DISEÑO DE VIGAS A FLEXION, CORTANTE Y TORSION

CRISTIAN ANDRES GOMEZ BELTRANEstudiante de ingeniería Civil

Universidad Industrial de Santandercristian.gomez1111@gmail.com

VIGA 4-3 (EJE E)

1. Diseño a Flexión

Momento Positivo (M+)

Datos:

El momento máximo es el dado por el programa SAP 2000 como lo indica el punto anterior.

Mmax+¿50.8540KN ∙m

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

Dimensiones:

Para el cálculo del be se basó en C.8.12.2 de la NSR 10.

cs=¿¿

cs=((2.5m−0.4m)+(2.6m−0.4m))/2

cs=2.15m

be={bw+ 2∗cs2

=300+ 2∗21502

=2450mm

bw+2 (8hf )=300+16∗110=2060mmL4=53004

=1325mm→RIGE }be=1325mm

i. Suponemos Estribos No. 3

ii. Asumiendo una fila de acero y utilizando barras No. 6 obtenemos d.

Los diámetros y Áreas de las barras son utilizados de la tabla C.3.5.3-2 de la NSR 10.

La distancia de espaciamiento mínimo de 40mm se toma de la C.7.7.1 (c) de la NSR 10.

d=h−40−d No .3−d No .62

=400−40−9.5−19.12

=340.95mm

hf= 110 mm

be = 1325 mm

bw= 300 mm

h = 400 mm

40 mm

iii. Calculo As a tensión

Con una fila de acero

Suponemos ∅=0.9

j=¿

As (1 )= Mu∅ fyjd

= 50.8540∗106N ∙mm0.9∗420Mpa∗(0.95∗340.95mm)

=415.355mm2

a=As (1 )∗fy

0.85∗f ' c∗be=415.355mm2∗420Mpa

0.85∗21∗1325mm=7.3758mm

As (2 )= Mu

∅ fy(d−a2)= 50.8540∗106N ∙mm

0.9∗420Mpa∗(340.95mm−7.3758mm2

)=398.902mm2

%E=|As (1 )−As (2 )As (1 ) |∗100=|415.355−398.902415.355 |∗100=3.96%

a=As (2 )∗fy

0.85∗f ' c∗be=398.902mm2∗420Mpa

0.85∗21∗1325mm=7.0837mm

As (3 )= Mu

∅ fy(d−a2)= 50.8540∗106 N ∙mm

0.9∗420Mpa∗(340.95mm−7.0837mm2

)=398.729mm2

%E=|As (2 )−As (3 )As (2 ) |∗100=|398.902−398.729398.902 |∗100=0.04%

a=As (3 )∗fy

0.85∗f ' c∗be=398.729mm2∗420Mpa

0.85∗21∗1325mm=7.081mm

iv. Chequeo Acero mínimo

As ,min={0.25√ f ' c bw dfy

=0.25∗√21∗300∗340.95420

=279.005mm2

1.4 bw dfy

=340.95mm2 }Para este caso como el valor obtenido de As requerido es mayor al valor mínimo de As exigido por C.10.5.1 de la NSR-10, la sección debe tener el valor de As calculado.

Se procede a calcular el No de barras requerido para la sección utilizando barras No. 6

No barras=As(3)

A No .6=398.729mm2

284mm2 =1.40398≅ 2barras

Se recalcula los valores de a, c para el nuevo As debido a las 2 barras No. 6

As , field=2∗A No .6=2∗284=568mm2

a , field= As , field∗fy0.85∗f ' c∗be

= 568m m2∗420Mpa0.85∗21Mpa∗1325mm

=10.0866mm

C , field= aβ1

=10.0866mm0.85

=11.866mm

d , field=340.95mm

v. Pre-chequeo de fluencia y estado de falla

As , field=568mm2

a , field=10.0866mm

C , field=11.866mm

d , field=340.95mm

ε s=( d−cc )∗εcu=( 340.95−11.86611.866 )∗0.003=0.0832

εs

ε y

=0.08320.0021

=36.61>1.0 ¡ok !

0.0832>0.004→cumple conC .10 .3 .5de la NSR−10¡ok !

0.0832>0.005→Cumple conC .10 .3 .4de la NSR 10 por lo tanto es validala suposicion de∅=0.9

vi. Calculo de Resistencia Nominal (Mn)

Mn=Asfy (d−a2 )=568m m2∗420

Mpa∗(340.95mm−10.0866mm2 )∗1

106

Mn=80.1339KN ∙m

vii. Calculo de ∅Mn

∅ Mn=0.9∗80.1339KN ∙m=72.1205KN ∙m

Como ∅ Mn sobrepasa en un 29.48% al Mu y es mayor a lo recomendable que es mantenerlo por encima de un 10%, por ahora la sección diseñada para el refuerzo del momento positivo cumple con la resistencia deseada.

Momento Negativo (M-)

Datos:

El momento máximo es el dado por el programa SAP 2000 como lo indica el primer punto.

Mmax−¿−98.5290KN ∙m

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

Dimensiones:

Para el cálculo del be se basó en C.8.12.2 de la NSR 10.

cs=¿¿

cs=((2.5m−0.4m)+(2.6m−0.4m))/2

cs=2.15m

be={bw+ 2∗cs2

=300+ 2∗21502

=2450mm

bw+2 (8hf )=300+16∗110=2060mmL4=53004

=1325mm→RIGE }be=1325mm

i. Suponemos Estribos No. 3

ii. Asumiendo una fila de acero y utilizando barras No. 5 obtenemos d.

Los diámetros y Áreas de las barras son utilizados de la tabla C.3.5.3-2 de la NSR 10.

La distancia de espaciamiento mínimo de 40mm se toma de la C.7.7.1 (c) de la NSR 10.

d=h−40−d No .3−d No .52

=400−40−9.5−15.92

=342.55mm

hf= 110 mm

be = 1325 mm

bw= 300 mm

h = 400 mm

40 mm

iii. Calculo As a tensión

Con una fila de acero

Suponemos ∅=0.9

j=¿

As (1 )= Mu∅ fyjd

= 98.5290∗106 N ∙mm0.9∗420Mpa∗(0.9∗342.55mm)

=792.642mm2

a=As (1 )∗fy

0.85∗f ' c∗bw=792.642mm2∗420Mpa

0.85∗21∗300mm=62.168mm

As (2 )= Mu

∅ fy(d−a2)= 98.5290∗106 N ∙mm

0.9∗420Mpa∗(342.55mm−62.168mm2

)=836.877mm2

%E=|As (1 )−As (2 )As (1 ) |∗100=|792.642−836.877792.642 |∗100=5.58%

a=As (2 )∗fy

0.85∗f ' c∗bw=836.877mm2∗420Mpa

0.85∗21∗300mm=65.6374mm

As (3 )= Mu

∅ fy(d−a2)= 98.5290∗106 N ∙mm

0.9∗420Mpa∗(342.55mm−65.6374mm2

)=841.564mm2

%E=|As (2 )−As (3 )As (2 ) |∗100=|836.877−841.564836.877 |∗100=0.56%

iv. Chequeo Acero mínimo

As ,min={0.25√ f ' c bw dfy

=0.25∗√21∗300∗342.55420

=280.315mm2

1.4 bw dfy

=342.55mm2 }

Para este caso como el valor obtenido de As requerido es mayor al valor mínimo de As exigido por C.10.5.1 de la NSR-10, la sección debe tener el valor de As calculado.

Se procede a calcular el No de barras requerido para la sección utilizando barras No. 5

No barras=As(3)

A No .5=841.564mm2

199mm2 =4.22896≈5barras

Se recalcula los valores de a, c para el nuevo As debido a las 4 barras No. 5

As , field=5∗A No .5=5∗199=995mm2

a , field= As , field∗fy0.85∗f ' c∗bw

= 995m m2∗420Mpa0.85∗21Mpa∗300mm

=78.0392mm

C , field= aβ1

=78.0392mm0.85

=91.8108mm

d , field=342.55mm

v. Pre-chequeo de fluencia y estado de falla

As , field=995m m2

a , field=78.0392mm

C , field=91.8108mm

d , field=342.55mm

ε s=( d−cc )∗εcu=( 342.55−91.810891.8108 )∗0.003=0.008193

εs

ε y

=0.0081930.0021

=3.91>1.0 ¡ok !

0.008193>0.004→cumpleconC .10 .3 .5de la NSR−10 ¡ok !

0.008193>0.005→Cumple conC .10 .3 .4de la NSR10 por lo tanto es valida la suposicionde∅=0.9

vi. Calculo de Resistencia Nominal (Mn)

Mn=As fy(d−a2 )=995m m2∗420

Mpa∗(342.55mm−78.0392mm2 )∗1

106

Mn=126.845KN ∙m

vii. Calculo de ∅Mn

∅ Mn=0.9∗126.845KN ∙m=114.161KN ∙m

Como ∅ Mn sobrepasa en un 13.7% al Mu por ahora la sección diseñada para el refuerzo del momento positivo cumple con la resistencia deseada por los parámetros de la NSR-10.

Por diseño a flexión la sección transversal quedaría de esta manera:

Las barras que se colocaron en los extremos de las alas se deben al cumplimiento de

C.10.6.6 de la NSR-10 la cual nos indica que si be> 110

(L) se debe colocar algún

refuerzo longitudinal en las zonas más externas del ala.

Como be=1325mm y 110

( L )= 110

(5300mm )=530mm

luego1325>530mm→ Se distribuye una barra a cada ala de la viga

2. Diseño a Cortante y Torsión

5 barras No.5

2 barras No 6

(Diseño Flexión)

DISEÑO A CORTANTE

Nodo 4E (parte Izquierda)

Datos:

El cortante de diseño es el dado por el programa SAP 2000 ubicado a la distancia donde se toma el de diseño, para este caso a la mitad de la columna más una distancia d como indica C.11.1.3.1 de la NSR-10.

Ancho de columna = 400mm

D= Ancho columna2

+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m

V diseño=76.977KN

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

d=340.95mm

Dimensiones:

i. Calculo de cortante en el concreto (Vc)

El cálculo de Vc se obtiene mediante C.11.2.1.1 de la NSR-10

4E 3E

hf= 110 mm

be = 1325 mm

bw= 300 mm

h = 400 mm

Vc=0.17 λ√ f ' cbw d

Vc=0.17∗(1 )∗√21∗300∗340.95Vc=79683.9N=79.6839KN

ii. Calculo de cortante en el acero (Vs)

Vu=∅ Vn→ Según la ecuación C.11.1 de la NSR-10

∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10

Se despeja a Vn

76.977KN=∅ Vn

Vn=102.636KN

Se procede a calcular Vs despejando de la ecuación C.11.2 de la NSR-10

Vn=Vc+Vs

Vs=Vn−Vc=102.636KN−79.6839KN=22.9521KN

Si Vu>12∅Vc se necesitan estribos según C.11.4.6.1 de la NSR-10

Comprobamos

76.977KN > 12∗0.75∗79.6839KN

76.977KN >29.8815KN

Con lo anterior se deduce que se deben colocar estribos.

iii. Relación entre separación y cantidad de acero se debe colocar en el diseño a cortante.

Separación máxima

Se debe verificar C.11.4.5.1 y C.11.4.5.3 de la NSR-10

Vs≤0.33√ f ' cbw d

22.9521KN ≤0.33∗√21∗300∗340.9522.9521KN ≤154.68KN

Como si cumple entonces la separación máxima es:

Smax={d2=340.95mm

2=170.475mm

600mm }Smax=170.475mm

Se comprueba si la sección es apta para diseño según C.11.4.7.9 de la NSR-10

Vs≤0.66√ f ' cbw d

22.9521KN ≤0.66∗√21∗300∗340.9522.9521KN ≤309,9361KN luego si es apta

iv. Calculo de separación teórica

Suponemos 2 ramas de barras No.3

Av=2∗A No .3=2∗71mm2=142mm2

Según la ecuación C.11-15 de C.11.4.7.2 de la NSR-10 obtenemos la separación teórica

Vs= Av fyt dSteo

Despejamos a Steo y obtenemos:

Steo=142m m2∗280Mpa∗340.95mm22.9521∗103 N

=590.621mm

v. Calculo de separación por Av,min

De las ecuaciones dadas en C.11.4.6.3 despejamos la separación mínima a utilizar

Av ,min¿ Av=142m m2

Av ,min={ 0.062√ f ' cS bwfyt

→ Smin=466.47mm

0.35bw Sfyt

→ Smin=378.667mm→ Rige}

vi. Seleccionar separación que rige por cortante

Smax=170.475mm

Steo=590.621mm

Smin=378.667mm

De las tres calculadas se selecciona la menor la cual regirá como separación máxima por cortante:

Smax=170.475mm≅ 17 cm

Nodo 3E (parte Derecha)

Datos:

El cortante de diseño es el dado por el programa SAP 2000 ubicado a la distancia donde se toma el de diseño, para este caso a la mitad de la columna más una distancia d desde la parte derecha hacia la izquierda como indica C.11.1.3.1 de la NSR-10.

Ancho de columna = 400mm

D= Anchocolumna2

+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m

V diseño=79.177KN

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

d=340.95mm

i. Calculo de cortante en el concreto (Vc)

El cálculo de Vc se obtiene mediante C.11.2.1.1 de la NSR-10

4E 3E

Vc=0.17 λ√ f ' cbw d

Vc=0.17∗(1 )∗√21∗300∗340.95Vc=79683.9N=79.6839KN

ii. Calculo de cortante en el acero (Vs)

Vu=∅ Vn→ Según la ecuación C.11.1 de la NSR-10

∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10

Se despeja a Vn

79.177KN=∅ Vn

Vn=105.569KN

Se procede a calcular Vs despejando de la ecuación C.11.2 de la NSR-10

Vn=Vc+Vs

Vs=Vn−Vc=105.569KN−79.6839KN=25.8851KN

Si Vu>12∅Vc se necesitan estribos según C.11.4.6.1 de la NSR-10

Comprobamos

79.177KN > 12∗0.75∗79.6839KN

79.177KN >29.8815KN

Con lo anterior se deduce que se deben colocar estribos.

iii. Relación entre separación y cantidad de acero se debe colocar en el diseño a cortante.

Separación máxima

Se debe verificar C.11.4.5.1 y C.11.4.5.3 de la NSR-10

Vs≤0.33√ f ' cbw d

25.8851KN ≤0.33∗√21∗300∗340.9525.8851KN ≤154.68KN

Como si cumple entonces la separación máxima es:

Smax={d2=340.95mm

2=170.475mm

600mm }Smax=170.475mm

Se comprueba si la sección es apta para diseño según C.11.4.7.9 de la NSR-10

Vs≤0.66√ f ' cbw d

25.8851KN ≤0.66∗√21∗300∗340.9525.8851KN ≤309,9361KN luego si es apta

iv. Calculo de separación teórica

Suponemos 2 ramas de barras No.3

Av=2∗A No .3=2∗71mm2=142mm2

Según la ecuación C.11-15 de C.11.4.7.2 de la NSR-10 obtenemos la separación teórica

Vs= Av fyt dSteo

Despejamos a Steo y obtenemos:

Steo=142m m2∗280Mpa∗340.95mm25.8851∗103 N

=523.706mm

v. Calculo de separación por Av,min

De las ecuaciones dadas en C.11.4.6.3 despejamos la separación mínima a utilizar

Av ,min¿ Av=142m m2

Av ,min={ 0.062√ f ' cS bwfyt

→ Smin=466.47mm

0.35bw Sfyt

→ Smin=378.667mm→ Rige}

vi. Seleccionar separación que rige por cortante

Smax=170.475mm

Steo=523.706mm

Smin=378.667mm

De las tres calculadas se selecciona la menor la cual regirá como separación máxima por cortante:

Smax=170.475mm≅ 170mm≅ 17cm

DISEÑO A TORSION

Nodo 4E (parte Izquierda)

Datos:

La torsión máxima es el dado por el programa SAP 2000 que para esta viga es constante en todo este tramo.

Ancho de columna = 400mm

D= Ancho columna2

+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m

T max=7.4202KN ∙m

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

d=340.95mm

Dimensiones:

4E 3E

Para el diseño por Torsión se debe recalcular un nuevo ancho efectivo (be) y hacer el

análisis para estas dimensiones para que se pueda cumplir C.13.2.4 de la NSR 10.

hb=h−hf =400mm−110mm=290mm

hf =110mm

be={ bw+(2hb )=300+2∗2∗290mm=880mmbw+(8hf )=300+2∗8∗110mm=1180mm}

be=880mm

i. Calculo de Área y Perímetro de la sección transversal del concreto

Para este cálculo utilizaremos Acp y Pcp con alas y sin alas para verificar C.11.5.1.1 de la NSR-10 la cual nos indica:

SiAc p2

Pcpconalas< Ac p2

Pcpsinalas→ Si se cumple se desprecian las alas.

Con alas

Acp=be∗hf +bw∗hb=880∗110+300∗290=183800mm2

Pcp=2be+2hf +2hb=2∗880+2∗110+2∗290=2560mm2

Sin alas

Acp=bw∗h=300∗400=120000mm2

Pcp=2bw+2h=2∗300+2∗400=1400m m2

Demostración:

Ac p2

Pcpconalas< Ac p2

Pcpsinalas

hf= 110 mm

be = 880 mm

bw= 300 mm

h = 400 mm

1838002

2560< 120000

2

1400

1838002

2560< 120000

2

1400

1.3196∗107>1.0285∗107→ Como no cumple no se desprecian las alas

ii. Calculo de umbral de Torsión

Tu≤∅ 0.083[ Ac p2

Pcp ] λ√ f ' c → Según el C.11.5.1 de la NSR-10 se permite despreciar

efectos de torsión si se cumple.

∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10

λ=1→ Según el C.8.6.1 de la NSR-10

Tu=7.4202KN ∙m

Tu≤0.75∗0.083∗[ 18380022560 ]∗1∗√21∗1

106

Tu≤3.7644KN ∙m

Como no cumple si se requiere diseño por torsión.

iii. Sección Apta para diseño

Para este cálculo debemos cumplir con C.11.5.3.1 aplicando la ecuación C.11-18 de la NSR-10.

√( Vubw d )

2

+( Tu Ph

1.7 Ao h2 )2

≤∅ ( Vcbw d

+0.66√ f ' c)Vu=76.977KN

Vc=79.6839KN

Donde,

Aoh = Área encerrada por el eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir torsión.

Poh = Perímetro encerrado por el eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir torsión.

y 1=h−40∗2−9.52

∗2=310.5mm

x1=bw−40∗2−9.52

∗2=210.5mm

Aoh=x1∗y1=65360.3mm2

Ph=2∗x1+2∗y1=1042m m2

Reemplazamos en la ecuación C.11-18

√( 76.977∗103300∗340.95 )2

+( 7.4202∗106∗10421.7∗65360.32 )2

≤0.75∗( 79.6839∗103300∗340.95+0.66√21)

1.3733Mpa≤2.8526Mpa→ La sección es apta para diseño

iv. Área requerida por torsión

Como las torsiones no son tan grandes no es necesario aplicar C.11.5.2.2 de la NSR-10.

Procedemos a calcular el área de flujo de torsión según C.11.5.3.6 de la NSR-10 donde:

Ao=0.85 Aoh=0.85∗65360.3m m2=55556.3m m2

v. Calculo de separación máxima por torsión

De C.11.5.6.1 de la NSR-10 verificamos en espaciamiento máximo.

Ph=1042mm2

Smax={Ph8

=10428

=130.25mm→Rige

300mm }vi. Calculo de separación teórica por torsión

De C.11.5.3.6 de la NSR-10 verificamos la separación teórica despejando de la siguiente ecuación.

θ=45→La cual nos basamos en C.11.5.3.6 (a) para elemento no preesforzados.

Tn=Tu∅

→ El cual debe basarse el diseño de la torsión según C.11.5.3.5 de la NSR-10.

Tn=7.4202KN ∙m0.75

=9.8936KN ∙m

Tn=2Tn Ao At fyts

∗cot θ

Despejando a S,

At = Área transversal de estribos

At=A No .3=71mm2

Steo=2 Ao At fytTn

∗cot θ=2∗55556.3∗71∗2809.8936∗106

∗cot 45=223.267mm

vii. Separación para proveer un At, min

De las ecuaciones dadas en C.11.4.6.3 despejamos la separación mínima a utilizar

Av=2∗A No .3=2∗71=142mm2

At=71m m2

Smin para At ,min={Av+2 At=0.062√ f ' c S bwfyt

Av+2 At=0.35bw Sfyt

}

Despejando a S de las ecuaciones:

Smin para At ,min={ 932.94mm757.33mm→Rige}

viii. Elegir Separación mas critica por torsión

De las tres calculadas anteriormente se escoge le menor la cual será la más crítica por torsión.

Smax=130.25mm≅ 13 cm→Rige

Steo=223.267mm

Smin para At ,min=757.33mm

ix. Evaluar los efectos combinados para el nodo 4E

De C.11.5.3.8 de la NSR-10 verificamos los efectos combinados para cortante y torsión.

Av+ t

S= Av

Steo+ 2 At

Steo

2∗71S

= 142590.621

+ 2∗71223.267

Despejando S,

Steo=162.02mm

x. Selección de Separación de diseño

Sdiseño=13cm

xi. Acero longitudinal a torsión

Acero Teórico

De C.11.5.3.7 de la NSR-10 y la ecuación C.11-22 se calcula Al de la siguiente manera.

Primero despejamos AtS

de la siguiente ecuación

Ats

= Tn2 Ao fyt cot θ

= 9.8936∗106

2∗55556.3∗280=0.318

Al= AtS

Ph( fytfy )∗cot θ

Al=0.318∗1042∗( 280420 )Al=220.907m m2

Chequeo de Al, min

De C.11.5.5.3 de la NSR-10 se calcula Al, min de la siguiente manera.

Al ,min=0.42∗√ f ' c∗Acpfy

− Ats

∗Ph∗( fytfy )

Al ,min=0.42∗√21∗183800420

−0.318∗1042∗( 280420 )Al ,min=621.373mm2

Escogemos la mayor de las dos la cual es la que debemos suministrar.

Al ,min=621.373mm2

xii. Calculo de cantidad de barras para torsión.

Calculo del No. Barras Acero longitudinal el cual utilizaremos barras No.6

No .debarras= Al ,minA No.6

=621.373284

=2.187≅ 2barras

dbarra ,min=0.042∗Sdiseño=0.042∗130mm=5.46mm

d No.6=19.1mm

19.1mm>5.46mm→ Si cumple con el d,min dado por C.11.5.6.2 de la NSR-10

Igualmente se calcula el espaciamiento entre las barras longitudinales de la sección transversal,

S=266−19.12

=123.45mm

Se compara con el valor dado por C.11.5.6.2 de la NSR-10.

123.45mm<300mm→ Si cumple

Nodo 3E (parte derecha)

Datos:

La torsión máxima es el dado por el programa SAP 2000 que para esta viga es constante en todo este tramo.

Ancho de columna = 400mm

D= Ancho columna2

+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m

T max=2.3233KN ∙m

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

d=340.95mm

Dimensiones:

4E 3E

Para el diseño por Torsión se debe recalcular un nuevo ancho efectivo (be) y hacer el

análisis para estas dimensiones para que se pueda cumplir C.13.2.4 de la NSR 10.

hb=h−hf =400mm−110mm=290mm

hf =110mm

be={ bw+(2hb )=300+2∗2∗290mm=880mmbw+(8hf )=300+2∗8∗110mm=1180mm}

be=880mm

i. Calculo de Área y Perímetro de la sección transversal del concreto

Para este cálculo utilizaremos Acp y Pcp con alas y sin alas para verificar C.11.5.1.1 de la NSR-10 la cual nos indica:

SiAc p2

Pcpconalas< Ac p2

Pcpsinalas→ Si se cumple se desprecian las alas.

Con alas

Acp=be∗hf +bw∗hb=880∗110+300∗290=183800mm2

Pcp=2be+2hf +2hb=2∗880+2∗110+2∗290=2560mm2

Sin alas

Acp=bw∗h=300∗400=120000mm2

Pcp=2bw+2h=2∗300+2∗400=1400m m2

Demostración:

Ac p2

Pcpconalas< Ac p2

Pcpsinalas

hf= 110 mm

be = 880 mm

bw= 300 mm

h = 400 mm

1838002

2560< 120000

2

1400

1838002

2560< 120000

2

1400

1.3196∗107>1.0285∗107→ Como no cumple no se desprecian las alas

ii. Calculo de umbral de Torsión

Tu≤∅ 0.083[ Ac p2

Pcp ] λ√ f ' c → Según el C.11.5.1 de la NSR-10 se permite despreciar

efectos de torsión si se cumple.

∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10

λ=1→ Según el C.8.6.1 de la NSR-10

Tu=2.3233KN ∙m

Tu≤0.75∗0.083∗[ 18380022560 ]∗1∗√21∗1

106

Tu≤3.7644KN ∙m

Si cumple luego para este tramo no requiere diseño por torsión solo se tiene en cuenta el diseño a cortante y flexión.

Análisis de Secciones Transversales

Para el análisis por torsión usamos la sección transversal más crítica.

Momento Positivo (+)

Nodo 4E

Sección Transversal

1ra fila = 5 barra No.5

2da fila = 2 barras No. 6

3ra fila = 2 barras No. 6

Mmax+¿50.8540KN ∙m

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

As1=995m m2

As2=568m m2

As3=568m m2

Se asume a≤ hf =110mm

i. Suponemos que fluye T2 y T3 y que todos los aceros se encuentran a tensión.

ds1=40+9.5+ 15.92

=57.45mm

ds 2=400−40−9.5−15.9−123.45−19.12

=201.6mm

ds 3=340.95mm

0.003c

= εs1(57.45−c)

εs 1=0.003(57.45−c )

c

fs1=600 (57.45−c)

c

Ccu=Ts 1+Ts 2+Ts3

0.85∗f ' c∗a∗be=As1∗fs1+As2∗fy+ As3∗fy

0.85∗21∗0,85∗c∗1325=995∗( 600c ∗(57,45−c ))+568∗420+568∗420Despejando c,

c=38.4302mm

a=32.6657mm

ii. Comprobando fluencias,

εs 1=0.003(57.45−c )

c=0.001485<0.0021 ¡ok !

εs 2=0.003(201.6−c)

c=0.0127>0.0021¡ok !→fy=420Mpa

εs 3=0.003 (340.95−c)

c=0.0236>0.0021¡ok !→fy=420Mpa

iii. Calculo de Mn

Mn=0.85∗f ' c∗β1∗c∗be∗(ds3−a2 )−As2∗fy∗( ds3−ds2 )−As1∗fs1∗(ds3−ds1)

Mn=0.85∗21∗0,85∗c∗1325∗(340.95−a2 )−568∗420∗(340.95−201.6 )−995∗600 (57.45−c )

c∗(340.95−57.45)

Mn=133.786KN ∙m

iv. Calculo de ∅Mn

∅=0.9

∅ Mn=0.9∗133.786KN ∙m

∅ Mn=120.408KN ∙m>50.8540KN .m

Con esto se comprueba que la sección cumple con la norma sismo-resistente de 2010 y nos ira a resistir el momento máximo aplicado para esta viga.

Excede suficiente cantidad ya que para esta última sección transversal se tiene en cuenta el refuerzo a torsión.

Momento Negativo (-)

Nodo 4E

Sección Transversal

1ra fila = 5 barra No.5

2da fila = 2 barras No. 6

3ra fila = 2 barras No. 6

Mmax−¿−98.5290KN ∙m

f ' c=21Mpa

fy=420Mpa

fyt=280Mpa

As1=995m m2

As2=568m m2

As3=568m m2

i. Suponemos que fluye T1 y T2 y que As3 está a compresión.

ds1=342.55mm

ds 2=40+9.5+19.1+123.45+ 19.12

=201.6mm

ds 3=40+9.5+ 19.12

=59.05mm

0.003c

= εs3(c−59.05)

εs 3=0.003 (c−59.05)

c

fs3=600(c−59.05)

c

Ccu+T 3=Ts1+Ts 2

0.85∗f ' c∗a∗bw+ As3∗(fs3−0.85 f ' c)=As1∗fy+ As2∗fy

0.85∗21∗0,85∗c∗300+568∗( 600 (c−59.05 )c

−0.85 f ' c)=568∗420+995∗420Despejando c,

c=111.3mm

a=94.605mm

ii. Comprobando fluencias,

εs 3=0.003 (c−59.05)

c=0.001408<0.0021 ¡ok !

εs 2=0.003(201.6−c)

c=0.00243>0.0021 ¡ok !→fy=420Mpa

εs 1=0.003(342.55−c )

c=0.00623>0.0021 ¡ok !→fy=420Mpa

iii. Calculo de Mn

Mn=0.85∗f ' c∗β 1∗c∗bw∗(ds1−a2 )+ As3∗( fs3−0.85∗f ' c)∗(ds1−ds3 )−As2∗fy∗(ds1−ds2)

Mn=0.85∗21∗0.85∗111.3∗300∗(342.55−94.6052 )+568∗( 600 (111.3−59.05 )111.3

−0.85∗21)∗(342.55−59.05 )−568∗420∗(342.55−201.6)

Mn=−158.433KN ∙m

iv. Calculo de ∅Mn

∅=0.9

∅ Mn=0.9∗158.433KN ∙m

∅ Mn=142.59KN ∙m>98.5290KN .m

Con esto se comprueba que la sección cumple con la norma sismo-resistente de 2010 y nos ira a resistir el momento máximo aplicado para esta viga.

Excede suficiente cantidad ya que para esta última sección transversal se tiene en cuenta el refuerzo a torsión.

Despiece del refuerzo transversal

Nodo 4E

Sc=170.475mm≅ 17cm

St=130.25mm≅ 13cm→ Rige

Sc+t=162.02mm

El primer tramo requieren diseño por cortante y torsión como lo calculamos y comprobamos anteriormente.

El primer estribo se coloca a 0.05 m de la cara del apoyo debido a C.21.3.4.6 de la NSR-10.

L=1.76−0.05−0.2=1.51m

No .estribos=LS=1.51m0.13m

=11.61≅ 12estribos No.3

Total estribos¿3=13estribos No .3 Cada 13 cm

L'1=0.25+13∗0.13=1.94m

4E 3E

Nodo 3E

Sc=170.475mm≅ 170mm≅ 17cm →Rige

Este tramo no requiere diseño por torsión como lo calculamos y comprobamos anteriormente.

El primer estribo se coloca a 0.05 m de la cara del apoyo debido a C.21.3.4.6 de la NSR-10.

L=1.76−0.05−0.2=1.51m

No .estribos=LS=1.51m0.17m

=8.8≅ 9estribos No .3

Total estribos¿3=10estribos No .3Cada 17 cm

L'2=0.25+10∗0.17=1.95m

Espaciamiento de la viga que no es necesario estribos:

5.3−L'1−L'2=5.3−1.94−1.95=1.41m

BIBLIOGRAFIA

Norma Sismo Resistente (NSR-10) Título A y C.

Diseño de Concreto Reforzado, Mccormac, Russell Brown.