UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA U.C.: ESTADÍSTICA

TEMA Nº 4. DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS

En este tema se estudiarán algunas distribuciones específicas de probabilidad que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos problemas prácticos. Se examinarán varias distribuciones, tanto Discretas como Continuas. En cada caso se expondrán detalladamente las características distintivas de las Distribuciones particulares de Probabilidad y se deducirán o se establecerán sus parámetros principales (media, varianza).

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS: DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME La VA Discreta más sencilla es aquella que toma solo un número finito de valores posibles, cada uno con la misma probabilidad de ocurrencia. Esta distribución de probabilidad se llama DISTRBICUIÓN DISCRETA UNIFORME, la cual está dad por:

Se ha usado la notación f(x,k) en lugar de f(x) para indicar que la DDU depende del parámetro k. La media y la varianza de una DDU están dadas por:

k

X

μ

k

1i

i

x k

μ)(x

σ

k

1i

2

i2

x

Ej: En un proceso de recubrimiento se tomaron varias divisiones del espesor, hasta le centésima de mm más cercana. Las mediciones están distribuidas de manera uniforme con valores 0,15; 0,16; 0,18; 0,20; 0,25. Calcule la media y la varianza.

5

1f(x,5)

k

1k)f(x,

0,1885

0,250,200,180,160,15μx

Variablela de valores de Número :k k

1k)f(x,

0,0012565

0,188-0,250,188-0,200,188-0,180,188-0,160,188-0,15σ2

x

22222

PROCESO DE BERNOULLI

Muchos experimentos aleatorios producen resultados que pueden considerarse como éxitos o fracasos, por ejemplo:

1) Lanzar una moneda al aire 10 veces y ver el mínimo de caras obtenidas 2) Una máquina herramienta desgastada produce X cantidad de partes

defectuosas en las siguientes 25 que se producen 3) De los siguientes 20 nacimientos en un hospital, se observa el número

de niños Un ensayo con solo dos resultados posibles denotados por “éxito” o “fracaso” recibe el nombre de ENSAYO O PROCESO DE BERNOULLI. Un ensayo de Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:

a. El experimento consiste en n ensayos repetidos b. Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como

éxito o fracaso c. La probabilidad de éxito, permanece constante para todos los intentos d. Los eventos repetidos son independientes (Implica que el resultado de

uno de los ensayos no tiene ningún efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo)

El proceso de Bernoulli genera una VA X que representa el número de éxitos en n ensayos repetidos y que se denomina VA Binomial o VA Bernoulli. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Posee las mismas propiedades que el Procesote Beronulli. Un experimento aleatorio Binomial puede resultar en un Éxito con probabilidad “p” o en un fracaso con probabilidad “q=1–p”. La Distribución de Probabilidad de la VA X, número de éxitos en n ensayos independientes, está dada por:

n1,2,..., x qpp)n,f(x, xnxn

x

Donde: p)n,f(x,f(x)x)P(X ; x!!xn

n!n

x

La media y la varianza de la Distribución Binomial, están dadas por:

npμx npqσ2

x

Ej: La probabilidad de recibir de manera errónea un bip transmitido por un canal de transmisión digital es 0,30. Además supóngase que los ensayos de transmisión son independientes. Sea X el número de bips recibidos por error en los primeros 6 que sean transmitidos. Calcule P(X=2). Se tiene que p = 0,30; q = 1-p = 0,70; n = 6; x=2

2626

2

0,700,30)f(2;6;0,302)P(X

0,32410,24010,092!4!

6!)f(2;6;0,30

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Considérese una serie de ensayos de Bernoulli, los cuales son independientes con probabilidad de éxito constante p en cada ensayo. Sin embargo, en lugar de tener un número fijo de ensayos, ahora éstos se realizan hasta que se obtiene un éxito. Entonces se genera una VA X que representa el Número de ensayos realizados hasta obtener el primer éxito.Esta VA tiene una Distribución de Probabilidad llamada DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA la cual se enuncia: “Si un experimento aleatorio puede resultar en un éxito con probabilidad “p” o en un fracaso con probabilidad “q=1-p”, la Distribución de probabilidad de la VA X número de ensayos en el cual ocurre el primer éxito esta dad por:

La media y la varianza de la Distribución Geométrica, están dadas por:

p

1μx 2

2

xp

p1σ

1-xpqp)g(x,

Ej: La probabilidad de que una empresa contratista gane una licitación para un nuevo proyecto es 0,77. Encuentre la probabilidad de que una contratista gane una licitación:

a) En el tercer intento b) Antes del cuarto intento

a) En el tercer intento

X = 3; p = 0,77 1-xpqp)g(x,

0,0407 0,77)(1-0,77g(3;0,77) 1-3

b) Antes del cuarto intento

g(3;0,77)g(2;0,77)g(1;0,77)3)P(X2)P(X1)P(X3)P(X

0,0407 (0,23)0,77g(3;0,77)

0,1771 (0,23)0,77g(2;0,77)

0,77 (0,23)0,77g(1;0,77)

2

1

0

0,9878 0,04070,17710,773)P(X

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

En la Distribución Binomial y Geométrica los ensayos son independientes, es decir, el resultado de uno de los ensayos no tiene ningún efecto sobre el resultado que se obtenga en otro ensayo. Ésto se debe a que los ensayos se realizan con reemplazo. Pero que sucede si dichos ensayos se realizan sin reemplazo, entonces, se obtiene una distribución llamada HIPERGEOMÉTRICA. Un experimento Hipergeométrico posee las siguientes propiedades:

- De N resultados se selecciona una muestra al azar (sin reemplazo) de tamaño N

- De los N resultados, k de ellos son éxitos y N – k son fracasos Se enuncia de la siguiente manera: Sea un experimento aleatorio con N resultados, de los cuales k de ellos se clasifican como éxitos y N-k como fracasos. La distribución de probabilidad de la VA X que representa el número de éxitos de una muestra de tamaño n seleccionada de los N resultados independientes esta dada por:

Donde: K: Número de éxitos en el total (N) X: Número de éxitos en la muestra N: Tamaño de la muestra La media y la varianza de la Distribución Hipergeométrica, están dadas por:

N

nkμx

N

k1

1N

nN

N

nkσ2

x

Ej: Para evitar la detección en las aduanas, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcóticos en un frasco que contiene 9 tabletas de vitaminas con apariencia similar. Si un vigilante selecciona 3 tabletas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? Se tiene: N= 15; n=3; k=6 El viajero será arrestado si el vigilante de las tres que selecciona obtiene 3 o menos tabletas de narcóticos, entonces:

)h(3,15,3,6)h(2,15,3,6)h(1,15,3,63)P(X2)P(X1)P(X3)P(X

455

216)h(1,15,3,6

15

3

6-15

1-3

6

1

91

27)h(2,15,3,6

15

3

6-15

2-3

6

2

n0,1,2,..., x k)n,N,h(x,N

n

k-N

x-n

k

x

91

4)h(3,15,3,6

15

3

6-15

3-3

6

3

0,8255

53

91

4

91

27

455

2163)P(X

DISTRIBUCIÓN POISSON

La Distribución Poisson es una de las Distribuciones Probabilísticas Discretas más útiles en la que la VA representa el número de resultados que ocurren durante un intervalo de tiempo dado o en una región especificada. La región especificada puede ser un segmento de recta, área, volumen o quizás una porción de material. Algunos ejemplos de una VA X Poisson incluyen:

- Número de llamadas telefónicas recibidas por hora en una oficina - Número de personas que llegan a una tienda en un intervalo de tiempo

determinado - Número de solicitudes de seguro procesadas por una compañía en un

año - Número de bloques puestos en una edificación por día - Número de errores de mecanografía por página - Número de plantas sembradas por hectárea - Número de bacterias por cultivo

Un experimento de Poisson posee las siguientes propiedades:

a) El número de resultados en un intervalo de tiempo dado o en una región

especificada es estadísticamente independiente al de otro intervalo o región.

b) La probabilidad de que ocurra un resultado en un intervalo de tiempo dado o en una región es proporcional a la magnitud del intervalo de tiempo o región, sin importar el número de resultados que ocurran fuera del intervalo o región.

c) La probabilidad de que ocurra más de un resultado en una región especificada o en un intervalo de tiempo dado es despreciable.

La DISTRIBUCIÓN POISSON se enuncia como sigue:

La distribución de probabilidad de la VA de Poisson X que representa el número de resultados que se producen en un intervalo de tiempo dado o en una región específica esta dada por:

Donde λ representa el número promedio de resultados en un intervalo de tiempo dado o región especificada

La media y la varianza de la Distribución Poisson, están dadas por:

λμx λσ2

x

Ej: El número promedio de partículas radiactivas que detecta un contador durante un milisegundo (ms) en un experimento es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que se detecten 6 partículas en 1ms?

Se tiene: λ = 4

0,1042 6!

4ep(6,4)6)P(x

64

¿Cuál es la probabilidad de que se detecten menos de 3 partículas?

0,2198 2!

4e

1!

4ep(2,4)p(1,4)2)P(X1)P(X3)P(x

244

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS: DISTRIBUCIÓN CONTINUA UNIFORME Supóngase que ocurre un evento en que una variable aleatoria toma valores de un intervalo finito, de manera que éstos se encuentran distribuidos igualmente sobre el intervalo. Esto es, la probabilidad de que la VA tome un valor en cada subintervalo de igual longitud es la misma. Se dice entonces que la VA se encuentra distribuida uniformemente sobre el intervalo y su función de densidad esta dada por:

n0,1,2,..., xx!

λeλ)p(x,

xλ

valor otro cualquier para 0

bxa si ab

1

b)a,f(x,

La media y la varianza de la Distribución Continua Uniforme son:

2

baE(X)μx

12

a)(bV(X)σ

22

x

Ej: Sea la VAC X que representa la corriente medida en miliamperes, en un conductor delgado de cobre. Supóngase que el rango de X es [0,20 mA] y que la función de densidad de probabilidad de X es f(x) = 0,05 si 0 ≤ x ≤ 20. ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de corriente esté entre 5 y 10 mA?

10

5

10

5

10

5

0,250,05x0,05dxf(x)dx10)xP(5

DISTRIBUCIÓN NORMAL La Distribución NORMAL o GAUSSIANA es indudablemente la más importante y la de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. La apariencia gráfica de esta distribución es una curva simétrica en forma de campana, que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como en la negativa.

La función de densidad de una VAN X con media μ y varianza 2σ es:

µ X

Área = 1

2

σ

μx21

eσ2

1σ)μ,n(x,

π 0σ

μ

x

2

Donde: X: Valor de cualquier observación específica μ : La media de la distribución

σ : La desviación estándar de la distribución π : La constante 3,14159… e: La constante 2,71828…

La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de densidad está construida de tal modo que el área bajo la curva, limitada por los puntos x=x1 y x=x2 es igual a la probabilidad de que la VAX asuma un valor entre x=x1 y x=x2, esto es:

P(x1<x<x2)= Área de la región sombreada

2

1

x

x

21 σ)dxμ,n(x,)xxP(x

La dificultad que se encuentra al resolver integrales de las funciones de densidad de muchas variables aleatorias normales hace necesaria la tabulación de las áreas de la curva para una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea incalculable crear tablas separadas para cada valor concebible de σ y μ . Por ello, es posible transformar todas las observaciones de cualquier

VAN X en un nuevo conjunto de observaciones de una VAN Z con 0μ y 1σ

. La cual recibe el nombre de Variable Aleatoria Normal Estándar.

Si X es una Variable aleatoria normal con E(X) = μ y V(X) = 2σ , entonces la

variable aleatoria:

σ

μxZ

μX1 X2

Es una Variable aleatoria normal con E(Z) = 0 y V(Z) = 1. Esto es, Z es una variable aleatoria normal estándar.

z)P(Zx)P(X

Ej: Supóngase que las mediciones de corriente realizadas en una pista de alambre conductor siguen una distribución normal con media de 10 miliamperes y varianza de 4 mA2. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de medición se encuentre entre 9 y 12 mA?

)zP(z)zP(z)zzP(z)xxP(x 122121

0,502

109

σ

μxZ 1

1 y 1,002

1012

σ

μxZ 2

2

-0,50)P(z1,00)P(z1,00)zP(-0,5012)xP(9

De la tabla de la Distribución Normal Estándar:

0,3085 -0,50)P(z

0,84131,00)P(z

0,53280,3085-0,84131,00)zP(-0,50

DISTRIBUCIÓN GAMMA Y EXPONENCIAL La Distribución Poisson se desarrolló como una distribución con un parámetro

llamado λ , donde λ puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de tiempo. Considérese ahora una VA descrita como el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento, de esta forma se obtiene una Distribución llamada EXPONENCIAL la cual, entonces, describe el tiempo hasta que ocurre un evento de poisson (o el tiempo entre eventos de Poisson). Por otro lado, la DISTRIBUCIÓN GAMMA describe la función de densidad de la VA que representa el tiempo (o espacio) que transcurre hasta que ocurre un “número específico de eventos de Poisson”. Éste número específico de eventos se conoce como α en la función de densidad Gamma. Una VAC X tiene una Distribución Gamma con parámetros β y α si su función

de densidad es:

valor otro cualquier para 0

0 xsi exΓ(α)β

1

f(x)

βx-1-α

α

La media y la varianza de la Distribución Gamma son:

αβμx 22

x αβσ

Una VAC X tiene una Distribución Exponencial con parámetro β si su función

de densidad es:

Donde: λ

1β

La media y la varianza de la Distribución Exponencial son:

βμx 22

x βσ

La Distribución Exponencial es un caso especial de la Distribución Gamma cuando α = 1.

Ej: Suponga que llegan llamadas telefónicas a un conmutador en particular y que siguen el proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pase hasta 1 minuto antes de que lleguen 2 llamadas? Se tiene que el número promedio de llamadas telefónicas en un intervalo de tiempo (1 minuto) es 5, entonces:

llamadas 2α ; 5

1β

β

15λ

valor otro cualquier para 0

0 xsi eβ

1

f(x)

βx-

1

0

βx-

αxe

β

1x)P(X

1

0

1

0

5x5x

1

0

51

-x

1-2

20,96

5

1x

5

e25dxxe25dxex

51

11)P(X