distribución de weibull
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LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL EN LOS ENSAYOS DE FIABILIDAD
0. INDICE
1. ¿Por qué usamos Weibull? 1
2. ¿Qué obtenemos al aplicar el modelo de Weibull? 2
3. Descripción del modelo 2
4. Representación gráfica 4
5. Métodos de estimación de los parámetros 5
6. Cálculos y análisis de fiabilidad a partir del Weibull 12
7. Observaciones respecto la aplicación de la función de Weibull. 16
1. ¿POR QUÉ USAMOS WEIBULL?
El uso de la función de distribución de Weibull en los estudios de
fiabilidad de componentes se debe principalmente a la gran diversidad de
formas que este modelo puede tomar, dependiendo de los valores de los
parámetros característicos. Esto nos permite usar un mismo modelo,
independientemente de en que forma varíe la tasa de fallos del componente
estudiado, simplificando en gran medida la tarea de análisis de los resultados.
Si no usáramos este modelo, cualquier análisis de los resultados
obtenidos durante el ensayo de los componentes implicaría necesariamente un
estudió previo de los datos, para determinar cual de los diferentes modelos
existentes se asemeja más a los datos obtenidos. Esto conllevaría un mayor
1
tiempo de análisis y una mayor probabilidad de error, debido a que una mala
elección del modelo implicaría dar un resultado erróneo. Al aplicar Weibull, el
estudió previo de los datos se reduce únicamente a una inspección visual en
busca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados.
2. ¿QUÉ OBTENEMOS AL APLICAR EL MODELO DE WEIBULL?
Al aplicar Weibull se obtiene la distribución de fallos del conjunto de
donde proviene la muestra, únicamente ajustando los parámetros del modelo al
conjunto de componentes ensayados. Los parámetros característicos de la
función de Weibull se pueden extraer directamente de la muestra, usando para
este fin diferentes métodos que se explicarán más adelante. Esto permite
conseguir un modelo estadístico que representa con mayor o menor exactitud
la distribución de los fallos del conjunto o lote de donde provienen los
componentes ensayados.
Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a preguntas
del tipo: ¿ Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿ Cuanto
tiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente fallen
el 1% durante ese periodo?. etc. A parte de las preguntas anteriores, el
modelo obtenido también permite responder a una pregunta tan importante
para nuestro departamento como: ¿El 5% de los componentes del lote fallarán
por encima o por debajo del target? que es el criterio usado par decidir si un
lote es OK o NG.
3.DESCRIPCIÓN DEL MODELO
La función de distribución de Wiebull es un modelo estadístico que
representa la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función del
tiempo transcurrido o de una variable análoga. O dicho de otra manera, R(t) es
2
la probabilidad de que los componentes de un conjunto sobrevivan hasta el
momento t.
Esta función de probabilidad de fallo o función de fiabilidad R(t), viene
dada por:
(3.1)
Donde y son parámetros que definen la función:
- es el parámetro de escala o vida característica. Este parámetro
representa el tiempo ( o el valor de la variable análoga usada ) para el cual
la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. Por tanto cuando mayor
sea mayor será el intervalo de tiempo en que se producirán los fallos.
- es el parámetro de translación, y se usa cuando inicialmente, durante un
periodo de tiempo T, no se producen fallos y a partir de ese instante la
fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull
(caso > 0); o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso <0).
- es el parámetro de forma o perfil y determina la forma de la distribución.
En la representación gráfica del modelo, este parámetro coincide con la
pendiente de la recta y da una idea de la dispersión de la muestra.
A partir de R(t) se puede definir la probabilidad de que un componente
falle antes del momento t, que se indica como F(t). Esta función es muy útil en
el estudio de fiabilidad de componentes y se puede representar como:
F(t) = 1-R(t) (3.2)
A parte de la función de distribución F(t), también se puede definir la
función de densidad de probabilidad f(t), que muestra la probabilidad que tiene
3
un componente genérico de fallar en un tiempo dado. Esta función coincide con
la derivada temporal de F(t) y su expresión es:
(3.3)
4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Una forma simple de ver la distribución de los fallos y de esta forma
poder analizar y decidir sobre los resultados, es representar gráficamente la
función de Weibull. Esta gráfica muestra como varia F(t) respecto al tiempo ( o
en nuestro caso, el numero de ciclos ).
Para representar gráficamente esta función se deben seguir los
siguientes pasos:
1- Clasificar el tiempo o ciclos de cada muestra (ti) de menor a mayor.
2- Determinar los valores de probabilidad acumulada de fallo ( Fi ).
Estos valores se determinan usando la siguiente formula:
(4.1)
Aunque otros autores dan la formula:
(4.2)
Donde: i es el número de orden de fallo y n el tamaño de la
muestra.
3- Conocidos ti y Fi, se representan el en gráfico.
Una vez se ha hecho el gráfico, puede pasar que salga directamente una
línea recta (en cuyo caso = 0) o que salga una curva ( ). En este segundo
caso existe un periodo de tiempo entre t = 0 y t = en que ningún componente
4
falla ( si es positivo) o parte de las muestras fallan antes de ensayarlas (caso
de negativoEl parametro es aquel valor que se le tiene que restar a
todos los ti para que los puntos representados sigan una recta.
5. METODOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS
Para estimar los parámetros de la función de Weibull se puede recurrir a
diferentes metodos, tanto análiticos como gráficos. Estos metodos se pueden
usar para calcular los parámetros de forma manual, sobre todo los gráficos,
peró normalmente se usan como base para desarollar programas o
aplicaciones informaticas.
De los diferentes tipos de métodos que se presentarán en este apartado,
los métodos analiticos son los que dan una mejor aproximación de los
parámetros. Aunque antes de usar un método analitico siempre es
recomendable aplicar un método grafico, con el objetivo de encontrar una
primera aproximación de los parámetros y para comprobar que estos se
pueden aproximar con la función de Weibull.
5.1 Métodos gráficos
Los métodos gráficos se basan en obtener los parámetros directamente
con el gráfico, relacionando estos con características facilmente medibles en el
gráfico. Estos métodos son los más ampliamente usados en los diferentes
programas o aplicaciones informáticas que se usan para determinar la
distribución de Weibull a partir de un conjunto de muestras.
Su facilidad de implementación radica en el hecho de que únicamente es
necesario disponer de un programa capaz de efectuar regresiones. Esta
cualidad, que inicialmente parece una gran virtud, también es el principal de
sus problemas; ja que dependiendo del tipo de regresión usada, se obtiene un
5
resultado u otro. Esta diferencia de resultados se ve incrementada al disminuir
el número de muestras ensayadas.
Grafico de (ti-,Fi).
Este método parte del gráfico que se obtiene por el procedimiento que
se muestra en el punto 4. Para poder aplicar este metodo de una forma rápida
es conveniente usar el papel probabilistico que se muestra en la siguiente
pagina. En este papel probabilistico se representa Fi en función de ti-, y por
regresión se obtiene una recta que representa la función de fallos de nuestro
conjunto de componentes.
A continuación se muestran los pasos para determinar los diferentes
parametros característicos:
- Para estimar el parámetro se tiene que trazar una recta paralela que pase
por el centro del arco representado en el papel y que corte a este. El punto
de corte de la recta paralela que hemos dibujado y el arco nos dará el valor
del parámetro.
- El parámetro se estima usando el hecho de que este representa el tiempo
para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. De este modo
basta con ver para que valor de ti la probabilidad de fallo es de 63,2%, y
este será el valor del parámetro.
Gráfico logarítmico
Este método consiste en encontrar una relación lineal entre F(t) y t; para
ello se modifica la formula 3.1 (con =0) tomando logaritmos dos veces en
ambos lados de tal forma que se consigue una ecuación del tipo: y = ax+b.
Esto permite conseguir los parámetros característicos de una forma simple y
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rápida mediante una representación gráfica de la ecuación. El camino a seguir
para llegar a la ecuación lineal es él que se muestra a continuación:
(5.1)
Si se toman logaritmos en ambos lados obtenemos:
(5.2)
Canbiando el signo ( LnR(t)<0, devido a que R(t)<1), y volviendo a tomar
logaritmos :
(5.3)
Como se puede comprobar, a partir de esta ecuación y de su gráfica,
fácilmente se pueden extraer los diferentes parámetros característicos de la
distribución de Weibull. Para mayor comodidad a la hora de dibujar la ecuación,
esta se modifica de la siguiente manera:
(5.4)
Donde F(t) se calcula con las formulas 4.1 o 4.2 dependiendo de que método
se quiera seguir.
En el caso de que la gráfica presente un periodo inicial donde no se
produzcan fallos (en el caso de >0), o que parte de las muestras fallen antes
de empezar el ensayo (caso de <0), antes de representar gráficamente la
ecuación se debe encontrar el parámetro . Para encontrar este parámetro se
deben seguir los siguientes pasos:
- Dibujar la recta (ti, Fi) tal como se indica en el apartado 4.
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- Trazar tres rectas horizontales de manera que la primera pase por el tiempo
de fallada más pequeño, la segunda por el tiempo de fallada más grande y
la tercera pase por el medio de las dos anteriores.
- Encontrar los tiempos de fallo correspondientes a los puntos de corte de
estas tres líneas con la gráfica. Llamaremos a estos tiempos Tm (él
correspondiente a la recta menor), TI (recta intermedia) y TM (recta mayor).
- Calcular con la siguiente formula:
(5.5)
- Volver a representar el gráfico sustituyendo ti por ti-y seguir los pasos
mostrados al principio de este apartado.
5.2 Métodos analíticos
Los métodos que se presentan a continuación permiten obtener una
aproximación del valor de los parámetros de la distribución de Weibull, la
calidad esta aproximación dependerà del método usado. Debido al hecho de
que estos métodos no contemplan el caso en que , inicialmente es
conveniente dibujar alguno de los gráficos anteriores para determinar el valor
de y para comprobar que la distribución de Weibull ajusta de una forma
aceptable en el comportamiento de las muestras.
Método de la máxima versemblanza.
Este método, que es el que da una mejor aproximación de los
parámetros, consiste en la resolución de un sistema de ecuaciones que
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contiene los parámetros yde forma implicita. Para obtener este sistema de
ecuaciones se parte de la hipótesis de que la muestra (aleatoria simple)
proviene de una distribución de Weibull de parámetros ypor tanto su
función de densidad de probabilidad corresponte a f(t).Por tanto, si aplicamos
la función de versemblanza a esta densidad de probabilidad, obtenemos:
(5.6)
Sustituyendo en la ecuación anterior la equación 3.3 obtenemos:
(5.7)
Ahora, si tomanos logaritmos en ambos lados de la equación y buscamos los
parámetros ycomo los valores que maximizan la función de
versemblanza, obtenemos:
(5.8)
Debido a que este sistema de ecuaciones no tiene solución explicita,
para su resolución se debe usar algun algoritmo de calculo o algun programa
informático que sea capaz de resolver este sistema (p.e Microsoft Excel 3.0 o
4.0). Como estos algoritmos piden un valor inicial de calculo, es conveniente
obtener una primera aproximación de los parámetros a traves de algún método
gráfico. Para resolver este sistema es conveniente comenzar por la resolución
de la primera equación de tal forma que se obtenga el parámetro para
después calcular con la segunda equación.
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Con este método de calculo se obtienen unos valores de yque al
haber sido calculados a partir de una muestra aleatoria, tienen una cierta
variabilidad. En concreto estos parámetros se distribuyen siguiendo una
distribución normal, y por tanto sus intervalos de confianza para un nivel de
confianza se pueden calcular como:
(3.9)
(3.10)
Donde :
- Z/2 es el percentil de la normal estándar correspondiente a /2 (Ver tabla en
cuaquier libro de estadística).
-
-
Método implicito.
Este método calcula los valores de los parámetros a partir de la media y
de la varianza de la muestra. Este método permite calcular yde una forma
más simple que el método anterior, peró da una aproximación peor de los
valores.
Las ecuaciones de calculo son las siguientes:
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Donde:
Este método, igual que el anterior, da unos valores de los parámetros
que se distribuyen siguiendo una normal. Esto implica que se puede calcular su
intervalo de confianza para un nivel de confianza como:
Estos límites de confianza son validos cuando la muestra es superior a
100 unidades.
6. CALCULOS Y ANALISIS DE FIABILIDAD A PARTIR DEL
WEIBULL.
Para calcular valores de fiabilidad o percentiles de fallo se recurre a la
formula de la distribución de Weibull, sustituyendo en esta los valores de los
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parámetros calculados como se muestra en el apartado 5. De esta forma, para
calcular los valores de fiabilidad utilizaremos la expresión:
Que en caso de querer calcular percentiles de fallos pasa a ser:
(5.1)
En el caso de querer saber en que momento (o numero de ciclos) se
habrá producido el fallo de un percentil p de las muestras, lo unico que se debe
hacer es despejar de la formula anterior la variable de tiempo t. Haciendo esto,
la expresión queda como:
(5.2)
Donde tp es el momento (o el numero de ciclos) donde falla p*n componentes.
Llegados a este punto se debe destacar que la formula 5.2 es la utilizada
para determinar si un lote ensayado es OK o NG, para ello se calcula el tp para
un percentil del 5% (p=0,05). Si el valor de tp es superior al target el lote es OK,
en caso contrario el lote es NG.
A parte de los valores de fiabilidad y percentiles calculados
anteriormente, el analisis de la función de distribución de Weibull nos permite
conocer datos importantes de nuestro proceso. En concreto, el valor del
parámetro es el que nos da más información respecto de donde se encuentra
el error (en el caso de que no se supere el target). A titulo orientativo, se puede
decir:
- Si 3, la variabilidad del proceso de fabricación es correcta, y el
problema se encuentra en el diseño. Se tiene que rediseñar el componente.
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- Si 1,5 -2<<3, el proceso tiene demasiada variabilidad y el problema puede
venir de este. No se puede descartar problemas de diseño. Se tiene que
mejorar el proceso productivo y posteriormente volver a efectuar ensayos.
- Si <1,5 - 2 , posibles problemas en la toma de datos o en el estudio
posterior de los resultados.
Ejemplo:
Tenemos un conjunto de componentes que fallan en el siguiente numero
de horas: 0.22; 0.5; 0.88; 1; 1.32; 1.33; 1.54; 1.76; 2.5 y 3. A partir de estos
valores se nos pide calcular los siguientes apartados:
- % de fallos a las 3 horas.
- tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes.
Para resolver este problema, primero vamos a dibujar el gráfico (ti,Fi),
para ello calculamos los valores de Fi. Como se puede ver en la siguiente tabla
también se adjuntan los valores de Ln(ti), en previsión de que los
necesitaremos para calcular los parámetros con el método analítico implícito.
i ti Ln(ti) Fi1 0,22 -1,51412773 0,067307692 0,5 -0,69314718 0,163461543 0,88 -0,12783337 0,259615384 1 0 0,355769235 1,32 0,27763174 0,451923086 1,33 0,28517894 0,548076927 1,54 0,43178242 0,644230778 1,76 0,56531381 0,740384629 2,5 0,91629073 0,83653846
10 3 1,09861229 0,93269231
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A continuación se muestra el gráfico de los resultados con la recta de regresión
que aproxima los puntos:
Si aplicamos las formulas del método implícito para el calculo de los
parámetros, se obtiene:
=0.1236
=0.589
=1.67
=1.59
= 0
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Si se aplican los métodos gráficos sobre la recta obtenida por regresión
a partir de los datos, se puede ver que los valores obtenidos para
ycoinciden practicamente con los obtenidos analiticamente.
A continuación, para contenstar a las preguntas del ejemplo, se van a
aplicar las formulas 3.1 y 5.2.
% de fallos a las 3 horas = = 0,96
Tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes:
= 0,268 horas
En caso de tener un target (definido al F(t)5%), se tendría que comparar
el valor obtenido con el valor del target. Si el target es menor que 0,268 horas,
significa que en el target habrá menos del 5% de fallos, y por tanto el lote es
OK. Por el contrario, si el target es superior a 0,268 horas, significa que en el
target habrá más del 5% de fallos, y por tanto el lote es NG.
7. OBSERVACIONES RESPECTO LA APLICACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL.
Hasta este momento se ha explicado que es la distribución de Weibull y
las ventajas que implica su aplicación en los estudios de fiabilidad, pero en la
práctica, la aplicación de este método conlleva un conjunto de problemas que
se van a tratar a lo largo de este apartado.
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Durante la aplicación de la distribución de Weibull podemos encontrar
problemas de dos tipologías diferentes: los originados por la variabilidad de los
resultados, debido a que estamos trabajando con datos estadísticos, y los que
son producto de las diferencias en el método de calculo usado.
Problemas de variabilidad.
Los problemas que tienen su origen en la variabilidad de los resultados
numéricos se deben principalmente al hecho de que estamos trabajando con
resultados estadísticos, y por tanto su nivel de confianza dependerá en gran
medida del numero de muestras ensayadas. En nuestro caso, usualmente se
trabaja con los resultados de tres o cuatro muestras, y si se tiene en cuenta
que la mayoría de libros de estadística recomiendan tamaños entre 10 y 13
muestras para conseguir resultados fiables, es fácil darse cuenta que los
resultados obtenidos no siempre se correspondan con la realidad. Esta
problemática de pone de manifiesto en el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Se tiene un conjunto de componentes que han roto a los siguientes
ciclos: 115000, 88360 y 338130 (caso real con target de 85000). Si aplicamos
el Weibull (en este caso se ha usado el paquete estadístico Minitab) obtenemos
el siguiente resultado:
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1000000 500000 100000 50000 10000 1000
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
Data
Pe
rce
nt
Scale:
Shape:
204656
1.74707
Weibull Probability Plot for C1
Shape: 1.74707Scale: 204656
Percentile Estimates
95% CI 95% CIApproximate Approximate
P Percentile Lower Limit Upper Limit
0.01 14706 1083 1997680.02 21931 2258 2129720.03 27741 3473 2215680.04 32804 4716 2281770.05 37384 5981 2336630.06 41621 7265 2384250.07 45598 8567 2426800.08 49370 9886 2465610.09 52976 11219 2501560.10 56444 12567 2535260.20 86729 26765 2810330.30 113436 42196 3049550.40 139330 58866 3297820.50 165927 76844 3582790.60 194668 96248 3937260.70 227598 117307 4415860.80 268734 140612 5135970.90 329877 168298 6465870.91 338434 171562 6676170.92 347813 174988 6913260.93 358222 178614 718439
17
0.94 369964 182494 7500180.95 383503 186711 7877140.96 399602 191397 8342980.97 419669 196788 8949830.98 446794 203384 9815160.99 490521 212634 1131572
Como se puede ver en los resultados que da el Minitab, el valor de los
ciclos al 5% (0,05) es de 37384 y por tanto el lote sería NG. Pero si miramos
los valores que da el programa como extremos del intervalo de confianza
donde se encuentra F(t),5% con un nivel de confianza del 95%, estos son:
5981 y 233663. Por lo tanto, teniendo en cuenta que el target es de 85000
ciclos, no podemos asegurar que el lote sea NG, ni tampoco que sea OK.
Problemas de calculo.
A parte del problema de la variabilidad de los resultados, nos
encontramos con un problema a la hora de obtener estos resultados. Como se
ha visto en el apartado 5 existen diferentes métodos para estimar los
parámetros característicos de la función de Weibull, e incluso dentro de un
mismo método hay diferencias dependiendo del algoritmo de calculo que se
use (métodos analíticos) o del tipo de regresión (métodos gráficos). Esto
implica que para un mismo conjunto de valores se pueden obtener diversos
resultados diferentes; esta diferencia puede hacer que un mismo lote salga OK
o NG dependiendo de quien lo calcule.
Aunque estas diferencias entre métodos se dan en todos los cálculos
efectuados, estas se van incrementando a medida que aumenta la dispersión
de la muestra y cuando aparecen valores que difieren del resto (sin ser
anomalías). También es conveniente destacar que este problema se ve
incrementado por el hecho de disponer de pocas muestras, ja que en el límite
todos los métodos llevan a un mismo resultado. Estas diferencias y la
tendencia que tienen al aparecer valores que distan del resto se puede
comprobar con el siguiente ejemplo:
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Ejemplo:
A continuación se van a efectuar los cálculos para determinar si un lote
es OK o NG con dos conjuntos de muestras diferentes:
- Muestra: 350000, 325000, 300000 y 100000 con target de 100000
Para calcular el número de ciclos que produce un 5% de fallos y el parámetro
(pendiente) se utilizan dos programas:
- Programa 1: hoja de Excel basada en el método implícito.
- Programa 2: Minitab
Los resultados obtenidos se pueden ver en la siguiente tabla:
F(t),5% OK/NGExcel 79261 2,16 NGMinitab 123257 3,3 OK
Como se puede comprobar, los resultados obtenidos por los diferentes
métodos tienen grandes diferencias. Estas diferencias son tan importantes, que
en el caso de tratarse de un ensayo real, el resultado del informe variaría:
dando por bueno un lote malo o al revés.
Una cosa que cabría destacar del ejemplo anterior, es que la diferencia
de resultados se ha visto aumentada por el hecho de haber un valor que difiere
mucho del resto, y que los valores “normales” están muy juntos. Si repetimos
los cálculos con un conjunto de valores reales sin grandes anomalías, podemos
ver que el error cometido es bastante menor (ver siguiente ejemplo):
Ejemplo:
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Queremos hacer lo mismo que en el ejemplo anterior pero con la
siguiente muestra: 343000, 502000 y 381000. Los resultados se muestran la
siguiente tabla:
F(t),5% Excel 279134 6,5Minitab 276000 6,4
Como puede verse el error cometido es menor y los resultados de ambos son
completamente comparables.
Para resolver este problema de la variación de resultados con respecto
al programa o método de cálculo usado, sería conveniente definir un único
programa para todos. Esto permitiría extraer unos resultados validos para
todos y comparables entre sí.
Dentro de los diferentes programas existentes, el Minitab pasa por ser
uno de los que da una solución más coherente con el tipo de lotes que aquí se
ensayan. Este programa utiliza un método de regresión lineal que otorga una
importancia relativa a cada punto dependiendo de su posición respecto al
grupo, y por lo tanto este método es más insensible a valores anómalos. Este
detalle cobra importancia en nuestro caso por el hecho de que trabajamos con
pocas muestras, esto implica que si una de ellas (por el motivo que sea) falla a
unos ciclos muy diferentes que el resto, esta toma mucho peso y puede dar
lugar a un resultado que, al menos desde un punto de vista lógico, no es
coherente con los datos del ensayo.
Estas diferencias a la hora de efectuar la regresión, se pueden ver en los
siguientes gráficos. Estos gráficos representan las funciones (ti,Fi)
correspondientes a las muestras del primer ejemplo de este apartado
(350000,325000, 300000, 100000) encontrada con el Excel y con el Minitab. En
ellas se puede apreciar lo dicho respecto la forma que tiene el Minitab de
efectuar las regresiones y la diferencia en el resultado.
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- Gráfico del Excel:
- Gráfico del Minitab:
800000 600000 400000 200000 100000 80000 60000 40000 20000
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
Data
Pe
rce
nt
Scale:
Shape:
300105
3.33783
Weibull Probability Plot for C2
21