DISTRIBUCIÓN GAMMA

LUIS ALEJANDRO PINEDA PULIDO

“Sirve de modelo para numerosos experimentos en donde interviene el tiempo como sucede en la llegadas de aviones a un aeropuerto y en general a los problemas de teoría de colas”1

Ejemplo: Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900.

Problemas de Teoría de la confiabilidad Ejemplo Tiempo de falla de un sistema de  componentes, cada uno

falla con frecuencia  .

1.Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias

¿PARA QUE SIRVE?

“– El tiempo ( ó espacio) requerido para observar ? ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó región del espacio ), sucesos del tipo Poisson.– Flujos máximos, MARKOVIC, 1965.– Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965.– Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB, 1940.– Ingresos familiares.– Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez.– Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a cabo en  subestaciones a una frecuencia”2.

2.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10)

¿PARA QUE SIRVE?

“ALGUNAS VARIABLES ALEATORIAS SON NO NEGATIVAS SIEMPRE Y TIENEN

DISTRIBUCIONES SESGADAS A LA DERECHA, ES DECIR, LA MAYOR PARTE DEL ÁREA BAJO

LA GRAFICA DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD SE ENCUENTRA CERCA DEL ORIGEN Y LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

DISMINUYEN GRADUALMENTE CUANDO X AUMENTA ” 4.

4.BLANCO CASTAÑEDA LILIANA, Probabilidad, ,Unibiblos,2004 Bogotá Colombia , pág. 144-145

CARACTERISTICAS

Una variable aleatoria x tiene una distribución Gamma si su densidad de probabilidad esta dada por:

DEFINICIÓN

0k0,,x0 )(

)( 1

kxexk

xF

Esta distribución continua depende de dos parámetros

parámetro que varia la forma de la distribución

k parámetro que varia la escala de la distribución

Parámetros en R

A continuación veremos una breve explicación de la función gamma que interviene en la definición de la distribución gamma

DEFINICIÓN

LEONARD EULER

“EN LA ACADEMIA DE PETERSBURGO ENTRE 1730 Y 1731 EULER CALCULA MIEMBROS

DE SERIES, MEDIANTE INTEGRALES

DETERMINADAS QUE MAS TARDE SERÁN

LLAMADAS FUNCIÓN BETA Y FUNCIÓN

GAMMA” 3.

3.HOFMAN JOSEPH EHRENFRIED, Historia de la Matematica,limusa,2002, México DF, pág. 280

Función Gamma o Función factorial o Integral Euleriana de

Segunda especieEs una función que extiende el concepto

de factorial a los números complejos.

Si k es un numero entero positivo entonces)!1()(

DEFINICIÓN

0

1 0 x0 )( kdxex xk

Demostración vamos a integrar por partes

y sucesivamente () = ( -1)( -2)( -3)...(1), pero (1) = 1 por integración directa.

( +1) = ()   (5)=4 (4) =4.3 (3)=4.3.2 (2)=4.3.2 (1)=4.3.2.1

0

2 )1()1()1()( dxex x

DEFINICIÓN

x-2

-x1

-e v )1(

edv

dxxdu

dxxu

Distribución exponencial caso particular cuando =1 y sabiendo que (1)=1

ALGUNOS CASOS PARTICULARES DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

kx

kx

kx

kx

keXF

exk

XF

exk

XF

exk

XF

)(

1)(

)1()(

)()(

0

111

1

AGNER KRARUP ERLANG

NACIDO EN 1878 Y FALLECIDO EN 1929

MATEMATICO, ESTADISTICO E

INGENIERO DANES QUIEN INVENTO LOS

CAMPOS DE INGENIERIA DE

TRAFICO Y TEORIA DE COLAS

Distribución Erlang Fue desarrollada  para examinar el número de las

llamadas telefónicas que se pudieron hacer al mismo tiempo a los operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo sobre el teléfono (Ingeniería de trafico) se ha ampliado para considerar tiempos de espera dentro de sistemas que hacen cola en general. La distribución ahora se utiliza en el campo de procesos estocásticos.

Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, Ejemplo: En situaciones donde el servicio tiene que

realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio exponencial.

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm)

ALGUNAS VARIACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

= E[X] = , 2 = V[X] = 2

PROPIEDADES

El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina

para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución

Gamma con parámetros =3, =2

a)Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

EJEMPLO

22

2133

1

16

1

)3(2

1

)(

1)(

x

x

x

ex

ex

exXF

SoluciónSea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)Su densidad de probabilidad es:

EJEMPLO

Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

El área Resaltada corresponde a P(x>8)

2381.016

11)8(1

8

0

22 dxexxPx

EJEMPLO

EN R

EN R

EN EXCELSintaxisDISTR.GAMMA( x, alfa,beta,acumulativo)X     es el valor al que se desea evaluar la distribución.Alfa     es un parámetro de forma la distribución.Beta     es un parámetro de la escala distribución.Acumulado     es un valor lógico que determina la forma de la función. Si acumulado es VERDADERO, DISTR.GAMMA devuelve la función de distribución acumulada, si es FALSE, devuelve la función de densidad de probabilidad.

EN EXCEL

EJEMPLO 2.Si el costo de mantenimiento en dólares es

Siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimientoSolución:Nos solicitan el costo promedio ósea la esperanza de la función de costo

2230 xxC

623.][

][2][30

]230[][2

2

xE

xExE

xxECE

EJEMPLO

dolares 276)48(2)6(30][

)2

(48

16

1

16

1

)(][

0

24

0

222

0

22

cE

xydosustituyen

dxex

dxexx

dxXFxxE

x

x

Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10 17:56)

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm)

http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/gammadist-HP005209101.aspx?CTT=1(18/11/10 18:53)

BIBLIOGRAFIA