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DISEÑO DE UNA ESTACIÓN DE ENSAYOS DINÁMICOS PARA MODELOS DE ESTRUCTURAS DE OBRAS CIVILES

Esp. Ing. Jorge Elías Jazni ([email protected]) Esp. Ing. Mario Alberto Nieto ([email protected])

Autores:

Ing. Javier Eduardo Salomone ([email protected])

Esp. Ing. Jorge E. JAZNI – Mgter. Ing. Mario A. NIETO - Ing. Javier E. SALOMONE

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1. TABLA DE CONTENIDOS

1. Tabla de contenidos ................................................................................ 2 1.1. Introducción........................................................................................... 3 2. Financiamiento ....................................................................................... 3 3. Objetivos ............................................................................................... 4 3.1. Generales .............................................................................................. 4 3.2. Específicos ............................................................................................. 4 4. Marco teórico.......................................................................................... 4 5. Desarrollo de las herramientas de cálculo................................................... 5 5.1. Función de transferencia de un sistema de 1 grado de libertad ..................... 5 6. Cálculo numérico en Matlab para 3 grados de libertad ................................. 5 7. Parámetros del modelo matemático........................................................... 6 8. Identificación de los parámetros físicos ...................................................... 7 8.1. Identificación de los parámetros del modelo a escala................................... 7 8.2. Definición de masas y volúmenes del modelo ............................................. 8 9. Banco de ensayos y modelo físico ............................................................. 8 9.1. Definición conceptual del banco de ensayos................................................ 8 9.2. Diseño y cálculo del banco de ensayos....................................................... 9 9.3. Definición de las características geométricas y mecánicas del modelo ............ 9 9.4. Definición de las características dinámicas del modelo ................................. 9 10. Simulación numérica en Simulink............................................................ 20 11. Definición de características geométricas y mecánicas del banco de ensayos 22 12. Adquisición de componentes y materiales ................................................ 24 13. Trabajo de campo ................................................................................. 24 14. Transferencia ....................................................................................... 25 15. Interpretación de los datos..................................................................... 25 16. Conclusión ........................................................................................... 28 17. Bibliografía........................................................................................... 28


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1.1. INTRODUCCIÓN

Este proyecto se realizó mediante un convenio marco y otro específico de cooperación mutua entre la Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Córdoba y el Instituto Universitario Aeronáutico y contempló el desarrollo de una estación de ensayos dinámicos aplicable a cualquier tipo de estructuras.

La inserción en las currículas en los últimos cursos de las carreras de Ingeniería Civil de las asignaturas relacionadas con estructuras sismorresistentes generó la necesidad de equipar laboratorios con bancos de ensayos útiles para la realización de las prácticas correspondientes.

Los elevados costos de estos equipamientos, sumados a los magros presupuestos universitarios generaron la idea de materializar el presente proyecto.

Así es que se diseñó, calculó, construyó, ensayó y evaluó el dispositivo con resultados altamente satisfactorios.

El mismo consiste en una placa rígida móvil, sobre la que se monta la estructura a ensayar, con un único grado de libertad según el plano horizontal la que desliza sobre cuatro guías cilíndricas conformadas por pernos de acero y bujes de bronce con una capacidad de carga másica útil del orden de los 100 Kg.

El accionamiento es producido con un motor asíncrono con 3HP de potencia útil en el eje de salida el que conduce un mecanismo de excéntricas a través de un grupo de poleas y correas que permiten seleccionar velocidades de rotación del último árbol conducido. De este modo la frecuencia de excitación del ensayo puede ser variada desde 3 a 100 Hz mediante un controlador de velocidad del motor de accionamiento. Las amplitudes de desplazamiento de la excitación puede ser regulada entre 0 y 1mm gracias a un mecanismo de excéntricas.

El último árbol giratorio se vincula rígidamente a la placa móvil mediante un mecanismo de biela - manivela cuya relación longitud de biela versus radio de manivela es lo suficientemente elevada como para permitir considerar a los desplazamientos de la placa como sinusoidales. En la peor situación, esto es cuando L/R=200/1, los errores entre el desplazamiento real y el sinusoidal ideal no llegan al 1%.

El desplazamiento de la placa móvil es detectado por un sensor de velocidad del tipo de bobina móvil con imanes permanentes de tierras raras (Samarium-Cobalto) diseñado y construido por el grupo de investigación que ejecutó el proyecto.

Todas las partes móviles, organizadas según la manera descripta, se montaron en un bastidor construido con perfiles normales de acero unidos por cordones de soldadura conformando una estructura suficientemente rígida, vinculándolo a la fundación vía brocas de anclaje de tipo comercial en solo 3 puntos convenientemente seleccionados para evitar deformaciones elásticas que puedan dificultar el deslizamiento de las guías u ocasionar desgastes prematuros.

Las señales de salida de los distintos grados de libertad son obtenidos mediante sensores acelerométricos de estado sólido y transferidos a un ordenador personal mediante una interfase analógica / digital.

2. FINANCIAMIENTO

En términos generales el proyecto fue financiado de la manera siguiente.

• Un aporte de $3000.- del CONICOR - Agencia Córdoba Ciencia monto que fue utilizado para:


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° Adquirir un ordenador personal.

° Adquirir el motor de accionamiento.

° Adquirir el drive variador de velocidad.

° Adquirir componentes y materiales para uso mecánico y electrónico.

° Pagar cursos pertinentes realizados por el Ingeniero Mario Nieto en la Universidad Autónoma de México.

• La Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Córdoba realizó el aporte de los salarios de los integrantes del grupo de investigación y la construcción de piezas especiales en el taller de mecanizado de su Centro Universitario de Desarrollos en Automación y Robótica utilizando básicamente su centro de mecanizado por control numérico.

• El Instituto Universitario Aeronáutico mediante la construcción de piezas mecánicas de precisión y el armado de subconjuntos y conjunto.

• Empresas del área metalmecánica del medio mediante la colaboración gratuita en el distensionado de la estructura soldada del bastidor y la ejecución de mecanizados especiales.

3. OBJETIVOS

3.1. GENERALES

• Diseño, cálculo y construcción de un banco de pruebas que pueda excitar un modelo de estructura a través de la fundación con el objeto de analizar su comportamiento dinámico ante perturbaciones de tipo sísmicas.

3.2. ESPECÍFICOS

• Aportar solidez en los conocimientos teóricos y tecnológicos en diversas áreas, habida cuenta de su carácter multidisciplinario

• Analizar teóricamente estructuras de “n” grados de libertad

• Realizar la modelización dinámica de estructuras de “n” grados de libertad

• Calcular y analizar los parámetros de la modelización física

• Utilizar las técnicas de obtención de las respuestas mediante sensores inerciales

• Adquirir y procesar los datos obtenidos de las señales

• Utilizar la estación de ensayos en diversas cátedras de los distintos departamentos como:

° Ingeniería Civil

° Ingeniería Mecánica

° Ingeniería Electrónica

4. MARCO TEÓRICO

Durante la fase de desarrollo conceptual se definió el dispositivo acorde con las necesidades y el estado del arte de este tipo de sistemas recurriendo a la búsqueda de antecedentes en la bibliografía y en Internet.

En la fase anteriormente mencionada como, así también en la de diseño, se recurrió al estudio analítico de cada caso particular poniendo énfasis en el estudio de


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estructuras de múltiples grados de libertad solicitadas sísmicamente desde la fundación.

Para los cálculos aproximados de las frecuencias de resonancia, asumiendo amortiguamientos nulos, se utilizaron las Ecuaciones de Frecuencias recurriendo a los coeficientes de influencia, al Teorema de Reciprocidad de Maxwell y al Método de Newton. En lo atinente al cálculo de las rigideces estructurales de sistemas de “n” grados de libertad se utilizaron las formulaciones de Wilbur.

La solución completa y exacta de las amplitudes de oscilación de los distintos niveles, teniendo en cuenta los coeficientes de amortiguamiento de los mismos, fue obtenida mediante un método desarrollado por el grupo de investigación utilizando una herramienta matemática de resolución de la Transformada de Laplace. La verificación del método fue realizada mediante simulación numérica a través de Simulink de MATLAB.

El proyecto, con características multidisciplinarias, fue realizado por el equipo de investigadores intercambiando ideas y opiniones adoptando soluciones consensuadas y divulgando los hallazgos y logros significativos. Al respecto el proyecto fue expuesto en las Jornadas de Divulgación Tecnológica realizadas en el rectorado de la Universidad Tecnológica Nacional en noviembre de 1999.

5. DESARROLLO DE LAS HERRAMIENTAS DE CÁLCULO

5.1. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA DE 1 GRADO DE LIBERTAD

En el cálculo numérico se ha utilizado el método de la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento.

La ecuación de movimiento de un sistema excitado por una fuerza arbitraria es:

)(tFxkxcxm =++ ��

Aplicando su transformada de Laplace, obtenemos:

[ ] [ ] )()()()()()()(2 tFsxkoxsxscoxoxsxsm =+−+−− �

Resolviendo )(sx , obtenemos:

kcsmsoxmoxcms

kcsmssFsx

+++++

++= 22

)()()()()(�

)()()(

sBsAsx =

En donde )(sA y )(sB son polinomios y )(sB en general es de mayor orden que )(sB

6. CÁLCULO NUMÉRICO EN MATLAB PARA 3 GRADOS DE LIBERTAD

clear all s='(j*w)'; %-------------------------------------------- p1 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 1 0 0 0]'); p2 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 1 0 0]'); p3 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 1 0]');


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p0 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 0 1]'); %-------------------------------------------- dp0=expand(determ(p0)); dp1=expand(determ(p1)); dp2=expand(determ(p2)); dp3=expand(determ(p3)); %-------------------------------------------- dp0=subs(dp0,s,'s'); dp1=subs(dp1,s,'s'); dp2=subs(dp2,s,'s'); dp3=subs(dp3,s,'s'); %-------------------------------------------- hilf=0; for f=0:1:100 %----------------------------------------- w=2*pi*f; hilf=hilf+1; x(hilf)=f; %----------------------------------------- x1=eval(dp1)/eval(dp0)*x0; x2=eval(dp2)/eval(dp0)*x0; x3=eval(dp3)/eval(dp0)*x0; %----------------------------------------- d1a(hilf)=abs(x1); d1r(hilf)=abs(x1-x0); d2a(hilf)=abs(x2); d2r(hilf)=abs(x2-x1); d3a(hilf)=abs(x3); d3r(hilf)=abs(x3-x2); %----------------------------------------- v1a(hilf)=abs(x1*w*j); v1r(hilf)=abs(x1*w*j-x0*w*j); v2a(hilf)=abs(x2*w*j); v2r(hilf)=abs(x2*w*j-x1*w*j); v3a(hilf)=abs(x3*w*j); v3r(hilf)=abs(x3*w*j-x2*w*j); %----------------------------------------- a1a(hilf)=abs(-x1*w^2); a1r(hilf)=abs(-x1*w^2); a2a(hilf)=abs(-x2*w^2); a2r(hilf)=abs(-x2*w^2+x1*w^2); a3a(hilf)=abs(-x3*w^2); a3r(hilf)=abs(-x3*w^2+x2*w^2); %----------------------------------------- end 7. PARÁMETROS DEL MODELO MATEMÁTICO

• Masas: Los elementos estructurales a tener en consideración como masas son:

° Cargas vivas en losas

° Sobrecargas proporcionales en losas

° Cargas vivas en vigas

° Cargas vivas en columnas

• Rigideces: Los elementos estructurales que generan fuerzas restitutivas de las acciones inerciales son:

° Losas (diafragmas rígidos e indeformables)

° Vigas

° Columnas

Para el cálculo de rigideces de entrepisos se empleó la formulación de Wilbur

++++=

∑∑∑+

−

−

vn

nn

nv

nn

cn

nn

n

Rhh

Rhh

Rhh

EK1

)1(

1448


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nK : Rigidez de entrepiso n

cR : Rigidez geométrica de columna = I hc n

vR : Rigidez geométrica de viga = I hv v

nh : Altura de columna

vl : Longitud de viga

cI : Momento de inercia de columna

vI : Momento de inercia de viga

E : Módulo de elasticidad del material

• Amortiguadores: Los elementos estructurales que generan fuerzas disipativas de las acciones inerciales son:

° Vigas

° Columnas

Para la estimación del amortiguamiento estructural se adoptó el criterio particular en el cálculo de estructuras civiles

8. IDENTIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS FÍSICOS

8.1. IDENTIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO A ESCALA

Leyes de similitud: asumiendo los mismos materiales para la estructura y su modelo, y una escala de longitudes "e" se demuestra que:

3

masa real amortiguamiento real rigidez real

masa del modelo amortiguamiento del modelo rigidez del modelo

: :

: :²

::

M CM Cm c

m ce e

KKk

ke= = =

Considerando que las leyes de similitud son establecidas solo para aquellos casos en que se utilice en el modelo el mismo material que la estructura original y asumiendo una estructura como una viga cantilever de sección constante y masa uniformemente distribuida, el cálculo de la frecuencia resulta:

42nk E I gF

W Lπ

=

W : peso por unidad de longitud. W g : masa por unidad de longitud.

3 32nk E I IF

L L M Lπ µΨ= =

Haciendo:

4

3 3

3 3

IIef e

M L M Le e

Ψ Ψ= = ⋅


8

3cte (masa total)2

nk E Iy L m fm L

µπ

Ψ Ψ= = = ∴ =

Comparando las frecuencia original con la del modelo

3

ifm

Ψ=�

3

IFM L

Ψ=

Fef = La frecuencia del modelo es "e" veces la del original

Puede así determinarse que solicitando el modelo con una frecuencia Fe y una

amplitud eA se produce en el mismo solicitaciones mecánicas idénticas a las de la estructura real, cuando ésta es sometida a una excitación de frecuencia F y amplitud A .

8.2. DEFINICIÓN DE MASAS Y VOLÚMENES DEL MODELO

Se ha utilizado el Reglamento Argentino I.N.P.R.E.S. - C.I.R.S.O.C. 101 y 102 para la determinación de los parámetros físicos y mecánicos de los elementos resistentes de las estructuras de obras civiles.

9. BANCO DE ENSAYOS Y MODELO FÍSICO

9.1. DEFINICIÓN CONCEPTUAL DEL BANCO DE ENSAYOS

Este proyecto contempló el desarrollo de una estación de ensayos dinámicos aplicable a estructuras de cualquier tipo, cuyas características conceptuales se detallan a continuación:

• Guías axiales: constituidas por pernos de acero y bujes de bronce

• Accionamiento: motor asincrónico trifásico

• Control de velocidad: driver para corriente alterna trifásica con tecnología IGBT

• Conducción: mediante mecanismo biela manivela

• Control de amplitudes: manual mecánico mediante posicionamientos relativos discretos de elementos excéntricos

• Transmisión de potencia: mecánica entre árbol motriz y árbol excéntrico del tipo polea-correa

• Volante de inercia: para el almacenamiento de energía cinética

• Soporte de árbol excéntrico: mediante rodamiento a rodillos cónicos

• Bastidor: construido mediante perfiles normales comerciales vinculados por soldadura

• Soporte motor: con guía de desplazamiento y mecanismo tornillo-tuerca para tensión de correa

• Medición de desplazamientos: se realizará con sensores acelerométricos de tercera generación

• Adquisición de datos: la información de salida de los sensores será almacenada en una computadora digital a través de una placa conversora "A/D"


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• El barrido de frecuencia se ejecutará mediante programas de ensayo desde una computadora personal, la cual controlará la velocidad de rotación del motor de accionamiento a través del conversor

• Los datos obtenidos serán procesados relacionando salidas con entrada de manera de reconstruir experimentalmente la respuesta en amplitud con barrido de frecuencias de los distintos grados de libertad de cada espécimen con el objeto de analizar la consistencia con los cálculos teóricos efectuados

9.2. DISEÑO Y CÁLCULO DEL BANCO DE ENSAYOS

Para el diseño de los elementos constitutivos de la mesa de ensayos se plantearon dos soluciones a escala de una estructura real de probable construcción, fijando como dimensiones máximas aquellas que se ajusten a una de tipología estructural simple - Estructura aporticada de 10,00 metros de longitud en ambas direcciones con tres niveles en altura -.

Al analizar los resultados del cálculo, efectuado a través de la metodología propuesta (Transformada de Lapace), los desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas generadas y potencia necesaria para una escala 1:20, se llegó a la conclusión que la escala adoptada generaba valores que difícilmente pudieran corroborarse mediante ensayos físicos.

Se modifica la escala anterior a una relación 1:10 sobre la real. Las dimensiones en planta de la estructura deben ser reducidas a la mitad (5,00 m en cada dirección) ya que de esa forma se puede lograr el diseño de la placa soporte dentro de valores posibles de construir con el escaso financiamiento que se cuenta.

9.3. DEFINICIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DEL MODELO

El Anexo 1 presenta los valores de volúmenes, masas y rigideces de la estructura real y de los modelos a escala 1:20 y 1:10.

• Para la obtención de las rigideces de entrepiso se utilizó el método antes mencionado (Wilbur).

• Para la obtención aproximada de las frecuencias naturales correspondiente a cada modo de vibrar se han empleado los métodos de Newmark y Holzer, citados en el marco teórico. Estos valores han servido como base para la simulación numérica realizada con el apoyo informático del Simulink (Software de simulación de Matlab).

9.4. DEFINICIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DEL MODELO

Metodología utilizada

La solución completa y exacta de las amplitudes de oscilación de los distintos niveles de estructuras de múltiples grados de libertad, teniendo en cuenta los coeficientes de amortiguamiento de los mismos, se obtiene mediante el método desarrollado utilizando como herramienta matemática la Transformada de Laplace aplicada al modelo matemático del sistema.

Se debe tener en cuenta que, para que esta transformada sea aplicable, el sistema debe cumplir con los siguientes requisitos:

• Las variables y sus derivadas e integrales de los diversos órdenes deben estar elevados a la primera potencia.

• Los términos no deben presentar operaciones entre variables.


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• Los coeficientes de las variables no dependen del tiempo ni de las variables.

En un sistema de 1 grado de libertad, si se desea conocer la respuesta referida a la

excitación es conveniente tratar directamente la función transferencia 01 XX ,

siendo 1X y 0X las transformadas de los desplazamientos del primer nivel y de la fundación respectivamente, resultando:

kcsmskcs

XX

+++= 2

0

1

Por una propiedad de la transformada el reemplazo de s por ωj en la igualdad

anterior muestra, en forma de número complejo, a la ley de variación de 01 xx en

función de la frecuencia de excitación “ω ”, siendo 1x y 0x las amplitudes de los desplazamientos en el nivel 1 y en la fundación respectivamente, quedando:

kcjmkcj

xx

++−+=

ωωω

20

1

Ordenando y racionalizando se llega a una expresión del tipo:

jbaxx +=

0

1

Como en rigor interesa la relación de amplitudes en términos absolutos conviene calcular los módulos, con lo que:

22

0

1 baxx +=

Con el objeto de sistematizar la metodología se adopta un sistema de 3 grados de libertad. Al igual que para el caso de 1 grado de libertad, la estructura es solicitada desde la fundación con un movimiento sinusoidal simulando una acción del tipo sísmica de dirección horizontal. Si bien se utiliza un modelo físico matemático de desplazamiento vertical se debe tener en cuenta que para el caso de estructuras civiles los desplazamientos dominantes son los del tipo horizontal.

La figura 1 muestra la similitud entre la estructura real y el modelo físico-matemático equivalente.

Para evitar confusiones con los signos de las fuerzas que se originan en cada uno de los

componentes, especialmente en resortes y amortiguadores, conviene bloquear todos los niveles liberando de a uno el nivel en estudio y los adyacentes para conformar la ecuación diferencial que modeliza la dinámica de ese nivel.

Nivel Liberación del nivel i Liberación del nivel i+1 Liberación del nivel i-1

1 ( ) ( )10110111 xxkxxcxm −+−+ �� 22 kxxc −− � 000 =−− kxxc�

Figura 1

x 3

x 0

k 3 c 3

x 2 k 2 c 2

x 1 k 1 c 1

m 1

x 0

k 3 , c 3

m 2

m 3 k 2 , c 2

k 1 , c 1

m 3

m 2

m 1


11

2 ( ) ( )21221222 xxkxxcxm −+−+ �� 33 kxxc −− � 011 =−− kxxc�

3 ( ) ( )32332333 xxkxxcxm −+−+ �� 0 022 =−− kxxc�

Conformando el siguiente sistema de ecuaciones

=−−++=−−−−++++

+=−−++++

00)()(

)()(

2323333333

3333121223223222

0101222212112111

xkxcxkxcxmxkxcxkxcxkkxccxm

xkxcxkxcxkkxccxm

��

��

��

Ordenando en función de las variables, teniendo en cuenta que 0X es la transformada de la amplitud de la solicitación desde la fundación, y aplicando a la vez la transformada de Laplace resulta en forma matricial:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

+=

+++−+−+++++−

+−++++

00

0

0 011

3

2

1

332

333

3332322

222

2221212

1 Xksc

XXX

kscsmkscksckksccsmksc

ksckksccsm

Determinando un sistema de 3 ecuaciones diferenciales simultáneas con 3 incógnitas que son las transformadas de los desplazamientos absolutos de cada uno de los niveles.

Es conveniente notar que los desplazamientos xi obtenidos serán valores complejos y referidos a un sistema absoluto de coordenadas. Para conocer los

desplazamientos relativos será necesario operar por diferencias entre los

desplazamientos xi de los distintos niveles. La figura 2 muestra un diagrama vectorial a modo de

ejemplo; como x0 es la excitación y tiene una amplitud conocida se toma como referencia y se asume

como un valor real.

El cálculo del desplazamiento relativo - figura 3 - entre niveles es muy importante desde el punto de vista de las solicitaciones estructurales ya que permite obtener, por ejemplo, los momentos flectores y los esfuerzos de corte.

Resolución del sistema de ecuaciones – ejemplo

Determinar la respuesta en el dominio de la frecuencia de una estructura de hormigón reforzado de 5 m de longitud en cada dirección y 3 m de altura entre cada nivel, losas macizas de 12 cm de espesor, vigas perimetrales de 20 cm de ancho por 50 cm de altura y 4 columnas de 20 cm por 20 cm de lado, excitado por un movimiento sinusoidal en la fundación de 5 mm de amplitud.

La masa de cada nivel se determinó siguiendo los lineamientos del reglamento INPRES – CIRSOC para las construcciones sismorresistentes. La rigidez de entrepiso se calculó aplicando el método de Wilbur. Para calcular la constante de amortiguamiento “c ” se adoptó como relación de amortiguamiento el 5% del

Figura 2

Figura 3

X0

X3 X2

X1 Xi+1 Xi,i+1

Xi

Im Im

Re

Re


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amortiguamiento crítico, valor empleado para estructuras de hormigón reforzado

con armadura, mediante la relación mkc 2∗=ζ .

Caso "a": Algoritmo de cálculo para la resolución de un sistema de ecuaciones de equilibrio de fuerzas en un sistema de tres masas concentradas, resueltas por el método de la "Transformada de Laplace" - dominio de las frecuencias.

• Se determinan para cada nivel:

• Desplazamientos absolutos

• Desplazamientos relativos

• Velocidades absolutas

• Velocidades relativas

• Aceleraciones absolutas

• Aceleraciones relativos

• Fuerzas generadas

• Potencia necesaria en la planta motriz

%-------------------------------------------- clear all s='(j*w)'; Escala=10; m0=20; Pzita = .05; % Relación de amortiguamiento %-------------------------------------------- kr3 = 5831271.091; kr2 = 5516102.297; kr1 = 6222337.948;% Rigidez en N/m mr3 = 17478.084; mr2 = 18065.240; mr1 = 18065.240; % Masa en kg cr3=2*Pzita*(mr3*kr3)^.5; cr2=2*Pzita*(mr2*kr2)^.5; cr1=2*Pzita*(mr1*kr1)^.5; %-------------------------------------------- m3=mr3/Escala^3; m2=mr2/Escala^3; m1=mr1/Escala^3; k3=kr3/Escala; k2=kr2/Escala; k1=kr1/Escala; c3=.05*2*(m3*k3)^.5; c2=.05*2*(m2*k2)^.5; c1=.05*2*(m1*k1)^.5; %-------------------------------------------- x0=.005/Escala; %-------------------------------------------- p1 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 1 0 0 0]'); p2 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 1 0 0]'); p3 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 1 0]'); p0 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 0 1]'); %-------------------------------------------- dp0=expand(determ(p0)); dp1=expand(determ(p1)); dp2=expand(determ(p2)); dp3=expand(determ(p3)); %-------------------------------------------- dp0=subs(dp0,s,'s'); dp1=subs(dp1,s,'s'); dp2=subs(dp2,s,'s'); dp3=subs(dp3,s,'s'); %-------------------------------------------- hilf=0; for f=0:.1:80 %----------------------------------------- w=2*pi*f;


13

hilf=hilf+1; x(hilf)=f; %----------------------------------------- x1=eval(dp1)/eval(dp0)*x0; x2=eval(dp2)/eval(dp0)*x0; x3=eval(dp3)/eval(dp0)*x0; %----------------------------------------- d1a(hilf)=abs(x1); d1r(hilf)=abs(x1-x0); d2a(hilf)=abs(x2); d2r(hilf)=abs(x2-x1); d3a(hilf)=abs(x3); d3r(hilf)=abs(x3-x2); %----------------------------------------- v1a(hilf)=abs(x1*w*j); v1r(hilf)=abs(x1*w*j-x0*w*j); v2a(hilf)=abs(x2*w*j); v2r(hilf)=abs(x2*w*j-x1*w*j); v3a(hilf)=abs(x3*w*j); v3r(hilf)=abs(x3*w*j-x2*w*j); %----------------------------------------- a1a(hilf)=abs(-x1*w^2); a1r(hilf)=abs(-x1*w^2); a2a(hilf)=abs(-x2*w^2); a2r(hilf)=abs(-x2*w^2+x1*w^2); a3a(hilf)=abs(-x3*w^2); a3r(hilf)=abs(-x3*w^2+x2*w^2); %----------------------------------------- f1(hilf)=abs(m0*(-x0*w^2)); f2(hilf)=abs(c1*(x1*w*j-x0*w*j)); f3(hilf)=abs(k1*(x1-x0)); ft(hilf)=f1(hilf)+f2(hilf)+f3(hilf); %----------------------------------------- pa1=c1*(abs(x1-x0))^2*w^2/2; W1(hilf)=abs(pa1); pa2=c2*(abs(x2-x1))^2*w^2/2; W2(hilf)=abs(pa2); pa3=c3*(abs(x3-x2))^2*w^2/2; W3(hilf)=abs(pa3); pat=pa1+pa2+pa3; Wt(hilf)=abs(pat); %----------------------------------------- end %-------------------------------------------- figure(1) subplot(1,2,1),plot(x,d1a*1000,'r-',x,d2a*1000,'b-',x,d3a*1000,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Desplazamiento [mm]') TITLE('DESPLAZAMIENTOS ABSOLUTOS') LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0) subplot(1,2,2),plot(x,d1r*1000,'r-',x,d2r*1000,'b-',x,d3r*1000,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') TITLE('DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS') LEGEND ('Nivel 1-0','Nivel 2-1','Nivel 3-2',0) axis auto %-------------------------------------------- figure(2) subplot(1,2,1),plot(x,v1a,'r-',x,v2a,'b-',x,v3a,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Velocidad [m/s]') TITLE('VELOCIDADES ABSOLUTAS') LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0) subplot(1,2,2),plot(x,v1r,'r-',x,v2r,'b-',x,v3r,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') TITLE('VELOCIDADES RELATIVAS') LEGEND ('Nivel 1-0','Nivel 2-1','Nivel 3-2',0) axis auto %-------------------------------------------- figure(3) subplot(1,2,1),plot(x,a1a,'r-',x,a2a,'b-',x,a3a,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Aceleración [m/s²]') TITLE('ACELERACIONES ABSOLUTAS') LEGEND ('Nivel 1','Nivel 2','Nivel 3',0) subplot(1,2,2),plot(x,a1r,'r-',x,a2r,'b-',x,a3r,'g-') xlabel('Frecuencia [Hz]') TITLE('ACELERACIONES RELATIVAS')


14

LEGEND ('Nivel 01','Nivel 12','Nivel 23',0) axis('auto') %-------------------------------------------- figure(4) subplot(2,2,1),plot(x,f1,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Fuerza(m) [Newton]') subplot(2,2,2),plot(x,f2,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Fuerza(c) [Newton]') subplot(2,2,3),plot(x,f3,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Fuerza(k) [Newton]') subplot(2,2,4),plot(x,ft,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Fuerza(t) [Newton]') axis('auto') %-------------------------------------------- figure(5) subplot(2,2,1),plot(x,W1,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Potencia(1) [W]') subplot(2,2,2),plot(x,W2,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Potencia(2) [W]') subplot(2,2,3),plot(x,W3,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Potencia(3) [W]') subplot(2,2,4),plot(x,Wt,'r-') xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Potencia(t) [W]') axis('auto') %-------------------------------------------- Los siguientes gráficos muestran las aceleraciones absolutas y los desplazamientos relativos y del ejemplo analizado.


15

0 20 40 60 800

2

4

6

8

10

12

14

Frecuencia [Hz]

Des

plaz

amie

nto

[mm

]

DESPLAZAMIENTOS ABSOLUTOS

Nivel 1Nivel 2Nivel 3

0 20 40 60 800

1

2

3

4

5

6

Frecuencia [Hz]

DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS

Nivel 1-0Nivel 2-1Nivel 3-2

0 20 40 60 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Frecuencia [Hz]

Vel

ocid

ad [m

/s]

VELOCIDADES ABSOLUTAS


0 20 40 60 800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Frecuencia [Hz]

VELOCIDADES RELATIVAS

Nivel 1-0Nivel 2-1Nivel 3-2


16

0 20 40 60 800

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Frecuencia [Hz]

ACELERACIONES ABSOLUTAS


0 20 40 60 800

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Frecuencia [Hz]

ACELERACIONES RELATIVAS


0 20 40 60 800

1000

2000

3000

Frecuencia [Hz]

Fuer

za(m

) [N

ewto

n]

0 20 40 60 800

50

100

150

200

Frecuencia [Hz]

Fuer

za(c

) [N

ewto

n]

0 20 40 60 800

1000

2000

3000

4000

Frecuencia [Hz]

Fuer

za(k

) [N

ewto

n]

0 20 40 60 800

1000

2000

3000

4000

Frecuencia [Hz]

Fuer

za(t)

[New

ton]


17

0 20 40 60 800

10

20

30

40

Frecuencia [Hz]

Pot

enci

a(1)

[W]

0 20 40 60 800

10

20

30

Frecuencia [Hz]

Pot

enci

a(2)

[W]

0 20 40 60 800

10

20

30

Frecuencia [Hz]

Pot

enci

a(3)

[W]

0 20 40 60 800

20

40

60

80

Frecuencia [Hz]

Pot

enci

a(t)

[W]

Caso "b": Algoritmo de cálculo para la resolución de un sistema de ecuaciones de equilibrio de fuerzas en un sistema de tres masas concentradas, resueltas por el

método de la "Transformada de Laplace" - dominio de las frecuencias para el caso donde el factor de amortiguamiento es variable –.

Se determinan para cada nivel:

• Desplazamientos absolutos.

%-------------------------------------------- clear s='(j*w)'; Escala=10; m0=20; %-------------------------------------------- kr3 = 5831271.091; kr2 = 5516102.297; kr1 = 6222337.948; mr3 = 17478.084; mr2 = 18065.240; mr1 = 18065.240; %-------------------------------------------- m3=mr3/Escala^3; m2=mr2/Escala^3; m1=mr1/Escala^3; k3=kr3/Escala; k2=kr2/Escala; k1=kr1/Escala; %-------------------------------------------- x0=.005/Escala; %-------------------------------------------- p1 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 1 0 0 0]'); p2 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 1 0 0]'); p3 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 1 0]'); p0 = sym('[(m1*s^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)) -(c2*s+k2) 0 -(c1*s+k1); -(c2*s+k2) (m2*s^2+(c2+c3)*s+(k2+k3)) -(c3*s+k3) 0; 0 -(c3*s+k3) (m3*s^2+c3*s+k3) 0; 0 0 0 1]'); %-------------------------------------------- dp0=expand(determ(p0)); dp1=expand(determ(p1));


18

dp2=expand(determ(p2)); dp3=expand(determ(p3)); %-------------------------------------------- dp0=subs(dp0,s,'s'); dp1=subs(dp1,s,'s'); dp2=subs(dp2,s,'s'); dp3=subs(dp3,s,'s'); %-------------------------------------------- frec_i=0; frec_f=80; frec_p=.5; zita_i=.02; zita_f=.5; zita_p=.01; %-------------------------------------------- x=frec_i:frec_p:frec_f; y=zita_i:zita_p:zita_f; [xx,yy]=meshgrid(x,y); %-------------------------------------------- d1max=0;d1min=0; d2max=0;d2min=0; d3max=0;d3min=0; %-------------------------------------------- for Hilf1=1:round((frec_f-frec_i)/frec_p+1) for Hilf2=1:round((zita_f-zita_i)/zita_p+1) w=2*pi*x(Hilf1); c1=y(Hilf2)*2*(m1*k1)^.5; c2=y(Hilf2)*2*(m2*k2)^.5; c3=y(Hilf2)*2*(m3*k3)^.5; %-------------------------------------- d1(Hilf1,Hilf2)=abs(eval(dp1)/eval(dp0)*x0)*1000; d2(Hilf1,Hilf2)=abs(eval(dp2)/eval(dp0)*x0); d3(Hilf1,Hilf2)=abs(eval(dp3)/eval(dp0)*x0); %-------------------------------------- if d1max<d1(Hilf1,Hilf2);d1max=d1(Hilf1,Hilf2);end; if d2max<d2(Hilf1,Hilf2);d2max=d2(Hilf1,Hilf2);end; if d3max<d3(Hilf1,Hilf2);d3max=d3(Hilf1,Hilf2);end; if d1min>d1(Hilf1,Hilf2);d1min=d1(Hilf1,Hilf2);end; if d2min>d2(Hilf1,Hilf2);d2min=d2(Hilf1,Hilf2);end; if d3min>d3(Hilf1,Hilf2);d3min=d3(Hilf1,Hilf2);end; %-------------------------------------- end end %-------------------------------------------- figure(1) whitebg(1,'w'); view(3) surf(x,y,d1') axis([min(x) max(x) min(y) max(y) d1min d1max]) xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Factor de amortiguamiento') zlabel('Desplazamiento [mm]') figure(2) whitebg(2,'w'); view(3) surf(x,y,d2') axis([min(x) max(x) min(y) max(y) d2min d2max]) xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Factor de amortiguamiento') zlabel('Desplazamiento [mm]') figure(3) whitebg(3,'w'); view(3) surf(x,y,d3') axis([min(x) max(x) min(y) max(y) d3min d3max]) xlabel('Frecuencia [Hz]') ylabel('Factor de amortiguamiento') zlabel('Desplazamiento [mm]')


19

%-------------------------------------------- Los siguientes gráficos muestran los desplazamientos relativos en cada nivel en el dominio de la frecuencia y relación de amortiguamiento variable y del ejemplo analizado.


20

10. SIMULACIÓN NUMÉRICA EN SIMULINK

El diagrama de bloques representa al modelo matemático del siguiente sistema de ecuaciones:

00)()(

)()(

2323333333

3333121223223222

0202222212112111

=−−++=−−−−++++

+=−−++++

xkxcxkxcxmxkxcxkxcxkkxccxmxkxcxkxcxkkxccxm

��

��

��

El gráfico 15 representa la respuesta en el tiempo al modelo antes planteado con una excitación dinámica en la fundación a través de una fuerza periódica de tipo senoidal. El gráfico 16 representa la respuesta en el tiempo del mismo modelo frente a una excitación del tipo escalón con una duración de 0,5 segundos. Los gráficos 17 y 18 muestran zonas ampliadas a modo de detalle.


21

du/dt

xop

Mux

xo, x2

Mux

xo, x1

s

1

x3ps

1

x3

s

1

x2ps

1

x2

s

1

x1ps

1

x1

583127.109

k3''

583127.109

k3'

583127.109

k3

1134737.339

k2+k3

551610.230

k2''

551610.230

k2'

1173844.024

k1+k2

622233.795

k1'

319.248

c3''

319.248

c3'

319.248

c3

634.922

c2+c3

315.673

c2''

315.673

c2'

650.946

c1+c2

335.273

c1'

Sum2

SenoidalA: 0.0005

S3_3

S3_2

S3

S2_4

S2_3

S2_2

S2

S1_2

S1_1

S1

Desplazamientos del Modelo1er modo

Aceleraciones del Modelo1er modo

1/17.478

1/m3

1/18.065

1/m2

1/18.065

1/m1

Diagrama analógico de simulación


22

11.

Gráfico 15 – Salida gráfica del modelo matemático de tres grados de libertad Solicitación senoidal

Gráfico 16 – Salida gráfica del modelo matemático de tres grados de libertad Solicitación: escalón


23

Figura 17 Salida gráfica del modelo matemático de tres grados de libertad Solicitación: escalón

Figura 18 Salida gráfica del modelo matemático de tres grados de libertad Solicitación: escalón


24

DEFINICIÓN DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DEL BANCO DE ENSAYOS

Puede solicitarse el plano general y los planos de detalles de los elementos constitutivos de la estación de ensayos.

12. ADQUISICIÓN DE COMPONENTES Y MATERIALES

Citamos a continuación las adquisiciones mas relevantes:

• Un motor asincrónico trifásico con 3 HP de salida

• Un driver con tecnología "IGBT"

• Perfiles normales de acero para la construcción del bastidor

• Una placa de aleación de aluminio para la construcción de la plataforma móvil y la biela de conducción

• Cuatro rodamientos de rodillos cónicos para soporte de árbol de excéntricos

• Dos acelerómetros "ADXL 250" de "Analog Devices"

• Dos acelerómetros "ADXL 202" de "Analog Devices"

• Procesador Pentium III – 700 MHz

13. TRABAJO DE CAMPO

Las tareas ejecutadas se describen a continuación y fueron agrupadas en actividades que se realizaron acorde al cronograma mostrado en la presentación de la propuesta de ejecución del proyecto.

• Recopilación bibliográfica y documental

• Análisis bibliográfico

• Generación de requerimientos

• Análisis de amplitudes en el dominio de la frecuencia de sistemas de “n” grados de libertad sin amortiguamiento

• Modelización matemática de sistemas de “n” grados de libertad con amortiguamiento utilizando la Transformada de Laplace

• Resolución analítica de sistemas de “n” grados de libertad con amortiguamiento

• Resolución mediante simulación numérica de sistemas de “n” grados de libertad con amortiguamiento

• Identificación de los parámetros físicos en estructuras civiles: masas, rigideces y amortiguamientos

• Estudio de las leyes de similitud para el análisis de modelos de estructuras a escala

• Realización de cursos de perfeccionamiento por parte del Ing. Mario Nieto en la Universidad Autónoma de México

• Definición conceptual del banco de ensayos

• Diseño, cálculo y dimensionamiento de partes mecánicas

• Diseño del sensor de velocidad de la placa móvil


25

• Presentación del proyecto en las Jornadas de Divulgación Científica y Tecnológica realizadas en el Rectorado de la Universidad Tecnológica Nacional

• Adquisición de sensores acelerométricos

• Ensayos estáticos y dinámicos de los acelerómetros

• Cálculo de la potencia necesaria y selección del motor de accionamiento

• Selección y adquisición del driver controlador de la velocidad de rotación

• Adquisición de componentes y materiales

• Construcción de partes mecánicas

• Tratamiento térmico de distensionado de la estructura del bastidor

• Tratamientos de protección superficial de piezas de acero y de aleación de aluminio

• Construcción del sensor de velocidad de la placa móvil

• Integración de subconjuntos y conjunto mecánico

• Puesta a punto del sistema de adquisición de datos

• Diseño y construcción de las interfaces de los acelerómetros

• Diseño, cálculo y construcción de un modelo de estructura civil con 3 grados de libertad en escala 1 en 10

• Ensayos de subconjuntos y conjunto

• Evaluación

• Confección de la documentación

14. TRANSFERENCIA

El dispositivo fue transferido al Departamento de Ingeniería Civil de la Facultad Regional Córdoba de la Universidad Tecnológica Nacional habiendo sido el mismo instalado en el aula nº 025 de la planta baja de la mencionada unidad académica. Alumnos de la Cátedra de Dinámica Estructural han realizado sus prácticas y cotejado con los resultados en forma analítica y por simulación numérica arribando a resultados altamente satisfactorios.

15. INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS

Los siguientes registros muestran las salidas de los sensores de aceleración en los distintos niveles cuando se excitó al modelo de una estructura de tres niveles descripta anteriormente. Este ensayo fue realizado por los estudiantes de la Cátedra de Dinámica Estructural con amplitudes de excitación constante de 0,1 mm y frecuencias de: 25, 20, 15, 8 Hz.


26


27


28

Los registros de los mencionados ensayos muestran el grado de deterioro de la señal obtenida con la disminución de la frecuencia. Esto se debe a que al crecer la frecuencia mejora la relación entre el nivel de la señal y el nivel de ruidos propios del sensor y su electrónica asociada. Esta relación se ve intensificada por el hecho que la aceleración crece con el cuadrado de la frecuencia de la excitación.

16. CONCLUSIÓN

Se ha logrado satisfacer el objetivo fundamental del proyecto que es el logro de un banco de ensayos dinámicos diseñado, calculado y construido por un grupo multidisciplinario de investigadores de la Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Córdoba, del Instituto Universitario Aeronáutico y de la UNC.

Durante la marcha del proyecto se ha idealizado en profundidad en la teoría de la Dinámica de los Sistemas con grados de libertad múltiples modelizados con parámetros concentrados pero, en contraste con los desarrollos encontrados en la bibliografía consultada, se ha tenido en cuenta el amortiguamiento estructural. Como resultado de este análisis se ha logrado desarrollar un método de cálculo que, utilizando la Transformada de Laplace y Matlab como herramientas, permite evaluar la respuesta de los “n” grados de libertad de una estructura cuando se la solicita con cargas alternativas sinusoidales por la fundación o por alguno de sus niveles.

En lo atinente a la utilización de modelos a escala la investigación permitió definir las leyes de similitud entre los parámetros característicos de las estructuras reales y las simuladas.

El proceso de ejecución del proyecto ha sido de gran utilidad en la formación de recursos humanos ya que ha enriquecido los conocimientos de los investigadores docentes que utilizan estos conceptos en forma permanente. En lo que respecta a la formación de grado los resultados han sido muy buenos ya que se ha podido observar el interés puesto por los alumnos en la realización de los trabajos prácticos y la contribución a los aprendizajes significativos cuando cotejan los resultados teóricos con los obtenidos en loa ensayos.

Finalmente se considera que el grupo de investigadores ha adquirido durante la concreción del proyecto experiencia suficiente como para abordar uno de mayor envergadura como podría ser el desarrollo de un sistema de múltiples grados de libertad con una capacidad de carga útil másica mas acorde con los laboratorios modernos dedicados a estudios sismológicos.

17. BIBLIOGRAFÍA

• CLOUGH, Ray W. – PENZIEN Joseph; “Dynamics of Structures”; Editorial: Mc Graw Hill; ISBN0-07-011394-7; Año 1993

• THOMSOM, William - RINCON CASTEL ZILL, Humberto; “Teoría de Vibraciones” – Editorial: Prentice-Hall Hispanoamericana ISBN 968-880-099-6; Año 1992

• DEN HARTOG, J.P.; “Mecánica de las Vibraciones” – Editorial: CECSA; Año 1987

• ZILL, Dennis; “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado” – Editorial: Thomson ISBN 968-7529-21-0; Año 1999

• PISKUNOV, N; “Cálculo diferencial e integral” tomo II; Editorial: Mir; Año 1977


29

• BOZZO, Luis y BARBAT, Alex; “Diseño sismorresistente de edificios – Técnicas convencionales avanzadas” – Editorial: Reverté; Año 1999

• COLINDRES, Rafael; “Dinámica de suelos y estructuras”; Editorial: Limusa ISBN 968-18-4721-0; Año 1993

• CANET y BARBAT; “Estructuras sometidas a acciones sísmicas”; Editorial: Barcelona; Año 1988

• CREDE; “Conceptos sobre choque y vibración en el uso de Ingeniería”

• BAZÁN, Enrique y MELI, Roberto;” Diseño sísmico de edificios”; Editorial Limusa ISBN 968-18-5349-0; Año 1999

• ALONSO, Marcelo y Edward J. FINN; “Física Volumen I Mecánica” – Editorial: Addison-Wesley Iberoamericana ISBN 0-201-00227-2; Año 1986

• Memorias del "XXV CURSO INTERNACIONAL DE INGENIERIA SISMICA (MÉXICO 1999)"

• GARCIA REYES, Luis Enrique; ”Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico”; Editorial Universidad de los Andes – Facultad de Ingeniería – Bogotá Colombia ISBN ET; Año 1998

diseÑo de una estaciÓn de ensayos … · para el cálculo de rigideces de entrepisos se empleó...

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