DISTRIBUCIONES EN EL

MUESTREO

Prof. Caridad Huaroto

Estructura:

• Distribución Chi-cuadrado Distribución F de Fisher - Snedecor• Distribución t de “Student”

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

Hay tres distribuciones, relacionadas con la distribución normal, que son muy utilizadas en Inferencia Estadística.

Todas ellas se definen en función de uno o dos parámetros conocidos como

grados de libertad

Se debe entender este término como el número de variables aleatorias independientes que se suman.

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADOUna variable aleatoria X sigue una distribución chi-cuadrado, con parámetro n, si su función de densidad es:

donde (n/2) es la función gamma de n/2.

x0 , )2/(2

x f(x)2n

2x1

2n

n

e

NOTACIÓN:

Se lee: X tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad.

2n ~X

GRAFICO DE LA FUNCION DE DENSIDAD

PROPIEDADES DE LA 1. PROPIEDAD REPRODUCTIVA:

Si son variables aleatorias independientes, cada una con distribución chi cuadrado, con parámetro respectivamente,entonces la variable aleatoria

sigue una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad; donde n = esto es,

•

2n

kXXX , ... , , 21

in

k

iiX

1

i

in

k

iiX

1

2n

2. RELACIÓN CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Si una variable aleatoria normal estándar Z se eleva al cuadrado, la variable resultante tiene distribución chi cuadrado, con un grado de libertad; esto es, si

21

2)1 ,0( ZNZ

)1 ,0(NZ

21

2 Z

3. Si Z1, ..., Zn son variables aleatorias independientes cada una con distribución normal estándar, entonces la variable aleatoria sigue una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad.

n

iiZ

1

2

4.El valor esperado y la varianza de la distribución

están dados por:

E (X) = n V (X) = 2n .

2n

Sea X una variable aleatoria con distribución Chi-Cuadrado con 12 grados de libertad. Hallar a y b, si P(a < X b) = 0,90 y P(X a) = 0,05.

Ejemplo

Solución:

P(X a) = F(a) = 0,05X 2

(12) a = 5,226

P(a < X b) = 0,90P(X b) - P(X a) =0,90P(X b) – 0,05 =0,90P(X b) =0,95F(b) = 0.95

X 2 (12) b =

21,0261

DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-SNEDECOR

Una variable continua X, tiene distribución F con parámetros m y n si su función de densidad es:

0 x,

nmx1

xnm

2n

2m

2nm

f(x)2

nm

12m

2m

NOTACIÓN:

Se lee X tiene distribución F con m y n grados de libertad.

n m,F~X

GRAFICO DE LA FUNCION DE DENSIDAD

PROPIEDADES:

• Si X tiene distribución F con m y n grados de libertad, se cumple

4n ,)4n(2)-m(n

2)-nm(2n V(X) 2;n ,2-n

n E(X) 2

2

• Si X e Y son variables aleatorias independientes,

X con distribución chi-cuadrado con m grados de libertad e Y con distribución chi-cuadrado con n grados de libertad, entonces la variable

sigue la distribución F con m y n grados de libertad.

Y/nX/m

0,05k5W8YP:quetal"k"devalorelcalcule,WyYSi 2

825

Solución .-

69,3kFU95,0)kU(P

F85U

U8W5Y

5W8Y

)8,5(

)8,5(28

25

Ejemplo de uso de la distribución F de Fisher

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Una variable Y sigue la distribución t de Student con n grados de libertad si su función de densidad es

yyn11

2n21n

n1f(y)

21n

2

NOTACIÓN: Y ~ t(n).

GRAFICO DE LA FUNCION DE DENSIDAD

PROPIEDADES:• Si Z y V son dos variables aleatorias independientes,

Z con distribución normal estándar y V con distribución chi-cuadrado con n grados de libertad, entonces la variable aleatoria

sigue la distribución t-student con n grados de libertad.

V/nZ Y

• Si Y tiene distribución t-student, con n grados delibertad, se cumple

nE(Y) 0 n 1 V(Y) n 2n-2

Calcular P(-1,325 X 2,845 ), si X t20Solución .- P(-1,325 X 2,845 ) = P(X 2,845) - P(X -1,325) = = 0,995 – 0,10 = 0,895

Ejemplo de uso de la distribución T de Student