Universidad Tecnolgica Metropolitana de Chile, Facultad de Ciencias Naturales, Matemtica y de Medioambiente, Departamento de Fsica MAGSTER EN TECNOLOGA NUCLEARVERSIN 2015Experiencia N2: Difraccin de la luzMara Paz Sandoval1, Ral Contreras2, Luis Canales31 ,2 ,3 Universidad Tecnolgica Metropolitana de Chile1mpaz.sandoval89@gmail.com, 2racofa2136@gmail.com, 3rust.stilettos@gmail.comABSTRACTEl presente trabajo contina explorando la naturaleza ondulatoria de la luz, esta vez analizando el fenmeno de difraccin. Adems, mediante el uso de la transformada de Fourier, se entrega la expresin de la intensidad para el espectro de difraccin obtenido.___________________1.- ObjetivosEn base al estudio de difraccin de la luz, se pretende determinar la longitud de onda utilizando rendijas con un ancho conocido, y el ancho de un obstculo atravesado por la luz (un pelo), mediante la expresin deducida en el marco terico. Una vez completada la experiencia, se compararn los resultados obtenidos con los nominales aplicando tcnicas experimentales apoyadas en la teora de error.De manera complementaria, se efecta el anlisis mediante la transformada de Fourier, para obtener la funcin que relacione la intensidad con la distancia desde el mximo central en el espectro de difraccin.2.- IntroduccinLa difraccin es, junto con la interferencia, parte de los fenmenos relacionados con el carcter ondulatorio de la luz. Se manifiesta como la desviacin que sufre parte de un frente de ondas, cuando se ve cortado o interrumpido por una barrera u obstculo, modificando la trayectoria alrededor de los bordes y esquinas de dicho obstculo. Este fenmeno se puede visualizar al colocar un objeto opaco entre una fuente de luz y una pantalla, en donde se observa que la sombra que se proyecta no es perfectamente aguda, ya que parte de la luz est presente en la zona oscura de la sombra geomtrica. De igual forma, la luz que emerge de una pequea apertura o ranura angosta parecer que se esparce, al ser desviada (o difractada) la luz que atraviesa el obstculo.Marco TericoPara demostrar este fenmeno se realiza un sencillo experimento, en el cual se hace incidir una luz por una rendija. La imagen proyectada en la pantalla ser una serie de franjas brillantes y oscuras, que forman el llamado patrn de difraccin. Este patrn presenta una franja central relativamente ancha y brillante y, a ambos lados, otras franjas brillantes de intensidad decreciente (figura 1).

Fig. 1 Diagrama de difraccin de la luz al atravesar por una rendija. Imagen recuperada desde TIPLER, MOSCA. Fsica para la ciencia y la tecnologa, Volumen 2. Editorial Revert S.A., 6 Ed. 2010.Si la fuente de luz y la pantalla se encuentran muy lejos de la rendija se dice que se presenta la difraccin de Fraunhofer (o de campo lejano); si la fuente luminosa y la pantalla se encuentran a pequeas distancias o distancias finitas se dice que se presenta difraccin de Fresnel (o de campo cercano).La teora asociada con la difraccin por una rendija rectangular considera una rejilla muy angosta (de las dimensiones de la longitud de onda de la luz). En concordancia con el principio de Huygens, cada punto del frente de onda plano se convierte en fuente de pequeas ondas esfricas secundarias; estas ondas secundarias, llamadas ondas difractadas, luego se recombinan constructiva o destructivamente en una pantalla sobre la cual es posible observar un patrn de difraccin cuya distribucin de intensidad luminosa disminuye a lo largo de ella alejndose del mximo central.

Fig. 2 Esquema de difraccin por una rendija. Imagen recuperada desde TIPLER, MOSCA. Fsica para la ciencia y la tecnologa, Volumen 2. Editorial Revert S.A., 6 Ed. 2010.La mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un amplio mximo central de difraccin, aunque existen bandas de mximos secundarios menores a cada lado ste. Normalmente, slo es de inters la presencia del primer mnimo de intensidad en el diagrama de difraccin (figura 2), el cual est dado por: (1)

Donde: = espaciamiento de la rendija. = ngulo que forma la direccin del rayo emergente con la direccin del rayo central. = longitud de onda.Suponiendo que la rendija est muy alejada de la pantalla y observando en regiones donde L>>>d (campo lejano), se puede aproximar a , por lo que los mnimos consecutivos estarn dados por: (2)En donde representa el nmero de mnimo que se est midiendo.Anlisis complementario: la transformada de FourierDe manera similar al anlisis realizado en el experimento de interferencia de la luz, la difraccin puede ser modelada mediante la transformada de Fourier. Si se dibuja un grfico de la intensidad de luz justo en el momento en que pasa por la parte trasera de la rendija, se observa un pulso rectangular, centrado en el origen y con un ancho , como lo muestra la figura 3.

Fig. 3 Representacin grfica de la luz al atravesar la rendija.Aplicando la transformada de Fourier al pulso rectangular, se tiene que: (3)Este resultado representa la amplitud en funcin de , pero utilizando la ecuacin (3) y considerando que el ojo detecta la Intensidad de la onda (la cual se define como la amplitud elevada al cuadrado) se obtiene finalmente la siguiente expresin para la intensidad en funcin del desplazamiento desde el centro del espectro de interferencia: (4)Donde: es el ancho de la rendija.[footnoteRef:1] [1: A lo largo de los anlisis se utiliza indistintamente y para referirse al ancho de la rendija.]

es la distancia desde el centro del espectro. es la longitud de onda de la luz. es la distancia desde la rendija a la pantalla.3.- Desarrollo ExperimentalPara el desarrollo de la presente experiencia se consider el siguiente procedimiento: a) Se ubica el marco porta rendija en frente de la fuente lser, de manera tal que la luz apunte al centro de la rendija.b) Se ubica la pantalla (hoja de papel) a una distancia mayor a 2 metros (en la experiencia actual, 4.63 metros para el lser rojo y 4.53 metros para el lser verde).c) Se dibuja el patrn de difraccin obtenido, marcando en la pantalla los lmites de las zonas oscuras e iluminadas. Es importante indicar el centro en las marcas. d) Se repite el procedimiento para distintas rendijas (incluyendo el pelo montado en un marco porta rendija) y distintos colores de lser.El montaje de la experiencia se muestra en la figura 4.

Fig. 4 Montaje en laboratorio.Equipos Materiales Fuente de lser rojo ( = 632.8 nm). Fuente de lser verde ( = 532 nm). Huincha de medir. Hoja de papel. Tornillo micromtrico. Rendija A (ancho de rendija 0.04 mm). Rendija B (ancho de rendija 0.08 mm). Rendija C (ancho de rendija 0.16 mm). Un pelo. 4.- ResultadosLos datos nominales para la presente experiencia se resumen en la siguiente tabla:ROJO632.8[nm]

VERDE532.0[nm]

ROJO4.63 0.005[m]

VERDE4.53 0.005[m]

A0.04[mm]

B0.08[mm]

C0.16 [mm]

PELOPor determinar

Los resultados obtenidos se entregan en las imgenes a continuacin. Las distancias fueron calculadas como el punto central entre los extremos de cada zona (iluminada y oscura).

Fig. 5 Resultados para el lser rojo con la rendija A. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.

Fig. 6 Resultados para el lser rojo con la rendija B. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.

Fig. 7 Resultados para el lser rojo con la rendija C. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.

Fig. 8 Resultados para el lser rojo con el pelo. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.

Fig. 9 Resultados para el lser verde con la rendija A. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.

Fig. 10 Resultados para el lser verde con la rendija B. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.

Fig. 11 Resultados para el lser verde con la rendija C. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.

Fig. 12 Resultados para el lser verde con el pelo. En la imagen superior se aprecia una fotografa de la experiencia, mientras que la imagen inferior entrega la distancia (en milmetros) de los mximos positivos (zonas iluminadas) y negativos (zonas oscuras) al mximo central.5.- AnlisisCLCULO DE Lser rojoUtilizando la ecuacin (2), y despejando para , se obtienen los siguientes valores de longitud de onda para distintos

Rendija A

Se considera n negativo para indicar los puntos a la izquierda de la referencia central (punto cero). Para el clculo de la primera zona oscura, n=1 se tiene que:

Como las medidas correspondientes a la longitud LL y xx poseen un error instrumental, mientras que las otras variables se consideran constantes, ya que el fabricante no indica error, se aplica propagacin de error tal como:

Por lo tanto el error asociado al clculo queda como:

Los resultados obtenidos se registran en la siguiente tabla:

-11

[mm]-9394.5

[nm]803.454.41816.414.41

Este procedimiento se aplica a los dems clculos para las diferentes rendijas.

Rendija B-2-112

[mm]84.7542.54489

[nm]732.184.39734.348.71760.258.72777.534.40

Rendija C-3-2-1123

[mm]-57.25-38.25-19.2519.7539.7557.5

[nm]659.495.83660.908.71665.231.73682.511.73691.158.71613.395.83

Lser verdeAnlogamente a lo realizado para el lser rojo, se obtienen los siguientes valores de longitud de onda para distintos en el lser verde.

Rendija A-11

[mm]7574.25

[nm]661.374.48654.764.48

Rendija B-11

[mm]35.2535.5

[nm]621.698.88626.108.88

Rendija C-3-2-1123

[mm]48.25321615.7531.548

[nm]563.965.91561.038.83561.031.76552.271.76552.278.83578.575.91

De los resultados anteriores, se obtienen los siguientes parmetros de error.Lser RojoLser Verde

[nm] [nm]

Rendija A809.934.4127.999.16658.074.4823.704.68

Rendija B751.086.5618.6921.77623.898.8917.273.12

Rendija C662.1110.64.6327.02561.521.085.559.68

CLCULO DE Utilizando la ecuacin (2), y despejando para d, se obtienen los siguientes valores de ancho de rendija para distintos con un establecido de 632.8[nm]

Se considera n negativo para indicar los puntos a la izquierda de la referencia central (punto cero). Para el clculo de la primera zona oscura hacia la derecha, n=1, realizada con el lser rojo, se tiene que:

Como las medidas correspondientes a la longitud LL y xx poseen un error instrumental, mientras que las otras variables se consideran constantes, ya que el fabricante no indica error, se aplica propagacin de error tal como:

Por lo tanto el error asociado al clculo queda como:

Los resultados obtenidos se registran en la siguiente tabla:

Pelo laser rojo-3-2-1123

[mm]119.578393978.5116.5

[m]73.550.3275.130.4975.130.9775.130.9774.650.4875.450.33

Pelo laser verde-3-2-1123

[mm]119.578393978.5116.5

[m]73.010.3771.660.5472.461.0872.461.0873.560.5675.450.37

De los resultados anteriores, se obtienen los siguientes parmetros de error.Lser RojoLser Verde

[m] [m]

74.840.596.910.6872.600.673.720.637

Anlisis con Transformada de FourierUtilizando la ecuacin 4, se puede calcular la intensidad de la onda en cualquier punto de desplazamiento respecto al eje central. Para el mximo central, utilizando la rendija A y el lser rojo, se tiene que: (5)Tal como se aprecia en la figura 13. Del clculo realizado en la ecuacin 5 se observa que la intensidad del mximo central depende del ancho de la rendija. Calculando par a todas las rendijas, se consiguen los resultados que se muestran en las imgenes a continuacin, obtenidos mediante simulacin por computador.

Fig. 13 Simulacin para el lser rojo con la rendija A. Se aprecia el primer mnimo en = 73.5 mm.

Fig. 14 Simulacin para el lser rojo con la rendija B. Se aprecia el primer mnimo en = 36.6 mm.

Fig. 15 Simulacin para el lser rojo con la rendija C. Se aprecia el primer mnimo en = 18.3 mm.

Fig. 16 Simulacin para el lser verde con la rendija A. Se aprecia el primer mnimo en = 60.3 mm.

Fig. 17 Simulacin para el lser verde con la rendija B. Se aprecia el primer mnimo en = 30.2 mm.

Fig. 18 Simulacin para el lser verde con la rendija C. Se aprecia el primer mnimo en = 15.1 mm.Respecto al pelo, utilizando el valor aproximado de 0.07 mm, se obtienen las siguientes simulaciones para el lser rojo (figura 19) y el lser verde (figura 20).

Fig. 19 Simulacin para el lser rojo con el pelo. Se aprecia el primer mnimo en = 41.8 mm.

Fig. 19 Simulacin para el lser rojo con el pelo. Se aprecia el primer mnimo en = 34.4 mm.

6.- DiscusionesDel anlisis de los 8 espectros observados en la presente experiencia, se puede apreciar que en todos los patrones predomina el primer mximo central (relacionado inversamente con el ancho de cada rendija), mientras que las siguientes zonas brillantes son poco luminosas o casi imperceptibles.Para la rendija A (d=0,04 mm) solo se distingue la primera zona iluminada, la cual es muy intensa y muy amplia. A medida que aumenta el espaciamiento de la rendija (B y C) los espectros empiezan a ser ms definidos y la amplitud del mximo central va disminuyendo. Esto se ve reflejado en la ecuacin (2), donde hay una dependencia del ancho de la rendija y x.Para el lser rojo se obtuvo un rango de error porcentual entre 4,63-27,99%. El error ms alto es encontrado para la rendija A, la cual fue ms difcil de medir por la poca definicin entre las zonas brillantes y las zonas oscuras, adems de la deficiencia natural del ojo para realizar este procedimiento. La misma observacin es vlida para el lser verde, donde se determinaron rangos de error porcentual entre 5,55-23,70%, siendo el rango ms alto para la rendija A.Por otro lado la dispersin de los datos es bastante amplia (variando entre 3,12-27,02), siendo mayor la dispersin de los datos obtenidos con el lser rojo. Esto se debe a que la sensibilidad del ojo es mayor para las longitudes de onda correspondientes al color verde[footnoteRef:2] (razn principal de que los lentes de visin nocturna utilicen este color). [2: SERWAY, JEWETT. Fsica para ciencias e ingeniera con Fsica Moderna, Volumen 2. Cengage Learning Editores, 7 Ed. 2009.]

En el caso de la determinacin del espaciamiento del pelo, el error es aceptable para la cantidad de datos obtenidos (menor al 10%), encontrndose resultados relativamente exactos y con una desviacin estndar baja. En cuanto al anlisis con transformada de Fourier, se justifica como un modelo bastante aproximado a la realidad e interesante en el aspecto de que el paso de la luz a travs de la rendija significa un paso del dominio del espacio al dominio de las frecuencias espaciales (de manera similar a lo ocurrido en el experimento de la doble rendija). La ausencia de algunos mximos de pequea amplitud en la imagen en escala de grises, responde a la sensibilidad del programa en la representacin de los tonos (las amplitudes pequeas se aproximan a cero), sin embargo, estos mximos se pueden ver en la representacin grfica de la transformada.7.- ConclusionesCon este experimento se comprob el efecto de la difraccin, corroborando la dependencia del espaciamiento de la rendija con el ancho de los mximos. Para un mayor espaciamiento de la rendija, menor sern las medidas de los mximos en un patrn de interferencia, tal como se aprecia en las imgenes de la experiencia.El modelo obtenido mediante la transformada de Fourier, para representar matemticamente la difraccin de la onda, muestra el comportamiento observado en el laboratorio, aunque los resultados presentan una inexactitud mayor comparndolos con la experiencia de la interferencia, debido al error en las mediciones.El clculo del ancho del pelo fue satisfactorio, ya que, al comparar los datos obtenidos experimentalmente con la simulacin utilizando el valor aproximado de 0.07 mm, se obtuvo una curva que muestra un error de 2.8 mm para el lser rojo y 0.9 mm para el lser verde, validando tanto el modelo como las mediciones realizadas. 8.- BibliografaSERWAY, JEWETT. Fsica para ciencias e ingeniera con Fsica Moderna, Volumen 2. Cengage Learning Editores, 7 Ed. 2009.TIPLER, MOSCA. Fsica para la ciencia y la tecnologa, Volumen 2. Editorial Revert S.A., 6 Ed. 2010.

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