX(x) = px(1 p)1x x Rec(X) = {0, 1} (0 < p < 1)

MX(t) = etp+ (1 p) t R; E(X) = p Var(X) = p(1 p) xmo = [p]

1


6.1.3. Distribucion Binomial: X Binomial(n, p)X = numero de exitos en una sucesion de n pruebas de Bernoulli.

fX(x) =

(n

x

)px(1 p)nx x Rec(X) = {0, 1, 2, . . . , n} (n N)

MX(t) = [etp+ (1 p)]n t R; E(X) = np Var(X) = np(1 p) xmo = b(n+ 1)pc

Observacion 6.1.1. Si (n+ 1)p N, entonces la distribucion Binomial tiene dos modos: (n+ 1)py (n+ 1)p 1. Para la mediana no existe una formula sencilla, sin embargo se sabe que si np N,la esperanza, el modo y la mediana coinciden. En otro caso se cumple que bnpc x0,5 dnpe.Observacion 6.1.2. Binomial(1,p) Bernoulli(p).6.1.4. Distribucion Geometrica: X Geometrica(p)X = numero de fracasos en una sucesion de pruebas de Bernoulli antes de obtener el primerexito.

fX(x) = p(1 p)x x Rec(X) = {0, 1, 2, . . .} FX(x) ={

0 x < 01 (1 p)bx+1c x 0

MX(t) =p

1 (1 p)et t < log(1 p); E(X) =1 pp

Var(X) =1 pp2

xmo = 0

6.1.5. Distribucion Binomial Negativa: X BN(r, p)X = numero de fracasos en una sucesion de pruebas de Bernoulli antes de obtener el r-esimoexito.

fX(x) =

(x+ r 1r 1

)pr(1 p)x x Rec(X) = {0, 1, 2, . . .}

MX(t) =

(p

1 (1 p)et)r

t < log(1 p); E(X) = r(1 p)p

Var(X) =r(1 p)p2

xmo =

(r 1)(1 p)

p

Observacion 6.1.3. Geometrica(p) BN(1,p).Observacion 6.1.4. En lugar de fracasos antes del r-esimo exito tambien se puede definir laBinomial Negativa como: Y = numero de pruebas necesarias para obtener r exitos.

La cuanta, generatriz de momentos y momentos de Y se deducen utilizando la siguiente relacion:

Y = X + r.


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6.1.6. Distribucion Hipergeometrica: X Hipergeometrica(n,N,M)

Considere una poblacion con N elementos, de los cuales M (M < N) tienen determinada cualidadde interes a la que asociaremos con el suceso exito. Se extraen n elementos de los N SINreposicion.

X = numero de exitos en n pruebas.

fX(x) =

(Mx

)(NMnx

)(Nn

) x Rec(X) = {max(0, nN +M), . . . ,mn(n,M)}

E(X) = nM

NVar(X) = n

M

N

(1 M

N

)(N nN 1

)xmo =

(n+ 1)(M + 1)

N + 2

Observacion 6.1.5. La funcion generatriz de momentos de una Hipergeometrica existe siempre,pero su calculo y forma escapan a los alcances del curso:

MX(t) =

(NMn

)2F1(n,M ;N M n, et)(

Nn

)donde 2F1 es la funcion generatriz exponencial con p = 2 y q = 1:

pFq(a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z) =n=0

(a1)n . . . (ap)n(b1)n . . . (bq)n

zn

n!,

con (a)n = a(a+ 1)(a+ 2) (a+ n 1) para n N y (a)0 = 1.

Observacion 6.1.6. Hipergeometrica(1, N,M) Bernoulli(MN

).

Observacion 6.1.7. Si X Hipergeometrica(n,N,M) y n 50.

Definicion 6.1.3. Un proceso de Poisson de tasa , es un proceso aleatorio que genera ocurrenciasde sucesos sobre un espacio continuo de acuerdo a las siguientes caractersticas:

a - El numero de ocurrencias en dos intervalos que no se solapan son independientes.

b - La probabilidad de que se produzca exactamente un acontecimiento en un intervalo deamplitud lo suficientemente pequena, h, es h.

c - La probabilidad de que se produzcan dos o mas acontecimientos en un intervalo, de amplitudlo suficientemente pequena, es aproximadamente cero.

Probabilidad I - 3


6.1.7. Distribucion Poisson: X Poisson(t)X = numero de sucesos generados por un proceso de Poisson de tasa en un intervalo delongitud t.

fX(x) =et(t)x

x!x Rec(X) = {0, 1, 2, . . .} ( > 0)

MX(u) = et(eu1) u R; E(X) = t Var(X) = t xmo = bc

Observacion 6.1.8. En R2, la variable aleatoria sera X=numero de sucesos generados porun proceso de Poisson de tasa en un area de medida t. Vea observacion (??) para ajustar ladefinicion de X a otras dimensiones. Note que sin importar sobre que espacio ocurren los sucesos(R, R2, R3, etc.), como X cuenta numero de sucesos su cuanta es siempre la misma.

Observacion 6.1.9.

Sea X Binomial(n, p). Si n, p 0 y np > 0, entonces X Poisson() con = np.En la practica, es recomendable la aproximacion si p < 0, 1; n > 50 y np < 5.

6.2. Modelos Univariados Absolutamente Continuos

6.2.1. Distribucion Uniforme: X U[a, b]

fX(x) =

1

b a si a x b a, b R, a < b

0 en otro caso

FX(x) =

0 si x < ax a

(b a) si a x < b1 si x b

MX(t) =etb etat(b a) t R; E(X) =

a+ b

2Var(X) =

(b a)212

No existe el modo.

6.2.2. Distribucion Triangular: X Triang[a, b, c]Para a, b, c R, a < c < b:

fX(x) =

2(x a)(b a)(b c) si a x c

2(b x)(b a)(b c) si c x b

0 en otro caso

FX(x) =

0 si x < a

(x a)2(b a)(b c) si a x < c

1 (b x)2

(b a)(b c) si c x < b1 si x b

MX(t) =2(b c)eat/2 (b a)ect/2 + (c a)ebt/2

t2(b a)(c a)(b c) t R;



E(X) =a+ c+ b

3Var(X) =

a2 + b2 + c2 ab ac bc18

x0,5 =

a+

(ba)(ca)2

si c a+b2

b

(ba)(ca)2

si c a+b2

xmo = c

6.2.3. Distribucion Exponencial: X Exp()

fX(x) =

ex si x 0 ( > 0)

0 en otro casoFX(x) =

{0 si x < 0

1 ex si x 0

MX(t) =

t t < ; E(X) =1

Var(X) =

1

2xmo = 0

Observacion 6.2.1. Alternativamente, la funcion de densidad de una variable aleatoria con dis-tribucion exponencial se puede definir como

fX(x) =

1

e

x si x 0 ( > 0)

0 en otro caso

y se denota tambien X Exp(). Por lo cual, para evitar ambiguedades, se suele acompanar delvalor de su esperanza, ya que esta marca como se tiene que escribir el parametro en la funcion dedensidad, momentos, etc.. Note que la relacion entre las dos expresiones esta dada por = 1.

6.2.4. Distribucion Doble Exponencial: X DExp(, )

fX(x) =

2e|x| si x R ( > 0, R)

0 en otro caso

MX(t) =2et

2 t2 |t| < ; E(X) = Var(X) =2

2xmo = x0,5 =

Definicion 6.2.1. La funcion matematica gamma, , se define como

() =

+0

x1ex dx para > 0.

Algunas propiedades de esta funcion son:

Para > 0 +0

x1ex dx =()

.

( + 1) = ().

Si n N, entonces (n+ 1) = n!.(1

2) =pi.

Probabilidad I - 5


6.2.5. Distribucion Gamma: X Gamma(, )El parametro controla la forma de la distribucion y su escala.

fX(x) =

()x1ex si x 0 ( > 0, > 0)

0 en otro caso

MX(t) =

(

t)

t < ; E(X) =

Var(X) =

2xmo =

1

si > 1

6 si 1

Observacion 6.2.2. X Exp() Gamma(1, ), con E(X) = 1.Observacion 6.2.3. Si N a la distribucion Gamma se le llama distribucion Erlang. Otro casoparticular es la Gamma(n

2, 12), con n N, a la cual se le conoce con el nombre 2n (chi-cuadrado

con n grados de libertad).

6.2.6. Distribucion Logstica: X Logstica(, )

fX(x) =1

exp(x

)[1 + exp

(x

)]2 x R, ( R > 0)

FX(x) =1

1 + exp(x

) x R.MX(t) = e

t(1 t)(1 + t) t : |t| < 1

; E(X) = ; Var(X) =(pi)2

3.

Definicion 6.2.2. La funcion matematica Beta se define como

B(, ) =

10

x1(1 x)1 dx = ()()( + )

para > 0 y > 0.

6.2.7. Distribucion Beta: X Beta(, )Tanto el parametro como controlan la forma de la distribucion.

fX(x) =

( + )

()()x1(1 x)1 si 0 < x < 1 ( > 0, > 0)

0 en otro caso

E(X) =

+ Var(X) =

( + + 1)( + )2

Observacion 6.2.4. La forma y calculo de la funcion generatriz de momentos de una Beta tambienesta mas alla de los contenidos del curso.

MX(t) = 1F1(; + ; t) = 1 +k=1

(k1r=0

+ r

+ + r

)tk

k!t R.



Observacion 6.2.5. La funcion de densidad de una Beta tendra diferente forma dependiendo delos valores que tomen y :

Si < 1 y < 1 la funcion de densidad tendra un unico mnimo en 1+2 .

Si > 1 y > 1 tendra un unico maximo (el modo, xmo) en1

+2 .

Si = es simetrica alrededor de 0,5 y por lo tanto E(X) = x0,5 = 0, 5. El modo tambiensera 0,5 siempre y cuando > 1 y > 1.

Si < es asimetrica a la derecha y si > lo es a la izquierda.

Si < 1 y 1 o = 1 y > 1 es monotona decreciente y ademas: Si = 1 y > 2 es estrictamente convexa. Si = 1 y = 2 es una lnea recta. Si = 1 y 1 < < 2 es estrictamente concava.

Si = 1 y < 1 o > 1 y 1 es monotona creciente y ademas:

Si > 2 y = 1 es estrictamente convexa. Si = 2 y = 1 es una lnea recta. Si 1 < < 2 y = 1 es estrictamente concava.

Observacion 6.2.6. X Uniforme(0, 1) Beta(1, 1).

6.2.8. Distribucion Cauchy: X Cauchy(a, b)

fX(x) =b

pi[(x a)2 + b2] x R, < a 0

xmo = a x0,5 = a

Los momentos ordinarios, E(Xk), no existen para ningun k, k = 1, 2, . . ..

6.2.9. Distribucion Normal: X N(, 2)

fX(x) =12pi

e12(

x )

2

x R, < 0

MX(t) = exp

(t+

t2

22)

si t R; E(X) = Var(X) = 2 xmo = x0,5 =

Observacion 6.2.7. Si = 0 y = 1 se dice que la variable aleatoria X sigue una distribucionnormal estandar o tipificada. La letra griega se usa para representar su funcion de densidady la letra su funcion de distribucion. La distribucion normal estandar verifica, como todas lasdistribuciones simetricas alrededor del cero, que (x) = 1 (x) x R.

Probabilidad I - 7


6.2.10.Distribucion LogNormal: X log-N(, 2)fX(x) =

1

x

2pie

12(

log(x) )

2

x > 0, < 0

E(X) = exp

(+

2

2

)Var(X) = e2+

2

(e2 1) xmo = e2

Observacion 6.2.8. A pesar de que existen los momentos de cualquier orden, MX(t) no existe.Esto se debe a que E(etX) existe solo para t 0 y por lo tanto no es derivable en t = 0.6.2.11.Distribucion t de Student: X tn

fX(x) =(n+12

)(n2

) 1pin(1 + x

2

n

)n+12

x R n {1, 2, . . .}

E(Xk) =

(k+12

)(nk2

)pi(n2

) si k es par0 si k es impar

k < n

MX(t) no existe, dado que si k n, E(Xk) no existe.En particular,

E(X) = 0 si n > 1 y Var(X) =n

n 2 si n > 2.

El modo y la mediana coinciden, xmo = x0,5 = 0.

Observacion 6.2.9. t1 Cauchy(0,1) y t N(0,1).6.2.12.Distribucion F de Snedecor: X Fn,mAl parametro n se le llama grados de libertad del numerador y a m grados de libertaddel denominador.

fX(x) =

(n+m2

)(n2

)(m2

) ( nm

)n2 x

n2n(

1 + nmx)n+m

2

x > 0 n,m {1, 2, . . .}

0 en otro caso

E(Xk) =(n+2k

2

)(m2k

2

)(n2

)(m2

) (mn

)ksi k 2 y Var(X) = 2(

m

m 2)2

m+ n 2n(m 4) si m > 4.

Observacion 6.2.10. Si X Fn.m, entoncesY =

1

X Fm.n.

Observacion 6.2.11. F1,m (tm)2

.



6.2.13.Distribucion Weibull: X Weibull(, )El parametro controla la forma de la distribucion y la escala.

fX(x) =

(x

)1exp

[(x

)]si x 0 ( > 0; > 0)

0 en otro caso

FX(x) =

0 si x < 0

1 exp[(x

)]si x 0

E(X) =

(1 +

1

)Var(X) = 2

[

(1 +

2

) 2

(1 +

1

)]

MX(t) =n=0

tnn

n!

(1 +

n

); xmo =

( 1

) 1

si > 1; x0,5 = (log(2))1/

Observacion 6.2.12. La expresion de MX(t) se obtiene sin evaluar directamente E(etX). Se hace

uso de que se conoce la forma general de E(Xk) k:

E(Xk) = k

(1 +

k

)k N

y se expresa MX(t) como una serie de potencias.

Observacion 6.2.13. Cuando = 2, a la distribucion Weibull se le llama distribucion Rayleigh.

6.2.14.Distribucion Pareto: X Pareto(, )

fX(x) =

x+1si x ( > 0; > 0)

0 en otro caso

FX(x) =

0 si x <

1(

x

)si x

E(Xk) =k

k si > k (k N) Var(X) =2

( 1)2( 2) si > 2

xmo = x0,5 =

2

Observacion 6.2.14. MX(t) no existe en forma cerrada, pero al conocerse E(Xk) k se le podra

expresar como una serie de potencias.

Probabilidad I - 9


6.3. Modelos Multivariados Discretos

6.3.1. Distribucion Multinomial: ~X Multinomial(n, p1, p2, . . . , pk)La distribucion Multinomial es la generalizacion multivariada de la distribucion Binomial. Se repiteindependientemente n veces un experimento aleatorio en indenticas condiciones. Cada realizaciondel experimento da a lugar a k sucesos {Ai}ki=1 excluyentes y exahustivos. Sea pi = P (Ai), i =1, . . . , k con

ki=1 pi = 1.

Defina el vector ~X = (X1, X2, . . . , Xk) donde Xi=numeros de veces que Ai ocurre en las nrepeticiones del experimento, i = 1, . . . , k. Entonces,

Rec( ~X) =

{~x = (x1, x2, . . . , xk) Rk

xi {0, 1, . . . , n} i = 1, . . . , k;ki=1

xi = n

}y

p ~X(~x) =n!ki=1

xi!

px11 px22 . . . p

xkk ~x Rec( ~X).

Para i = 1, . . . , k, Xi Binomial(n, pi), de dondeE(Xi) = npi y Var(Xi) = npi(1 pi).

Ademas, para i 6= j, i, j = 1, . . . , kCov(Xi, Xj) = npipj.

Sea ~t = (t1, t2, . . . , tk), entonces

M ~X(~t ) = (p1et1 + p2e

t2 + . . .+ pketk)n ~t Rk.

6.3.2. Distribucion Multihipergeometrica: ~X MH(n,N,M1,M2, . . . ,Mk)Considere una poblacion de tamano N , en la cual Mi elementos tienen la caracterstica de interesCi, para i = 1, . . . , k. Cada elemento de la poblacion posee exactamente una de las caractersticasCi, i = 1, . . . , k, esto es

ki=1Mi = N .

Se extraen n elementos de los N sin reposicion. Defina ~X = (X1, X2, . . . , Xk) donde Xi=numerosde elementos extrados en los n con la caracterstica Ci, i = 1, . . . , k. Entonces,

Rec( ~X) =

{~x = (x1, x2, . . . , xk) Rk

xi {0, 1, . . . ,Mi} i = 1, . . . , k;ki=1

xi = n

}y

p ~X(~x) =

(M1x1

)(M2x2

). . .(Mkxk

)(Nn

) ~x Rec( ~X).Para i = 1, . . . , k, Xi Hipergeometrica(n,N,Mi), de donde

E(Xi) = nMiN

y Var(Xi) = nMiN

(1 Mi

N

)(N nN 1

).



Ademas, para i 6= j, i, j = 1, . . . , k

Cov(Xi, Xj) = nMiMjN2

(N nN 1

).

Observacion 6.3.1. Tanto la distribucion Multinomial como la distribucion Multihipergeometri-ca son distribuciones en Rk1 y no en Rk. Note que la restriccion

ki=1 xi = n implica que, por

ejemplo, dado un valor (x1, x2, . . . , xk1) en particular de las primeras (k 1) componentes delvector , la k-esima componente, Xk, tiene que necesariamente tomar el valor n

k1i=1 xi.

Observacion 6.3.2. La misma relacion que existe entre la Binomial y la Hipergeometrica secumple en el caso multivariado: Si ~X MH(n,N,M1,M2, . . . ,Mk) y n 50.

6.4. Modelos Multivariados Absolutamente Continuos

6.4.1. Distribucion Normal Multivariada: ~X Nk(,). Sean Rk y una matriz dek k simetrica y definida positiva:

=

12...k

y =21 12 1k21

22 2k

......

. . ....

k1 k2 2k

con i > 0 i = 1, . . . , kij = ji i, j = 1, . . . , kEntonces dado ~X = (X1, . . . , Xk)

, se dice que ~X sigue una distribucion normal multivariante nosingular de dimension k con vector de medias y matriz de covarianzas si

f ~X(~x) =1

(2pi)k2 || 12

exp

{1

2(~x )1(~x )

}~x Rk.

Sea ~t = (t1, t2, . . . , tk), entonces

M ~X(~t ) = exp

(~t +

1

2~t ~t

)~t Rk.

Cov(Xi, Xj)=ij, i 6= j, i, j = 1, . . . , k.Si B es una matriz de p k de rango completo por las filas, esto es rango(B)=p, entonces

B ~X Np(B,BB).De donde,

~a = (a1, a2, . . . , ak) Rk, ~a 6= 0:

~a ~X =ki=1

aiXi N(

ki=1

aii;ki=1

a2i2i + 2

i


Cualquier subvector de m componentes de las k componentes originales de ~X sigue unadistribucion normal multivariante de dimension m.

Sea I un subconjunto propio de {1, 2, . . . , k} de m elementos, m = 1, . . . , k1. Defina ~X1 alvector compuesto por las componentes de ~X tal que sus subndices I. Defina ~X2 al vectorcompuesto por las componentes de ~X tal que sus subndices 6 I. Redefina, y de talmanera que:

=

(12

)y =

(11 1221 22

)Donde E( ~Xi) = i, Var( ~Xi) = ii, i = 1, 2 y Cov( ~X1, ~X2) = 12 =

21. Entonces, para un

valor fijo ~x2 de ~X2

~X1| ~X2 = ~x2 Nm(1 + 12122 (~x2 2),11 12122 12) Para el caso particular de k = 2 y m = 1, con I = {1}, tenemos que

X1|X2 = x2 N(1 +

12

(x2 2), 21(1 2))

y para I = {2}

X2|X1 = x1 N(2 +

21

(x1 1), 22(1 2))

donde = 12/(12).

6.4.2. Distribucion Dirichlet: ~X Dirichlet(1, ..., k). La distribucion Dirichlet es, entreotras, una generalizacion multivariada de la distribucion Beta.

Sea ~X = (X1, X2, . . . , Xk) y ~x = (x1, x2, . . . , xk):

Rec( ~X) = {(x1, x2, . . . , xk)|xi > 0, i = 1, . . . , k;ki=1

xi = 1}

f ~X(~x) =

(0)ki=1

(i)

ki=1

xi1i ~x Rec(~x); i > 0i y 0 =ki=1

i

0 en otro caso

Para j = 1, . . . , k, Xj Beta(i, 0 i), de donde:

E(Xj) =j0

y Var(Xj) =j(0 j)20(0 + 1)

.

Para i 6= j, i, j = 1, . . . , k:Cov(Xi, Xj) = ij

20(0 + 1).

Si i > 1 i = 1, . . . , k, el modo de la distribucion es el vector ~x = (x1, x2, . . . , xk) con

xi =i 10 k .

Observacion 6.4.1. Al igual que la distribucion Multinomial, la distribucion Dirichlet es unadistribucion en Rk1 y no en Rk. Note que la restriccion

ki=1Xi = 1 implica Xk = 1

k1i=1 Xi.



6.4.3. Distribucion Wishart: Wishartp(V, n) La distribucion Wishart es una general-izacion de la distribucion Gamma y en el caso particular de n N es una generalizacion de ladistribucion 2.

Rec() = {| matriz de p p simetrica y definida positiva}

Los parametros de esta distribucion son:

n grados de libertad (n p).V una matriz de p p definida positiva, la cual controla la escala de la distribucion.

La funcion de densidad de es

f(W) =

|W|np12

2np2 |V|n2 p

(n2

) exp(12

tr(V1W

))si W Rec()

0 en otro caso

donde p() es la funcion gamma multivariada:

p () = pip(p1)

4

pj=1

( +

1 j2

) > 0.

E() = nV; modo = (n p 1)V para n p+ 1Observacion 6.4.2. Si p = 1 y V = 1, 2n.

6.5. Relaciones entre distribuciones

1 - Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, con Xi Bernoulli(p), i = 1, . . . , n.Entonces,

ni=1

Xi Binomial(n, p).

2 - Sean X1, . . . , Xr variables aleatorias independientes, con Xi Binomial(ni, p), i = 1, . . . , r.Entonces,

ri=1

Xi Binomial(n, p), con n =ri=1

ni.

3 - Sean X1, . . . , Xr variables aleatorias independientes, con Xi Geometrica(p), i = 1, . . . , r.Entonces,

ri=1

Xi BN(r, p).

Probabilidad I - 13


4 - Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, con Xi BN(ri, p), i = 1, . . . , n. En-tonces,

ni=1

Xi BN(r, p), con r =ni=1

ri.

5 - Sean X1, X2 dos variables aleatorias independientes, con Xi Binomial(ni, p), i = 1, 2.Entonces,

X1|X1 +X2 = k Hipergeometrica(k, n1 + n2, n1).6 - Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, con Xi Poisson(i), i = 1, . . . , n.

Entonces,ni=1

Xi Poisson(), con =ni=1

i.

7 - Sean X1, X2 dos variables aleatorias independientes, con Xi Poisson(i), i = 1, 2. En-tonces,

X1|X1 +X2 = n Binomial(n,

11 + 2

)8 - Si X Uniforme(a, b), entonces Y = 1

ba log(bXba) Gamma(1, b a).

9 - Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, con Xi Gamma(1, i), i = 1, . . . , n.Entonces,

Y = mn(X1, . . . , Xn) Gamma(1, ) con =ni=1

i.

10 - Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, con Xi Gamma(i, ), i = 1, . . . , n.Entonces,

ni=1

Xi Gamma(, ), con =ni=1

i.

11 - Si X N(0, 1), entonces Y = X2 Gamma(12, 12) = 21 (ver obs 6.2.3).

12 - Si X Poisson() y x N, entoncesP (X x) = 1 P (Y ),

donde Y 22(x+1).

13 - Si X Uniforme(0, 1), entonces Y = X2 Beta(12, 1).

14 - Si X Gamma(, ) y Y Gamma(, ). X y Y independientes. Entonces, Z = XX+Y

Beta(, ).

15 - Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, donde Xi N(i, 2i ), i = 1, . . . , n.Entonces,

ni=1

Xi N(, 2), con =ni=1

i y 2 =

ni=1

2i .

16 - Si X N(, 2), entonces Y = eX log-N(, 2).17 - Si Xi N(0, 1) i = 1, 2. X1 y X2 independientes, entonces Y = X1X2 Cauchy(0, 1).



18 - Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, donde Xi Cauchy(ai, bi), i = 1, . . . , n.Entonces,

ni=1

Xi Cauchy(a, b), con a =ni=1

ai y b =ni=1

bi.

19 - Si X log-N(, 2), entonces Y = log(Y ) N(, 2).

20 - Si X log-N(, 2), entonces Y = X1 log-N(, 2).

21 - Si X log-N(, 2), entonces, con a > 0, Y = aX log-N(log a+ , 2).

22 - Si X N(0, 1) y W 2n. X y W independientes. Entonces:

Y =XW/n

tn.

23 - Si W 2n y V 2m. W y V independientes. Entonces:

Y =W/n

V/m=m

n

W

V Fn.m.

24 - Si X Weibull(, ), entonces Y = (X

) Exp(1).

25 - Si X Uniforme(0, 1), entonces Y = ( log(X)) 1 Weibull(, ).

26 - Sean X Pareto(, ) y un numero 0 > . Entonces X|X > 0 Pareto(, 0).

27 - Si X Pareto(, ), entonces Y = log(X

) Exp() con E(Y ) = 1.28 - Dado ~X Multinomial(n, p1, p2, . . . , pk) y sea I cualquier subconjunto propio de {1, . . . , k}.

Entonces iI

Xi Binomial(n,iI

pi

).

29 - Si ~X = (X1, . . . , Xi, Xj, . . . , Xk) Dirichlet(1, . . . , i, j, . . . , k), entonces

~Y = (X1, . . . , Xi +Xj, . . . , Xk) Dirichlet(1, . . . , i + j, . . . , k).

30 - Si Yi Gamma(i, ), i = 1, . . . , k. Y1, . . . , Yk independientes. Para V =ki=1

Yi, defina

Xi = Yi/V , i = 1, . . . , k. Entonces,

~X = (X1, . . . , Xk) =

(Y1V, . . . ,

YkV

) Dirichlet(1, . . . , k).

31 - Sea ~Xi un vector fila de p componentes tal que ~Xi Np(0,), i = 1, . . . ,m. Asuma que~X1, . . . , ~Xm son independientes. Sea X la matriz de m p cuyas filas son ~Xi. Entonces lamatriz, de p p, XX Wishart(m,).

Probabilidad I - 15


6.6. Ejercicios

Ejercicio 1.

Una maquina normalmente produce 5 % de piezas defectuosas. La produccion de un da se inspec-ciona al 100 % siempre que en la inspeccion de 12 piezas, tomadas de la produccion al azar, seencuentren 3 o mas piezas defectuosas. Cual es la probabilidad de que la produccion de un dase inspeccione al 100 %?

Ejercicio 2.

Un invento electrico consta de cinco piezas diferentes conectadas de tal forma que el inventofunciona si todas y cada una de las cinco piezas actuan con exito. La probabilidad de que cadapieza actue con exito es 0,9.

1 - Cual es la probabilidad de que el invento funcione?

2 - Calcular la probabilidad de que el invento funcione, suponiendo que funcionara siempre quepor lo menos cuatro de las cinco piezas actuen con exito.

Ejercicio 3.

Al calcular probabilidades binomiales es conveniente calcular f(x + 1) a partir de f(x), a travesde la formula f(x+ 1) = f(x)K(x) donde

K(x) =

(n xx+ 1

)(p

1 p).

Demostrar que la formula anterior es correcta.

Ejercicio 4.

Demostrar el siguiente teorema:

Sea X Hipergeometrica(n,M,N), si N es muy grande comparado con n (N >> n), la distribu-cion de X se aproxima a la de una Binomial(n, p) donde p = M/N .

Ayuda: expanda las combinaciones en la formula de la cuanta de X, agrupe terminos para de-mostrar que:

fX(x) =

(Mx

)(N Mn x

)(Nn

) = ( nx

)M

N

M 1N 1 . . .

M x+ 1N x+ 1

M xN x . . .

N M n+ x+ 1N n+ 1 .

Despues haga uso de que N >> n, esto es, si N >> n, entonces tambien se cumple que N >> zpara z = 0, 1, 2, . . . , n; por lo tanto

M zN z

M zN

. . . para z = 0, 1, . . . , x 1

N M zN x z

N MN

para z = 0, 1, . . . , n x 1



Ejercicio 5.

Demuestre el siguiente teorema:

Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes, distribuidas Xi Poisson(i), i = 1, 2.Entonces, la distribucion de X1 condiciona a X1 +X2 = n es un Binomial(n, p) donde

p =1

1 + 2.

Ayuda: calcule P(X1 = x|X1 +X2 = n).

Ejercicio 6.

La experiencia demuestra que el 10 % de las personas que reservan pasaje para viajar desdeMontevideo a Buenos Aires en una compana area no comparecen en el momento del vuelo. Si lacompana utiliza un avion con 40 asientos para atender la ruta MVD-EZE y admite reservas para43, cual es la probabilidad de que pueda acomodar a todas las personas que comparecen?

Ejercicio 7.

Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una poliza es mayor mientras mascontactos realice con los clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre unapoliza de seguro despues de la visita es constante e igual a 0,25, y si el conjunto de visitasconstituye un conjunto independiente de experiencias, cuantos compradores potenciales debevisitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una poliza sea de 0,80?

Ejercicio 8.

Una caja contiene 20 bolillas de las culaes hay 8 blancas y las restantes son negras. Se extraen 10bolillas con devolucion y se anota el numero de bolillas blancas extradas. No hemos pre-senciadosu extraccion, pero nos dicen que en total se han extrado 5 bolillas blancas, cual es la probabilidadde que la primera bolilla exrada fuera blanca?

Ejercicio 9.

El albinismo de los ratones se debe a un gen recesivo a. Cruzando dos individuos Aa se puedenobtener individuos AA, Aa y aa, con probabilidades 0,25, 0,5 y 0,25 respectivamente. Hallar laprobabilidad de que entre cuatro descendientes haya:

1 - 1 AA, 2 Aa y 1 aa.

2 - 2 machos Aa y 2 hembras aa.

Ejercicio 10.

Se seleccionaron aleatoriamente 60 personas y se les pregunto su preferencia con respecto a tresmarcas A, B y C. Los resultados fueron 27, 18 y 15 para cada una respectivamente. Si no existenotras marcas en el mercado y la preferencia se comparte por igual entre las tres, cual es laprobabilidad del resultado obtenido en la encuesta?

Probabilidad I - 17


Ejercicio 11.

De un proceso de produccion se seleccionan, de manera aleatoria, 25 artculos. Este proceso deproduccion por lo general produce un 90 % de artculos listos para venderse y un 7 % reprocesables.Calcular la probabilidad de que 22 de los 25 artculos esten listos para venderse y que dos seanreprocesables.

Ejercicio 12.

En una fabrica, el numero de accidentes sigue un proceso de Poisson, a razon media de 2 accidentespor semana.

Se pide:

1 - Probabilidad de que en una semana ocurra un algun accidente.

2 - Probabilidad de que ocurran 4 accidentes en dos semanas.

3 - Probabilidad de que ocurran 2 accidentes en una semana y otros 2 en la semana siguiente.

4 - Es lunes y no ha ocurrido un accidente. Probabilidad de que en esta semana no ocurran masde 3 accidentes.

Ejercicio 13.

La llegada de pacientes a la consulta de un medico siguen un proceso de Poisson, a razon mediade 6 por hora.

1 - Si la sala de espera tiene 10 asientos, en cuanto tiempo, por termino medio, se llenara?

2 - Cuantos pacientes llegaran, por termino medio, en los 10 primeros minutos de consulta?

3 - Calcular la probabilidad de que pase mas de un minuto sin llegar ningun paciente.

4 - Si la consulta permanece abierta durante 3 horas. Cuantas sillas ha de tener la sala deespera para que puedan sentar los pacientes, con probabilidad de al menos 0,9?

Ejercicio 14.

Demostrar que para calcular las probabilidades de la funcion de cuanta de una distribucion dePoisson con parametro es valida la siguiente regla de recursion:

f(x+ 1) =

x+ 1f(x) x = 0, 1, 2, . . .

Ejercicio 15.

Sea X Geometrica(p). Demostrar que se verifica P (X k) = (1 p)k, k N.Ejercicio 16.

Demostrar que la distribucion geometrica tiene la propiedad de falta de memoria,es decir, siX G(p), se cumple

P (X k + x|X k) = P (X x) x = 0, 1, 2, . . . (k = 0, 1, 2, . . .)



Ejercicio 17.

Demostrar la igualdad

P (X = x) =r

r + xP (Y = r),

donde X BN(r, p) e Y B(x+ r, p) para cada x = 0, 1, 2, . . ..Ejercicio 18.

Sean X1 B(n, p) y X2 B(m, p) independientes. Demostrar que la distribucion de X1 condi-cionada a X1 +X2 = k es H(k, n, n+m).

Ejercicio 19.

Sea X con distribucion de Poisson, de modo que P (X = k) = P (X = k + 1) donde k Z+.

1 - Cual es la funcion de cuanta de X?

2 - Si k = 3, calcular P (X 2).Ejercicio 20.

De las distribuciones binomial, Poisson, hipergeometrica, binomial negativa y geometrica, citar encada uno de los siguientes casos, cuales NO cumplen nunca las condiciones.

1 - La esperanza es igual a la varianza.

2 - La esperanza es mayor que la varianza.

3 - La esperanza es menor que la varianza.

4 - El fenomeno aleatorio constituye un conjunto de experiencias independientes.

5 - El muestreo se lleva a cabo con devolucion.

6 - El muestreo se lleva a cabo sin devolucion.

Ejercicio 21.


Sea Xt el numero de acontecimientos ocurridos en un intervalo de longitud t (t > 0). Sea Ti eltiempo transcurrido entre el acontecimiento i1 y el i. Supongamos que para > 0, Ti Exp(),i = 1, 2, . . ., y que son variables independientes.

Entonces Xt Poisson(t).Ejercicio 22.


Sea Zn el tiempo transcurrido hasta la ocurrencia de n acontecimientos (n = 1, 2, . . .). Si lasocurrencias de los acontecimientos siguen un proceso de Poisson de parametro , entonces

Zn Gamma(n, ), n = 1, 2, . . .

Probabilidad I - 19


Ejercicio 23.

El numero de clientes que visitan un shopping mall sigue un proceso de Poisson de parametro = 4 (el tiempo se mide en minutos). Calcular:

1 - La probabilidad de que pase mas de un minuto hasta la llegada de dos clientes.

2 - Si 2 de cada 3 clientes son mujeres, hallar la probabilidad de que pase mas de un minutohasta que lleguen dos mujeres.

Ejercicio 24.

Demostrar que se cumple la siguiente relacion:

Si X Beta(, ) donde Z+ y Z+, entonces para 0 < p < 1 se cumpleP (X p) = P (Y a)

donde Y B(p, a+ b 1).Ejercicio 25.

De una estacion parte un tren cada 20 minutos. Un viajero llega de improviso a la estacion. Hallar:

1 - Funcion de distribucion de la variable aleatoria tiempo de espera.

2 - Probabilidad de esperar al tren menos de 7 minutos.

3 - Esperanza y varianza del tiempo de espera.

Ejercicio 26.

Se eligen dos puntos al azar X e Y del segmento [0,1].

1 - Calcular la probabilidad de que el segmento entre X e Y tenga longitud mayor que 1/3.

2 - Calcular la probabilidad de que los segmentos colas que dejan X e Y tengan ambosdistancia mayor que 1/3.

3 - Hallar la probabilidad de que la union de las dos colas tenga distancia mayor que 2/3.

Ejercicio 27.

La duracion en horas de un valvula electronica sigue una distribucion exponencial con media 100horas. Una compana que las produce desea garantizarlas durante un cierto tiempo. Cuantashoras debe amparar la garanta para que la probabilidad de que funcione, durante ese perodo detiempo, sea por lo menos 0,95?

Ejercicio 28.

Los tiempos entre dos llamadas consecutivas a una central telefonica se distribuyen exponencial-mente con media 20 minutos y son independientes.

1 - Calcular la probabilidad de que en 10 minutos no se reciba ninguna llamada.



2 - Calcular la probabilidad de que en 15 minutos se reciban mas de 2 llamadas.

3 - Cuantas llamadas se reciben por termino medio en 8 horas?

Ejercicio 29.

La demanda de cierto producto cada semana se distribuye con funcion de densidad

f(x) =

{ex x 00 en otro caso

El aprovisionamiento del producto para satisfacer la demanda se hace al principio de cada semana.La venta de una cantidad X produce una ganancia aX y el sobrante Y que queda al final de cadasemana no es utilizable y produce un perdida bY .

Hallar la cantidad k conveniente de aprovisionamiento por semana para que la ganancia espe-radasea maxima.

Ejercicio 30.

Si X Beta(, ), hallar la distribucion de Y = 1X.Ejercicio 31.

Si la proporcion desconocida p de personas favorables a un pregunta de opinion le asociamos unadistribucion Beta(10;9), cual es la probabilidad de que dicha proporcion no diste de 0,5 mas de0,1?

Ayuda: Use el ejercicio 24.

Ejercicio 32.

Si X sigue una distribucion normal con media 10 y desviacion tpica 2, se pide:

1 - P (X 12).2 - P (|X| 3).3 - P (|X 10| 1).4 - Hallar el valor a para que P (|X 10| a) = 0, 95.5 - El k-esimo percentil de una distribucion de probabilidad de una variable aleatoria absoluta-

mente continua se define como el valor xp del recorrido de la variable tal que FX(xp) = p.Hallar el percentil X0,95.

Ejercicio 33.

Una variable aleatoria normal verifica:

P (X 16) = 0, 82 P (X 3) = 0, 15.

Hallar su media y varianza, y calcular P (2, 5 X < 4).

Probabilidad I - 21


Ejercicio 34.

La altura de los hombres de una poblacion siguen una distribucion normal con 1=170cm y1=7cm, y la de las mujeres otra distribucion normal con 2=160cm y 2=6cm. Se suponen queson independientes.

1 - Se elige un hombre y una mujer al azar. Calcular la probabilidad de que el hombre sea masalto que la mujer.

2 - Se escogen 20 hombres al azar. Calcular la probabilidad de que por lo menos uno supere los191cm de altura.

3 - En una habitacion se miden, de una en una, las alturas de las mujeres que van entrando.Calcular la probabilidad de que la cuarta mujer con altura superior a 160cm sea la decimaque ha entrado.

Ejercicio 35.

Suponemos que para un cierto examen, los estudiantes del curso A alcanzan puntuaciones que sedistribuyen N(625, 100), y los del curso B, puntuaciones que se distribuyen N(600, 150).

Si dos estudiantes del curso A y tres del curso B realizan este examen, cual es la probabilidad deque la media de los dos estudiantes del curso A sea mayor que la media de los tres del curso B?

Ejercicio 36.

Las variables Y1 e Y2 son independientes, con distribucion N(0, 1). Dadas las variables X =3 + 2Y1 Y2 e Y = 5 + Y1 + Y2.

1 - Hallar la distribucion de densidad bivariante de (X, Y ).

2 - Como se distribuye la variable Z = 3X + 4Y 1?Ejercicio 37.

Sea X N(, 2). Hallar la distribucion de Y = eX y calcule su media y varianza.Nota: A la distribucion de Y se la conoce con el nombre de distribucion lognormal.

Ejercicio 38.

Sea X U(a, b). Halle la distribucion de

Y = 1b a log

(bXb a

).

Ejercicio 39.

Sea X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, cada una con una distribucion N(0, 1). De-muestre que

X =ni=1

X2i Gamma(n

2,1

2

).

Nota: Este caso particular de la distribucion Gamma se le conoce con el nombre chi cuadrado conn grados de libertad y se la representa de la siguiente forma: X 2n.Ayuda: use las generatrices de momentos.



Ejercicio 40.

Sean U 2m y V 2n variables aleatorias independientes. Defina

X =U/m

V/n=

n

m

U

V.

Demuestre que

fX(x) =(m+n2

)(n2

)(m2

) (mn

)m/2xm/21

(1 +

m

nx)(m+n)/2

x 0.

Nota: A esta distribucion se la conoce con el nombre de F de Snedecor con m grados de libertaden el numerador y n grados de libertad en el denominador. Se la representa de la siguiente forma:

X Fn,m o X F (n,m).

Ejercicio 41.

Sean U N(0, 1) y V 2n variables aleatorias independientes. Defina

X =UV/n

.

Demuestre que

fX(x) =(n+12

)(n2

)(12

) 1n

(1 +

x2

n

)(n+1)/2x R.

Nota: A esta distribucion se la conoce con el nombre de t de Student con n grados de libertad. Sela representa

X tn.

Probabilidad I - 23


6.7. Tablas

tabla de la funcion de distribucion de una normal estandar

(z) =

z

12pie

x2

2 dx

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,535860,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,575350,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,614090,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,651730,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,687930,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,722400,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,754900,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,785240,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,813270,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,838911,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,862141,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,882981,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,901471,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,917741,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,931891,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,944081,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,954491,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,963271,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,970621,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,976702,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,981692,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,985742,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,988992,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,991582,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,993612,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,995202,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,996432,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,997362,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,998072,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,998613,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,999003,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,999293,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,999503,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,999653,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,999763,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,999833,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,999893,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,999923,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,999953,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,999974,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998



tabla de los valores del recorrido de una distribucion 2 por probabilidadacumulada segun grados de libertad

Probabilidad acumulada 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4

1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,04 0,06 0,10 0,15 0,282 0,00 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 0,33 0,45 0,58 0,71 1,023 0,02 0,07 0,12 0,22 0,35 0,58 0,80 1,01 1,21 1,42 1,874 0,09 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 1,37 1,65 1,92 2,20 2,755 0,21 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 1,99 2,34 2,68 3,00 3,666 0,38 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 2,66 3,07 3,46 3,83 4,577 0,60 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 3,36 3,82 4,26 4,67 5,498 0,86 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 4,08 4,59 5,07 5,53 6,429 1,15 1,74 2,09 2,70 3,33 4,17 4,82 5,38 5,90 6,39 7,3610 1,48 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 5,57 6,18 6,74 7,27 8,3011 1,83 2,60 3,05 3,82 4,58 5,58 6,34 6,99 7,58 8,15 9,2412 2,21 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 7,11 7,81 8,44 9,03 10,1813 2,62 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 7,90 8,63 9,30 9,93 11,1314 3,04 4,08 4,66 5,63 6,57 7,79 8,70 9,47 10,17 10,82 12,0815 3,48 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 9,50 10,31 11,04 11,72 13,0316 3,94 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 10,31 11,15 11,91 12,62 13,9817 4,42 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 11,13 12,00 12,79 13,53 14,9418 4,91 6,27 7,02 8,23 9,39 10,87 11,95 12,86 13,68 14,44 15,8919 5,41 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 12,77 13,72 14,56 15,35 16,8520 5,92 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 13,60 14,58 15,45 16,27 17,8121 6,45 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 14,44 15,45 16,34 17,18 18,7722 6,98 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 15,28 16,31 17,24 18,10 19,7323 7,53 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 16,12 17,19 18,14 19,02 20,6924 8,09 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 16,97 18,06 19,04 19,94 21,6525 8,65 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 17,82 18,94 19,94 20,87 22,6226 9,22 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 18,67 19,82 20,84 21,79 23,5827 9,80 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 19,53 20,70 21,75 22,72 24,5428 10,39 12,46 13,57 15,31 16,93 18,94 20,39 21,59 22,66 23,65 25,5129 10,99 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 21,25 22,48 23,57 24,58 26,4830 11,59 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 22,11 23,36 24,48 25,51 27,4440 17,92 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 30,86 32,35 33,66 34,87 37,1345 21,25 24,31 25,90 28,37 30,61 33,35 35,29 36,88 38,29 39,59 42,0050 24,67 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 39,75 41,45 42,94 44,31 46,8655 28,17 31,74 33,57 36,40 38,96 42,06 44,25 46,04 47,61 49,06 51,7460 31,74 35,53 37,49 40,48 43,19 46,46 48,76 50,64 52,29 53,81 56,6265 35,36 39,38 41,44 44,60 47,45 50,88 53,29 55,26 56,99 58,57 61,5170 39,04 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 57,84 59,90 61,70 63,35 66,4075 42,76 47,21 49,48 52,94 56,05 59,80 62,41 64,55 66,42 68,13 71,2980 46,52 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 66,99 69,21 71,15 72,92 76,1985 50,32 55,17 57,63 61,39 64,75 68,78 71,59 73,88 75,88 77,71 81,0990 54,16 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 76,20 78,56 80,63 82,51 85,9995 58,02 63,25 65,90 69,93 73,52 77,82 80,81 83,25 85,38 87,32 90,90100 61,92 67,33 70,07 74,22 77,93 82,36 85,44 87,95 90,13 92,13 95,81

Probabilidad I - 25


tabla de los valores del recorrido de una distribucion 2 por probabilidadacumulada segun grados de libertad (continuacion)

Probabilidad acumulada 0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995

1 0,46 0,71 1,07 1,32 1,64 2,07 2,71 3,84 5,02 6,64 7,882 1,39 1,83 2,41 2,77 3,22 3,79 4,61 5,99 7,38 9,21 10,603 2,37 2,95 3,67 4,11 4,64 5,32 6,25 7,82 9,35 11,35 12,844 3,36 4,05 4,88 5,39 5,99 6,75 7,78 9,49 11,14 13,28 14,865 4,35 5,13 6,06 6,63 7,29 8,12 9,24 11,07 12,83 15,09 16,756 5,35 6,21 7,23 7,84 8,56 9,45 10,65 12,59 14,45 16,81 18,557 6,35 7,28 8,38 9,04 9,80 10,75 12,02 14,07 16,01 18,48 20,288 7,34 8,35 9,52 10,22 11,03 12,03 13,36 15,51 17,54 20,09 21,969 8,34 9,41 10,66 11,39 12,24 13,29 14,68 16,92 19,02 21,67 23,5910 9,34 10,47 11,78 12,55 13,44 14,53 15,99 18,31 20,48 23,21 25,1911 10,34 11,53 12,90 13,70 14,63 15,77 17,28 19,68 21,92 24,73 26,7612 11,34 12,58 14,01 14,85 15,81 16,99 18,55 21,03 23,34 26,22 28,3013 12,34 13,64 15,12 15,98 16,99 18,20 19,81 22,36 24,74 27,69 29,8214 13,34 14,69 16,22 17,12 18,15 19,41 21,06 23,69 26,12 29,14 31,3215 14,34 15,73 17,32 18,25 19,31 20,60 22,31 25,00 27,49 30,58 32,8016 15,34 16,78 18,42 19,37 20,47 21,79 23,54 26,30 28,85 32,00 34,2717 16,34 17,82 19,51 20,49 21,62 22,98 24,77 27,59 30,19 33,41 35,7218 17,34 18,87 20,60 21,61 22,76 24,16 25,99 28,87 31,53 34,81 37,1619 18,34 19,91 21,69 22,72 23,90 25,33 27,20 30,14 32,85 36,19 38,5820 19,34 20,95 22,78 23,83 25,04 26,50 28,41 31,41 34,17 37,57 40,0021 20,34 21,99 23,86 24,94 26,17 27,66 29,62 32,67 35,48 38,93 41,4022 21,34 23,03 24,94 26,04 27,30 28,82 30,81 33,92 36,78 40,29 42,8023 22,34 24,07 26,02 27,14 28,43 29,98 32,01 35,17 38,08 41,64 44,1824 23,34 25,11 27,10 28,24 29,55 31,13 33,20 36,42 39,36 42,98 45,5625 24,34 26,14 28,17 29,34 30,68 32,28 34,38 37,65 40,65 44,31 46,9326 25,34 27,18 29,25 30,44 31,80 33,43 35,56 38,89 41,92 45,64 48,2927 26,34 28,21 30,32 31,53 32,91 34,57 36,74 40,11 43,20 46,96 49,6528 27,34 29,25 31,39 32,62 34,03 35,72 37,92 41,34 44,46 48,28 50,9929 28,34 30,28 32,46 33,71 35,14 36,85 39,09 42,56 45,72 49,59 52,3430 29,34 31,32 33,53 34,80 36,25 37,99 40,26 43,77 46,98 50,89 53,6740 39,34 41,62 44,17 45,62 47,27 49,24 51,81 55,76 59,34 63,69 66,7745 44,34 46,76 49,45 50,99 52,73 54,81 57,51 61,66 65,41 69,96 73,1750 49,34 51,89 54,72 56,33 58,16 60,35 63,17 67,51 71,42 76,15 79,4955 54,34 57,02 59,98 61,67 63,58 65,86 68,80 73,31 77,38 82,29 85,7560 59,34 62,14 65,23 66,98 68,97 71,34 74,40 79,08 83,30 88,38 91,9565 64,34 67,25 70,46 72,29 74,35 76,81 79,97 84,82 89,18 94,42 98,1170 69,33 72,36 75,69 77,58 79,72 82,26 85,53 90,53 95,02 100,43 104,2275 74,33 77,46 80,91 82,86 85,07 87,69 91,06 96,22 100,84 106,39 110,2980 79,33 82,57 86,12 88,13 90,41 93,11 96,58 101,88 106,63 112,33 116,3285 84,33 87,67 91,33 93,39 95,73 98,51 102,08 107,52 112,39 118,24 122,3390 89,33 92,76 96,52 98,65 101,05 103,90 107,57 113,15 118,14 124,12 128,3095 94,33 97,86 101,72 103,90 106,36 109,29 113,04 118,75 123,86 129,97 134,25100 99,33 102,95 106,91 109,14 111,67 114,66 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17



tabla de los valores del recorrido de una distribucion t por probabilidadacumulada segun grados de libertad

Probabilid

adacumulad

a

0,550,6

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

0,9750,98

0,990,995

0,99750,999

10,158

40,3249

0,7265

1,0000

1,3764

1,9626

3,0777

6,3138

12,7062

15,894531,8205

63,6567127,3213

318,30882

0,1421

0,2887

0,6172

0,8165

1,0607

1,3862

1,8856

2,9200

4,3027

4,84876,9646

9,924814,0890

22,32713

0,1366

0,2767

0,5844

0,7649

0,9785

1,2498

1,6377

2,3534

3,1824

3,48194,5407

5,84097,4533

10,21454

0,1338

0,2707

0,5686

0,7407

0,9410

1,1896

1,5332

2,1318

2,7764

2,99853,7469

4,60415,5976

7,17325

0,1322

0,2672

0,5594

0,7267

0,9195

1,1558

1,4759

2,0150

2,5706

2,75653,3649

4,03214,7733

5,89346

0,1311

0,2648

0,5534

0,7176

0,9057

1,1342

1,4398

1,9432

2,4469

2,61223,1427

3,70744,3168

5,20767

0,1303

0,2632

0,5491

0,7111

0,8960

1,1192

1,4149

1,8946

2,3646

2,51682,9980

3,49954,0293

4,78538

0,1297

0,2619

0,5459

0,7064

0,8889

1,1081

1,3968

1,8595

2,3060

2,44902,8965

3,35543,8325

4,50089

0,1293

0,2610

0,5435

0,7027

0,8834

1,0997

1,3830

1,8331

2,2622

2,39842,8214

3,24983,6897

4,296810

0,1289

0,2602

0,5415

0,6998

0,8791

1,0931

1,3722

1,8125

2,2281

2,35932,7638

3,16933,5814

4,143711

0,1286

0,2596

0,5399

0,6974

0,8755

1,0877

1,3634

1,7959

2,2010

2,32812,7181

3,10583,4966

4,024712

0,1283

0,2590

0,5386

0,6955

0,8726

1,0832

1,3562

1,7823

2,1788

2,30272,6810

3,05453,4284

3,929613

0,1281

0,2586

0,5375

0,6938

0,8702

1,0795

1,3502

1,7709

2,1604

2,28162,6503

3,01233,3725

3,852014

0,1280

0,2582

0,5366

0,6924

0,8681

1,0763

1,3450

1,7613

2,1448

2,26382,6245

2,97683,3257

3,787415

0,1278

0,2579

0,5357

0,6912

0,8662

1,0735

1,3406

1,7531

2,1314

2,24852,6025

2,94673,2860

3,732816

0,1277

0,2576

0,5350

0,6901

0,8647

1,0711

1,3368

1,7459

2,1199

2,23542,5835

2,92083,2520

3,686217

0,1276

0,2573

0,5344

0,6892

0,8633

1,0690

1,3334

1,7396

2,1098

2,22382,5669

2,89823,2224

3,645818

0,1274

0,2571

0,5338

0,6884

0,8620

1,0672

1,3304

1,7341

2,1009

2,21372,5524

2,87843,1966

3,610519

0,1274

0,2569

0,5333

0,6876

0,8610

1,0655

1,3277

1,7291

2,0930

2,20472,5395

2,86093,1737

3,579420

0,1273

0,2567

0,5329

0,6870

0,8600

1,0640

1,3253

1,7247

2,0860

2,19672,5280

2,84533,1534

3,551821

0,1272

0,2566

0,5325

0,6864

0,8591

1,0627

1,3232

1,7207

2,0796

2,18942,5176

2,83143,1352

3,527222

0,1271

0,2564

0,5321

0,6858

0,8583

1,0614

1,3212

1,7171

2,0739

2,18292,5083

2,81883,1188

3,505023

0,1271

0,2563

0,5317

0,6853

0,8575

1,0603

1,3195

1,7139

2,0687

2,17702,4999

2,80733,1040

3,485024

0,1270

0,2562

0,5314

0,6848

0,8569

1,0593

1,3178

1,7109

2,0639

2,17152,4922

2,79693,0905

3,466825

0,1269

0,2561

0,5312

0,6844

0,8562

1,0584

1,3163

1,7081

2,0595

2,16662,4851

2,78743,0782

3,450226

0,1269

0,2560

0,5309

0,6840

0,8557

1,0575

1,3150

1,7056

2,0555

2,16202,4786

2,77873,0669

3,435027

0,1268

0,2559

0,5306

0,6837

0,8551

1,0567

1,3137

1,7033

2,0518

2,15782,4727

2,77073,0565

3,421028

0,1268

0,2558

0,5304

0,6834

0,8546

1,0560

1,3125

1,7011

2,0484

2,15392,4671

2,76333,0469

3,408229

0,1268

0,2557

0,5302

0,6830

0,8542

1,0553

1,3114

1,6991

2,0452

2,15032,4620

2,75643,0380

3,396230

0,1267

0,2556

0,5300

0,6828

0,8538

1,0547

1,3104

1,6973

2,0423

2,14702,4573

2,75003,0298

3,385240

0,1265

0,2550

0,5286

0,6807

0,8507

1,0500

1,3031

1,6839

2,0211

2,12292,4233

2,70452,9712

3,306950

0,1263

0,2547

0,5278

0,6794

0,8489

1,0473

1,2987

1,6759

2,0086

2,10872,4033

2,67782,9370

3,261460

0,1262

0,2545

0,5272

0,6786

0,8477

1,0455

1,2958

1,6706

2,0003

2,09942,3901

2,66032,9146

3,231770

0,1261

0,2543

0,5268

0,6780

0,8468

1,0442

1,2938

1,6669

1,9944

2,09272,3808

2,64792,8987

3,210880

0,1261

0,2542

0,5265

0,6776

0,8461

1,0432

1,2922

1,6641

1,9901

2,08782,3739

2,63872,8870

3,195390

0,1260

0,2541

0,5263

0,6772

0,8456

1,0424

1,2910

1,6620

1,9867

2,08392,3685

2,63162,8779

3,1833100

0,1260

0,2540

0,5261

0,6770

0,8452

1,0418

1,2901

1,6602

1,9840

2,08092,3642

2,62592,8707

3,17371000

0,1257

0,2534

0,5246

0,6747

0,8420

1,0370

1,2824

1,6464

1,9623

2,05642,3301

2,58082,8133

3,0984

0,1257

0,2533

0,5244

0,6745

0,8416

1,0364

1,2816

1,6449

1,9600

2,05382,3264

2,57582,8070

3,0902

Probabilidad I - 27


6.8. Notacion:

X la variable aleatoria X~X el vector aleatorio XRec(X) el recorrido de XfX(x) la funcion de cuanta o densidad de XMX(t) la funcion generatriz de momentos de XE(X) el valor esperado o esperanza de XVar(X) la varianza de Xx0,5 la mediana de Xxmo el modo de X se distribuye se distribuye aproximadamente equivalente[a] numero entero mas cercano a a. Ejemplo: [1,3]=1 y [1,6]=2.bac parte entera por defecto de a. Ejemplo: b1,3c = 1 y b1,6c = 1.

distribuciones de probabilidad

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