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FACULTAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA 1 UNIDAD 4. ANUALIDADES PAGO UNIFORME Anualidades pago uniforme

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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

1

UNIDAD 4. ANUALIDADES PAGO UNIFORME

Anualidadespagouniforme

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Tabla de contenido

UNIDAD4.ANUALIDADESpagoUNIFORME.........................................................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral......................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos............................................................................................................................................3

4.1Definiciónyclasificación...............................................................................................................44.2Anualidadesvencidas.....................................................................................................................44.2.1 Cálculodelvalorfuturo.......................................................................................................................5

4.3Anualidadesanticipadas............................................................................................................164.4Anualidadesdiferidas.................................................................................................................334.5Anualidadesperpetuas...............................................................................................................39Resumen.................................................................................................................................................41Bibliografía............................................................................................................................................44

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Introducción

En esta unidad se trabajarán las herramientas necesarias para resolver situacionesfinancierasenlascualesaparezcanseriesdepagos–anualidades-queseanuniformes.

Objetivos

Objetivo general

Resolvereinterpretarproblemasqueinvolucrananualidadesoseriesuniformes.

Objetivos específicos

• Reconocerloqueesunaanualidadyclasificarla.• Resolverproblemasdevalorfuturo,valorpresente,cálculodelvalordelacuota

periódicaytiempoapartirdevalorfuturoovalorpresenteparaunaanualidadvencida.

• Resolverproblemasdevalorfuturo,valorpresente,cálculodelvalordelacuotaperiódicaytiempoapartirdevalorfuturoovalorpresenteparaunaanualidadanticipada.

• Resolverproblemasdevalorpresente,cálculodelvalordelacuotaperiódicaytiempoapartirdevalorpresenteparaunaanualidaddiferida.

• Resolverproblemasdevalorpresente,cálculodelvalordelacuotaperiódicaylatasadeinterésparaunaanualidadperpetua.

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4.1 Definición y clasificación

No siempre las operaciones financieras se realizan conpagoúnico.Así, por ejemplo,cuando se adquiere un bien o servicio que se paga en cuotas, bien sea mensuales,trimestralesosemestrales,etc.,seestátrabajandoconunaseriedepagosquepuedenser iguales (uniformes) o desiguales, llamados también anualidades o cuotasperiódicas,segúncorresponda.Gráficamentelospagosperiódicosuniformessepuedenrepresentarasí:

Lasimbologíageneralmenteutilizadaenestetipodeoperacioneses:

VA ValorpresenteVF ValorfuturoA cuotaperiódican tiempoi tasadeinterésefectivaj tasadeinterésnominalm Periodosdecapitalización

4.2 Anualidades vencidas

Cuando las cuotas periódicas se depositan al final del periodo (año, mes, trimestre,etc.),sedicequelaoperaciónesvencida.Gráficamenteestetipodecuotasperiódicasserepresentanasí:

0123………………..n-1n

I%

0123n-1n

i%

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4.2.1 Cálculo del valor futuro

Cada depósito de A realizado al final del periodo gana interés compuesto hasta elmomentofinal,capitalizandolosinteresesencadaunodelosperiodosquelesiguen.Elprimer depósito capitaliza durante (n-1) periodos; el segundo (n-2) periodos y asísucesivamente hasta el último depósito que no gana intereses, ya que su tiempocoincideconlafechadetérminodelaoperación.Así,elvalorfuturoseencuentraporlasumadecadafactor,asaber:

Factorizandoestaecuaciónsellegaalaexpresión:

Esta fórmula se utiliza cuando se quiere hallar el valor futuro de pagos periódicosvencidosatasaefectiva.

Ejemplo

Tatianaestáenel tercerañodesupregradoyquierehacerunaespecialización.Paraello,comienzaunfondodepositandoalfinaldecadames$120.000aunatasadel0,6%efectivomensual.Sieltiempoquedebetrascurriresde3,5años,¿quécantidadpodráacumular?Utilizandolalíneadetiemposetiene:

Enestecaso: A=$120.000i=0,6%EMn=3,5años=3x12=36+(0,5x12)=6=42meses

( ) ( ) ( ) ( ) 122 11....11 −− +++++++++= nn iAiAiAiAAVF

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

iiAVFn 11

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Reemplazandolosvaloresenlafórmula:

Tatiana podrá retirar a los 3,5 años, $5.712.552,17 si deposita al final de cadames$120.000aunatasadel0,6%efectivamensual.

Ejemplo

Franciscoiniciaunfondoaportando$800.000trimestralesvencidosenunacuentaquereconoceel1,6%efectivotrimestral.Enel trimestre16viaja fueradelpaísydejaderealizar los depósitos, sin embargo, no retira el dinero sino hasta los dos añossiguientes.¿Cuántoretira?Enestecaso,sepresentaunacombinacióndeanualidadvencidaconpagóúnico,yaquedeltrimestre1al16sepresentalaanualidady,deallíenadelante,elmontoalcanzadoseconvierteenunpagóúnicoalcualdebehallárseleelvalorfuturo. Larepresentacióngráficadeestecasoes:

Procedimentalmenteseresuelveasí: 1. Secalculaelvalorfuturodelaanualidadenlaque:A=$800.000trimestralesvencidos

( )

( )

17,552.712.5$6046014,47000.120006,0

28562761,0000.120

006,0128562761,1000.120

006,01006,1000.120

006,01006,01000.120

42

42

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

VFxVF

VF

VF

VF

VF

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i=1,6%efectivotrimestraln=16trimestres

Utilizandolafórmulasetiene:

2. Se toman los $14.456.887,66 y se llevan a valor futuro pago único durante 8trimestres(2añosx4trimestresxaño),alatasadel1,6%efectivatrimestral,así:

Sielcálculosedeberealizarcontasanominal,lafórmulaseconvierteen:

Dónde:

VF=valorfuturoN*m=periodosdedepósitoj=tasanominalm=periodosdecapitalización

Al igual que en el valor futuro equivalente a un valor presente tasa nominal, losproblemaspuedenserplanteadosatiempoexacto,atiempoinexactoyenperiodosdecapitalización.

( )

( )

66,887.456.1407110957.18000.800

016,01289137753.1000.800

016,01016,1.000.800

016,01016,01000.800

16

16

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

VFxVF

VF

VF

VF

( )

49,379.414.16135402023.166,887.456.14016,166,887.456.14$ 8

=

=

=

VFxVF

VF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎡−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

mj

mj

AVF

nxm

11

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Ejemplo:

Diegoquieresaberquécantidadpodráacumularen20semestres,sidepositaal finalde cada semestre $3.890.000 en una cuenta que paga el 4,4% con capitalizaciónsemestral. Enesteproblemasedeseaconocerelvalorfuturodeunaanualidadvencidacontasanominal por cuanto: a) los depósitos se hacen al final de cada semestre por 20semestres y b) la tasa de interés es del 4,4% con capitalización semestral, la cual lahaceunatasanominal.Sisegraficaelproblema,elresultadosería:

Ylosdatosquesuministrason:

A=$3.890.000N*m=20semestresj=4,4%,CCS.m=2

Alutilizarlafórmularespectivasetiene:

( )

( )

08,001.597.188845127.17

876.567.2807,0

1252191589.2876.567.28

07,0107,1876.567.28

07,0107,01

876.567.28

11

12

12

=

=

−=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

A

A

A

A

A

iiVFA

n

( )

( )

39.170.422.9678719033.24000.890.3

022,01022,1000.890.3

022,01022.01000.890.3

2044,0

12044,01

000.890.3

11

20

20

20

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

VFXVF

VF

VF

VF

mj

mj

AVF

nxm

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Hallarelvalorpresentedeunaseriedepagosvencidos,significaencontrarlasumadelospagosrealizadosalfinaldecadaperiodo,todosdescontadosaliniciodelplazo.Gráficamenteestetipodeoperacionesseveasí:

Elprocedimientomatemáticoutilizableparahallarelvalorpresentesería:

Esta expresión, una vez factorizada y simplificada, se convierte en la fórmula querealmenteseutiliza,lacual,dependiendodeltipodetasadeinterés(efectiva,nominal)involucradaenlaoperación,sepresentaasí: Tasaefectiva Tasanominal

Dónde:

VA=Valorpresentei=tasaefectivan=tiempon*m=periodosdecapitalizacióntotalesj=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunaño

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn iAiAiAiAiAVA −−−−− ++++++++++= 11....111 1321

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

iiAVA

n11

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

mjmj

AVA

nxm

11

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Ejemplo

Hallarelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000en10añosyunatasadel13%efectivaanual.Graficandoeldiagramadetiempo-valor,setiene:

Enestecaso:

VA=$5.000.000i=13%EAn=10años

Comolatasaesefectivasediceque:

Seconcluyeentonces,queelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000cadaunodurante10años,aunatasadel13%efectivaanual,esde$27.131.216.38.

( )

( )

( )

38,217.131.27426243476.5000.000.5

13,02945883481,01000.000.5

13,013,11000.000.5

13,013,011000.000.5

11

10

10

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

VAXVA

VA

VA

VA

iiAVA

n

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Ejemplo

A Víctor le proponen colocar hoy una cierta suma de dinero durante 32 trimestresvencidos a una tasa del 2,8%, capitalizable trimestralmente y le entregarán cadatrimestre$1.200.000.Paraqueestoseaposible,¿quécantidaddebedepositar?Gráficamenteelproblemasepresentaasí:

Elproblemaentregalasiguienteinformación:

A=$1.200.000j=2,8%CCTm=4

nxm=32trimestres Elproblemaplanteahallarelvalorpresentea tasanominaldeunaseriede ingresostrimestralesvencidos.

La cantidad que debe depositar Víctor para que le entreguen $1.200.000 al final decadames,aunatasadel2,8%concapitalizacióntrimestralesde$34.296.148,85.

( )

85,148.296.3458012404.28000.200.1

007,02000608683,0000.200.1

007,07999391317.01000.200.1

007,0007,011000.200.1

4028,04028,011

000.200.1

11

32

32

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

VAxVA

VAVA

VAVA

mjmj

AVA

nxm

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Cálculodelacuotaperiódica Más frecuentede loquesepiensa,sedebeencontrarelvalorde lacuotaperiódicaapartirdelvalorpresente.Cuandoestosucede,debeutilizarseunadeestasfórmulas:

Atasaefectiva: Atasanominal

Ejemplo

LacompañíaABCrequierecomprarunequipoespecializadoquecuesta$56.000.000.Comonotieneesedinero,buscalafinanciacióndeunbancoqueleofreceelpréstamoencuotasmensualesvencidasaunatasadel1,56%efectivamensualdurante4años.¿Decuántolequedaríanlascuotasmensuales? Gráficamenteserepresenta

VA=$56.000.000i=1,56%EMn=4añosx12meses=48meses

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

ii

VAAn11

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=−

mjmj

VAAnxm

11

0123………………………….48

$56.000.000

A=?A=?A=?A=?

I=1,56%

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Lacantidadquedeberápagarlaempresamensualmenteenformavencidaparapagarel crédito de $56.000.000 en 4 años y a una tasa del 1,56% efectivamensual, es de$1.666.143,74.

Ejemplo

LaempresadelácteosLaVacaGordatieneunexcedentedetesoreríade$32.000.000ylos invierte en un fondo que le paga el 4,8% con capitalización trimestral. ¿Quécantidadleentregarántrimestralmentecomorendimientoenlospróximos3años?

VA=$32.000.00j=4,8%CCTm=4n=3años

AquísedebeencontrarelvalordeAalfinaldecadatrimestre,conunatasadeinterésnominalapartirdevalorpresente.Eldiagramarepresentativoes:

( )

( ) ( )

74,143.666.161054551.33

000.000.560156,0

5243245099,0000.000.56

0156,04756754901,01

000.000.560156,00156,11000.000.56

0156,00156,011000.000.56

11

4848

=

=

=−

=

−=

+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

A

A

AA

AA

ii

VAAn

A=?A=?A=?A=?A=?

0

$32.000.000j=4,8%CCT

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Conlafórmulaainterésnominal,elresultadoes:

Lacantidadtrimestralqueleentregaráncomorendimientoporlos$32.000.000,aunatasadel4,8%concapitalizacióntrimestral,esde$2.879.213,87. Cálculodeltiempo Siloquesequiereeshallareltiempoenañosoenperiodosdecapitalizaciónapartirdelvalorpresenteenlaseriedepagosvencidos,seutilizaunadeestasfórmulas: Ainterésefectivo Ainterésnominal

( )

87,213.879.211414487.11

000.000.32012,0

1333697384,0000.000.32

012,08666302616,01

000.000.32

012,0012,11000.000.32

012,0012,011000.000.32

4048,04048,011

000.000.32

11

1212

43

=

=

=−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

−−

A

A

AA

AA

A

imj

VAA

x

nxm

( )i

xiAVA

n+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−1log

1log( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

mimjx

AVA

nxm1log

1log

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Dado que el numerador requiere calcular el logaritmo de una sustracción yrecordando la leyde los logaritmospara la sustracción, en la cual sedebe efectuarprimerolarestadea-byluegohallarellogaritmo.Enestecaso a=1 y b=

ó

Ejemplo

Unaempresadebebidasenergéticasrequiererealizarunainversiónde$100.000.000paraampliarsuproducción.Elgerentefinancieroquieresaberdurantecuántotiempodebepagarcuotasanualesvencidasde$14.000.000paracancelarelpréstamoque leharáelbanco,silatasaquelecobranesdel8%efectivaanual. Esteesel típicocasodecálculodel tiempoapartirdevalorpresente seriedepagosvencidos,dadoque: VA=$100.000.000A=$14.000.000i=8%EA Tomandolafórmuladetiempoapartirdetasaefectivacon log10, setiene:

El tiempo requerido para cancelar la deuda de $100.000.000, a una tasa del 8%efectivaanualconcuotasanualesvencidasde$14.000.000esde11años.

( )ba−log

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ xiAVA

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛mj

xAVA

( )

( )( )[ ]

( )[ ] ( )

00,11

00,1190334237554,0

3679767853.008,1log

4285714286,0log08,1log

5714285714,01log08,1log

08,0142857143.71log08,01log

08,0000.000.14000.000.1001log

1log

1log

=

−=−−

=−

=−=−

=−

−=−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

n

nn

nn

xnx

n

i

xiAVA

n

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Elvalorpositivodenseobtienealcancelarelsigno(-)alosdosladosdelaigualdad,comosucedesiescálculodetiempovalorpresentepagoúnico.

Ejemplo

Patriciainviertehoy$5.000.000enunacuentaquepagael7,2%concapitalización,conlaesperanzadeobteneralfinaldecadabimestreuningresode$1.750.000.¿Durantecuántosbimestresleentregaránesasuma?

VA=$5.000.000A=$1.750.000j=7,2%CCBm=6

Para hallar el tiempo a tasa nominal se utilizará la fórmula, pero con Ln, puesrealmenteesindiferenteutilizarlaunaolaotra.

EltiempoenelquePatriciapodrárecibir$1.750.000bimestrevencido,aunatasadel7,2%concapitalizaciónbimestralsiinvierte$5.000.000,esde2,92bimestres.

4.3 Anualidades anticipadas

Cuando las cuotas periódicas se depositan al inicio del periodo (año,mes, trimestreetc.),sedicequelaoperaciónesanticipada.

( )

( )[ ]( )

( )

[ ] ( )

92.270119285708,0

034887259,0012,1ln

9657142857,0ln012,1ln

90342857142,01ln

012,01ln012,0857142857.21ln

6072.01ln

6072,0

000.750.1000.000.51ln

1ln

1ln

−=−−

=−

=−−

=−

+−

=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

nxmnxm

nxmnxm

xnxm

xnxm

mimjx

AVA

nxm

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Gráficamenteestetipodecuotasperiódicasserepresentanasí:Lasimbologíautilizadaenestetipodepagos periódicos es exactamenteigual al de los vencidos. Para efectos de facilitar su recordación, se incluyen acontinuación:

VA=ValorpresenteVF=ValorfuturoA=cuotaperiódican=tiempoi=tasadeinterésefectivaj=tasadeinterésnominalm=Períodosdecapitalización

Cálculodelvalorfuturo Existenvariasformasparacalcularelvalorfuturodeunaseriedepagosanticipados.UnadelasformasresultadetransformareldiagramainicialenelsiguienteAl agregar A al momento n, la serie de pagos se convierte en vencida durante n+1periodos. Al plantear la siguiente ecuación de equivalencia y utilizando como fechafocaln-1,remítasealgráfico.EnélseobservaqueelpagoAenelperíodon-1puedeconsiderarse como el últimopago de una serie de pagos periódicos vencidos que seinicianenelperíodo-1.Esdecir:

AAAAA

0123n-1n

i%

-10123………...…n-1n

AAAA……………….AA

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18

Siendo esta fórmula la utilizada para calcular el valor futuro de una serie de pagosanticipados. Dependiendo del tipo de tasa de interés, el cálculo del valor futuro de una serie depagosperiódicosanticipadosserá: Atasaefectiva Atasanominal

Ejemplo

Rodrigoquierecomprardentrode6años.Paraellocomienzaunfondo,depositandoalinicio de cada trimestre $720.000 a una tasa del 0,9% efectivo trimestral. ¿Quécantidadpodráacumular?Utilizandolalíneadetiemposetiene:

Enestecaso:

A=$720.000i=0,9%ETn=6años=6x4=24trimestres

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−+=⎥

⎤⎢⎣

⎡ −−+=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=++⎥

⎤⎢⎣

⎡ −+=

+++

1111111

111111

111

1

iiA

ii

iiA

iiiAVF

iiiAiA

iiAVF

nnn

nn

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

111 1

iiAVFn

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

+

111

1

imj

AVF

nxm

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19

Reemplazandolosvaloresenlafórmula:

Rodrigo podrá retirar a los 6 años $20.085.034,43, si deposita al inicio de cadatrimestre$720.000aunatasadel0,9%efectivatrimestral.

Ejemplo

Isabelina quieresaberquécantidadpodráacumularen8,5años,sidepositaal iniciode cada semestre $8.930.000 en una cuenta que paga el 8,8% con capitalizaciónsemestral. Enesteproblemasedeseaconocerelvalorfuturodeunaanualidadanticipadacontasanominal,porcuantoa)losdepósitossehacenaliniciodecadasemestrepor8,5añosyb)latasadeinterésesdel8,8%concapitalizaciónsemestral, lacual lahaceunatasanominal.Sisegraficaelproblema,elresultadosería:

( )

( )

[ ]

43,034.085.20$$89588115.26000.720

189588115.27000.720$

1009,0

2510629304,0000.720

1009,0

12510629304.1000.720

1009,0

1009,1000.720

1009,0

1009,01000.720

25

124

=

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

VFxVF

VF

VF

VF

VF

VF

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20

Ylosdatosquesuministrason:

A=$8.930.000n=8,5añosj=8,8%,CCSm=2

Alutilizarlafórmularespectivasetiene:

Isabelina podrá acumular en 8,5 años $228.678.188,4, si deposita al inicio de cadasemestre$8.930.000enunacuentaquepagael8,8%CCS.Cálculodelacuotaperiódica Cuandoloquesedeseaescalcularlacuotaperiódicay,dependiendodeltipodeinterésconelquesetrabaje(efectivaonominal),seutilizaunadeestasfórmulas:

( )

( )

( )

( )

[ ]

4.188.678.228$60785984.25000.930.8

160785984.26000.930.8

1044,0

170745833.1000.930.8

1044,0

1170745833.2000.930.8

1022,0

1044,1000.930.8

1044,0

1044.01000.930.8

1

2088,0

12088,01

000.930.8

111

18

117

125,8

1

=

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

+

+

+

VFxVF

VF

VF

VF

VF

VF

VF

mj

mj

AVF

x

nxm

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21

Atasaefectiva: Atasanominal:

Dónde:

VF=valorfuturoi=tasaefectivan=tiempoA=cuotaperiódicaj=tasanominalm=períodosdecapitalizaciónenunaño

Ejemplo

¿Qué cantidad deberá depositarse al inicio de cada año, durante 12 años, paraacumular$28.567.876enunacuentaquepagael7%efectivaanual? La incógnitaaquíesA,esdecir, la cuotaperiódica.La tasade interésesefectivay laanualidadesanticipadaporcuantolosdepósitossehacenaliniciodelaño.Elproblemaentregalossiguientesdatos:

VF=$28.567.876i=7%EAn=12años

Entonces:

La cantidad que debe depositarse al inicio decada año para acumular, en 12 años$28.567.876,auna tasadel7%efectivaanual,esde$1.492.524,37

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

111 1

iiVFAn ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +

=+

111

1

mj

mj

VFA

nxm

( )

( )

37,524.492.114064286.19

876.567.28

114064286.20876.567.28

107,0

1409845.2876.567.28

107,0107,1876.567.28

107,0

107,01876.567.28

111

13112

1

==

−=

−−

=

−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

+

+

AA

AA

AA

iiVFAn

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22

Ejemplo

Catalinadebepagardentrode9añosy8meses$16.981.346.Silatasadeinterésquelecobranesdel8,4%concapitalizaciónbimestralylascuotasdebeabonarlasaliniciodecadabimestre,¿quécantidaddeberápagartrimestralmente? NuevamentelavariabledesconocidaesAenunaseriedepagosperiódicosanticipados,porcuantolacuotaseabonaaliniciodecadatrimestreycontasadeinterésnominalconcapitalizaciónbimestral.Asílascosassecuentacon:

VF=$16.981.346n=9años8meses luegonxm=58bimestres (9añosx6bimestresxaño=54+ (8meses/2meses)=4bimestres)

j=8,4%CCBm=6bimestresporaño

Tomandolafórmulacorrespondiente,seobtiene:

LacantidadqueCatalinadebeabonaraliniciodecadabimestreparacancelarladeudade$16.981.346en9añosy8meses,aunatasadel8,4%concapitalizaciónbimestral,esde$209.597,69.

( ) ( )

( )

69,597.20901881267.81

356.981.16101881267.82

356.981.16

1014,0

148263377.1346.981.16

1014,0

1148263377,2346.981.16

1014,0

1014,1346.981.16

014,01014,01

346.981.16

1

6084,0

16084,01

346.981.16

111

5555

1541

=

=−

=

−=

−−

=

−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +

=++

A

AA

AA

AA

A

mj

mj

VFA

nxm

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23

Cálculodeltiempo Siporelcontrariosetieneelvalorfuturoylacuotaperiódicaanticipada,ylatasadeinterés(nominaly/oefectiva),perosedesconoceeltiempo,debeprocederseasí: Silatasaesefectiva,seusará: Silatasaesnominal:

! + 1 =%&' ()

* +, -. +,%&' ,+. !/0 + 1 =

%&' ()* +, - 1

2 +,

%&' ,+ 12

NOTA1.Envezdetrabajarcon log10, sepuedetrabajarconLn.NOTA2.Alresultadofinaldeberestárseleel1de(n+1)ode(nxm+1),porcuantoesteresultódelartificiomatemáticoutilizadoparafacilitarelmanejodelafórmula. Dónde:

VF=valorfuturo A=cuotaperiódicai=tasaefectivan=tiemponxm=periodosdecapitalizacióntotalj=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónporaño

Ejemplo

Una persona inicia un fondo con depósitos anuales anticipados de $900.000, con laesperanzadereunir$15.000.000.Silatasaquelereconocenesdel5%efectivaanual,¿durantecuántotiempodeberáhacerlosdepósitos? Alleerelproblemaesfácilidentificarquesedebeencontrareltiempoapartirdevalorfuturo,anualidadanticipadaytasaefectiva,porcuanto:

VF=$15.000.000A=$900.000anualesanticipadosi=5%EA

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24

n=?Entonces:

El resultado indica que para que la persona pueda reunir 15.000.000, a partir dedepósitos anuales anticipados de $900.000, a una tasa del 5% efectiva anual, serequieren11,97años.

Ejemplo

¿Durante cuántosmeses deben realizarse pagosmensuales anticipados de $279.000paracancelarunadeudade$4.000.000,aunatasadel6%concapitalizaciónmensual?

VF=$4.000.000j=6%CCMm=12A=$279.000mensualesanticipados.

UtilizandolafórmulacorrespondienteconLogaritmobase10,elresultadoes:

( )

( )( )( )[ ]

( )( )( )

( )

97,11197,12

97,12170487901641,0

6330432565,01

05,1ln8833333333,1ln

105,1log

138833333333,0ln1

05,1ln105,0666667,17ln

1

05,1ln105,016666667,16ln

1

05,01ln

105,01000.900000.000.15

ln1

1ln

11ln1

=

−=

=+=+

=++

=+

+=+

++=+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=+

nn

nn

nn

xn

xn

xn

i

xiAVF

n

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25

Paracancelarunadeudade$4.000.000concuotasmensualesanticipadasde$279.000,serequieren13,81meses.Valorpresenteseriedepagosanticipados Para entender cómo hallar el valor presente de una serie de pagos anticipados, esprecisodiagramarlasituacióninicial:

( )( )[ ]( )

( )( )( )

( )( )

81,13181,14

81,141570021660617,0

0320884964,01

005,1log076684588,1log

1005,1log

110766845878,0log1

005,1log1005,033691657,15log

1

005,01log1005,0133691756.14log

1

1206,0

1log

11206,0

1000.279000.000.4

log1

1log

11log1

=

−=

=+=+

=++

=+

+=+

+

++=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=+

nxmnxm

nxmnxm

nxmnxm

xnxm

xnxm

xnxm

mjmj

xAVF

nxm

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Ytransformarlaen:

Esdecir,eliminarAdelinicio.Asíquedacomounaseriedepagosperiódicosvencidosan-1 periodos. Al sumar A con la ecuación del valor presente de la serie de pagosvencidossetiene:

Significa encontrar la suma de los pagos realizados al final de cada periodo, todosdescontadosaliniciodelplazo.Elprocedimientomatemáticoutilizadoparahallarelvalorpresentesería:

Esta expresión, una vez factorizada y simplificada, se convierte en la fórmula querealmente se utiliza, la cual, dependiendo del tipo de interés (efectiva, nominal)involucradaenlaoperación,sepresentaasí:Tasaefectiva Tasanominal

Dónde:

VA=Valorpresentei=tasaefectivan=tiemponxm=periodosdecapitalizacióntotales

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−++=

−−−

−−−

1111

11)1

11

11

nn

nn

iiiAVA

iiiAAVA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn iAiAiAiAiAVA −−−−− ++++++++++= 11....111 1321

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

iiAVA

n11

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

mjmj

AVA

nxm

11

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27

j=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunaño

Ejemplo

Hallarelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000en10añosyunatasadel13%efectivaanual. Graficandoeldiagramadetiempo-valor,setiene:

Enestecaso:

VA=$5.000.000i=13%EAn=10años

Comolatasaesefectiva,sediceque:

Seconcluyequeelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000,cadaunodurante10años,aunatasadel13%efectivaanual,esde$27.131.216.38.

( )

( )

( )

38,217.131.27426243476.5000.000.5

13,02945883481,01000.000.5

13,013,11000.000.5

13,013,011000.000.5

11

10

10

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

VAXVA

VA

VA

VA

iiAVA

n

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Ejemplo

A Víctor le proponen colocar hoy una cierta suma de dinero durante 32 trimestresvencidos a una tasa del 2,8%, capitalizable trimestralmente y le entregarán cadatrimestre$1.200.000.Paraqueestoseaposible,¿quécantidaddebedepositar?Gráficamenteelproblemasepresentaasí:

Elproblemaentregalasiguienteinformación:

A=$1.200.000j=2,8%CCTm=4nxm=32trimestres

Elproblemaplanteahallarelvalorpresentea tasanominaldeunaseriede ingresostrimestralesvencidos.

La cantidad que debe depositar Víctor para que le entreguen $1.200.000 al final decadames,aunatasadel2,8%concapitalizacióntrimestral,esde$34.296.148,85.

( )

85,148.296.3458012404.28000.200.1

007,02000608683,0000.200.1

007,07999391317.01000.200.1

007,0007,011000.200.1

4028,04028,011

000.200.1

11

32

32

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

VAxVA

VAVA

VAVA

mjmj

AVA

nxm

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CálculodelacuotaperiódicaMás frecuentede loquesepiensa,sedebeencontrarelvalorde lacuotaperiódicaapartirdelvalorpresente.Cuandoestosucede,debeutilizarseunadeestasfórmulas:

Atasaefectiva Atasanominal

Ejemplo

LacompañíaABCrequierecomprarunequipoespecializadoquecuesta$56.000.000.Comonotieneesedinero,buscalafinanciacióndeunbancoqueleofreceelpréstamoencuotasmensualesvencidasaunatasadel1,56%efectivamensual,durante4años.¿Decuántolequedaríanlascuotasmensuales?Gráficamenteserepresentaasí:

VA=$56.000.000i=1,56%EMn=4añosx12meses=48meses

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

ii

VAAn11

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=−

imj

VAAnxm

11

0123……………………48

$56.000.000

A=?A=?A=?A=?

i=1,56%

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30

Lacantidadquedeberápagarlaempresamensualmenteenformavencidaparapagarel crédito de $56.000.000, en 4 años a una tasa del 1,56% efectiva mensual, es$1.666.143,74.

Ejemplo

LaempresadelácteosLaVacaGordatieneunexcedentedetesoreríade$32.000.000ylos invierte en un fondo que le paga el 4,8% con capitalización trimestral. ¿Quécantidadleentregarántrimestralmentecomorendimientoenlospróximos3años?

VA=$32.000.00j=4,8%CCTm=4n=3años

AquísedebeencontrarelvalordeAalfinaldecadatrimestre,conunatasadeinterésnominalapartirdevalorpresente.Eldiagramarepresentativoes:

( )

( ) ( )

74,143.666.161054551.33

000.000.560156,0

5243245099,0000.000.56

0156,04756754901,01

000.000.560156,00156,11000.000.56

0156,00156,011000.000.56

11

4848

=

=

=−

=

−=

+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

A

A

AA

AA

ii

VAAn

$32.000.000j=4,8%CCT

A=?A=?A=?A=?A=?

1231112

0

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31

Conlafórmulaainterésnominalelresultadoes:

Lacantidadtrimestralqueleentregaráncomorendimientoporlos$32.000.000,aunatasadel4,8%concapitalizacióntrimestral,es$2.879.213,87.Cálculodeltiempo Siloquesequiereeshallareltiempoenañosoenperiodosdecapitalización,apartirdevalorpresenteenlaseriedepagosvencidos,seutilizaunadeestasfórmulas: Ainterésefectivo Ainterésnominal

Dado que el numerador requiere calcular el logaritmo de una sustracción, yrecordando la ley de los logaritmospara la sustracción en la cual se debe

( )

87,213.879.211414487.11

000.000.32012,0

1333697384,0000.000.32

012,08666302616,01

000.000.32

012,0012,11000.000.32

012,0012,011000.000.32

4048,04048,011

000.000.32

11

1212

43

=

=

=−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

−−

A

A

AA

AA

A

imj

VAA

x

nxm

( )i

xiAVA

n+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−1log

1log( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

mimjx

AVA

nxm1log

1log

( )ba−log

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32

efectuar primero la resta de a-b y luego hallar el logaritmo, en este caso a=1 y b=

ó

Ejemplo

Unaempresadebebidasenergéticasrequiererealizarunainversiónde$100.000.000paraampliarsuproducción.Elgerentefinancieroquieresaberdurantecuántotiempodebepagarcuotasanualesvencidasde$14.000.000paracancelarelpréstamoque leharáelbanco,silatasaquelecobranesdel8%efectivaanual. Este es el típico casode cálculo de tiempo a partir de valor presente serie depagosvencidosdadoque:

VA=$100.000.000A=$14.000.000i=8%EA

Tomandolafórmuladetiempoapartirdetasaefectivacon log10 setiene:

El tiempo requerido para cancelar la deuda de $100.000.000, a una tasa del 8%efectivaanualconcuotasanualesvencidasde$14.000.000esde11años. Elvalorpositivodenseobtienealcancelarelsigno(-)alosdosladosdelaigualdadcomosucedesiescálculodetiempovalorpresentepagoúnico.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ xiAVA

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛mj

xAVA

( )

( )( )[ ]

( )[ ] ( )

00,11

00,1190334237554,0

3679767853.008,1log

4285714286,0log08,1log

5714285714,01log08,1log

08,0142857143.71log08,01log

08,0000.000.14000.000.1001log

1log

1log

=

−=−−

=−

=−=−

=−

−=−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

n

nn

nn

xnx

n

i

xiAVA

n

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33

Ejemplo

Patriciainviertehoy$5.000.000enunacuentaquepagael7,2%concapitalización,conlaesperanzadeobteneral finaldecadabimestreuningresode$1.750.000,¿durantecuántosbimestresleentregaránesasuma? VA=$5.000.000A=$1.750.000j=7,2%CCBm=6 ParahallareltiempoatasanominalseutilizarálafórmulaperoconLn,puesrealmenteesindiferenteutilizarlaunaolaotra.

4.4 Anualidades diferidas

Unaseriedepagosdiferidossecaracterizaporqueexisteunperiododetiempoenelcualnohaypago,nideinteresesnidecuotaperiódica.Adichoperiododetiemposeledenominatiempomuertoodegracia.Gráficamenteestetipodeseriesserepresentaasí: Enestetipodeanualidad,setrabajanormalmenteconelpagoAalfinaldelperiodo,esdecir,comounaanualidadvencida.Portanto,sisedeseaencontrarelvalorfuturo,sóloserequiereaplicarlafórmulaadecuadadelvalorfuturodeseriedepagosvencidos. Por el contrario, el cálculo del valor presente requiere la utilizacióndeunade estasfórmulas,segúnlatasadeinterés:

01234567…….………..n-1n

Tiempomuerto AAAAAA

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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

34

Atasaefectiva: Atasanominal

Dónde:

VA=ValorpresenteA=cuotaperiódicai=tasaefectivan=tiempodepagonxm=tiempodepagoenperiodosdecapitalizacióntotalesm=períodosdecapitalizaciónporañok=tiempomuertoodegraciaenañoskxm=periodosdegraciaomuertosenperiodosdecapitalización

Ejemplo

Calcularelvalorpresentedeunaseriedepagosde$500.000semestrales,sielprimerpagodeberecibirsedentrode2añosyelúltimodentrode6años, siendo la tasadeinterésdel2%efectivosemestral. Dibujandoeldiagramacorrespondientealascondicionesdelproblema,setiene:

Eltiempodiferidoesde3semestresyeldepagode9semestres(12-3).

A=$500.000i=2%ESn=9semestresk=3semestres

( ) ( ) kn

iiiAVA −−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= 111 kxm

nxm

mj

mjmj

AVA−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−= 1

11

012345…….………..1112

VA=?500.000500.000500.000500.000

i=2%

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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

35

Comolatasaesefectivasemestral,elvalorpresentees:

El valor presente equivalente a una serie de pagos de $500.000 semestrales, que seinician dentro de 2 años y terminan dentro de 6 años, a una tasa del 2% efectivasemestral,esde$3.845.728,97. Enresumen,elvalorpresentedeunaseriedepagosdiferidosseencuentrahallandoelvalorpresentedeunaanualidadvencidadurantelosperiodosdepagoyestevalorsellevaavalorpresentedeunpagoúnicodurantelosperiodosdiferidos.

Ejemplo

Un agricultor requiere de un préstamo para sembrar árboles cuyo período deproducción es de 10 años. Un banco le hace un préstamo con las siguientescondiciones:a)cuotasmensualesde$1.235.000pagaderasapartirdelprimermesdelprimerañoenque losárbolescomiencenaproducir;b) tasade interésdel8,4%concapitalizaciónmensualyc)20añosdepago.¿Decuántofueelpréstamo? Eldiagramadetiempodeesteproblemaes:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

97,728.845.39423223345,0162236706.8000.500

9423223345,002,0

1632447341,0000.500

9423223345,002,0

8367552659,01000.50002,102,002,11000.500

02,0102,002,011000.500

111

39

39

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎤⎢⎣

⎡ −=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

−−

−−

VAXXVA

XVA

XVAVA

VA

iiiAVA k

n

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36

A=$1235.000j=8,4%CCMm=12k=10añosn=20años

Dadoquelatasaesnominal,lasoluciónes:

Enestetipodeseries,esmásnecesarioqueencualquieradelasotras,laelaboracióndel diagrama de tiempo, ya que es de gran ayuda para identificar claramente lostiempos(diferidoydepago). Cálculodelacuotaperiódica Siloqueserequierecalculareslacuotaperiódica,seutilizaunadeestasfórmulas: Atasaefectiva Atasanominal

( ) ( )

01.742.068.624329757105,00760049.116000.235.1

007,1007,0007,11000.235.1

12084,01

12084,012084,011

000.235.1

111

120240

1210

1220

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−−

VAXXVA

VA

VA

mj

mjmj

AVA

X

X

kxm

nxm

( ) ( ) kn

iiiVAA

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

111kxm

nxm

mj

mjmj

VAA

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

111

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37

Dónde:

VA=valorpresentei=tasaefectivan=tiempodepagonxm=periodosdecapitalizacióntotalesdepagoj=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunañok=periodosdegraciaenañoskxm=periodosdecapitalizacióndegracia

Ejemplo

Hallar la cuota trimestralquepagóunadeudade$45.000.000, auna tasadel0,85%efectivatrimestral,sielprimerpagosehizoalos5trimestresylospagosduraron25trimestres. Eldiagramadeesteproblemaes:

Dónde:

VA=Valorpresentei=0,85%ETn=25trimestresk=5trimestres

01234567…..…..2930

AAA…..……AA

45.000.000 I0,85ET

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38

Lacuotatrimestralquepagóunadeudade$45.000.000,aunatasadel0,85%efectivatrimestral, cuyo primer pago se hizo en el trimestre 5 y se pagaron durante 25trimestres,fuede$2.092.329,66

Ejemplo

BeatrizobtuvodelICETEXunpréstamode$20.000.000paraestudiarunposgrado.Lainstituciónleconcedió36mesesdegraciay9añosdepagoylatasadeinterésquelecobraesde9,6%concapitalizaciónmensual.¿Decuántolequedaronlascuotas? Elgráficodeesteproblemaes:

Dónde:

VA=Valorpresentej=9,6%CCMn=9años

( ) ( )

( ) ( )

( )

66.329.092.250712712.21

000.000.459585626155,043685156.22000.000.45

0085,10085,0

)0085,1(1000.000.45

0085,010085,00085,011

000.000.45

111

525

525

=

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

−−

−−

A

A

xA

A

A

iiiVA

Ak

n

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39

kxm= 36meses

LacuotaqueBeatrizdebepagardurante9años,aunatasadel9,6%concapitalizaciónmensualluegode36mesesdegracia,esde$369.373,96.

4.5 Anualidades perpetuas

Lasanualidadesperpetuassonaquellasquesesabedóndecomienzan,peronodóndeterminan.Gráficamenteserepresentanasí:

0 1 2 ………..

A A A A A

( ) ( )

( )

96,373.36914566881.54

000.000.20

750621231,013447552.72000.000.20

008,1008,0008,11

000.000.20

008,01008,0008,011

000.000.20

12096,01

12096,012096,011

000.000.20

111

36108

36108

36

129

=

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

−−

−−

A

A

xAA

A

A

mj

mjmj

VAA

x

kxm

nxm

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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

40

Enestetipodeanualidadnopuedehallarseelvalorfuturo,precisamenteporquenosesabecuándoterminará,loquesípuedehallarseeselvalorpresentequeesiguala:

Dónde:A=valordelaanualidadi=tasadeinterés Unejemplodeestetipodeanualidadeseslapensióndejubilación,desdeelmomentoenquelapersonacomienzaagozarla.Otroejemplosonlasherenciasaperpetuidad.

Ejemplo

Unapersonamuygenerosadejóunagruesasumadedineroparaqueaperpetuidadseleentregaran$2.000.000mensualesaunhospital.Si latasadeinteréspactadaesdel0.89%efectivamensual,¿quécantidaddejólapersona? Enestecaso:

A=$2.000.000,I=0,89%efectivamensual

Luegoelvalorpresentees:

Lapersonadejó$224.719.101.

iAVA =

.101.719.2240089,0000.000.2

==

=

VA

iAVA

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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

41

Resumen

Las operaciones financieras a interés compuesto, pueden desarrollarse de lassiguientesformas:

TIPO DE PAGO TASA OPERACIÓN PRINCIPAL

OPERACIÓN SECUNDARIA

Uniforme

Vencida Efectiva Valor futuro

Valor presente

Cálculo del tiempo

Cálculo de la cuota periódica

Nominal Valor futuro Valor presente

Anticipada Efectiva Valor futuro

Valor presente

Nominal Valor futuro Valor presente

Diferida Efectiva

Valor presente Nominal

Perpetua Efectiva Valor presente

FÓRMULAS

Concepto Tasa Efectiva Tasa Nominal

A

NU

ALI

DA

D V

ENC

IDA

AN

UA

LID

AD

VEN

CID

A

Valor futuro

Cuota a partir de valor futuro

Tiempo a partir de

valor futuro

! =log 67

8 /9 + 1log 1 + 9

!/0 =log 67

8 / :0 + 1

log 1 + :0

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

iiAVFn 11

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎡−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

mj

mj

AVF

nxm

11

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

iiVFA

n 11

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎡−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +

=

mj

mj

VFA

nxm

11

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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

42

Valor presente

Cuota a partir de valor presente

Tiempo a partir de valor presente

ANUALIDAD ANTICIPADA

Concepto Tasa Efectiva Tasa Nominal

Valor futuro

Tiempo a partir de

valor futuro

! =log 67

8 + 1 /9 + 1

log 1 + 9 !/0

=log 67

8 + 1 / :0 + 1

log 1 + :0

Valor presente

Cuota a partir de valor presente

Tiempo a partir de valor presente

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

iiAVA

n11

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

mjmj

AVA

nxm

11

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

ii

VAAn11

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=−

mjmj

VAA

nxm

11

( )i

xiAVA

n+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−1log

1log( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−

mimjx

AVA

nxm1log

1log

( ) 111 1

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

+

iiAVFn ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

+−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=

+

111

1

mj

mj

AVF

nxm

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−=

−−

111 1

iiAVA

n ( )

111

1

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−−

mjmj

AVA

nxm

( ) ( )

111 1

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

−−

iiVAA

n ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=−−

mjmj

VAA

nxm 1

11

( )i

xiAVA

n+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=−1log

11log( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=−

mi

mj

xAVA

nxm1log

11log

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43

Concepto Efectiva Nominal

AN

UA

LID

AD

DIF

ERID

A

Valor presente

Cuota

( ) ( ) kn

iiiAVA −−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= 111

kxm

nxm

mj

mjmj

AVA−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−= 1

11

( ) ( ) kn

iiiVAA

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

111kxm

nxm

mj

mjmj

VAA

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

=

111

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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

44

Bibliografía

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