DINAMICA 6 UNIDAD

QUE ES UNA VIBRACION MECANICAUna vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las vibraciones en mquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las prdidas de energa que las acompaan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseo apropiado. El anlisis de vibraciones se ha vuelto cada vez ms importante en los ltimos aos debido a la tendencia actual para producir mquinas de ms alta velocidad y estructuras ms ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continuar y que una incluso mayor necesidad de anlisis de vibraciones se generar en el futuro.Una vibracin mecnica se produce por lo general cuando un sistema se desplaza de una posicin de equilibrio estable. El sistema tiende a retornar a su posicin bajo la accin de fuerzas restauradoras (ya sea fuerzas elsticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, como en el caso de un pndulo). Pero el sistema por lo general alcanza su posicin original con cierta velocidad adquirida que lo lleva ms all de esa posicin. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el sistema se mantiene movindose de un lado a otro de su posicin de equilibrio. El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimientocompleto recibe el nombre de periodo de la vibracin. El nmero de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo del sistema a partir de su posicin de equilibrio se conoce como amplitud de la vibracin.Una manera sencilla de describir lo que es este concepto sera: el movimiento continuo y repetitivo de un objeto alrededor de una posicin de equilibrio. La posicin de equilibrio es a la que se llegar cuando la fuerza que acta sobre el objeto sea cero. Este tipo de vibracin se llama vibracin de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la misma direccin y en cualquier momento. El movimiento vibratorio de un cuerpo entero se puede describir completamente como una combinacin de movimientos individuales de 6 tipos diferentes. Esos son traslaciones en las tres direcciones ortogonales (x, y, z) y rotaciones alrededor de los ejes (x, y, z), cualquier movimiento complejo que el cuerpo pueda representar se puede descomponer en una combinacin de esos seis movimientos. De un tal cuerpo se dice que posee seis grados de libertad.El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe un conjunto de publicaciones e investigaciones destinados al tema. Nuestra intencin en este

trabajo es presentar los principios bsicos de las vibraciones que deben ser entendidos por los alumnos de ciencias e ingeniera y que sirven de base para el estudio de otros cursos de su especialidad. En este sentido solo estudiaremos las vibraciones con un solo grado de libertad, es decir aquel movimiento en el cual la posicin se puede expresar con una sola coordenada por ejemplo x, o y por en el movimiento pendular figura siguiente:

Vibraciones mecnicas con una slo grado de libertad.

Definicin de una vibracin libre

Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura 19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera slo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerar como una partcula. Cuando la partcula est en equilibrio esttico, las fuerzas que actan sobre ella son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, de magnitud , donde denota la elongacin del resorte. Por lo tanto, se tiene, ,

Supngase ahora que la partcula se desplaza a una distancia xm desde su posicin de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si xm se ha elegido ms pequea que , la partcula se mover hacia un lado y otro de su posicin de equilibrio; se ha generado una vibracin de amplitud xm.Advierta que la vibracin tambin puede producirse impartiendo cierta velocidad inicial a la partcula cuando sta se encuentra en la posicin de equilibrio x = 0 o, de manera ms general, al iniciar el movimiento de la partcula desde una posicin dada x = x0 con una velocidad inicial v0.

Una estructura esta en vibracin libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitacin de una fuerza externa alguna (P (t)=0). Estas vibraciones se presentan cuando despus de una perturbacin inicial, no existe fuerza externa de excitacin, esto es, F (t)= 0. La ecuacin diferencial es:

Se buscan soluciones de la forma: X= C estAs, la solucin de esta ecuacin puede escribir: X= Aes1t +Bes2t.Dnde: y Y A1y A2 Son constantes determinadas por las condiciones iniciales.

Al valor se denomina amortiguado crtico Cc.Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y el amortiguamiento crtico.Se pueden distinguir 4 casos:1. Amortiguamiento supercrtico.2. Amortiguamiento crtico.3. Amortiguamiento suscritico.4. Amortiguamiento nulo (ejes).Vibracin libre amortiguadaCon lo descrito en la definicin anterior nos podemos dar una breve introduccin a lo que es una vibracin libre amortiguada, pero es necesario que definamos de manera ms profunda este concepto de movimiento de un objeto.En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energa mecnica debido a algn tipo de friccin o rozamiento, de forma que dejado libremente a s mismo un muelle o pndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energa mecnica se disminuyen con el tiempo.La ecuacin diferencial que describe el movimiento es:

La solucin de esta ecuacin del movimiento nos permite obtener el desplazamiento en funcin del tiempo:

Dnde:Wd= es la frecuencia angular de la vibracin amortiguada.C= es el coeficiente de amortiguamiento.Y como se dijo anteriormente existe un valor C llamado coeficiente de amortiguamiento crtico (Cc), el cual se obtiene de la siguiente formula:

Dnde:Wn= es la frecuencia natural del sistema sin rozamiento.La constante (cc/c) se conoce como factor de amortiguamiento. En grafico siguiente se representa una tpica grafica de movimiento amortiguado dbil y se observa que aun cuando la amplitud es decreciente, el perodo de la vibracin se mantiene constante.

Grfico de una vibracin amortiguada

El coeficiente de amortiguamiento crtico, Cc y la razn o relacin de amortiguamiento crtico, son parmetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.

Como expusimos antes en vibraciones libre existen 4 niveles de amortiguamiento los cuales explicaremos a continuacin:

Amortiguamiento fuerte o supercrticoSe produce cuando C>CC y corresponde a un movimiento no vibratorio, porque el sistema recupera su posicin de equilibrio sin oscilar.La ecuacin de este caso es:

Las races de la ecuacin son dos soluciones distintas, reales y negativas:

La solucin no es del tipo ondulatorio sino que es del tipo exponencial decreciente, y tiende antes a cero conforme mayor es el amortiguamiento Ce:

Amortiguamiento crticoSe produce cuando C=CC y aqu el movimiento tampoco es vibratorio.La ecuacin para este segundo caso es la siguiente:

Las races de la ecuacin son dos iguales, reales y negativas:

Si el amortiguamiento es igual o mayor que el crtico, entonces la solucin de la ecuacin para vibraciones libres no contiene trminos peridicos. La masa, despus de la perturbacin inicial, regresa a la posicin de equilibrio pero no

oscila. Es decir, en este caso, al igual que en el caso 1, la solucin no es del tipo ondulatorio si no del tipo exponencial decreciente.El caso 1 corresponde con >1 y el caso 2 con =1.

Amortiguamiento subcrticoSe produce cuando C