dificultades que presentan los estudiantes de octavo grado a la hora de realizar operaciones...

Scientia et Technica Año XVIII, No xx, Mesxx de Añoxx. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701 1

Fecha de Recepción: (Letra Times New Roman de 8 puntos)

Fecha de Aceptación: Dejar en blanco

Dificultades que se evidencian en los

estudiantes de octavo grado al realizar

operaciones aditivas entre polinomios

Difficulties are evident in the eighth grade students to perform additive

operations between polynomials.

Autor 1: Cristian Contreras Guerra, Correo: [email protected], Autor 2: Manuel Cárdenas

Muñoz Correo: [email protected], Autor 3: Oscar Díaz Ramírez, Correo:

[email protected], Autor 4: Carlos Rodelo Esquivel, Correo: [email protected]. Sucre, Universidad de Sucre, Sincelejo, Colombia

Correo-e: www.unisucre.edu.co

Resumen- esta investigación se basó en la identificación de las

dificultades que presentan los estudiantes de octavo grado al

resolver operaciones aditivas entre polinomios. Participaron

cuatro grupos de educación básica de una institución de carácter

oficial, tres de estos grupos fueron estudiados en el mismo año y

el cuarto grupo estudiado pertenecía a otro año lectivo. A estos

grupos se les aplicaron dos pruebas con el fin de encontrar las

dificultades que inciden en el aprendizaje de este tema.

Palabras clave— dificultades, errores, operaciones aditivas entre

polinomios, transición aritmética- álgebra.

Abstract— this research is based on identifying the difficulties

presented by eighth graders in solving additive operations

between polynomials. They participated seven groups of basic

education by an institution of an official, which were applied and

four different tests in different school years, and besides this the

researchers conducted visits to the institution in order to observe

relevant aspects for research .

Key Word — difficulties, mistakes, additive operations between

polynomials, arithmetic algebra transition.

I. INTRODUCCIÓN

En este trabajo se analizaran las dificultades que presentan los

estudiantes al realizar operaciones aditivas entre polinomios;

las dificultades “indican el mayor o menor grado de éxito ante

una tarea o un tema de estudio” (Godino, Batanero, Font,

2003). Las dificultades son los indicadores que muestran de

una manera u otra el rendimiento del alumno en cierto tema,

en este caso en las operaciones aditivas entre polinomios. Una

de las principales dificultades que presentan los estudiantes es

la confusión en la ley de los signos, pero además existen otras

dificultades con el uso de las letras en las operaciones

matemáticas; si se tiene en cuenta el tema estudiado consta de

signos, coeficientes, parte literal, operación entre la parte

literal y coeficiente y un exponente; por tal razón este tema se

presentará como algo complicado para la gran mayoría de los

estudiantes.“ los aprendizajes matemáticos de modo muy

especial, constituyen una cadena en que cada conocimiento va

enlazado con los anteriores de acuerdo con un proceder

lógico”(Carrillo, 2009). Este tema puede presentarse con

muchas dificultades para el alumno ya que está constituido

por varios elementos como son los ya mencionados, dichos

elementos influencian de manera notable en el alumno, ya que

debe tenerlos en cuenta a todos al momento de solucionar la

operación; la dificultad se presenta porque el alumno viene

acostumbrado a tratar con temas netamente numéricos, los

cuales no incluyen una parte literal; por tal razón al alumno

este tema se le presentará como algo nuevo, en lo cual debe

tener en cuenta una parte literal que influye notablemente en

el desarrollo del problema; todo esto conlleva a que el alumno

cometa errores, en este caso es necesario hablar de los errores

ya que en estos se evidencian las dificultades que presentan

los estudiantes en el tema tratado; y partiendo de esto el

docente puede trabajar para tratar de minimizar las

dificultades que estos presentan y en consecuencia de esto, se

minimizaran los errores. Los errores “son datos objetivos que

mailto:[email protected]

Scientia et Technica Año XVIII, No xx, Mesxx de Añoxx. Universidad Tecnológica de Pereira.

2

encontraremos permanentemente en los procesos de

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, constituyen un

elemento notable de dichos procesos”(Kilpatrik, Gómez,

Rico; 1998).

“El error es necesario para afinar la idea individual sobre lo

que es falso y es correcto según una norma dada” (Carrión,

2007).

“Los errores que nos interesan aquí son los que poseen las

siguientes características:

Son reproducibles: en el alumno tiene cierta

persistencia y no pueden deberse a la distracción.

No son los aislados: pueden ponerse en relación con

otros formando una serie de red o sistema de errores”

(Charnay, 1991).

De todo esto se puede afirmar que el error es el punto de

partida para llegar a un conocimiento concreto, teniendo

en cuenta que estos son necesarios para mejorar según lo

dicho por Carrión. Los errores son un factor común

dentro del proceso enseñanza- aprendizaje ya que a través

del tiempo se ha notado que en los alumnos han persistido

las dificultades y la tendencia a cometer errores en el área

de matemáticas; aunque no es posible que el estudiante

deje de cometer errores, lo que sí es posible es minimizar

las dificultades, a través de diferentes tipos de

actividades.

En la mayoría de los casos, el alumno depende en un alto

porcentaje del docente, ya que el espera que el docente sea

quien le transmita el conocimiento y se lo transmita de forma

precisa y exacta; no siempre las dificultades que presentan los

alumnos pueden derivarse de su propia voluntad, ya que en

muchos casos “la responsabilidad del error es atribuida al

alumno (que no ha escuchado o no aprendido bien) rara vez al

docente (que ha explicado mal)”. (Charnay, 1991).

En algunos casos las dificultades que presentan los alumnos

pueden deberse a la incompetencia del docente quien de

pronto, no está usando las normas didácticas necesarias para

enseñar correctamente el tema; hay que tener claro que si el

docente no explica bien un tema, utilizando los argumentos

didácticos, el alumno no asimilará de una manera correcta el

tema estudiado, puesto que el estudiante depende en un alto

porcentaje del docente como tal; por tal razón éste debe tener

claro que “el fin de la enseñanza de las matemáticas es ayudar

en los estudiantes a desarrollar su capacidad matemática”.

(Godino, Batanero, Font, 2003). El docente debe tratar de

transmitir un conocimiento concreto y nunca presentarle al

alumno un conocimiento erróneo ya que si esto sucede en el

futuro esto se le presentara como una dificultad estudiante

para comprender los temas siguientes, además cuando un

individuo aprende algo mal, es difícil corregir lo que ya

aprendió, y por mucho que se le corrija, siempre tiende a

regresar a lo que aprendió inicialmente cuando este

aprendizaje ha sido significativo, lo cual es una dificultad

bastante fuerte, que lo llevará a cometer muchos errores

cuando se enfrente a problemas en los cuales tenga que aplicar

el conocimiento aprendido incorrectamente.

Ahora, si el alumno continua cometiendo los mismos

errores, esto tendrá consecuencias en la asimilación de los

temas en el área de matemáticas; una posible solución

para minimizar las dificultades que presentan los

estudiantes “seria que a medida que aumente la

complejidad de los conceptos, a los profesores se les hace

más fácil explicarlos, si los alumnos están distribuidos en

grupos con una capacidad aproximadamente similar”

(Pineda, citado por carrillo, 2009). De todo esto se puede

deducir que los docentes deben ser los que reúnan los

grupos y no permitir que los alumnos se reúnan por su

cuenta ya que estos se reunirán los de mejores promedios

con los otros de mejores promedios, los docentes deben

reunir los grupos de tal manera que queden alumnos de

buenos promedios y alumnos de bajos promedios para así

minimizar un poco las dificultades que presentan los

estudiantes en los en los temas complejos como

operaciones aditivas entre polinomios, esto es bastante

favorable, ya que en muchas ocasiones a los estudiantes

se les hace más fácil entender las explicaciones de los

compañeros que la de los mismos docentes, y además a

medida que los estudiantes de bajos promedios mejoren,

le realizan preguntas a los estudiantes de altos promedios

que los obligaran a profundizar en el conocimiento

adquirido, lo que conllevará a que dentro de las aulas de

clases hayan estudiantes de buena calidad.

Al final de todo esto surge la siguiente pregunta ¿Qué

dificultades presentan los estudiantes al realizar

operaciones aditivas entre polinomios?

II. CONTENIDO

MARCO TEORICO

En educación, la enseñanza de las matemáticas se ha

convertido en una de las temáticas más tratadas en el área de

investigación, ya que por la complejidad del área, los

estudiantes a menudo presentan dificultades respecto a los

temas de ésta, las dificultades son alteraciones que no


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1. Las notas de pie de página deberán estar en la página donde se citan. Letra Times New Roman de 8 puntos

3

permiten que el estudiante logre adquirir un aprendizaje

significativo, en matemáticas “las dificultades más comunes

están relacionadas con el lenguaje y la lectura en matemáticas

y se pueden concretar de la siguiente manera:

Dificultades debidas a la complejidad sintáctica del

lenguaje utilizado.

Dificultades causadas por la utilización de notación

matemática”. (Carrillo, 2009).

En muchas ocasiones la complejidad sintáctica y la notación

que presentan los temas en matemáticas conllevan a que el

alumno presente dificultades que no permiten que el

estudiante desarrolle con éxitos la tarea asignada. Según

Ruano y Polarca (2008) citado por Amaya 2010, afirman “que

el aprendizaje del algebra genera muchos dificultades a los

alumnos además que estas dificultades son de naturalezas

diferentes y tienen que ver con la complejidad de los objetos

del algebra”. En si las matemáticas por su naturaleza

abstracta hace que los estudiantes sin importar su procedencia,

ya sean de estrato alto o bajo, presenten dificultades y esto

permite que el estudiante cometa errores, los errores son

inexactitudes que proporcionan una respuesta equivocada,

“los errores que nos interesan aquí son los que poseen las

siguientes características:

Son reproducibles: ene le alumno tendrán cierta

persistencia y non pueden deberse a la distracción

No son aislados: pueden ponerse en relación con

otros formando un aserie de red o sistema de errores”

(Charnay 1991).

Partiendo de lo afirmado por Charnay, el estudiante siempre

tendrá la tendencia a cometer errores ya que “pretender que

los alumnos no cometan errores seria pretender que dejaran

de aprender “(Amaya 2010).Según afirma Oser H. (1999).

“Un error es un proceso que no obedece la norma, es

necesario la identificación de la línea de demarcación para

verificar el proceso correcto y hacer que la acción respete la

norma”. Aquí es donde el profesor tomaría un papel muy

importante ya que este analizará y ayudará a superar las

falencias que tiene el estudiante en cuanto a un contenido. “los

errores en matemática pueden ser aceptados y superados, no

como algo que no tendría que haber pasado, sino como una

instancia cuya aparición es útil e interesante ya que permite

adquirir de un nuevo conocimiento, (Raquel S.2004) y

“aunque se aceptan errores como parte del proceso natural de

aprendizaje para los alumnos es desagradable incurrir en

ellos”. (Oser S. citado por Heinze A. 2005). Por lo tanto para

el estudiante cometer errores que no le permitan alcanzar sus

objetivos educativos, generan cierta frustración, lo cual no es

bueno para ningún aprendiz.

“Es evidente la necesidad de analizar los errores de los

alumnos, solo mediante un análisis se puede saber que

dificultades enfrenta el alumno, (Vergnauel 1991), este

análisis es importante en el proceso de enseñanza-aprendizaje

ya que permite verificar y cambiar las concepciones erróneas

que el estudiante posee.

Además Albert (1997) establece una clasificación de los

obstáculos que llevan al estudiante a cometer errores, donde

plantea los orígenes según su procedencia:

Origen ontogénico: hacen referencia a las

limitaciones propias del sujeto al momento de su

evolución.

Origen didáctico: relacionados con el hecho de

cómo se enseñan los temas, que metodología se

utiliza y que rol desempeña el estudiante en la clase.

Origen epistemológico: son dificultades

correspondientes al concepto propio de los temas en

matemáticas.

Además según Carrión (2007) existen tres tipos de errores que

son determinantes en todo proceso de aprendizaje, estos son:

“a) Errores de entrada. Se presentan en la lectura de texto.

Son errores de visión. Algunos son más frecuentes en la

lectura de una expresión numérica.

b) Errores de operación. Se encuentran entre los errores que

alteran la repuesta. Consisten en distorsionar el proceso de

obtener el resultado de cada operación realizada en forma

independiente.

c) Errores de escritura. Son errores de una salida de etapa,

no de salida del proceso completo. Se presentan al comunicar

el procedimiento de transformación de la expresión

numérica.”

Estos errores son los más comunes y que más se evidencian al

momento de un estudiante enfrentarse a un ejercicio en

matemáticas, pero algo que hay que tener muy en cuenta es

que la gran mayoría de los errores tienen una causante

particular, ésta es la transición Aritmética-Algebra, puesto que

“para la interpretación de expresiones algebraicas, el

estudiante trae como sistema de referencia el aritmético así

que, desde éste, la mayor posibilidad de contextualizar

conceptualmente el uso de la letra es verla como la

generalización de número, para lo cual, además es

indispensable un trabajo consiente e intencionado por parte


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del profesor”.(Rojas P, Rodríguez J, Romero J, Castillo E,

Mora L, 1999).

METODOLOGIA DE TRABAJO

En esta sección del trabajo se hará un informe general de la

observación de ciertas situaciones que presentaron alumnos de

8° de la institución educativa Madre Amalia de Sincelejo-

Sucre en su segundo semestre académico del año 2013, la

muestra utilizado aquí fue de 105 estudiantes que se

encontraban divididos en 3 grupos de 37, 33 y 35 estudiantes

respectivamente.

Los estudiantes para docentes realizaron visitas a la

institución educativa con el fin de observar las dificultades

más notorias y comunes que cometían al momento de

resolver operaciones aditivas entre polinomios, además se

aplicó una prueba piloto para constatar los errores más

significantes, en los resultados de esta prueba se evidenciaron

las dificultades que se presentaban en el desarrollo normal de

las clases.

Se planteó una situación problema la cual llevaba a que el

estudiante efectuara operaciones aditivas entre polinomios. En

las soluciones propuestas por los estudiantes, se encontraron

errores como los siguientes:

Ejemplo 1

En esta situación pudo observar que el alumno realiza bien

algunos cálculos pero cometió un error como el que se

mostrara

2x2 + 2x

2 = 4x

2 no hay error

-2x -2x = 4x error de operación

10+10=20 no hay error

Se pudo envidenciar que muchos de los alumnos cometieron

estos errores, según carrion estos errores son de operación y

son aquellon que hacen que los alumnos llegen a respuesta

equivocadas, en este caso se deveria llegar al resultado 4x2-

4x+20 y muchos de los alumnos obtiubieron 4x2+4x+20 lo

cual es un error, que se debió a que el alumo no efectuó la

operación correcta con los signos, lo que ocurrio fue que los

estudiantes ya habian abordado este tema al momento de la

aplicación de la prueva, y se encontraban en las operaciones

multiplicativas, por tal razón, se presentó esta confución, ya

que para las operaciones multiplicativas la operación que

realizó con los signos esta bien hecha; esto es normal, ya que

siempre el estudiante recordará mas facilmente el ultimo tema

visto, y además tiene la creencia o la certeza de que cualquier

tema puede ser trabajado utilizando los argumentos del tema

que está trabajando.

Ejemplo 2

10+10+2= 22 no hay error.

-2x-2x+4x = 44 error de operación.

2x2+2x

2=44 errror de operación.

Se puede observar que el alumno cometio un error de escritura

inicialmente según lo dicho por Carrión (2007), ya que no

organizo la expresión de forma adecuada para realizar la

operación, pero además cometió errores de operación ya que

obtuvo una respuesta erronea y un poco particular; el primer 4

lo obtuvo al organizar mal la expresión y como no tuvo en

cuenta la parte literal colocó el cuatro tal cual como se ve en

la figura, el segundo 4 lo obtuvo de sumar los coeficientes , el

4 siguiente lo consiguió al sumar los exponentes y como no

tuvo en cuenta la parte literal el ultimo cuatro lo obtuvo de

sumar nuevamente los coeficientes ademas este error puede

ser catalogado de origen ontogénico según lo dicho por Albert

(1997), ya que el alumno aun presenta limitaciones en un

momento donde debe estar evolucionando para asimilar los

nuevos conceptos. Los errores de este tipo tiene una causa y

ésta es que los estudiantes en esta etapa, no han lorado realizar

la transición de la aritmética al álgebra, el estudiante todabía


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trae la creencia de que todo en matemática se resuelve con

números, y en esta etapa aun ve las letras en las operaciones

como algo insignificante y sin intervención en la operación o

como una generalizacion de número teniendo en cuenta lo

dicho por (Rojas P, Rodríguez J, Romero J, Castillo E, Mora

L, 1999). Además se le añade el hecho de que en la prueva se

les pedía hallar el perímetro de una figura, y el alumno viene

acostumbrado a que éste es un número, no una expresión

algebraica, por tal razón muchos estudiantes, tratan por todos

los medios de encontrar la respuestas que ellos creen es la

correcta.

Ademas de los ejemplos mostrados anteriormente a estos

mismo estudiantes ese les realizo una pregunta donde debian

hallar el perimetro de un cuadrado que tenia por medida de

unos de sus lados el polinomio 4x2-8x+3, ahora se analizarán

algunos de os errores cometidos por los estudiantes

Ejemplo 3

4x2+4x

2+4x

2+4x

2 = 16x

8 error de operación

-8x-8x-8x-8x-8x = 32x4

error de operación

3+3+3+3= 12 el alumno no cometió error.

El alumno cometió lo que según Carrión (2007) es un error

de operación ya que obtuvo una respuesta errónea, se puede

observar que el alumno sumo los exponentes, de las

expresiones lo cual dice que aún no ha asimilado de forma

correcta este tema, y además cometió otro error de operación

por no manejar de forma adecuada la ley de los signos. Esto

ocurre por lo argumentado en el ejemplo anterior, se sabe que

la transición de aritmética a álgebra no es fácil, es un proceso

largo y continuo, en el que no se puede obligar o forzar al

estudiante a que lo asimile a la primera clase, se debe dejar

que el estudiante, digiera la información , que codifique lo que

se le está mostrando; aquí se observa que el estudiante sumo

los exponentes, esto ocurre porque aún tiene una noción

netamente aritmética, donde el cree, que todo lo que sea

número en la expresión se debe operar, y esto hace que el

cometa este tipo de errores como el evidenciado en este

ejemplo.

Ejemplo 4

Se puede observar que el alumno cometió un error de escritura

y errores de operación teniendo en cuenta lo afirmado por

Carrión (2007), el alumno no organizo de forma adecuada las

expresiones, fácilmente este estudiante pudo cometer un error

distinto al que cometió, porque la forma en que organizó la

expresión, no es la más adecuada, puesto a que se podía saltar

alguna expresión u omitir algún signo; siempre la forma más

conveniente para trabajar este tipo de situaciones es organizar

la expresión verticalmente, aunque no se está afirmado que no

se pueda realizar de esta forma. Se observa que este error es

similar al mostrado en el ejemplo 2, pero este estudiante

realizó un proceso distinto, ya que se olvidó de la parte literal

y del exponente y tomo cada número encontrado en la

expresión e hizo de cuenta que todos eran positivos, es decir

omitió los signos negativos que se encuentran en la expresión

de esta forma obtuvo el resultado, las razones no son ajenas a

las ya mencionadas en el ejemplo 2.

Con el fin de encontrar otro tipo de dificultades se aplicó una

nueva prueba a estudiantes de octavo grado (diferentes a los

estudiantes de la prueba anterior) de una institucion educativa

de carácter oficial. En esta prueba se les proporciono a los

estudiantes una figura dividido en 9 cuadrados pequeños

donde la medida de uno de los lados de los cuadros pequeños

ra 2x+3 y se les pidio que hallaran el perimetro de la figura.

Mediante el analizis de los resultados se encontraron los

siguientes errores cometidos por los estudiantes al momento

dedar solución al problema:


6

Ejemplo 1

El estudiante cometió lo que según Carrión (2007) es un error

de operación ya que distorsiono el proceso para obtener la

respuesta lo que el estudiante realizó fue que ignoro la parte

literal en la operación, el primer 6 que obtuvo en la respuesta

fue de sumar el 9 cuatro veces, luego de realizar esta

operación llevo tres y lo agrego al resultado de la suma entre

los coeficiente; pero también teniendo en cuenta los expuesto

por Albert (1997) cometió un error que es de origen

ontogénico, ya que el estudiante tiene una limitación en su

momento de evolución; el trae una noción donde siempre ha

visto que el perímetro de una figura es un número y no una

expresión algebraica y esa noción hace que el estudiante

utilice medios inimaginables como el anterior para obtener la

respuesta que él cree es la correcta; estas dificultades son las

normalmente causada por una transición aritmética-álgebra.

Ejemplo 2

Aquí se evidencia un error de entrada y de operación según lo

propuesto por Carrión (2007), ya que inicialmente eligió mal

la operación que debía efectuar (debía sumar y realizo una

multiplicación); al multiplicar tres cuatro veces obtuvo 81,

pero cometió un error dentro del error, algo ya mencionado

por Charnay (1991) quien afirmo que los errores eran

reproducibles, según lo que el estudiante venía realizando

intento multiplicar el dos cuatro veces pero se equivocó al

hacerlo ya que debía darle 16 y no 18 de esta forma obtuvo la

respuesta. Lo que se puede observar es que el estudiante no

logro codificar de forma correcta la información contenida en

su estructura cognitiva, ya que relacionó el concepto de

perímetro con el concepto de área, comúnmente para hallar el

área de una región se utiliza el producto, tal vez por esta razón

el estudiante utilizo esta operación en el ejemplo anterior;

pero dentro de esto utilizo el concepto de perímetro ya que

para hallar este, se tienen en cuenta todo los lado externos de

la figura; el estudiante dentro de su estructura cognitiva quizás

su concepto de perímetro era “el perímetro de una figura es el

producto de todos sus lados” y partiendo de este concepto

erróneo obtuvo la respuesta .

III. CONCLUSIONES

De esta investigación se puede concluir:

1. Las dificultades encontradas se pueden caracterizar

de la siguiente forma:

- Dificultades debidas a conceptos

preliminares: Este tipo de dificultades hacen

referencia a la carencia de conocimientos

previos o la mala formación de un concepto

como tal.

- Dificultades debidas a la motivación del

discente: estas dificultades hacen referencia a la

disposición del estudiante para estudiar un tema,

se ven mayormente reflejadas en los errores de

entrada, puesto que por la falta de motivación

del discente su interés pasa de querer resolver

bien una prueba a querer terminarla rápido y esto

hace que el alumno no realice la interpretación

necesaria para solucionar un determinado

problema.

- Dificultades debidas a lo abstracto de las

matemáticas: este tipo de dificultades son

ajenas al estudiante, están implícitas dentro de la

misma matemática como tal, es lo que hace que

el estudiante presente cierta indisposición frente

algunos temas por el simple hecho de ser

abstractos y no tener una clara relación con el

contexto del sujeto.

- Dificultades debidas a las relaciones

conceptuales en la estructura mental del

individuo: estas dificultades están relacionadas

con la confusión que muchos estudiantes tienen

entre un tema y otro; en muchas ocasiones

confunden los conceptos que se asocian a un


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7

tema en específico y esto hace que no logren

asimilar de forma adecuada el tema estudiado.

2. Para lograr que los estudiantes comprendan de forma

adecuada el tema operaciones aditivas entre

polinomios, solo basta con crear estrategias que

ataquen las dificultades mencionadas anteriormente,

estas estrategias son:

- Dificultades debidas a conceptos

preliminares: para atacar esta dificultad, el

docente no debe proceder a explicar un tema

como tal sin antes realizar una clase en la que

aclare todos los conceptos que se asocian al

nuevo tema.

- Dificultades debidas a la motivación del

discente: para minimizar esta dificultad, el

docente debe tratar de presentarle al estudiante la

matemática no como algo abstracto y aburrido,

si no como algo útil y entendible, es decir,

realizar una preparación psíquica del estudiante.

- Dificultades debidas a lo abstracto de las

matemáticas: para minimizar esta dificultad, el

docente debe realizar una tarea compleja, esta es

tratar de contextualizar la matemática, de que los

estudiantes para cada tema tengan una relación

con su contexto y puedan ver su utilidad en la

vida diaria.

- Dificultades debidas a las relaciones

conceptuales en la estructura mental del

individuo: para atacar esta dificultad solo basta

atacar cada una de las dificultades anteriormente

mencionadas en cada uno de los temas anteriores

y asociados al nuevo tema como tal.

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