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Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS

ALBERTO RUIZ-CABELLO LÓPEZ EJERCICIO 4 _____________________________________________________________________ 1. Matriz de masas concentradas del sistema. La matriz de masas concentradas para un edificio a cortante es una matriz diagonal en la que cada componente no nula es la masa de uno de los dinteles. Es decir, identificando con 1 y 2 los grados de libertad del dintel inferior y superior respectivamente (desplazamientos horizontales), se tiene: � = �� 00 �� = � · �� · �� (��)

Cuando imponemos una aceleración unitaria exclusivamente según el grado de libertad 1, el grado de libertad 2 no se ve sometido a ninguna fuerza. Recíprocamente, tenemos un resultado similar cuando se impone una aceleración unitaria según el grado de libertad 2. De ahí que la matriz de masas resulte diagonal. 2. Matriz de rigidez del sistema. La matriz de rigidez para un edificio a cortante es de la forma: � = �(�� + ��) −��−�� siendo: �� = 12��ℎ��

donde: ��: suma de los momentos de inercia de los pilares de una planta por debajo del dintel i. ℎ�: altura de los pilares de la planta por debajo del dintel i. �� es la rigidez elástica correspondiente a la deformación de un pilar según el siguiente esquema:

Es decir, desplazamiento horizontal unidad en un extremo, nulo en el opuesto, y giro nulo en ambos extremos.



En nuestro caso: � = 3 · 10� ! ��⁄ �� = 2 · 0.35� · 0.3512 = 2.502 · 10%� �&

(para las dos plantas) ℎ� = 3.0 �

(para las dos plantas) �� = 12 · 3 · 10� · 2.502 · 10%�3� = 3.336 · 10( ! �⁄

Y finalmente: ) = � *. *+� · ��+ −. * · ��+−. * · ��+ . * · ��+ � (! �⁄ )

3. Frecuencias propias y modos de vibración del sis tema. Las frecuencias propias ,� de cada modo de vibración se obtienen a partir de la ecuación características del sistema: |� − ,�.| = 0 Es decir: /6.672 · 10( − ,� · 3 · 10& −3.336 · 10(−3.336 · 10( 3.336 · 10( − ,� · 2 · 10&/ = 0 ⟹

6 · 102(,�)� − 2.335 · 10��,� + 1.113 · 10�3 = 0 ⟹

45� = �. 67 8 9⁄5� = 6+. +6 8 9⁄ :

Los modos de vibración ;<=� correspondientes a cada frecuencia se deducen a partir del sistema de ecuaciones siguiente (indeterminado), asignando el valor unidad a la componente <�: (� − ,��.);<=� = 0 >6.672 · 10( − ,�� · 3 · 10& −3.336 · 10(−3.336 · 10( 3.336 · 10( − ,�� · 2 · 10&? @<�<�A� = @00A

Para B = 1: @C�C�A� = @ ��. 6A

Para B = 2: @C�C�A� = @ �−�A



4. Matriz de amortiguamiento. Una expresión general de la matriz de amortiguamiento D que satisface la condición de ortogonalidad de las formas modales del sistema, es la siguiente (Caughey, 1960): D = . E FG(.%��)GH

GI%H_

Cualquier sumando de esta expresión satisface la ortogonalidad. En particular, podemos considerar una suma de K términos, desde L = 0 hasta L = K − 1, es decir:

D = . E FG(.%��)GM%�GI _ (1)

A partir de (1) y de las razones de amortiguamiento para cada uno de los modos de vibración N�, se llega a la siguiente expresión matricial que permite determinar los coeficientes FG:

2 ON�N�⋮NMQ = RSS

STU�%� U� U�� ⋯ U��M%�U�%� U� U�� … U��M%�⋮ ⋮ ⋮ … ⋮UM%� UM UM� ⋯ UM�M%�XYYYZ O F F�⋮FM%�

Q (2)

Cuando, como en nuestro caso, K = 2, la expresión (1) se transforma en una combinación lineal de . y �, tal y como se solicita en el enunciado del ejercicio, esto es: D = F . + F � Particularizando en el sistema (2) tenemos: N� = N� = 0.05 2 @0.050.05A = [0.0424 23.580.0173 57.75^ @F F�A ⟹

[0.0424 23.580.0173 57.75^%� = [ 28.300 −11.555−0.00848 0.0208 ^ ⟹

@F F�A = [ 28.300 −11.555−0.00848 0.0208 ^ @0.10.1A = @ 1.67450.001232A

Es decir, la matriz de amortiguamiento queda: D = F . + F�� = 1.6745 [3 · 10& 00 2 · 10&^ + 0.001232 [ 6.672 · 10( −3.336 · 10(−3.336 · 10( 3.336 · 10( ^ _ = [�� − ��``− ��`` + 67` ^ a !� b⁄ c



5. Matriz compleja de respuesta en frecuencia. Las componentes de la matriz compleja de respuesta en frecuencia se puede determinar de una forma general a partir de la siguiente expresión: def(Ω) = hi�e(Ω)h|i(Ω)|

donde: i(Ω): matriz de flexibilidad dinámica, cuyos términos se definen como sigue: ief = −Ω��e + BΩckl + kkl hi�e(Ω)h: determinante de la matriz que resulta de sustituir la columna n en i(Ω) por el vector:

opefq = 41 � = n0 � ≠ n:

Por tanto, para Ω = 30 s/b, se tiene: u(v) i(Ω) = −900 [3 · 10& 00 2 · 10&^ + B30 [132434 −41099−41099 74589 ^ + [ 6.672 · 10( −3.336 · 10(−3.336 · 10( 3.336 · 10( ^ =

� 3.972 · 10( + B3.973 · 10x −3.336 · 10( − B1.233 · 10x−3.336 · 10( − B1.233 · 10x 1.536 · 10( + B2.238 · 10x � ⟹

|i(Ω)| = −5.102 · 10�& + B6.764 · 10�� y��(v) i��(Ω) = �1 −3.336 · 10( − B1.233 · 10x0 1.536 · 10( + B2.238 · 10x � ⟹

|i��(Ω)| = 1.536 · 10( + B2.238 · 10x ⟹ |d��(Ω)| = |i��(Ω)||i(Ω)| = 1.536 · 10( + B2.238 · 10x−5.102 · 10�& + B6.764 · 10�� = −2.901 · 10%2 − B8.24 · 10%z

y��(v) i��(Ω) = �0 −3.336 · 10( − B1.233 · 10x1 1.536 · 10( + B2.238 · 10x � ⟹

|i��(Ω)| = 3.336 · 10( + B1.233 · 10x ⟹ |d��(Ω)| = |i��(Ω)||i(Ω)| = 3.336 · 10( + B1.233 · 10x−5.102 · 10�& + B6.764 · 10�� = −6.395 · 10%2 − B1.09 · 10%2



y��(v) i��(Ω) = [ 3.972 · 10( + B3.973 · 10x 1−3.336 · 10( − B1.233 · 10x 0^ ⟹

|i��(Ω)| = 3.336 · 10( + B1.233 · 10( ⟹ |d��(Ω)| = |i��(Ω)||i(Ω)| = 3.336 · 10( + B1.233 · 10x−5.102 · 10�& + B6.764 · 10�� = −6.395 · 10%2 − B1.09 · 10%2

y��(v) i��(Ω) = [ 3.972 · 10( + B3.973 · 10x 0−3.336 · 10( − B1.233 · 10x 1^ ⟹

|i��(Ω)| = 3.972 · 10( + B3.973 · 10( ⟹ |d��(Ω)| = |i��(Ω)||i(Ω)| = 3.972 · 10( + B3.973 · 10x−5.102 · 10�& + B6.764 · 10�� = −7.55 · 10%2 − B1.78 · 10%2

La matriz compleja de respuesta en frecuencia resulta finalmente: y(v) = �−�. `�� · ��%7 − {7. � · ��%` −*. `6 · ��%7 − {�. �` · ��%7−*. `6 · ��%7 − {�. �` · ��%7 −+. 66 · ��%7 − {�. +7 · ��%7 � =

[−2.901 · 10%2 −6.395 · 10%2−6.395 · 10%2 −7.55 · 10%2 ^ + B [−8.24 · 10%z −1.09 · 10%2−1.09 · 10%2 −1.78 · 10%2^ 6. Resultados a partir de un espectro de respuesta.

6.1. Máximo desplazamiento de cada dintel. Para cada modo de vibración, el espectro de respuesta proporciona el valor de la máxima aceleración asociada a dicho modo (|})� a partir del periodo natural correspondiente. El periodo natural para cada modo de vibración resulta: B = 1: ~� = 2�U� = 2�23.58 = 0.266 b

B = 2: ~� = 2�U� = 2�57.75 = 0.109 b

Para B = 1 nos situamos pues en el segundo tramo recto del espectro de respuesta (0.2 ≤ ~ ≤0.5 b), donde: |}(~) = 2.0 � b�⁄



Para B = 2 nos situamos pues en el primer tramo recto del espectro de respuesta (~ ≤ 0.2 b), cuya expresión en términos del periodo natural es la siguiente: |}(~) = 1 + 2 − 10.2 ~ = 1 + 10~ (� b�)⁄

Por tanto, para cada modo de vibración se tiene el siguiente valor de |}: B = 1: (|})� = 2.0 � b�⁄ B = 2: (|})� = 1 + 5 · 0.109 = 1.545 � b�⁄ El máximo desplazamiento que induce en cada nodo (dintel) cada uno de los modos de vibración viene dado por la expresión: ;�=�á�� = ;<=�|��|�á� donde: |��|�á� = ;<=��.�;<=��.;<�= (|})�U��

� = @11A

Por tanto: B = 1: ;<=��.� = ;1|1.5= [3 · 10& 00 2 · 10&^ @11A = 60000

;<=��.;<�= = ;1|1.5= [3 · 10& 00 2 · 10&^ @ 11.5A = 75000

(|})�U�� = 2.023.58� = 0.0036 �

|��|�á� = 6000075000 0.0036 = 0.00288 �

;�=�á�� = @ 11.5A 0.00288 = @�. ��77�. �� A (�)

B = 2: ;<=��.� = ;1|−1= [3 · 10& 00 2 · 10&^ @11A = 10000

;<=��.;<�= = ;1|−1= [3 · 10& 00 2 · 10&^ @ 1−1A = 50000



(|})�U�� = 1.54557.75� = 0.000463�

|��|�á� = 1000050000 0.000463 = 0.0000927 �

;�=�á�� = @ 1−1A 0.0000927 = @ �. ��`�+−�. ��`�+A (�)

Finalmente, el máximo desplazamiento para cada nodo se obtiene como media cuadrática de los máximos desplazamientos correspondientes al nodo obtenidos en cada modo de vibración del sistema:

;�=�á� = �E;�=�á��I� = �@0.00288�0.00432�A + � 0.0000927�(−0.0000927)�� = @0.002880.00432A (�) = @�. ` . A (��)

6.2. Máximo esfuerzo cortante y máximo momento flec tor en la base de los pilares de la

planta baja y de la primera planta. A partir de los máximos desplazamientos obtenidos (vía espectro de respuesta) para cada modo de vibración, podemos determinar las fuerzas elásticas equivalentes empleando la matriz de rigidez: B = 1: �;�=�á�� = [ 6.672 · 10( −3.336 · 10(−3.336 · 10( 3.336 · 10( ^ @0.002880.00432A = @4803848038A (!)

B = 2: �;�=�á�� = [ 6.672 · 10( −3.336 · 10(−3.336 · 10( 3.336 · 10( ^ @ 0.0000927−0.0000927A = @ 9277−6185A (!)

Conocidas las fuerzas elásticas equivalentes para cada modo de vibración, pueden establecerse el esfuerzo cortante y el momento flector correspondiente a cada modo: Esfuerzo cortante B = 1:

• Planta primera: �� = −48038 !

• Planta baja: �� = −(48038 + 48038) = 96077 !

B = 2:

• Planta primera: �� = 9277 !

• Planta baja:



�� = −(9277 − 6185) = −3092 ! Esfuerzo cortante máximo:

• Planta primera:

��á� = �E�� I� = �(−48038)� + 9277� = 48926 ! = 7. ` ��

• Planta baja:

��á� = �E�� I� = �96077 � + (−3092)� = 96127 ! = `*. � ��

Momento flector B = 1:

• Planta primera: .�� = −48038 · 3.0 = −144114 ! · �

• Planta baja: .� � = −(48038 · 3.0 + 48038 · 6.0) = −432342 ! · �

B = 2:

• Planta primera: .�� = −9277 · 3.0 = 27831 ! · �

• Planta baja: .� � = 6185 · 3.0 − 9277 · 6.0 = −37107 ! · �

Momento flector máximo:

• Planta primera:

��á� = �E�.�� I� = �(−144114)� + 27831� = 146777 ! · � = � *. +7 �� · �

• Planta baja:

��á� = �E�.� � ��I� = �(−432342)� + (−37107)� = 433931 ! · � = . ` �� · �

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