distribuciones de frecuencias-b

Distribuciones de frecuenciasElaborado por Lic. Gabriel Leandro, MBA

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4.Distribuciones de frecuencias

Concepto

Es una disposición tabular que agrupa los datos en categorías

mutuamente excluyentes y en la que se indica la cantidad de

observaciones correspondientes a cada categoría.

Se emplea para resumir grandes cantidades de información.

Se puede emplear tanto en variables cualitativas como cuantitativas.

Cada clase se asocia con una frecuencia.

La frecuencia es el número de veces que se repite (aparece) el mismo

dato estadístico en un conjunto de observaciones



Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua

Se tienen los siguientes datos que corresponden a la edad de 30 personas:

19 25 32 40 21 28 56 27 31 29

41 36 32 18 50 48 25 33 35 26

28 24 22 27 35 26 43 34 43 39




19 25 32 40 21 28 56 27 31 29

41 36 32 18 50 48 25 33 35 26

28 24 22 27 35 26 43 34 43 39

Paso 1: Determinación del rango o amplitud total: Esto consiste en encontrar la diferencia entre el dato más alto y el más bajo. En este caso:

Dato mayor: 56Dato menor: 18Rango = dato mayor menos dato menor = 56 – 18 = 38




Paso 2: Selección del intervalo de clase (c): Se recomienda entre un mínimo de 5 clases y un máximo de 15. Se divide el rango entre 5 y entre 15:

38 ÷ 5 = 7.6 38 ÷ 15 = 2.53

Se escoge un número entero entre 2.53 y 7.6, por ejemplo c = 5.

Paso 1: Determinación del rango o amplitud total: Esto consiste en encontrar la diferencia entre el dato más alto y el más bajo. En este caso:

Dato mayor: 56Dato menor: 18Rango = dato mayor menos dato menor = 56 – 18 = 38




Paso 3: Determinación de los límites de clase:Límites reales17.5 – 22.522.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5

Paso 1: Determinación del rango o amplitud total:Dato mayor: 56, Dato menor: 18, Rango = 38

Paso 2: Selección del intervalo de clase (c): c = 5

17,5 + 5 = 22,5

22,5 + 5 = 27,5




Paso 4: Determinación de los límites indicados de cada clase:Límites reales17.5 – 22.522.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5

Límites indicados18 – 2223 – 2728 – 3233 – 3738 – 4243 – 4748 – 5253 – 57




Paso 5: Cálculo de los puntos medios (Xi ):Límites reales Puntos medios Xi

17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

2025303540455055

= (Lím. Inf. + Lím. Sup.)/2

= (17.5 + 22.5) / 2= (22.5 + 27.5) / 2




Paso 6: Tabulación de los datos: Determinar frecuencia absoluta (Fi ):Límites reales Recuento Frecuencia Fi

17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

19 25 32 40 21 28 56 27 31 2941 36 32 18 50 48 25 33 35 2628 24 22 27 35 26 43 34 43 39

III

I

I

I

I

II I

II

I

I

II

I

I I

II

II

I

I

I

I

I

II

47653221

30




Paso 7: Cálculo de frecuencias relativas simples (Fr ):Lím. reales Fi Xi Fr

17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

47653221

30

2025303540455055

13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%

6,67%6,67%3,33%

100,00%

= Fi / n x 100

= 4 / 30 x 100= 7 / 30 x 100




Paso 8: Cálculo de frecuencias absolutas acumuladas a menos de (Fi ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

47653221

30

2025303540455055

13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%

6,67%6,67%3,33%

100,00%

411172225272930

+=+=




Paso 9: Cálculo de frecuencias absolutas acumuladas a más de (Fi ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

47653221

30

2025303540455055

13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%

6,67%6,67%3,33%

100,00%

411172225272930

30261913

8531




Paso 10: Cálculo de frecuencias relativas acumuladas a menos de (Fr ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi Fr 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

47653221

30

2025303540455055

13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%

6,67%6,67%3,33%

100,00%

411172225272930

30261913

8531

13,33%36,67%56,67%73,33%83,33%90,00%96,67%

100,00%




Paso 11: Cálculo de frecuencias relativas acumuladas a más de (Fr ):Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi Fr Fr

17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

47653221

30

2025303540455055

13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%

6,67%6,67%3,33%

100,00%

411172225272930

30261913

8531

13,33%36,67%56,67%73,33%83,33%90,00%96,67%

100,00%

100,00%86,67%63,33%43,33%26,67%16,67%10,00%

3,33%



Interpretación de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua

Interpretando los resultados:Lím. reales Fi Xi Fr Fi Fi Fr Fr 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

47653221

30

2025303540455055

13,33%23,33%20,00%16,67%10,00%

6,67%6,67%3,33%

100,00%

411172225272930

30261913

8531

13,33%36,67%56,67%73,33%83,33%90,00%96,67%

100,00%

100,00%86,67%63,33%43,33%26,67%16,67%10,00%

3,33%

Hay 7 personas con una edad entre 22,5

y 27,5 años.Un 56,67% de estas

personas tiene edad de 32,5 años o menos.

Un 86,67% de estas personas tiene edad de 22,5 años o más.

Un 10% de las personas del grupo tiene una edad entre 37,5

y 42,5 años.Hay 27 personas con una edad de 47,5

años o menos.

Hay 8 personas con una edad de 37,5

años o más.



Representación gráfica de la distribución de frecuenciasHistograma

Lím. reales Fi

17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5Total

47653221

30 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 X

Frecunciaabsoluta

1

0

2

3

4

5

6

7

8

52,5 57,5

Histograma



Representación gráfica de la distribución de frecuenciasPolígono de frecuencias

Puntos medios Fi

Total

47653221

30 20 25 30 35 40 45 50 X

Frecunciaabsoluta

1

0

2

3

4

5

6

7

8

55 60

Polígono de frecuencias

15

2025303540455055



Representación gráfica de la distribución de frecuenciasPolígono de frecuencias acumuladas

Lím. reales Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5

17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 X

Frecunciaabsoluta

acumulada

3

0

6

9

12

15

18

21

24

52,5 57,5

Ojivas

411172225272930

27

30Ojiva a menos de



Representación gráfica de la distribución de frecuenciasPolígono de frecuencias acumuladas

Lím. reales Fi 17.5 – 22.5 22.5 – 27.527.5 – 32.532.5 – 37.537.5 – 42.542.5 – 47.547.5 – 52.552.5 – 57.5

17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 X

Frecunciaabsoluta

acumulada

3

0

6

9

12

15

18

21

24

52,5 57,5

Ojivas

27

30Ojiva a menos de

30261913

8531

Ojiva a más de



Caso de variables discretas

Cuando la variable se obtiene por conteo, se dice que es discreta.

Se puede construir la tabla de la distribución de frecuencias de modo

similar a las variables continuas, excepto que no hay diferencia entre

los límites reales y los límites indicados.

Para la representación gráfica se emplea el gráfico de bastones en vez del histograma.

Cuando los valores de la variable son pocos (por ejemplo, el número de hijos), las

frecuencias pueden presentarse para cada valor.

Pero cuando son muchos, pueden agruparse en clases.



Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa discreta

Se tienen los siguientes datos que corresponden al número de hijos de 30 familias:

1 2 3 0 3 2 2 1 1 0

1 0 0 1 4 2 1 1 2 0

0 1 2 2 1 3 0 1 2 1



Representación gráfica de la distribución de frecuenciasVariable discreta

# hijos Fi

0 1 2 3 4 Total

711

831

30

0 1 2 3 4 # hijos/familia

Frecuncia

1

0

2

3

4

5

6

7

8

Gráfico de bastones

9

10

11


4.Distribuciones de frecuencias Caso de variables cualitativas o atributos

Cuando la variable es cualitativa, la tabla de la distribución cambia

drásticamente.

Ya no habrían límites, ni reales ni indicados, ni pueden calcularse las

frecuencias acumuladas.

Solo calculamos las frecuencias absolutas y relativas.

Para la representación gráfica se emplea el

gráfico de barras horizontales (para las frecuencias absolutas)

o el gráfico circular(para las frecuencias relativas).



Construcción de la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa discreta

Se tienen los siguientes datos que corresponden la fruta favorita de 30 niños:

piña fresa pera mango pera fresa piña piña piña fresa

pera uva piña uva fresa fresa pera fresa piña mango

uva pera piña mango fresa piña uva piña fresa piña



Representación gráfica de la distribución de frecuenciasVariable discreta

Fruta Fi

PiñaFresaPeraUvaMango Total

108543

30

Gráfico circular (frecuencias relativas)


Ejercicios


Ejercicio:

Considere el siguiente gráfico:

Con respecto a esta gráfica es falso con toda certeza que:

( a ) La variable X es cuantitativa continua( b ) La gráfica es un polígono de frecuencias( c ) Los datos corresponden a una población( d ) La gráfica corresponde a un histograma

Respuesta:La respuesta correcta es:( b ) La gráfica es un polígono de frecuencias

12,5 19,5 26,5 33,5 40,5 47,5 54,5 X

Frecunciaabsoluta

1

0

2

3

4

5

6

7

8


Ejercicio:


Con respecto a esta gráfica es verdadero que:

( a ) El intervalo de clase es 12,5( b ) El valor de n es 32( c ) El punto medio de la segunda clase es 24( d ) El límite superior de la cuarta clase es 38

Respuesta:La respuesta correcta es:( b ) El valor de n es 32

12,5 19,5 26,5 33,5 40,5 47,5 54,5 X

Frecunciaabsoluta

1

0

2

3

4

5

6

7

8


Ejercicio:


Con respecto a esta gráfica es verdadero que:( a ) La frecuencia relativa acumulada de la cuarta clase es 0,78125( b ) La frecuencia relativa de la sexta clase es 2/30 pues hasta ahí se acumulan 30 datos( c ) El punto medio de la tercera clase es 27( d ) La frecuencia absoluta acumulada de la tercera clase es 8

Respuesta:La respuesta correcta es:( a ) La frecuencia relativa acumulada de la cuarta clase es 0,78125

12,5 19,5 26,5 33,5 40,5 47,5 54,5 X

Frecunciaabsoluta

1

0

2

3

4

5

6

7

8


Ejercicio:

Considere las dos siguientes afirmaciones:

A. Si quisiéramos unir los puntos medios de barras consecutivas en un histograma de frecuencia con una serie de líneas, estaríamos graficando un polígono de frecuencias.B. Por lo regular, se considera que una distribución de frecuencia es incompleta si tiene menos de 20 clases.

Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:( a ) Ambas son verdaderas ( b ) Solo A es verdadera( c ) Solo B es verdadera ( d ) Ambas son falsas

Respuesta:La respuesta correcta es:( b ) Solo A es verdadera


Ejercicio:

Los siguientes son datos de las edades de 40 personas redondeadas al último cumpleaños.

15 26 34 36 38 41 43 44 45 5050 51 52 52 53 53 54 54 56 5858 58 59 60 60 61 61 62 62 6263 63 63 65 66 71 71 77 83 84

Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias de 7 clases. Indique el rango, el intervalo de clase, los límites de clase reales, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuencia relativa acumulada menos de.

Dibuje un histograma de las frecuencias absolutas y un polígono de frecuencias de las frecuencias absolutas.


Ejercicio – solución:

Solución ejercicio anterior:Dato mayor: 84, Dato menor: 15, Rango = 84 – 15 = 69Número de clases: 7Intervalo de clase = 69 / 7 = 9,8 10Primer límite: 15 – 0,5 = 14,5

Límites reales

Puntos medios

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia abs. acum. a menos de

Frecuencia abs. acum. a más de

Frec. Relativa acum. a

menos de

Frec. Relativa acum. a más de

14,5 – 24,5 19,5 1 2,5% 1 40 2,5% 100,0%

24,5 – 34,5 29,5 2 5,0% 3 39 7,5% 97,5%

34,5 – 44,5 39,5 5 12,5% 8 37 20,0% 92,5%

44,5 – 54,5 49,5 10 25,0% 18 32 45,0% 80,0%

54,5 – 64,5 59,5 15 37,5% 33 22 82,5% 55,0%

64,5 – 74,5 69,5 4 10,0% 37 7 93,5% 17,5%

74,5 – 84,5 79,5 3 7,5% 40 3 100,0% 7,5%

Total 40 100%


Ejercicio:

Los siguientes datos corresponden al consumo mensual de un artículo, en kg., para 30 familias. Complete el cuadro.

Consumo mensual

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frec. relativa acum. a menos de

1,25 – 1,75 4

1,75 – 2,25 30

2,25 – 2,75 20

2,75 – 3,25

3,25 – 3,75 5 70

3,75 – 4,25

Total 30


Ejercicio - solución:

Los siguientes datos corresponden al consumo mensual de un artículo, en kg., para 30 familias. Complete el cuadro.

Consumo mensual

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frec. relativa acum. a menos de

1,25 – 1,75 4

1,75 – 2,25 30%

2,25 – 2,75 20%

2,75 – 3,25

3,25 – 3,75 5 70

3,75 – 4,25

Total 30 100 Siempre suma 100

100 Siempre suma 100

4

Es igual a laprimera frecuencia13,33%

4/30 = 13,33%

16,67%5/30 = 16,67%

30%100% – 70% = 30%

630 x 20% = 6

930 x 30% = 9

16,67%30% – 13,33% = 16,67%

530 x 16,67% = 5

130 – 4 – 5 – 6 – 5 – 9 = 1

3,33%1/30 = 3,33%

50%

30% + 20% = 50%

53,33%50% + 3,33% = 50%


Ejercicio:

En los datos recopilados por la enfermera encontró los datos de los siguientes tiempos de espera de los pacientes, en minutos. Los siguientes son algunos de los datos.

15, 8, 12, 20, 28, 45, 43, 19, 9, 5, 32, 33, 36, 52, 47, 48, 39, 36, 33, 32, 31, 34, 28, 27, 10, 12, 8, 15, 16, 18, 19, 24, 27, 28, 26, 23, 21, 29 , 34, 35, 37, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 40, 38, 37, 37, 32, 22, 26, 31, 34, 38, 51



Ejercicio:

Con relación a los datos suministrados a cerca de la siguiente distribución de frecuencias, complete la tabla. Además se sabe que todas las clases tienen el mismo intervalo de clase, que es de 7.

Límites reales

Puntos medios

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frec. abs. acum. a

menos de

Frec. abs. acum. a más de

Frec. rel. acum. a

menos de

Frec. Rel. acum. a más de

? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? 0.92

? ? ? 0.4 ? ? 0.7 ?

? ? ? ? ? ? ? ?

? 25 ? ? ? 4 ? 0.04

Total ?


Ejercicio – solución:

Solución ejercicio anterior:

Límites reales

Puntos medios

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia abs. acum. a menos de

Frecuencia abs. acum. a más de

Frec. Relativa acum. a

menos de

Frec. Relativa acum. a más de

-6,5-0,5 -3 8 0,08 8 100 0,08 1,00

0,5-7,5 4 22 0,22 30 92 0,30 0.92

7,5-14,5 11 40 0,40 70 70 0,70 0,70

14,5-21,5 18 26 0,26 96 30 0,96 0,30

21,5-28,5 25 4 0,04 100 4 1,00 0,04

Total 100


Ejercicio:

Los siguientes datos corresponden al número de materias matriculadas por un grupo de estudiantes universitarios durante un cuatrimestre seleccionado al azar:

3, 4, 2, 6, 4, 5, 3, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 2, 3

Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias. Indique frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuencia relativa acumulada menos de.Construya la gráfica de bastones.


Ejercicio:

Los siguientes datos corresponden a las ciudades europeas que más le gustaría visitar a un grupo de 20 personas:

Madrid, París, Roma, Londres, Moscú, Berlín, París, Roma, París, París, Roma, Madrid, Roma, Berlín, Londres, París, Roma, París, Londres, Roma

Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias. Indique frecuencia absoluta, frecuencia relativa.Construya la gráfica circular para representar la frecuencia relativa.


Ejercicio:

Los siguientes datos corresponden a los puntos medios de las clases de una distribución de frecuencias de las estaturas de un grupo de estudiantes:

150, 155, 160, 165, 170, 175, 180

Con base en esos datos, construya una tabla de una distribución de frecuencias.Indique el rango, el intervalo de clase, los límites de clase reales, frecuenciaabsoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada menos de y frecuenciarelativa acumulada menos de.


Ejercicio:

Construya una distribución de frecuencias a partir de las 24 notas del primer examen parcial de un grupo de Estadística I que se presenta a continuación.


25 35 35 40 40 60 60 60

63 68 70 74 74 74 78 80

80 80 80 81 83 83 85 85

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