UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela de Administración y Relaciones Industriales

EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES TUVO UN

NOTABLE DESARROLLO CON EL TRABAJO DEL

MATEMÁTICO SUIZO JACOB BERNOULLI(1654-1705).

BERNOULLI DEFINIÓ EL PROCESO CONOCIDO POR SU

NOMBRE EL CUAL ESTABLECE LAS BASES PARA EL

DESARROLLO Y UTILIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

ES UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA QUE CUENTA EL

NÚMERO DE ÉXITOS EN UNA SECUENCIA DE N ENSAYOS

DE BERNOULLI INDEPENDIENTES ENTRE SÍ, CON UNA PROBABILIDAD

FIJA P DE OCURRENCIA DEL ÉXITO ENTRE LOS ENSAYOS.

UN EXPERIMENTO DE BERNOULLI SE CARACTERIZA POR SER

DICOTÓMICO, ESTO ES, SÓLO SON POSIBLES DOS RESULTADOS. A UNO DE

ESTOS SE DENOMINA ÉXITO Y TIENE UNA PROBABILIDAD DE

OCURRENCIA P Y AL OTRO, FRACASO, CON UNA PROBABILIDAD Q = 1 - P.

EN LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL EL ANTERIOR EXPERIMENTO SE

REPITE N VECES, DE FORMA INDEPENDIENTE, Y SE TRATA DE CALCULAR

LA PROBABILIDAD DE UN DETERMINADO NÚMERO DE ÉXITOS. PARA N =

1, LA BINOMIAL SE CONVIERTE, DE HECHO, EN UNA DISTRIBUCION DE

BERNOULLI.

PARA REPRESENTAR QUE UNA VARIABLE ALEATORIA X SIGUE UNA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PARÁMETROS N Y P, SE ESCRIBE:

MEDIA

VARIANZA

DESVIACIÓN TÍPICA

EN LOS EXPERIMENTOS QUE TIENEN ESTE TIPO DE DISTRIBUCIÓN, SIEMPRE SE

ESPERAN DOS TIPOS DE RESULTADOS, EJEMPLO DEFECTUOSO, NO DEFECTUOSO,

PASA, NO PASA, ETC., ETC., DENOMINADOS ARBITRARIAMENTE “ÉXITO” (QUE ES LO

QUE SE ESPERA QUE OCURRA) O “FRACASO” (LO CONTRARIO DEL ÉXITO).

LAS PROBABILIDADES ASOCIADAS A CADA UNO DE ESTOS RESULTADOS SON

CONSTANTES, ES DECIR NO CAMBIAN.

CADA UNO DE LOS ENSAYOS O REPETICIONES DEL EXPERIMENTO SON

INDEPENDIENTES ENTRE SÍ.

EL NÚMERO DE ENSAYOS O REPETICIONES DEL EXPERIMENTO (N) ES CONSTANTE.

Algunas situaciones en las cuales se utiliza la distribución Binominal se

plantean a continuación:

-Se desarrolla una nueva variedad de maíz en una estación agrícola

experimental. Se plantan 20 semillas en un suelo de idéntica composición y

se le dedican los mismos cuidados. se espera que germine el 90% de las

semillas. Cuántas semillas se espera que germinen?

- Diez individuos propensos a desarrollar tuberculosis, entran en contacto con

un portador de la enfermedad. Si la probabilidad de que la enfermedad se

contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0.10. Cuántos contraerán

la enfermedad?.

•1.- EN UNA OFICINA DE SERVICIO AL CLIENTE SE ATIENDEN 100 PERSONAS

DIARIAS:

•POR LO GENERAL 10 PERSONAS SE VAN SIN RECIBIR BIEN EL SERVICIO.

•DETERMINE LA PROBABILIDAD DE QUE EN UNA ENCUESTA A 15 CLIENTES

•

•3 NO HAYAN RECIBIDO UN BUEN SERVICIO

•NINGUNO HAYA RECIBIDO UN BUEN SERVICIO

•A LO MÁS 4 PERSONAS RECIBIERON UN BUEN SERVICIO

ENTRE 2 Y CINCO PERSONAS

•FORMULA P(n,k,p)= (n/k) (Pk 1-p) n-k

• N=15

• K= 3

•P= 10/1000

0.1 P (n, k, p)= (15/3) (0.1)3 (1-0.1) 15-3 = (15/3) (0.1)3 (0.9) 15 = 455 (0.001) (0.2824)

= 0.1285 X 100% = 12,85% La probabilidad de que 3 personas no hayan recibido un

buen servicio es de 12,85%

n=15 k= 0 P= 10/100= 0.1 p (n, k, p) = (15/0) (0.1)0 (1-0.1) 15-0 = 1. (1) (0.9)15 =

0.2059X 100% = 20.59%

• La probabilidad que ninguno haya recibido un buen servicio es de 20.59%

n=15 k= 4 p= 10/100= 0.1 P= (X≤ 4) P (n, n, p) = (15/4) . (0.1) 4 (1-0.1)15-4 = 1362

(0,0001). (0,9)11 = 1362 (0,0001) ( 0,3138) =0.428 X 100 % = 4.28%

•La probabilidad a que más de 4 personas recibieran un buen servicio es de 4,28%

n= 15 k= 2 p= 10/100= 0.1 p( n, k, p) = 15/2 (0.1)2 (1-0.1) 15-2 = 105 (0.01) (0.2541)

=0.266803 X 100% = 26, 68% n= 15 k= p=10/100= 0.1 p ( n, k, p )= (15/1) (0.1)1 (1-01) 15-

1 = 15 (0,1) (0,2287) = 0.34305 X 100% = 34.30% K0+k1+k2+k3+k4

26.59%+34.30%+26.68%+12.85%+4,28% N=15 K=5 P=10/100=0.1 (15/5) (0,1)5 (1.0,1)10-

5 3003 (0,00001) (0,3486) = 0.01046X 100% =1,04%

La probabilidad entre 2 y 5 personas es de 44.85%

•MUCHOS JEFES SE DAN CUENTA DE QUE ALGUNAS DE LAS PERSONAS QUE

CONTRATARON NO SON LO QUE PRETENDEN SER. DETECTAR PERSONAS QUE

SOLICITAN UN TRABAJO Y QUE FALSIFICAN LA INFORMACIÓN EN SU SOLICITUD HA

GENERADO UN NUEVO NEGOCIO. UNA REVISTA NACIONAL NOTIFICÓ SOBRE ESTE

PROBLEMA MENCIONANDO QUE UNA AGENCIA, EN UN PERIODO DE DOS MESES,

ENCONTRÓ QUE EL 35% DE LOS ANTECEDENTES EXAMINADOS HABÍAN SIDO

ALTERADOS. SUPONGA QUE USTED HA CONTRATADO LA SEMANA PASADA 5 NUEVOS

EMPLEADOS Y QUE LA PROBABILIDAD DE QUE UN EMPLEADO HAYA FALSIFICADO

LA INFORMACIÓN EN SU SOLICITUD ES 0.35.

•¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS UNA DE LAS CINCO SOLICITUDES

HAYA SIDO FALSIFICADA?

•¿NINGUNA DE LAS SOLICITUDES HAYA SIDO FALSIFICADA?

•¿LAS CINCO SOLICITUDES HAYAN SIDO F ALSIFICADAS?

•1.- n=5 K=1 P=0,35 p=(n, k, p ) = (n/k ) pk ( 1-p) n-k p= (n, k, p ) = (5/1) 0,035)

1 (1-0,35)5-1 = (5/1) (0.35)1 ( 0.1785) = 5 (0.5) (0.1785) = 0.445 x 100% = 44.5%

•LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS UNA DE LAS CINCO

SOLICITUDES HAYA SIDO FALSIFICADA ES DE 44.5%

•2.-- n=5 k= 0 p= 0.35 p= ( n, k, p ) = (n/k) p (1-p) n-k P= (n. k. p ) = (5/0) (0.35)°

(1-035) 5-0 P= (5/0)(0,35)° (0,1160) =0,1160 X 100% = 11.60%

•LA PROBABILIDAD QUE NINGUNA DE LAS SOLICITUDES HAYA SIDO

FALSIFICADAS ES DE 11,60%

•3.- n=5 k=5 p= 0.35 (n/k) pk (1-p)n-k (5/5) (0,35)5 (1- 0,35) 5-5 1 (0,0052) (0.65) =

0.0033 X 100% = 0.33%

•LA PROBABILIDAD DE LAS CINCO SOLICITUDES HAYAN SIDO

FALSIFICADAS ES DE 0.33%