Matemáticas V - Geometría Analítica Prof. Jesús Calixto Suárez. 49

V. DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

A. ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN

En la geometría analítica hay dos problemas por resolver: 1. Dada la ecuación de una curva construir una gráfica. 2. Dadas algunas condiciones de la gráfica encontrar su ecuación.

Por el momento el primer caso ya se estudió. Por ejemplo; la ecuación 2 1y x

2 1f x x se puede realizar su gráfica.

Para el segundo caso se tiene que hacer un análisis de la ecuación, que consiste en encontrar:

1. Intersecciones con los ejes. 2. Simetrías con los ejes. 3. Extensiones para x (dominio), para y (imagen) y asíntotas. 4. Tabulación y gráfica.

1. INTERSECCIONES CON LOS EJES.

Veamos que sucede cuando una curva corta al eje x o al eje y.

Como podrás darte cuenta, siempre que una curva corta al eje x, en estos puntos la ordenada (y) siempre toma el valor de cero, y en las intersecciones con el eje y la abscisa (x) es la que vale cero, es decir:

Intersecciones con el eje x

Intersección con el eje y

A B C

D

Coordenadas de estos puntos: A (¿quién sabe?, 0) B (¿quién sabe?, 0) C (¿quién sabe?, 0) D (0, ¿quién sabe?)

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Ejemplo: Encontrar las intersecciones con los ejes coordenada x e y si la ecuación de la

curva es: 2 4x xy y

Primero para las intersecciones con el eje x (se hace 0y ), sustituyendo; 2 (0) 0 4x x 2 4x 2x ó 2x

Entonces las intersecciones con el eje x son:

Para las intersecciones con el eje y (se hace 0x ), se tiene:

2

0 0 4y y

4y

entonces la intersección con el eje y es:

Ejercicios.- Encuentra las intersecciones con los ejes de las siguientes ecuaciones:

a) 2 2 9x y

b) 2 6 16x xy y

c) 2 4 1 0y xy x

d) 2 6 8 0x x y

e) 2 8 7 0y y x

Para encontrar las intersecciones con el eje x, se hace:

y=0 y se despeja x.

De igual maneara para el eje y, se hace: x=0 y se despeja y.

(–2,0) (2,0)

(0, 4)

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2. SIMETRÍAS

Para las simetrías, tenemos que una función es simétrica con el eje x si lo que está arriba del eje x es lo mismo que lo que está abajo

la simetría con el eje y se presenta si lo que hay a la derecha del eje y es lo mismo que del lado izquierdo.

Finalmente, una ecuación tiene simetría con el origen si al trazar la curva y x lo que hay

arriba de ella es lo que hay abajo.

Ejemplo.- Encontrar las simetrías de la ecuación 2 8 2 17 0y x y

Para la simetría con el eje x se tiene que observar el exponente de y, si contiene sólo

términos cuadráticos 2y o con potencias pares 2 4 6, , , ...y y y , entonces sí hay

simetría con x, así, nuestra ecuación tiene a 2y (exponente par) y a 12y (exponente

impar), por tanto no hay simetrías con el eje x. www.calix

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Para ver la simetría con el eje y, de manera análoga, sólo debe de haber exponentes pares para x, y en nuestra ecuación hay 8x (exponente impar), por tanto tampoco hay simetría con el eje y.

Finalmente, para la simetría con el origen, tanto x como y deberán presentar exponentes pares, o bien, tener el término xy, o ambas cosas. Para nuestra ecuación

2 8 2 17 0y x y no hay simetrías con el origen, pues existen 12y y 8x con

exponentes impares.

Ejercicios.- Decir si hay simetrías con el eje x, con el eje y o con el origen para:

a) 2 22 0x x y

b) 2 2 4x y

c) 2 24 16x y

d) 2 2 0x xy y

e) 2 26x x y

3. EXTENSIONES (DOMINIO E IMAGEN)

Cuando tenemos una ecuación 3 6 0xy x , encontrar las extensiones significa encontrar

el Dominio (extensión para x) y la imagen o rango (extensión para y).

A) EXTENSIÓN PARA X (DOMINIO)

Primero despejamos a y y posteriormente contestaremos, tomando en cuenta dicho despeje, qué valores puede asumir x.

3 6 0xy x

3 6xy x

3 6xy

x

¿Qué valores puede tomar x? Bueno, esto también ya se había realizado cuando se calculó el dominio de funciones sin graficar y como x está como denominador no podrá tomar el valor de cero. Esto quiere decir que en 0x hay una asíntota vertical

éste término tiene “y” y además es positivo, por tanto, se quedará de este lado de la igualdad y quitaremos lo demás.

ahora sólo falta quitar “x” que está multiplicando con “y”

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es decir, la extensión para x es E ,0 0,x

B) EXTENSIÓN PARA Y (IMAGEN O RANGO)

Para la extensión de y, despejamos a x: 3 6 0xy x

como hay dos términos que tienen a x, los dejaremos del lado izquierdo 3 6xy x

factorizando a x

3 6

6

3

x y

xy

¿Qué valores puede tomar y? Recuerda que en los números reales no hay raíces cuadradas

de números negativos y tampoco divisiones por cero, entonces en 6

3x

y

claramente y no

puede ser 3. Esto quiere decir que hay ahora una asíntota horizontal en 3y

y para la extensión en y tenemos: E ,3 3,y

Asíntota vertical, coincide con el eje y x=0

Extensión de x Extensión de x Ext

ensi

ón

de

y E

xten

sió

n d

e y

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Ejercicios.- Encontrar las extensiones para x (despejar y) y las extensiones para y (despejar x)

a) 2 4 0xy y

b) 5 2 0xy x y

c) 2 6 2 3xy y

d) 2 4 4 20 0x x y

e) 2 29 16 144x y

4. TABULACIÓN Y GRÁFICA

En esta cuarta y última parte que se tiene que realizar en el análisis de una ecuación, hay que tomar el despeje de y y hacer una tabulación como ya la has realizado cuando graficaste una función, tomando en cuenta la información obtenida de las intersecciones con los ejes, extensiones, asíntotas y simetrías. Realicemos un ejemplo completo de como analizar una ecuación. Ejemplo 1.- Analizar la ecuación 2 3 6 0xy y

Consideremos la siguiente tabla, la cual la puedes utilizar para cualquier ecuación que desees analizar y completemos la información requerida:

Se hace Operaciones Intersecciones con los ejes

0y y se despeja a x Con x: ( , 0)

( , 0)

0x y se despeja y Con y: ( 0, )

( 0, )

Simetrías

Ver exponentes pares de x

Con y: ( sí ) ( no )

Ver exponentes pares de y

Con x: ( sí ) ( no )

Ver exponentes pares de x e y y si está el término xy

Con el origen: ( sí ) ( no )

Extensiones

Se despeja x Para y: x

Asíntota horizontal y

Se despeja y Para x: y

Asíntota vertical x www.calix

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Completando la tabla tenemos:

Se hace Operaciones Intersecciones con los ejes

0y y se despeja a x 2 0 3 0 6 0

6 0¡Absurdo!

x

Con x: ( no , 0)

( no , 0)

0x y se despeja y

2 0 3 6 0

6 3

2

y y

y

y

Con y: ( 0, 2 )

( 0, )

Simetrías

Ver exponentes pares de x

impar

2 3 6 0xy y Con y: ( sí ) ( no )

Ver exponentes pares de y

impar

2 3 6 0xy y Con x: ( sí ) ( no )

Ver exponentes pares de x e y y si está el término xy

Además de xy está y

2 3 6 0xy y

Con el origen:

( sí ) ( no )

Extensiones

Se despeja x

2 3 6 0

2 3 6

3 6

2

xy y

xy y

yx

y

Para y: 3 6

2x

y

y

Asíntota horizontal 0y

Se despeja y

2 3 6 0

2 3 6

6

2 3

xy y

y x

yx

Para x: 6

2 3y

x

Asíntota vertical 32x

Finalmente tomamos el despeje de y 6

2 3y

x

y tabulamos:

x y –4 0.5 –3 0.6 –2 0.8 –1 1.2

0 2 1 6 2 –6 3 –2 4 –1.2

Poner primero: Intersecciones Asíntotas

(0,2)

Asíntota horizontal 0y

Asíntota vertical

3

2x www.ca

lixto.

com.m

x

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Si ponemos los puntos calculados en nuestra tabla terminamos graficando nos debe quedar:

Ejercicios.- Analizar las siguientes ecuaciones (realizar los cuatro pasos: intersecciones, extensiones y asíntotas, simetrías, tabulación y gráfica):

a) 2 8 1y x

b) 3 4 0xy y x

c) 2 2 4 0x y

d) 2 4 0xy y

e) 2 24 16 0x y

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