distribucion de probablidad

8/16/2019 Distribucion de Probablidad

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden

representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro,

constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se

puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las

tendencias actuales de diversos fenómenos naturales

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable porque puede

tomar diferentes valores! aleatoria x porque el valor tomado es totalmente al

a"ar!, y puede ser de dos tipos#

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (x).

$orque solo puede tomar valores enteros y un n%mero &nito de ellos. $or

e'emplo#

( )ariable que nos de&ne el n%mero de alumnos aprobados en la materia de

probabilidad en un grupo de *+ alumnos , - ,/ó los *+!.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x).

$orque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un n%mero

in&nito de ellos dentro de un mismo intervalo. $or e'emplo#

x es la )ariable que nos de&ne la concentración en gramos de plata de algunas

muestras de mineral *.0 gr, -., +.+, *-., 1.+, 0.*, 2.+, -.+, -+.0, /,

n!

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

3a distribución 4inomial es un caso particular de probabilidad de variable

aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la m5s importante.

Esta distribución corresponde a la reali"ación de un experimento aleatorio que

cumple con las siguientes condiciones#

6 7l reali"ar el experimento sólo son posible dos resultados# el suceso 7,

llamado éxito, y el suceso 4, llamado fracaso.


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6 7l repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los

resultados obtenidos anteriormente.

6 3a probabilidad del suceso 7 es constante, es decir, no var8a de una prueba

del experimento a otra.

6 En cada experimento se reali"an n pruebas idénticas.

9ormula#

Ejemplo:


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DISTRIBUCION NORMAL

3a :ormal es la distribución de probabilidad m5s importante. ;ultitud de

variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o

aproximadamente normal. Una de sus caracter8sticas m5s importantes es quecasi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se

puede aproximar por una normal ba'o ciertas condiciones.

3a distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa,

tienen las siguientes caracter8sticas#

• 3a curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de

la distribución.


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Ejemplo:

DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO


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3a distribución de $earson, llamada también 'i cuadradao! o chi cuadradoa!

?@!, es una distribución de probabilidad continua con un par5metro A que

representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El

que la variable aleatoria tenga esta distribución se representa habitualmente así:

.

EJEMPLO:

1. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25

observaciones, de una población normal con varianza

, tenga una varianza muestral:

a. ayor que !."

b. Entre #.$%2 y "&.'$5

Solución.

a. (rimero se proceder) a calcular el valor de la *i+cuadrada:

l buscar este n-mero en el renglón de 2$ grados de libertad nos da un)rea a la derecha de &.&5. (or lo que la (s2 /!."0 1 &.&5

". e calcular)n dos valores de *i+cuadrada:

y

quí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 2$ grados delibertad. l buscar el valor de "#.3$% se encuentra un )rea a la derechade &.!5. El valor de $2.!3 da un )rea a la derecha de &.&". 4omo se est)pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el )rea de &.!5 menos&.&" quedando &.!$.


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(or lo tanto la (#.$%2 s2 "&.'$50 1 &.!$

DISTRIBUCION GAMMA

Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones,

se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.

Su función de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parmetros positivos: ! y p. "a

función #$ p% es la denominada función Gamma de Euler que representa la

siguiente integral:


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que verifica Γ $ p & 1% ' pΓ $ p%, con lo que, si p es un n(mero entero

positivo, #$ p & 1% ' p)

El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de

densidad de este modelo $para simplificar, se *a restringido al caso en

que p es un n(mero entero%.

EJEMPLO:

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BETA


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La distribución de probabilidad beta es una función de densidad con dos parámetros

definida en el intervalo cerrado 0


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partir de un proceso de /oisson, la distribución de una v.a. definida como el tiempo

transcurrido entre la ocurrencia de dos eventos consecutivos, se denomina exponencial y se

denota por . 0bserve que se *a dado un salto cualitativo, puesto que la variable

definida es continua, tomando valores en el intervalo . Se verifica que:

y por tanto:

derivando se obtiene la función de densidad de $figura %:

"os parmetros de la distribución son:

EE2/"0:

Se *a comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una

distribución exponencial con media de 13 a4os. 5Cul es la probabilidad de que a

una persona a la que se le *a implantado este marcapasos se le deba reimplantar

otro antes de 6+ a4os7 Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 8 a4os

en un paciente, 5cul es la probabilidad de que *aya que cambiarlo antes de

a4os7

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en

una persona. 9enemos que


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Entonces

En segundo lugar

DISTRIBUCION DE BERNULLI

Una prueba de 4ernoulli es un experimento aleatorio cuyos posibles resultados

se agrupan en dos con'untos excluyentes que llamaremos éxito E! y fracaso

9!, con respectivas probabilidades# p B $E! y C p B $9!.

Ejemplo.

"0 enemos cartas que est)n enumeradas del " al ! 64u)l es la probabilidad de

sacar la carta !7

8 9a probabilidad de que obtengamos la carta !.

P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111


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8 9a probabilidad de que ; obtengamos la carta !.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON

En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de

rea, tiempo, pieza, etc, etc,:

; < de defectos de una tela por m6

; < de aviones que aterrizan en un aeropuerto por d=a, *ora, minuto, etc, etc.

; < de bacterias por cm6 de cultivo

; < de llamadas telefónicas a un conmutador por *ora, minuto, etc, etc.

; < de llegadas de embarcaciones a un puerto por d=a, mes, etc, etc./ara determinar la probabilidad de que ocurran x xitos por unidad de tiempo,

rea, o producto, la fórmula a utilizar ser=a:

donde:

p$ x, λ% ' probabilidad de que ocurran x xitos, cuando el n(mero promedio de

ocurrencia de ellos es λ

λ ' media o promedio de xitos por unidad de tiempo, rea o producto

ε ' 6.>1?

x ' variable que nos denota el n(mero de xitos que se desea que ocurra

E!"#$%.& 1 i ya se conoce que solo el #< de los alumnos de contabilidad son

muy inteligentes 64alcular la probabilidad de que si tomamos "&& alumnos al azar

5 de ellos sean muy inteligentes:


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n1 "&&

(1&.

1"&&=&.#

>15

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD GEOMETRICA

Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que

ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se

realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución,

haremos uso de un eemplo!

la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta

distribución ser"a#

$onde:

p(x) % probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y

única vez

p % probabilidad de éxito

q % probabilidad de fracaso

EJEMPLO

&os re'istros de una compa("a constructora de pozos, indican que la probabilidad de

que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un a(o es de

)!*)! +u-l es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compa("a en

un a(o dado sea el primero en requerir reparaciones en un a(o.!


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Solución:

x % / que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un

a(o

p % )!*) % probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el

término de un a(o

q % )!0) % probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en eltérmino de un a(o

p1x % /2 %

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD 'IPERGEOMETRICA

3os experimentos que tienen este tipo de distribución tienen

las siguientes caracter8sticas#

a! 7l reali"ar un experimento con este tipo de

distribución, se esperan dos tipos de resultados.

b! 3as probabilidades asociadas a cada uno de los

resultados no son constantes.

c! Dada ensayo o repetición del experimento no es

independiente de los dem5s.

d! El n%mero de repeticiones del experimento n! es

constante.

3uego


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15/15

@e un lote de 1+ proyectiles, A se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene B

proyectiles defectuosos que no explotarn, 5cul es la probabilidad de que , a% los A

exploten7, b% al menos 6 no exploten7

Solución:

a% ' 1+ proyectiles en totala ' > proyectiles que explotan

n ' A proyectiles seleccionados

x ' +, 1, 6, B o A proyectiles que explotan ' variable que nos define el n(mero

de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

b% ' 1+ proyectiles en total

a ' B proyectiles que no explotan

n ' A proyectiles seleccionados

x ' +, 1, 6 o B proyectiles que no explotan

p$al menos 6 no exploten% ' p$ 6 o ms proyectiles no exploten% ' p$x ' 6 o B

n'A% '

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