diseÑo Óptimo de cajas reductoras para molinos de caÑa de azucar.pdf

Instituto Superior Politécnico José Antonio EcheverríaFacultad de Ingeniería Mecánica

Departamento de Mecánica Aplicada

DISEÑO ÓPTIMO DE CAJAS REDUCTORASPARA MOLINOS DE CAÑA DE AZÚCAR

Tesis presentada en opción al grado científicode Doctor en Ciencias Técnicas

Autor: MSc. Ing. José Andrés Llamos Soríz

Tutor: Dr. Ing. José Martínez Escanaverino

Ciudad de la Habana,Noviembre 22 del 2000

I

Tabla de ContenidoI

Introducción. 1

Capítulo 1 Síntesis de las celdas planetarias. 5

1.1 Transmisiones planetarias. 5

1.2 Clasificación de los mecanismos planetarios. 6

1.3 Cinemática de la transmisión de los mecanismosplanetarios. 7

1.4 Condiciones de existencia de los mecanismos planetariostipo 2RP- A. 8

1.5 Modelo de la síntesis preliminar. 12

1.6 Situación de la síntesis preliminar 13

1.7 Problema de la situación preliminar 14

1.8 Corrección de los engranajes 18

1.9 Completamiento geométrico de los engranajes. 23

1.10 Radios de curvatura y parámetros de maquinado de losengranajes. 33

II

1.11 Recortado de la corona. 37

1.12 Interferencia en el engranaje planeta – corona. 41

Capítulo 2: Resistencia a la picadura de los engranajes. 41

2.1 Condición de resistencia a contacto. 41

2.2 Determinación de los esfuerzos básicos 42

2.3 Factores de influencia sobre el esfuerzo básico 43

2.4 Determinación del esfuerzo permisible de Hertz 51

2.5 Modelo matemático de la resistencia al contacto. 54

Capítulo 3: Resistencia a fractura de los engranajes. 67

3.1 Introducción. 67

3.2 Condiciones de resistencia a la fractura. 66

3.3 Factores de influencia en el esfuerzo actuante 68

3.4 Parámetros modificativos del esfuerzo nominal. 74

3.5 Parámetros modificativos del esfuerzo nominal. 75

III

3.6 Modelo matemático para el calculo de YF y YS 78

3.7 Coeficiente de seguridad a fractura SF 87

Capítulo 4 Diseño de cajas reductoras99

4.1 Diseño de prototipo de cajas reductoras. 99

4.2 Estrategia tecnológica de desarrollo de cajas reductoraspara molinos de caña de azúcar. 107

4.3 Validación del modelo matemático para el cálculo de lasceldas planetarias 2RP- A.

108

4.4 Diseño de modelos físicos de cajas reductoras113

4.5 Resumen de la valoración económica del costo defabricación de la caja reductora para molino de caña.

140

Conclusiones 143

Recomendaciones 143

Bibliografía. 144

1

Introducción.

Antecedentes

El país sufrió un rudo golpe a partir de la caída del campo socialista, desde donde recibíamos maquinaria,materias primas e insumos de todo tipo. Este hecho influyó decisivamente sobre la industria azucareracubana, la cual no solo se vio afectada por la pérdida de los abastecimientos desde el ex campo Socialista,sino también por la casi total paralización de la industria mecánica. Si se agregan a estas contingencias losbajos precios del azúcar en el mercado internacional y fundamentalmente el férreo bloqueo impuesto anuestro país por los Estados Unidos, tendremos el panorama económico del período especial.

En la actualidad, la industria azucarera se enfrenta al difícil reto de lograr la rentabilidad. Un componenteimportante de esa rentabilidad lo constituye la reparación y sustitución de partes y equipos. Muchas deestas piezas de repuesto se fabrican en nuestro país, no así los reductores de velocidad, máquinas queforman parte importante de los accionamientos, sin los cuales no es posible poner en funcionamiento uncentral azucarero. En el conjunto de reductores de velocidad son muy importantes las cajas reductoraspara molinos de caña, las cuales en general se importaban de Europa Occidental, fundamentalmente, de laantigua República Federal Alemana, donde el principal proveedor lo era la firma Flender.

En la actualidad estas cajas reductoras tienen un precio en el mercado internacional que supera los US$100 000, mucho más alto que lo que costaban antes del periodo especial. Si se le agregan a esto los gastosde fletes y las difíciles condiciones de financiamiento de estos productos se podrá comprender cuán difícilresulta para la industria azucarera adquirir estas máquinas.

Lo antes expuesto justifica sobradamente la investigación desarrollada por el grupo de investigación detransmisiones del ISPJAE y particularmente, la investigación encaminada a desarrollar reductores paramolinos de caña de azúcar.

En el ISPJAE se ha venido trabajando durante más de 20 años en el desarrollo de transmisiones porengranaje y reductores de velocidad en estrecha relación con las empresas productoras y consumidoras másimportantes de Cuba, incluidas las correspondientes al SIME y el MINAZ. Asimismo, han existido oexisten vínculos con instituciones, empresas y personalidades de investigación-desarrollo y producción deAlemania, Polonia, España, Rusia y Estados Unidos.

El actual Grupo de Consultoría y diseño Mecánico del ISPJAE cuenta con una buena base bibliográfica,suficientemente actualizada, que incluye monografías, revistas especializadas, patentes, normas y catálogosindustriales de países de avanzada en este campo. A lo largo de los años, la ONIITEM ha registrado afavor del Grupo varias patentes nacionales sobre esta temática. Asimismo, el mayor número de doctores ymaster del país, en temas relacionados con los engranajes y reductores de velocidad, se ha preparado o seencuentra trabajando en el Grupo.

Los resultados de los trabajos de investigación-desarrollo del Grupo se encuentran aplicados en numerososreductores de velocidad producidos en el país a partir de los diseños detallados suministrados por elISPJAE, y con su asesoría tecnológica directa.

Los mayores reductores diseñados por el Grupo se han manufacturado en la Empresa de ConstruccionesMecánicas Fabric Aguiar Noriega del SIME, en Santa Clara. Ello incluye 12 reductores completos de3 500 kg para la extracción de petróleo del subsuelo cubano, que llevan quince años en explotación en losyacimientos de la costa norte occidental, y la carcasa completa de una caja reductora de 10 000 kg para elsegundo molino de caña del Central 30 de Noviembre. En este último caso, una parte importante deltrabajo de manufactura de la carcasa se realizó en el propio Central.

La caja reductora de 10 000 kg arriba mencionada es precisamente de la clase que el MINAZ haestablecido como estándar para la mayoría de los molinos de caña del país. El funcionamiento perfecto yadurante siete años de esta carcasa, equipada con engranajes importados, demuestra el grado de dominio por

2

el Grupo de Transmisiones del ISPJAE de las técnicas de diseño y manufactura necesarias para lograr laconstrucción íntegra en Cuba, con los medios de producción existentes, de cajas reductoras para losmolinos de caña.

Objeto de Estudio

Son los reductores de velocidad utilizados para el accionamiento de los molinos de caña en los centralesazucareros, los cuales típicamente transmiten la potencia mecánica producida por un motor primarioeléctrico o de turbina de vapor de 400 a 1 500 kW y la entregan al engranaje de baja velocidad que mueveel molino de caña. En la terminología del MINAZ, estos equipos se denominan cajas reductoras.

Objetivos de la Investigación

1. Elaborar una estrategia tecnológica de desarrollo para los accionamientos de los molinos de cañade los centrales cubanos, viable y racional en las condiciones de Cuba.

2. Determinar la estructura y los parámetros de diseño fundamentales de los reductores óptimos de lafamilia de reductores tanto para el accionamiento de los molinos de caña típicos de la industriaazucarera cubana, como para su manufactura con un alto grado de integración nacional.

3. Crear condiciones para demostrar la validez de las soluciones de diseño de la familia de reductoresóptimos lograda en el segundo objetivo, por medio del diseño de un modelo físico a escalareducida, a construir posteriormente, antes que el prototipo a tamaño natural.

Hipótesis fundamental del trabajo

Se puede desarrollar un diseño de caja reductora para los molinos de caña típicos de los centralesazucareros cubanos, tal que satisfaga todos los requisitos de calidad del MINAZ y, al mismo tiempo, puedaser manufacturado casi completamente con los medios y la experiencia tecnológica disponible en laindustria mecánica nacional, a un costo competitivo con los equipos importados equivalentes.

Importancia del tema, aspectos novedosos y beneficios esperados

Desde los tiempos de la colonia española hasta ahora, los reductores de velocidad de los molinos de caña sehan importado. Las grandes compras de estos equipos que Cuba ha realizado durante los últimos treintaaños han contribuido al desarrollo de un número de empresas de engranajes en Europa, sobre todo enAlemania y España. Este tema de investigación se propone, por primera vez en Cuba, elaborar un diseñocuya manufactura sea asimilable casi completamente por la industria mecánica nacional. El reto essuficientemente difícil como para que un grupo de especialistas en engranajes del país lo considerenimposible. Ahí radican la importancia y lo novedoso del tema. No se propone como resultado de estainvestigación la construcción y ensayo de un prototipo del diseño, pues se trata de un equipo cuyo costounitario en el extranjero ronda los US$ 100 000. La construcción y ensayo de dicho equipo solo se podrálograr a partir del análisis y la comprensión de las posibilidades del nuevo diseño, por parte de losorganismos interesados, específicamente el MINAZ como usuario y el SIME como productor. Otrobeneficio esperado es que se aprovechen instalaciones de la industria mecánica nacional que hoy día tienenmuy baja carga de trabajo, contribuyéndose así a su reanimación técnica y económica.

3

La novedad científica del tema

Consiste en la síntesis de un diseño propio, con una estructura y unos parámetros de diseño que satisfagande modo óptimo los requisitos funcionales del MINAZ, al tiempo que resulten óptimos como objetos demanufactura dentro de las posibilidades de la industria mecánica cubana.

La esencia del diseño mecánico es precisamente la anticipación por modelos matemáticos algebraicos ygeométricos de objetos que aún no existen, previendo las soluciones de diseño que permitan el uso racionalde los materiales y las tecnologías de manufactura disponibles, lo cual permite tomar las decisionesadecuadas sobre la fabricación y ensayo con un mínimo riesgo económico.

Incluso en aquellos casos donde un diseño no llega a realizarse, el mismo puede arrojar luz sobre las víaspara la solución posterior de un problema técnico complejo, y puede ser considerado por ello un valiosopaso en el desarrollo. La historia de la tecnología está llena de ejemplos de este tipo.

Resultados económicos contables esperados

De inmediato, en los nuevos desarrollo que prevé el MINAZ los siguientes:

1 Un considerable ahorro de energía por cada reductor instalado.

2 Un ahorro de moneda libremente convertible, que en la actualidad y en el futuro habría que asignarpara la compra de reductores y piezas iguales a los instalados.

3 Un ahorro de moneda libremente convertible, que en la actualidad y en el futuro habría que asignarpara la compra de reductores y piezas iguales para el nuevo desarrollo de los centrales azucareros.

4 La necesaria reanimación de la industria nacional y el incremento en el acervo de conocimientostecnológicos nacionales. A mediano plazo, partiendo de estos diseños podrán manufacturarsereductores de velocidad para molinos de caña económicamente más convenientes que los importadosdel extranjero. Podría hablarse del ahorro que la obtención de este diseño implica para el país,respecto a la compra del know-how en el extranjero, valorado en millones de dólares.

Análisis bibliográfico

Las referencias clásicas por excelencia en el diseño de las transmisiones planetarias siguen siendo las obrasde Kudrâvcev, en primer término su monografía [Kud67] y también el manual de referencia [KK77]editado conjuntamente con Kirdâšëv. En ellas, el autor encontró explicaciones detalladas sobre la eleccióndel esquema cinemático más adecuado, en dependencia de los requerimientos de la aplicación, en especialla relación de transmisión, la eficiencia, el peso y las dimensiones principales.

Sin excepción, para valores de la relación de transmisión en el intervalo de 30 a 40, y potencias de 630 a500 kW, típicos de las cajas reductoras de los molinos de caña, las obras de Kudrâvtsev recomiendanreductores planetarios formados por dos o tres celdas planetarias del tipo 2RP-A, ubicadas en serie, dondela etapa rápida puede ser de ejes fijos como alternativa a la celda planetaria. Por otro lado, las condicionesprecisas para la síntesis óptima de reductores de este tipo solo se esbozan, en una medida que no permitepasar al diseño ingenieril de las mismas.

Entre las normas de prestigio mundial, se encuentra la [AGMA 6123], importante recomendaciónnorteamericana relacionada con el diseño de mecanismos planetarios. En ella se encuentran especificadaslas consideraciones de diseño generales a tener en cuenta para este tipo de transmisión, pero en ningúnmodo orientaciones para obtener un diseño óptimo en uno u otro sentido.

Prácticamente todas las normas de cálculo a resistencia de engranajes cilíndricos hacen referencia alcálculo de engranajes exteriores e interiores, pero brindan muy pocos detalles específicos para el diseño demecanismos planetarios, careciendo de recomendaciones para el diseño óptimo. Estas observaciones sonválidas tanto para la norma internacional ([ISO 6336 – 1] a [ISO 6336 – 5]), como para la norma alemana[DIN 3990], la norteamericana [AGMA 2001] y la rusa [GOST 21345].

4

Para la síntesis geométrico-cinemática de los engranajes de los mecanismos planetarios, las publicacionesde Bolotovskij y sus colaboradores, por ejemplo, [BGSŠ77], resultan útiles. No obstante, estos trabajos selimitan a plantear las condiciones de existencia del sistema de engranajes, pero no presentan algoritmos quepermitan resolver el problema de síntesis óptima a un nivel ingenieril.

Las obras de Vulgakov, por ejemplo, [Vul87], le presentan al diseñador todas las posibilidadesgeométrico-cinemáticas, gracias al empleo del método de los parámetros generalizados. Este método nopermite el empleo de herramientas estándar, por lo cual es aplicable en ámbitos como el aeroespacial,donde el costo de un herramental especial es aceptable si logra una reducción sensible del peso.

Existen algunas recomendaciones para el diseño de engranajes cilíndricos exteriores óptimos en cuanto alpeso, como por ejemplo la propuesta norteamericana [AGMA 901]. Se trata de un problema diferente alplanteado, y con un criterio de optimización diferente, pues en el caso de las cajas reductoras para molinosde caña objeto del presente trabajo, lo decisivo es lograr que el diámetro de las ruedas dentadas anulares dedientes interiores sea mínimo, para que no supere las posibilidades de las dentadoras disponiblesactualmente en el país.

En la literatura científico-comercial se hace cada vez más frecuente encontrar que se proponen reductoresplanetarios para el accionamiento de los molinos de caña de azúcar. En los catálogos de la firma alemanaFlender [Flender 99b], se les propone como reductores de alta y baja velocidad para el accionamientodirecto del molino. La firma alemana Mannesmann los propone como reductores de alta y baja velocidadpara el accionamiento directo del molino o de cada una de las mazas del mismo por separado.

Se considera que los reductores planetarios son una alternativa a los reductores de ejes fijos de simple,doble o múltiple canal, brindando una transmisión más compacta, con las ventajas que ello conlleva enmaquinaria de grandes dimensiones. En todos los casos, por ejemplo, [Flender 99b], los fabricantes hanelegido el esquema 2RP-A, según la clasificación de Kudrâvcev, para estos reductores.

En ocasiones, algunos confunden las transmisiones combinadas hidrostático-mecánicas, y denominan“hidráulicas” a dichas transmisiones. Se trata en general de transmisiones hidrostáticas con motores de alta,media o baja velocidad, en serie con reductores planetarios. De ese modo, se logra operar la transmisiónhidrostática en su región de máxima eficiencia, y reducir el costo inicial y de operación del sistema respectoa una transmisión hidrostática pura, sin reductor.

Es importante destacar que la transmisión combinada hidrostático-mecánica es la opción propuesta porconsorcios como Mannesmann, que producen todo tipo de transmisiones hidrostáticas y mecánicas, y quepueden por ello elegir la variante más conveniente sin salirse de su programa de fabricación. La transmisiónhidrostática pura, sin reductor, es propuesta por empresas como la sueca Hägglunds, que no producentransmisiones mecánicas.

No obstante, cuando la empresa sueca de ingeniería Elof Hansson desarrolló un accionamiento directopara las mazas del central azucarero cubano Panchito Gómez Toro, hace un número de años, el sistemautilizaba una transmisión combinada hidrostático-mecánica, con motores hidrostáticos Hägglunds yreductores planetarios de la firma alemana Thyssen.

Además, es importante tener en cuenta el importante avance que han presentado en los últimos años loscontroladores de velocidad variable para los motores primarios eléctricos, sobre todo los de corrientealterna para motores de inducción asincrónicos. Con ello, la variante de transmisión mecánica pura,integrada completamente por reductores de velocidad, pasa a ser una opción de primer plano, tanto por sucosto inicial como por el costo operacional, en combinación con un sistema controlador-motor eléctrico develocidad variable.

Lo anterior demuestra que los objetivos y la estrategia del presente trabajo están en consonancia con lastendencias más fuertes de la técnica actual de los accionamientos para molinos de caña, y que, por otrolado, no se encuentran publicadas informaciones suficientes para abordar el diseño ingenieril del reductorbuscado, por lo cual existe una situación problémica que justifica la realización de una investigacióncientífico-técnica que aporte el conocimiento aplicado necesario para que las empresas de proyectocorrespondientes puedan resolver el problema planteado de manera certera y eficiente.

5

Capítulo 1Síntesis de las celdas planetariasEl reductor planetario objeto de estudio está compuesto por dos celdas planetarias y una etapa cilíndrica deejes fijos con dientes helicoidales. Según se muestra en la Figura 1.1

Por poseer este reductor dos celdas planetarias (celdas intermedia y de baja) centraremos nuestra atenciónen estás, sin dejar de tratar el engranaje cilíndrico de ejes fijos.

1.1 Transmisiones planetarias

1.1.1 Generalidades

Los mecanismos planetarios tienen como característica distintiva el movimiento de algunas de sus ruedas,conocidas como planetas ó satélites, alrededor de otra denominada sol. Este movimiento describe unatrayectoria circular equidistante del sol, lo cual determina que los ejes de dichas ruedas sean móviles conrelación a los ejes de las ruedas centrales (solar y anular ó corona). En este caso, se plantea que elmecanismo tiene un grado de libertad en el plano.

Las características de este tipo de mecanismos, en relación con los de ejes fijos son:

• Mayores relaciones de transmisión.

• Superior capacidad de carga por unidad de peso.

• Reducidas dimensiones.

Celda planetaria debaja

Celda planetariaintermedia

Etapa cilíndrica deejes fijos, alta.

Figura 1.1 Esquema cinemático del reductor propuesto

6

1.1.2 Clasificación de los mecanismos planetarios.

Según Kudrâvcev [Ku67], los mecanismos planetarios se clasifican ante todo por los elementos básicos,esto es, aquellos que reciben momento torsor externo al mecanismo. Un grupo muy importante de losmecanismos planetarios tienen como elementos básicos dos ruedas centrales y el portasatélites. Por ello, enla clasificación de Kudrâvcev [Ku67] se les denomina mecanismos planetarios tipo 2RP.

En la clasificación más reciente de los mecanismos planetarios desarrollada por Kudrâvcev [KK77] yaprobada en su momento como directiva del Comité Estatal de Normalización de la URSS, losmecanismos planetarios tipo 2RP se pueden subdividir en cuatro subtipos: A, B, C y D, según se muestraen las Figuras 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5.

Figura 1.3 Tipo 2RP-B

Planeta (2)

Figura 1.2 Tipo 2RP-A

Sol (1)

Corona (3)

Planeta (2,2’)

Sol (1)

Portasatélite (P)

Corona (3)

Portasatélite (P)

Figura 1.4 Tipo 2RP-C

Portasatélite (P)

Planeta (2,2’)

Sol (1)

Corona (3)

Figura 1.5 Tipo 2RP-D

Portasatélite (P)

Planeta (2,2’)

Sol (1)

Corona (3)

7

1.3 Cinemática de los mecanismos planetarios 2RP-A

1.3.1 Relación de transmisión

Las velocidades angulares en el movimiento absoluto del mecanismo son:

• ω1 sol.

• ω2 planeta.

• ω3 corona

• ωP porta satélite.

Teniendo en cuenta que la corona es inmóvil[bar79],

03 =ω (1.1)

Las velocidades en el movimiento inverso son:

( ) 0=−= PP

P

P ωωω (1.2)

( )P

P ωωω −= 11 (1.3)

Figura 1.6 Celda planetaria 2RP-A

ω2

ω1

ωP

Planeta

Sol

Corona

Portasatélite

8

( )P

P ωωω −= 22 (1.4)

( )P

P ωω −=3 (1.5)

Donde: (P) representa el elemento inmóvil en el movimiento inverso(el portasatélites).

Aplicando la expresión de Willis para este caso obtenemos:

P

PPiωωωω

−−=

3

1)(

13 (1.6)

Sustituyendo 1.1 en 1.6 se obtiene:

)(

131 1 P

P ii −= (1.7)

Puesto que los sentidos de las velocidades angulares del sol y la corona, en el movimiento inverso, soncontrarios, la relación de transmisión en el movimiento inverso es negativa.

1

3)(13 z

zi P −= (1.8)

1.4. Condiciones de existencia de los mecanismosplanetarios tipo 2RP-A

Este tipo de celda planetaria esta compuesta por el sol y generalmente por tres planetas o satélites. Seencuentran reductores planetarios con cuatro, cinco y seis planetas en reductores con coronas especialesflexibles que permiten una distribución uniforme de la carga.

Las condiciones de existencia de los mecanismos planetarios 2RP-A son:

• Coaxialidad.

• Vecindad.

• Montaje.

1.4.1 Condición de coaxialidad

La condición de coaxialidad se puede expresar conceptualmente como la igualdad de las distancias entrecentros de los pares Sol - Planeta y Planeta – Corona [Bar79], [Gol70]. y matemáticamente de la formasiguiente:

2312 www aaa == (1.9)

Donde: 12wa Distancia entre centros del par engranado Sol – Planeta.

23wa Distancia entre centros del par engranado Planeta – Corona.

9

El subíndice (1) identifica al sol, el (2) al planeta y el (3) a la corona.

( )12

2112 cos

cos

cos.2 tw

tnw zz

ma

αα

β+= (1.10)

( )23

2323 cos

cos

cos.2 tw

tnw zz

ma

αα

β−= (1.11)

Como en el caso que estudiamos se trata de engranajes con dientes rectos (ββββ = 0), las expresiones 1.10 y1.11 se reducen a:

( )12

2112 cos

cos

2

1

wnw zzma

αα

+= (1.12)

( )23

2323 cos

cos

2

1

wnw zzma

αα

−= (1.13)

Donde: 12twα Ángulo de engranaje del par Sol- Planeta.

23twα Ángulo de engranaje del par Planeta - Corona.

tαα , Ángulo del perfil de la herramienta en el plano transversal.

321 ,, zzz Número de dientes del Sol, Planeta y Corona respectivamente.

Igualando las expresiones 1.12 y 1.13 y teniendo en cuenta que en los planetarios 2RP-A los módulos delas ruedas engranadas son iguales y las herramientas tienen el mismo ángulo de perfil, obtenemos:

( )( ) 23

12

23

21

cos

cos

w

w

zz

zz

αα

=−+

(1.14)

Figura 1.7 Condición de coaxialidad.

a w

10

1.4.2 Condición de vecindad

La condición de vecindad determina que los círculos determinados por los diámetros de crestas entre dos

planetas contiguos, [Bar79], [Gol70]. de un total de plK planetas, no pueden hacer tangencia, Figura 1.8.

Es decir,

2' adOO > (1.15)

22' 12

γsinaOO w= (1.16)

Igualando 1.15 y 1.16.

212 22 aw dsina >γ

(1.17)

plK

πγ 2= (1.18)

2122 apl

w dK

sina >π(1.19)

1.4.3 Condición de montaje

En los mecanismos planetarios el montaje del primer planeta se puede hacer sin dificultad ya que se puedehacer girar libremente el sol respecto a la corona para tal propósito. La misma facilidad no se presentacuando se van a colocar el segundo y los restantes planetas pues la disposición relativa del sol y la coronaquedará determinada a partir del primer montaje.

Por tanto, para poder colocar más de un satélite es necesario satisfacer la llamada condición de montaje delmecanismo planetario [Bar79], [Gol70].

γ

Figura 1.8 Condición de vecindad

O

O’

11

En la Figura 1.9 se puede ver que los ángulos codyaob ∠∠ son iguales.

codaob ∠=∠ (1.20)

Y los arcos.

111 ∆∆∆∆ppQ

K

pzab

pl

+==∪ (1.21)

223 ∆∆∆∆ppQ

K

pzcd

pl

+==∪ (1.22)

Sumando las ecuaciones 1.21 y 1.22 se obtiene:

212131 ∆∆∆∆∆∆∆∆ +++=

+QQ

K

zz

pl

(1.23)

Donde: 21 ,, QQQ son números enteros.

21 ,∆∆∆∆∆∆∆∆ son números fraccionarios.

Para que se cumpla la condición de montaje, la suma de 21 ,∆∆∆∆∆∆∆∆ tiene que ser igual a la unidad

121 =+∆∆∆∆∆∆∆∆ (1.24)

QK

zz

pl

=+ 31 (1.25)

Donde: p Es el paso.

Figura 1.9 Condición de montaje

a

b

cd

pQ1

pQ2

p∆2

p∆1

o

12

1.5 Modelo de la síntesis preliminar

A partir de las expresiones anteriormente deducidas, se conforma aquí un modelo matemático que sirvacomo base para la síntesis adimensional preliminar del mecanismo planetario tipo 2RP-A. [ESS00a] Estemodelo consta de un conjunto de ecuaciones de balance, formadas por un conjunto de variables ligadasentre sí por un conjunto de relaciones, y un conjunto de restricciones, para )0( =β .

1.5.1 Ecuaciones de balance del modelo

[r1] 0coscos.2 1212* =− Σ ttww za αα

[r2] 0coscos.2 2323* =− Σ ttww za αα

[r3] ( ) 0mod31 =−+ rKzz pl

[r4] ( ) 02112 =+−Σ zzz

[r5] ( ) 02323 =−−Σ zzz

[r6] ( ) 01131 =+− pp ii

[r7] 0. 3131 =+ ziz p

[r8] ( ) 01 11 =−+ PnP ii δ

En la relación [r3], r es el resto de la división entera situada a su izquierda. En la relación [r8], δ es el

error relativo entre los valores nominal y real de la relación de transmisión del mecanismo planetario, pni1relación total nominal.

1.5.2 Relaciones y variables del modelo

El conjunto de relaciones del modelo es

,,,,,,, 87654321 rrrrrrrrR = (1.26)

Con la obvia cardinalidad

8|| =R (1.27)

El conjunto de variables del modelo es

δααα ,,,,,,,,,,,,,, 113132123122312*

Pnp

Pplttwtww iiirKzzzzzaV ΣΣ= (1.28)

Con una cardinalidad

15|| =V (1.29)

1.5.3 Restricciones del modelo

0=r (1.30)

13

1.5.4 Grafo del modelo

El grafo del modelo de la síntesis preliminar es un grafo bicromático de un solo componente, ilustrado en laFigura 1.10. El grafo del modelo está parcialmente orientado, porque las relaciones [r3] y [r7] sonasimétricas. Como resultado, las variables de entrada y salida de las relaciones antes mencionadas estánpredeterminadas desde la constitución del modelo.

Figura 1.10 Grafo del modelo de la síntesis preliminar

1.6 Situación de la síntesis preliminarSobre el modelo matemático de la síntesis preliminar, determinado anteriormente, se define el conjunto devariables de entrada siguiente:

Pnplt iKE 1,,α= (1.31)

De cardinalidad

3|| =E (1.32)

El ángulo de perfil de la cremallera de referencia sobre el plano transversal, el número de satélites y larelación de transmisión nominal son valores que deben ser bien conocidos de antemano por el diseñador delreductor objeto de estudio, y por ello se han elegido como variables de entrada.

Al definir un conjunto de variables en el modelo, queda determinada una situación. Eliminando lasvariables de entrada y sus aristas o arcos del grafo del modelo, se obtiene el grafo de la situación. El grafode la situación de la síntesis preliminar presenta un solo componente, como se puede apreciar claramente enla Figura 1.11.

z∑23

3Kpl r

z1z3

i1P 6

8

2 1

4 5

pi13

δi1Pn

z2

z∑12 αt

*wa αtw23αtw12

7

14

Figura 1.11 Grafo de la situación de la síntesis preliminar

1.6.1 Número de incógnitas de la situación

El conjunto de las incógnitas de la situación se define como

EVX \= (1.33)

De donde se obtiene el conjunto

δαα ,,,,,,,,,,, 13132123122312* p

Ptwtww iirzzzzzaX ΣΣ= (1.34)

De cardinalidad

12|| =X (1.35)

1.7 Problema de la situación preliminarSobre la situación planteada, se define el conjunto de variables de salida siguientes:

Ptwtww izzzaS 13212312* ,,,,,,, δαα= (1.36)

Este conjunto de variables de salida es aceptable, pues se cumple que

XS ⊂ (1.37)

3 r

z1 z3

i1P

7

6

8

2 1

4 5

δ

z2

z∑12 z∑12

αtw12 *wa αtw23

pi13

15

El grafo del problema es el mismo grafo de la situación pues éste último tiene un solo componente. Portanto, el conjunto de relaciones del problema es el mismo conjunto de relaciones del modelo. Esto es,

RRX = (1.38)

1.7.1 Número de grados de libertad del problema

Se determina por la expresión

|||||| XRXL −= (1.39)

La cual, en este caso, toma el valor

4812|| =−=L (1.40)

Por lo que estamos ante un problema indeterminado con 4 grados de libertad.

1.7.2 Elección de los grados de libertad del problema

,,, 12321 twzzzL α= (1.41)

Estos grados de libertad tomarán valores en los intervalos siguientes:

máx11mín1 zzz ≤≤ (1.42)

máx22mín2 zzz ≤≤ (1.43)

máx33mín3 zzz ≤≤ (1.44)

máx1212mín12 twtwtw ααα ≤≤ (1.45)

Cuyos valores límites vienen dados por las expresiones siguientes:

( )( ) 113 11 ziz mínPnmín −+= δ (1.46)

( )( ) 113 11 ziz máxPnmáx −+= δ (1.47)

12

132 −

−

=zz

z min (1.48)

12

132 +

−

=zz

z max (1.49)

ttw αα =mín12 (1.50)

otw 30max12 =α (1.51)

1.7.3 Problema determinado asociado

El problema determinado asociado se obtiene del problema indeterminado, considerando conocidos losvalores de los grados de libertad. Eliminando del grafo del problema indeterminado las variables elegidascomo grados de libertad y sus aristas, se obtiene el grafo del problema determinado asociado, Figura 1.12.

16

El grafo del problema determinado asociado consta en este caso de tres componentes.

Figura 1.12 Grafo del problema determinado asociado al problema de la síntesis preliminar

1.7.4 Pareo del problema determinado asociado

El pareo determina cuál relación calculará cuál incógnita del problema. En este caso, se logra un pareoperfecto; por lo tanto, el problema determinado asociado tiene solución. El grafo del pareo presenta trescomponentes, tal como se ilustra en la Figura 1.13.

Figura 1.13 Pareo del problema determinado asociado al problema de la síntesis preliminar

1.7.5 Resolvente del problema determinado asociado

El resolvente determina el orden en que debe ejecutarse la resolución de cada una de las relaciones delproblema, para la obtención de las incógnitas. El resolvente contiene todos los posibles algoritmos desolución del problema dado. El resolvente del problema determinado asociado al problema de la síntesispreliminar se da en la Figura 1.14. Este resolvente consta de tres componentes arbóreos (acíclicos), portanto, el problema determinado asociado tiene solución cerrada.

3 r

i1P 6

8 δ

2 1

4 5

z∑12 z∑23

*wa αtw23

pi13

7

δ

i1P

7

6

8

3 r

2 1

4 5

z∑12 z∑23

*wa αtw23

pi13

17

Figura 1.14 Resolvente del problema determinado asociado al problema de la síntesis preliminar

1.7.6 Algoritmo que soluciona el problema determinado asociado

El resolvente del problema determinado asociado contiene un grupo de algoritmos secuenciales y paralelos,todos equivalentes por sus resultados. En la Tabla 1.1 se presenta uno de tales algoritmos, en forma dediagrama de Nassi-Schneiderman. En la Tabla 1.2 se dan las restricciones que los resultados de dichoalgoritmo deben satisfacer.

Tabla 1.1 Algoritmo para el problema determinado asociado de la síntesis preliminar

rp ,31

pip 132 ,7

pip 13 ,6

δ,84p

235 ,4 Σzp

*6 ,1 Wap

127 ,5 Σzp

238 ,2 twp α

Tabla 1.2 Restricciones a considerar en el algoritmo de la Tabla 1.1

0) =ra mín) δδ ≥bmáx) δδ ≤c 1arccosarg) ≤d

3 r

i1P

7

6

8 δ 2 1

4 5

z∑12 z∑23

*wa αtw23

pi13

18

1.8 Correcciones de los engranajesAunque la determinación de las correcciones en las ruedas dentadas de los engranajes es parte de la síntesismétrica del mecanismo planetario[Bar79], [Gol70], aquí se trata este tópico independiente, por laimportancia que el mismo tiene. En la investigación realizada se ha explorado la región de búsquedaempleando tres métodos de distribución de la corrección en el engranaje sol-planeta:

a) Igualdad de deslizamiento específico.b) Igualdad de esfuerzos en el fondo del diente.c) Máxima resistencia a contacto.

Después de comparar los resultados de los tres métodos de distribución de la corrección llegamos a lasiguiente conclusión:

El criterio de igualdad de deslizamiento específico brinda los mejores resultados porque:

1. Brinda un número mayor de variantes realizables.2. Aparecen las mejores variantes geométricas, de resistencia a rotura por contacto superficial y a

fractura.

Por tanto, en lo adelante se presenta el proceso para la determinación de las correcciones en los engranajesdel mecanismo planetario 2RP-A, considerando el criterio de distribución de las correcciones de laigualdad de deslizamiento específico en el engranaje sol-satélite.

1.8.1 Ecuaciones de balance del modelo matemático

[r1] ( ) 02 121212 =−− ΣΣ ttwt invinvztanx ααα

[r2] ( ) 02 232323 =−− ΣΣ ttwt invinvztanx ααα

[r3] 01*1 =− zd

[r4] 02*2 =− zd

[r5] 0cos*1

*1 =− tb dd α

[r6] tb dd αcos*2

*2 −

[r7] ( ) 02 1***

1*

1 =−++− xchdd af

[r8] ( ) 02 2***

2*

2 =−++− xchdd af

[r9] 02.2 **1

*12

*2 =−++ wfa adcd

[r10] 02.2 **2

*21

*1 =−++ wfa adcd

[r11] 0cos *11

*1 =− baa dd α

[r12] 0cos *22

*2 =− baa dd α

[r13] ( )( ) ( )( )( ) 0/1 221 =−−−+− twatwtwap tantanutantantanu αααααθ

[r14] ( )( ) ( )( )( ) 0./1 112 =−−−+− twatwtwap tantantanutantanu αααααθ

19

[r15] 021 =− pp θθ 1

[r16] 01221 =−+ ΣΣΣΣxxx

[r17] 02323 =−− Σxxx

[r18] 01

2 =−z

zu


,...,,, 18321 rrrrR = (1.52)

18|| =R (1.53)

= ΣΣΣΣ

21*23

*12321

***2

*1

*2

*1

*2

*1

*2

*12132123122312

*2312

,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,

ppaffbba

aaattwtww

uccxxxchddddddd

dzzzzzaxxV

θθ

ααααα(1.54)

31|| =V (1.55)


El grafo del modelo presenta un solo componente, Figura 1.15.

1.8.4 Situación, problema y pareo

*23

*12

**32123122312

* ,,,,,,,,,,,, ccchzzzzzaE attwtww ΣΣ= ααα (1.56)

13|| =E (1.57)

Sobre la situación planteada, se define el conjunto de variables de salida siguientes:

211321 ,,,,, pppxxxS θθθ= (158)

Este conjunto de variables de salida es aceptable, pues se cumple que:

XS ⊂Grados de libertad del problema del problema.

01818|||||| =−=−= XRXL (1.58a)

Se trata por tanto de un problema determinado, para el cual existen dos pareos perfectos.

1.8.5 Grafo del resolvente

El grafo del resolvente correspondiente a uno de los dos pareos perfectos presenta un solo componente, ytiene carácter mixto, esto es, tiene una parte arbórea y otra cíclica, Figura 1.16.

1 21 , pp θθ Coeficiente de deslizamiento especifico en el punto p del perfil activo.

20

1.8.6 Algoritmo del problema

Uno de los dos algoritmos que resuelven el problema de las correcciones se da en la Tabla 1.3, en forma deun diagrama de Nassi-Schneiderman. En la Tabla 1.4 se dan las restricciones a que deben someterse losresultados del algoritmo de la Tabla 1.3. Tanto este algoritmo como el de la síntesis preliminar seprogramaron en el lenguaje de programación C, según la norma ISO vigente a nivel internacional.Trabajando con dicho programa se obtuvo un conjunto prácticamente completo de variantes demecanismos 2RP-A cinemáticamente satisfactorios.

Figura 1.15 Grafo del modelo de las correcciones

16 x2

zΣ12

xΣ12

αt θtw23

θtw12

2 1

zΣ23

xΣ23

17

3 4

z2 z1

18

u

x1

*1d

*2d

8 7 x3

*

1fd *

2fd C*

*ah

*

2ad *1ad

10 9

*12c

*21c

*wa

5 6

11 12 2aα

1aα

*1bd

*2bd

13 14

twα

2pθ 1pθ

15

21

Figura 1.16 Grafo resolvente del problema de las correcciones

16 x2

xΣ12

2 1

xΣ23

17

3 4 18

u

x1

*1d

*2d

8 7 x3

*

1fd *

2fd

*

2ad *1ad

10 9

5

6

11 12 2aα 1aα

*1bd

*2bd

13 14

2pθ 1pθ

15

22

Tabla 1.3. Algoritmo del problema de las correcciones

121 ,1 Σxp

232 ,2 Σxp

*13 ,3 dp

*24 ,4 dp

*15 ,5 bdp

*26 ,6 bdp

127 ,18 up

18 , xp −

29 ,16 xp

*210 ,8 fdp

*111 ,10 adp

112 ,11 ap α

213 14 pp θ

114 15 pp θ

215 ,13 ap α

*216 ,12 adp

*117 ,9 fdp

118 ,7 xp

ε≤|| 9r2

319 ,17 xp

2 Precisión del cálculo.

23

Tabla 1.4. Restricciones a los resultados del algoritmo de la Tabla 1.3

*mín

*2) nana ssa ≥ *

2*

2) fa ddc ≥

*1

*1) fa ddb > *

mín*

1) nana ssd ≥

Donde: ,2,1 nana ss grosores de los dientes en las cabezas (sol - planeta ) o (planeta -corona).

*namins grosor mínimo pemisible.

1.9 Completamiento geométrico de los engranajessol-planeta y planeta-corona

1.9.1 Recapitulación

En la síntesis métrica del mecanismo planetario se obtuvieron para sus engranajes los parámetroscinemáticos siguientes:

;,,,,, 321321 xxxzzz además, 2312 , twtw αα

Ahora corresponde completar la geometría y la cinemática de tales engranajes, para lo cual es precisoconocer los parámetros delas herramientas de maquinado.

1.9.2 Herramientas para el maquinado

Estas ruedas se pueden maquinar con una cremallera herramienta o con piñón mortajador.

Datos de la cremallera de referencia: *** ,,,, fPan chm ρα y Cremallera herramienta:

** ,,, fPfPn hm ρα

Datos del piñón mortajador:

Diámetro de cresta: , Corrección: 0x , Número de dientes: .0z

1.9.3 Modelo matemático del completamiento geométrico

Se ha desarrollado un modelo matemático generalizado (único) para calcular los pares sol-planeta yplaneta- corona.

En el cálculo del par sol – planeta, designaremos todos los parámetros del sol con el número (1) y alplaneta con el número (2).

En el cálculo del par planeta – corona designaremos todos los parámetros del planeta como (1) y a lacorona como (2); en el caso de la corona cambiaremos el signo del número de dientes (z2) y de lacorrección (x2).

Distancia entre centros sol planeta (Planeta – Corona)

Sin corrección.

24

( )2112 cos.2zz

ma +=

β (1.59)

Con corrección.

( )12

2112 cos

cos

cos.2 tw

tw zz

ma

αα

β+= (1.60)

Donde:

21, zz Número de dientes del Sol y del Planeta (Planeta – Corona).

12twα Ángulo de engranaje del par Sol – Planeta (Planeta – Corona).

tα Ángulo del perfil en el plano transversal.

β Ángulo de la hélice.

Diámetro de referencia

zm

dβcos.21 =

(1.61)22 cos.2

zm

dβ

= (1.62)

Diámetro básico

tb dd αcos11 = (1.63) tb dd αcos22 = (1.64)

Diámetro primitivo

1211 cos

cos

tw

tw dd

αα

= (1.65)12

22 cos

cos

tw

tw dd

αα

= (1.66)

Diámetro de fondo

( )[ ]

−

−+−=

0101

1**

11

2

.

.22

.

aw

af

da

PMconMaquinado

mxchd

CHconMaquinado

d (1.67) ( )[ ]

−

−+−=

0202

2**

22

2

.

.22

.

aw

af

da

MPconMaquinado

mxchd

Planeta

CHconMaquinado

d (1.68)

Distancia entre centros de maquinado sin corrección

( )1001 cos.2

.zz

ma +=

β(1.69) ( )2002 cos.2

.zz

ma +=

β(1.70)

Distancia entre centros de maquinado con corrección

( )01

1001 cos

cos

cos.2

.

tw

tw zz

ma

αα

β+= (1.71) ( )

022002 cos

cos

cos.2

.

tw

tw zz

ma

αα

β+= (1.72)

Ángulo de engranaje para el maquinado

25

ααα tanzz

xxinvinv ttw

10

1001 +

++= (1.73) ααα tan

zz

xxinvinv ttw

10

1002 +

++= (1.74)

Coeficiente de desplazamiento compensatorio en el engranaje

yxy −=∆ Σ 1212 (1.75)m

aay w 12

12

−= (1.76)

Coeficiente de desplazamiento compensatorio en el engranaje con el piñón mortajador

010101 yxy −=∆ Σ (1.77)m

aay w 0101

01

−= (1.78)

020202 yxy −= ΣΣΣΣ∆∆∆∆ (1.79)m

aay w 0202

02

−=

(1.80)

Diámetro de cresta

El diámetro de cresta es un parámetro del engranaje, las expresiones de calculo están en relación directacon la herramienta que se utilice para la elaboración de las ruedas.

( )[ ]

( )[ ]

∆+∆−++

∆−++

−

=

myyxhd

CoronalaóPlanetadelMPconMaquinado

myxhd

PlanetaSolparelCHconMaquinaseSi

d

a

aa

..2

.

..2

.

02121*

1

121*

11 (1.81)

( )[ ]

( )[ ]

∆+∆−++

∆−++

−

=

myyxhd

planetaeloSolelPMconMaquinaseSi

myxhd

PlanetaSolparelCHconmaquinaseSi

d

a

aa

..2

.

..2

..

01122*

2

122*

22 (1.82)

Angulo de perfil en la cresta

0cos1

11 =

−

a

ba d

darcα (1.83)

0cos2

22 =

−

a

ba d

darcα (1.84)

Coeficiente de recubrimiento transversal

( ) ( )π

ααααεα 212221211

12twatwa tantanztantanz −+−

= (1.85)

26

Coeficiente de recubrimiento axial

En este caso como los dientes son rectos ( )0=β

0.

==m

sinbw

πβε β (1.86)

Espesor del diente sobre la circunferencia de referencia

( )απ tanxmsn 11 .2.5.0 += (1.87) ( )απ tanxmsn 22 .2.5.0 += (1.88)

Espesor normal de cresta de los dientes

−+= 1

1

111 at

nana invinv

d

sds αα (1. 89)

−+= 2

2

222 at

nana invinv

d

sds αα (1.90)

Puntos característicos del perfil de evolvente

1. El perfil de evolvente tiene dos puntos característicos. Fig. 1.17.

• El punto límite inferior (L).

• El punto límite superior (g), generalmente coincide con el punto(a) situado en la intersección del

perfil con la circunferencia de cresta.

2. El perfil de evolvente tiene además, dos puntos límites del perfil activo Fig. 1.18.

El punto inferior del perfil activo (p).

El punto superior del perfil activo (h), normalmente el punto h coincide con el punto a

Radio de curvatura del punto superior del perfil activo

11

1 2 aa

a sind αρ = (1.91) 2

22 2 a

aa sin

d αρ = (1.92)

p

h(a)

g(a)

L

Fig. 1.17 Perfil de evolvente Fig. 1.18. Engranaje de evolvente

27

Radio de curvatura del punto inferior del perfil activo (p)

2121 . atwwp sina ραρ −= (1.93) 1122 . atwwp sina ραρ −= (1.94)

Radio de curvatura del punto inferior del perfil de evolvente (L) del piñón sol

( )

−

−−−−

−

=

2

..

/.12

.

000101

11

1

aatww

fPfPt

L

sindsina

MortajadorPconMaquinado

sinmxsinhsind

PlanetaSolCHconMaquinado

αα

ααρα

ρ (1.95)

Radio de curvatura del punto inferior del perfil de evolvente (L) del piñón planeta

( )

−

−−−−=

2

.

/.12

.

000202

22

2

aatww

fPfPt

L

sindsina

mortajadorpiñónCon

sinmxsinhsind

aherramientcremalleraCon

αα

ααρα

ρ (1.96)

21ad

22ad

O1

O1

a w12

2aρa1

a2

1aρ

1pρ

2pρ

Fig. 1.20. Engranaje planeta - corona

O2

1pρ

O2

a2

a1

1aρ

2pρ

Fig. 1.19 Engranaje sol - planeta

2aρ

twα

2aα

1aα

22bd

21ad

21bd

22bd

21bd

28

Control de interferencia

Para que no exista interferencia entre los perfiles en contacto tienen que cumplirse las cuatro condicionessiguientes:

01 >pρ (1.97) 11 pL ρρ < (1.99)

02 >pρ (1.98) 22 pL ρρ < (1.99a)

Control de socavado

Para que no exista socavado de los perfiles en el proceso de fabricación tienen que cumplirse las siguientescondiciones, (En la corona nunca ocurre el socavado).

01 >lρ (1.100)

02 >lρ (1.101)

Control de continuidad en el contacto entre los perfiles engranados

Para 0=β

1.1≥αε (1.102)


El conjunto de relaciones del modelo es:

=90.1,89.1,88.187.1,85.184.1,83.1,82.1,81.1,76.1,75.1

,68.1,67.1,66.1,65.1,64.1,63.1,62.1,61.1,60.1,59.1R (1.103)


21|| =R (1.104)

El conjunto de variables del modelo es

∆∆

∆= Σ

1221121221212102

01002011221*

12

122122112121

,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,

αεαααααβ

zzyyssssy

ydaaxxxch

maadddddddddd

V

anannnaa

awwatwt

nwaawffwbb

(1.105)


38|| =V (1.106)


Se ilustra en la Figura 1.21. Es un grafo de un solo componente.

29

Figura 1.21. Modelo del completamiento geométrico

β

aw12

1.621.63

1.65 1.66

dw1 dw2

1.68

x1 h*a

y12

C*

aw01

aw02

df2

da0

df1

1.76

1.75

∆y02

α

db2

x2

a12

∆y12

xΣ12

1.81

da1 da2

1.841.83

αa2αa1

εα12

1.87

Sn1

1.88

Sn2

1.89

1.61

1.59

z21.64

m

db1

1.82

d2

αt

αtw12

1.85

1.60

1.90

1.67

Sna2

Sna1

d1

z1

∆y01

30

1.9.5 Situación

El conjunto de variables de entrada es

∆∆=

Σ 2102010020112

21**

12

,,,,,,,

,,,,,,,,,||

zzyydaax

xxchmE

aww

atwtn αααβ(1.107)


17|| =E (1.108)

Determina una situación con un conjunto de incógnitas

∆=

121221212112

2122112121

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

αεαα yyssssaa

ddddddddddX

anannnaaw

aawffwbb(1.109)


21|| =X (1.110)

El grafo de este pareo tiene un solo componente.

1.9.6 Problema del completamiento geométrico

Sobre la situación planteada en el punto inmediatamente anterior, se establece el conjunto de variables desalida siguiente

=12212121

22112121

,,,,,,

,,,,,,,,

αεαα ananaaaa

wffwbb

ssdd

ddddddddS (1.111)

El cual es aceptable porque

XS ⊂ (1.112)

Con lo cual queda planteado el problema del completamiento geométrico de los engranajes del mecanismoplanetario tipo 2RP-A.

Este problema tiene un número de grados de libertad

02121|||||| =−=−= XRXL (1.113)

Por tanto, se trata de un problema compatible determinado. El grafo del problema es el mismo grafo de lasituación, pues éste tiene un sólo componente.

1.9.7 Pareo y resolvente del problema del completamiento geométrico

Hay un pareo perfecto único para el problema determinado planteado. Esto da lugar a un resolventearbóreo único para el problema determinado planteado. El grafo de este resolvente se da en la Figura 1.22.

1.9.8 Algoritmo para el problema del completamiento geométrico

Se da en la Tabla 1.5, en forma de un diagrama de Nassi-Schneiderman. En la Tabla 1.6 se dan lasrestricciones que se aplican a los resultados del algoritmo de la Tabla 1.5.

31

Figura 1.22. Resolvente del problema del completamiento geométrico

1.60

aw12

1.62

1.67

1.65 1.66

d1 d2db1

dw1 dw2

1.68

y12

df2 df1

1.76

1.75

1.64

db21.59

a12

1.81da1 da2

1.83

αa2αa1

εα12

1.87

sn11.88

Sn2

1.89

Sna2

Sna1

∆y12

1.61

1.82

1.90

1.85

1.63

1.84

32

Tabla 1.5 Algoritmo para solucionar el problema delcompletamiento geométrico de cada par dentado

121 ,59.1 ap

122 ,60.1 wap

13 ,61.1 dp

24 ,62.1 dp

15 ,63.1 bdp

26 ,64.1 bdp

17 ,65.1 wdp

28 ,66.1 wdp

19 ,67.1 fdp

210 ,68.1 fdp

1211 ,75.1 yp

1212 ,76.1 yp ∆

113 ,81.1 adp

214 ,82.1 adp

115 ,83.1 ap α

216 ,84.1 ap α

1217 ,85.1 αεp

118 ,87.1 nsp

219 ,88.1 nsp

120 ,89.1 nasp

221 ,90.1 nasp

33

Tabla 1.6 Restricciones que se aplican a losresultados del algoritmo de la Tabla 1.5

;01 >pρ ;02 >pρ

;11 pL ρρ < ;22 pL ρρ <

;01 >Lρ ;02 >Lρ

;1.1≥αε

1.10 Radios de curvatura y parámetros de maquinadode los engranajes sol – planeta y planeta-corona


De (1.69) y (1.71) se obtiene

010101 cos

cos

tw

tw aa

αα= (1.114)

De (1.70) y (1.72) se obtiene

020202 cos

cos

tw

tw aa

αα= (1.115)

Las relaciones del modelo matemático en este caso forman el conjunto

=115.1,114.1,96.1,95.1,94.1,93.1,92.1,91.1

,80.1,79.1,78.1,77.1,74.1,73.1,70.1,69.1R (1.116)

16=R (1.117)

Y las variables del modelo forman el conjunto

∆∆

=

ΣΣ ,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,

02010201002012100

02010**

0201020121

12212121212121

yyyyxxxzzz

aadmhaaxx

adddd

V

a

atfPfPtwtwww

twwLLppaaaaaa

βαααραα

αρρρρρραα

(1.118)

40|| =V (1.119)


Se trata de un grafo bicromático de un solo componente, ilustrado en la figura 1.23.

34

Figura 1.23. Grafo del modelo de los radios de curvatura y parámetros de maquinado

∆y01 ∆y02

xΣ02

αa1

αtw

d2

ρp1

aw12 d1

1.91

da1

ρa1

αa2 da2

ρa21.94

ρp2

αt α *fPh

*fPρ m

x2 x1

ρL2ρL1

da0

aw01aw02

αa0

αtw01

αtw02

1.69 1.70 β

z0

z1 z2

a01

a02

1.73

x0

1.1141.115

1.78 1.80

y02 y01

1.79

xΣ01

1.92

1.93

1.95 1.96

1.74

1.77

35

1.10.3 Situación

El conjunto de variables de entrada

= ΣΣ

βαααρααα

,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

02100**

021

0201212121

zzzdmhxxx

xxaddddE

aatfPfP

twwaaaa(1.120)

24|| =E (1.121)

Determina el conjunto de incógnitas

=

,,,,,

,,,,,

,,,,,,

0201020102

0102010201

212121

yyyya

aaaX twtwww

LLppaa

∆∆∆∆∆∆∆∆αα

ρρρρρρ(1.122)

16|| =X (1.123)

Con ello, queda definida una situación cuya estructura se representa por un grafo bicromático de cuatrocomponentes, ilustrado en la Figura 1.24.

1.10.4 Problema de los radios de curvatura y parámetros de maquinado

Se define un conjunto de variables de salida

∆∆=

020102010201

0201212121

,,,,,

,,,,,,,,

yyyy

aaS

twtw

wwLLppaa

ααρρρρρρ

(1.124)

El cual es aceptable por estar contenido completamente en el conjunto de las incógnitas. Esto es,

XS ⊂ (1.125)

Queda definido de esta forma un problema computacional, cuyo grafo tiene cuatro componentes, todas ellascontentivas de variables de salida. Por tanto, el conjunto de relaciones del problema coincide con el delmodelo. Así, el número de grados de libertad del problema es

01616|||||| =−=−= XRXL (1.126)

Se trata por tanto de un problema compatible determinado, cuya solución, si existe, es única.

1.10.5 Pareo y Resolvente del problema

El problema admite un pareo perfecto, y por tanto tiene solución. El resolvente del problema se representapor un grafo bicromático de cuatro componentes, ilustrado en la Figura 1.25. Todos estos componentes sonarbóreos, esto es, acíclicos.

1.10.6 Algoritmo del problema

Se da en la Tabla 1.7 uno de los posibles algoritmos que resuelven el problema de los radios de curvatura ylos parámetros de maquinado, en forma de un organigrama estructurado de Nassi-Schneiderman. Es unalgoritmo lineal, sin ciclos.

36

Figura 1.24. Situación de los radios de curvatura y parámetros de maquinado

Figura 1.25. Resolvente del problema de los radios de curvatura y parámetros de maquinado

ρp11.92 ρa2

1.96

1.93

1.95

1.91 ρa11.94 ρp2

ρL2ρL1

aw02

αtw01

αtw02

1.69

1.70

a01

a021.73

1.74

1.1141.115

1.78 1.80

y02

y01

1.77

1.79

∆y01

∆y02

aw01

ρp11.92 ρa2

1.96

1.93

1.95

1.91 ρa11.94 ρp2

ρL2ρL1

aw02

αtw01

αtw02

1.69

1.70

a01

a021.73

1.74

1.1141.115

1.78 1.80

y02

y01

1.77

1.79

∆y01

∆y02

aw01

37

Tabla 1.7. Algoritmo para solucionar el problema de los radiosde curvatura y los parámetros de maquinado

1! ,91.1 ap ρ

22 ,94.1 pp ρ

23 ,92.1 ap ρ

14 ,93.1 pp ρ

015 ,69.1 ap

016 ,114.1 wap

017 ,73.1 twp α

18 ,95.1 Lp ρ

019 ,78.1 yp

0110 ,77.1 yp ∆

0211 ,70.1 ap

0212 ,115.1 wap

0213 ,74.1 twp α

214 ,96.1 Lp ρ

0215 ,80.1 yp

0216 ,79.1 yp ∆

1.11 Recortado en la coronaPuede ocurrir recortado en la cresta de los dientes de la corona durante el avance radial del piñónmortajador, Figura 1.26.

No existe recortado nunca si se cumple la condición siguiente:

2

0

2

0

z

z

d

d

a

a < (1.127)

38

En cambio, si se cumple la condición

2

0

2

0

z

z

d

d

a

a ≥ (1.128)

Entonces no ocurre recortado si:

( )máx02'02 µµ > (1.129)

Y tampoco si:

( ) ( )00202'02 ≥∧< δµµ máx (1.130)

Donde

−−=

002

202

20

22

máx024

4cos

aw

waa

da

addarcµ (1.131)

da2

γ02

δ02

O2

O0

Fig. 1.26 Recortado en la corona.

µo2

(dao/da2)µo2

da02

39

−

−=

1

1

cos

20

22

20

22

'02

z

z

d

d

arc

a

µ (1.132)

( )máx02'0202 ,mín µµµ = (1.133)

022

020

2

002 1 twaa inv

z

zinvinv

z

zαααγ

−+−= (1.134)

0222

002

2

002 . γµµδ +

−= o

a

a sind

dsinarc

z

z (1.135)

1.11.1 Modelo

135.1,134.1,133.1,132.1,131.1=R (1.136)

5|| =R (1.137)

2022,

222222 ,,,,,,,,,,, omaxoootwoaaooaao zzddV δγµµµααα= (1.138)

12|| =V (1.139)

El grafo del modelo matemático del recortado de la corona se da en la Figura 1.27. Este grafo tiene un solocomponente.

1.11.2 Situación

2222 ,,,,,, twoaaooaao zzddE ααα= (1.140)

7|| =E (1.141)

202max2,22 ,,,, ooooX δγµµµ= (1.142)

5|7||12|| =−=X (1.143)

1.11.3 Problema

2oS δ= (1.144)

055|||| =−=−= XRXL (1.145)

Problema compatible determinado, con cero grados de libertad. El resolvente de este problema se da en laFigura 1.28. Se trata de un problema con resolvente de un solo componente, y acíclico. Por tanto, es unproblema con solución cerrada.

40

Figura 1.27 Modelo del recortado en la corona.

Figura 1.28 Resolvente del recortado en la corona.

1.11.4 Algoritmo

El algoritmo correspondiente al resolvente de la Figura 1.28 se da en la Tabla 1.8.

Tabla 1.8 Algoritmo para resolver elproblema del recortado de la corona.

map 021 ,131.1 µ

'022 ,132.1 µp

023 ,133.1 µp

024 ,134.1 γp

025 ,135.1 δp

1.12 Interferencia en el engranaje planeta-coronaEl conjunto de expresiones 1.127 hasta 1.135 es válido para el cálculo de la interferencia entre el planeta yla corona. Basta sustituir los parámetros de piñón mortajador por los parámetros del planeta. En vez deocurrir recortado de los flancos de la corona por los flancos cortantes del mortajador, ocurrirá interferenciaentre los flancos del planeta y la corona.

1.131 1.132

1.133

µ’o2

µo2 γo2 1.134

1.135 δo2

µo2max

da2 dao awo2 z2zo

1.131 1.132

1.133

µo2max µ’o2

µo2

αtwo2

αa2

1.134

δo2

γo2

1.135

41

Capítulo 2 Resistencia a la picadura de los engranajes Como se explicó en el Capítulo 1, el reductor consta de tres etapas, dos de ellas de tipo planetario: baja e intermedia, y una etapa cilíndrica de ejes fijos. Las etapas planetarias del reductor están conformadas por pares de engranajes de dientes exteriores e interiores, por lo que, a lo largo de este capítulo nos referiremos de forma general a los métodos de cálculos fundamentales aplicados a engranajes cilíndricos haciendo las aclaraciones pertinentes en cada caso, particularizando sólo cuando sea necesario.

Sin excepción, todos los investigadores coinciden en que los cálculos fundamentales aplicables a engranajes cilíndricos contenidos en reductores de velocidad cerrados son:

• El cálculo a la picadura. • El cálculo a la fractura.

En este capítulo desarrollaremos el primer cálculo, dejando el segundo cálculo para el tercer capítulo.

Al abordar los contenidos nos hemos basado en las normas fundamentales publicadas y aprobadas por los organismos internacionalmente reconocidos como la ISO ([ISO 6336-1] a la [ISO 6336-5]), la DIN [DIN 3990], [ISO 1328] y la AGMA [AGMA 2001]. También se consultaron catálogos de prestigiosas firmas productoras de reductores [Flender 99b], [Echesa 99], [Lohmann 88] entre otras, así como en un conjunto de tesis de doctorado [Esc82], [Rey99], [Wel99], [Del88], tesis de maestría [Noa99], [Sor98] y artículos publicados [ET84], [ETC00];

2.1 Condición de resistencia al contacto Para que una transmisión resista a la picadura, [ISO 6336-2], tiene que cumplirse la condición siguiente:

),( 21 HPHPH min σσσ ≤ (2.1)

Donde

αβσσ HHVAHOH KKKK= (2.2)

uu

bdF

ZZZZw

tEHHO

1

1

1 += βεσ (2.3)

Siendo:

σH es el esfuerzo actuante de Hertz.

σHO es el esfuerzo básico de Hertz.

σHP es el esfuerzo permisible de Hertz.

Ft1 es la fuerza tangencial en el cilindro de referencia.

d1 es el diámetro del cilindro de referencia del piñón.

bw es el ancho de contacto del engranaje.

u es la razón de engranaje.

42

2.2 Determinación del esfuerzo básico

2.2.1 Factor de zona

twt

bH tan

Zαα

β2cos

cos.2= (2.4)

Donde se aprecia que el factor ZH disminuye con el aumento de los ángulos αtw y β y que aumenta con el crecimiento del ángulo de perfil de la herramienta.

2.2.2 Factor de recubrimiento

α

ββ

αε ε

εε

ε+−

−= )1(

34

Z Para βε < 1 (2.5)

34 α

εε−

=Z Para βε ≥ 1 (2.6)

El crecimiento de los coeficientes de recubrimiento εα y εβ provoca la disminución del factor de recubrimiento.

2.2.3 Factor del ángulo de hélice

ββ cos=Z (2.7)

El crecimiento del ángulo de la hélice hace disminuir el factor helicoidal.

2.2.4 Factor de elasticidad

−+

−=

2

22

1

21 11

1

EE

Z E ννπ

(2.8)

Donde:

ν1, ν2 son los coeficientes de Poisson de los materiales del piñón y la rueda.

E1, E2 son los módulos de elasticidad de los materiales del piñón y la rueda.

Aunque todos los aceros no tienen el mismo módulo de elasticidad, sus valores oscilan en un intervalo estrecho, por lo cual se trabaja con un valor medio. Por tanto, si se emplean aceros como materiales para las ruedas dentadas, este factor tendrá un valor único, variando sólo cuando se cambien o combinen materiales con diferentes módulos de elasticidad.

43

2.2.5 Esfuerzo básico de Hertz

Expresando la ecuación 2.3 en otra forma, se obtiene

u

uzm

TZZZZ

bdEHHO

1).(.2

31

1 +=

ψσ βε (2.9)

donde

1d

bWbd =ψ (2.10)

El aumento o disminución del módulo o el número de dientes o ambos a la vez hace que el esfuerzo básico disminuya de forma significativa, el aumento de la relación ψbd y u también disminuyen el esfuerzo básico pero en menor cuantía.

2.3 Factores de influencia sobre el esfuerzo básico

2.3.1 Factor de aplicación de la carga KA

El factor KA depende de la dinámica del motor primario y de la máquina accionada. Para el caso de reductores para molinos de caña de azúcar, la AGMA [AGMA 6110] plantea las siguientes condiciones de diseño de los reductores, para KA = 1:

• Una vida útil de 10 000 h.

• Un coeficiente de seguridad a la picadura SH = 1.

• Un coeficiente de seguridad a la fractura SF = 1.

El reductor se elige para transmitir un momento torsor nominal:

TKT AN = (2.11)

donde : T es el momento medio actuante en el árbol del reductor.

Para los molinos de caña se establece por la AGMA[AGMA 6110]:

KA = 1.75 (2.12)

2.3.2 Coeficiente de carga dinámica KV

En el coeficiente de carga dinámica influyen dos aspectos esenciales:

1. El diseño del engranaje

2. Los errores de fabricación del engranaje.

El coeficiente de carga dinámica se puede expresar de la forma siguiente.

44

t

tDIV F

FFK

+= (2.13)

Donde:

FDI Carga dinámica interna.

Ft Fuerza tangencial.

Los parámetros que influyen en la carga dinámica interna son:

De diseño.

• Velocidad tangencial. • Carga sobre el diente. • Inercia y rigidez de los elementos en rotación • Variación de la rigidez. • Propiedades de la lubricación. • Rigidez de los rodamientos y de la caja. • Velocidades crítica y vibraciones internas del engranaje.

De fabricación.

• Desviaciones en el paso. • Desviación de la superficie de referencia con respecto al eje de rotación. • Desviaciones en los flancos del par engranado. • Desbalance de los elementos giratorios.

Aún cuando el momento torsor de entrada sea constante, existirán cargas dinámica producto de la transmisión de errores que provocan una frecuencia de excitación. Cuando ésta frecuencia de excitación o sus armónicos están cerca de la frecuencia de resonancia se producen cargas dinámicas altas que pueden traer coeficientes de cargas dinámicas altos para la transmisión [Hid76a], [Hid76b], [Hid79c].

La frecuencia de resonancia vale

redE m

Cz

nγ

π 1

3

1 .10.30

= (2.14)

donde mred es la masa reducida del par engranado y γC rigidez del engranaje.

df

di

da

Figura 2.1 Definición de los diámetros en ruedas no macizas

45

21

21.mm

mmmred +

=

(2.15)

2,14

2,122,1

42,1

2,1 )1(8

ρπ

qd

dm

b

m −⋅

= (2.15a)

2,1

2,112

m

i

d

dq = (2.15b)

22,12,1

12fa

m

ddd

+= (2.15c)

Donde el subíndice 1 señala la masa equivalente del piñón y el 2 la de la rueda, sobre la línea de engranaje. En el caso de las etapas planetarias.

solplapl

solplared mmK

mmm

+=

. (2.16)

Los subíndices sol y pla (planeta), indican las masas del sol y del planeta respectivamente y Kpl el número de planetas en la etapa.

La razón de resonancia

γπ

Cmzn

nn

N red

E 30000. 11

1

1 == (2.17)

donde: n1 velocidad angular del sol o el planeta.

En la razón de resonancia no esta incluido el efecto de rigidez de los árboles, rodamientos y caja por esto se define el rango de resonancia con cierta amplitud, por razones de seguridad. .

Donde el límite superior de la zona de resonancia es:

15.1=SupN (2.18)

Y el límite inferior de la zona de resonancia está determinado por las condiciones siguientes: Si:

N/mmbKF

W

At 100< (2.19)

entonces W

AtInf b

KFN

⋅+=

10035.05.0 (2.20)

Si: N/mmbKF

W

At 100> (2.21)

entonces

85.0=InfN (2.22)

El cálculo de KV depende directamente de la zona de resonancia.

• Zona subcrítica. N < NS

• Zona de resonancia NS inf < N ≤ 1.15

• Zona intermedia 1.15 < N ≤ 1.5

46

• Zona supercrítica N > 1.5

Teniendo en cuenta que la mayoría de los reductores industriales operan en la zona subcrítica.

KV = (N.K) + 1 (2.23)

Donde:

K = (CV1.Bp) +(CV2.Bf) +(CV3.Bk) (2.24)

Los coeficientes CV1, CV2, CV3 que tienen en cuenta las desviaciones en el paso el perfil y las variaciones de la rigidez, mientras que Bf, Bp y Bk tienen en cuenta las desviaciones de los dientes y la modificación del perfil y su efecto sobre la carga dinámica[ISO-6336-2], [AGMA 2002].

El cálculo de la rigidez del engranaje (Cγ ) se expone el epígrafe 2. 3. 3

El cálculo de la rigidez del engranaje está basado en el estudio de la rigidez en una rueda dentada de disco sólido, tallada con una herramienta con un perfil básico asumiendo una carga especifica Ft /bW = 100 N/mm. Usando este método se obtuvo la rigidez teórica, luego, modificada por coeficientes experimentales para obtener la rigidez del engranaje.

De las ecuaciones 2.21 y 2.22 se pueden sacar las siguientes conclusiones:

Para obtener un bajo coeficiente de carga dinámica es necesario disminuir:

• La razón de resonancia.

• El coeficiente K

Logrando que el engranaje trabaje fuera de la zona de resonancia de ser posible subcrítica, lo que en el caso del reductor objeto de estudio se logra para todas las etapas.

2.3.3 factor de distribución longitudinal de la carga K Hβ

Por definición es el coeficiente que tiene en cuenta la distribución no uniforme de la carga en el ancho del engranaje. Sobre la distribución no uniforme de la carga influyen los aspectos siguientes:

1.50

1.15

N

1.80

0.85

20

0.50

100

0.30

Rango subcrítico

Rango principal

Rango intermedio

Rango supercrítico

200 N/mm

Figura 2.2 Intervalos de resonancia

47

• Exactitud en la fabricación de los dientes del engranaje. • Alineación de los ejes de rotación de las ruedas engranadas. • Deflexiones elásticas de los elementos vinculados al engranaje, árboles, rodamiento, caja, etc. • Holguras en los rodamientos. • El contacto Hertziano y las deformaciones en las superficies de los dientes. • Deformaciones térmicas. • Deflexiones centrífugas debido a la velocidad de operación. • La modificación de la hélice. • Cargas adicionales, como pueden ser las que produzcan transmisiones por cadena, polea, correa etc.

Para determinar el factor KHβ se asumieron los aspectos siguientes:

• El piñón tiene una posición simétrica con relación a los rodamientos. • Las holguras de los rodamientos son de tal magnitud (pequeñas) que se pueden ignorar. • El diámetro del árbol es igual o algo menor que el diámetro de fondo del piñón. • Las magnitudes de deformación de la caja y las holguras de los rodamientos no se tienen en cuenta. • Sólo se usará el momento torsor sobre el árbol del piñón para determinar la carga sobre los dientes y la

reacción de los rodamientos sobre el árbol. • El factor yβ es proporcional a la desalineación equivalente en el engranaje Fβx. • La razón de ancho con relación a la altura del diente b/h ≤ 12 • El patrón de contacto [6336-1]con bcal / bw > 1 donde KHβ ≤ 2

Determinación de KHβ para transmisiones planetarias tipo 2RP-A

En el engranaje sol-planeta:

Con planetas montados en rodamientos:

w

ma

w

pla

pla

W

sol

wplH bFm

fC

b

l

db

db

KE

CK

/.2

.

127

2.12.53

40001

42 γχγχ

πβ

ββ +

−

+

+= (2.25)

En el engranaje planeta-corona:

wm

ma

w

pla

pla

wH bF

fC

b

l

db

EC

K/212

73

80001

4

γβββ

χγχ

π+

−

+= (2.26)

VAtm KKFF .= (2.27)

Donde:

Cγ es la rigidez del engranaje.

E es el módulo de elasticidad reducido.

bw ancho de contacto.

Kpl número de planetas.

dpla diámetro de referencia del planeta.

lpla distancia al centro de los rodamientos del planeta.

χβ Factor de asentamiento de la superficie de referencia.

fma Desalineación del engranaje debido a errores en la fabricación.

48

bcal Ancho convencional de cálculo del engranaje.

El concepto del ancho convencional de cálculo del engranaje se explica gráficamente en las Figuras 2.3, 2.4 y 2.5. La Figura 2.3 representa un engranaje no sometido a carga alguna, por lo cual el ancho convencional del engranaje es nulo. En la Figura 2.4 se muestra el caso de un engranaje alineado y poco cargado, o bien de un engranaje desalineado y pesadamente cargado. La Figura 2.5 representa un engranaje alineado y bien cargado.

Es de suma importancia en las transmisiones de engranajes cilíndricos minimizar el coeficiente de distribución longitudinal de la carga, tanto en transmisiones de ejes fijos como de ejes móviles.

Lo anterior se logra influyendo sobre los dos últimos sumandos de las expresiones (2.25) y (2.26), a través de los parámetros de diseño que aparecen en las mismas, los cuales son factibles de modificar en función de lograr la optimización de la transmisión.

El tercer sumando en las expresiones (2.25) y (2.26) tiene una gran influencia sobre el coeficiente de distribución longitudinal de la carga, no así el segundo sumando, que por lo general se mantiene en valores sumamente pequeños.

.

Figura 2.3 Engranaje sin carga aplicada al mismo.

Fβy

b

Figura 2.4 Engranaje con carga ligera o alto desalineamiento Fβy

bcal

Figura 2.5 Engranaje con carga pesada y pequeño desalineamiento Fβy.

bcal

49

Determinación de la rigidez (Cγ) para transmisiones planetarias tipo 2RP-A.

)25.075.0( += αγ εpCC

(2.28)

Cálculo de la flexibilidad.

q – [ C1+C2/zn1+ C3/zn2 + C4 x1 + (C5 x1)/zn1 + C6 x2 + ( C7 x2 )/zn2 + C8 x12+C9 x2

2 ] = 0

Tabla 2.1 Coeficientes de la ecuacion.

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

0.04723 0.15551 0.25791 - 0.00635 - 0.11654 - 0.00193 - 0.24188 0.00529 0.00182

Donde: q es el valor mínimo de la flexibilidad para un par de diente.

x1 , x2 Coeficientes de corrección de la rueda 1 y 2

zn1,2 Numero de dientes virtual de las ruedas 1,2

Cálculo de la rigidez teórica.

q

C pt1

= (2.29)

Cálculo de la rigidez Simple.

Para: mmNbKF wAt /100/)( >

βcosBRMptp CCCCC = (2.30)

donde:

Factor de corrección CM, CM tiene en cuenta la diferencia entre los valores medido y los valores calculados en los discos de prueba de los engranajes según[6336-1]

8.0=MC

Factor de corrección CR, CR tiene en cuenta la flexibilidad entre la corona de la rueda SR y el alma bS.

( )

)5/(5/ln

1nR mS

SR e

bbC

⋅+= (2.31)

Figura 2.6 Definición de los parámetros de CR

SR

b S

b

50

Factor de corrección CB, CB tiene en cuenta la desviación de debido a la herramienta empleada.

)]20(02.01)][/25.1(5.01[ PnnfPB mhC α−−−+= (2.32)

Para: mmNbKF wAt /100/)( <

25.0]100/)/[(cos wAtBRMptp bKFCCCCC β= (2.33)

2.3.4 factor de distribución transversal de la carga KHα

Este coeficiente surge debido a la distribución de la carga entre más de un par engranado, sobre la línea práctica de engranaje, que es transversal al eje de rotación del mismo.

Cálculo del coeficiente de distribución transversal de la carga KHα

a) Cuando el coeficiente de recubrimiento total εγ ≤ 2

( )

−⋅+=

WtH

pbH bF

yfCCK

/4.09.0

2α

α

γγ (2.34)

b) Cuando el coeficiente de recubrimiento total εγ > 2

( )

WtH

pbH bF

yfCK

/

)1(24.09.0 α

γ

γα

γ

ε

ε −⋅

−+=

(2.35)

FtH = Ft.KA.KV.KHβ (2.36)

fpb = fp.cos αt (2.37)

Donde:

fp es la desviación del paso circunferencial.

fpb es la desviación del paso básico.

yα es la reducción del error de paso básico debida al asentamiento.

Para aceros estructurales, aceros con temple completo y fundición de hierro nodular (Perlítico; bainítico)

pbH

fylim

160σα = (2.38)

Donde : Si v ≤ 5m/s no hay restricciones al valor de yα .

Si 5.0 ≤ v ≤ 10m/s yα ≤ 12800/σHlim

Si v ≥ 10m/s yα ≤ 6400/σHlim

Para fundiciones de hierro gris y hierro nodular.

51

yα = 0.275 fpb (2.39)

Si v ≤ 5m/s no hay restricciones al valor de yα .

Si 5.0 ≤ v ≤ 10m/s yα ≤ 22

Si v ≥ 10m/s yα ≤ 11

Para aceros cementados, nitrurados o nitro carburados.

yα = 0.075 fpb (2.40)

Donde: yα ≤ 3

Cuando los materiales son diferentes, se determina para el piñón yα1 y para la rueda yα2

Calculándose el valor yα del engranaje.

2

21 ααα

yyy

+= (2.41)

Condiciones límites para KHα .

Cuando de acuerdo a las ecuaciones 2.34 y 2.35 se produzca la condición siguiente:

2. εα

γα ε

ε

ZKH > (2.42)

Entonces se sustituye:

2. εα

γα ε

ε

ZKH = (2.43)

Por otro lado, si KHα < 1, el menor valor a tomar es 1.

Si el parámetro de medición es αff se sustituye éste por fpb en las expresiones anteriores.

2.4 Determinación del esfuerzo permisible de Hertz

XWRVLminH

NTHlimHP ZZZZZ

SZσ

σ = (2.44)

2.4.1 Determinación del esfuerzo límite de contacto σH lim

El esfuerzo límite a contacto se determina empleando la norma [ISO 6336-5]. Este documento normalizativo toma como base los experimentos de laboratorio realizados en un banco de ensayo, en ruedas dentadas que reúnen los requisitos siguientes:

52

Distancia entre centros aW = 100 mm.

Módulo m = 3 a 5 mm

Angulo de la hélice β = 0

Rugosidad superficial RZ = 3 µm (ZR = 1)

Velocidad tangencial vt = 10 m/s (ZV = 1)

Viscosidad del lubricante ν50 = 100 mm2 / s (ZL = 1)

Factor de trabajo (ZW = 1) Grado de calidad 4 a 6 según la norma [ISO 1328]

Con los siguientes valores de los factores modificadores de carga:

KA = KV =KHβ = KHα = 1 (2.45)

Los esfuerzos límites se encuentran registrados en tres rangos de valores ME, ML y MQ, en función de la calidad del material y el tratamiento térmico, refrendada por controles adecuados.

2.4.2 Determinación del coeficiente de durabilidad ZN

Para el caso de aceros estructurales, aceros de cementación, fundiciones de hierro con grafito esferoidal, bainíticas o perlíticas, cuando se permite cierto grado de picadura:

Si el número de ciclos de carga se encuentra en el intervalo 6⋅105 < NL ≤ 107

)/log(3705.0exp PrefHHPest σσ⋅= (2.46)

exp8103

⋅=

LN N

Z (2.47)

Si el número de ciclos de carga se encuentra en el intervalo 107 < NL ≤ 109


exp9103

⋅=

LN N

Z (2.49)

Para el caso de aceros estructurales, aceros para temple completo, fundiciones de hierro nodular perlíticas o bainíticas, fundiciones de hierro maleable y aceros de cementación cuando no se permite picadura limitada.

Si el número de ciclos de carga se encuentra en el intervalo 105 < NL ≤ 5⋅107


exp7105

⋅=

LN N

Z (2.51)

El esfuerzo permisible estático (σHPest) se determina por

mín/ HXWVRLestNTHlimestHP SZZZZZZσσ = (2.52)

Donde ZNT est es el coeficiente de durabilidad para un número pequeño de ciclos. Este valor depende de la calidad del material, del método de obtención y del tratamiento térmico. Además, en este caso

53

1===== XWVRL ZZZZZ (2.53)

El esfuerzo permisible de referencia (σHPref) se determina por

mín/ HXWVRLNTHlimrefHP SZZZZZZσσ = (2.54)

Donde ZNT = 1. Los demás parámetros se corresponden con los resultados de cada uno de ellos.

2.4.3 Determinación del factor de lubricación ZL

2

40

2

50

1342.1

)0.1(4

802.1

)0.1(4

+

−+=

+

−+=

νν

ZLZL

ZLZLL

CC

CCZ (2.55)

Si: 850 ≤ σHlim ≤ 1200 N/mm2 6357.04375

+= HlimZLC

σ (2.56)

Si: σHlim < 850 N/mm2 CZL = 0.83 (2.57)

Si: σHlim > 1200 N/mm2 CZL = 0.91 (2.58)

2.4.4 Determinación del factor de velocidad ZV2

v32

8.0

)0.1(2

+

−+= Zv

ZvV

CCZ (2.59)

Donde: CZV = CZL + 0.02 (2.60)

2.4.5 Factor de rugosidad ZR

ZRC

ZR R

Z

=

10

3 (2.61)

Donde: 10ZR Rugosidad superficial.

En el intervalo 800 N/mm2 ≤ σHlim ≤ 1200 N/mm2

CZR = 0.32 – 0.0002.σHlim (2.62)

En el intervalo σHlim ≤ 800 N/mm2

CZR = 0.15 (2.63)

En el intervalo σHlim ≥ 1200 N/mm2

CZR = 0.08 (2.64)

54

2.4.6 Factor de endurecimiento por el trabajo Zw

1700130

2.1−

−=HB

ZW (2.65)

Donde HB es la dureza en grados Brinell en los flancos de los dientes de la rueda de menor dureza.

Si HB < 130 entonces:

ZW = 1.2 (4.66)

Si: HB > 470 ZW = 1 (4.67)

2.4.7 Factor de tamaño ZX

El aumento del tamaño influye en la disminución del esfuerzo permisible a fatiga superficial del material. Esto se debe fundamentalmente a que con el aumento del tamaño aumentan los posibles defectos debajo de la superficie endurecida, además de los defectos que surgen en el proceso de forjado (variación de la estructura) que afectan la calidad del material.

Independiente del tamaño se adopta según[ISO 6336]

Zx = 1 (4.68)

2.5 Modelo matemático de la resistencia al contacto

2.5.1 Ecuaciones de balance

[r1] 0cos

coscos.22 =−

twt

twbH sin

Zαααβ

[r2] 0

34

1:

)1(3

4

1:

=

−

≥

+−−

<

−

α

β

α

ββ

α

β

ε

ε

ε

ε

εε

ε

ε

Si

Si

Z

[r3] 0cos =− ββZ

[r4] 011

1

2

22

1

21

=

−+

−−

EE

Z E ννπ

55

[r5] 01

).(2

31

1 =+

−u

uzm

TZZZZ

bdEHOH ψ

σ βε

[r6] 0)1(.8

.4

2

4

=−− plaplaplab

plampla q

d

dm ρ

π

[r7] 030

11

1 =− TnP

π

[r8] 0/ 1 =− dbwbdψ

[r9] 02

111 =−

dFT t

[r10] 0=−solm

solisol d

dq

[r11] 0=−plam

plaiplan d

dq

[r12] 02

=+

−solfsola

solm

ddd

[r13] 02

=+

−plafplaa

plam

ddd

[r14] 0)1(.8

.4

2

4

=−− solsolsolb

solmsol q

d

dm ρ

π

[r15] 0.

=+

−solplapl

solplared mmK

mmm

[r16] q – [ C1+C2/zn1+ C3/zn2 + C4 x1 + (C5 x1)/zn1 + C6 x2 + ( C7 x2 )/zn2 + C8 x12+C9 x2

2 ] = 0

[r17] Cpt – 1 / q = 0

[r18] 05

)/ln().5/( =− mS

WsR

Re

bbC

[r19] CB – [1 + 0.5(1.25 – hf P / m)][1 – 0.02 (20º – αnp)]= 0

[r20] Cp – Cpt CM CR CB cos β[(Ft1 KA / bw) /100]0.25 = 0

[r21] Cγ – Cp (0.75 εα + 0.25 ) = 0

56

[r22] 0.10.30

1

3

1 =−red

E mC

zn

γπ

[r23] 01

1 =−En

nN

[r24] 0.ferrítico) o bainítico ,(Perlíticonodular hierro de fundición

ycompleto templecon Aceros les,estructura acerosPara 4 =

−G

[r25] 0nodular hierro ó gris hierro defundición Para5 =−G

[r26] 0rados.nitrocarbu o nitrurados ,cementados acerosPara 6 =−G

[r27] ( )( )( )( )

0

.075.0;:

.075.0;:

0.275.0;:

.275.0;:

160;:

160;:

6

6

5

5

4

4

=

−

αα

αα

αα

α

σ

σ

ff

pbpb

ff

pbpb

fHlim

f

pbHlim

pb

ffyGSi

ffyGSi

ffyGSi

ffyGSi

ffyGSi

ffyGSi

y

[r28] 0=− αyy p

[r29] 0=− αα yy f

[r30] 0)( =−− ppbeffpb yff

[r31] 0)( =−− ααα ffefff yff

[r32] 0)/( 1

=−wtA

effpbPP bFK

fCB

[r33] 0)/( 1

=−wtA

efffPf bFK

fCB

α

[r34] 0|)/(

1| =−−wtA

apK bFK

CCB

[r35 ] K – [(CV1.Bp) +(CV2.Bf) +(CV3.Bk)] = 0

[r36] KV – [(N.K) + 1] = 0

57

[r37] 0/.1 =− wVAtbm bKKFF

[r38] 01 =

−perlíticainítica o nodular bafundición

leto, emple compros para trales, aces estructuPara aceroG

[r39] 0sup

2 =

−buración.ó nitrocar

ruración as por nit endurecidementadas,erficies cPara G

[r40] 03 =

−errítico nodular f de hierro fundicionóerro gris cion de hiPara fundi

G

[r41] 0

45.0:

85.0:

3201

:

3

2

1

=

−

−

GSi

GSi

GSi

Hlimσχ β

[r42] 0=− βHma ff

[r43] 02

.10 =

⋅−

mb

ma

F

fCC γβχ

=+

−

+

−

=+

−

+

+

−

−

0127

38000

1

.:

0127

2.12.53

40001

.:

][

10

4

10

42

44

Cb

l

db

EC

CoronaPlanetaSi

Cb

l

db

db

KE

C

PlanetaSolSi

Kr

w

pla

pla

w

w

pla

pla

W

sol

wpl

H

γχ

π

γχ

π

β

β

β

[r45]

( )

( )0

)1(24.09.0

2

4.09.02

2

=

−⋅

−+

>

−+

≤

−

tHb

pb

tHb

pb

H

F

yfC

F

yfC

K

α

γ

γ

γ

αγ

γ

α

γ

ε

ε

ε

γε

ε

58

[r46] 0=− βHmbtHb KFF

[r47] 080

2.1

)0.1(42

50

=

+

−+−

ν

ZLZLL

CCZ

[r48] 0

91.01200:

83.0850:

6357.04375

/1200: 2

=

>

<

+

≤≤

−

Hlim

Hlim

Hlim

Hlim2

ZL

Si

Si

mmN N/mm 850Si

C

σ

σ

σ

σ

[r49] CZv – (CZL + 0.02) = 0

[r50] 0

v32

8.0

)0.1(2=

+

−+− Zv

ZvV

CCZ

[r51] 03

10

=

−

ZRC

ZR R

Z

[r52] 0

08.01200

15.0

/800

)0002.032.0(/1200/800

2

22

=

>

<

−≤≤

−

Hlim

Hlim

Hlim

Hlim

ZRmmN

mmNmmN

C

σ

σ

σσ

[r53] 0

1470:

2.1130:

1700130

2.1

470130:

=

>

<

−

−

≤≤

−

HBSi

HBSi

HB

HBSi

ZW

59

[r54] 0)/.....( lim =− HmínXWLRVHrefHP SZZZZZσσ

[r55] 0)cos/(cos 211 =− ββ bn zz

[r56] 0)cos/(cos 222 =− ββbn zz

[r57] 021

2.1 =−EEEE

E

[r58] 0=− αβσσ HHVAHOH KKKK

[r59] 0. =− NrefHPHP Zσσ

0

10.2

)/log(7686.0(exp10210:

10.5

)/log(3705.0(exp

10510:

10

)/log(2971.0(exp1010:

10.3

)/log(3705.0(exp

10106:

][

exp6

65

exp7

75

exp9

97

exp8

75

60 =

⋅=⋅≤<

⋅=

⋅≤<

⋅=≤<

⋅=

≤<⋅

−

L

refHPHPest

L

refHPHPest

L

L

refHPHPest

L

L

refHPHPest

L

N

N

NLSi

N

NSi

N

NSi

N

NSi

Zr

σσ

σσ

σσ

σσ

[r61] mínlím / HNTestHestHP SZσσ =

[r62] 0=− HmínHPHG Sσσ

[r63] 0=−

H

H

HG Sσσ

2.5.2 Restricciones

SH ≥ 1

60

0.2 ≤ ψbd ≤ 1

2.5.3 Relaciones y variables del modelo matemático

63321 ....,, rrrrR =

|R| = 63

=

NTestplaotATHPHFGHPest

efHHOHHNLXWZZRV

ZVZLRLHtHbHmbplaplHma

HlimVVVVKFpaefffpbefffp

pbfEABRM

pnPfpnRSpt

nnredplasolpsolbplabsolfpla

aplafsolasolplamplaiplasolmsolsolitsolW

bdEHbtWt

ZdMTM

SSZHBNZZRCZ

CCZZKFKCFlKEff

CCCKKBBBCffyy

yffGGGGGGnNCKCCC

ChmSbCqCCCCCCCCC

xxzzzzmmmddd

dddqddqddFdbnP

uTEEZZZZ

V

,,,,,v,,,,

,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Prmín5010

10

321

6543211

987654321

212121ln

1

12121

σσσσ

σσν

χ

σ

α

ρρ

ψννεεεββαα

αβββ

αα

ααγ

βεγβα

131|| =V

En la Figura 2.1 se da el grafo que representa la estructura del modelo matemático anteriormente descrito.

2.5.4 Situación

El conjunto de datos de entrada

=

NTestotATLXZplaplH

HHlimVVVapbfAMnpfpn

RS

plasolbplabsolfplaaplafsolasoliplaisol

plasolbtWt

ZMTMvHBNZRlKf

sCCCCffKChmSbCCCCCCCCCxxzz

dddddddd

ddnPuEE

E

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,

5010

mín321

9876543212121

1.102121

ν

σα

ρρ

ννεεεββαα

β

α

γβα

67=E

Determina un conjunto de incógnitas

61

==

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

/

Pr

10

6543211

21

1

HGHPHHPestefHHOHNW

ZRVZVZLRLHtHbH

mbmaVKFpefffpbeff

fpE

BRpptnnredplasolpla

mplasolmsoltWbdEH

sZZ

CZCCZZKFKC

FEfKKBBBff

yyyGGGGGGnNC

CCCCqzzmmmq

dqdFbTZZZZ

EVX

σσσσσσ

χ

ψ

αβ

βα

ααγ

βε

de cardinalidad

6467131|| =−=−= EVX

2.5.5 Problema

El conjunto de datos de salida es unitario

HSS =

Y adecuado, pues es un subconjunto del conjunto de las incógnitas. El grafo del problema es el mismo grafo de la situación, pues éste último tiene un sólo componente. El número de grados de libertad del problema es

|||||| XRXL −=

16364|| =−=L

Por lo que estamos ante un problema compatible indeterminado, con un grado de libertad. En la Figura 2.2 se da el grafo de este problema.

2.5.6 Problema determinado asociado

El grafo del problema determinado consta de una componente. En el epígrafe 2.5.5 determinamos que el problema tiene un grado de libertad o lo que es lo mismo, existe una variable independiente a la que hay que imponerle valores para que el problema tenga solución. El conjunto de grados de libertad será por tanto unitario:

bdL ψ=

En principio, cualquiera de las variables pudiera ser escogida para darle solución al problema matemático, pero al determinarla arbitrariamente se podría resolver un problema en términos matemáticos pero no en términos de ingeniería.

La variable ψbd es, sin lugar a dudas, la más influyente en el coeficiente de seguridad a contacto en los engranajes sol – planeta y planeta - corona.

2.5.7 Pareo, resolvente y algoritmo

Hay un pareo perfecto único para el problema determinado asociado. Orientando las aristas remanentes en el grafo del pareo perfecto, se halla un resolvente arbóreo único para el problema determinado asociado. En la Figura 2.3 se da el pareo del problema determinado asociado, y finalmente en la Figura 2.4 se da el grafo del resolvente del problema determinado asociado.

62

El resolvente arbóreo único contiene diversos algoritmos arbóreos, entre los cuales algunos son secuenciales y otros son paralelos, pero todos son equivalentes. Uno de los algoritmos arbóreos secuenciales que resuelve el problema determinado asociado se da en la Tabla 2.1, en forma de un organigrama de Nassi-Schneiderman.

Tanto el modelo matemático con los siguientes pasos dados para arribar al algoritmo son válidos para el engranaje exterior y el engranaje interior de las celdas planetarias del reductor objeto de estudio.

A partir del algoritmo contenido en la Tabla 2.1, se elaboró por el autor un programa de computadora en lenguaje C, [ISO 9899] que permite resolver el problema indeterminado, con un grado de libertad, del cálculo a resistencia de cualquier engranaje cilíndrico, exterior o interior.

Tabla 2.1. Algoritmo del problema determinado asociado al problema de la resistencia al contacto de un engranaje cilíndrico.

HZp ,11 , εZp ,22 , βZp ,33 , EZp ,44 , 15 ,7 Tp

HOp σ,56 , 1557 , nzrp , 28 ,56 nzp , qp ,169 , ptCp ,1710 ,

RCp ,1811 , BCp ,1912 , wbp ,813 , 114,9 tFp , PCp ,2015 ,

416 ,24 Gp , 517 ,25 Gp , 618 ,26 Gp , αyp ,2719 , pyp ,2820 ,

αfyp ,2921 , pbefffp ,3022 , effffp α,3123 , PBp ,3224 , fBp ,3325 ,

KBp ,3426 , Kp ,3527 , γCp ,2128 , msoldp ,1229 , solqp ,1030 ,

solmp ,1431 , mpladp ,1332 , plaqp ,1133 , plamp ,634 , redmp ,1535 ,

136 ,22 Enp , Np ,2337 , VKp ,3638 , mbFp ,3739 , 140 ,38 Gp ,

241 ,39 Gp , 342 ,40 Gp , βχ,4143p , mafp ,4244 , 1045 ,43 Cp ,

Ep ,5746 , βHKp ,4447 , tHbFp ,4648 , αHKp ,4549 , Hp σ,5850 ,

ZLCp ,4851 , ZVCp ,4952 , VZp ,5053 , LZp ,4754 , ZRCp ,5255 ,

RZp ,5156 , WZp ,5357 , refHPp σ,5458 , HPestp σ,6159 , NZp ,6060 ,

HPp σ,5961 , HGp σ,6262 , HSp ,6363 ,

El problema de la resistencia al contacto de un engranaje cilíndrico resulta por tanto ser un problema indeterminado con un grado de libertad, el ancho relativo al diámetro de referencia del piñón ψbd.

Para cada valor del grado de libertad, el problema determinado asociado tiene una solución única, dada por el algoritmo de la Tabla 2.1.

Se trata por tanto de un problema de múltiples, en teoría infinitas soluciones. En la práctica el número de soluciones lo determina el número de valores que se le asigne al grado de libertad dentro del intervalo permisible.

63

63

Figura 2.6 Modelo matemático de la resistencia al contacto de un engranaje cilíndrico

ν50

CZR 52

53 ZW

HB

Zx

51 ZR

RZ10

ZV

50

CZV

49

v

CZL

48

47

ZL

7

ZE

E1 E2

ν1

ν2

1

βb

αt

αtw

ZH

εα

3

εβ

Zβ

2

β

Zε

u

m

σHo

n1

P1

T1

8

z1

ψbd

b

d1

9 Ft

KA

Ca

33

34

Bp

Bf

BK

35

Cv1 Cv2 Cv3

CP

K

fpbeff

ffαeff

32

31

30 28 yp

yα

fpb

29

yfα

20

Cpt CM

CR

CB

17

q

16

C1

C2

C3

C4

C5

C6 C7 C8 C9 x1 x2

55

zn1

z2

56 zn2

21

Cγ

19

18

bS sR

hfp αnp

22 nE1

mred 15

mplan

msol

Kpl

Fmb

dasol

dfsol

dapla

dfpla

23 N 36 KV 37

6

14 dmsol

dbsol

dbpla

dmpla

ρsol ρpla

qsol

qpla

12

10

11 dipla

13

disol

C10

χβ

41 G3

G2

G1

σHlim 39

40

38

57

E

fma

42 fHβ

lpla

KHβ

FtHb

σH KHα 58 εγ σHPref 59

σHP

Mat Tt Mo

G4 G5 G6

24 25 26

60

NL

ZN

sH

ffα 27

46

45

43 44

σHPest

ZNTest

sHmín

54

61

62

σHG

63 dpla

5

4

64

64

Figura 2.7 Grafo del problema indeterminado de la resistencia al contacto de un engranaje cilíndrico.

ZN 5

7

1 ZH

ZE 4

3 Zβ

2 Zε

σHo

8 ψbd

bw

9 Ft

32

33

34

Bp

Bf

BK

35

CP

K

fpbeff

ffαeff

30

31

yp 28

yα

29 yfα

27

G4 G5 G6

24 25 26

20 Cpt CB

17 q 16

55 zn1

56 zn2

21 Cγ

19

18 CR

22 mred

Fmb

23

nE1

N

36

KV

37

43 C10 χβ

41 G3

G2 G1 39

40

38

44

57

E

fma

42

KHβ 46 FtHb

45 KHα 58

CZR 52

53

54

ZW

51

ZR

ZV

47

ZL

50

CZV

49

CZL

48

59

σHG

σHP

62

σHPref 60

15

mplan

msol

6

14

qsol

qpla

12

13

11

dmpla

10

dmsol

61

63

σHPest

sH

T1

σH

65

65

Figura 2.8 Grafo del pareo del problema determinado asociado al problema de la resistencia a contacto de un engranaje cilíndrico.

ZN

7

1 ZH

ZE 4

3 Zβ

2 Zε

σHo

8 ψbd

bw

9 Ft

32

33

34

Bp

Bf

BK

35

CP

K

fpbeff

ffαeff

30

31

yp 28

yα

29 yfα

27

G4 G5

G6

24 25 26

20 Cpt CB

q 16

55 zn1

56 zn2

21 Cγ

19

18 CR

22 mred

Fmb

23

nE1

N

36

KV

37

43 C10 χβ

41 G3

G2 G1 39

40

38

44

57

E

fma

42

KHβ 46 FtHb

45 σH KHα 58

CZR 52

53

54

ZW

51

ZR

ZV

47

ZL

50

CZV CZL

48

59

σHG

σHP

62

σHPref 60

15

mplan

msol

6

14

qsol

qpla

12

13

11

dmpla

10

dmsol

61

63

σHPest

sH

T1

49

5

17

66

66

Figura 2.9 Grafo del resolvente del problema determinado asociado al problema de la resistencia a contacto de un engranaje cilíndrico.

ZN 5

7

1 ZH

ZE 4

3

2 Zε

σHo

8

bw

9 Ft

32

33

34

Bp

Bf

BK

35

CP

K

fpbeff

ffαeff

30

31

yp 28

yα

29 yfα

27

G4 G5

G6

24 25 26

20 Cpt CB

17 q 16

55 zn1

56 zn2

21 Cγ

19

18 CR

22 mred

Fmb

23

nE1

N

36

KV

37

43 C10 χβ

41 G3

G2 39

40

38

44

57

E

fma

42

KHβ 46 FtHb 45 σH KHα 58

CZR 52

53

54

ZW

51

ZR

ZV

47

ZL

50

CZV

49

CZL

48

59

σHG

σHP

62

σHPref 60

15

mplan

msol

6

14

qsol

qpla

12

13

11

dmpla

10

dmsol

61

63

σHPest

sH

T1

Zβ

G1

67

Capítulo 3 Resistencia a la fractura de los engranajes

3.1 Introducción Para que las celdas planetarias y el engranaje cilíndrico de ejes fijos cumplan las condiciones de resistencia, deben resistir no sólo a la picadura superficial sino también a fractura. Esta rotura es mucho más peligrosa en el caso de los planetas (satélites), por estar sometidos sus dientes a cargas alternativas.

3.2 Condición de resistencia a la fractura Para que una transmisión por engranajes cilíndricos resista a fractura tiene que cumplirse la condición siguiente [ISO 6336-3],[Gro80]:

22

11

FPF

FPF

σσσσ

≤≤

(3.1)

Donde, para cada rueda dentada del engranaje

αβσσ FFVAFOF KKKK= (3.2)

Según el Método B de la propia norma ISO:

βσ YYYbmF

SFn

tFO = (3.3)

O escrita de otro modo:

βψσ YYY

zmT

SFbdn

FO 21

312

= (3.4)

donde:

σF es el esfuerzo actuante a fractura.

σFO es el esfuerzo básico a fractura.

Ft es la fuerza tangencial en el cilindro de referencia.

b es el ancho de la rueda dentada.

mn es el módulo normal del engranaje.

YF es el coeficiente de forma del diente, para la fuerza interdental aplicada en el punto más alto de engranaje monopar.

YS es el factor de concentración de tensiones en el fondo del diente, para la fuerza interdental aplicada en el punto más alto de engranaje monopar.

Yβ es el factor helicoidal; el cual tiene en cuenta el efecto del ángulo de la hélice sobre el momento flector, debido a la aplicación de la fuerza interdental sobre una línea de contacto oblicua.

68

Según el Método C de la propia norma ISO:

βεσ YYYYbmF

SaFan

tFO .= (3.5)

donde:

YFa es el coeficiente de forma del diente, para la fuerza interdental aplicada en el extremo del diente.

YSa es el factor de concentración de tensiones en el fondo del diente para la fuerza interdental aplicada en el extremo del diente.

Yε es el factor de la razón de contacto, el cual transforma el esfuerzo producido por la fuerza interdental aplicada en el extremo de diente, a otro esfuerzo producido por la fuerza interdental aplicada en el punto más alto de engranaje monopar.

3.3 Factores de influencia en el esfuerzo actuante

3.3.1 Coeficiente de forma

En este epígrafe explicaremos un método único de determinación de este coeficiente, aclarando en el momento oportuno cómo pasar del método B al método C, según [Sor98],[Dud 62].

nn

Fn

Fenn

Fe

F

mS

mh

Y

α

α

cos

cos.6

2

= (3.6)

mn.π/4

Figura 3.1 Perfil de la herramienta de corte.

mn.π/4

Spr

pr

q αn

ρfP

E

h fP

Con protuberancia

αn

ρfP

E

h fP

Sin protuberancia

69

El método de cálculo que se expone se basa en las consideraciones siguientes:

La curva generada por la herramienta de corte en el fondo del diente es tangente en un punto con una recta a 30° respecto al eje de simetría del diente.

El radio de curvatura en la punta de la herramienta, Figura 3.1, es mayor que cero ( ρ fP > 0).

Los dientes pueden ser generados usando piñones mortajadores.

Figura. 3.2 Determinación de la sección crítica SFn , según el método ISO B.

30° ρF

αFe

30°

γe

h Fe

bF

bF bt

b

bn =βcos/

SFn

90°

bd

30° ρF

αFe

30°

γe

h Fe

bF

bF bt

b

bn =βcos/

Figura. 3.3 Determinación de la sección crítica SFn, según el método ISO C.

SFn

90°

bd

70

Valores auxiliares para el cálculo.

α

ρα

αα

πcos

)1(cos4

fPprfPn sin

StanhmE −−+−= (3.7)

qprS pr −= (3.8)

xm

h

mG

n

fP

n

fP +−=ρ

(3.9)

322 ππ

−

−=

nn mE

zH (3.10)

HtanzG

n

−= θθ.2

(3.11)

Donde:

pro Dimensión de la protuberancia.

q Sobreespesor de maquinado.

ρ fP Radio de curvatura de la cabeza de la herramienta.

hfp Altura de la cabeza de la herramienta.

Para el cálculo de (3.11), bastará con realizar un proceso iterativo comenzando con un valor de θ = π/6.

Determinación del grosor del diente en el punto de tangencia de la curva de transición con la recta a 30°. (Sección crítica a rotura por fractura).

−+

−=

n

fPn

n

Fn

mG

sinzmS ρ

θθ

πcos

33

(3.12)

Determinación del radio de curvatura en el punto de sección crítica.

( )GzG

mm nn

fP

n

F

.2coscos.2

2

2

−+=

θθ

ρρ (3.13)

)cos.( nb sinarcsin αββ = (3.14)

ββ cos.cos2b

nz

z = (3.15)

bn β

εε α

α 2cos= (3.16)

bn

dd

β2cos= (3.17)

nnbn mp απ cos= (3.18)

71

nnbn dd αcos= (3.19)

dddd anan −+= (3.20)

)1(||cos.cos.

−= nzd

R n

αεαβπ

(3.21)

22

22

222||.2

+

−

−

= bnbnan

en

dR

ddzz

d (3.22)

den Es el diámetro de la circunferencia del punto más alto de engranaje monopar.

El número de dientes z se toma positivo en caso de ruedas de dientes exteriores y negativo en las ruedas con dientes interiores.

Si la variable R en (3.21) es igual a cero, entonces dan = den y con esta condición la carga estará en el extremo del diente.

=

en

bnen d

darccosα (3.23)

ennn

ne invinv

zxtan

αααπ

γ −++

=.25.0

(3.24)

eenFen γαα −= (3.25)

Determinación del brazo del momento flector:

( )

+−

−−−=

n

fPn

n

enFenee

n

Fe

mG

zmd

tansinmh ρ

θθ

παγγ

cos3coscos

21

(3.26)

Para los engranajes de dientes interiores

Determinación del grosor del diente en la sección crítica a rotura por fractura.

−

−+

−+=

6cos

42 22222 πρρ

αρπ

n

fP

n

prfPn

n

fPfP

n

Fn

mm

stan

m

h

mS

(3.27)

Determinación del brazo del momento flector.

−−

−−+−

−=

61

2422222222 πρ

ααπ

sinm

tantanm

dd

m

h

m

dd

mh

n

fPnn

n

fnen

n

fP

n

fnen

n

Fe (3.28)

2222 dddd nffn −+= (3.29)

222

2fnn

fP

ddh

−= (3.30)

72

Determinación del radio de curvatura de la sección crítica del diente.

( ) ( )n

ffn

n

PfP sin

dd

sinC

ααρ

−

−=

−=

12122

2 (3.31)

Si ρ fP2 = 0 se puede emplear la siguiente aproximación, que en general no difiere sustancialmente de métodos mucho más exactos [Höh97]

nfPF m15.022 == ρρ (3.32)

CP

30° 30°

h fe2

h 2

ρ fP2

αFan = αn

d f2

d a2

Figura. 3.4 Parámetros para la determinación del factor de forma YF

en ruedas con dientes interiores.

SFn

73

3.3.2 Determinación del factor de concentración de tensiones YS

Este coeficiente depende de los siguientes parámetros:

Ancho del diente en la sección crítica, Sna.

Altura del diente en esa sección, hFa

Radio de curvatura de la sección crítica, ρF

( )1

3.221.1exp13.02.1

−

+⋅+=

aSaSa L

qLY (3.33)

Donde:

Fa

Fna h

SL = (3.34)

F

FnS

Sq

ρ2= (3.35)

3.3.3 Determinación del factor de concentración de tensiones YSg

Las entalladuras creadas por la muela rectificadora cerca de la sección crítica, Figura 3.5, generan un alto concentrador de tensiones. Si este fenómeno se presenta, entonces calcúlese como:

g

g

SSg t

YY

ρ6.03.1

.3.1

−

= (3.36)

0≥g

gt

ρ (3.37)

ρg tg

30°

Figura. 3.5 Dimensiones de la entalladura de rectificado.

74

3.3.4 Determinación del factor de la razón de contacto Yε

n

Yα

ε ε75.0

25.0 += (3.38)

3.3.5 Determinación del factor del ángulo de hélice Yβ

Este factor corrige el esfuerzo calculado en el engranaje virtual de dientes recto al engranaje de dientes helicoidales.

1201

βε ββ −=Y (3.39)

3.4 Parámetros modificativos del esfuerzo nominal

3.4.1. Factor de aplicación de la carga KA

Este término fue analizado en el Capítulo 2. No cambia para este modelo matemático.

3.4.2 Coeficiente de carga dinámica KV

Este término fue analizado en el Capítulo 2 .Al igual que el anterior, no cambia.

3.4.3 Factor de distribución longitudinal de la carga KFβ

Tiene en cuenta el efecto de la distribución de la carga en el flanco del diente sobre el esfuerzo en el fondo del diente.

FNHF KK ββ = (3.40)

( )( )2

2

//1

/

hbhb

hbN F

++= ( )2//1

1bhbh ++

= (3.41)

Para el cálculo se toma el menor valor de (b/h) entre las ruedas engranadas,

))/(,)/min(()/( 21 hbhbhb = (3.42)

El valor de la relación (b/h) está limitado al intervalo

( ) 12/3 ≤≤ hb (3.43)

Si:

( ) 12/ >hb (3.44)

entonces

ββ HF KK = (3.45)

75

3.4.4 Factor de distribución transversal de la carga KFα

Este coeficiente surge debido a la distribución de la carga en más de un par engranado s obre la línea práctica de engranaje.

Cuando el coeficiente de recubrimiento total εγ ≤ 2

( )

−⋅+==

bF

yfCKK

tH

pbHF /

4.09.02

αγαα

γε (3.46)

Cuando el coeficiente de recubrimiento total εγ > 2

( )bF

yfCKK

tH

pb

HF /

)1(24.09.0 α

γ

γ

γαα ε

ε −⋅

−+== (3.47)

3.5 Determinación del esfuerzo permisible σFP

XTrelRTrelFmin

STNTFlimFP YYY

SYY

δ

σσ

..= (3.48)

NTrefFPFP Y.σσ = (3.49)

Donde:

refFPσ Esfuerzo permisible de referencia.

Flimσ Esfuerzo límite determinado en condiciones experimentales de acuerdo con la (ISO 6336-V).

NTY Factor de vida, Toma en cuenta la mayor carga para un número limitado de cargas por ciclos.

STY Factor de corrección del esfuerzo, apropiado para las dimensiones de las probetas de ensayo.

FminS Factor de seguridad mínimo.

TrelYδ Factor de sensibilidad a las entalladuras.

TrelRY Factor de rugosidad superficial en la ra íz de diente.

XY Factor de tamaño.

3.5.1 Determinación del esfuerzo límite a fractura σF lim

El esfuerzo límite a fractura se determina empleando [ISO 6336-V]. Dicha norma toma como base los experimentos de laboratorio realizados en un banco de ensayo en ruedas dentadas que reúnen los requisitos siguientes:

Módulo m = 3 a 5 mm (YX = 1)

Factor de corrección del esfuerzo YST = 2.0

76

Entalladura del rectificado qST = 2.5 (Yδrel T =1).

Ángulo de la hélice β = 0.

Rugosidad superficial en los flancos del diente. RZ = 10 µm (YR rel T = 1).

Grado de calidad 4 a 7 para la norma ISO [ISO 1328].

Cremallera de referencia ISO 53.

Ancho de contacto b = 10...50 mm

Con los valores de los factores modificadores de carga siguientes:

KA = KV =KFβ = KFα = 1

Los esfuerzos límites se encuentran registrados en tres intervalos de valores: ME, ML y MQ. El intervalo se elige en función del control de calidad del material y el tratamiento térmico.

3.5.2 Determinación del coeficiente de durabilidad YNT

Para aceros estructurales, aceros endurecidos con temple completo, fundición de hierro nodular perlítico o bainítico:

Si: 64 10.310 ≤< LN

))/log(4037.0(exp PrefFFPest σσ= (3.50)

exp610.3

=

LNT N

Y (3.50a)

Donde:

estFPσ Esfuerzo permisible estático.

refFPσ Esfuerzo permisible de referencia.

Para aceros con superficies endurecidas, aceros endurecidos con temple completo o nitruradas, nitruración gaseosa, acero con temple completo o temple superficial, nitrocarburadas, fundición de hierro nodular ferrítico o hierro gris en el rango de vida limitada.

Si: 63 10.310 ≤< LN

))/log(2876.0(exp PrefFFPest σσ= (3.51)

exp610.3

=

LNT N

Y (3.51a)

3.5.3 Factor de sensibilidad a las entalladuras Yδrel T

Cálculo de Yδrel T para el esfuerzo de referencia:

*|

*|

1

1

T

TrelYχρ

χρδ

+

+= (3.52)

Donde:

77

*χ Es el gradiente del esfuerzo relativo.

|ρ Es el grosor de la capa corrida (slip -layer thickness)

)21(**SP q+= χχ (3.53) )21(**

SPT q+= χχ (3.54) 51* =Pχ (3.55)

El valor de *Tχ se calcula de la misma forma que en el cálculo del esfuerzo límite, sustituyendo Sq por

5.2=STq

Tabla 3.1 Espesor de la capa corrida para diferentes materiales.

Nº Material Propiedades ][| mmρ

1 GG σB = 150 N/mm2 0.3124

2 GG, GGG (Ferr.) σB = 150 N/mm2 0.3095

3 NT, NV todas las durezas 0.1005

4 St σS = 300 N/mm2 0.0833

5 St σS = 400 N/mm2 0.0445

6 V, GST, GGG (perl,bai) σS = 500 N/mm2 0.0281.

7 V, GST, GGG (perl,bai) σS = 600 N/mm2 0.0194

8 V, GST, GGG (perl,bai) σ0,2 = 600 N/mm2 0.0064

9 V, GST, GGG (perl,bai) σ0,2 =1000 N/mm2 0.0014

10 Eh, IF(fondo) todas las durezas 0.0030

Cálculo de Yδrel T para el esfuerzo estático:

Para aceros, cuando está bien definido el límite de fluencia

4

4

20093.01

200)1(93.01

S

SS

Trel

Y

Y

σ

σδ

+

−+

= (3.56)

Para aceros con límite convencional de fluencia conocido

4

2,0

4

2,0

30082.01

300)1(82.01

σ

σδ

+

−+

=S

Trel

Y

Y (3.57)

78

Para aceros Eh y IF (fondo del diente) bajo esfuerzos hasta el inicio de grieta

12.0.44.0 += STrel YYδ (3.58)

Para aceros NV y NT bajo esfuerzos hasta el inicio de grieta

60.0.20.0 += STrel YYδ (3.59)

Para fundición de hierro GG y GGG(Ferr.) bajo esfuerzos hasta el límite de fractura

1=TrelYδ (3.60)

3.5.4 Factor de rugosidad superficial en el fondo del diente YRrel T

Este factor es una función del material, tratamiento térmico, método de obtención y la rugosidad de la superficie del fondo del diente.

Para el esfuerzo permisible de referencia, con rugosidad en el intervalo RZ < 1 µm

Para los materiales V, GGG(Perl., bai.), Eh, y IF (en el fondo del diente):

12.1=TrelRY (3.61)

Para St:

07.1=TrelRY (3.62)

Para GG, GGG(Ferr.), y NT, NV.

025.1=TrelRY (3.63)

Para el esfuerzo permisible de referencia, con rugosidad en el de intervalo 1 ≤ RZ ≤ 40 µm

Para V, GGG(Perl, bai), Eh, e IF en el fondo del diente:

( ) 1.01529.0674.1 +−= ZTrelR RY (3.64)

Para St:

( ) 01.01203.4306.5 +−= ZTrelR RY (3.65)

Para GG, GGG(Ferr.), y NT, NV.

( ) 005.01259.3299.4 +−= ZTrelR RY (3.66)

Para el esfuerzo estático en general

1=TrelRY (3.67)

3.5.5 Determinación del factor de tamaño

Con el factor de tamaño se toman en consideración la probable existencia de puntos débiles en la estructura del material, el gradiente de tensiones (el cual decrece con el aumento de las dimensiones), la calidad del material determinada por la presencia de defectos y otros.

Los tres agentes que influyen sobre este factor son:

79

• El material (calidad, pureza, control del proceso de forjado).

• Tratamiento térmico (profundidad y uniformidad del mismo)

• Módulo (profundidad de la superficie endurecida con relación al tamaño del diente).

Sus valores se dan en la Tabla 3.2.

Tabla 3.2. Valores del factor de tamaño.

Material Módulo normal Factor de tamaño Ecuación

St, V,

GGG(Perl. Bai.)

GTS(Perl.)

mn ≤ 5

5 < mn < 30

mn ≤ 30

Yx = 1

Yx = 1.03–0.006mn

Yx = 0.85

(3.68)

(3.69)

(3.70)

Eh, IF

(fondo del diente)

NT, NV

mn ≤ 5

5 < mn < 25

mn ≥ 25

Yx = 1

Yx = 1.05 – 0.01mn

Yx = 0.8

(3.71)

(3.72)

(3.73)

GG, GGG (Ferr.)

Para:

3.103 Ciclos

mn ≤ 5

5 < mn < 25

mn ≥ 25

Yx = 1

Yx = 1.075 –0.015mn

Yx = 0.7

(3.74)

(3.75)

(3.76)

Todos los materiales para esfuerzo estático Yx = 1 (3.77)

Abreviaturas empleadas para identificar los aceros y hierros fundidos:

St: Aceros estructurales con σB < 800 N/mm2.

V: aceros bonificados con σB ≥ 800 N/mm2.

GG: Fundición de hierro gris.

GGG (perl., bai., ferr.) Fundición de hierro nodular (perlítico, bainítico, ferrítico).

GTS (perl) Fundicion de hierro negro maleable(perlítico)

Eh: Aceros cementados.

IF: Acero o GGG, con temple por inducción o a la llama.

NT, NV Acero de nitruración, acero bonificado nitrurado.

3.6 Modelo matemático para el cálculo de YF y YS

3.6.1 Ecuaciones de balance para ruedas con dientes exteriores

[r1] 0cos

)1(cos4

=

−−+−−

α

ρα

αα

π fPprfPn sin

StanhmE

80

[r2] ( ) 0=−− qprS pr

[r3] 0=

+−− xm

h

mG

n

fP

n

fPρ

[r4] 032

2=

−

−−

ππ

nn m

E

zH

[r5] 0.2

=

−− Htanz

G

n

θθ

[r6] 0cos

33

=

−+

−−

n

fPn

n

Fn

m

Gsinz

mS ρ

θθ

π

[r7] ( ) 0.2coscos

.22

1

2

=

−+−

Gz

Gmm nn

fP

n

F

θθ

ρρ

[r8] 0)cos.( =− nb sinarcsin αββ

[r9] 0cos.cos2

=−ββb

n

zz

[r10] 0cos 2 =−

bn β

εε α

α

[r11] 0cos 2 =−

bn

dd

β

[r12] 0cos =− nnbn dd α

[r13] ( ) 0=−+− dddd anan

[r14] 0

)1(||

cos.cos.

:0

:

=

−

−

nn

z

d

CMétodoSi

MétodoBSi

R

αεαβπ

81

[r15] 0222||

.22

222

=

+

−

−

− bnbnan

en

dR

ddz

zd

[r16] 0arccos =

−

en

bnen d

dα

[r17] 0.25.0

=

−+

+− enn

n

ne invinv

z

xtanαα

απγ

[r18] ( ) 0=−− eenFen γαα

[r19] 0)cos

( =+−−n

fP

m

GC

ρθ

[r20] ( ) 03

coscos21

=

+

−−−− Cz

md

tansinmh

nn

enFenee

n

Fe θπ

αγγ

[r21] 0

cos

cos.6

2 =

−

nn

Fn

Fenn

Fe

F

mS

mh

Y

α

α

[r22] 0* =−n

nFnF m

SS

[r23] 0* =−n

FeFe m

hh

[r24] 0*

*

=−Fen

Fn

hS

L

[r25] 0* =−n

FF m

ρρ

[r26] 02

=−F

FnS

Sq

ρ

[r27] ( ) 013.02.1

3.221.1

1

=+−

+L

SS qLY

82

[r28] 0

6.03.1

.3.1

0:1

=

−

>

−

g

g

S

g

g

Sg

tY

tSi

Y

ρ

ρ


28=R (3.78)

=

SSgSFFenenennanbn

nFeenFn

Fnb

n

FeFn

n

Fn

ggnfPnfPr

qLYYYCdRdd

hdm

zmh

SmS

HG

SEtxmhpzqd

V

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,

***

Pr

αγα

ερρ

βθ

ρβραε

α

α

(3.79)

41|| =V (3.80)

3.6.3 Situación, problema, resolvente y algoritmo

,,,,,,,,,,,,, ggnfPnfPr txmhpzqdE ρβραεα= (3.81)

13|| =E (3.82)

=

SSgSFFenenennanbnn

FeenFn

Fnb

n

FeFn

n

Fn

qLYYYCdRdd

hdm

zmh

SmS

HGSEX

,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,, ***Pr

αγαε

ρρ

βθ

α

(3.83)

28|| =X (3.84)

SF YYS ,= (3.85)

0|||||| =−= XRXL (3.86)

Por lo cual estamos ante un problema determinado, esto es, con cero grados de libertad. El grafo del problema consta de una componente. Los grafos de la situación y del problema son iguales. Hay un pareo perfecto único para el problema. Se halla un resolvente arbóreo único para el problema. El resolvente arbóreo único contiene diversos algoritmos arbóreos, entre los cuales algunos son secuenciales y otros son paralelos, pero todos son equivalentes. Uno de los algoritmos arbóreos secuenciales que resuelve el problema planteado se da en el organigrama de Nassi-Schneiderman de la Tabla 3.3:

83

Tabl a 3.3 Algoritmo para el cálculo de YF y YS en ruedas exteriores.

Ep ,11 prSp ,22 prSp ,22

Hp ,44 θ,45p n

Fn

mS

p ,66

n

F

mp

ρ,77 bp β,88 nzp ,99

np αε,1010 ndp ,1111 bndp ,1212

andp ,1313 Rp ,1414 endp ,1515

enp α,1616 ep γ,1717 Fenp α,1818

Cp ,1919 n

Fe

mh

p ,2020 FYp ,2121

*22 ,22 FnSp *

23 ,23 Fehp Lp ,2424

*25 ,25 Fp ρ Sqp ,2626 SYp ,2727

SgYp ,2828

3.6.4 Ecuaciones de balance para ruedas con dientes interiores

[r1] 0)cos.( =− nb sinarcsin αββ

[r2] 0cos.cos2

=−ββb

nz

z

[r3] 0cos 2 =−

bn β

εε α

α

[r4] 0cos 2

=−b

nd

dβ

[r5 ] 0cos =− nnbn dd α

[r6] ( ) 0=−+− dddd anan

84

[r7] 0

)1(||cos.cos.

:0

:

=

−

−

nn

zd

CMetodoSi

MétodoBSi

R

αεαβπ

[r8] 0222||

.22

222

=

+

−

−

− bnbnan

en

dR

ddzz

d

[r9] 0arccos =

−

en

bnen d

dα

[r10] 0.25.0

=

−+

+− enn

n

ne invinv

zxtan

αααπ

γ

[r11] ( ) 0=−− eenFen γαα

[r12] ( ) 0=−− qpS rpr

[r13] 06

coscos

=

−

−−

πρ

α

ρ

n

fP

n

prfP

mm

sC

[r14] 04

2 =

+

−+− Ctan

mh

mS

nn

fPfP

n

Fn αρπ

[r15] 0* =−n

FnFn m

SS

[r16] 06

11 =

−−

πρsin

mC

n

fP

[r17] 0242 1 =

−

−−+−

−− Ctantan

m

dd

m

h

m

dd

mh

nnn

fnen

n

fP

n

fnen

n

Fe ααπ

[r18] ( ) 0=−+− dddd nffn

85

[r19] 0

cos

cos.6

2 =

−

nn

Fn

Fenn

Fe

F

mS

mh

Y

α

α

[r20] 02

=−

− fnnfP

ddh

[r21] ( ) 0=−− ffnP ddC

[r22]

( )0

.15.0

0:12

=

=−

−

n

P

n

P

F

m

CSisin

Cα

ρ

[r23] 0*

*

=−Fe

Fna h

SL

[r24] 0* =−n

FF m

ρρ

[r25] 02 *

*

=−F

FnS

Sq

ρ

[r26] ( ) 013.02.13.2

21.1

1

=+−

+L

SS qLY


26=R (3.87)

=

SSFFenenennanbn

PfnnenfPFnbn

FeFn

n

Fn

fnFnfPr

qLYYCdRdd

CdCdzmh

SmS

dadSxmhpzqd

V

,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,

1**

Pr

αγα

ερρβ

βραε

α

α

(3.88)

38|| =V (3.89)

86


fPfannr ddxmpzqdE ρβαεα ,,,,,,,,,,,= (3.90)

12|| =E (3.91)

==

SSFFenenenn

anbnPfnnenFn

bn

FeFn

n

FnfPfP

qLYYCdR

ddCdCdz

mh

SmS

Sh

EVX

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,

\ 1*

*Pr

αγα

ερ

βρ

α (3.92)

26|| =X (3.93)

SF YYS ,= (3.94)

02626|||||| =−=−= XRXL (3.95)

Puesto que no tiene grados de libertad, se trata de un problema determinado. El grafo del problema consta de una componente.

Los grafos de la situación y del problema son equivalentes, por lo cual el conjunto de relaciones del problema coincide con el del modelo.

Hay un pareo perfecto único para el problema dado, lo cual da origen a un resolvente arbóreo único. El resolvente contiene diversos algoritmos arbóreos, algunos secuenciales y otros paralelos.

Uno de los algoritmos arbóreos secuenciales antes mencionados se da en el diagrama de Nassi-Schneiderman de la Tabla 3.4.

Tabla 3.4 Algoritmo para el cálculo de YF y YS en ruedas interiores

bp β,11 nzp ,22 np αε,33 ndp ,44

bndp ,55 andp ,66 Rp ,77 endp ,88

enp α,99 ep γ,1010 Fenp α,1111 prSp ,1212

Cp ,1313 nFn mSp /,1414 *15 ,15 FnSp 116 ,16 Cp

nFe mhp /,1717 fndp ,1818 FYp ,1919 fphp ,2020

PCp ,2121 Fp ρ,2222 Lp ,2323 *24 ,24 Fp ρ

Sqp ,2525 SYp ,2626

87

3.7 Coeficiente de seguridad a la fractura SF

3.7.1 Ecuaciones de balance del modelo matemático

[r1] 075.0

25.0 =+−α

ε εY

[r2] 01 =

−−

n

Yα

ββ εβ

ε

[r3] ( )

( )0

//1

/2

2

=++

−hbhb

hbN F

[r4]

( )

( ) 012/:

12/3:

=

>

≤≤

−

β

ββ

H

NH

F

K

hbSi

K

hbSi

KF

[r5] 0=− αα HF KK

[r6] 0

.2

...2

21

31

21

31

=

−

βε

β

ψ

ψσ

YYYYzmT

CMétodo

YYYzmT

BMétodo

SFbdn

SFbdn

FO

[r7] 0.... =− βασσ FFVAFOF KKKK

[r8] 0)21(** =⋅+− estSP qχχ

[r9] 0

)21(

:56

:

*

* =

⋅+

−

SP

T

q

referenciadeEsfuerzoSi

estáticoEsfuerzoSi

χ

χ

88

( )( )( )( )( )( )( )( )

=

==

==

==

==

==

==

=

==

==

−

10;;,

9;)/1000();,(,,

8;)/800();,(,,

7;)/600();,(,,

6;)/500();,(,,

5;)/400(;

4;)/300(;

3;;,

2);/300),(,(

1);/150(,:

][

22,0

22,0

2

2

2

2

2

2

10

idurezaslastodasParaIFEh

immNbaiperlGGGGTSV

immNbaiperlGGGGTSV

immNbaiperlGGGGTSV

immNbaiperlGGGGTSV

immNSt

immNSt

idurezaslastodasParaNVNT

immNFerrGGGGG

immNGGSi

Gr

S

S

S

S

B

B

i

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

δ

0

0030.0;:

0014.0;:

0064.0;:

0194.0;:

0281.0;:

0445.0;:

0833.0;:

1005.0;:

3096.0;:

3124.0;:

][

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

|11 =

−

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

ρ

GSi

GSi

GSi

GSi

GSi

GSi

GSi

GSi

GSi

GSi

r

[r12] 01

1*|

*|

=+

+−

T

TrelYχρ

χρδ

89

0

1

)(

60.020.0

30082.01

300)1(82.01

20093.01

200)1(93.01

][4

2,0

4

2,0

2,0

4

4

13 =

+⋅

+⋅

+

−+

+

−+

−

ferrGGGyGGPara

Y

NVyNTacerosPara0.12Y0.44

diente)del(fondoIFeEhAceros,

Y

dadoAceros,

Y

Aceros,

Yr

S

S

S

S

SS

S

Testrel

σ

σ

σ

σ

σ

σ

δ

[r14]

( )( )( )

0

6;(Ferr.)GGG GG,

5;NV NT, ), diente del IF(fondo Eh,

4;GTS(Perl.) Bai.), GGG(Perl. V, St,

3NV); NT,y ,Ferrítico) GGG( (GG,

2;

1;diente del fondo elen IFy Eh,

,bainítico) , Perlítico GGG( V,

=

=

=

=

=

=

=

−

i

i

i

i

iS

i

Gt

Ri

90

( )( )

( )

0

1

)1259.3299.4(;:

)1203.4306.5(;:

)1529.0674.1(;:

401:

025.1;:

07.1;:

12.1;1:

][

005.03

01.02

1.01

3

2

1

15 =

+−

+−

+−

<<

<

−

estáticoEsfuerzosPara

RGSi

RGSi

RGSi

RSi

GSi

GSi

GyRSi

Yr

ZR

ZR

ZR

Z

R

R

RZ

TrelR

≤

=

≤

=

≤

=

−=

−≤<

=

−≤<

=

≤

=

−

7.0;25

10.3:

8.0;25

10.3:

85.0;30

10.3:

.015.0075.1;10.3:

.01.005.1;255

10.3:

.006.003.1;305

10.3:

1;5

10.3:

][

66

546

3216

86

546

3216

6543216

16

n

RL

n

RRL

n

RRRL

nRL

nn

RRL

nn

RRRL

n

RRRRRRL

X

m

GyNSi

m

GóGyNSi

m

GóGóGyNSi

mGyNSi

mm

GóGyNSi

mm

GóGóGyNSi

my

GóGóGóGóGóGyNSi

Yr

[r17] 0

2i.)GGG(FerritIF,NV,NT,V,Eh,

1iGTS(Perl)bai),GGG(Perl,V,,S t

=

=

=−NiG

[r18] 0..

=− XTestrelRTestrelFmin

STNTestFlimestFP YYY

SYY

δ

σσ

91

[r19] 0.

=− XTrelRTrelFmin

STFlimrefFP YYY

SY

δ

σσ

0

)log.2876.0exp(10.3

10.310:

)log4037.0exp(10.3

10.310:

][

6

632

6

641

20 =

≤<

≤<

−

refFP

estFP

L

LN

refFP

estFP

L

LN

NT

N

NyGSi

N

NyGSi

Yr

σσ

σσ

[r21] 0mín =− FNTrefFPFG SYσσ

[r22] 0=−F

FGFS

σσ


22321 ....,, rrrrR = (3.96)

|R| = 22 (3.97)

=

STFFFGNTestFGrefFG

NiXTrelRRiTestrelTrel

iTFFOFFF

estNTSLestrelTRFlimzSest

FbdnAVH

HPSwnS

YSSY

GYYGYY

GKKNYY

YYNYRq

YTzKKK

KqhbmMoTtMat

V

,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

mín

|

**

11

*2,0

σσσ

ρ

χχσσ

βσ

ψεεε

χσσ

δδ

δαββε

αβαβ

α

(3.98)

53|| =V (3.99)


=

STFestNTSLFlimzSest

TestrelRFbdnAVH

HPSwnS

YSYYNRq

YYTzKKK

KqhbmMoTtMat

E

,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

mín

1

*2,0

βσ

ψεεε

χσσ

ααββ

α

(3.100)

31|| =E (3.101)

92

==

FFGNTestFPrefFP

NiXTrelRRiTestrelTrel

iTFFOFFF

SY

GYYGYY

GKKNYY

EVX

,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,,,

\ |

**

σσσ

ρ

χχσσ

δδ

δαββε

(3.102)

22|| =X (3.103)

02222|||||| =−=−= XRXL

El problema es determinado, pues presenta cero grados de libertad. El grafo del problema consta de una componente. Hay un pareo perfecto único para el problema. Orientando las aristas remanentes en el grafo del pareo perfecto, se halla un resolvente arbóreo único para el problema.

El resolvente arbóreo único contiene diversos algoritmos arbóreos, entre los cuales algunos son secuenciales y otros son paralelos, pero todos son equivalentes. Uno de los algoritmos arbóreos secuenciales que resuelve el problema planteado se da como un organigrama de Nassi-Schneiderman en la Tabla 3.5.

Tabla 3.5 Algoritmo para la determinación de SF.

εYp ,11 βYp ,22 FNp ,33

βFKp ,44 αFKp ,55 FOp σ,66

Fp σ,77 *8 ,8 χp *

9 ,9 Tp χ

iGp δ,1010 |11 ,11 ρp TrelYp δ,1212

TestrelYp δ,1313 iRGp ,1414 TrelRYp ,1515

NiGp ,1716 XYp ,1617 estFGp σ,1818

refFPp σ,1919 NTYp ,2020 FGp σ,2121

FSp ,2222

Todos los procedimientos empleados hasta aquí, salvo cuando se diga expresamente lo contrario, son válidos tanto para engranajes de diente exteriores como para engranajes de dientes interiores.

Esta generalización no afecta la precisión de los cálculos en ninguno de los casos, siendo el cálculo de los engranajes de los reductores planetarios un problema particular de aplicación de los procedimientos generales.

93

Figura 3.6 Grafo del modelo matemático para el cálculo de los coeficientes YF y YS en dientes exteriores.

αn

x

4

zn

θ

2 Spr

q pr

hfP

E 1

3

ρ fP

1

G

5

H

SFn/mn

ρF/mn

8

β

βb

9

z 10

εα

εαn

11 d

dn

12

dbn

13

den

dan

14

R 15

16 αen 17 γe

18 αFen

19 C

20

hfe/mn

21

YF

22

23

24

L

25

ρ*F

26

qS

Lda

27

YS

L28

ρg tg

YSg

L

7 mn

6 S*Fn

h*Fen

94

Figura 3.7 Grafo del resolvente para el cálculo de los coeficientes YF y YS en dientes exteriores.

2 Spr E 1 1

8

βb

9

10 εαn

11

dn

12

dbn

13

dan

14

R

15

4

zn

θ

3

6

G

5

H

SFn/mn

7 ρf/mn

den

16 αen 17 γe

18 αFen

19 C

20

hfe/mn

21

YF

*FnS 22

23

*Fenh

24

L

25

*fρ

26

Sq

27

SY

28

SgY

95

Figura 3.8 Grafo del modelo matemático para el cálculo de los coeficientes YF y YS en dientes interiores.

24

αn

x

zn

Spr

q

pr

hfP

ρ fP

19

SFn/mn

15

1 β βb

2

z

3

εα

εαn

4

d

5

6

den

dan

7 R 8 9

10 γe

11

αen

C1

16

hFe/mn

14

YF

*FnS

13

23

L

20

Sq SY

17

12

C

da

αFen

PC

25

26

18

dbn dn

dfn

mn

22

df

21

*Fρ

ρF

96

Figura 3.9 Grafo del resolvente para el cálculo de los coeficientes YF y YS en dientes interiores.

zn

Spr

hfP

19

SFn/mn

15

1 βb

2

3

εαn

4 dn 5 dbn

6

den

dan

7

R 8 9

dfn

10 γe

11

αen

18 C1

16

hFe/mn

14

YF

*FnS

13

23

21

20

*Fρ

22

Sq

24

SY

17

12

C

αFen

PC

25

25

L

97

Figura 3.10 Grafo del modelo matemático para el cálculo del coeficiente de seguridad a la fractura, SF.

Yβ

σF0

1 Yε

YS

T1

mn

YF

ψbd

z1

εα

εαn

εβ β

7

5

NF

KHβ h bw

3 4 KFβ

KFα

KHα

σF

KA

KV

8

*PχqSest

*χ

9

qS *Tχ

Tter

Mo

11 Gδi

10 ρ |

12

Yδ rel T

σ0,2 Mat

σS 13

YδrelTest

14

GRi

Rz

YR rel T

YX

17

GNi

20

YNT

NL

σFPest

σFlim

YRrelTest

YNTest

σFPref 21

σFG

SF

16

15

YST 2

SFmín

19

18 22

6

98

.

Figura 3.11 Grafo del resolvente para el cálculo del coeficiente de seguridad a la fractura, SF.

6

2 Yβ

σF0

1 Yε

7

5

NF 3 4 KFβ

KFα

σF

8 *χ

9

*Tχ

11 Gδi

10 ρ |

12

Yδ rel T

13

Yδ relT est

14

GRi 15 YR rel T

16 YX

17

GNi

20

YNT

σFPest

18

19

σFPref 21

σFG

22

SF

99

Capítulo 4 Diseño de cajas reductoras

4.1 Diseño de prototipos de cajas reductoras

4.1.1 Programas para el diseño de celdas planetarias 2RP-A

A partir de los algoritmos cuya obtención está descrita en los capítulos 1, 2 y 3 del presente trabajo, el autor abordó el desarrollo del software necesario para automatizar la ejecución de los mismos. De ese modo, el proceso de diseño se puede realizar con ayuda de computadoras (en inglés: Computer Aided Design, CAD), lo cual acelera su realización y disminuye drásticamente el número de errores en comparación con el cómputo manual o el realizado en calculadoras.

Se elaboró con ese objetivo el sistema de programas Planetario, el cual consta de los siete programas secundarios siguientes:

1. Síntesis Métrica .

2. Correcciones.

3. Geometría.

4. Limitaciones.

5. Resistencia a Contacto.

6. Resistencia a Fractura.

7. Precisión.

Estos programas se elaboraron en el lenguaje de programación C, de acuerdo al estándar internacional vigente [ISO 9899], en un sistema de desarrollo para operar en computadoras de arquitectura Wintel.

El intercambio de información entre cada uno de los siete programas secundarios se realiza por medio de archivos ASCII ubicados en el disco duro de la computadora.

4.1.2 Proceso de diseño de cajas reductoras

El problema fundamental en el diseño de cajas reductoras de posible producción nacional consiste en lograr que todas sus ruedas dentadas se puedan mecanizar en las generadoras disponibles en el país. Aquí la limitación esencial viene dada por las dentadoras tipo Fellows, con herramienta de corte del tipo piñón mortajador. Las mayores máquinas-herramienta de este tipo disponibles en el país son las soviéticas del modelo 5B150 según [5B150], las cuales pueden elaborar ruedas dentadas interiores de precisión acorde con la norma [GOST 658-56] hasta un diámetro de fondo igual al valor crítico

mm8003 =critfd (4.1)

Más allá del valor crítico, el diseño de la máquina herramienta 5B150 permite generar, con precisión reducida, ruedas dentadas interiores hasta un diámetro de fondo igual al valor supremo

mm6001sup3 =fd (4.2)

100

Además, el módulo y el ancho de las ruedas dentadas elaboradas por la generadora 5B150 cumplen las restricciones

mm170mm12

≤≤

bm

(4.3)

Puesto que la etapa de baja velocidad del reductor es la que maneja el mayor momento torsor, el diámetro, ancho y módulo de su rueda anular constituyen los parámetros decisivos. Si se puede diseñar una etapa de baja con suficiente capacidad de carga, cuya rueda anular no supere los límites de las dentadoras nacionales actuales, se habrá allanado el camino al diseño de una caja reductora cubana apta para los molinos de caña típicos del MINAZ.

Debido a que maneja un momento torsor varias veces menor, el diámetro de la rueda anular de la etapa intermedia puede ser sensiblemente menor que el de la etapa de baja. Por tanto, el diseño de la etapa intermedia es un problema subalterno del diseño de la etapa de baja.

Puesto que la relación de transmisión de las cajas reductoras se encuentra, aún en los casos extremos, en el intervalo entre 25 y 45, la relación de transmisión de la etapa de alta resulta ser pequeña. Ello, unido al relativamente pequeño momento torsor que debe resistir, hace que su diseño sea un problema subalterno del diseño de la etapa intermedia.

Por tanto, la estrategia de diseño de las cajas reductoras lleva a diseñar en primera instancia la etapa de baja velocidad, en segunda instancia la etapa intermedia, y en última instancia la etapa de alta velocidad. Como muchos procesos del diseño mecánico, el proceso de diseño de las cajas reductoras debe presentar en alguna medida un carácter iterativo de las tres instancias antes mencionadas, pero ello no hace más que confirmar la estrategia planteada.

En el presente capítulo, se aplica el sistema de notación siguiente para los reductores de velocidad y sus etapas: Las etapas del reductor se numeran en orden ascendente a partir de la de baja, asignándole a ella el número 1. Esta etapa también se denomina etapa principal, debido a su mayor tamaño y masa. Los árboles del reductor se numeran consecutivamente en orden ascendente a partir del de baja, asignándole al mismo el número 0. La relación de transmisión de la etapa de número n se denota por el símbolo ni . El momento

torsor en el árbol m se denota por el símbolo mT . La relación de transmisión del reductor se denota por Ri .

Diseño de la etapa planetaria de baja

Para diseñar la etapa planetaria de baja, se utiliza el sistema de programas Planetario, descrito en el epígrafe 4.1.1. Ante todo se establecen los datos de entrada, que incluyen los materiales, las herramientas de generación de los engranajes y la tolerancia relativa de la relación de transmisión δ respecto a la nominal. Por otro lado, se determinan los límites de variación de los grados de libertad del problema de diseño, que incluyen la relación de transmisión nominal de la celda planetaria 2RP-A, los números de dientes de sus ruedas dentadas y el módulo de los engranajes, según (4.1):

maxmin

max33min3

max22min2

max11min1

max11min1

mmm

zzzzzzzzz

iii PPP

≤≤

≤≤≤≤≤≤

≤≤

(4.4)

Para cada valor de la relación de transmisión Pi1 y cada díada de valores ( )31 , zz , el número de dientes 2z del

satélite puede tomar tres o más valores posibles, con los correspondientes valores de los coeficientes de corrección sumarios, determinando así un número de variantes geométricas adimensionales preliminares.

Cada variante geométrica adimensional preliminar puede tomar uno o más valores del módulo, lo cual determina un número de variantes geométricas dimensionales preliminares, cuyas ruedas anulares no superan

101

las posibilidades de las generadoras dis ponibles en el país. El proceso de generación de las variantes geométricas preliminares, primero adimensionales y luego dimensionales, se realiza por el programa secundario Síntesis Métrica .

A los engranajes de cada variante preliminar, se les asignan correcciones y juegos radiales de acuerdo a diversos criterios, y tomando el ángulo de engranaje del par sol - planeta como grado de libertad. Se obtiene así un conjunto de variantes geométricas preliminares corregidas. Esta fase del cálculo se realiza por el programa secundario Correcciones.

El proceso de cálculo detallado de todos los parámetros geométricos restantes de los engranajes de cada variante geométrica preliminar corregida, se realiza por medio del programa secundario Geometría. Las variantes que presentan interferencia en el engranaje, socavado de los perfiles o aguzado excesivo de las crestas de los dientes, son filtradas por el programa secundario Limitaciones, obteniéndose como resultado un conjunto de variantes geométricas definitivas.

Los engranajes de cada variante geométrica definitiva se someten al cálculo de resistencia al contacto y la fractura, con los programas secundarios Resistencia a Contacto y Resistencia a Fractura , obteniéndose los coeficientes de seguridad correspondientes. Como grado de libertad en este proceso de cálculo a resistencia, se toma el ancho relativo del engranaje respecto al diámetro de referencia del piñón sol, bdψ .

Para el engranaje sol - planeta, denominado abreviadamente engranaje 1-2, el coeficiente de seguridad a las tensiones de contacto es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para cada una de sus ruedas, según

( )', 2112 HHH SSminS = (4.5)

Para el propio engranaje sol-planeta, el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para cada una de sus ruedas, según

( )', 2112 FFF SSminS = (4.6)

Para el engranaje planeta - corona, denominado abreviadamente engranaje 2-3, el coeficiente de seguridad a las tensiones de contacto es igual al valor mínimo de la resistencia a contacto de cada una de sus ruedas, según

( )3223 ,'' HHH SSminS = (4.7)

Para el propio engranaje planeta - corona, el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para cada una de sus ruedas, según

( )3223 ,'' FFF SSminS = (4.8)

Para la etapa planetaria de baja, el coeficiente de seguridad a las tensiones de contacto es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para los engranajes sol - planeta y planeta - corona, según

( )2312 ,min HHH SSS = (4.9)

Para la propia etapa planetaria de baja, el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para los engranajes sol - planeta y planeta - corona, según

( )2312,min FFF SSS = (4.10)

De acuerdo con el procedimiento establecido por la AGMA [AGMA 6110], los coeficientes de seguridad a las tensiones de contacto y fractura en los engranajes de un reductor de velocidad estándar deben cumplir las restricciones

0.10.1

≥≥

F

H

SS

(4.11)

para una vida útil h00010=L (4.12)

102

En el caso de las cajas reductoras para molinos de caña de azúcar, la propia norma [AGMA 6110] establece que los cálculos a resistencia deben realizarse tomando para el factor de aplicación un valor

75.1=AK (4.13)

Para la etapa planetaria de baja, el coeficiente de seguridad de la capacidad de carga es igual al valor mínimo que resulte entre el cuadrado del coeficiente de seguridad a las tensiones de contacto y el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura de la misma etapa, según

( )FH SSS ,min 2= (4.14)

Como resultado del proceso descrito con anterioridad, se obtiene un conjunto de variantes de celdas planetarias aptas desde el punto de vista cinemático, geométrico y de resistencia. El diseño óptimo está constituido en primer término por una serie de problemas indeterminados, cuyos resultados se filtran sucesivamente en cada fase del proceso.

En segundo término, del conjunto final de variantes de celdas planetarias se obtiene una solución óptima única que satisfaga la función objetivo

min3 →fd (4.15)

Diseño de la etapa planetaria intermedia

Para diseñar la etapa planetaria intermedia, se utiliza el sistema de programas Planetario, descrito en el epígrafe 4.1.1. Este es un problema de diseño subordinado al problema del diseño de la etapa de baja, puesto que el momento torsor que recibe el portasatélites de la etapa intermedia es igual al momento de salida del reductor dividido por el producto de la relación de transmisión y la eficiencia de la etapa de baja. Esto es,

11

01 ηi

TT = (4.16)

El proceso de diseño de la etapa intermedia es similar al de la etapa de baja, en cuanto al proceso de generación de las variantes por problemas parciales indeterminados, pero con las particularidades siguientes:

1. El diámetro de fondo de la rueda anular se restringe a un valor máximo algo menor que el diámetro de fondo de la rueda anular de la etapa de baja, para facilitar la interconexión de ambas etapas.

2. La elección de la solución óptima se hace de acuerdo a la función objetivo

min→wb (4.17)

Una etapa intermedia de ancho mínimo implica mínima concentración longitudinal de la carga en sus propios engranajes, y facilita el vínculo del portasatélites de la etapa intermedia con el piñón sol de la etapa de baja.

Diseño de la etapa cilíndrica de alta

Para diseñar la etapa cilíndrica de alta, se utiliza el sistema de programas Planetario, descrito en el epígrafe 4.1.1. Este es un problema de diseño subordinado al problema del diseño de la etapa intermedia, puesto que el momento torsor que recibe el árbol de salida de la etapa rápida es igual al momento de salida de la etapa intermedia dividido por el producto de su relación de transmisión y su eficiencia. Esto es,

22

12 ηi

TT = (4.18)

Además, la relación de transmisión de la etapa rápida viene determinada unívocamente por

213 ii

ii R

⋅= (4.19)

103

El proceso de diseño de esta etapa consiste, en primera instancia, en la generación de un conjunto de variantes del engranaje, como soluciones de una serie de problemas indeterminados, partiendo de los datos de entrada que incluyen la razón de engranaje con su respectiva tolerancia cinemática, y asignándole valores al grado de libertad

maxmin mmm ≤≤ (4.20)

En segunda instancia, a partir del conjunto de variantes aptas cinemática y a resistencia, se realiza la elección de la solución óptima de acuerdo con la función objetivo

min2 →wwba (4.21)

El criterio de optimización (4.21) se corresponde aproximadamente con un volumen mínimo del engranaje de alta, lo cual asegura una distancia interaxial suficientemente pequeña, pero no tanto como para aumentar excesivamente el ancho del propio engranaje. En este caso, una distancia interaxial muy pequeña provoca una fuerza muy elevada en el plano transversal, lo cual puede traer dificultades en cuanto a la selección de rodamientos suficientemente duraderos para el montaje de los árboles de la propia etapa de alta.

4.1.3 Variantes optima de caja reductora

En la Dirección de Maquinaria Industrial del MINAZ se han propuesto cajas reductoras para el accionamiento de molinos de caña con los parámetros de diseño dados en la Tabla 4.1.

Esta caja reductora presenta una relación de transmisión mayor que la anteriormente utilizada en las cajas reductoras típicas, utilizadas en los centrales construidos por el MINAZ y en otras inversiones. Ello se debe a la nueva tendencia de moler a menor velocidad y con un espesor mayor del colchón de bagazo, lo cual permite reducir la energía mecánica necesaria para moler una misma masa de caña. Esto implica una disminución de la potencia instalada en el motor eléctrico, tradicionalmente igual a 630 kW, cifra que ahora pasaría a ser igual a 500 kW.

Los valores de los momentos torsores que aparece en la Tabla 4.1 se ha obtenido por el autor suponiendo una eficiencia energética del reductor aproximadamente igual al 94%.

Tabla 4.1 Parámetros de diseño de cajas reductora para molinos de caña

Parámetro Símbolo Valores propuestos Valores instalados

Potencia de entrada 3P 500 kW 630 kW

Momento torsor de salida 0T 200 000 Nm 182 000 Nm

Frecuencia de rotación de entrada 3n 900 min-1 900 min-1

Frecuencia de rotación de salida 0n 22.5 min-1 32.14

Relación de transmisión Ri 40 28

La fase fundamental de todo el diseño lo es la obtención de la etapa de baja. En la Tabla 4.2 se dan los intervalos de valores para los grados de libertad en la generación de variantes de diseño de la celda planetaria.

104

Tabla 4.2 Intervalos de valores de los grados de libertad en la síntesis de variantes de la etapa de baja

Grado de libertad Intervalo de valores

Relación de transmisión total etapa de baja 87.2 1 ≤≤ pi

Número de dientes del piñón sol 5012 1 ≤≤ z

Número de dientes de la rueda anular 21036 3 ≤≤ z

Número de dientes de la rueda planeta 8012 2 ≤≤ z

Módulo [mm] 128 ≤≤ m

Ángulo de engranaje en el par sol - planeta [...º] 2820 ≤≤ twα

Se consideraron como materiales para los engranajes un acero aleado cementado (15CrNiMo6) y rectificado para las ruedas dentadas de dientes exteriores y un acero aleado bonificado(35CrNiMo) para la rueda anular, de dientes interiores.

El proceso de generación de variantes completamente aptas, tanto desde el punto cinemático como geométrico como de resistencia, alcanzó una cifra superior a las 50 000. En el gráfico de la Figura 4.1 se muestra el comportamiento del coeficiente de seguridad de la capacidad de carga para variantes óptimas de la etapa de baja en función de la relación de transmisión.

5.6

1.01

i

S

Figura 4.1 Punto de diseño óptimo de la etapa de baja del ejemplo.

El comportamiento mostrado en la Figura 4.1 es típico. El máximo coeficiente de seguridad de la capacidad de carga tiene lugar para un determinado valor de la relación de transmisión de la celda planetaria, tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia de durezas entre las ruedas sol y planeta, por un lado, y la rueda anular por otro. Para valores menores o mayores de la relación de transmisión de la celda planetaria, el coeficiente de seguridad de la capacidad de carga disminuye de manera sensible.

En la Tabla 4.3a se dan algunos de los valores característicos de la cinemática, la geometría y la capacidad de carga de la celda óptima de baja, junto a los datos análogos de las otras dos etapas que conforman en conjunto una caja reductora óptima para el diseño considerado.

105

Detalles adicionales sobre los engranajes de la caja reductora de este diseño se dan en el epígrafe 4.4, conjuntamente con los datos del modelo físico a escala reducida, para evitar repetir un conjunto relativamente voluminoso de datos.

Tabla 4.3a Resumen de datos de las etapas de la caja reductora óptima de la familia de reductores.

Parámetro Etapa de baja Etapa intermedia Etapa rápida

m [mm] 12 10 12

aw [mm] 261 195.5 225

bw [mm] 170 75 90

α [...º] 20 20 20

β [...º] 0 0 11

ha* 1 1 1

c* 0.3 0.3 0.25

z1 15 15 15

z2 26 22 21

z3 69 60 -

i 5.6 5 1.4

x1 0.694 0.616 0.318

x2 0.797 0.624 0.127

x3 1.058 1.229 -

da3 829.13 603.49 -

df3 882.04 647.32 -

SH1 1.004 1.188 1.074

SH2’ 1.004 1.188 1.112

SH2’’ 1.926 1.196 -

SH3 1.086 1.21 -

SF1 2.521 3.689 -

SF2’ 1.766 2.861 1.894

SF2’’ 2.084 2.817 1.690

SF3 1.461 2.284 -

106

Teniendo en cuenta que en este momento en el país existen mas de 500 cajas reductoras con los parámetros descritos en la tabla 4.1 (valores instalados), la segunda variante de diseño de caja reductora puede sustituir no solo la batería de reductores del tandem sino que pudiera sustituir cada reductor independientemente puesto que tiene los mismos parámetros que los instalados.

En la tabla 4.2b se presenta un resumen de resultados de 2da variante, en la misma se mantienen iguales la etapa de baja e intermedia y se elimina la etapa de entrada (etapa cilíndrica).

Tabla 4.3b Resumen de datos de las etapas de la caja reductora óptima de la familia de reductores.

Parámetro Etapa de baja Etapa entrada

m [mm] 12 10

aw [mm] 261 195.5

bw [mm] 170 75

α [...º] 20 20

β [...º] 0 0

ha* 1 1

c* 0.3 0.3

z1 15 15

z2 26 22

z3 69 60

i 5.6 5

x1 0.694 0.616

x2 0.797 0.624

x3 1.058 1.229

da3 829.13 603.49

df3 882.04 647.32

SH1/ 1.062 1.188

SH2’ / SH2’’ 2 1.062/2.024 1.188/1.196

SH3 1.149 1.21

SF1 2.794 3.689

SF2’ / SF2’’ 1.957 / 2.281 2.861 / 2.817

SF3 1.611 2.284

2 SH ’, F’ Coeficiente de seguridad a contacto , fractura para Sol – Planeta y SH ’’, F ’’ Planeta corona.

107

4.2 Estrategia tecnológica de desarrollo de cajas reductoras para molinos de caña de azúcar.

Según datos de la dirección de maquinarias del MINAZ en la actualidad se encuentran se encuentran instaladas 500 cajas reductoras del tipo: reductores de tres etapas cilíndricos de ejes fijo, con motores eléctricos en la entrada de 630 kW. Los cuales tienen una frecuencia de rotación de 900 min -1 Estos reductores fueron suministrados al MINAZ en la década del 70 por la firma Flender radicada entonces en la antigua República Democrática Alemana.

Problemas fundamentales que confronta el MINAZ con relación a los Accionamientos para molino de caña.

• La rotura de los reductores para molino de caña se produce como regla general en la etapa de baja.

• No es posible construir en Cuba el reductor instalado en la actualidad por las siguientes razones:

La etapa de baja de estos reductores tiene una distancia entre centros de mmaW 710= . Con una

relación de transmisión de 8.2=i por lo que la rueda tiene un diámetro exterior superior a 1 200 mm con un ancho de 400 mm.

Estas ruedas están fabricadas con aceros de alta calidad 17CrNiMo6, cementadas y rectificada.

Con estas característica podemos afirmar lo siguiente:

- En la actualidad en Cuba no se ha podido obtener fundiciones de acero que alcancen estas características.

- El país no tiene ni prensa ni forja con potencia suficiente para obtener un semi producto de estas dimensiones.

- No poseemos rectificadoras de engranajes para estas dimensiones.

- EL MINAZ no tiene en este momento los recursos financieros para adquirir estos reductores ni las piezas de repuesto (Engranajes de la etapa de Alta).

Definición de la estrategia tecnológica.

Una vez demostrada la valides del diseño de las cajas reductoras optimas para molinos de caña la estrategia tecnológica se puede definir para las dos posibles variante de la forma siguiente:

• La industria mecánica cubana esta en capacidad de producir las dos variantes de reductores propuestas.

1. Reductores instalados. Variante 1. Cualquiera de los reductores instalado en el tandem se puede sustituir por el reductor que aparece en la tabla 4.3b puesto que cumple con los requisitos solicitados por el MINAZ.

2. Reductor propuesto. Variante 2. Este reductor (tabla 4.3a) da respuesta a los requerimientos de MINAZ para los nuevos desarrollo teniendo en cuenta que el mismo significa un ahorro de energía de 130 kW / hora una vez instalado, además de que los costos de fabricación y precios, están muy por debajo de lo que este costaría un reductor igual en el mercado internacional.

3. Las piezas de repuesto estarían garantizadas en el país, lo que junto a la fabricación constituiría la necesaria reanimación de la industria mecánica cubana.

108

4.3 Validación del modelo matemático para el cálculo de las celdas planetarias 2RP- A.

Para validar el modelo matemático se realizaron varias corridas con los datos de catalogo de los reductores Flender del tipo PZA en las tablas 4.4, 4.5, 4.6, 4.11 Se encuentran reflejados los parámetros geométricos y dinámicos calculados según la Flender basados en la norma ISO 6336 I –V y la norma DIN 3990.

En las tablas 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.12 Se encuentran reflejados una muestra de los parámetros geométricos y dinámicos calculados según el modelo matemático creado por el autor basado en la norma ISO 6336 I –V y la norma DIN 3990.

Como se puede apreciar, existe una correspondencia exacta ente ambos cálculo, lo que permite afirmar que el modelo matemático elaborado para este tipo de transmisión cumple todas las condiciones contempladas en dichas normas y confirman la valides del modelo matemático de cálculo.

En el gráfico 4.1 las dos primera columnas corresponden a la validación del modelo y la tercera columna corresponde a los calculo realizados con los mismos parámetros y con las maquinas y herramientas que en la actualidad poseemos.

Tabla 4.4 Datos de las etapas de baja de los reductores Flender modelo PZA

Parámetros PZA 265 PZA 250

Módulo [mm] 12 12

Distancia entre centros [mm] 261 243

Angulo del perfil de referencia. (...º) 20 20

050

100150

200250

300350

400

PZA 265 PZA 250 PZA 224 PZA 200

PZAM. MatematicoM MLogarítmica (PZA)

Figura 4.1 Gráfico de la validación del modelo mate mático Modelo.

109

Tabla 4.5 Parámetros geométricos de las etapas baja de los reductores Flender modelo PZA

PZA 265 PZA 250 Geometría de las ruedas

Sol Planeta Planeta Corona Sol Planeta Planeta Corona

Numero de dientes 15 26 26 69 14 24 24 64

Ancho [mm] 195 195 195 219 182 182 182 206

Coeficiente de corrección 0.605 0.886 0.886 1.147 0.639 0.869 0.869 1.130

Diámetro referencia [mm] 180 312.000 312.000 828.000 168.000 288.000 288.000 768.000

Diámetro básico [mm] 169.145 293.184 293.184 778.065 157.868 270.631 270.631 721.684

Diámetro primitivo [mm] 190.976 331.024 315.628 837.628 179.053 306.947 291.600 777.600

Diámetro de fondo [mm] 158.525 297.266 297.266 881.919 147.330 272.846 272.846 821.517

Diámetro de cresta [mm] 212.734 351.475 351.475 881.916 201.154 326.670 326.670 770.846

Tabla 4.6 Parámetros dinámicos de las etapas baja de los reductores Flender modelo PZA

Parámetros dinámicos PZA 265 PZA 250

Torque de salida T0 [Nm.] 260000 170000

ω0 [r.p.m.] 22.5 22.5

PZA 265 PZA 250 Parámetros dinámicos


Materiales 17CrNiMo6

17CrNiMo6

17CrNiMo6

35CrNiMo6

17CrNiMo6

17CrNiMo6

17CrNiMo6

35CrNiMo6

Dureza superficial 58 HRC 58 HRC 58 HRC 300 HB 58 HRC 58 HRC 58 HRC 300 HB

σHlim [MPa] 1500 1500 1500 770 1500 1500 1500 770

σFlim [MPa] 550 385 385 320 550 385 385 320

KA 1 1 1 1 1 1 1 1

KV 1.001 1.001 1.023 1.023 1.001 1.001 1.002 1.002

KHβ 1.237 1.237 1.298 1.298 1.298 1.298 1.384 1.384

KHα 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Zε 0.977 0.977 0.915 0.915 0.982 0.982 0.918 0.910.

ZH 2.079 2.079 2.383 2.383 2.057 2.057 2.376 2.376

ZE [MPa-0.5] 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800

Zβ 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

110

ZB,D 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

ZL 1.047 1.047 1.047 1.090 1.047 1.047 1.047 1.090

ZV 0.938 0.938 0.938 0.866 0.937 0.937 0.937 0.849

ZR 0.988 0.988 0.918 0.852 0.986 0.986 0.916 0.849

ZW 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

ZX 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

ZNT 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

σH [MPa] 1191.75 1191.75 626.723 688.580 1094.53 194.53 585.688 585.688

σHP [MPa] 1456.07 1456.07 1352.62 688.580 1452.29 1452.29 1349.64 685.688

SH 1.222 1.222 2.158 1.099 1.327 1.327 2.304 1.171

Tabla 4.7 Datos de las etapas de baja de los reductores según el modelo matemático

Parámetros PZA 265 PZA 250

Módulo [mm] 12 12

Distancia entre centros [mm] 261 243

Ángulo del perfil de referencia. (...º) 20 20

Tabla 4.8 Parámetros geométricos de las etapas baja de los reductores según el modelo mate mático

PZA 265 PZA 250 Geometría de las ruedas


Numero de dientes 15 26 26 69 14 24 24 64

Ancho [mm] 195 195 195 219 182 182 182 206

Coeficiente de corrección 0.605 0.886 0.886 1.147 0.639 0.869 0.869 1.130

Diámetro referencia [mm] 180 312.000 312.000 828.000 168.000 288.000 288.000 768.000

Diámetro básico [mm] 169.145 293.184 293.184 778.065 157.868 270.631 270.631 721.684

Diámetro primitivo [mm] 190.976 331.024 315.628 837.628 179.053 306.947 291.600 777.600

Diámetro de fondo [mm] 158.525 297.266 297.266 881.919 147.330 272.846 272.846 821.517

Diámetro de cresta [mm] 212.734 351.475 351.475 881.916 201.154 326.670 326.670 770.846

Tabla 4.9 Parámetros dinámicos de las etapas baja de los reductores según el modelo matemático

Parámetros dinámicos PZA 265 PZA 250

Torque de salida T0 [Nm.]

260000 170000

ω0 [r.p.m.] 22.5 22.5

111



Contacto


Materiales 17CrNiMo6

17CrNiMo6

17CrNiMo6

35CrNiMo6

17CrNiMo6

17CrNiMo6

17CrNiMo6

35CrNiMo6

Dureza superficial 58 HRC 58 HRC 58 HRC 300 HB 58 HRC 58 HRC 58 HRC 300 HB

σFlim [MPa] 550 385 385 320 550 385 385 320

KA 1 1 1 1 1 1 1 1

KV 1.001 1.001 1.023 1.023 1.001 1.001 1.002 1.002

KHβ 1.237 1.237 1.298 1.298 1.298 1.298 1.384 1.384

KHα 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Zε 0.977 0.977 0.915 0.915 0.982 0.982 0.918 0.910.

ZH 2.079 2.079 2.383 2.383 2.057 2.057 2.376 2.376

ZE [MPa-0.5] 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800

Zβ 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

ZB,D 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

ZL 1.047 1.047 1.047 1.090 1.047 1.047 1.047 1.090

ZV 0.938 0.938 0.938 0.866 0.937 0.937 0.937 0.849

ZR 0.988 0.988 0.918 0.852 0.986 0.986 0.916 0.849

ZW 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

ZX 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

ZNT 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

σH [MPa] 1191.75 1191.75 626.723 688.580 1094.53 194.53 585.688 585.688

σHP [MPa] 1456.07 1456.07 1352.62 688.580 1452.29 1452.29 1349.64 685.688

SH 1.222 1.222 2.158 1.099 1.327 1.327 2.304 1.171

Tabla 4.11 Parámetros dinámicos de las etapas baja de los reductores Flender modelo PZA


Fractura


σFlim [MPa] 550 385 385 320 550 385 385 320

YF 2.197 1.830 2.102 2.1 2.166 1.829 2.120 2.101

YS 1.8457 2.157 2.027 2.247 1.862 2.143 2.005 2.242

112

KFA 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

KFβ 1.201 1.201 1.247 1.247 1.250 1.250 1.313 1.313

KFα 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Yε 0.910 0.910 0.755 0.755 0.929 0.929 0.759 0.759

YST 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.000 2.000

YNT 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

YR rel T 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960

Yδ rel T 1.007 1.026 1.026 1.046 1.008 1.008 1.025 1.046

YX 0.930 0.930 0.930 0.958 0.930 0.930 0.930 0.958

σF [MPa] 326.178 317.386 295.030 290.70 259.730 252.286 235.400 235.521

σFP [MPa] 989.161 705.606 705.606 615.878 990.37 704.77 704.774 615.878

SF 3.033 2.223 2.389 2.119 3.813 2.794 2.994 2.672




σFlim [MPa] 550 385 385 320 550 385 385 320

YF 2.197 1.830 2.102 2.1 2.166 1.829 2.120 2.101

YS 1.8457 2.157 2.027 2.247 1.862 2.143 2.005 2.242

KFA 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

KFβ 1.201 1.201 1.247 1.247 1.250 1.250 1.313 1.313

KFα 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Yε 0.910 0.910 0.755 0.755 0.929 0.929 0.759 0.759

YST 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.000 2.000

YNT 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

YR rel T 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960

Yδ rel T 1.007 1.026 1.026 1.046 1.008 1.008 1.025 1.046

YX 0.930 0.930 0.930 0.958 0.930 0.930 0.930 0.958

σF [MPa] 326.178 317.386 295.030 290.70 259.730 252.286 235.400 235.521

σFP [MPa] 989.161 705.606 705.606 615.878 990.37 704.77 704.774 615.878

SF 3.033 2.223 2.389 2.119 3.813 2.794 2.994 2.672

131

En el modelo.

'''''''XWRVLNTP ZZZZZZZ = (4.98)

'

'''

Hmin

PHlimHP S

Zσσ = (4.99)

Sustituyendo (4.92) en (4.94) y (4.965), se obtiene el indicador de semejanza (4.100).

ZXZWZRZVZLZNTZP CCCCCCC = (4.100)

Sustituyendo los parámetros anteriores en la condición de resistencia obtenemos. En el prototipo:

Hmin

PHlimHHVAHOH S

ZKKKK

σσσ αβ ≤= (4.101)

αβ HHVA KKKKK = (4.102)

En el modelo:

'min

''lim''''''

H

PHHVAHOH S

ZKKKK

H

σσσ αβ

≤= (4.103)

'''''αβ HVA KKKKK

H= (4.104)

Sustituyendo las ecuaciones (4.98) en (4.100) y (4.101) se obtiene el indicador de semejanza(4.84).

αβ KHKHKVKAK CCCCC = (4.105)

Poniendo las ecuaciones anteriores en función del coeficiente de seguridad.

1mínlím ≥≥KSZ

SHO

HPHH σ

σ (4.106)

1''

mín''

' ≥≥KSZ

SHO

HPHlimH σ

σ (4.107)

Donde ambos coeficientes de seguridad son los complejos adimensionales que caracterizan dinámicamente la rotura por contacto en el modelo y el prototipo. Para que sean dinámicamente semejantes a contacto, los complejos adimensionales, en este caso, los coeficientes de seguridad, deben estar lo más próximos posible y en ambos deben cumplirse las condiciones expresadas en (4.106) y (4.107).

4.4.4 Semejanza dinámica a la fractura entre prototipo y modelo

Determinación de la semejanza en los esfuerzos a fractura.

FPF σσ ≤ (4.108)

αβσσ FFVFAFOF KKKK= (4.109)

)/(bmYYYYF SFtFO βεσ = (4.110)

Los coeficientes ,,,, βε YYYY SF dependen de la geometría de la herramienta y del engranaje, por lo que

tanto en el modelo como en el prototipo serán iguales, ''FPF σσ ≤ (4.111)

''''''αβσσ FFVFFOF KKKK= (4.112)

)/('''''1

' bmYYYYF SFtFO βεσ = (4.113)

132

Poniendo las ecuaciones en función del momento torsor y de la relación ψbd , sin incluir los coeficientes

KA, KV, KFβ , KFα , Obtenemos las expresiones siguientes:

βεψσ YYYY

mzT

SFbd

FO 321

1

)()(.2

= (4.114)

''''3'2'

1

'1'

)()(.2

βεψσ YYYY

mzT

SFbd

FO = (4.115)

=

1

'1

3'

TT

mm

(4.116)

Simultaneando (4.114) y (4.115) se obtiene (4.116), que demuestra que se sigue manteniendo la misma relación entre el tamaño y el momento torsor que en los esfuerzos a contacto.

Análisis de la semejanza en los coeficientes KFA, KFα, KFβ, KV.

Coeficiente de aplicación de la carga a fractura KFA Para el modelo y el prototipo este coeficiente es el mismo, porque solo depende de la maquina movida y la maquina motriz.

FAFA KK =' (4.117)

1/' == FAFAKFA KKC (4.118)

Coeficiente de carga dinámica KV Es el mismo que para el esfuerzo a contacto, por lo que también se cumple

VV KK ≠' (4.119)

1/' ≠= VVKV KKC (4.120)

Coeficiente de distribución longitudinal de la carga a fractura KFβ

ββ FF KK ≠' (4.121)

1/' ≠= βββ FFF KKC (4.122)

Coeficiente de distribución transversal de la carga a fractura KFα

αα FF KK ≠' (4.123)

1/' ≠= ααα FFK KKC (4.124)

Esfuerzo permisible a fractura σFP

XTrelRTrelmin

NTSTFlimFP YYY

SYY

δ

σσ = (4.125)

El límite de fatiga a la fractura, σF lím, depende del material de empleado y del tratamiento térmico, por lo cual no depende de la escala de las transmisiones.

''FlimFlim σσ =

(4.126)

1'

lím ==Flim

FlimFC

σσ

σ (4.127)

133

De los factores YSN,YNT, Yδ rel T, YR rel T ,YX, solo sufrirán variación. Yδ rel T, YR rel T, YX

Criterio de semejanza.

NTNT YY =' 1'

==NT

NTY Y

YC

NT

SNSN YY =! 1'

==SN

SNY Y

YC

SN

TrelTrel δδ YY ' = 1Y

YC

'

Y ≠=

Trel

Trel

Trelδ

δ

δ

TrelRTrelR YY =' 1'

≠=TrelR

TrelR

TrelRY YY

C

XX YY =' 1

'

≠=X

XYX Y

YC

(4.128)

Llamemos Y y 'Y a los productos de todos los coeficientes modificativos del límite de fatiga a la

fractura en el prototipo y en el modelo. En el prototipo

XTrelR

TrelSNNT YYYY YYδ= (4.129)

En el modelo

XTrelR

TrelSNNT YYYY '''''' YY δ= (4.130)

En el prototipo En el modelo

Fmin

FlimFP S

Yσσ =

'

'''

Fmin

FlimFP S

Yσσ = (4.131)

Fmin

FlimFsFFO S

YYYYY

σσ βε ≤

'

'''''''

Fmin

FlimSFFO S

YYYYY

σσ βε ≤ (4.132)

βεYYYYY FsF=∏ βε''''' YYYYY FsF=∏ (4.133)

Sustituyendo (4.131) y (4.133) en (4.132) se obtiene el coeficiente de seguridad a fractura:

En el prototipo En el modelo

1mín ≥≥∏Y

SYS

FO

HFlinF σ

σ 1''

''lim' ≥≥

∏YSY

SFO

HmínFF σ

σ (4.134)

Donde ambos coeficientes de seguridad son los complejos adimensionales que caracterizan dinámicamente la rotura por fractura el modelo y el prototipo. Para que sean dinámicamente semejantes a fractura, los complejos adimensionales, en este caso, los coeficientes de seguridad deben estar lo más próximos posible y en ambos deben cumplirse las condiciones (4.134) A continuación se expone un conjunto de Tablas que reflejan los cálculos del prototipo y del modelo donde se demuestra la semejanza dinámica a rotura por contacto y fractura.

134

Tabla 4.30 Semejanza dinámica de la etapa de baja

Parámetro Prototipo Modelo

Potencia [kW] 500 8

Fuerza tangencial por unidad de ancho [N/mm] 780 177

Velocidad periférica en el cilindro de referencia. [ms-1] 1.19 0.29

Rigidez de una pareja de dientes. [(N/mm)/µm] 14 14

Rigidez media del engranaje [(N/mm)/µm] 13.8 13.8

Frecuencia de resonancia. [min-1] 11 500 23 000

Relación de resonancia 0.01100 .00025

Coeficiente de carga dinámica KV 1.004 1.003

Tabla 4.31 Semejanza a la picadura del engranaje sol-planeta de la etapa de baja

Sol Planeta Parámetro

Prototipo Modelo Prototipo Modelo

σHlim [MPa] 1500 1500 1500 1500

KHβ 1.225 1.225 1.225 1.225

KHα 1.0 1.0 1.0 1.0

KA 1.75 1.75 1.75 1.75

Zε 0.978 0.978 0.978 0.978

ZH 2.079 2.079 2.079 2.079

ZE [MPa-0.5] 189.8 189.8 189.8 189.8

Zβ 1 1 1 1

ZB,D 1 1 1 1

ZL 1.047 1.047 1.047 1.047

ZV 0.957 0.949 0.957 0.949

ZR 0.988 0.952 0.988 0.952

ZW 1 1 1 1

ZX 1 1 1 1

ZNT 1 1 1 1

σHO [MPa] 1008.5 959.7 1008.5 959.7

σH [MPa] 1479.2 1406.9 1479.2 1406.9

σHP [MPa] 1484.7 1419.3 1484.7 1419.3

SH 1.004 1.009 1.004 1.009

135

Tabla 4.32 Semejanza a la picadura del engranaje planeta-corona de la etapa de baja

Planeta Corona Parámetro

Prototipo Modelo Prototipo modelo

σHlím [MPa] 1500 1500 770 770

KHβ 1.225 1.138 1.138 1.225

KHα 1 1 1

KA 1.75 1.75 1.75 1.75

Zε 0.937 0.937 0.937 0.937

ZH 2.383 2.383 2.383 2.383

ZE [MPa.-0.5] 181.4 181.4 181.4 181.4

Zβ 1 1 1 1

ZB,D 1 1 1 1

ZL 1.047 1.047 1.090 1.090

ZV 0.957 0.949 0.907 0.891

ZR 0.918 0.885 0.852 0.795

ZW 1 1 1.2 1.2

ZX 1 1 1 1

ZNT 1 1 1 1

σHO [MPa] 505.5 481.0 505.5 481.0

σH [MPa] 716.4 706.4 716.4 706.4

σHP [MPa] 1379.7 1319 777.8 712.6

SH 1.926 1.867 1.086 1.009

136

Tabla 4.33 Semejanza a la fractura del engranaje sol-planeta de la etapa de baja



σFlim [MPa] 550 550 385 385

YF 1.755 1.755 1.685 1.685

YS 1.953 1.953 2.036 2.036

KFA 1.75 1.75 1.75 1.75

KFβ 1.193 1.193 1.193 1.193

KFα 1.0 1.0 1.0 1.0

Yε 1 1 1 1

YST 2 2 2 2 YNT 1 1 1 1

YR rel T 1.043 1.043 1.043 1.043

Yδ rel T 1.006 1.008 1.006 1.008

YX 0.930 1 0.930 1

σOF [MPa] 203.4 184.2 203.4 184.8

σF [MPa] 426.0 385.4 426.4 385.8

σFP [MPa] 1074.2 1155.0 753.1 809.8

SF 2.521 2.99 1.766 2.099 Tabla 4.34 Semejanza a la fractura del engranaje planeta-corona de la etapa de baja

Planeta Corona Parámetro


σFlim [MPa] 385 385 320 320

YF 1.983 1.983 1.924 1.924 YS 1.911 1.911 2.726 2.726

KFA 1.75 1.75 1.75 1.75

KFβ 1.119 1.193 1.119 1.193

KFα 1 1 1 1

Yε 1 1 1 1

YST 2 2 2 2

YNT 1 1 1 1

YR rel T 1.043 1.043 0.960 0.960

Yδ rel T 1.008 1.008 1.096 1.096

YX 0.930 1 0.958 1

σOF [MPa] 183.0 165.7 223.6 203.9

σF [MPa] 361.3 347.9 441.5 448.2

σFP [MPa] 753.1 809.8 644.9 673.2

SF 2.084 2.327 1.461 1.572

137

Tabla 4.35 Semejanza dinámica de la etapa intermedia


Potencia [kW] 550 7.5


Velocidad periférica en el cilindro de referencia. [m.s-1] 5.09 1.27

Rigidez de una pareja de dientes. [(N/mm)/µm] 14.000 14.000

Frecuencia de resonancia. [min-1] 14441 57764

Relación de resonancia. 0.045 0.011


Tabla 4.36 Semejanza a la picadura del engranaje sol-planeta de la etapa intermedia



σHlím [MPa] 1500.0 1500.0 1500.0 1500.0

KHβ 1.130 1.225 1.130 1.225

KHα 1.000 1.000 1.000 1.000

KA 1.75 1.75 1.75 1.75

Zε 0.972 0.972 0.972 0.972

ZH 2.098 2.098 2.098 2.098

ZE [MPa-0.5] 189.8 189.8 189.8 189.8

Zβ 1 1 1 1

ZB,D 1 1 1 1

ZL 1.047 1.047 1.047 1.047

ZV 0.983 0.957 0.983 0.957

ZR 0.980 0.945 0.980 0.945

ZW 1.0 1.0 1.0 1.0

ZX 1.0 1.0 1.0 1.0

ZNT 1.0 1.0 1.0 1.0

σHO [MPa] 898.2 833.6 898.2 833.6

σH [MPa] 1273.5 1224.6 1273.5 1.224.6

σHP [MPa] 1513.3 1421.6 1513.3 1421.6

SH 1.188 1.16 1.188 1.16

138

Tabla 4.37 Semejanza a la fractura del engranaje sol-planeta de la etapa intermedia



σFlím [MPa] 550.0 550.0 385.0 385.0

YF 1.881 1.881 1.835 1.835

YS 1.891 1.891 1.941 1.941

KFA 1.75 1.75 1.75 1.75

KFβ 1.095 1.163 1.095 1.163

KFα 1.000 1.000 1.000 1.000

Yε 1.000 1.000 1.000 1.000

YST 2 2 2 2

YNT 1 1 1 1

YR rel T 1.043 1.043 1.043 1.043

Yδ rel T 1.006 1.005 1.006 1.006

YX 0.950 1.000 0.950 1.000

σOF [MPa] 152.5 131.4 152.7 131.5

σF [MPa] 297.1 269.2 297.4 269.5

σFP [MPa] 1095.9 1153.6 767.8 808.2

SF 3.689 4.286 2.581 2.999

Tabla 4.38 Semejanza a la fractura del engranaje planeta-corona de la etapa intermedia

Planeta Corona Parámetros


σFlím [MPa] 385 385 320 320

YF 2.134 2.134 1.9 1.9

YS 1.834 1.834 2.737 2.739

KFA 1.75 1.75 1.75 1.75

KFβ 1.093 1.163 1.093 1.163

KFα 1.000 1.000 1.000 1.000

Yε 1.000 1.000 1.000 1.000

YST 2.000 2.000 2.000 2.000

YNT 1.000 1.000 1.000 1.000 YR rel T 1.043 1.043 0.960 0.960

Yδ rel T 1.006 1.006 1.096 1.096

YX 0.950 1.000 0.970 1.000

σOF [MPa] 138.5 119.3 145.3 125.4

σF [MPa] 272.5 245.7 285.9 258.3

σFP [MPa] 767.8 808.2 652.99 673.2

SF 2.817 3.289 2.284 2.606

139

Tabla 4.39 Semejanza dinámica del engranaje de la etapa de alta


Potencia [kW] 550 8


Velocidad periférica en el cilindro de referencia. [m.s-1] 8.64 2.16

Rigidez de una pareja de dientes. [(N/mm)/µm] 12.093 12.093

Frecuencia de resonancia. [min-1] 8656 34 624

Relación de resonancia. 0.104 0.026


Tabla 4.40 Semejanza a la picadura del engranaje de la etapa de alta

Piñón Rueda Parámetro

Modelo Prototipo Modelo Prototipo

σHlím [MPa] 1500.0 1500 1500 1500

KHβ 1.109 1.247 1.109 1.247

KHα 1.0 1.0 1.0 1.0

KA 1.75 1.75 1.75 1.75

Zε 0.905 0.904 0.905 0.904

ZH 2.268 2.268 2.268 2.268

ZE [MPa-0.5] 189.8 189.8 189.8 189.8

Zβ 0.991 0.991 0.991 0.991

ZB,D 1.035 1.035 1.0 1.0

ZL 1.047 1.047 1.047 1.047

ZV 0.996 0.979 0.996 0.979

ZR 0.999 0.962 0.999 0.962

ZW 1.0 1.0 1.0 1.0

ZX 1.0 1.0 1.0 1.0

ZNT 1.0 1.0 1.0 1.0

σHO [MPa] 992.5 897.8 992.5 897.8

σH [MPa] 1455.4 1389.6 1405.5 1342.8

σHP [MPa] 1.562.6 1480.0 1562.6 1480.0

SH 1.074 1.065 1.112 1.102

140

Tabla 4.41 Semejanza a la fractura del engranaje de la etapa de alta

Piñón Rueda Parámetro


σFlím [MPa] 550 550 550 550

YF 1.584 1.584 1.733 1.733

YS 1.944 1.944 1.830 1.830

KFA 1.75 1.75 1.75 1.75

KFβ 1.077 1.174 1.077 1.174

KFα 1.0 1.0 1.0 1.0

Yε 0.958 0.947 0.958 0.947

YST 2.0 2.0 2.0 2.0

YNT 1.0 1.0 1.0 1.0

YR rel T 1.052 1.052 1.052 1.052

Yδ rel T 0.998 0.998 0.996 0.996

YX 0.930 1.0 0.930 1.0

σOF [MPa] 153.5 126.0 179.1 146.6

σF [MPa] 299.1 265.4 349.1 309.0

σFP [MPa] 566.3 609.0 565.5 608.1

SF 1.894 2.294 1.620 1.968

4.5 Resumen de la valoración económica del costo de fabricación de la caja reductora para molino de caña.

Los cálculos del costo de producción de un reductor están basado en una producción unitaria, los indicadores vigentes varían de un centro de producción a otro, no obstante esta variación no sobrepasa los $ 5000.00 USD.

4.5.1 Costo de producción.

OCFESSSCSBCCMPC od ++++++=Pr

Donde:

odCPr Costo de producción, MP Materia prima y materiales, CC Costo de contratación.

SB Salario básico SC Salario complementario SS Seguro social

FE Fondo estatal OC Otros costos Materia prima y materiales

141

Precio de los materiales.

Materiales (MP) Costo ($/Ton)USD

17CrNiMo6 1860

35CrNiMo6 1860

Acero 4 1450

Hierro nodular GGG 70 1400

Hierro gris 450

Cantidad de materiales

Piezas cdad Materiales

MPi

Peso ( Kg) ∑

=

=

=ni

iiT MPMP

1

(USD)

1 Satélites (E.B) 3 17 CroNiMo6 747 1 392.00

2 Sol (E.B) 1 17 CroNiMo6 166 309.00

3 Corona 1 35CroNiMo6 547 1 017.00

4 Porta satélite 1 Ac 4 2000 3 000.00

5 Satélites (E.I) 3 17 CroNiMo6 190 1 392.00

6 Sol (E.I) 1 17 CroNiMo6 150 279.00

7 Corona 1 35CroNiMo6 350 1 450.00

Porta satélite 1 Ac 4 1000 1 500.00

8 Piñon (E. E) 1 17 CroNiMo6 115 215.00

8 Rueda (E. E) 1 17 CroNiMo6 169 315.00

Carcaza etapa de baja

1 Ac 4 200 290.00

11 Carcaza delantera. 1 Ac 4 250 362.00

12 Apoyo intermedio 1 Ac 4 350 507.00

13 Eje Satelite 6 Ac 45 20 38.00

Soporte del Reductor

1 Ac 4 750 1087.00

Rodamientos 17 - - 7 500.00

Elementos normalizados

- - - 350.00

Pintura - - - 150.00

+ 15 % - - - 317.25

Total(USD) 21470.00

Total(M.N) 4723.00

142

Costo de contratación (CC).

No se considera para este cálculo el costo de contratación.

CC = 0

Salario básico (SB)

∑ ⋅= EP TTSB

Donde: TP Tiempo de ejecución.

TE Tarifa escala de cada participante.

Salario complementario (SC)

SC = 0.0909⋅ SB

Seguro social (SS)

SS =0.08(SB+SC)

Fondo estatal FE = 0.25 SB

En la ejecución del reductor intervienen.

Calificación. Cdad. TE ($/h) TP(h) SC SS FE SB

Tornero “A”. 2 1.30 46 10.80 10.38 29.75 119.00

Fresador “A”. 2 1.49 71 19.32 18.55 53.14 212.58

Mecánicos de taller “A” 2 1.49 66 17.87 17.16 49.17 196.68

Termista “A” 1 1.49 32 4.33 4.16 11.92 47.68

Pailero 1 1.49 35 4.72 4.54 13.03 52.15

O. de rectificadora “A” 1 1.49 56 9.45 9.21 26.00 105.79

Ayudante 3 0.78 71 15.08 14.48 16.5 166.00

Total 12 - - 80.57 78.48 199.78 899.09

Total General - - - - - 1257.92

Otros costos.

OC = 350.00

Resumen del costo de producción de una unidad del reductor objeto de estudio.

Precio Reductor Firma País

U.S.A M.N

Prototipo Producciones Mecánica

Cuba 20 000 – 30 000 5980.00

PZA Flender Alemania 100 000 – 150 000 20 000 –30 000

143

Conclusiones. 1. Los modelos matemáticos obtenidos, relacionados con la cinemática, Resistencia a la picadura, y

Resistencia a fractura para los engranajes cilíndricos a evolvente interiores y exteriores están por su enfoque y contenido al nivel más actualizados de la técnica, refrendado en las normas ISO, DIN y AGMA.

2. Se llega a un enfoque original a partir de las condiciones de formación de las transmisiones planetarias tipo 2RP-A, de un modelo único de cálculo para los engranajes cilíndricos interiores y exteriores. Se consideraron tanto los aspectos geométricos como los cinemáticos y los de resis tencia.

3. Se llega a un enfoque original En el cálculo de los coeficientes de correcciones para este tipo de mecanismos donde los coeficientes de corrección en el par sol planeta son suficiente para garantizar las condiciones de resistencia a contacto y a fractura simultáneamente.

4. Se obtiene un método de cálculo a partir del cual se logra el diseño optimo de cualquier reductor de máxima capacidad de carga. Con este método se puede emplear cualquier función objetivo.

5. Los algoritmos obtenidos dan solución al problema del diseño óptimo de reductores 2RP-A. Este diseño es apto para la creación de cajas reductoras para molinos de caña. Estas cajas reductoras se caracterizan por poseer engranajes anulares de diámetro mínimo en la etapa de baja .

6. Un resultado importante de trabajo lo constituye el paquete de programa Planeta elaborado por el autor en lenguaje C sin el cual se hace imposible optimizar dicha transmisión.

7. Se diseñó un prototipo de caja reductora , con relación de transmisión 40:1 y capacidad de carga igual a 500 kW a una frecuencia de rotación de entrada igual a 900 min-1. Este da respuesta a los nuevos desarrollos del MINAZ.

8. Se diseñó un prototipo de caja reductora , con relación de transmisión 28:1 y capacidad de carga igual a 630 kW a una frecuencia de rotación de entrada igual a 900 min-1. Éste da respuesta a las sustituciones de los reductores que actualmente se encuentra fuera de servicio individualmente o en baterías de 5 reductores.

9. El diseño de caja reductora antes mencionado se puede construir en el país con los medios tecnológicos disponibles actualmente. Con ello, se demuestra la hipótesis principal del trabajo, y se refutan declaraciones que afirmaban la imposibilidad de lograr este objetivo.

10. El reductor objeto del presente estudio es factible construir en Cuba porque las maquinas y herramientas para su fabricación están disponibles, porque los materiales seleccionados son asequibles a a través de los proveedores instalados en el mercado nacional, porque la fuerza de trabajo calificada se encuentra disponible, e incluso subutilizada.

11. Se obtuvo, después de un estudio minucioso de análisis de semejanza, el modelo físico del prototipo de la caja reductora que cumple simultáneamente con las condiciones necesarias y suficientes. El procedimiento de diseño de un modelo físico de reductor de velocidad brindado en el trabajo es totalmente general y aplicable a otros casos análogos.

12. La investigación de los costos de producción del prototipo, en la industria mecánica nacional, arroja una gran dispersión en cuanto a los valores de cotización. El precio en el mercado internacional de estos reductores es de 100 000 – 150 000 USD. Los costos de producción en el mercado nacional no sobrepasan los 20 000 a 30 000 USD. Esta cotización fue obtenida de fuentes confiables en la industria nacional. Es evidente, por la diferencia, lo factible de su construcción en las condiciones de la industria Cubana.

Recomendaciones 1. Construir el modelo a escala con los parámetros que se plantean en los cálculos realizados para éste y

que se encuentran tabulados en el epígrafe 4.2 del Capítulo 4.

144

2. Someter dicho modelo a un plan de ensayos para validar la capacidad de carga, determinando los posibles cambios en el diseño y la fabricación.

3. Debe precisarse en condiciones de fábrica el costo del prototipo.

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