“metodología estrés resistencia weibull con
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“Metodología Estrés–Resistencia Weibull con
Parámetro de Forma Diferente”
Manuel Baro Tijerina
UNIVERSIDAD AUTO NOMA DE CIUDAD JUAREZ
INSTITUTO DE INGENIERIA Y TECNOLOGIA Departamento de Ingeniería Industrial y Manufactura
Programa de Doctorado en Tecnología
“Metodología Estrés–Resistencia Weibull con
Parámetro de Forma Diferente”
Tesis que presenta como requisito para obtener el grado de
DOCTOR EN TECNOLOGÍA
Manuel Baro Tijerina
Director
Dr. Manuel Román Piña Monarrez
Codirector
Dr. Rey David Molina Arredondo
UACJ/POSGRADOS
Ciudad Juárez, Chihuahua. Febrero 2020
DEDICATORIA
Dedico esta tesis a Dios.
A mis hijos David y Alec que siempre han sido mi inspiración para seguir cada día.
A mi madre Gloria quien me apoyó y alentó para continuar, cuando parecía que me iba a rendir.
A mi novia Judith que siempre me ha alentado a seguir adelante y no rendirme.
A mis maestros quienes nunca desistieron al enseñarme.
A todos los que me apoyaron para escribir y concluir esta tesis.
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a mi director de tesis Dr. Manuel Román Piña Monarrez quien a lo largo de este
tiempo me brindó su apoyo, gran conocimiento y soporte para poder concluir con esta tesis.
Gracias por todas sus enseñanzas y por su guía en el desarrollo de esta investigación; me siento
profundamente orgulloso de poder haber participado al lado de una gran persona, un gran
investigador y un ejemplo de lo que quiero llegar a ser algún día.
Contenido
1. Introducción ......................................................................................................................... 1
2. El Problema y su Entorno .................................................................................................... 3
2.1 Planteamiento del Problema ........................................................................................... 3
2.1 Descripción del Problema ........................................................................................... 3
2.2 Hipótesis...................................................................................................................... 9
2.2.1 Hipótesis General ........................................................................................................ 9
2.2.2 Hipótesis Específicas .................................................................................................. 9
2.3 Objetivos ..................................................................................................................... 9
2.3.1 Objetivo General ......................................................................................................... 9
2.3.2 Objetivos Específicos .................................................................................................. 9
2.4 Justificación ................................................................................................................. 10
2.5 Alcances y Delimitaciones ........................................................................................ 11
2.6 Supuestos .................................................................................................................. 11
3. Marco Teórico .................................................................................................................... 13
3.1 Marco Conceptual .............................................................................................................. 12
3.1.1 Diseño en ingeniería mecánica ................................................................................. 12
3.1.2 Iteraciones en el proceso de diseño ........................................................................... 12
3.1.3 Consideraciones de diseño ........................................................................................ 13
3.1.4 Esfuerzo y resistencia ................................................................................................ 13
3.1.4 Resistencia y rigidez del material ............................................................................. 14
3.1.5 Significancia estadística de las propiedades de los materiales ................................. 15
3.1.6 Análisis de carga y esfuerzo...................................................................................... 15
3.1.6.1 Equilibrio y diagramas de cuerpo libre ........................................................ 16
3.1.6.2 Diagramas de cuerpo libre ............................................................................ 16
3.1.6.3 Componentes cartesianos del esfuerzo ......................................................... 17
3.1.6.4 Esfuerzos normales para vigas en flexión .............................................................. 18
3.1.7 Teorías de Falla ......................................................................................................... 19
3.1.7.1 Teoría del esfuerzo cortante máximo para materiales dúctiles..................... 19
3.1.7.2 Teoría de la energía de distorsión para materiales dúctiles .......................... 19
3.1.7.3 Teoría de Mohr-Coulomb para materiales dúctiles ...................................... 22
3.1.8 Enfoque de la falla por fatiga en el análisis y el diseño ............................................ 20
3.1.8.1 Métodos de fatiga-vida ................................................................................. 23
3.1.8.2 Método del esfuerzo-vida ............................................................................. 23
3.1.8.3 Método de deformación-vida........................................................................ 24
3.1.9 Límite de resistencia a la fatiga................................................................................. 25
3.1.10 Resistencia a la fatiga .............................................................................................. 26
3.1.11 Factores de seguridad .............................................................................................. 25
3.1.11.1 Factor de superficie 𝑘𝑎 ............................................................................... 27
3.1.11.2 Factor tamaño 𝑘𝑏 ………………………………………………………28
3.1.11.3 Factor de carga 𝑘𝑐 ………………………………………………………28
3.1.11.4 Factor de temperatura 𝑘𝑑 ............................................................................ 28
3.1.11.5 Factor de efectos varios (Ke) ...................................................................... 28
3.1.11.5.1 Corrosión………………………………………………………………..28
3.1.11.5.2 Proceso de manufactura ........................................................................... 28
3.1.11.5.3 Esfuerzos residuales ................................................................................. 28
3.1.11.5.4 Recubrimientos………………………………………………………….28
3.1.11.5.5 Factor de concentración de esfuerzos por fatiga, 𝐾𝑓 (vida infinita) ........ 29
3.1.11.6 Factor de confiabilidad 𝑘𝑐 ................................................................................... 30
3.1.12 Métodos de análisis con esfuerzo medio no nulo ................................................... 32
3.1.12.2 Criterio de Goodman ............................................................................................ 32
3.1.12.3 Criterio de Soderberg ........................................................................................... 32
3.1.12.4 Criterio de Gerber ................................................................................................ 32
3.1.13 Diseño mecánico probabilístico .............................................................................. 33
3.1.14 Síntesis binaria de distribuciones………………………………………………… 48
3.1.15 Distribución de probabilidad continua .................................................................... 35
3.1.16 Distribución normal ................................................................................................ 36
3.1.17 Distribución Weibull ............................................................................................... 38
3.1.18 Tasa de Falla de la distribución weibull .................................................................. 40
3.1.19 Ingeniria de confiabilidad ....................................................................................... 41
3.1.20 Antecedentes del análisis estrés-resistencia ............................................................ 42
3.1.21 Concepto del análisis estrés-resistencia .................................................................. 43
3.1.22 Fundamentos de análisis estrés-resistencia ............................................................. 44
3.1.23 Formulación de análisis estrés-resistencia .............................................................. 45
3.1.24 Convolución de distribuciones de probabilidad ...................................................... 47
3.1.25 Teorema de Fourier ................................................................................................. 48
3.1.26 Modelos estrés-resistencia ...................................................................................... 48
3.1.27 Modelo exoponencial-exponencial ......................................................................... 49
3.1.28 Modelo estrés-resistencia normal-normal ............................................................... 50
3.1.29 Modelo estrés-resistencia Weibull-Weibull ............................................................ 53
3.1.30 Análisis estrés-resistencia Weibull-Weibull 𝛽𝑠 = 𝛽𝑆 ............................................ 54
3.1.31 Análisis estrés-resistencia Weibull-Weibull 𝛽𝑠 ≠ 𝛽𝑆 ............................................ 56
3.2 Marco Referencial ........................................................................................................ 57
3.2.1 Stress-strength reliability estimation (2011) .................................................... 57
3.2.2 Estimation of P(X <= Y ) for a bivariate Weibull distribution (2009) ............ 58
3.2.3 A three-parameter Weibull statistical analysis of the strength variation of bulk
metallic glasses (2009). ................................................................................ 59
3.2.4 A diagnostic approach to Weibull-Weibull stress-strength model and its
generalization (2011) .................................................................................... 60
3.2.7 Stress-strength Weibull reliability estimation (2015) ...................................... 63
4 Metodología Actual............................................................................................................ 64
4.1 Metodología Determinista............................................................................................ 64
4.1.2 Se realiza un diagrama de cuerpo libre. ........................................................ 66
4.1.3 Diagrama de cuerpo cortante. ....................................................................... 66
4.1.4 Diagrama de flexión ..................................................................................... 67
4.1.5 Se calcula de la resistencia limite 𝑆𝑛 ........................................................... 67
4.1.6 Se aplican los factores modificadores de 𝑆𝑛. ............................................... 67
4.1.7 Corrección del a resistencia límite................................................................ 69
4.1.8 Diagrama de Goodman ................................................................................. 71
4.1.9 Margen de seguridad .................................................................................... 72
4.1.10 Deficiencia del método actual ...................................................................... 73
4.2 Metodología probabilística Kececioglu ....................................................................... 74
4.2.1 Estimación de la media y desviación estándar ................................................. 74
4.2.3 Determinación de los parámetros de la distribución de la resistencia ...................... 78
4.3 Metodología propuesta ...................................................................................................... 81
4.3.1 Aportaciones del método estrés-resistencia Weibull-Weibull .................................. 81
4.3.2 Método estrés-resistencia Weibull-Weibull propuesto ............................................. 84
5. Aplicación del método propuesto .................................................................................. 85
5.1 Aplicación numérica para parámetro de forma igual 𝛽𝑆 = 𝛽𝑠 .................................... 85
5.2 Aplicación numérica para parámetros de forma diferentes 𝛽𝑆 ≠ 𝛽𝑠 ......................... 86
6. Conclusión ..................................................................................................................... 88
Referencias ......................................................................................................................... 89
Apendice A: Presentación de Cartel en Coloquio..…………………………………………...110
Apéndice B: Artículo Publicado en Revista JCR…….……….…………………………...…111
Apéndice C: Curso Semana de Ingeniería…………………………….……………………...112
Apéndice D: Congreso Internacional SISE………………………………….……………….113
Apéndice E: Artículo en Revisión…………………………………...……….………………114
Lista de Tablas
Tabla 1: Características de Diseño ............................................................................................ 13 Tabla 2: Cuantificaciones de Marin .......................................................................................... 27 Tabla 3: Factor de confiabilidad (Kc)........................................................................................ 30 Tabla 4: Confiabilidad ............................................................................................................... 69 Tabla 5: Resumen de Comparación de Métodos ....................................................................... 80
Tabla 6: Comparación de Métodos para Calcular 𝛽 .................................................................. 83 Tabla 7: Datos del Estrés y la Resistencia de los Cascos de Motor .......................................... 85 Tabla 8: Estrés-Resistencia para el Número de Páginas Impreso ............................................. 86
Lista de Figuras
Figura 1: Tensión de Fallo y Admisible. ..................................................................................... 8 Figura 2: Fases de Diseño .......................................................................................................... 12 Figura 3. Probeta ....................................................................................................................... 14 Figura 4: Diagrama de Deformación a ...................................................................................... 15 Figura 5: Diagrama de Deformación b ................................................................................... 15
Figura 6: Diagrama cuerpo libre ................................................................................................ 16 Figura 7: Componente del esfuerzo. .......................................................................................... 17 Figura 8: Esfuerzo multidimensional ........................................................................................ 17 Figura 9: Viga recta en flexión positiva. ................................................................................... 18 Figura 10: Elementos con Esfuerzos Triaxiales ........................................................................ 20
Figura 11: Energía de distorsión ................................................................................................ 21 Figura 12: Circunferencias de Mohr .......................................................................................... 22
Figura 13:Diagrama Fatiga-Ciclos ............................................................................................ 23
Figura 14: Vida-Fatiga Log-Log ............................................................................................... 24 Figura 15: Fatiga contra Tensión ............................................................................................... 25 Figura 16: S-N en estrés alternante............................................................................................ 26
Figura 17: Factor superficie en acero. ...................................................................................... 27 Figura 18: Determinación del índice q ...................................................................................... 29
Figura 19: Propiedades Normales ............................................................................................. 30
Figura 20: Factor de Confiabilidad 𝑠´𝑒𝑆𝑢𝑡 = 0.50 ................................................................... 31
Figura 21: Criterios. ................................................................................................................... 32 Figura 22: Diseño probabilístico ............................................................................................... 33
Figura 23: Distribución de Resistencia y Esfuerzo 3D.............................................................. 34 Figura 24: Concepto del Análisis Probabilístico ....................................................................... 34
Simbología
𝐴 Área, coeficiente
𝐸 Módulo de elasticidad
𝐾 Factor de concentración de esfuerzo, factor de corrección
𝑁 Número de ciclos
𝑛 Factor de seguridad
𝑅 Relación de esfuerzo
𝑆 Resistencia
𝑆𝑦 Resistencia de cedencia
𝑆𝑦𝑡 Resistencia de cedencia a la tensión
𝑆𝑦𝑐 Resistencia de cedencia a la compresión
𝑆𝑢 Resistencia última
𝑆𝑢𝑡 Resistencia última a la tensión
𝑆𝑢𝑐 Resistencia última a la compresión
𝑆𝑓 Resistencia a la fatiga
𝑆𝑒 Límite de resistencia a la fatiga
𝑆 ′𝑒 Límite de resistencia a la fatiga para viga rotatoria
𝑆𝑎 Resistencia alternante
𝑆𝑚 Resistencia media
𝑈 Energía de deformación
𝑒 Deformación unitaria
𝑣 Módulo de Poisson
𝜎 Esfuerzo normal
𝜎 𝑚í𝑛. Esfuerzo mínimo
𝜎𝑚á𝑥 Esfuerzo máximo
𝜎𝛼 Esfuerzo alternante
𝜎𝑚 Esfuerzo medio
𝜎𝑟 Intervalo de esfuerzo
𝜎𝑠 Esfuerzo constante estático
𝝉 Esfuerzo cortante
𝜏𝑦 Esfuerzo cortante de cedencia
RESUMEN
Los productos elementos o sistemas siempre están sometidos a estrés cuando estos están en uso,
esto implica que el nivel de estrés que recibe el producto es variante debido a que las condiciones
de uso son diferentes siempre en comparación a las condiciones de experimentación donde se
controlan todas las variables para el óptimo funcionamiento del producto, por lo cual el
comportamiento del estrés se debe modelar como una variable aleatoria. Por otra parte, los
productos tienen una resistencia inherente que varía ya que como es bien conocido los procesos
son de tipo aleatorio y por ende los productos también serán aleatorios, esto es, ruido; lo cual
hace que el nivel de resistencia sea variante y se deba modelar como una variable aleatoria. Sin
embargo, cuando existe un comportamiento Weibull en ambas variables, es decir, la variable
del estrés y de la resistencia, los parámetros de forma 𝛽 serán diferentes ya que el nivel de
resistencia es diferente del nivel de estrés al que se somete el producto y por ende ya que la
distribución Weibull no tiene una forma definida para (𝛽𝑆 ≠ 𝛽𝑠) por la propiedad de cerradura,
el análisis estrés resistencia no está definido, debido a esto en esta investigación se da solución
a este problema vía una estimación de una 𝛽𝑐 o beta común que permite la resta de las
distribuciones Weibull. En otras palabras, se logra la convolución de la distribución Weibull y
con esto la estimación eficiente de la confiabilidad en el análisis estrés-resistencia Weibull
permitiendo la toma de decisiones adecuadas en Ingeniería de Confiabilidad.
I
1. Introducción
Cuando se inicia el prototipo de algún elemento se lleva a cabo mediante un proceso iterativo
el cual utiliza diversa información y el uso de computadoras (Rodríguez, 2011). Así, diseñar
elementos mediante suposiciones que se prueban, se comparan, se corrigen y se vuelven a
probar hasta que se satisface la condición y requerimientos del problema (Zapata, 2013). Como
quiera, la confiabilidad del componente diseñado se relaciona de forma directa con su
resistencia para soportar el esfuerzo aplicado. De esa forma, debido a que ambos el esfuerzo y
la resistencia son variables aleatorias, la metodología de diseño actual no es eficiente para
determinar la confiabilidad del componente diseñado. Esto porque en el análisis no se
considera a la desviación estocástica (Proceso Poisson no Homogéneo) del estrés ni de la
resistencia. En lugar de utilizar el comportamiento estocástico, en el diseño actual la
incertidumbre se minimiza a través del uso de un factor de seguridad (SF) (ver sec. 3.1.11) y
la aplicación de los llamados factores de corrección (ver sec. 3.1.11.5), para después tras
aplicar una teoría de fallas (ver sec. 3.1.12), determinar si el diseño es seguro (ver sec.
3.1.12.1). Desafortunadamente, debido a que este enfoque no toma en cuenta el
comportamiento estocástico del estrés y de la resistencia, la confiabilidad del elemento
diseñado no puede ser determinada eficientemente.
Por otro lado aunque (Gonzalez, 2015) propone una alternativa probabilística para el diseño
mecánico, la metodología propuesta por Kececioglu (D. B. Kececioglu & Ph, 2003) es la más
eficiente, ya que a través de la aplicación del método de síntesis binaria, la incertidumbre
estocástica del ambos el estrés y la resistencia es incorporada al análisis, desafortunadamente,
debido a que solo aplica a la distribución normal (ver sec. 3.1.14) y a que el diseño de elementos
mecánicos incluye los esfuerzos cortantes, los cuales hacen ineficiente a la distribución normal
para modelar el comportamiento del elemento diseñado, entonces la metodología propuesta
por Kececioglu es también ineficiente. Afortunadamente, como fue demostrado en (Piña-
Monarrez, 2018b), la distribución Weibull es eficiente para modelar los esfuerzos normales y
de corte que se presentan en el diseño de un elemento mecánico, en esta investigación la
distribución Weibull es utilizada para determinar la confiabilidad del elemento diseñado.
Como quiera, debido a que la distribución Weibull no posee la propiedad aditiva (2.1), y dado
que el estrés aplicado y la resistencia del elemento diseñado son independientes, entonces el
II
estrés y la resistencia son diferentes, es decir, 𝜷𝟏 ≠ 𝜷𝟐. Esto implica que debido a que la
metodología estrés/resistencia usada para determinar la confiabilidad del elemento diseñado es
una convolución, entre dos distribuciones, y la distribución Weibull es una función de potencia
(ver sec. 3.1.16), entonces la función estrés/resistencia Weibull/Weibull no tiene solución
cerrada. Así el enfoque de esta investigación consiste en determinar una solución para la
función de confiabilidad compuesta estrés/resistencia Weibull/Weibull cuando el parámetro de
forma es diferente.
Para dar solución a este problema se determinó un valor común que representa a la variable
del estrés y a la variable de la resistencia cuando no se tienen parámetros de forma iguales, es
decir, 𝜷𝑺≠𝜷𝒔; con lo cual se logra la convolución de la función de densidad del estrés y de la
resistencia. Además, se desarrolló una metodología para el cálculo de la confiabilidad en el
caso de que tanto el estrés y la resistencia presenten un comportamiento Weibull. Se demuestra
la eficiencia del método con la presentación de dos casos de aplicación, comprobando que el
método y la formulación de la beta común 𝜷𝒄 es eficiente en la estimación de la confiabilidad.
La tesis está estructurada en capítulos. El capítulo 2 presenta el problema y su entorno. El
capítulo 3 presenta el marco teórico y la revisión de literatura. En el capítulo 4, se presenta la
metodología actual y la metodología propuesta. El capítulo 5 presenta las aplicaciones.
Finalmente, en el capítulo 6 se dan las conclusiones.
3
2. El Problema y su Entorno
2.1 Planteamiento del Problema
En el diseño mecánico tradicional, la confiabilidad de un componente se relaciona de forma
directa con la resistencia y el esfuerzo. Por otra parte, la incertidumbre siempre está presente en
el diseño de ingeniería, esta incertidumbre trata de abordarse mediante el uso de factores de
seguridad, esto debido a que no es posible explicar por completo los mecanismos de fatiga. La
supervivencia del elemento diseñado depende de la aplicación de estos factores, los cuales tratan
de ajustar la resistencia al esfuerzo inducido por la carga; el cual permita que la resistencia sea
más grande que el valor del estrés de manera que no se presenta una falla. Por otro lado, tanto
en el diseño clásico como en el probabilístico se asume un comportamiento normal, por lo cual
se utiliza los valores Z de la distribución de Gauss para la estimación en la resistencia del
elemento. En el enfoque tradicional no se considera la desviación estándar estocástica del estrés
y del esfuerzo; además cuando se aborda un diseño con método probabilístico se asume un
comportamiento normal del estrés y del esfuerzo. Debido a estas simplificaciones en caso de
una distribución del estrés y esfuerzo Weibull, el emplear estas metodologías resulta inexacto
para la estimación del comportamiento del estrés y del esfuerzo. Esto implica que en la
actualidad no existe una metodología probabilística Weibull, dado que el estrés y el esfuerzo
tienen parámetros de forma diferente, no es posible tratarlos con los enfoques clásico y
probabilístico.
2.1 Descripción del Problema
En la determinación de la confiabilidad de un producto, elemento o sistema, que está sometido
a diferentes valores de estrés (estrés variante), el producto presenta una resistencia inherente
para soportar dicho estrés y la confiabilidad estará dada por la probabilidad de que la resistencia
de diseño del producto sea mayor a la resistencia del estrés al cual se somete el producto,
entonces se tiene que 𝑅(𝑡) = 𝑃(𝑆 >). Como se demuestra la determinación de la confiabilidad
está entonces dada por la variable resistencia y la variable estrés, en este caso la herramienta
empleada para determinar su confiabilidad es el análisis de estrés/resistencia.
4
Por otro lado, aunque las unidades sean fabricadas de forma idéntica (mismo proceso,
material, mano de obra, etc.), estas presentan variación en su resistencia (𝑅𝑖). Es decir, la
resistencia de las unidades; digamos (𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅𝑛) es una variable aleatoria continúa (ver sec.
3.4), por lo que su comportamiento debe representarse mediante una distribución de
probabilidad. Así en el análisis de confiabilidad, el hecho que la resistencia (𝑅𝑖) sea una variable
aleatoria constituye la primera fuente de variación en el análisis. La segunda fuente de variación
aleatoria en el análisis de confiabilidad ocurre cuando el producto es sometido a diferentes
niveles de estrés (𝐸𝑖) (estrés variante); digamos (𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛). De esta forma, debido a que
ambas, la resistencia y el estrés son aleatorias, estas deben de modelarse a través de funciones
de densidad de probabilidad (reliawiki, 2014). Entonces, determinar una confiabilidad de un
producto, elemento, sistema, etc., cuando se someten a un estrés variante se realiza mediante el
análisis estrés/resistencia, entonces la confiabilidad está dada cuando el estrés sobrepase la
resistencia (𝑃(𝑠𝑖 ≥ 𝑆𝑖)), es decir, 𝑅(𝑡) = (𝑃(𝑠𝑖 ≥ 𝑆𝑖)). El análisis estrés/resistencia modela el
comportamiento de la variable aleatoria del estrés y el comportamiento la variable aleatoria de
la resistencia como funciones de densidad de probabilidad donde (𝑠𝑖 𝑦 𝑆𝑖) son independientes.
El estrés (𝑠𝑖) es una variable que induce la falla del producto o elemento, de esta forma el estrés
se refiere a una carga mecánica, ambiente de operación, temperatura, corriente eléctrica, etc., al
cual se somete el producto. El término resistencia (𝑆𝑖) es la magnitud que soporta un producto,
elemento, etc., para cumplir su función de diseño satisfactoriamente cuando esté sometido a
cargar externas y al ambiente operacional. De este modo, un producto es capaz de realizar la
función si su resistencia es mayor al estrés aplicado, es decir, si el estrés (𝑠𝑖) tiene una
distribución continua 𝐹(𝑠𝑖) y la resistencia (𝑆𝑖) es una distribución 𝐺(𝑆𝑖). Donde (𝑠𝑖 𝑦 𝑆𝑖) son
independientes entonces:
𝑅 = ∫𝐹(𝑠𝑖)𝑑𝐺(𝑆𝑖) = ∫[1 − 𝐺(𝑠𝑖)]𝑑𝐹(𝑆𝑖) = 𝑃[𝑆𝑖 > 𝑠𝑖] (8)
= ∫[1 − 𝐺(𝑠𝑖)]𝑑𝐹(𝑆𝑖) = 𝑃[𝑆𝑖 > 𝑠𝑖]
o
𝑅(𝑡) = (𝑆𝑖 < 𝑠𝑖) (9)
= ∫ ∫ 𝑓(𝑠𝑖, 𝑆𝑖)𝑑𝑠𝑖𝑑𝑆𝑖
𝑠𝑖
−∞
∞
−∞
5
El análisis estrés/resistencia es la probabilidad de que la variable del estrés sea menor
que la variable resistencia, entonces el análisis estrés/resistencia implica la suma
algebraica de la distribución del estrés y de la distribución de la resistencia, es decir, como
ya se mencionó es la convolución de dos distribuciones de probabilidad, como se
demuestra a continuación:
Convolución de la suma y la resta de variables aleatorias independientes general:
𝐹𝑧(𝑍) = (𝑓𝑥 ∗ 𝑓𝑦)(𝑍) (10)
= ∫ 𝑓𝑥(𝑍 − 𝑓𝑦)𝑓𝑦(𝑦)𝑑𝑦∞
−∞
La Ec. (10) se denomina convolución de funciones de densidad 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 correspondientes a
la suma de las variables independientes 𝑋1 𝑦 𝑌1.
𝐹𝑧(𝑍) = (𝑓𝑥 ∗ 𝑓𝑦)(𝑍) (11)
= ∫ 𝑓𝑥(𝑍 − 𝑓𝑦)𝑓𝑦(𝑦)𝑑𝑦∞
−∞
La Ec. (11) se denomina convolución de funciones de densidad 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 correspondientes a
la diferencia de las variables independientes 𝑋 𝑦 𝑌. En la teoría de probabilidad, la
convolución de dos funciones de densidad de probabilidad tiene una relación especial con
la suma de variables aleatorias independientes. De esta forma si 𝑋 𝑦 𝑌 son independientes,
con función de densidad de probabilidad 𝑝𝑑𝑓 𝑓 𝑦 𝑔. La convolución está dada por:
𝐻(𝑧) = 𝑃(𝑍1 ≤ 𝑧1 ) = 𝑃(𝑋1 + 𝑌1 ≤ 𝑧)
= ∫𝑃(𝑋1 + 𝑌1 ≤ (𝑧|𝑌1 = 𝑦1) ∗ 𝑔(𝑦)1𝑑𝑦
= ∫𝑃(𝑋1 ≤ 𝑧 − 𝑦) ∗ 𝑔(𝑦)1𝑑𝑦
= ∫𝐹𝑥1(𝑧1 − 𝑦1)𝑔1(𝑦)𝑑𝑦
6
ℎ𝑧 =𝑑𝐻(𝑧)1𝑑𝑧
=𝑑(∫𝐹𝑥(𝑧 − 𝑦)1 ∗ 𝑔(𝑦)1𝑑𝑦
𝑑𝑧
= ∫𝑑(𝐹𝑥(𝑧 − 𝑦))
1
𝑑𝑍∗ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦
= ∫𝑓(𝑧 − 𝑦) ∗ 𝑔(𝑦)1𝑑𝑦
= 𝑓1 ∗ 𝑔1 (12)
Como ejemplo de la convolución de dos distribuciones se muestra convolución de dos
variables aleatorias con comportamiento normal.
∫gp(x; a, A) ∗ gP(x; b, B)dx
= ∫1
2𝜋𝑝2 |𝐴|
12
𝑒−12(𝑥−𝑎)´𝐴−1(𝑥−𝑎) 1
2𝜋𝑝2 |𝐵|
12
𝑒−12(𝑥−𝑏)´𝐵−1(𝑥−𝑏)𝑑𝑥
= ∫1
(2𝜋)𝑝2|𝐴|
12
1
(2𝜋)𝑝2|𝐵|
12
𝑒−12((𝑥−𝑎)´𝐴−1(𝑥−𝑎)+(𝑥+𝑏)´𝐵−1(𝑥−𝑏))𝑑𝑥
= ∫1
(2𝜋)𝑝2|𝐴|
12
1
(2𝜋)𝑝2|𝐵|
12 𝑒−
12((𝑥−𝑐)´(𝐴−1+𝐵−1 )(𝑥−𝑐)+(𝑎+𝑏)´𝐶(𝑎−𝑏))𝑑𝑥
=|(𝐴−1+𝐵−1 )
−1|1/2
(2𝜋)𝑝2|𝐴|
12|𝐵|
12
𝑒−1
2(𝑥−𝑐)´𝐶(𝑎−𝑏) ∗ ∫
1
(2𝜋)𝑝2|(𝐴−1+𝐵−1)−1|
12
𝑒−1
2((𝑥−𝑐)´(𝐴−1+𝐵−1 )(𝑥−𝑐)𝑑𝑥
|(𝐴−1 + 𝐵−1)−1|12
(2𝜋)𝑝2|𝐴|
12|𝐵|
12
𝑒−12((𝑎−𝑏)´𝐶(𝑎−𝑏)
=1
(2𝜋)𝑝2(|𝐴||𝐵||𝐴−1 + 𝐵−1 |)
12
𝑒−12(𝑎−𝑏)´(𝐴+𝐵)−1(𝑎−𝑏)
=1
(2𝜋)𝑝2(|𝐴𝐵𝐴−1 + 𝐴𝐵𝐵−1
|)12
𝑒−12(𝑎−𝑏)´(𝐴+𝐵)−1(𝑎−𝑏)
=1
(2𝜋)𝑝2(|𝐴𝐵𝐴−1 + 𝐴 |)
12
𝑒−12(𝑎−𝑏)´(𝐴+𝐵)−1(𝑎−𝑏)
=1
(2𝜋)𝑝2(|𝐴(𝐴 + 𝐵) + 𝐴 |)
12
𝑒−12(𝑎−𝑏)´(𝐴+𝐵)−1(𝑎−𝑏)
=1
(2𝜋)𝑝2|𝐴(𝐴 + 𝐵)𝐴−1|
12
𝑒−12(𝑎−𝑏)´(𝐴+𝐵)−1(𝑎−𝑏)
7
=1
(2𝜋)𝑝2|𝐴+𝐵|
12
𝑒−1
2(𝑎−𝑏)´(𝐴+𝐵)−1(𝑎−𝑏)
(13)
Como se demuestra en la Ec. (13) el análisis de estrés/resistencia es una suma algebraica
de la distribución del estrés y la distribución de la resistencia, es decir es la convolución de dos
distribuciones de probabilidad y como se observa en el caso de variables con comportamiento
normal la convolución es posible y por lo tanto su análisis estrés/resistencia también tiene una
solución cerrada.
Sin embargo, cuando el comportamiento tanto del estrés como de la resistencia siguen una
distribución Weibull con parámetros de forma diferente (𝛽1 ≠ 𝛽2), el análisis estrés/resistencia
no está definido. Debido a la falta de propiedad de cerradura cuando los parámetros de forma
de la distribución Weibull no son iguales (𝛽𝑠 ≠ 𝛽𝑆) (Lai, 2014), esta propiedad se demuestra a
continuación:
Para un conjunto de variables independientes Weibull X: i ~W(ηi, β), i = 1,… . , n,,
digamos X1, … . Xn, entonces la probabilidad conjunta es
P(min(X1, … . , Xn) > 𝑡)P(X1 > 𝑡,… , xnt) ∏ P(Xi > 𝑡) = ∏ exp [− (t
ηi)βi] =n
i=1ni=1
exp [−tβi ∑1
ηiβ ] = exp[− (
t
η∗)βi con η(∑
1
ηiβ)−1/βi n
i=1 ni=1 (14)
Como se puede ver de la Ec. (14), la suma de distribuciones Weibull solo está definida cuando
las funciones a ser sumadas tienen el mismo parámetro de forma β, pero ya que la distribución
del estrés y la distribución de la resistencia son desiguales, entonces 𝛽𝑠 𝑦 𝛽𝑆 son diferentes, por
lo que para 𝛽𝑠 ≠ 𝛽𝑆, debido a esto, se necesita más investigación para lograrse este objetivo.
Por otra parte, el calificativo de aproximación es el que se debe establecer para cualquier tipo
de diseño mecánico determinista, dado que los análisis de fatiga que se tienen establecidos para
diferentes componentes, están basados en la experimentación, donde la condiciones de la
probeta y de las tensiones que se aplican están estrictamente controladas, debido a este control,
no se consideran los factores de ruido que afectan a la resistencia del material, lo cual implica
que en las prácticas de diseño convencionales el emplear los conceptos de factores de seguridad
de diseño y márgenes de seguridad, los cuales no cumplen con las necesidades actuales de los
8
componentes y los niveles de confiabilidad dado el alto nivel de confiabilidad exigido (D. B.
Kececioglu & Ph, 2003). Los materiales en su estructura fundamental se rigen por leyes que
deben ser consideradas probabilísticas, lo que implica que no pueden existir fenómenos físicos
deterministas. Por tanto, el concepto de probabilidad forma parte consustancial del diseño de
ingeniería mecánica. La falta de conocimiento acerca de leyes que rigen el comportamiento de
componentes, además de su estructura probabilística, conlleva a un límite en la predicción del
comportamiento de las fallas de diseño. En resumen, porque se desconoce detalladamente
determinados factores, es necesario disponer de factores de seguridad, para reducir el riesgo de
fallo hasta un nivel aceptable; a ese margen en diseño de ingeniería se le denomina coeficiente
de seguridad (ver figura 1), y en caso de que se tome a consideración aspectos probabilísticos
en el método de análisis, se denomina coeficiente de seguridad estadístico, y va asociado a un
nivel de confiabilidad deseado (Gonzalez, 2015).
Figura 1: Tensión de Fallo y Admisible.
Si el comportamiento tanto de la resistencia como del esfuerzo tiene distribución Weibull, el
emplear el factor de confiabilidad, implica ineficiencia en el diseño del elemento, debido a que
el parámetro de forma 𝛽 es diferente para la distribución del esfuerzo y la distribución del estrés,
esto significa que el utilizar un método determinista o probabilístico en comportamiento Weibull
no es adecuado, esto es que no existe una metodología probabilística Weibull para el diseño
mecánico.
9
2.2 Hipótesis
En esta sección se presentan las hipótesis que se buscan comprobar mediante el desarrollo de la
investigación y con ello demostrar que la investigación realizada es eficiente. La hipótesis
general y especificas se muestras a continuación.
2.2.1 Hipótesis General
Es posible determinar un parámetro de forma 𝛽 común para diseño mecánico cuando tanto el
esfuerzo como la resistencia siguen una distribución Weibull con parámetro de forma diferente.
2.2.2 Hipótesis Especificas
• Mediante la desviación estándar de los datos es posible generar un parámetro 𝛽
comun.
• Vía la relación cerrada Weibull Gumbel se puede generar una desviación estándar
común para el estrés y el esfuerzo.
2.3 Objetivos
Los objetivos de esta investigación se declaran a continuación con el propósito de especificar
que se va a determinar al final de la tesis.
2.3.1 Objetivo General
Determinar un parámetro de forma 𝛽 común para diseño mecánico cuando tanto el esfuerzo
como la resistencia siguen una distribución Weibull con parámetro de forma diferente.
2.3.2 Objetivos Específicos
• Generar un parámetro de forma común 𝛽, para el estrés y el esfuerzo a través de la
desviación estándar de los datos.
• Generar una desviación estándar común para el estrés y el esfuerzo vía la relación
cerrada Weibull Gumbel.
• Diseñar un método resistencia-esfuerzo vía la desviación estándar común.
10
2.4 Justificación
En el diseño mecánico existen distintas fuentes de incertidumbre dentro del proceso de diseño
y la evaluación estructural, por lo cual no es posible garantizar la seguridad absoluta del
elemento, debido a lo impredecible de las cargas, a las variaciones de los materiales y a la
simplificación de los métodos de comportamiento de falla. La metodología en el diseño
convencional deja mucho que desear, puesto que el uso de factores de seguridad no mide de
forma cuantitativa que tan bueno o malo es el diseño. La tensión máxima de un componente se
determina mediante el cálculo de un valor único de tensión nominal y posteriormente se aplican
diversos factores multiplicativos, con un solo valor para la modificación de esta tensión nominal
(D. B. Kececioglu & Ph, 2003).
El uso de factores de seguridad en el diseño determinista, busca proporcionar un margen
suficiente de tal modo que se cubra la diferencia entre el comportamiento real y el teórico del
elemento; entre los factores empleados en el análisis de fatiga está el factor de confiabilidad
𝑘𝑐 = 1 − 0.08𝑧𝛼, el cual asume una distribución normal de la resistencia y el esfuerzo, con lo
cual se simplifica el cálculo del nivel de confiabilidad deseado; sin embargo en caso de que la
resistencia o el esfuerzo presenten un comportamiento Weibull, el uso de la metodología actual
es inadecuado. Debido a esto es necesario realizar investigación para el diseño mecánico
resistencia-esfuerzo con comportamiento Weibull-Weibull, con el fin de establecer altos niveles
de confiabilidad y al mismo tiempo que los elementos diseñados sean confiables.
11
2.5 Alcances y Delimitaciones
• La metodología de diseño mecánico y los factores de seguridad se aplican únicamente
para la distribución Weibull.
• Los factores de seguridad propuestos son únicos para la distribución Weibull.
• El método propuesto se compara solo con el diseño mecánico determinista.
2.6 Supuestos
Los supuestos para la investigación son los siguientes:
• Existe un comportamiento de la resistencia y esfuerzo Weibull.
12
3.0 Marco Teórico
3.1 Marco Conceptual
3.1.1 Ingeniería Mecánica (Diseño)
La mecánica se relaciona con sólidos, fluidos, momentos, pesos etc. Los adjetivos que se
utilizan junto a la palabra diseño son maquinas, herramientas, elementos, productos, hidráulica,
entre otros. Sin embargo, estos conocimientos utilizan la misma información y se requieren
capacidades iguales (Budynas & Nisbett, 2014).
3.1.2 Iteraciones de Diseño
Figura 2: Fases de Diseño
13
Diseñar productos ha sido categorizado como sigue:
1. Tasa de riesgo de fallo basado en datos históricos o pruebas de laboratorios.
2. Formulación de seguridad del diseño mediante arboles de fallos, modos de fallo y
riesgo de fallo.
3. Formulación de riesgos y advertencias, con el desarrollo de metodología para el
desarrollo y la selección del diseño.
4. Estandarización, formas de uso, mantenimiento o requerimientos de actuación.
5. Aseguramiento de calidad.
6. Actuación del producto.
7. Decisiones de proceso de manufactura.
3.1.3 Requerimientos de Diseño
La fuerza de un producto o elemento es de suma importancia con el fin de obtener las
dimensiones adecuadas y el tipo de material utilizado (Zapata, 2013). Los requerimientos que
son más comunes en diseño se presentan en la tabla 1:
Tabla 1: Características de Diseño
3.1.4 Estrés y Seguridad
El éxito de un elemento o producto diseñado será en parte a la seguridad del elemento contra
el estrés al cual se va a someter, es decir, el estrés debe ser menor que la fuerza del elemento
cabe mencionar que en el diseño de elementos mecánicos, la seguridad de este deberá ser lo
suficiente mayor al estrés al que se someterá. Esto, para lograr que el elemento soporte
circunstancias como el medio ambiente, desgaste y variación entre materiales.
1. Función
2. Stress
3. deflexión
4. Seguridad
5. Ingeniería de Confiabilidad
6. Manufactura
7. Utilidad del elemento
8. Costo del producto
14
Los materiales tienen propiedades para soportar el estrés, por lo que es necesario tomar en
cuenta que tipo de material se usará, el tratamiento térmico que tendrá, entre otros componentes
de los materiales. La seguridad en los materiales se denota por la letra 𝑠 y dependiendo el tipo
de seguridad se usan subíndices como 𝑠𝑦, 𝑠𝑢, 𝑠𝑦𝑥 cada uno tiene un significado diferente siendo
en orden seguridad a la fluencia, esfuerzo último, seguridad cortante (Engineering, 2012).
3.1.4 Rigidez del Elemento
En la fig. 2 muestra una probeta de prueba de tensión y la carga asignada se convierte en
estrés con la formula (Aguilar, 2011).
𝜎 =𝑝
𝐴1 (15)
Figura 3. Probeta
La extensión de longitud se da por 𝑙 − 𝑙0 para una carga 𝑝. Entonces la extensión de longitud
se puede estimar mediante.
𝜖 =𝑙−𝑙1
𝑙1 (16)
15
Los resultados de la extensión mediante una prueba experimental se muestran en la fig. 4.
Figura 4: Diagrama de Deformación a
Figura 5: Diagrama de Deformación b
En el caso de que el material empleado sea de tipo dúctil este se deforma más que un material
de tipo frágil, por ejemplo, acero es dúctil y porcelana es frágil. En la fig. 5 puede observase
como se mantiene una recta hasta un punto y cuando se sobrepase este punto, comenzará la
deformación del material. La recta del elemento se puede calcular como:
𝜎1 = 𝐸𝜖 (17)
16
En la Ec. (17) 𝐸 se conoce como el limite de elasticidad. Si se excede de este límite se
producirá entonces ocurrirá una deformación permanente en el material y este no podrá volver
a su estado normal (Budynas & Nisbett, 2014).
Otra estimación que se hace en materiales sometidos a tensión es la verdadera deformación
y está se da por la siguiente ecuación.
𝜖 = ∫𝑑𝑙
𝑙= ln
𝑙
𝑙1
𝑙
𝑙1 (18)
3.1.5 Equilibrio y diagramas de cuerpo libre
Un sistema puede ser cualquier componente de un producto o elemento de tal forma que
estos se pueden denominar partícula. Además, el movimiento del elemento debe estar igualado
cumpliendo con:
∑𝐹 = 0𝑠
∑𝑀 = 0𝑠 (19)
Es decir que la suma algebraica de cada carga en el elemento total deberá ser cero
(Budynas & Nisbett, 2014).
3.1.5.1 Diagramas de cuerpo libre
Un análisis de cuerpo es una descomposición de un elemento en partes para que el problema
pueda resolverse de una forma sencilla, para después juntar un todo (Juvinall & Saunders, 2012).
RA=46.6N
P1=-13.3N P2=-11.085N P3=-607.4N
RB=585.2N
Figura 6: Diagrama cuerpo libre
17
3.1.5.2 Componentes del esfuerzo
De forma genérica cada parte de un elemento poseerá un stress normal y un estrés cortante
o de rotación como se muestra en la Fig. (9) (Rodríguez, 2011).
Figura 7: Componente del esfuerzo.
Cuando se tienen estreses de tipo cortante se utilizan más de un sufijo para identificarlos,
puesto que el primero dirá cuál es la dirección gaussiana y el segundo la dirección rotada.
Figura 8: Esfuerzo multidimensional
Como se menciono anteriormente los estreses deben estar en igualdad por lo que los estreses
de rotación deberán cumplir con este mismo criterio.
18
𝜏𝑦𝑥1 = 𝜏𝑥𝑦1; 𝜏𝑦𝑧1 = 𝜏𝑧𝑦1; 𝜏𝑥𝑧1 = 𝜏𝑧𝑥1 (20)
3.1.6 Esfuerzos normales para vigas en flexión
Los estreses de tipo normal pueden obtenerse mediante la Ec. (21). En la Fig. (9) se muestran
los estreses normales actuando en una viga (Depool Rivero & Monasterio, 2013).
Figura 9: Viga recta en flexión positiva.
El estrés de flexión se calcula como:
𝜎𝑥 = −𝑀𝑦
𝐼𝑛 (21)
I representa un momento dos.
𝐼𝑛 = ∫𝑦2𝑑𝐴1 (22)
Donde el estrés más grande ocurre en
𝜎max!1 =
𝑀𝑐1
𝐼𝑛 (23)
19
3.1.7 Teorías de Falla
En las fallas mecánicas no hay aún una teoría que pueda ser usada de forma general. Por lo
cual varias hipótesis de teorías han surgido y actualmente se utilizan, dependiendo si el elemento
tiene como material dúctil o material frágil (De Castro, 2014).
3.1.7.1 Estrés cortante máximo
El estrés cortante máximo se define mediante:
𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎1−𝜎2
2≥
𝑆𝑦
2 𝑜 𝜎1 − 𝜎3 ≥ 𝑆𝑦 (24)
Y
𝑆𝑠𝑦 = 0.5𝑆𝑦 (25)
3.1.7.2 Distorsión para materiales dúctiles
Los estreses se estiman como un promedio de cada estrés que actúa sobre el elemto de tal
forma que:
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =𝜎1+𝜎2+𝜎3
3 (26)
20
Figura 10: Elementos con Esfuerzos Triaxiales
Y la energía de distensión es:
𝑈𝑑1 =1−𝑣
3𝐸 𝑆𝑦12 (27)
De forma común se debe cumplir con:
[(𝜎1−𝜎2)
2+(𝜎2−𝜎3)2+(𝜎3−𝜎1)
2
2]1/2
≥ 𝑆𝑦 (28)
Cuando se tienen estreses simples se puede usar la formula de Von Mises que se denota por:
𝜎′ ≥ 𝑆𝑦 (29)
Von Mises se calcula como:
𝜎1′ = [
(𝜎11−𝜎22)2+(𝜎22−𝜎33)
2+(𝜎33−𝜎11)2
2]1/2
(30)
21
Figura 11: Energía de distorsión
Von Mises puede medirse con la resistencia de deformación del material como se muestra a
continuación.
𝜎´ =𝑆𝑦
𝑛 (31)
La teoría de la energía de distorsión no predice falla bajo presión hidrostática y concuerda
con todos los datos del comportamiento dúctil. Por consiguiente, es la teoría más empleada para
los materiales dúctiles y se recomienda para los problemas de diseño. Si se considera un
elemento que se encuentre bajo cortante puro en el momento de la falla, donde el esfuerzo
cortante a la fluencia es 𝑆𝑠𝑦 el esfuerzo de Von Mises resulta ser:
𝜎´ = √3 𝑆𝑠𝑦 (32)
Y la falla ocurre cuando:
√3 𝑆𝑠𝑦 = 𝑆𝑦 (33)
22
𝑆𝑦 es el estrés de deformación a la tensión de manera que una relación puede darse
mediante la fórmula (Gonzalez, 2015).
𝑆𝑠𝑦 = 0.577𝑆𝑦 (34)
3.1.7.3 Mohr-Coulomb
Existe una forma de calcular los estreses basado en el círculo de Mohr que cuando un circulo
resulta en una tangente se produce una falla, es decir:
Figura 12: Circunferencias de Mohr
La circunferencia mayor hace conexión con el esfuerzo máximo uno y el esfuerzo máximo
tres como se puede observar en la figura 11 por lo tanto:
𝐵2𝐶2 − 𝐵1𝐶1𝑂𝐶2 − 𝑂𝐶1
= 𝐵3𝐶3 − 𝐵1𝐶1𝑂𝐶3 − 𝑂𝐶1
𝐵2𝐶2−𝐵1𝐶1
𝐶1𝐶2=
𝐵3𝐶3−𝐵1𝐶1
𝐶1𝐶3 (35)
Donde 𝐵1𝐶1 =𝑆𝑡
2, 𝐵2𝐶2 = (𝜎1 − 𝜎3)/2 𝑦 𝐵3𝐶3 = 𝑆2/2, son los radios de los círculos del
derecho, el centro y la izquierda, respectivamente (Rodríguez, 2011). La distancia desde el
origen hasta 𝐶1 es de 𝑆𝑡/2, hasta 𝐶3 es 𝑆𝑐/2 y hasta 𝐶2 es (𝜎1 + 𝜎3)/2, entonces:
23
𝜎1−𝜎32
−𝑆𝑡2
𝑆𝑡2−𝜎1+𝜎3
2
=𝑆𝑐2−𝑆𝑡2
𝑆𝑡2+𝑆𝑐2
(36)
Así entonces reduciendo:
𝜎1
𝑆𝑡−𝜎3
𝑆𝑐= 1 (37)
Donde se da el ultimo estrés.
3.1.7.4 Esfuerzo-Vida
Las cargas por fatiga son fuerzas que actúan de forma cíclica hasta que se produce una falla
a los ciclos n, estos ciclos se pueden representar mediante la siguiente figura 13 (Marco Esteban,
2010).
Figura 13:Diagrama Fatiga-Ciclos
24
3.1.7.5 Deformación-Vida
El método de la deformación contra la vida se puede considerar como el más aceptado puesto
que explica la naturaleza de como se produce y propaga la falla en la figura 14 se muestra la
deformación contra la vida (Vable, 2012).
Figura 14: Vida-Fatiga Log-Log
25
3.1.8 Límite de resistencia a la fatiga
La resistencia a la falla debido a la fatiga tiene muchas fuentes de información lo cual puede
resultar en incertidumbre ya que el espectro de posibles valores para la falla se hace más amplo
como puede verse en la figura 14.
Figura 15: Fatiga contra Tensión
3.1.9 Factores de Seguridad
Ya que los cálculos en ensayos o experimentos tienen todos los posibles aspectos
controlados, es necesario introducir factores que puedan incrementar la resistencia en el
elemento. La fatiga circular se estima por la ecuación.
𝑆𝑒 = ∏𝐾𝑡 ∗ 𝑆´𝑒 (38)
26
Figura 16: S-N en estrés alternante
La fórmula de Marín está dada por:
𝑆𝑒 = 𝑘𝑎𝑘𝑏𝑘𝑐𝑘𝑑 𝑘𝑒𝑘𝑓 𝑆𝑒´ (39)
Donde:
𝑘𝑎 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑘𝑏 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜
𝑘𝑐 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝑘𝑑 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑘𝑒 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑ad
𝑘𝑓 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
27
3.1.9.1 Superficie 𝒌𝒂
Este se refiere al tipo de acabado de la superficie del elemento y tiene que ver con la
rugosidad y su estimación está dada por la Ec. 40 (Nisitani, 2010).
𝑘𝑎 = 𝑎𝑆𝑢𝑏𝑏 (40)
Tabla 2: Cuantificaciones de Marin
Figura 17: Factor superficie en acero.
28
3.1.9.2 Tamaño 𝒌𝒃
Otra de las correcciones que se utilizan son las de tamaño que se muestran en la Ec. 41
(Mejía, 2000).
𝐾𝑏 =
{
(
𝑑
0.3)−0.107
= 0.879𝑑−0.107 0.11 ≤ 𝑑 ≤ 2𝑝𝑢𝑙𝑔.
(0.91𝑑)−0.157 2 ≤ 𝑑 ≤ 10𝑝𝑢𝑙𝑔.
(𝑑
7.62)−0.107
= 1.24𝑑−0.107 2.79 ≤ 𝑑 ≤ 51𝑚𝑚.
1.51𝑑0.157 51 < 𝑑 ≤ 254𝑚𝑚.
(41)
3.1.9.3 Carga 𝒌𝒄
Los experimentos de fatiga por estrés rotatorio, axial y de torque se tiene un factor de carga
determinado por la Ec. (42) (Bongura, 2007).
𝑘𝑐 = {1 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛0.85 𝐴𝑥𝑖𝑎𝑙0.59 𝑇𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛
(42)
3.1.9.4 Temperatura 𝒌𝒅
El tratamiento térmico es de suma importancia para la dureza y flexión de los materiales
tales como el acero, puesto que pueden hacerse frágiles si la temperatura es muy elevada y caso
contrario el acero puede ser flexible pero no poseer dureza cuando el tratamiento térmico es
bajo. En la siguiente ecuación se muestra el calculo del tratamiento de temperatura.
entre la temperatura “ambiente” y 450 °C, y comienza a reducirse rápidamente por encima de
este valor (Nisitani, 2010). La siguiente ecuación empírica puede utilizarse para determinar el
factor de temperatura de un acero:
𝑘𝑑 = 1 𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑚𝑝 ≤ 450 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 (43)
𝑘𝑑 = 1 − (0.0058
𝐶) (Temp − 450 C), 𝑠𝑖 450 < 𝑡𝑒𝑚𝑝 ≤ 550 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 (44)
29
3.1.9.5 Proceso Manufactura
El tipo de proceso que tiene un elemento puede cambiar la estructura del material utilizado
por lo que se debe considerar este proceso en el análisis del elemento.
3.1.9.6 Fatiga, 𝑲𝒇 (vida infinita)
La concentración de estrés por fatiga multiplica a el estrés para obtener un valor corregido
del mismo (Budynas & Nisbett, 2014).
𝑞1 =𝑘𝑓−1𝑘
𝑘𝑡−1𝑘 (45)
𝑘𝑓 se determina por:
𝑘𝑓 = 1 − 𝑞1(𝑘𝑡 − 1) (46)
Estimación directa de 𝑞.
Figura 18: Determinación del índice q
30
3.1.9.7 Confiabilidad 𝒌𝒄
Bajo un número muy grande de ensayos se consigue que la distribución de las propiedades del
elemento sigan una distribución gaussiana (Nisitani, 2010).
Figura 19: Propiedades Normales
La confiabilidad hace que se tenga una mayor probabilidad de supervivencia, es decir, mayor
confiabilidad. Para calcular este factor se utiliza un 0.08 de desviación estándar como si fuera
una constante (Budynas & Nisbett, 2014).
Tabla 3: Factor de confiabilidad (Kc)
31
Figura 20: Factor de Confiabilidad 𝑠´𝑒
𝑆𝑢𝑡= 0.50
𝑘𝑐 esta dado por:
𝑘𝑐 = 1 − 0.08𝑧𝛼 (47)
𝑧𝛼 = 𝑠𝑥2 =
1
𝑁−1 ∑ (𝑥𝑖 − ��)
2𝑁𝑖=1 (48)
32
3.1.10 Esfuerzo medio diferente de 0
Los elementos bajo estrés fluctuante no siempre tienen una media de 0, lo que implica que
solo se cuenta con la información de los ensayos de tipo circular, para lo cual es necesario el
uso de diversos criterios para estos estreses desiguales de 0.
3.1.10.1 Criterio de Goodman
Este criterio es utilizado en la práctica debido a lo sencillo de estimar y a que sigue una
linealidad, la ecuación que representa está dada por:
𝑆𝑎
𝑆𝑓+
𝑆𝑚
𝑆𝑢𝑡= 1 (49)
3.1.10.2 Criterio de Soderberg
𝑆𝑎
𝑆𝑓+
𝑆𝑚
𝑆𝑦𝑡= 1 (50)
3.1.10.3 Criterio de Gerber
𝑆𝑎
𝑆𝑓+ (
𝑆𝑚
𝑆𝑢𝑡)2
= 1 (51)
Figura 21: Criterios.
33
3.1.11 Diseño Mecánico Probabilístico
En 1939 Waloddi Weibull desarrollo una distribución que predecía la propagación de la
fractura una ves que la fatiga o la falla comenzara. Weibull considero que todos los componentes
como los conocemos en este tiempo están compuestos por unidades muy pequeñas de igual
volumen, lo que se conoce ahora como los átomos y además cada unidad tiene una resistencia
y de una unidad a otra la resistencia varia, es decir, todo es aleatorio (Weibull, 1939).
En la actualidad la distribución de Weibull es la única distribución que puede predecir el
comportamiento de la vida de un producto o elemento en cada etapa de la vida de este. Esto se
debe a que el modelo estocástico que genera una distribución Weibull es un proceso polisón no
homogéneo, que quiere decir, cabio a través del tiempo (Piña-Monarrez, 2018a). En la figura 23
se muestra las etapas del diseño probabilístico.
Figura 22: Diseño probabilístico
34
El método probabilístico se trata de integrar una probabilidad del esfuerzo o estrés y de la
resistencia del elemento diseñado (Piña, Baro-Tijerina, & Ortiz-Yañez, 2017).
Figura 23: Distribución de Resistencia y Esfuerzo 3D.
Figura 24: Concepto del Análisis Probabilístico
35
3.1.11 Síntesis Binaria para la Distribución Normal
Las funciones de variables aleatorias pueden ser sintetizadas en una única función
determinando su valor medio y su desviación estándar. Si el coeficiente de variación de cada
variable aleatoria es menor de 0.10 o 10% se asume que el comportamiento de las variables de
tipo normal o gaussiano. El procedimiento de la síntesis binaria consiste en la combinación de
dos variables en función de la primera variable, usando la media y desviación estándar, para
calcular una nueva media y desviación con la combinación de variables. El siguiente paso es
determinar las variables combinadas con la próxima variable usando su media y su desviación
encontrando el nuevo valor de la media y la desviación estándar, así para cada variable, hasta
que todas las variables estén combinadas en una sola variable. El objetivo principal de la
metodología de síntesis binaria adaptada al diseño de ejes consiste en buscar la distribución del
esfuerzo (sf) que gobierna o causa la falla principal y, la distribución del esfuerzo que gobierna
la cedencia del material (Sf). En ambos casos todas las variables involucradas en sf y Sf deben
ser tomadas como variables aleatorias (D. B. Kececioglu & Ph, 2003). El esfuerzo que gobierna
la falla viene dado por:
𝑆�� = (𝑆𝑎2 + 𝑆𝑚
2 )1
2 (52)
Y la razón está dada por:
�� =𝑆𝑎
𝑆𝑚 (53)
Sacando 𝑆𝑎 como factor común se obtiene:
𝑆�� = 𝑆𝑎 (1 +1
𝑟2)
1
2 (54)
3.1.12 Distribución Continua
La distribución de probabilidad continua define que para cada variable aleatoria continua
existe una función de densidad de probabilidad, que modela el comportamiento de la variable
(Depool Rivero & Monasterio, 2013).
36
Cualquier función se dice que es una función de densidad de probabilidad cumpliendo:
1) 𝑓(𝑗) ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ 𝑅
2) ∫ 𝑗 (𝑑𝑗) = 1∞
−∞
3) 𝑃 (𝐴 < 𝑗 < 𝐵) = ∫ 𝑓 (𝑗)𝑑𝑗𝐵
𝐴 (55)
La función acumulada que está dada por la Ec. (56) (Montero, 2015).
𝐹(𝑗) = 𝑃 (𝐽 ≤ 𝑗) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑗 < ∞𝑗
−∞ (56)
Las distribuciones continuas más empleadas son:
• D. Uniforme
• D. Normal
• D. Lognormal
• D. Logística
• D. Beta
• D. Gamma
• D. Exponencial
3.1.13 La Distribución Normal
Esta distribución es indudablemente la mas ampliamente usada en diferentes fenómenos,
desde la medición de la calidad, hasta el comportamiento del clima. La distribución normal parte
del teorema del límite central por eso es una distribución de mucho uso en cálculo de
probabilidades (Serrano, 2012).
Se determina distribución normal si 𝑦 = 𝑁(𝜇; 𝜎) y su función está dada por:
𝑓(𝑥) = 1
𝜎√2𝜋 𝑒(−
(𝑦−𝜇𝑥)2
2𝜎2) ; 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ 𝑅 (57)
37
Los parámetros de la distribución normal 𝜇 𝑦 𝜎2 son números reales.
𝜇 = 𝜇 ∗ 𝜎2 (58)
La función de la distribución normal de un punto cualquiera A hasta otro punto B esta dada
por:
𝑃1(𝐴1 ≤ 𝑥 ≤ 𝐵1) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝐵
𝐴 (59)
Las propiedades de la distribución normal son:
1. Es simétrica.
2. La media está en el centro.
3. La media, moda y varianza están en el centro.
4. Tiende al infinito.
Figura 28: Grafica de la distribución Normal
38
Otras propiedades de la distribución normal:
1. 𝐸(𝑥) = 𝜇 (60)
2. 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎2 (61)
3. Si 𝑥1 ≡ 𝑁(𝜇; 𝜎)𝑦 𝑥2 ≡ 𝑁 (𝜇2; 𝜎2) 𝑠𝑜𝑛 𝑣. 𝑎 independientes, se verifica que: 𝑥 = 𝑥1 +
𝑥2 ≡ 𝑁(𝜇1 + 𝜇2; √𝜎12 + 𝜎2
2 ). (62)
4. Sea 𝑥 ≡ 𝑁(𝜇; 𝜎) entonces 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑥, con 𝑏 ≠ 0, sigue un a distribución normal
𝑁(𝑎 + 𝑏𝜇; |𝑏|𝜎).
5.
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 ) = 𝑝 (𝑋−𝜇
𝜎≤
𝑥−𝜇
𝜎) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) (63)
6. No se usa la función densidad para el cálculo de cada 𝜇 y 𝜎, se utilizan las tablas z para
obtener la función de distribución de cualquier distribución normal (Walck, 2007).
3.1.14 Distribución Weibull
Una de las distribuciones más usadas en ingeniería de confiabilidad para modelar tiempos
de vida de cualquier producto cuyo deterioro este dado por fenómenos físicos es la Distribución
Weibull. (María, 2011).
Una variable 𝑊 tiene distribución Weibull con parámetros 𝜂 ≥ 0 (parámetro de escala) y
𝛽 ≥ 0(parámetro de forma) y se denota 𝑊 ∼ (𝜂, 𝛽 ) si su función de densidad está dada por:
𝑓(𝑡1) =𝛽1
𝜂(𝑡
𝜂)𝛽−1
𝑒𝑥−(
𝑡
𝜂)𝛽1
(64)
39
La probabilidad de falla es:
𝐹(𝑡) = 1 − 𝑒{−(𝜂𝑡)𝛽} (65)
La confiabilidad es:
𝑅(𝑡1) = 𝑒 {−(𝜂𝑡)𝛽} (66)
La media o MTTF:
𝑇1 = 𝜂 ∗ Γ1 (1
𝛽+ 1) (67)
Figura 29: P.d.f de la Distribución Weibull con η=1 y β=0.5,1.5 y 3.
40
Γ es Gamma en:
(1
𝛽1+ 1) (68)
Gamma está dada por:
∫ 𝑒−𝑥𝑥𝑛−1𝑑𝑥 ∞
0 (69)
La mediana es:
𝑇𝑚𝑒𝑑 = 𝜂 ln(2)1/𝛽 (70)
La moda es:
𝑇𝑚𝑜𝑑 = 𝜂 (1 −1
𝛽)
1
𝛽 (71)
La desviación es:
𝜎𝑇 = 𝜂 ( Γ (2
𝛽+ 1) − Γ (
1
𝛽+ 1)
2)
1
2
(72)
3.1.15 Tasa de Falla de la Distribución Weibull
La tasa de falla de una distribución Weibull puede ser creciente, decreciente o contante,
esto depende del parámetro de forma de la distribución (Mart, 2011).
La función de riesgo adopta las siguientes formas en función del parámetro de forma 𝛽:
𝛽 < 1 la función de riesgo es decreciente.
𝛽 = 1 la función de riesgo es constante.
41
𝛽 > 1 la función de riesgo es creciente.
Es oportuno considerar la posibilidad 𝛽 = 3.44, ya que en este caso, la distribución
Weibull se parece a la Normal (Rinne, 2009).
Figura 30: Funciones de densidad (izquierda) distribución (derecha) Weibull con β=0.5,1,1.5,2 y 3.44 y η= 1.
3.1.16 Ingeniria de Confiabilidad
La confiabilidad es la mejor medida cuantitativa de la integridad de una parte,
componente, producto o sistema diseñado. La confiabilidad es la calidad a través del tiempo
de que partes, componentes, productos o sistemas desempeñaran la función para la que fueron
diseñados sin fallar, en ambientes especificados por un periodo de tiempo deseado a un nivel
de confianza dado. (La confiabilidad es la habilidad de un artículo para desempeñar la función
para la que fue creado, bajo las condiciones y ambiente operacional establecido durante un
periodo de tiempo dado.) Es necesario recordar que la confiabilidad solamente aplica una vez
que el proceso está en control, es decir, estable y predecible a través del tiempo, resaltando
que se cumple solo para las condiciones y ambiente dado . No se debe confundir el control
estadístico de la calidad con la confiabilidad, he aquí las principales diferencias:
42
La confiabilidad trabaja con el comportamiento de la tasa de falla por un largo periodo
de desempeño, mientras que el control de calidad lidia con el porcentaje fuera de
especificación o porcentaje de defectuosos en un sólo punto del tiempo.
La confiabilidad cubre todo el periodo de existencia de un componente o producto,
enfocándose en la fase de diseño; el control de calidad solamente el proceso de
manufactura.
La confiabilidad se encarga del concepto y las metodologías del diseño que
aseguren el diseño exitoso; el control de calidad se ocupa de convertir esos dibujos del
diseño a especificaciones del producto.
La confiabilidad asegura la fiabilidad del producto en todos los aspectos, desde el
diseño hasta su uso, y el control de calidad solo asegura que esta fiabilidad no se
degrade durante la manufactura y ensamble.
El control de calidad logra que el proceso de manufactura resulte en un producto
uniforme dentro de los límites de especificación de ingeniería con cierto porcentaje de
defectos a un costo aceptable para el consumidor.
Sin embargo, ningún producto puede desempeñarse con confiablidad sin la ayuda del control
de calidad porque en la medida que se incluyan componentes de calidad en el producto y sean
propiamente ensamblados, se asegurara que la meta de confiabilidad diseñada sea alcanzada
(D. Kececioglu, 2002).
3.1.17 Antecedentes del Análisis Estrés-Resistencia
El término "estrés" en el siglo veintiuno es de gran interés puesto que todos estamos bajo
cierto nivel de estrés y por desgracia, no siempre tenemos la "resistencia" para superarla. La
relación de estrés-resistencia se estudia en muchas ramas de la ciencia como la psicología, la
medicina, la pedagogía, la ingeniería, etc.
El término estrés en ingeniería se refiere a la fuerza estructural, mecánica (o de ingeniería)
llamado resistencia al cual es sometido los materiales del producto, componente, elemento, etc.,
mientras que el termino resistencia se refiere a la fuerza inherente del producto, componente,
elemento, etc., que se esté analizando.
El primer artículo 𝑃 {𝑋 <𝑌) bajo suposiciones paramétricas sobre 𝑋 𝑒 𝑌 fue realizado por Owen
43
et al. (1964) quienes construyeron límites de confianza para 𝑃 (𝑋 <𝑌). Kelley (1976) realizó una
estimación de P (X <Y) para la distribución exponencial. A finales de los ochenta se obtuvieron
estimadores de 𝑃 (𝑋 <𝑌) para la mayoría de las familias de distribución comunes para las
situaciones en las que 𝑋 𝑒 𝑌 son independientes (NASA, 1963).
3.1.21 Concepto del Análisis Estrés-Resistencia
La determinación de la confiabilidad de un producto, elemento, sistema, etc., cuando se
someten a un estrés variante se realiza mediante el análisis estrés-resistencia, entonces la
confiabilidad está dada cuando el estrés sobrepase la resistencia (𝑃(𝑠𝑖 ≥ 𝑆𝑖)), es decir, 𝑅(𝑡) =
(𝑃(𝑠𝑖 ≥ 𝑆𝑖)). El análisis estrés-resistencia modela el comportamiento de la variable aleatoria
del estrés y el comportamiento la variable aleatoria de la resistencia como funciones de densidad
de probabilidad donde (𝑠𝑖 𝑦 𝑆𝑖) son independientes. El estrés (𝑠𝑖) es una variable que induce la
falla del producto o elemento, de esta forma, el estrés se refiere a una carga mecánica, ambiente
de operación, temperatura, corriente eléctrica, etc., al cual se somete el producto. El termino
resistencia (𝑆𝑖) se refiere a la capacidad de un elemento para cumplir su función de diseño
satisfactoriamente cuando esté sometido a cargar externas y al ambiente operacional. De este
modo, un producto es capaz de realizar su función si su resistencia es mayor al estrés aplicado,
es decir, si el estrés (𝑠𝑖) tiene una distribución continua 𝐹(𝑠𝑖) y la resistencia (𝑆𝑖) es una
distribución 𝐺(𝑆𝑖). Donde (𝑠𝑖 𝑦 𝑆𝑖) son independientes entonces:
𝑅(𝑡) = ∫𝐹1(𝑠𝑖)𝑑𝐺1(𝑆𝑖) = ∫[1 − 𝐺1(𝑠𝑖)]𝑑𝐹1(𝑆𝑖) = 𝑃1[𝑆𝑖 > 𝑠𝑖] (73)
O
𝑅(𝑡) = (𝑆𝑖1 < 𝑠𝑖) = ∫ ∫ 𝑓(𝑠𝑖1, 𝑆1𝑖)𝑑𝑠𝑖𝑑𝑆𝑖𝑠𝑖−∞
∞
−∞ (74)
44
Y su representación gráfica es:
Figure 31:Representación del Análisis Estrés-Resistencia
3.1.22 Fundamentos de Análisis Estrés-Resistencia
Una variable aleatoria 𝑆 es estocásticamente mayor que la variable s si la función de
distribución acumulada (𝑐𝑑𝑓) de la variable 𝑆 nunca es mayor que la variable 𝑠, entonces la
notación estándar está dada por:
𝐹𝑆(𝑡) ≤ 𝐹𝑠(𝑡) (75)
Como consecuencia de la relación Ec. (75)
𝑃(𝑠 < 𝑆) ≥1
2 (76)
45
Dado que
𝑃(𝑠 < 𝑆) = ∫ 𝐹𝑠(𝑡)𝑑𝐹𝑆(𝑡) ≥ ∫ 𝐹𝑆(𝑡)𝑑𝐹𝑆(𝑡) =1
2
∞
−∞
∞
−∞ (77)
3.1.23 Formulación de Análisis Estrés-Resistencia
El análisis estrés/resistencia es la probabilidad de que el s sea menor que la S, entonces
el análisis estrés/resistencia implica la suma algebraica de la distribución del estrés y de la
distribución de la resistencia, como se demuestra a continuación (Birnbaum & McCarty,
1958).
Si se asume que 𝑋 𝑦 𝑌 son variables con distribución de función de densidad acumulada
(𝐶𝑑𝑓) = Pr{𝑋 < 𝑠}, 𝐺(𝑠) = Pr{𝑌 < 𝑠}. Sea 𝑋1 ≤ 𝑋2 ≤ ⋯ ≤ 𝑋𝑚 muestras ordenadas de
𝑋 y 𝑌1 ≤ 𝑌2 ≤ ⋯ ≤ 𝑌𝑛 muestras ordenadas de 𝑌, y sea 𝐹𝑚(𝑠𝑖), 𝐺𝑛(𝑆𝑖) las funciones de
distribución empíricas correspondientes a estas muestras; usando la estadística de
Wilcoxon-Mann-Whitney:
�� =𝑢
𝑚𝑛 (78)
Donde:
�� es el estimador insesgado de 𝑝
𝑝 = Pr(𝑌 < 𝑋)
𝑢 es el número de pares (𝑋𝑖, 𝑌𝑘) tal que 𝑌𝑘 < 𝑋𝑖
𝑚 = numero de variables aleatorias 𝑋
𝑛 = numero de variables aleatorias 𝑌
Entonces se puede escribir:
𝑝 = ∫ 𝐺(𝑑)𝑑𝐹(𝑠𝑖)∞
−∞ (79)
�� = ∫ 𝐺(𝑑)𝑑𝐹𝑚(𝑠𝑖)∞
−∞ (80)
46
Por lo tanto:
𝑝 − 𝑝1 = ∫ 𝐺𝑑(𝐹 − 𝐹𝑚) + ∫ (𝐺 − 𝐺𝑛)𝑑𝐹𝑚 =∞
∞
∞
−∞
= ∫ (𝐹 − 𝐹𝑚)𝑑𝐺1 + ∫ (𝐺1 − 𝐺1𝑛)𝑑𝐹𝑚∞
∞
∞
−∞ (81)
Y
𝑝 − 𝑝1 ≤ 𝐷1𝑚− + 𝐷1𝑛
+ (82)
Donde
𝐷𝑚1− = sup
−∞<𝑠<+∞{𝐹1𝑚(𝑆) − 𝐹1(𝑠)} (83)
𝐷1𝑛+ = sup
−∞<𝑠<+∞{𝐺1(𝑠) − 𝐺𝑛(𝑠)} (84)
Es bien conocido (Wald & Wolfowitz, 1939) que:
𝑃𝑟1{𝐷1𝑚− < 𝑣} = 𝑃𝑟{𝐷𝑚
+1 < 𝑣} = 𝑃𝑚1(𝑣) (85)
Y
𝑃𝑟1{{𝐷𝑛+ < 𝑣1}} = 𝑃𝑛1(𝑣) (86)
Son funciones de densidad de probabilidad acumuladas que dependen del número de
observaciones 𝑚, 𝑛 pero sobre la 𝑐. 𝑑. 𝑓 tanto de F1 y como de G1., partiendo de Ec. (86) de
modo que
𝑃𝑟1{𝑝1 ≤ 𝑝1 + 𝜖1} ≥ 𝑃𝑟1{𝐷𝑚+1 + 𝐷𝑛
+1 ≤ 𝜖1} = 𝑃𝑚,𝑛(𝜖1) (87)
47
Donde 𝑃𝑚,𝑛(𝜖) es la convolución de 𝑃𝑚 y 𝑃𝑛.
Como se demuestra en Ec. (87) el análisis de estrés/resistencia es una suma algebraica
del estrés y la resistencia, entonces, el análisis estrés-resistencia es una convolución.
3.1.24 Convolución de Distribuciones de Probabilidad
La convolución de dos distribuciones es una operación que matemáticamente permite
la suma algebraica de dos variables. El caso de variables aleatorias continuas, la
convolución se obtiene integrando el producto de sus funciones de densidad de
probabilidad. La convolución de dos variables se define con el siguiente teorema:
Sea 𝑋 y 𝑌 dos variables continuas con función de densidad 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥). Entonces la
convolución de 𝑓 ∗ 𝑔 de 𝑓 y 𝑔 es la función dada por:
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑧) = ∫ 𝑓(𝑧 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦∞
−∞
= ∫ 𝑔(𝑧 − 𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞ (88)
Las propiedades de una convolución son:
Propiedad conmutativa
𝑓1 ∗ 𝑔1 = 𝑔1 ∗ 𝑓1 (89)
Propiedad asociativa
𝑓1 ∗ (𝑔1 ∗ ℎ1) = (𝑓1 ∗ 𝑔1) ∗ ℎ 𝑓1 (90)
Propiedad distributiva por adición
𝑓1 ∗ (𝑔1 + ℎ1) = 𝑓1 ∗ 𝑔1 + 𝑓1 ∗ ℎ 1𝑓 (91)
Propiedad derivativa
𝑑
𝑑𝑡(𝑓1 ∗ 𝑔1) = 𝑓´ ∗ 𝑔1 + 𝑓 ∗ 𝑔1´ 𝑓 (92)
48
Como puede observarse una convolucion posee las mismas propiedades de una
multiplicación.
3.1.25 Teorema de Fourier
Las series de Fourier supinen que si una función 𝑋(𝑡) tuviera un periodo T, es decir,
que se repitiera trancurrido un tiempo T tal que 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑇), para todo periodo t, dicha
función puede desarrollarse en una serie de forma:
𝑥(𝑡) = 𝑎0 + 2∑ [𝑎𝑘 cos (2𝜋𝑘𝑡
𝑇) + 𝑏𝑥𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋𝑘𝑡
𝑇)]∞
𝑘=1 (93)
Donde las funciones 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑘𝑡
𝑇) 𝑦 cos( 2𝜋𝑘𝑡/𝑇) son funciones de señal reperida.
𝜗𝑘 =2𝜋𝑘
𝑇𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔 (94)
Por tanto, la serie puede interpretarse como la suma infinita de ondas o frecuencias
(Barrull, 1992).
3.1.26 Modelos Estrés-Resistencia
Sea 𝑋 el estrés cargado a una unidad por el medio ambiente en el cual opera. En muchas
aplicaciones, 𝑋 es tomado para representar el máximo valor presentado bajo niveles críticos de
estrés. Lloyd y Lipow (1962) describen una aplicación donde 𝑋 es la presión máxima de la
cámara generada por el encendido de un propulsor sólido en un motor de cohete. Kececioglu
(1972) discute un caso en el que una tensión de torsión es el tipo de tensión más crítico para un
eje de acero giratorio en un ordenador. Típicamente, la variable de estrés es la más difícil de
modelar con precisión debido a la falta de datos suficientes. En el modelo de resistencia al
esfuerzo más simple, 𝑋 es el estrés puesto en la unidad por el entorno operativo y 𝑌 es la
resistencia de la unidad. Una unidad es capaz de realizar su función pretendida si su fuerza es
mayor que la tensión que se le impone. En este contexto, definimos la confiabilidad (𝑅) como
R = probabilidad de que la unidad cumpla satisfactoriamente su tarea. Es decir, la confiabilidad
es la probabilidad de que la unidad sea lo suficientemente fuerte como para superar el estrés.
49
Donde el estrés 𝑋 tenga distribución continua 𝐹 (𝑥) y la resistencia 𝑌 tenga distribución
continua 𝐺 (𝑦). Cuando 𝑋 e 𝑌 pueden ser tratados como independientes, la confiabilidad está
dada por Ec. (1). Los modelos de estrés-resistencia más utilizados para variables aleatorias
continuas se presenta a continuación:
3.1.27 Estrés Resistencia Exponencial
La distribución exponencial tiene una aplicación muy amplia en cuestiones de pruebas de
vida (Epstein, 1951); (Jana, 1994) y (Hanagal, 1995), cómo se estimó la probabilidad de que R
= (X, Y) > Y) (David D. Hanagal, 1997). Además, el modelo exponencial de fuerza de tensión
también ha sido estudiado por (Beg, 1980); (Spendley, 1975); (Sathe y Shah, 1981); (Tong,
1975, 1977).
La función de la distribución exponencial está dada por:
𝑓(𝑡) = 𝜆 𝑒−𝜆𝑥 =1
𝜇𝑥𝑒−𝑥/𝜇𝑥 (95)
𝑅(𝑥) = 𝑒−𝜆𝑥 = 𝑒−𝑥/𝜇𝑥 (96)
𝐹(𝑡) = 1 − 𝑒−𝜆𝑥 = 1 − 𝑒−𝑥/𝜇𝑥 (97)
Por otra parte, supongamos que 𝑥1 . . . 𝑥𝑛 𝑦 𝑦1 . . . 𝑦𝑛 son dos muestras independientes de X
e Y (Pakdaman & Ahmadi, 2013), entonces la confiabilidad del estrés y resistencia puede
expresarse como sigue (Krishnamoorthy, Mukherjee, & Guo, 2007).
Sea Y1 ~ G1E (α1, λ1), X1 ~ G1E1 (α1, λ1) donde X1 e Y1 están exponencialmente
distribuidos independientemente (Chao, 1982), entonces:
𝑅 = 𝑃[𝑌1 > 𝑋1] = ∫ ∫ 𝛼𝛽𝜆2 e−𝜆(𝑦+𝑥)(1 − 𝑒𝜆𝑥)𝛽−1
(1 − 𝑒𝜆𝑦 )𝛼−1
𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥
0
∞
0 (98)
= ∫ 𝛽𝜆 e−𝜆(𝑥)(1 − 𝑒𝜆𝑥)𝛼+𝛽−1
𝑑𝑥 𝑥
0 (99)
=𝛽1
𝜆1+𝛽1 (100)
50
3.1.28 Modelo Estrés-Resistencia Normal-Normal
Cuando 𝑓 (𝑠) y 𝑓 (𝑆) son ambos distribuidos normalmente para determinar la estimación de
confiabilidad asociada. La ecuación (3) dice que la confiabilidad está dada por todas las
probabilidades de que la diferencia entre el modo de fallo de la resistencia y el estrés es positiva
(Weerahandi & Johnson, 1992). Esto corresponde al área positiva bajo la distribución de
diferencia 𝑓 (𝑆 − 𝑠) como se muestra en la Fig. 32.
Figure 32:Área positiva bajo la curva
La función de densidad de probabilidad de la distribución normal está dada por
𝑓(𝑡1) =1
𝜎1√2𝜋𝑒−
1
2 (𝑥1−𝜇1
𝜎1)2 (101)
Los parámetros son:
𝜇 = la media de la distribución
𝜎 = desviación estándar
51
La confiabilidad es:
𝑅(𝑡1) = ∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥 = ∫1
𝜎1√2𝜋𝑒−
1
2 (𝑥1−𝜇1
𝜎1)2𝑑𝑥∞
𝑡
∞
𝑡1 (102)
La probabilidad de falla es:
𝐹(𝑇) = Φ (𝑥−𝜇
𝜎) (103)
𝑅(𝑡) = 1 − Φ (𝑥−𝜇
𝜎) (104)
Si 𝑌1 − 𝑋1 es una variable normal con media 𝜇11 − 𝜇22 y varianza 𝜎112 𝑦 𝜎22
2 entonces:
𝑅 = 𝑃(𝑌1 > 𝑋1)
Por lo tanto
𝑅 = ∫ 𝑓(𝑥)[∫ 𝑓(𝑦)∞
0𝑑𝑦]𝑑𝑥
∞
0 (105)
𝑅 = 𝑃(𝑌 > 𝑋) = 𝑃(𝑌 − 𝑋 > 0) (106)
𝑊1 = 𝑌1 − X1
𝑅 = ∫ 𝑓(𝑤1)𝑑𝑤∞
0 (107)
La distribución del estrés y de la resistencia está dada por:
𝑓(𝑥) =1
𝜎𝑥1√2𝜋 𝑒
−1
2 (𝑥1−𝑥1 )
𝜎𝑥
2
y 𝑓(𝑥) =1
𝜎𝑦1√2𝜋 𝑒
−1
2 (𝑦1−��1)
𝜎𝑦
2
(108)
52
Entonces, como 𝑊 = 𝑌 − 𝑋:
𝑓((𝑊) =1
𝜎𝑤√2𝜋 𝑒
1
2 (𝑤−��)2
𝜎𝑤 (109)
Donde 𝜎𝑤 es igual a
𝜎𝑤 = √𝜎𝑦2 + 𝜎𝑥2 (110)
Por lo tanto
𝑅 = ∫1
𝜎𝑤√2𝜋 𝑒−1
2 (𝑤−𝜇𝑤)
2
𝜎𝑤∞
0 𝑑𝑤 (111)
Entonces 𝑍 será igual a
𝑍 =𝑤−��
𝜎𝑤=
((𝑥−𝑦)−(��−��))
√𝜎𝑦2+𝜎𝑥
2 (112)
Los limites serán para 𝑤 = ∞
𝑍∞ =∞−��
𝜎𝑤=
(∞−(��−��))
√𝜎𝑦2+𝜎𝑥
2= ∞ (113)
Y para 𝑤 = 0
𝑍∞ =0−��
𝜎𝑤=
(0−(��−��))
√𝜎𝑦2+𝜎𝑥
2= 𝑚 (114)
53
De modo que
𝑓(𝑤)𝑑𝑤 = Φ(𝑍)𝑑𝑧 (115)
Por lo tanto
𝑅 = ∫1
√2𝜋 𝑒−
𝑧2
2 𝑑𝑧 = ∫ Φ(𝑧)𝑑𝑧
∞
𝑚
∞
𝑚 (116)
𝑅 = Φ((∞) − Φ(𝑚)) (117)
Por lo cual la confiabilidad para dos variables aleatoria independientes con distribución
normal será
𝑅 = Φ ��− ��
√𝜎𝑦2+𝜎𝑥
2 (118)
3.1.29 Modelo Estrés-Resistencia Weibull
La distribución Weibull es muy usada en ingeniería de confiabilidad sobre todo en el análisis
de tiempos de vida, ya que gracias a sus propiedades y flexibilidad puede adoptar diferentes
formas y con en el valor de Forma puede reflejar la distribución exponencial, normal, log-
normal, frechet y gumbel (Piña-Monarrez, Ortiz-Yañez, & Rodríguez-Borbón, 2016). Los
valores del parámetro β y η, afectan características de la distribución (Almheidat, Famoye, &
Lee, 2015).
La densidad Weibull es:
𝑓(𝑡) = ((𝛽
𝜂) ∗ (
𝑡
𝜂)𝛽−1
∗ [𝑒−(
𝑡
𝜂)𝛽
] ) (119)
54
La confiabilidad es:
𝑅(𝑡) = [𝑒−(
𝑡
𝜂)𝛽
] (120)
El problema de encontrar la confiabilidad de la resistencia de un elemento que funciona
hasta el primer fracaso, cuando tanto la resistencia (Y) y el estrés (X) son Weibull es:
𝑃(𝑋 > 𝑌) = ∫ ∫ 𝑦(𝑔)𝑦𝑓(𝑣𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑣∞
0
∞
1 (121)
3.1.30 Analisis Estrés-Resistencia Weibull-Weibull 𝜷𝒔 = 𝜷𝑺
Si 𝑋1 sigue una distribución Weibull y 𝑌1 igual, ambas con 𝑊~(𝛽, 𝜂) entonces:
𝑓(𝑥1) = 𝛽𝜂𝑡𝛽−1 𝑒𝜂𝑡𝛽
(122)
El análisis estrés-resistencia Weibull puede realizarse cuando el parámetro de forma 𝛽 sea
igual en la distribución del estrés y en la distribución de la resistencia, es decir, 𝛽1 = 𝛽2, aunque
existen algunos casos propuestos en el análisis estrés-resistencia tales como: 2𝛽1 = 𝛽2 o 𝛽1 =
2𝛽2. Cuando se tienen parámetros de forma iguales se puede observar que el modelo estrés-
resistencia Weibull-Weibull es el mismo modelo que el exponencial-exponencial, siempre y
cuando se mantenga constante 𝛽1 y 𝛽2 (Babula & Sadananda, 2015).
La metodología para determinar la confiabilidad en el caso Weibull-Weibull se define como:
R = P(Y > X)
55
R(t) = ∫ f(x) [∫ f(y)dy∞
t
] dx∞
0
= ∫ (𝛽
𝜂𝑥) (
𝑥
𝜂𝑥)𝛽−1
𝑒−(
𝑥𝜂𝑥)𝛽
[∫ (𝛽
𝜂𝑦 )(
𝑡
𝜂𝑦)
𝛽−1
𝑒−(𝑦𝜂)𝛽
dy∞
t
]∞
0
= ∫ (𝛽
𝜂𝑥) (
𝑥
𝜂𝑥)𝛽−1
𝑒−(
𝑥𝜂𝑥)𝛽
[𝑒−(𝑦𝜂)𝛽
] 𝑑𝑥 = ∫ (𝛽
𝜂𝑦 )(
𝑡
𝜂𝑦)
𝛽−1
𝑒−(
𝑥𝜂𝑥)𝛽+(
𝑥𝜂𝑦)𝛽∞
0
dx∞
0
Si
𝑊 = (𝑥
𝜂𝑥)𝛽
𝑑𝑤 =𝛽
𝜂𝑥 (𝑥
𝜂𝑥)𝛽−1
𝑥 = 𝜂𝑥𝑊1/𝛽
R = ∫ 𝑒
−
[
𝑊+(𝜂𝑥𝑊
1𝛽
𝜂𝑦)
𝛽
]
𝑑𝑤 = ∫ 𝑒−[𝑊(1+(
𝜂𝑥𝜂𝑦)𝛽
]𝑑𝑤
∞
0
∞
0
R(t) =𝑒
−[𝑊(1+(𝜂𝑥𝜂𝑦
)
𝛽
]
1+𝜂𝑥𝛽
𝜂𝑦𝛽
||
0
∞
(123)
R(t) =1
1+𝜂𝑥𝛽
𝜂𝑦𝛽
=1
𝜂𝑦𝛽+𝜂𝑥
𝛽
𝜂𝑦𝛽
(124)
Establecer la resistencia en cuanto a confiabilidad de algún elemento o producto de su
funcionalidad hasta que ocurra a primera falla. de esta forma si 𝑋 sigue una distribución Weibull
y 𝑌 se ajusta a una distribución Weibull ambas con 𝑊~(𝛽, 𝜂) con densidad de probabilidad Ec.
(131) para (𝛽𝑆 = 𝛽𝑠) (Baro-tijerina, Piña-monarrez, & Villa-covarrubias, 2017).
56
3.1.31 Analisis Estrés-Resistencia Weibull-Weibull 𝜷𝒔 ≠ 𝜷𝑺
En el caso de que los parámetros de forma 𝛽 del estrés y de la resistencia sean diferentes,
entonces la metodología estrés-resistencia está dada por:
𝑅(𝑡1) = 𝑃(𝑌1 > 𝑋1)
𝑅(𝑡1) = ∫ 𝑓(𝑥1) [∫ 𝑓(𝑦1)𝑑𝑦∞
𝑥1
] =∞
0
∫ 𝑓(𝑦1) [∫ 𝑓(𝑥1)𝑑𝑥1∞
𝑥
] 𝑑𝑦∞
0
= ∫𝛽𝑦1
𝜂𝑦1(𝑦1
𝜂𝑦1)
𝛽𝑦−1
𝑒−(𝑦1𝜂𝑦)𝛽𝑦1
∞
0
[∫𝛽𝑥𝜂𝑥(𝑥1𝜂𝑥)𝛽𝑥−1𝑦
0
𝑒−(𝑥1𝜂𝑥)𝛽𝑥
𝑑𝑥]𝑑𝑦
𝑅(𝑡1) = ∫𝛽𝑦1
𝜂𝑦1(𝑦1
𝜂𝑦1)
𝛽𝑦−1
𝑒−(𝑦1𝜂𝑦)𝛽𝑦1
∞
0
[1 − 𝑒−(𝑥1𝜂𝑥)𝛽𝑥
𝑑𝑥1]𝑑𝑦
= ∫𝛽𝑦1
𝜂𝑦1(𝑦1
𝜂𝑦1)
𝛽𝑦−1
𝑒−(𝑦1𝜂𝑦)𝛽𝑦1−∫
𝛽𝑦1
𝜂𝑦1(𝑦1
𝜂𝑦1)
𝛽𝑦−1𝑦
0
𝑒−[(
𝑦1𝜂𝑦)𝛽𝑦1
+(𝑦1𝜂𝑥)𝛽𝑥1
]𝑑𝑦
∞
0
Si
𝑊1 = (𝑦1
𝜂𝑥1)𝛽𝑥1
𝑑𝑊 =𝛽𝑦1
𝜂𝑦1(𝑦1
𝜂𝑦)𝛽𝑦−1
𝑌1 = 𝜂𝑦1𝑊1/𝛽𝑦
𝑅(𝑡1) = 1 − ∫ 𝑒
−[𝑊1+(𝜂𝑦𝑊
1𝛽𝑦
𝜂𝑥)]
𝑑𝑊∞
0 (125)
Para (𝛽𝑆 ≠ 𝛽𝑠).
Como se observa en la Ec. (125) el análisis estrés-resistencia cuando (𝛽𝑆 ≠ 𝛽𝑠) no está
definido, dado que la suma de variables Weibull no resulta en una variable con distribución
Weibull (Piña-Monarrez, 2018a).
57
3.2 Marco Referencial
En esta sección se muestran las investigaciones publicadas en revistas de difusión científica
más relevantes acerca del análisis estrés-resistencia con distribución Weibull. Sin embargo, los
autores de estos artículos no muestran una respuesta para el análisis estrés-resistencia Weibull
cuando se presenta el caso de parámetros de forma distintos.
3.2.1 Stress-strength reliability estimation (2011)
Autores: Thus, R
Revista: Chemical and Environmental Engineering
Volumen: 5
Resumen
Hay elementos (cada componente físico posee una fuerza inherente) que sobreviven debido
a su fuerza. Estos aparatos reciben un cierto nivel de estrés y sostenibilidad. Pero si se aplica un
nivel más alto de estrés, entonces su fuerza es incapaz de sostener y se descomponen.
Supongamos que Y representa el «esfuerzo» que se aplica a un determinado aparato y X
representa la «fuerza» para sostener el esfuerzo, entonces la fiabilidad de la resistencia al
esfuerzo se denota por R = P (Y <X) si se asumen X, Y ser aleatorio.
Problema
El concepto de resistencia al estrés en los dispositivos de ingeniería ha sido uno de los
factores decisivos del fallo de los dispositivos. Ha sido costumbre definir los factores de
seguridad para vidas más largas de los sistemas en términos de la fuerza inherente que tienen y
el estrés externo que están experimentando los sistemas.
Objetivo
El estrés y la fuerza para la evaluación de las probabilidades de supervivencia de tales
sistemas. Este análisis se puede usar en donde el estrés es variante. Por ejemplo, con terremotos,
inundaciones y otros fenómenos naturales, las deficiencias pueden resultar en fallas de sistemas
con fuerzas inusualmente pequeñas.
Justificación
La variación en 'estrés' y 'resistencia ' da como resultado una distribución. Cuando la
interferencia es mayor que la fuerza, se produce un fallo (Thus, 2011).
58
3.2.2 Calculation of P (X1 <= Y1 ) to a Bivariate Weibull Distribution (2009)
Autores: Li, Liang, Pesavento, Marius Gershman, Alex B.
Revista: Journées de Statistique
Volumen: 09 Resumen
En este trabajo tratamos con la estimación de R = P (XYY), cuando X e Y son al azar
variables de una distribución Weibull bivariado y X es censurada en Y. obtenemos la
distribución marginal para los datos observados y la unidad MLE, UMVUE y MME de R.
También obtenemos Bayes estimadores de R bajo la función de cuadratura de pérdida de errores
(SEL). Simulaciones de Monte Carlo realizadas para comparar estos estimadores.
Problema
Enis y Geisser (1971) y Mukherjee y Saran (1985) han discutido el problema de estimar R
cuando el estrés y la fuerza son dependientes y siguen bivariado normal.
Objetivo
Obtener estimadores Bayes de R bajo la función de cuadratura de pérdida de errores (SEL).
Justificación
En el contexto de la fiabilidad, el modelo de resistencia al esfuerzo describe la vida de un
componente que tiene una resistencia aleatoria Y y está sometido a una tensión aleatoria X. ¿El
componente falla en el instante en que la tensión aplicada a él excede la resistencia y el
componente funcionará Satisfactoriamente cuando X y Y. Así R = P (X \ Delta Y) es una medida
de la fiabilidad del componente. La estimación de R = P (XYY), cuando X e Y son variables
aleatorias siguiendo una distribución especificada, ha sido ampliamente discutida en la literatura
tanto en el trabajo de distribución libre como paramétrico (Li, Pesavento, & Gershman, 2010).
59
3.2.3 Weibull statistical analysis of strength variation of bulk metallic glasses (2009).
Autores: Xuc and Y. Lia.
Revista: Scripta Materialia
Volumen: 61
Resumen
Se realizó un detallado análisis de confiabilidad de una serie de gafas metálicas a granel
(BMGs) basadas en Zr usando un modelo de Weibull de tres parámetros. En particular, el
parámetro de localización del Weibull de tres parámetros se usó para caracterizar la presencia
de estrés sin fallo crítico, es decir, la tensión por debajo de la cual no hay fallo. Tal
caracterización resulta en estimaciones casi idénticas para el módulo de Weibull de estos BMGs,
indicando que su mecanismo de falla es el mismo. El modelo de Weibull de tres parámetros
proporciona así una evaluación de fiabilidad más interpretable y exacta de los BMG.
Problema
A pesar de la disponibilidad de datos extensos sobre las propiedades mecánicas de varios
BMGs, la tolerancia a la falla / daño y la fiabilidad de los materiales BMG ha sido ignorado
durante mucho tiempo; Sólo recientemente se ha prestado cierta atención a este tema.
Objetivo
Se realizó un detallado análisis de confiabilidad de una serie de gafas metálicas a granel
(BMGs) basadas en Zr usando un modelo de Weibull de tres parámetros.
Justificación
En este trabajo, se midieron los comportamientos de esfuerzo-deformación de compresión
de muestras moldeadas a partir de cuatro BMG basados en Zr con composiciones de cambio
continuo. A través de un análisis de Weibull de tres parámetros en el que se adopta una
estimación estadística rigurosa para su FFS, se presenta una caracterización más robusta de la
fuerza de los BMGs y una evaluación de confiabilidad asociada (Han, Tang, Xu, & Li, 2009).
60
3.2.4 An approach to Weibull stress/strength and its generalization (2011)
Autores: Samar Kannan
Revista: Journal of Quality
Volumen: 028
Resumen
El objetivo del trabajo es considerar el problema de la resistencia de un elemento contra
tensión, cuando el componente sigue la ley de fallo de Weibull. Diferentes casos de estrés y con
parámetros variables se discuten para el modelo Weibull-Weibull de fuerza – esfuerzo. La
aplicación de la técnica propuesta ayudará a metodología de diseño del sistema y abordar los
riesgos que entraña la percepción de los niveles de fiabilidad eliminando o al menos reduciendo
el impacto del riesgo en la fase de diseño. Se han discutido diferentes casos de estrés y
resistencia con parámetros variables los modelos de tensión Weibull-Weibull considerados en
este trabajo. El presente estudio se limita a algunos casos especiales de Weibull-Weibull
modelos de fuerza de tensión. Se propone continuar estudiando el comportamiento de la
resistencia general de Weibull frente a la tensión exponencial en particular y para identificar el
parámetro de forma que maximiza la fiabilidad de la resistencia. La aplicación de la técnica
propuesta ayudará a comprender la metodología de diseño del sistema, y también conducir al
problema de abordar los riesgos niveles de calidad y confiabilidad percibidos eliminando o al
menos reduciendo el impacto del riesgo en el diseño fase.
Problema
Diferentes casos de estrés y con parámetros variables se discuten para el modelo Weibull-
Weibull de fuerza – esfuerzo.
Objetivo
La aplicación de la técnica propuesta ayudará a metodología de diseño del sistema y abordar
los riesgos que entraña la percepción de los niveles de fiabilidad eliminando o al menos
reduciendo el impacto del riesgo en la fase de diseño.
Justificación
La aplicación de la técnica propuesta ayudará a comprender la metodología de diseño del
sistema, y también conducir al problema de abordar los riesgos niveles de calidad y
confiabilidad percibidos eliminando o al menos reduciendo el impacto del riesgo en el diseño
fase (Ali & Kannan, 2011).
61
3.2.5 Stress-strength Weibull on progressively censored samples (2011)
Autores: Reza Raqab, Mohammad Z
Revista: Department of Mathematics, University of Jordan
Volumen: 01
Resumen
Basado en muestras censuradas progresivamente Tipo II, este trabajo trata con la inferencia
para el estrés- (Y <X) cuando X e Y son dos distribuciones independientes de Weibull con
diferentes parámetros de escala, pero con el mismo parámetro de forma. Además, consideramos
la estimación de R cuando el mismo parámetro de forma es conocido. Los resultados para
distribuciones exponenciales y de Rayleigh se pueden obtener como casos especiales con
diferentes parámetros de escala.
Problema
Se puede mencionar que R es de mayor interés que la confiabilidad, ya que proporciona una
medida general de la diferencia entre dos poblaciones y tiene aplicaciones en muchas áreas. Por
ejemplo, si X es la respuesta para un grupo de control, e Y se refiere a un grupo de tratamiento,
R es una medida del efecto del tratamiento. La curva ROC se utiliza ampliamente, en la
investigación biológica, médica y de servicios de salud, para evaluar la capacidad de las pruebas
de diagnóstico o bio-marcadores para distinguir entre dos grupos de sujetos, generalmente no
enfermos y enfermos.
Objetivo
En este trabajo, extendemos los resultados para el caso en el que las muestras son
progresivamente Tipo-II censurado.
Justificación
En el modelo de resistencia al estrés, R = P (Y <X) es una medida de confiabilidad de
componentes cuando se somete a esfuerzo aleatorio Y y tiene una fuerza X. Para una situación
particular, considere Y como la presión de una cámara generada por ignición de un Propulsor
sólido y X como la resistencia de la cámara. Entonces R representa la probabilidad de éxito del
disparo del motor. En este contexto, R puede considerarse como una medida del rendimiento
del sistema y naturalmente surgen en sistemas eléctricos y electrónicos (Asgharzadeh,
Valiollahi, & Raqab, 2013).
62
3.2.6 Estimation of stress-strength for Weibull distribution (2013)
Autores: Farhad; Babanezhad, Manoochehr
Revista: Advanced Statistics and Probability
Volumen: 01
Resumen
En este trabajo consideramos la estimación de R = p (y <x) con distribución Weibull
diferentes parámetros de escala y el mismo parámetro de forma. Suponiendo que se conoce el
parámetro de forma común, se obtienen estimadores MLE, UMVUE y Bayes de R.
Problema
Estimando el parámetro fuerza-resistencia R = P (Y <X) cuando X e Y son dos variables
Weibull de dos parámetros. R = P (Y <X) se origina cuando la fuerza aleatoria X excede la
tensión aleatoria Y.
Objetivo
La estimación de R = p (y <x) cuando x e y son dos variables Weibull dos parámetros con
diferentes parámetros de escala y el mismo parámetro de forma.
Justificación
Cuando se desconoce el parámetro de forma común α, Kundu y Gupta consideraron la
estimación de R cuando y t son dos distribuciones independientes de Weibull con diferentes
parámetros de escala. En este trabajo, consideramos la estimación de R cuando se conoce el
parámetro de forma común α (Amiri, Azimi, Yaghmaei, & Babanezhad, 2013).
63
3.2.7 Stress-strength Weibull reliability estimation (2015)
Autores: Shodhganga
Revista: N/A
Volumen: N/A
Resumen
El concepto de resistencia al estrés en los dispositivos de ingeniería ha sido uno de los
factores decisivos de fallo de los dispositivos. Cuando la tensión o la fuerza no se determina por
la suma o el producto de muchos componentes pequeños, pueden ser los extremos de estos
componentes que deciden el estrés o la fuerza. El uso de la distribución de Weibull en la
confiabilidad y el trabajo de control de calidad es a menudo adecuado cuando no se satisfacen
las condiciones de "aleatoriedad estricta" de la distribución exponencial. También se ha sugerido
que se utilizará como una distribución de tolerancia en el análisis de los datos de respuesta
cuántica. Incluso esta suma infinita no es de mucho uso, en general.
Problema
El uso de la distribución de Weibull en la confiabilidad y el trabajo de control de calidad, es
a menudo adecuada cuando no se satisfacen las condiciones de "aleatoriedad estricta" de la
distribución exponencial.
Objetivo
Consideramos algunos valores específicos de los parámetros de forma k y c, es decir
(i) Parámetros de forma iguales (k = c).
(ii) El parámetro de forma de la resistencia es el doble que el de la tensión (c = 2k).
(iii) El parámetro de forma de la tensión es el doble de la fuerza (k = 2c).
Justificación
Cuando la tensión o la fuerza no se determina por la suma o el producto de muchos
componentes pequeños, pueden ser los extremos de estos componentes que deciden el estrés o
la fuerza (Shodhganga, 2015).
64
4 Metodología Actual
En este capítulo se muestra el método que es mayormente empleado en el diseño mecánico
para determinar la confiabilidad, las dimensiones y tipo de material que se deben usar en el
diseño de un elemento con el objeto de asegurar el cumplimiento de las especificaciones. Por
otra parte, se presenta el método propuesto por el Dr. Dimitri Kececioglu (2003), en el cual se
considera tanto al estrés y a la resistencia como variables aleatorias, es decir, se da un enfoque
tipo probabilístico, no obstante, en este método se asume un comportamiento normal de las
variables, por lo que cuando las variables presenten un comportamiento Weibull, el método
propuesto por el Dr. Dimitri Kececioglu no resulta eficiente.
4.1 Metodología Determinista
En esta sección se presenta la metodología con enfoque determinista para la estimación del
diámetro de un eje, para el nivel de confiabilidad deseado.
Un eje tiene un alternador. Hecho de acero AISI 4340, tratado térmicamente a una dureza
Brinell de 323 a 370 (R, de 35 a 40) con un acabado arenoso. El rotor sujetará al eje a una carga
de flexión radial de 607,4 Newton (136.8 libras) y un torque de 113 Newton-metros (1,000 lb-
in) al entregar la carga eléctrica. La unidad de ranurado puede ejercer una radial máximo de
desalineación de fuerza de 13,3 Newton (3 lb). La temperatura experimentada por el eje será
294 a 300 K (70 a 80 F). El eje girará a 12.000 rpm y tiene una vida de 2.5 ∗ 106 ciclos con una
confiabilidad de 0.999. ¿Cuál diámetro debe el eje utilizar según el método el determinista
convencional de diseño?
65
Figura 32: Especificaciones del Eje
Es posible utilizar varios métodos, sin embargo, para aplicaciones aeroespaciales, es
necesario considerar, el peso del componente, la vida y la confiabilidad. Shigley ha demostrado
que bajo estas consideraciones es bueno considerar, el método de Von Misses Hencky
Goodman.
Este método requiere del conocimiento de las fuerzas y estreses a las cuales se somete el
material. (Juvinall & Marshek, 2012). Las propiedades para el acero AISI 4340 de diámetro de
2.54cm, cuyo estrés principal 𝑠𝑦 = 1103 𝑁𝑀/𝑚2(160𝑘𝑠𝑖), y el último estrés 𝑠𝑢𝑡 =
1289 𝑁𝑀/𝑚2(187𝑘𝑠𝑖), respectivamente, para una dureza de Brinell de 277.
Entonces, la metodología para la estimación de eje y su confiabilidad de manera determinista es
como se muestra a continuación:
𝑅𝐿 = 46𝑁
𝑃1 = 13.3𝑁 𝑃2 = 11 𝑁 𝑃3 = 607.4 𝑁
𝑅𝑅 = 585.2𝑁
66
4.1.2 Diagrama de cuerpo libre.
A continuación, se muestra el diagrama de cuerpo libre para el eje mencionado en esta
sección.
4.1.3 Diagrama Cortante.
A partir del diagrama de momentos se realiza un diagrama de fuerza cortante, en el cual se
estimas los estreses y la suma de estos si el elemento está en equilibrio debe ser 0.
RA=46.6N
P1=-13.3N P2=-11.085N
P3=-607.4N
RB=585.2N
Figura 33: Diagrama
33.3N
0.273m 0.235m
22.22N
-585.2N
0.0254m
T=585.2N
Figura 34: Corte
67
4.1.4 Flexión
Una vez obtenido el diagrama de corte se realiza un diagrama de flexión (ver figura 35).
4.1.5 Se Calcula de la Resistencia Límite 𝑺𝒏
De acuerdo con Shigley, la resistencia límite 𝑠𝑛 puede ser calculada utilizando factores
modificados.
𝑠𝑛 =𝑠𝑛´𝐾𝑐 𝐾𝑑 𝐾𝑎
𝑘𝑓 (126)
Donde:
𝑠𝑛´ = 0.50(𝑠𝑢𝑡) (127)
Por lo tanto 𝑆𝑛´: 𝑠𝑛´ = 0.50(1289) = 644.5 𝑀𝑁/𝑚2(93.5𝑘𝑠𝑖)
4.1.6 Se Aplican los Factores Modificadores de 𝑺𝒏 de acuerdo a 𝒔𝒏 =𝒔𝒏´𝑲𝒄 𝑲𝒅 𝑲𝒂
𝒌𝒇.
Los factores modificados 𝐾𝐶 , 𝐾𝑑 𝑦 𝐾𝑎, están dados por Shigley (Budynas & Nisbett, 2014).
𝐾𝑐 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛.
𝐾𝑑 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 0.90. De la tabla 6.4 Shigley pagina 278, para una
temperatura de 80F.
𝐾𝑎 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜 = 𝑎𝑆𝑢𝑡𝑏 . 𝑎 𝑦 𝑏 . De la tabla 6.2 Shigley página 274.
0
9.09Nm
11.28Nm
14.6Nm
Figura 35: Flexión
68
𝑘𝑓 = 𝐹𝑎𝑟𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑘𝑓 = 1 + (𝑘𝑡 − 1)𝑞 𝐶𝑠 (128)
Los valores de 𝑞 se encuentran en la figura 6.20 de Shigley página 282, o bien se define
como:
𝑞 =1
1+√𝑎/√𝑟 (129)
Donde:
𝑟 es el radio.
𝑎 es la constante de Neuber (Shigley página 1240).
Con estos valores se calcula 𝑘𝑓 :
𝑘𝑓 = 1 + (1.55 − 1)0.9 0.88 = 1.43
Se sustituyen los valores de los factores corregidos en la ecuación 𝑠𝑛 =𝑠𝑛´𝐾𝑐 𝐾𝑑 𝐾𝑎
𝑘𝑓. Para
determinar la resistencia limite 𝑠𝑛.
𝑠𝑛 =(544.5𝑁𝑀
𝑚 ) (1 0.9)(0.88)
1.43= 356.9
𝑀𝑁
𝑚2
Con el valor obtenido de 𝑠𝑛 se aplica un factor de confiabilidad 𝑘𝑐.
𝑘𝑐 = 1 − (0.08𝑍𝛼) (130)
Los niveles de confiabilidad son:
69
Tabla 4: Confiabilidad
Determinado 𝑘𝑐 se hace una corrección de 𝑠𝑛 para cumplir con los niveles de confiabilidad
deseados, dando como resultado.
4.1.7 Corrección del a Resistencia Limite
A partir del cálculo de la resistencia limite y la aplicación del factor de confiabilidad, se
estima la resistencia limite corregida, para tratar de reducir la incertidumbre del diseño, de la
siguiente forma:
𝑠𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟 = 𝑠𝑛(𝑘𝑐) (131)
El esfuerzo corregido es:
𝑠𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟 = 356.9𝑀𝑁
𝑚2(0.75) = 267.675
𝑀𝑁
𝑚2
Los estreses actuantes sobre el eje, se presentan en el eje 𝑦, con efecto sobre el eje 𝑥 para
el momento de flexión y en el eje 𝑥𝑧 para el estrés de torsión. Se estima el esfuerzo de flexión
y el esfuerzo de torsión. Puesto que no existen fuerzas sobre el eje 𝑥 que actúen sobre el eje no
es necesario estimar la fuerza promedio axial.
70
Esfuerzo medio de flexión:
𝑆𝑥𝑎 =𝑀𝑐
𝐼 (132)
Donde:
M= Es el momento máximo de flexión.
c= 𝑑
2
I=Momento de inercia.
𝑆𝑥𝑎 =𝑀
𝜋𝑑3
32
= 10.1914.1
𝑑3=143.679𝑁−𝑚
𝑑3
El esfuerzo promedio de torsión está dado por:
𝑇𝑥𝑧𝑀 =𝑇𝑐
𝐽 (133)
Donde:
J= momento polar.
𝑇𝑥𝑧𝑀 =𝑇
𝜋𝑑3
16
= 5.093𝑇
𝑑3= 5.093
113
𝑑3=575.509𝑁 −𝑚
𝑑3
Con el esfuerzo de flexión y de torsión, se aplica el criterio de Von Mises Hencky, el cual a
partir de los esfuerzos de flexión y de torsión, estima el estrés alternante definido por 𝑠𝑎, el cual
es igual al esfuerzo de flexión calculado, es decir:
𝑠𝑎 = 𝑠𝑥𝑎 (134)
Por lo tanto:
𝑠𝑎 =143.679𝑁 −𝑚
𝑑3
Y el estrés principal
𝑠𝑚 = √3 𝑇𝑥𝑧𝑀 (135)
71
Es decir que:
𝑠𝑚 = √3575.509𝑁 −𝑚
𝑑3=996.81𝑁 −𝑚
𝑑3
Con los valores calculados de 𝑠𝑎 𝑦 𝑠𝑚, se determina la relación entre el estrés alternante y el
estrés principal.
𝑟 =𝑠𝑎𝑠𝑚
=143.67/𝑑3
996.81/𝑑3= 0.144
A partir de estos valores y su relación se puede realizar un diagrama de Goodman, para
determinar los esfuerzos promedios 𝑠𝑎 𝑦 𝑠𝑚. A estos esfuerzos promedio se les aplica un factor
de seguridad que según Shigley es de 2, y con los valores con factor de seguridad de 𝑠𝑎 𝑦 𝑠𝑚 ,
se sustituyen en las ecuaciones 𝑠𝑎 = 𝑠𝑥𝑎 y 𝑠𝑚 = √3 𝑇𝑥𝑧𝑀.
4.1.8 Línea Goodman
La línea de Goodman es igual a:
𝜎𝑚𝑆𝑢𝑡𝐶𝑠
+𝜎𝑎𝑆𝑛𝐶𝑠
= 1 (136)
72
Figura 36: Diagrama de Goodman
La parte superior de la línea de Goodman se obtiene trazando un alinea recta entre la
ordenada 𝑆𝑛 = 267MN/m2 y el 𝑆𝑢𝑡 = 1289 𝑀𝑁/𝑚2. Para la línea dos ser traza un alinea
recta que une al eje de las ordenadas en 𝑆𝑦 = 1103𝑀𝑁/𝑚2, con la abscisa de igual modo en
𝑆𝑦 = 1103𝑀𝑁/𝑚2. Se define una tercera línea para obtener 𝑆𝑚 y 𝑆𝑎, mediante la tangente de
𝜃 = 0.144 ∗ 3, dado que la abscisa es tres veces la ordenada en escala. La intersección de la
línea uno y tres define 𝑆𝑎 = 109.6𝑀𝑁/𝑚2 y 𝑆𝑚 = 762.5𝑀𝑁/𝑚2.
4.1.9 Margen de Seguridad
Una vez determinado el estrés medio 𝑆𝑚 y el estrés alternante 𝑆𝑎, se aplica un margen de
seguridad del 100%, es decir, 2 por lo tanto:
𝑆𝑎 ≤
109.6𝑀𝑁𝑚2
2= 54.8𝑀𝑁/𝑚2
10
0
20
30
40
50 100 150 200
Se=39 𝐾𝑠𝑖 Su=187 Ksi
Sy=160 Ksi
Sa=15.9 Ksi
Sm=110.6 Ksi
𝑟 = 0.144
𝑆𝑚
𝑆𝑎
𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎 𝐺𝑜𝑜𝑑𝑚𝑎𝑛
𝑆𝑒
𝑆𝑦 𝑆𝑢𝑡
Estr
es A
lter
nan
te
𝐸𝑠𝑡𝑟é𝑠 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑜
73
Con el valor estimado se 𝑆𝑎 se sustituye en la ecuación 𝑠𝑎 =143.679𝑁−𝑚
𝑑3 quedando:
54.8𝑀𝑁/𝑚2 =143.679𝑁 −𝑚
𝑑3
Por lo tanto:
𝑑3 =143.679𝑁 −𝑚
54.8 ∗ 106
𝑑 = 2.621𝑚3
O
𝑑 = 3√2.621 = 1.3787
De acuerdo con los resultados obtenidos se recomienda un diámetro de por lo menos
1.3787𝑐𝑚.
4.1.10 Deficiencia del Método Determinista
De acuerdo a la información presentada anteriormente se concluye que la metodología
determinista en diseño mecánico es inadecuada para el caso del comportamiento del estrés o
el esfuerzo tipo Weibull, puesto que los factores de confiabilidad que se introducen con el fin
de disminuir la incertidumbre asumen un comportamiento normal, además, es de suma
importancia observar que no se toma en cuenta la desviación estándar de los elementos a
diseñar puesto que se asume una constante de 𝜎 = 0.08 y en ningún momento se especifica el
nivel de confiabilidad del diseño realizado, aun más, se emplean factores de seguridad para
tratar de disminuir la incertidumbre en el diseño y con esto lograr la resistencia y trabajo
esperado.
74
4.2 Metodología Probabilística Kececioglu
En esta sección se presenta la metodología probabilística propuesta por el Dr. Dimitri
Kececioglu (2003). Este método se considera robusto, sin embargo, presenta el problema de
asumir la variable del estrés y de la resistencia como normales, o bien, con un coeficiente de
variación igual al 10%. Debido a esto, el método de Kececioglu solo es eficiente cuando si
existe normalidad en las variables.
4.2.1 Estimación de la Media y Desviación Estándar
En esta sección se muestra la metodología de diseño robusto para confiabilidad (EDBR)
desarrollada por (D. B. Kececioglu & Ph, 2003) y con esto comparar ambos métodos para la
distribución normal en el diseño de elementos mecánicos. Para poder aplicar la metodología
EDBR se utilizan las distribuciones dadas en el siguiente diagrama de Goodman:
Figura 37: Diagrama de Distribución de Goodman con Proporción Constante de Estrés 𝑆𝑎/𝑆𝑚
75
La figura 37 proporciona los datos necesarios de fatiga estrés, determinados por
Kececioglu, para ser utilizados en el eje a diseñar, utilizando condiciones combinadas de
flexión y torque.
Por otra parte el momento de flexión se considera normalmente distribuido con media 𝑀 =
14.1 metros-Newtons y desviación estándar 𝜎 = 1.29 metros-Newtons, con lo cual se forma
la familia normal 𝑀~𝑁(14.1, 1.29), el estrés gobernante es estimado mediante 𝑠𝑎 =
143.679𝑁−𝑚
𝑑3, además las variables de dicha ecuación son consideradas distribuidas de manera
normal y aplicando el método de la síntesis binaria la ecuación se obtiene como resultado:
𝑆𝑎 = 10.19��
��3
𝜎𝑠𝑎 =10.19
��3[��𝜎𝑑3
2 + (��3)2𝜎𝑀2
(��3)2+ 𝜎𝑑3
2]
1/2
Donde:
𝜎𝑑3 = 3��2𝜎𝑑 = 3��2(0.001��)
𝜎𝑑3 = 0.003��3
𝜎𝑑 se toma como 1
6 del total de la tolerancia especificada de ± 0.003��, o
(2)(0.003)��
6=
0.001𝜎𝑑3 = 3��2𝜎𝑑 = 3��2(0.001��), �� = 14.1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 − 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠, 𝜎𝑀 = 1.29 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 −
𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠.
Estas magnitudes son sustituidas en 𝑆𝑎 = 10.19��
��3 y 𝜎𝑠𝑎 =
10.19
��3[��𝜎
𝑑32 +(��3)
2𝜎𝑀2
(��3)2+𝜎𝑑32 ]
1/2
quedando:
𝑆𝑎 = 10.1914.1
��3
76
𝜎𝑠𝑎 =10.19
��3[14.12(0.003��3)
2+ 𝑑61.292
𝑑6 + (0.003��3)2 ]
1/2
𝜎𝑠𝑎 =13.2𝑁 −𝑚
��3
Cabe destacar que todas las variables de las ecuaciones mostradas en la parte superior se
consideran normales. Por otro lado tomando la ecuación 𝑠𝑚 = √3 5.093𝑇
𝑑3 o 𝑠𝑚 = 8.821
��
��3 y
la ecuación 𝜎𝑠𝑎 =10.19
��3[14.12(0.003��3)
2+𝑑61.292
𝑑6+(0.003��3)2]1/2
.
Donde:
�� = 113 N − m
Y
𝜎𝑇 = 9.04 N − m
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 𝑆𝑎 = 10.1914.1
��3 y 𝜎𝑠𝑎 =
10.19
��3[14.12(0.003��3)
2+𝑑61.292
𝑑6+(0.003��3)2]1/2
se obtiene:
𝑆�� = 8.821113
��3 O 𝑆�� =
996.8𝑁−𝑚
��3
Y
𝜎𝑠𝑚 =8.821
��3[1132(0.003��3)
2+𝑑69.042
𝑑6+(0.003��3)2]1/2
O 𝜎𝑠𝑎 =79.8𝑁−𝑚
��3
Una vez estimado la resistencia y el estrés media y partiendo de las ecuaciones del estrés
alternante y el estrés medio se tiene:
𝑟 =𝑆𝑎
��𝑚=143.7/��3
996.8/��3= 0.144
77
Este resultado de radio es asumiendo que la variabilidad de 𝑟 no afecta la confiabilidad de
forma significativa, por lo tanto, se considera insignificante. Ahora las dos tensiones 𝑠𝑎 𝑦 𝑆𝑚,
deben ser sintetizadas en el fracaso de la distribución de las tensiones, 𝑓(𝑆𝑓), a través de la
relación de las tensiones (figura 34) como sigue:
𝑆𝑓 = (𝑆𝑎2 + 𝑆𝑚
2 )1/2 (137)
Sustituyendo 𝑆𝑚 = 𝑆𝑎/𝑟 se obtiene:
𝑆𝑓 = 𝑆𝑎 (1 +1
𝑟2)1/2
(138)
Y
𝜎𝑠𝑓 = 𝜎𝑠𝑎 (1 +1
𝑟2)1/2
(139)
Sustituyendo los valores se obtiene:
𝑆𝑓 =143.7
𝑑 3(1 +
1
(0.144)2)1/2
=143.7
𝑑 3(7.016)
O
𝑆𝑓 =1008.2𝑁 −𝑚
𝑑 3
𝜎𝑠𝑓 =13.2
��3(1 +
1
(0.144)2)
12= 13.2
��3(7.016)
78
O
𝜎𝑠𝑓 =92.6𝑁 −𝑚
��3
4.2.3 Parámetros de la Distribución
Debido a que los datos del estrés presentado en la figura 37 aplicando para este ejemplo
toma 𝑟 = 0.144, y partiendo de este valor se obtienen los siguientes datos por interpolación.
𝑆�� =1165.7𝑀𝑁
𝑚2
Y
𝜎𝑠𝑓 = 44.7 𝑀𝑁/𝑚2
Si 𝑓(𝑆𝑓) y l 𝑓(𝑠𝑓) son normales, entonces estas dos distribuciones pueden ser copuladas
matemáticamente para obtener la confiabilidad del diseño, a partir de:
𝑅 = 𝑃(𝑆 − 𝑠 > 0) = ∫ 𝑓(𝜍)𝑑𝜍 = ∫ 𝑧(𝑓) = 𝑚𝜙(𝑧)𝑑𝑧∞
−��
𝜎𝜍
∞
0 (140)
Donde:
𝜍 = 𝑆 − 𝑠 (141)
𝑚 = −��
𝜎𝜁 = −
𝑆𝑓 − ��𝑓
(𝜎𝑠𝑓2 +𝜎𝑆𝑓
2 )
12
= 𝑧(𝑓) (142)
79
Debido a que la confiabilidad deseada del eje es 0.999, el valor de 𝑧(𝑓) = 𝑚 es (−3.09),
de la tabla de distribución normal. Entonces utilizando este valor de confiabilidad y los
parámetros calculados de 𝑓(𝑠𝑓) y 𝑓(𝑆𝑓) se tiene que:
−3.09 = −1165.7 −
1008.2 ∗ 10−6
��3
((92 ∗ 10−6
��3 )2
+ (44.7)2)
12
Reordenando la ecuación se obtiene:
��6 − 1.754 − 106��3 + 6.9786 ∗ 1013 = 0
Resolviendo la ecuación se obtiene un diámetro medio �� = 1.045𝑐𝑚. Consecuentemente,
se recomienda el uso de un diámetro 𝑑 = 1.07 𝑐𝑚. El cual es comparado con el diámetro 𝑑 =
1.38𝑐𝑚. estimado bajo la metodología determinista. Como puede observarse la diferencia entre
las metodologías en cuanto al uso de material es de un 40%, además que el diseño está en
función de un nivel de confiabilidad del 99.999%.
80
Tabla 5: Resumen de Comparación de Métodos
4.2.3 Deficiencia del Método Probabilístico de Kececioglu
Aunque la metodología probabilística parece ser más eficiente en comparación con la
metodología clásica, esta también asume comportamientos normales tanto del estrés como del
esfuerzo, por lo cual, si se presenta un comportamiento Weibull, no es adecuado emplear este
método, ya que como se pudo observar proporciones normales para el nivel de confiabilidad
deseado y como es conocido, cuando se tiene un esfuerzo cortante el estrés y la resistencia no
son normales, por lo cual es necesario desarrollar una metodología probabilística para la
distribución Weibull la cual tiene un comportamiento aditivo ya que el proceso estocástico que
genera la distribución es un proceso Poisson no homogéneo, en el cual si se toma en
consideración la variable tiempo y como el tiempo afecta la magnitud del evento generado.
Parametro Diseño Convencional EDBR Aproximacion
Cl 1 No Aplica
CD 0.9 No Aplica
KC 0.75 No Aplica
Cs 0.88 No Aplica
Kf 1.43 No Aplica
Sn 644.5 MN/m2 No Aplica
Sn corr 268.9 MN/m2 No Aplica
T 113 N-m 113 N-m
M 14.1 14.1
sa
(143.7 N-m)/(dÞ^3 ) (143.7 N-m)/(dÞ^3 )
sm
(996.8 N-m)/(dÞ^3 ) (996.8 N-m)/(dÞ^3 )
Sa 109.6 MN/m2 (1,213.3,46.4 MN/m2
Sm 762.5 MN/m2
d 1.38cm 1.07cm
Confiabilidad 0.999
Comparacion de Metodos
81
4.3 Metodología Propuesta
La distribución Weibull es ampliamente utilizada ya que esta distribución puede modelar
la vida de cualquier producto o elemento cuya falla o deterioro sea generado por un proceso
aditivo, es decir, daño acumulado por fenómenos físicos. Por otro lado, la herramienta para
establecer la confiabilidad cuando el estrés y la resistencia son variantes es el análisis estrés-
resistencia, pero cuando ambos el estrés y la resistencia son Weibull no existía una forma
cerrada para el cálculo de la confiabilidad. Debido a esto a continuación se presenta la
metodología de análisis estrés-resistencia Weibull la cual emplea un parámetro de forma
común 𝛽𝑐 mediante el cual es posible obtener una forma cerrada en la determinación de la
confiabilidad.
4.3.1 Aportaciones del Método Estrés-Resistencia Weibull-Weibull
La aportación de esta investigación para la solución del problema de la estimación de la
confiabilidad para la herramienta estrés-resistencia para la distribución Weibull en ambos
casos, tanto del estrés como de la resistencia en el caso de parámetros de forma diferentes, es
decir, 𝛽𝑆 ≠ 𝛽𝑠 se muestran a continuación, además de la metodología propuesta para tanto la
estimación de esfuerzos, parámetros de la distribución Weibull, un parámetro de forma común
𝛽𝑐 que representa el parámetro de forma del estrés 𝛽𝑠 y el parámetro de forma de la resistencia
𝛽𝑆 con lo que el calculo de la confiabilidad se hace de forma eficiente. Los aportes de la
investigación son:
(𝛽𝑆 ≠ 𝛽𝑠) → 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Figura 38: Distribución X y Y
82
Entonces
𝛽𝑥𝜎𝑥 = 𝛽𝑦𝜎𝑦 (143)
𝜎𝑥
𝜎𝑦=
𝛽𝑥
𝛽𝑦 (144)
Y si
𝜎𝑥 = (𝜎𝑆1−𝜎𝑆2
2) ; 𝜎𝑦 = (
𝜎𝑠1−𝜎𝑠2
2) (145)
𝜎1 = ln (𝜎𝑆1−𝜎𝑆2
2) ; 𝜎2 = ln (
𝜎𝑆1−𝜎𝑆2
2) (146)
𝑚𝜎1,𝜎2 = ln (𝜎𝑆1−𝜎𝑆2
𝜎𝑠1−𝜎𝑠2) (147)
𝑚𝜎1,𝜎2 = 𝛽𝑐 = ln (𝑅𝑡𝑤−𝐹𝑡𝑤
𝜂𝑆−𝜂𝑠) (148)
𝛽𝑐 =[ln 𝑅(𝑡𝑤)/𝐹(𝑡𝑤)]
ln[𝜂𝑆𝜂𝑠]
(149)
83
4.3.2 Eficiencia en la Estimación de 𝜷 entre Método Piña, Mínimos Cuadrados y Máxima
Verosimilitud.
En esta sección se muestra una comparación del método de estimación del parámetro de
forma 𝛽 mediante la solución de un problema cuya confiabilidad 𝑅(𝑡) = 0.95, entre los
métodos mínimos cuadrados, máxima verosimilitud y método Piña. Los resultados se muestran
a continuación:
Tabla 6: Comparación de Métodos para Calcular 𝛽
Método Piña
𝛽𝑠 𝜂𝑠 𝛽𝑆 𝜂𝑆 𝑅(𝑡) 4.72 30102.86 4.24 60423.25 94.99
Método Mínimos Cuadrados
𝛽𝑠 𝜂𝑠 𝛽𝑆 𝜂𝑆 𝑅(𝑡) 5.0959 29852 4.435 60828 96.08
Método Máxima Verosimilitud
𝛽𝑠 𝜂𝑠 𝛽𝑆 𝜂𝑆 𝑅(𝑡) 4.598 30133 4.3663 61027 95.69
Como puede observar entre los tres métodos para calcular los parámetros de forma y escala,
es decir, 𝛽 y 𝜂 el método de mínimos cuadrados sobre estima la confiabilidad, de igual forma
que el método de máxima verosimilitud, de tal forma que, el método Piña (Piña-Monarrez,
2017) para la estimación de parámetros de a distribución Weibull de dos parámetros es el mas
eficiente demostrando una mayor aproximación que los otros métodos comparados.
84
4.3.3 Método Estrés-Resistencia Weibull-Weibull Propuesto.
Paso 1. Establezca la confiabilidad deseada.
Paso 2. Estime la probabilidad de falla.
Paso 3. Calcule n con 𝑛 =(−1)
ln𝑅𝑡
Paso 4. Experimente de acuerdo con el n obtenido.
Paso 5. Calcule el promedio de los datos experimentales.
Paso 6. Estime los logaritmos de cada dato experimental.
Paso 7. Determine la ratio con 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜 = (𝜇2 − 𝜇𝑥2)^0.5
Paso 8. Estime el estrés máximo y mínimo usando 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 = 𝜇 + 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜 𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝜎2 = 𝜇 − 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜.
Paso 9. Obtenga la media linealizada de yi con 𝜇𝑦𝑖 ∑ ln(− ln(1 − (𝑖 − 0.3) / (𝑛 +𝑛𝑖=1
0.4)))
Paso 10. Calcule Beta con 𝛽 = −4∗𝜇𝑦𝑖
0.99∗ln(𝜎1/𝜎2)
Paso 11. Determine Eta usando 𝜂 = 𝐸𝑥𝑝(𝜇𝑦)𝜇𝑦𝑖
𝛽
Paso 12. Estime Beta común con 𝛽𝑐 =[ln 𝑅(𝑡𝑤)/𝐹(𝑡𝑤)]
ln[𝜂𝑆𝜂𝑠]
Paso 13. Determine la confiablidad con 𝑅(𝑡) =𝜂𝑦𝛽
𝜂𝑦𝛽+𝜂𝑥
𝛽
85
5. Aplicación del Método Propuesto
5.1 Aplicación Numérica para Parámetro de Forma igual 𝜷𝑺 = 𝜷𝒔
Los datos analizados corresponden a un estudio para determinar la confiabilidad del casco
de motor en aeronaves, en estos datos, se considera Y como la resistencia y X como el estrés al
cual se opera el casco del motor.
Tabla 7: Datos del Estrés y la Resistencia de los Cascos de Motor
Los datos de la familia Weibull correspondiente a estos datos son: 𝛽𝑠 = 3.0448, y 𝜂𝑠 =
11.4185 para los valores del estrés. Los valores para la familia Weibull de la Resistencia son:
𝛽𝑆 = 3.0448 y 𝜂𝑆 = 16.7664, entonces usando el paso 13 la confiabilidad es igual a 𝑅(𝑤) =
0.76307.
A continuación, se presenta la aplicación para el análisis estrés-resistencia con 𝛽𝑆 ≠ 𝛽𝑠.
Sample Stress Strength Sample Stress Strength
number (Psi) (Psi) number (Psi) (Psi)
1 9.32 15.3 9 10.21 16.1
2 9.36 17.1 10 10.21 16
3 9.56 16.3 11 10.21 16.75
4 9.56 16.05 12 10.56 17.5
5 9.87 16.75 13 10.87 16.5
6 9.89 16.6 14 11.45 16.4
7 9.89 7.1 15 13.89 16
8 10.01 17.5 16 15.66 16.2
86
5.2 Aplicación Numérica para Parámetros de Forma Diferentes 𝜷𝑺 ≠ 𝜷𝒔
Se determina como estrés el número de páginas impresas por los usuarios de una impresora,
y como resistencia la distribución de los números de páginas impresas antes de que la impresora
presente alguna falla. Los datos experimentales se muestran en la Tabla 8.
Tabla 8: Estrés-Resistencia para el Número de Páginas Impreso
Paso 1. El nivel de confiabilidad deseado es del 95%.
Paso 2. La probabilidad de falla es igual a 𝐹𝑡 = 1 − 𝑅(𝑡); entonces, la probabilidad de falla
es 5%, es decir, 𝐹(𝑡𝑤) = 0.05.
Paso 3. El número de datos a experimentar este dado por 𝑛 = −1
ln𝑅𝑡 , de esta forma los datos
experimentados son n=19.49572575 ≅ 20.
Paso 4. Los datos experimentales se toman de la Tabla 7.
17987 27274 27348 55948
19292 28352 39584 57868
19358 28434 39916 57904
20874 30172 43348 61944
22586 32456 46972 66712
22994 33038 47388 67476
23442 33856 47884 68712
24074 35692 48192 72584
25496 39162 49392 79924
25896 40642 49948 83084
Stress: Number of Pages
Printed
Strength: Number of Pages
Printed to Failure
87
Paso 5. El promedio de los datos del estrés y de la resistencia son 𝜇 = 27553.85 y 𝜇 =
55606.4.
Paso 6. El promedio de los datos en logaritmo natural del estrés y la Resistencia esta dado
por 𝜇𝑋𝑠 = 10.19 y 𝜇𝑋𝑆 = 10.89, entonces, el promedio exponencial del estrés y de la resistencia
es igual a 𝜇𝑦𝑠 = 26821.41 and 𝜇𝑦𝑆 = 53788.32 respectivamente.
Paso 7. De esta forma el diferencial del estrés y el diferencial de la Resistencia será igual a
𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜𝑠 = 6310.81 and 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜𝑆 = 14102.743.
Paso 8. Entonces los valores correspondientes al estrés máximo y mínimo esta dado por
𝜎1 = 33864.66531 and 𝜎2 = 21243.03 y para la resistencia el máximo y mínimo es 𝜎1 =
69709.14 and 𝜎2 = 41503.65.
Paso 9. El valor medio linealizado 𝑦𝑖 es igual a 𝜇𝑦𝑖 = −0.5444.
Paso 10. Los valores de el parámetro de forma para el estrés y la resistencia respectivamente
este dado por 𝛽𝑠 = 4.72 y 𝛽𝑆 = 4.24.
Paso 11. Los parámetros de escala son 𝜂𝑠 = 30102.86 para el estrés 𝜂𝑆 = 60423.25 para
la resistencia.
Paso 12. El valor del parámetro de forma común esta dado por 𝛽𝑐 = 4.22593.
Paso 13. De esta forma la confiabilidad es 𝑅(𝑡𝑤) = 0.949989699.
Paso 14. Y su correspondiente factor de seguridad probabilístico es 𝑆𝑓𝑤= 2.0072.
88
6. Conclusión
Como puede verse en el resultado del análisis de estrés-resistencia Weibull con parámetro
de forma diferente (𝛽1 ≠ 𝛽2), el método propuesto resulta eficiente en el cálculo de la
confiabilidad cuando se tienen parámetros de forma distintos, lo cual puede ser de gran ayuda
en la toma de decisiones cuando se tiene un producto o elemento que está sujeto a estrés variante
y que por ende la resistencia disminuye, es decir, existe daño acumulado hasta que se presenta
la primera falla. Además, se demuestra que utilizando el valor de 𝛽𝑐 se representa de manera
efectiva el valor del parámetro de forma del estrés 𝛽𝑠 y el valor del parámetro de forma de la
resistencia 𝛽𝑆 para la estimación de la confiabilidad 𝑅(𝑡). Por otra parte, como la distribución
Weibull no posee la propiedad de cerradura, en el análisis estrés-resistencia solo existe forma
cerrada cuando se tiene 𝛽1 = 𝛽2; 2𝛽1 = 𝛽2 𝑜 𝛽1 = 2𝛽2, entonces, el uso del método propuesto
resulta eficiente como contraparte de esta propiedad aditiva o de cerradura, lo cual permite la
estimación de la confiabilidad de forma precisa y aunado a eso de manera sencilla, lo que es de
gran ayuda para los practicantes de la ingeniería de confiabilidad en el caso de tener estrés y
resistencia Weibull variantes y cuyos valores de parámetros de forma son distintos, esto ocurre
en la mayoría de las veces, dado que la condición de prueba de laboratorio es controlada y la
condición de uso no lo es. Por ende, como se menciona, en la mayor parte de las veces los
parámetros de forma 𝛽 serán distintos.
89
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Apéndice A: Presentación de cartel en coloquio
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Apéndice B: Artículo Publicado en Revista JCR
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Apéndice C: Curso Semana de Ingeniería
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Apéndice D: Congreso Internacional SISE
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Apéndice E: Artículo en Revisión