DISTRIBUCIÓN NORMAL

É un exemplo de distribución continua , moi importante xa que gran cantidade de fenómrnos naturais (pesos,

alturas) ou sociais (controis de calidade ) axústanse a ela

Función de densidade dunha distribución normal de media y desviación típica , que representaremos por

X N( , ) é 2

2

1

2

1

x

exf )(

Como toda función de densidade cumple que :

a) f ( x ) 0 (sempre é positiva)

b) f ( x )dx 1

( a área total baixo a gráfica da curva é 1 )

c) b

P( X b ) f ( x )dx

( as probabilidades serán áreas baixo a gráfica da función de densidade)

Para calcular P( X b) teríamos que facer dxeb

x

2

2

1

2

1

que é unha integral moi complicada. Pero

calquera N(, ) pode ser reducida (Tipificada) a unha N(0,1) e os valores da integral neste caso estan calculados e

tabulados :

Distribución normal estándar Z = N(0,1) na que = 0 e = 1 e con

función de densidade

2

2

2

1x

exf

)(

a súa gráfica é coñecida co nome de campana de Gauss:

A principal característica é que é simétrica respecto da media da distribución, da recta x = , neste caso x = 0

Tipificación dunha N(, ) Se X é N(, ) entón

XZ é unha N(0,1) . E entón

:

bZ

aP

bXaPbXaP )(

con Z = N(0,1) e estes valores xa estarían nas táboas

Uso das táboas : Busca directa

dunha probabilidade CASO 1: Nas táboas estan as P (Z k)

con Z = N(0,1) e k 0. E con k

redondeado as centésimas

Por exemplo P (Z 1,23) = 0,8907 que

sería a seguinte área ( recorda que unha

integral definida representa a área baixo

unha curva)

CASO 2 : P(Z k) = 1- P (Z k) .Por que a probabilidade dun suceso é

igual a 1 menos a probabilidade do suceso contrario , ou porque a área

total baixo a curva é 1 por ser función de densidade

Por exemplo P(Z 1) = 1-P(Z<1) = 1 - 0,8413 = 0,1587

CASO 3 : P(Z -k) = por simetría = P(Z k) =1- P (Z k)

P(Z -1) = P(Z 1) = 1-0,8413 = 0,1587

•CASO 4: P(Z -k) = por simetría = P(Z k) , e este xa está nas táboas

P(Z -1) = P(Z 1) = 0,8413

CASO 5 : P(a Z b) = P(Z b) - P(Z a)

P(-1 Z 1) = P (Z 1) – P(Z –1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826

CASO 6 : P(-a Z -b) = por simetría = P(b Z a) .Aínda que tamén pódese facer como no caso anterior

Se os dous extremos do intervalo son negativos acábase antes así

P(-2 Z -1) = P(1 Z 2) = P (Z 2) – P(Z 1) = 0,9772-0,8413 = 0,1359

BUSCA INVERSA NA TÁBOA

Sabemos unha probabilidade, por exemplo 0,9099 e

temos que buscar un valor k que cumpla :

0,9099P(Z k) =

1) O valor da probabilidade está na táboa. Buscamos o

valor 0,9099 nas entradas da táboa e logo localizamos na

columna da dereita e na fila superior , o valor de k, ata as

centésimas, k 1,34

2) Se a probabilidade non está na taboa, por exemplo

0,7371, e temos que buscar un valor k que cumpla :

0,7371P(Z k) =

localizamos os dous valores entre os que está, e calculamos os

valores 1 2k e k correspondentes. Como valor de k , tomamos

a media dos dous :

1

2

k 0,63 0,63 0,64k 0,635

k 0,64 2

3) Se o valor da probabilidade está moi cerca dun dos dous valores da táboa , collemos o valor de k

correspondente a esa probabilidade

APROXIMACIÓN DA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MEDIANTE A NORMAL Unha propiedade importante da distribución normal é que pode utilizarse para aproximar probabilidades de variables binomiais. Cando o

número de probas n nunha distribución binomial é grande e p (probabilidade de éxito ) non é próximo a cero ou a un, podemos calcular as

probabilidades da binomiall usando unha normal

Dada unha variable ( , )X B n p podemos aproximala por unha ,Y N np npq , é dicir considerando a variable binomial como

unha variable normal cos seguintes parámetros: np e . .n p q

A aproximación é bastante boa se n>30 e np e nq son maiores que 5.

Dado que a binomial X é unha variable discreta (entre dous valores non toma tódolos intermedios), e a normal Y é unha variable

continua (entre dous valores si que pode tomar todos os intermedios, e a probabilidade de que tome un valor exacto é cero), temos que

aplicar unha corrección por continuidade, que consiste en que : ( ) ( 0́ 5 0́ 5)P X k P k Y k . É dicir adxudicamos á

probabilidade con que a binomial toma un valor k, o valor da probabilidade que a normal lle dá ao intervalo 0́ 5, 0́ 5k k

Exemplos

EXEMPLO 1 :

Probabilidade de que en 100 lanzamentos duna moeda saian entre 50 e 60 caras

X =”nº de caras en 100 lanzamentos duna moeda”

1(100, )

2X B xa que temos n = 100 realizacións independentes dun experimento aleatorio, e en cada unha delas estudiamos un suceso

(sae cara), que mantén a mesma probabilidade 1

2p . É discreta xa que entre 1 e 2 caras non poden sair 1.5 caras, ou 1.75 caras, por

exemplo.

Como 100 30n e 100 0́ 5 0́ 5 25 5npq podemos aproximar usando 100 0́ 5, 100 0́ 5 0́ 5 50,5Y N N

Entendendo entre 50 e 60 caras de xeito estricto (sen contar nin 50 nin 60) o que nos piden é 50 60P X

Ao ser a binomial 1

(100, )2

X B unha variable discreta o primeiro valor que toma será 51 e o último 59 51 59P X

Aproximando pola normal 50,5Y N e corrixindo a continuidade o que nos piden é 50́ 5 59́ 5P Y

Tipificando a 50,5Y N teremos que calcular :

0́1 1́9 0́ 4315P z onde 0,1z N

EXEMPLO 2 :

O 2% dos xoguetes fabricados por unha máquina son defectuosos. Os xoguetes empaquétanse en caixas de 600.

Acha-la probabilidade de que unha caixa conteña máis de 15 xoguetes defectuosos. Solución: trátase, dunha binomial B(600;0,02 ), xa que se defino como éxito o suceso “xoguete defectuoso”, temos

2(parafuso defectuoso) 0́ 02

100p P e q = 1-0´02 = 0´98. Pídese P ( X > 15). Como a media da distribución é:

600.0́ 02 12n p

e a desviación típica é:

600.0́ 02.0́ 98 3́ 43n p q

aproximámo-la binomial pola normal N(12; 3,43) e calculamos P(X > 15,5). Usando a variable normal tipificada, temos:

15́ 5 12

( 15́ 5) 1́02 1 1́02 1 0́ 8461 0́15393́ 43

P X P Z P Z P Z

EXERCICIO 2

3) A probabilidade de que se entregue un cheque sen fondos nunha entidade bancaria é 0,14. Se en dita entidade se reciben 900 cheques,

calcula:

(a) O número esperado de cheques sen fondo.

(b) A probabilidade de que se entreguen máis de 110 cheques sen fondo.

EXERCICIO 3

3) Un exame tipo test dunha oposición consta de 300 preguntas, cada unha delas con catro respostas posibles e das cales só unha é

correcta. Un opositor que non preparou o exame, responde ao chou,

(a) calcula o número esperado de respostas que terá correctas

(b) ¿cal é a probabilidade de que responda correctamente 100 ou máis preguntas?