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CAPÍTULO 5

DISEÑO DE LEYES DE CONTROL PARA EL

VEHÍCULO

Este capítulo se va a dedicar al diseño de leyes de control para el vehículo auto-balanceado. Se calcularán leyes de control basadas tanto en técnicas lineales como nolineales. Para algunas de estas leyes diseñadas se presentará un análisis de estabilidad.

5.1. Ley de control sin linealización parcial

La primera fase de implementación de controladores en el vehículo se realiza enparalelo con la configuración y puesta a punto del hardware. Por ello se decidió co-menzar a trabajar directamente en el diseño de controladores a partir del modelo com-pleto del sistema, es decir, sin el cambio de variable en la acción de control. Por sim-plicidad en el diseño, se ha comenzado con el diseño de una ley lineal LQR.

5.1.1. Ley LQR

La primera ley de control que se va a calcular será del tipo LQR (Linear-QuadraticRegulator) [6] que, como es sabido, se basa en la minimización de una función de costedel tipo

J =

∫

∞

0

(

x⊤Qx + u⊤Ru)

dt (5.1)

donde Q y R penalizan el error en el estado y la señal de control respectivamente.

La ley de control LQR se aplica sobre un modelo lineal del sistema de la forma x =

Ax+Bu. Por tanto, para la aplicación de esta ley se deberá linealizar elmodelo en tornoal punto de equilibrio deseado del sistema. El punto en el que se quiere estabilizar elsistema es el origen x = (0, 0, 0)⊤. Para un ángulo de inclinación muy pequeño, es69

5. DISEÑO DE LEYES DE CONTROL PARA EL VEHÍCULO

decir θ ≈ 0, se pueden aceptar las aproximaciones sin θ ≈ θ y cos θ ≈ 1. De igual modoel cuadrado de valores muy pequeños de θ y ϕ puede aproximarse a cero. Bajo estassuposiciones, el sistema de ecuaciones mostrado en (4.31)-(4.33) puede aproximarsepor (5.2), con x = (x1, x2, x3)

⊤.

x =

0 1 0γη

αη − β20

β + η

αη − β2

−βγ

αη − β20 −

α + β

αη − β2

x +

0

−β + η

αη − β2

α + β

αη − β2

u (5.2)

La ley de control K que minimiza la función de coste antes presentada, tendrá laforma:

u = −Kx (5.3)

Donde K tendrá la forma K = (k1, k2, k3)⊤.

Utilizando las matrices de ponderación

Q =

100 0 0

0 1 0

0 0 1000

, R = 1 (5.4)

Se podrá obtener, para el caso de controlador LQR en tiempo discreto, que es comose va a implementar en el sistema real, una ley de control:

k1 = 105,803

k2 = 26,2417

k3 = 2,411

(5.5)

Para mostrar el comportamiento del sistema con este controlador, en la Fig. 5.1se muestra la simulación de la evolución del sistema partiendo de un ángulo de 20 o

(0,3491 rad), una velocidad angular de 1 rad/s y una velocidad de giro de los motoresde 15 rad/s. En la Fig. 5.2 se muestra la evolución del estado en 3D.

5.1.2. Resultados experimentales

Una vez diseñada la ley de control LQR se ha procedido a su programación enel microcontrolador del vehículo. Para mostrar su comportamiento se ha realizadouna captura de los datos de funcionamiento a través de las utilidades software que sepresentaron en las Secciones 3.2.2 y 3.3.70

5.1. LEY DE CONTROL SIN LINEALIZACIÓN PARCIAL

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−3

−2

−1

0

1

x 1(t),

x2(t

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

t

x 3(t),

u(t

)

x1(t)

x2(t)

x3(t)

u(t)

Figura 5.1: Simulación del sistema con el controlador LQR.

−0.4−0.2

00.2

0.4

−3

−2

−1

0

10

5

10

15

20

25

x1(t)x

2(t)

x 3(t)

Figura 5.2: Trayectoria de estado del sistema en el tiempo para la ley LQR.

71


En la Fig. 5.3 se muestran los datos de un experimento en el que el vehículo trata demantener la vertical mediante el controlador LQR durante 60 s. En este experimentose observa cómo, a causa de la falta de par máximo en los motores y de precisión através de su controladora, junto con del ruido en la señal de inclinación aportada porla IMU, el vehículo oscila en torno al centro sin llegar a estabilizarlo completamente.Éste es uno de los motivos que ha llevado al cambio de motores y controladora en unasegunda versión del prototipo del vehículo que está actualmente en desarrollo. En esasegunda versión, la lectura de los datos de la IMU se realizará en modo digital paraevitar perturbaciones en la lectura de medidas.

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.2

0

0.2

x 1(t)

0 10 20 30 40 50 60−2

0

2

x 2(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

t

x 3(t)

Figura 5.3: Datos experimentales de funcionamiento del vehículo.

En las Figs. 5.4 y 5.5 se presentan do imágenes del vehículo en funcionamiento. Enla segunda se puede apreciar cómo el vehículo es capaz de estabilizarse y desplazarsepor superficies con fuerte pendiente de inclinación.

72

5.1. LEY DE CONTROL SIN LINEALIZACIÓN PARCIAL

Figura 5.4: Foto del vehículo en funcionamiento.

Figura 5.5: Foto del vehículo sobre una pendiente. 73


5.2. Leyes de control con linealización parcial

La utilización del modelo reducido del vehículo a través de la linealización parcialque se presentó en la Sección 4.2, permitirá manejar expresiones más reducidas, lo queayudará en el diseño de leyes de control no lineales. Para poder comparar de maneradirecta todas las leyes de control que se diseñen, se van a calcular todas a través delmodelo reducido.

En primer lugar, se volverá a realizar el cálculo de la ley de control lineal LQR me-diante la linealización del sistema reducido. Tras el control lineal, se va a plantear unaley de control basada SDRE [7]. Posteriormente se diseñará una ley de control basadaen moldeo de energía junto con una ley de Astolfi-Kaliora. Finalmente se planteará eldiseño de una ley no lineal basada en forwarding.

5.2.1. Ley LQR para el modelo reducido

Para el cálculo de la ley de control LQR será necesario obtener la linealización delmodelo dado por (4.37)-(4.39), en torno al punto de equilibrio del origen x = (0, 0, 0)⊤.Basándonos en la misma suposición que en la Sección 5.1.1, es decir, en que para θ ≈ 0,será válido que sin θ ≈ θ y cos θ ≈ 1, se puede aproximar el sistema por:

x =

0 1 0γ

α + β0 0

0 0 0

x +

0

−β + η

α + β1

u (5.6)

Con una ley de control del tipo u = −Kx, donde K = (k1, k2, k3)⊤.

Calculando las constantes del controlador, para las mismas Q y R de (5.4), usadasen el controlador para el sistema sin linealización parcial, se obtiene:

k1 = 2186,615

k2 = 544,2847

k3 = 26,1363

(5.7)

En las Fig. 5.6 y 5.7 se muestra respectivamente la evolución de la trayectoria en elespacio de estado y las variables de estado en el espacio del tiempo para una simu-lación del funcionamiento del vehículo con la ley de control LQR calculada a partirdel modelo con simulación parcial. El punto inicial vendrá dado por una inclinaciónde 20 o (0,3491 rad), una velocidad angular de 2 rad/s y una velocidad de giro de losmotores de 15 rad/s.74

5.2. LEYES DE CONTROL CON LINEALIZACIÓN PARCIAL

−0.20

0.20.4

−4

−2

0

20

5

10

15

20

25

x1(t)x

2(t)

x 3(t)

Figura 5.6: Trayectoria en espacio de estados para la simulación con la ley decontrol LQR a partir del modelo con linealización parcial.

0 2 4 6 8 10 12 14 16−3

−2

−1

0

1

2

x 1(t),

x2(t

)

t

x1(t)

x2(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

20

40

60

80

x 3(t),

u(t

)

t

x3(t)

u(t)

Figura 5.7: Simulación del sistema con linealización parcial con la ley de con-trol LQR. 75


5.2.2. Ley basada en SDRE

El método de control basado en la Ecuación de Riccati Dependiente del Estado(SDRE, State Dependent Riccati Equation) [8] es el homólogo no lineal al método LQR.La técnica basada en SDRE considera el problema de horizonte infinito de la forma

x = f (x) + g (x) u (5.8)

Para el cual se pretende minimizar una función de coste del tipo

J =1

2

∫

∞

t0

(

x⊤Q(x)x + u⊤R(x)u)

dt (5.9)

donde x ∈ Rn, u ∈ Rm, f(x) ∈ Ck, g(x) ∈ Ck, Q(x) ∈ Ck, R(x) ∈ Ck para k ≥ 1,f(0) = 0 y g(x) 6= 0 para todo x.

Para la formulación analítica de la ley SDRE el sistema no lineal dado por (5.8) serepresenta con una estructura similar a la del lineal mediante coeficientes dependien-tes del estado (SDC, State-Dependent Coefficients) de la forma

x = A (x) x + B (x) u (5.10)

siendo f(x) = A(x)x y g(x) = B(x).

El cálculo de la ley de control SDRE se basa en la resolución de la Ecuación Alge-braica de Riccati (ARE, Algebraic Riccati Equation):

A(x)⊤P (x) + P (x)A(x) − P (x)B(x)R(x)−1B(x)⊤P (x) + Q(x) = 0 (5.11)

para la obtención de P (x) ≥ 0, que se usa para obtener la ley de control por reali-mentación dada por:

U = −K(x)x (5.12)

donde K(x) = R(x)−1B(x)⊤P (x).

La diferencia entre las técnicas basadas en SDRE y el LQR es que las matrices delsistema y las de ponderación serán dependientes del estado en lugar de constantes.SDRE nos da facilidades de elección de las matrices siendo dependientes del estado,lo que nos puede llevar a, por ejemplo, aumentar la penalización de la señal de controlal acercarnos al origen.

La elección de la matriz de la planta A(x) no es única, pero debe garantizar queel par (A(x), B(x)) sea controlable ∀x en el dominio de interés. Uno de los métodosde elección de la planta A(x) es: si la derivada del estado i depende de el estado j,76


entonces el estado {i, j} debe ser no nulo. Siguiendo esa regla, las matrices de la plantadada por (4.37)-(4.39), quedan como:

A(x) =

0 1 0

a21 a22 0

0 0 0

(5.13)

B(x) =

0

b2

1

(5.14)

dondea21 =

γ

α + β cos x1

sin x1

x1

(5.15)

a22 =β sin x1

α + β cos x1

x2 (5.16)

b2 = −η + β cos x1

α + β cos x1

(5.17)

Para la aplicación de la señal de control habría que calcular la solución de la ecua-ción de Riccati para cada periodo de muestreo. Ésto implica un muy alto coste compu-tacional que no podría realizarse con nuestro controlador, por lo que se propone unasolución basada en este planteamiento con cálculos fuera de línea.

Lo que se propone es definir una rejilla de valores para las tres variables de estado.Los nudos de esa rejilla son puntos del vector de estado para los cuales se calcularáfuera de línea la solución de la ecuación de Riccati obteniéndose así una ganancia delcontrolador. La región del espacio estará dividida en zonas en las que se puede aplicarun controlador calculado, o utilizar una interpolación del valor a partir de los nodosde la rejilla más cercanos. Se estará aplicando por tanto una ley de control del tipo gainscheduling.

A nivel de simulación tendremos dos técnicas posibles de aplicación basadas sobreel modelo SDRE. En la primera se obtendría la ley de control mediante el cálculo dela solución de la ecuación de Riccati en línea para cada periodo de control, mientrasque en la segunda se obtendría el control consultando una tabla de controladores einterpolando para el punto de aplicación.

En ambos casos, como el controlador se aplica de forma discreta, se tratará la re-solución de la Ecuación de Riccati en tiempo continuo (CARE, Continuous AlgebraicRiccati Equation). 77


Realizadas simulaciones del sistema del vehículo con ambas leyes se puede com-probar que, la interpolación a partir los controladores calculados fuera de línea, essuficientemente precisa para un número de puntos no muy elevado de la rejilla, obte-niéndose curvas idénticas de evolución de las variables de estado para las dos leyesde control.

0 1 2 3 4 5 6−10

−5

0

5

x 1(t),

x2(t

)

t

x1(t)

x2(t)

0 1 2 3 4 5 6−20

0

20

40

60

80

x 3(t),

u(t

)

t

x3(t)

u(t)

Figura 5.8: Simulación del sistema con linealización parcial con la ley de con-trol SDRE.

El resultado de la simulación del sistema con la ley de control no lineal basada enSDRE se muestra en las Figs. 5.8 y 5.9. En estas figuras se muestra, respectivamente,la evolución de las variables de estado en el tiempo y la trayectoria en el espacio deestado. Las condiciones iniciales de la simulación son un ángulo de 20 o (0,3491 rad),una velocidad angular de 2 rad/s y una velocidad de giro de los motores de 15 rad/s.

5.2.3. Ley no lineal basada en moldeo de energía junto con una ley

de Astolfi-Kaliora

La ley de control no lineal que se va a presentar en esta sección pretende estabilizarel vehículo estabilizando por separado los dos subsistemas que lo componen. En unaprimera fase se pretende estabilizar el subsistema del péndulo a través del moldeode su energía [9]. En una segunda fase, una vez estabilizado el péndulo, se pretendeestabilizar la velocidad de las ruedas mediante una ley de Astolfi-Kaliora.78


−1.5−1

−0.50

0.5

−10

−5

0

50

10

20

30

40

x1(t)x

2(t)

x 3(t)

Figura 5.9: Trayectoria en espacio de estados para la simulación con la ley decontrol SDRE a partir del modelo con linealización parcial.

Si se estudia el subsistema formado por (4.37) y (4.38), que se corresponde con elpéndulo, se puede apreciar que es inestable.

Con la aplicación de la ley de control

v =2 (γ + βx2

2) sin x1

η + β cos x1

+ vd (5.18)

quemodifica el sistema introduciendo una nueva variable de control vd , las nuevasecuaciones resultan:

x1 = x2 (5.19)

x2 = −(γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1

−η + β cos x1

α + β cos x1

vd (5.20)

x3 =2 (γ + βx2

2) sin x1

η + β cos x1

+ vd (5.21)

Analizando el subsistema del péndulo formado por (5.19) y (5.20) con vd = 0, sepuede encontrar una función invariante que podemos definir como una función deenergía.

E =γ + βx2

2

β (α + β cos x1)2

(5.22)79


De esta forma, en el sistema aparecerá una oscilación del péndulo que se mantiene,al conservarse su energía. Para llevar al péndulo al equilibrio habrá que disipar esaenergía, para lo cual se introducirá en la ley de control un término de amortiguamientoa través de la velocidad angular, de forma que se haga la ley de control vd = kax2 +vak.

La ley de control de la expresión (5.18) quedará con la forma:

v =2 (γ + βx2

2) sin x1

η + β cos x1

+ kax2 + vak (5.23)

Con esta ley de control se consigue estabilizar el péndulo, pero la velocidad de losmotores no se está estabilizando. Considerando el subsistema del péndulo estabili-zado, se podrá aplicar una ley de Astolfi-Kaliora para estabilizar la velocidad de losmotores.

La ley de Astolfi-Kaliora [10] [11] se basa en la utilización de una ley lineal acotadao saturada, para realizar el control. Tiene la forma:

vak = ǫσ

(

kvx3

ǫ

)

(5.24)

donde σ(x) es la función saturación unitaria y ǫ será un valor que hace que la leytenga un valor pequeño durante la saturación.

Introduciendo una constante de ajuste km para el término de moldeo de energía, laseñal de control quedará finalmente como

v = km2 (γ + βx2

2) sin x1

η + β cos x1

+ kax2 + ǫσ

(

kvx3

ǫ

)

(5.25)

La estabilización del sistema se realizará por tanto en dos fases. En una primera fa-se, en la que x1 y x2 se encuentran alejadas del origen, la ley de control por moldeo deenergía hace que x3 sea grande. La ley de Astolfi-Kaliora en ese caso estará saturada ysu efecto sobre el sistema no será considerable. Al estabilizarse el subsistema del pén-dulo, la ley por moldeo de energía empieza a hacerse menos considerable empezandoa destacar la ley de Astolfi-Kaliora. Una vez que el sistema del péndulo se estabilizay la ley de Astolfi-Kaliora sale de la saturación, éste término será el predominante,estabilizando la velocidad de los motores.

El ajuste de las constantes km, ka, kv de la ley de control puede realizarse a partirdel controlador lineal LQR que se calculó en la Sección 5.2.1. Linealizando la expresióndel controlador en torno al punto de equilibrio x = (0, 0, 0)⊤, la expresión resultantepodrá compararse directamente con la expresión del controlador LQR, lo que permi-tirá establecer la relación entre las constantes de uno y otro controlador.80


km = −k1

η + β

2γ(5.26)

ka = −k2 (5.27)

kv = −k3 (5.28)

Este tipo de leyes de control presentará un transitorio más lento que el de las leyeslineales a causa de las dos fases en las que actúa. En cambio, permite ampliar la cuencade atracción y presenta resultados bastante robustos.

En las Fig. 5.10 y 5.11 se muestran la evolución de las variables de estado en el tiem-po y la trayectoria en el espacio de estados para una simulación del funcionamientodel sistema. En estas imágenes se pueden apreciar estas dos fases en el control a lasque se ha hecho referencia.

0 2 4 6 8 10 12 14 16−2

−1

0

1

2

x 1(t),

x2(t

)

t

x1(t)

x2(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

20

40

60

80

x 3(t),

u(t

)

t

x3(t)

u(t)

Figura 5.10: Simulación del sistema con ley de control mediante moldeo deenergía y técnica tipo Astolfi-Kaliora.

Las condiciones iniciales para la simulación han sido un ángulo de 20 o (0,3491 rad),una velocidad angular de 2 rad/s y una velocidad de giro de los motores de 15 rad/s.

El del término de escalado en la ley de Astolfi-Kaliora se ha ajustado para ǫ = 300.81


−0.20

0.20.4

−2

−1

0

1

20

5

10

15

20

25

x1(t)x

2(t)

x 3(t)

Figura 5.11: Trayectoria en espacio de estados para la simulación con la ley decontrol mediante moldeo de energía y técnica tipo Astolfi-Kaliora.

5.2.4. Ley no lineal basada en forwarding

Al observar el modelo del sistema, reducido a través de la linealización parcial,que se muestra en las ecuaciones (4.37) a (4.39), se observa que presenta una estructuratriangular de la forma:

z = f(z) + Ψ(z, ξ) + g(z, ξ)v (5.29)

ξ = a(ξ) + b(ξ)v (5.30)

Identificándose el subsistema inferior (5.30) con las ecuaciones (4.37) y (4.38), y elsubsistema superior (5.29) con la ecuación (4.39).

Por ello, se pretende aplicar técnicas de forwarding [12], [13], similares a la usadaen [14] para el diseño de una nueva ley de control.

Para la aplicación de este tipo de técnicas es necesario que ξ = a(ξ) sea establey para ello se tiene aplicar una ley de control previa como la ley (5.18) que se uti-lizó en la Sección 5.2.3, resultando las nuevas ecuaciones del sistema (5.19), (5.20) y(5.21). Estas nuevas ecuaciones del sistema mantienen la estructura triangular supe-rior correspondiendo el subsistema inferior (5.30) a las ecuaciones (5.19) y (5.20), y elsubsistema superior (5.29) a la ecuación (5.21). El sistema z = f(z), en este caso x3 = 0,es globalmente estable, por lo que se pueden aplicar las técnicas de forwarding.82


El subsistema formado por (5.19) y (5.20) con vd = 0 admite una función invariante,que podremos definir como función de energía

E(x1, x2) =γ + βx2

2


(5.31)

Se puede considerar una candidata a función de Lyapunov como la suma de lafunción de energía y un término cuadrático ν.

V =γ + βx2

2

β (α + β cos x1)2−

γ

β (α + β)2+

1

2ρν2 (5.32)

Para garantizar la estabilidad se pretende asegurar que la derivada de la funciónde Lyapunov sea definida negativa. Para ello se calcula la derivada de la función deLyapunov, resultando:

V =2x2

(α + β cos x1)2x2 +

2 (γ + βx22) sin x1

(α + β cos x1)3

x1 + ν ∇ν x (5.33)

Desarrollando la expresión de la derivada de la función de Lyapunov (5.33) son lasecuaciones de estado del sistema (5.19), (5.20) y (5.21), obtendremos

V = −2x2 (γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)3

+2x2 (γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)3

+ν

(

x2

∂ν

∂x1

−(γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

∂ν

∂x2

+2 (γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

∂ν

∂x3

)

+vd

(

−2x2 (η + β cos x1)

(α + β cos x1)+ ν

(

−(η + β cos x1)

(α + β cos x1)

∂ν

∂x2

+∂ν

∂x3

))

=

= ν

(

x2

∂ν

∂x1

−(γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

∂ν

∂x2

+2 (γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

∂ν

∂x3

)

+vd

(

−2x2 (η + β cos x1)


(

−(η + β cos x1)

(α + β cos x1)

∂ν

∂x2

+∂ν

∂x3

))

(5.34)

Para garantizar que (5.34) sea negativa, anulará el primer término y se garantizaráque el segundo sea negativo mediante la señal de control vd. Para anular el primertérmino obtendremos la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales:

x2

∂ν

∂x1

−(γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

∂ν

∂x2

+2 (γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

∂ν

∂x3

= 0 (5.35)

La resolución de la ecuación diferencial es equivalente en este caso al cálculo deuna función invariante ν(x1, x2, x3), ya que coincide con el cálculo de ν(x1, x2, x3) = 0

a través de las trayectorias del sistema con vd = 0. 83


Resolviendo la EDP (5.35) se obtiene la solución:

ν(x1, x2, x3) = x3 + 2x2 − 2β (α − η)2 f(x1, x2)E(x1, x2)

g(x1, x2)

+2 (α − η) ln(

√

β (γ + βx22) + βx2

)

√

E(x1, x2)

(5.36)

donde

f(x1, x2) = ln

[

2β2

η + β cos x1

[β (α − η) (α + β cos x1) E(x1, .x2) + g(x1, x2) x2 − γ]

]

(5.37)

g(x1, x2) =

√

β2 (α − η)2 E(x1, x2) − βγ (5.38)

yE(x1, x2) es la función de energía del péndulo definida por el invariante calculadopara el subsistema inferior en (5.31).

Como se ha dicho, para que se cumpla la condición de estabilidad V ≤ 0 se hace:

vd =

(

−2x2 (η + β cos x1)


(

−(η + β cos x1)

(α + β cos x1)

∂ν

∂x2

+∂ν

∂x3

))

(5.39)

Con lo que se estaría obteniendo la ley de control vd.

Si se analizan las expresiones del invariante que se ha calculado, se llega a la con-clusión de que no es posible calcular un controlador por este método, puesto que lafunción g(x1, x2) no está definida en el origen.

5.3. Simplificación del modelo y cálculo de nuevas leyes

de control

Al observar la ecuación del invariante calculado en (5.36) se aprecia que una hi-potética configuración de los parámetros del vehículo que forzara η = α simplificaríafuertemente las expresiones dando como resultado la posibilidad de calcular un con-trolador válido para ese sistema.

Si se atiende a los parámetros normalizados del sistema que se presentaron en(4.25), (4.26), (4.27) y (4.28), se puede apreciar que a través del diseño de la rueda sepodría hacer η = α. Para ello habría que aumentar la masa y el radio de la rueda. Locual es lógico que ambos aumenten conjuntamente. El resultado serían unas ruedasde radio cercano a la distancia del eje al centro de masas del péndulo.84

5.3. SIMPLIFICACIÓN DEL MODELO Y CÁLCULO DE NUEVAS LEYES DE CONTROL

Lamodificación del vehículo cambiando las ruedas por unas nuevas diseñadas conesta finalidad permitirá realizar pruebas para los controladores que se van a diseñaren esta sección. El prototipo del vehículo, como banco de pruebas no estará cerrado, loque nos permitirá hacer modificaciones. En el momento de redacción de este proyecto,se está preparando la nueva versión de las ruedas para el vehículo junto con otra seriede mejoras que se describen como líneas futuras en la Sección 6.2.

En la Fig. 5.12 se muestra un esquema del vehículo con un diseño de ruedas pare-cido al que sería necesario montar para lograr la simplificación del modelo.

Figura 5.12: Vistas esquemáticas del péndulo para el modelo simplificado.

El sistema con esta modificación quedaría como se muestra a continuación:

x1 = x2 (5.40)

x2 =γ sin x1

α + β cos x1

+βx2

2 sin x1

α + β cos x1

− v (5.41)

x3 = v (5.42)

A partir de este modelo se calcularán dos leyes de control. La primera será una leyLQR, mientras que la segunda será una ley de control no lineal basada en forwardingcomo la usada en la Sección 5.2.4. Posteriormente se analizará el sistema con ambasleyes de control para tratar de estimar su dominio de atracción.

5.3.1. Ley lineal LQR

Como ya se ha comentado anteriormente, el control LQR se aplica sobre unmodelolineal del sistema de la forma x = Ax + Bu. Linealizando el sistema presentado en85


(5.40), (5.41) y (5.42) en torno al origen x = (0, 0, 0)⊤, que es el punto de equilibriodeseado, obtendremos

x =

0 1 0γ

α+β0 0

0 0 0

x +

0

−1

1

u (5.43)

Obteniéndose una ley de control óptima de la forma u = −Kx.

5.3.2. Ley no lineal del tipo forwarding

Como ya se ha comentado, la estructura triangular superior del sistema nos per-mitirá usar técnicas similares al forwarding, por responder a la formulación

z = f(z) + Ψ(z, ξ) + g(z, ξ)v (5.44)

ξ = a(ξ) + b(ξ)v (5.45)

En las ecuaciones de nuestro sistema es posible identificar el subsistema inferior(5.45) con las ecuaciones (5.40) y (5.41) mientras que el subsistema superior (5.44) pue-de identificarse con (5.42).

Inicialmente el subsistema inferior es inestable. Para poder aplicar este tipo detécnicas es necesario que ξ = a(ξ) sea estable y para ello se tiene aplicar una ley decontrol

v =2 (γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1

+ vd (5.46)

en la que se introduce una nueva variable de control vd que permitirá aplicar elmétodo basado en forwarding.

Con el primer término de la ley de control v se está estabilizando el subsistemainferior que se corresponde con el péndulo. A través de la ley vd se estabilizará elsubsistema superior correspondiente al movimiento lineal del vehículo.

Aplicando esta ley de control el sistema queda

x1 = x2 (5.47)

x2 = −(γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1

− vd (5.48)

x3 =2 (γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1

+ vd (5.49)86


donde puede establecerse la misma relación entre el subsistema inferior (5.45) ylas ecuaciones (5.47) y (5.48) y entre el subsistema superior (5.44) y la ecuación (5.49).En este caso el subsistema inferior con vd = 0 es estable. El sistema z = f(z), que secorresponde con x3 = 0, es globalmente estable y por tanto puede aplicarse la técnicacon la que se está trabajando.

El subsistema formado por (5.47) y (5.48) con vd = 0 admite una función invariante

ν1 =γ + βx2

2


(5.50)

que puede considerarse una función de energía.

Considérese una candidata a función de Lyapunov como la suma del invariantedel subsistema inferior y un término cuadrático ν.

V =γ + βx2

2

β (α + β cos x1)2−

γ

β (α + β)2+

1

2ρν2 (5.51)

donde ρ > 0 es una constante de ajuste.

La ley de control vd puede obtenerse al forzar que la función de Lyapunov delsistema completo sea definida negativa.

Derivando la función de Lyapunov (5.51) se obtiene

V =2x2

2

(α + β cos x1)2x2 +

2 (γ + βx22) sin x1

(α + β cos x1)3

x1 + ρν∇νx

= ρν

(

x2

∂ν

∂x1

+(γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

(

−∂ν

∂x2

+ 2∂ν

∂x3

))

+vd

(

−2x2

(α + β cos x1)2

+ ρν

(

−∂ν

∂x2

+∂ν

∂x3

))

(5.52)

Para asegurar que V es negativa, se puede forzar que el primer término de (5.52)se anule, con lo que obtendremos la ecuación en derivadas parciales

x2

∂ν

∂x1

+(γ + βx2

2) sin x1

(α + β cos x1)

(

−∂ν

∂x2

+ 2∂ν

∂x3

)

= 0 (5.53)

La solución de la EDP proporciona otra función invariante

ν2 = 2x2 + x3 (5.54)87


Finalmente la ley de control ud puede calcularse, garantizando V ≤ 0, para

vd = −

(

−2x2

(α + β cos x1)2

+ ρν

(

−∂ν

∂x2

+∂ν

∂x3

))

(5.55)

Obteniéndose

vd =2x2

(α + β cos x1)2

+ ρ (2x2 + x3) (5.56)

La ley de control final para el sistema dado por (5.40), (5.41) y (5.42) es

v =2 (γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1

+2x2

(α + β cos x1)2

+ ρ (2x2 + x3) (5.57)

5.3.3. Análisis de estabilidad

Para poder realizar una comparación entre las leyes de control diseñadas, se rea-lizará un estudio de estabilidad a través de la cuenca de atracción [15] de cada unode ellos. Para ello se pretende buscar una estimación del dominio de atracción delsistema con cada una de las leyes para ser comparadas.

5.3.3.1. Dominio de atracción de la ley LQR

En el caso de la ley basada en LQR no se puede conocer con exactitud el dominiode atracción a causa de las no linealidades del sistema. Por ello ha de buscarse unaestimación de la región [16], [17]. Para lograr esa estimación se buscará una cota auna función de Lyapunov del sistema que garantice la estabilidad, y dentro de esaacotación se tomará el dominio de atración como la región encerrada por la máximacurva de nivel de V dentro de la cota.

Sea (5.43) la linealización del sistema formado por (5.40), (5.41) y (5.42), en tornoal punto de equilibrio deseado. El sistema linealizado puede ser estabilizado por unaley de control LQR. La ley u = −Kx estabiliza asintóticamente al sistema (5.43) ylocalmente al sistema (5.40), (5.41) y (5.42). En este último caso de estabilización localdel sistema no lineal se puede determinar una región local de atracción U para elsistema en bucle cerrado por el procedimiento que se describe a continuación.

U = {(x1, x2, x3)⊤ : |x1| ≤ a, |x2| ≤ b, |x3| ≤ c} (5.58)

con a, b y c constantes positivas.88


Reescribiendo el sistema estabilizado como la suma de la parte lineal y la parte nolineal se obtiene

x = (A − BK)x +

(

0,(γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1−

γx1

α + β, 0

)⊤

(5.59)

Como el sistema A − BK es estable, la ecuación de Lyapunov

(A − BK)⊤ P + P (A − BK) = −I (5.60)

tiene solución P definida positiva.

Seleccionando como función de Lyapunov para el sistema V = x⊤Px, la derivadade V a lo largo de las trayectorias del sistema (5.59) es

V = x⊤

(

(A − BK)⊤ P + P (A − BK))

x

+2x⊤P

(

0,(γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1−

γx1

α + β, 0

)⊤

(5.61)

≤ −‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖P‖

∣

∣

∣

∣

(γ + βx22) sin x1

α + β cos x1−

γx1

α + β

∣

∣

∣

∣

Centrándonos en el contenido del valor absoluto que aparece en el segundo tér-mino de la desigualdad

(γ + βx22) sin x1

α + β cos x1−

γx1

α + β

=γ sin x1

α + β cos x1+

βx22 sin x1

α + β cos x1−

γx1

α + β+

γ sin x1

α + β−

γ sin x1

α + β

(5.62)

Con lo que se puede hacer la separación

∣

∣

∣

∣

(γ + βx22) sin x1

α + β cos x1−

γx1

α + β

∣

∣

∣

∣

(5.63)

≤

∣

∣

∣

∣

γ sin x1

α + β cos x1−

γ sin x1

α + β

∣

∣

∣

∣

(5.64)

+

∣

∣

∣

∣

γ sin x1

α + β−

γx1

α + β

∣

∣

∣

∣

(5.65)

+

∣

∣

∣

∣

βx22 sin x1

α + β cos x1

∣

∣

∣

∣

(5.66)89


Desarrollando independientemente los términos (5.64), (5.65) y (5.66) obtendremosrespectivamente las desigualdades (5.67), (5.68) y (5.69).

∣

∣

∣

∣

γ sin x1

α + β cos x1−

γ sin x1

α + β

∣

∣

∣

∣

= γ |sin x1|

∣

∣

∣

∣

1

α + β cos x1−

1

α + β

∣

∣

∣

∣

=βγ

α + β|sin x1|

|1 − cos x1|

|α + β cos x1|≤

βγ

α2 − β2

|x1|3

2

(5.67)

∣

∣

∣

∣

γ sin x1

α + β−

γx1

α + β

∣

∣

∣

∣

=γ

α + β|sin x1 − x1| ≤

γ

α + β

|x1|3

6(5.68)

∣

∣

∣

∣

βx22 sin x1

α + β cos x1

∣

∣

∣

∣

≤β

α − β|x2|

2 |x1| (5.69)

Donde se han utilizado las desigualdades

|sin x1| ≤ |x1|, |sin x1 − x1| ≤|x1|

3

2,

|1 − cos x1| ≤|x1|

2

2, α + β cos x1 ≥ α − β

A través de (5.67),(5.68) y (5.69), y teniendo en cuenta que |xi| ≤ ‖x‖, la expresión(5.63) puede acotarse por

∣

∣

∣

∣

(γ + βx22) sin x1

α + β cos x1−

γx1

α + β

∣

∣

∣

∣

≤βγ

α2 − β2

|x1|3

2+

γ

α + β

|x1|3

6+

β

α − β|x2|

2 |x1|

≤ ‖x‖3

(

βγ

2 (α2 − β2)+

γ

6 (α + β)+

β

α − β

)

(5.70)

Por tanto, al introducir (5.70) en (5.62) y reordenando términos se puede continuar

V ≤ −‖x‖2 + 2 ‖x‖4 ‖P‖

(

βγ

2 (α2 − β2)+

γ

6 (α + β)+

β

α − β

)

= ‖x‖2

[

2 ‖x‖2 ‖P‖

(

βγ

2 (α2 − β2)+

γ

6 (α + β)+

β

α − β

)

− 1

]

(5.71)

Tomando una constante positiva que cumpla

x <

[

2 ‖P‖

(

βγ

2 (α2 − β2)+

γ

6 (α + β)+

β

α − β

)]−1/2

(5.72)90


se puede asegurar que V < 0 en la región

U0 ={

x = (x1, x2, x3)⊤ : ‖x‖ < x, x 6= (0, 0, 0)⊤

}

(5.73)

Sea r = x√

λmin/λmax, donde λmin y λmax son respectivamente el mínimo ymáximoautovalor de lamatriz P . Se puede afirmar que la región (5.58) con constantes positivasa, b y c tal que

a2 + b2 + c2 ≤ r2

es una estimación del dominio de atracción para el sistema dado por (5.40), (5.41) y(5.42) con la ley de control lineal u = −Kx.

Para cualquier x0 ∈ U , la curva de nivel Cx0=

{

x : x⊤Px = x⊤

0 Px : 0}

de V en x0

está completamente incluida en U0, ya que para cualquier x0 ∈ U

λmin ‖x‖2 ≤ x⊤Px

= x⊤

0 Px0 ≤ λmax ‖x0‖2 ≤ λmaxr

2

(5.74)

de donde se obtiene que

‖x‖2 ≤λmax

λminr2 = x (5.75)

Lo que implica que ‖x‖ ≤ x.

5.3.3.2. Dominio de atracción de la ley no lineal

Para el estudio de estabilidad del sistema (5.40), (5.41) y (5.42) con la ley de controlno lineal (5.57) nos centraremos en la función de Lyapunov

V =γ + βx2

2

β (α + β cos x1)2−

γ

β (α + β)2+

1

2ρ (2x2 + x3)2

cuya derivada a lo largo de las trayectorias del sistema es

V = −

(

2x2

(α + β cos x1)2

+ ρ (2x2 + x3)

)2

(5.76)

Esta función de Lyapunov permite demostrar la estabilidad del sistema puesto quecumple

V (0) = 0 y V (x) > 0 ∀x 6= 0

V (x) ≤ 0 ∀x 91


Al ser V (x) semidefinida negativa se puede demostrar estabilidad en el sentido deLyapunov, pero no que ésta sea asintótica. Habrá que recurrir al Principio de Invarian-cia de LaSalle para probar que el máximo subconjunto invariante tal que V (x) = 0 esel origen.

Forzando V (x) ≡ 0, que a través de (5.52) se puede ver que equivale a que vd = 0,la dinámica residual del sistema quedará

x1 = x2 (5.77)

x2 = −(γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1

(5.78)

x3 =2 (γ + βx2

2) sin x1

α + β cos x1

(5.79)

con

F ,

(

2x2

(α + β cos x1)2

+ ρ (2x2 + x3)

)

≡ 0 (5.80)

Al estudiar la dinámica de F a través de las trayectorias de (5.77), (5.78) y (5.79) seobtiene

F =∂F

∂x1

x1 +∂F

∂x2

x2 +∂F

∂x3

x3 =2 sin x1 (βx2

2 − γ)

(α + β cos x1)3

(5.81)

La función F se hace 0 para x1 = 0 y x1 = π y para los valores x2 = ±√

γβ. Estos

serían por tanto candidatos a conjuntos invariantes. Dado, que esta condición exige x2

constante, se tendría x2 = 0 y de (5.78) se llega a γ + βx22 = 0, con lo que se presenta

una contradicción, demanera que los puntos con x2 = ±√

γβno pertenecen al conjunto

invariante.

Para los puntos con x1 = 0 se garantiza x2 = 0 y x3 = 0. La necesidad de x1 = 0

implica que x2 = 0 y a través de (5.80) se garantiza x3 = 0. Por lo que el origenpertenece al conjunto invariante.

El caso de x1 = π no se tomará a estudio porque las características del tipo devehículo hacen que ese punto no se encuentre en el ámbito de trabajo del sistema porrestricciones físicas.

Por tanto, el máximo conjunto invariante del sistema coincide con el equilibriox = (0, 0, 0)⊤ y puede concluirse que el sistema es asintóticamente estable, estandosu dominio de atracción delimitado por la máxima curva de nivel de (5.51) tal quex1 < |π|.92


5.3.4. Resultados de simulación

Se han realizado simulaciones para el sistema con esta configuración en la que lamasa del péndulo es de 3 kg, resultando su centro de masas equivalente a 13 cm deleje. El sistema se ha diseñado tal y como se comentó para η = α, lo que nos lleva aunas ruedas de 15 cm de radio y 0.5 kg cada una.

Los valores para los parámetros resultantes son: α = 0,1014, β = 0,0585 yγ = 3,8259.

Para estos valores de los parámetros la estimación del dominio de atracción delsistema con la ley LQR resulta en r = 6,38 · 10−4, lo que representa una estimaciónextremadamente pequeña de la cuenca de atracción por ser muy conservadora. Encambio, la estimación de la cuenca de atracción del sistema con la ley no lineal se ex-tiende a todo el dominio de trabajo permitido por las restricciones físicas del vehículo.

En la Fig. 5.13 se presentan los datos de simulación de la evolución del sistema paraunas condiciones iniciales x = (1,42 rad,−5 rad/s, 20 rad/s)⊤ fuertemente separadasdel origen. Para ello se muestran las variables de estado del sistema x1(t) = θ(t),x2(t) = θ(t) y x3(t) = ϕ(t), junto con la señal de control v(t) para el sistema con lalinealización parcial y la señal de control u(t) para el sistema completo (deshaciendoel cambio de variable).

93


0 5 10 15 20 25 30 35−6

−4

−2

0

2

t

x 1(t),

x2(t

)

0 5 10 15 20 25 30 35−40−20

0204060

t

x 3(t)

0 5 10 15 20 25 30 35

−200

0

200 100

−100

t

v(t)

, u(t

)

x1(t)

x2(t)

u(t)v(t)

Figura 5.13: Evolución de las principales señales del sistema.

94

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