diferencias divididas de newton

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA MATEMATICA APLICADA 3

MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.

1

34

3443

23

2332

12

1221

1

01

0110

)()(],[

)()(],[

)()(],[

)()(],[

bxx

xfxfxxf

xx

xfxfxxf

xx

xfxfxxf

axx

xfxfxxf

2

24

3243432

13

2132321

2

02

1021210

),(),(],,[

),(),(],,[

),(),(],,[

bxx

xxfxxfxxxf

xx

xxfxxfxxxf

axx

xxfxxfxxxf

3

14

3214324321

3

03

2103213210

),,(),,(],,,[

),,(),,(],,,[

bxx

xxxfxxxfxxxxf

axx

xxxfxxxfxxxxf

44

04

3210432143210

),,,(),,,(],,,,[ ba

xx

xxxxfxxxxfxxxxxf

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS PROGRESIVAS Y REGRESIVAS DE NEWTON

Dados 1n datos:

Este es otro método de interpolación y extrapolación, también necesita pares de puntos en el plano para poder

predecir un valor xf dado un valor “x”. Este método predice valores a través de un polinomio de diferencias

divididas. Sin olvidar La interpolación consiste en hallar un dato xf dentro de una serie de PARES DE PUNTOS en el

plano. La extrapolación consiste hallar un dato xf Fuera de una serie de PARES DE PUNTOS en el plano, pero

debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado

obtenido. Entonces este Método Diferencias Divididas de Newton se Comporta de la siguiente Forma:

X F(X) COLUMNA 1 COLUMNA 2 COLUMNA 3 COLUMNA 4

X0 Y0=a0

X1 Y1 110 , axxf

X2 Y2 21 , xxf 2210 ,, axxxf

X3 Y3 32 , xxf 321 ,, xxxf 33210 ,,, axxxxf

X4 Y4=b0 143 , bxxf 2432 ,, bxxxf 34321 ,,, bxxxxf 4443210 ,,,, baxxxxxf

DONDE:

COLUMNA 1: COLUMNA 2: .

COLUMNA 3: COLUMNA 4: .

POLINOMIO DE DIFERENCIAS PROGRESIVAS QUEDA DEFINIDO COMO:

123210

321042103102010

...

......

nnn xxxxxxxxxxxxa

xxxxxxxxaxxxxxxaxxxxaxxaaxp



POLINOMIO DE DIFERENCIAS REGRESIVAS QUEDA DEFINIDO COMO:

12321

32142131210

...

......

xxxxxxxxxxxxb

xxxxxxxxbxxxxxxbxxxxbxxbbxp

nnnnn

nnnnnnnnnn

Obsérvese que los coeficientes de los polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior e

inferior de la tabla de diferencias divididas.

Ejemplo 1: Calcule el polinomio de diferencias regresivas y progresivas de newton para aproximar 5.6f de los siguientes

datos.

Solución:

Ahora solo hay que nombrar algunos datos para poder utilizar las formulas anteriores, empezando de izquierda a

derecha o de arriba hacia abajo (eso va a depender como se tenga la tabla inicial de valores, en este caso se

renombrara de arriba hacia abajo)

Calculando las respectivas diferencias de Newton:

Col. 1

1

01

0110 4

35

816)()(],[ a

xx

xfxfxxf

756

1623)()(],[

12

1221

xx

xfxfxxf

1

23

2332

3

7

69

2330)()(],[ b

xx

xfxfxxf

Por el momento, lo que llevamos de la tabla de diferencias tenemos:

Col. 2

Viendo los resultados de la columna anterior se puede encontrar las siguientes diferencias.

2

02

1021210 1

36

47),(),(],,[ a

xx

xxfxxfxxxf

2

13

2132321

6

7

59

7)3/7(),(),(],,[ b

xx

xxfxxfxxxf

X Y

3 8

5 16

6 23

9 30

X Y

0x 3 0xf 8=a0

1x 5 1xf 16

2x 6 2xf 23

3x 9 3xf 30=b0

X Y Col.1

3 8=a0 4=a1

5 16 7

6 23 7/3=b1

9 30=b0




Col. 3

Viendo los resultados de la columna anterior se puede encontrar las siguientes diferencias.

33

03

2103213210

36

13

39

1)6/7(),,(),,(],,,[ ba

xx

xxxfxxxfxxxxf

Entonces la tabla de diferencias dividas de newton queda:

Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Progresivas tenemos:

Sabemos que los valores de na del polinomio son los primeros valores de las columnas de diferencias, entonces

tenemos: 36

13,1,4,8 32100 aaaxfa

Por lo tanto el polinomio de diferencias progresivas queda escrito de la siguiente forma:

))()(())(()()( 2103102010 xxxxxxaxxxxaxxaaxp

)6)(5)(3(36

13)5)(3(1)3(48)( xxxxxxxp

Simplificando el polinomio tenemos:

2

87

4

107

18

109

36

13)( 23 xxxxp

Encontrado el dato a interpolar 5.6f es decir 5.6x tenemos:

302083.262

875.6

4

1075.6

18

1095.6

36

13)5.6(

23p

Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Regresivas tenemos:

Sabemos que los valores de nb del polinomio son los últimos valores de las columnas de diferencias, entonces

tenemos:

36

13,

6

7,

3

7,30 32130 bbbxfb

Ahora, el Polinomio de Diferencias Regresivas queda escrito de la siguiente forma

X Y Col.1 Col.2

3 8=a0 4=a1 1=a2

5 16 7 -7/6=b2

6 23 7/3=b1

9 30=b0

X Y Col.1 Col.2 Col.3

3 8=a0 4=a1 1=a2 -13/36=a3=b3

5 16 7 -7/6=b2

6 23 7/3=b1

9 30=b0



))()(())(()()( 2131210 nnnnnn xxxxxxbxxxxbxxbbxp

)5)(6)(9(36

13)6)(9(

6

7)9(

3

730)( xxxxxxxp


2

87

4

107

18

109

36

13)( 23 xxxxp

Encontrado el dato a interpolar 5.6f es decir 5.6x tenemos:

302083.262

875.6

4

1075.6

18

1095.6

36

13)5.6(

23p

Ejemplo 2: Calcule el polinomio de diferencias regresivas y progresivas de newton para extrapolar 15f de los siguientes datos.

Solución:

Ahora solo hay que nombrar algunos datos para poder utilizar las formulas anteriores, empezando de izquierda a

derecha o de arriba hacia abajo (eso va a depender como se tenga la tabla inicial de valores, en este caso se

renombrara de arriba hacia abajo)

COLUMNA 1 COLUMNA 2(Viendo los resultados de la columna anterior se

puede encontrar las siguientes diferencias)

1

01

0110 4

23

1519)()(],[ a

xx

xfxfxxf

135

1921)()(],[

12

1221

xx

xfxfxxf

458

219)()(],[

23

2332

xx

xfxfxxf

1

34

3443 3

811

90)()(],[ b

xx

xfxfxxf

2

02

1021210 1

25

41),(),(],,[ a

xx

xxfxxfxxxf

138

14),(),(],,[

13

2132321

xx

xxfxxfxxxf

2

24

3243432

6

1

511

)4(3),(),(],,[ b

xx

xxfxxfxxxf


X Y

2 15

3 19

5 21

8 9

11 0

X Y

0x 2 0xf 15=a0

1x 3 1xf 19

2x 5 2xf 21

3x 8 3xf 9

4x 11 4xf 0=b0



COLUMNA 3 (Viendo los resultados de la columna anterior

se puede encontrar las siguientes diferencias)

COLUMNA 4(Viendo los resultados de la columna

anterior se puede encontrar las siguientes diferencias)

3

03

210321

3210 028

)1(1),,(),,(],,,[ a

xx

xxxfxxxfxxxxf

3

14

321432

432148

7

311

)1(6/1),,(),,(],,,[ b

xx

xxxfxxxfxxxxf

44

04

3210432143210

432

7

211

048/7),,,(),,,(],,,,[ ba

xx

xxxxfxxxxfxxxxxf




tenemos:

432

7,0,1,4,15 432100 aaaaxfa


))()()((

))()(())(()()(

32104

2103102010

xxxxxxxxa

xxxxxxaxxxxaxxaaxp

)8)(5)(3)(2(432

7

)5)(3)(2(0)3)(2(1)2(415)(

xxxx

xxxxxxxp


9

44

216

971

144

115

24

7

432

7)( 234 xxxxxp

Encontrado el dato a extrapolar 15f es decir 15x tenemos:

944444.879

4415

216

97115

144

11515

24

715

432

7)15(

234p


X Y Col.1 Col.2

2 15 4 -1

3 19 1 -1

5 21 -4 1/6

8 9 -3

11 0

X Y Col.1 Col.2 Col.3 Col.4

2 15 4 -1 0 7/432

3 19 1 -1 7/48

5 21 -4 1/6

8 9 -3

11 0




tenemos:

432

7,

48

7,

6

1,3,0 432130 bbbbxfb


))()()((

))()(())(()()(

3214

2131210

nnnn

nnnnnn

xxxxxxxxb

xxxxxxbxxxxbxxbbxp

)3)(5)(8)(11(432

7

)5)(8)(11(48

7)8)(11(

6

1)11(30)(

xxxx

xxxxxxxp


9

44

216

971

144

115

24

7

432

7)( 234 xxxxxp


944444.879

4415

216

97115

144

11515

24

715

432

7)15(

234p

Ejemplo 3: Calcule el polinomio de diferencias regresivas y progresivas de newton para aproximar 8f de los siguientes datos.

Solución:

Primero calculamos las diferencias divididas de newton con las formulas vista, donde:

X Y

-2 150

0 190

3 210

7 90

14 2

X Y

0x -2 0xf 150

1x 0 1xf 190

2x 3 2xf 210

3x 7 3xf 90

4x 14 4xf 2



COLUMNA 1 COLUMNA 2(Viendo los resultados de la columna anterior se

puede encontrar las siguientes diferencias)

20

20

150190)()(],[

01

0110

xx

xfxfxxf

3

20

03

190210)()(],[

12

1221

xx

xfxfxxf

3037

21090)()(],[

23

2332

xx

xfxfxxf

7

88

714

902)()(],[

34

3443

xx

xfxfxxf

3

8

23

203

20

),(),(],,[

02

1021210

xx

xxfxxfxxxf

21

110

07

3

2030

),(),(],,[

13

2132321

xx

xxfxxfxxxf

77

122

314

307

88

),(),(],,[

24

3243432

xx

xxfxxfxxxf

COLUMNA 3 (Viendo los resultados de la columna anterior

se puede encontrar las siguientes diferencias)

COLUMNA 4(Viendo los resultados de la columna

anterior se puede encontrar las siguientes diferencias)

7

2

27

3

8

21

110

),,(),,(],,,[

03

2103213210

xx

xxxfxxxfxxxxf

1617

788

014

21

110

77

122

),,(),,(],,,[

14

3214324321

xx

xxxfxxxfxxxxf

12936

625

214

7

2

1617

788

),,,(),,,(],,,,[

04

3210432143210

xx

xxxxfxxxxfxxxxxf




tenemos:

12936

625,

7

2,

3

8,20,150 432100 aaaaxfa


X Y Col.1 Col.2

-2 150 20 -8/3

0 190 20/3 -110/21

3 210 -30 122/77

7 90 -88/7

14 2

X Y Col.1 Col.2 Col.3 Col.4

-2 150 20 -8/3 -2/7 625/12936

0 190 20/3 -110/21 788/1617

3 210 -30 122/77

7 90 -88/7

14 2



))()()((

))()(())(()()(

32104

2103102010

xxxxxxxxa

xxxxxxaxxxxaxxaaxp

)7)(3)(0)(2(12936

625

)3)(0)(2(7

2)0)(2(

3

8)2(20150)(

xxxx

xxxxxxxp


1901841017313326376.267223252.00483147.0)( 234 xxxxxp


7068.41)8(

190818410173183326376.2867223252.080483147.0)8(234

p

p



tenemos:

12936

625,

1617

788,

77

122,

7

88,2 432130 bbbbxfb


))()()((

))()(())(()()(

3214

2131210

nnnn

nnnnnn

xxxxxxxxb

xxxxxxbxxxxbxxbbxp

)0)(3)(7)(14(12936

625

)3)(7)(14(1617

788)7)(14(

77

122)14(

7

882)(

xxxx

xxxxxxxp


1901841017313326376.267223252.00483147.0)( 234 xxxxxp


7068.41)8(

190818410173183326376.2867223252.080483147.0)8(234

p

p

EJEMPLO 4:

Con una función xf las diferencias divididas progresivas están dadas por



X F(X) COLUMNA 1 COLUMNA 2

X0=0 0xf

X1=4 1xf 10 , xxf

X2=7 62 xf 10, 21 xxf 7

50,, 210 xxxf

Determine los datos que hacen falta y determine el polinomio de diferencias progresivas de newton.

Solución:

teniendo las formulas de las diferencias divididas de newton, el objetivos es escoger la fórmula ideal, de tal forma que

solo nos quede una sola incógnita, el cual será el valor que estamos buscando. Ahora seleccionando las formulas

correctas tenemos lo siguiente:

LO IDEAL ES ANALIZAR LA TABLA DE DERECHA A IZQUIERDA DE CÓMO SE FUERON SALIENDO LOS RESULTADOS

El valor de 7

50 de donde se obtuvo ¿?? … Se obtuvo de la siguiente fórmula:

02

1021210

),(),(],,[

xx

xxfxxfxxxf

Entonces podemos ver si sustituimos valores en esa fórmula nos queda solo una incógnita de 10 , xxf que es uno

de los valores que estamos buscando, por lo tanto tenemos lo siguiente:

40),(07

),(10

7

50),(),(],,[ 10

10

02

1021

210

xxf

xxf

xx

xxfxxfxxxf

El valor de 10 de donde se obtuvo ¿?? … Se obtuvo de la siguiente fórmula:

12

1221

)()(],[

xx

xfxfxxf

Entonces podemos ver si sustituimos valores en esa fórmula nos queda solo una incógnita de 1xf que es uno de

los valores que estamos buscando, por lo tanto tenemos lo siguiente:

24)(47

)(610

)()(],[ 1

1

12

1221

xf

xf

xx

xfxfxxf

Ahora paras poder encontrar el valor de 0xf podemos utilizar la formula de 10 , xxf , el valor de 10 , xxf

ya fue encontrado y tiene un valor de -40, entonces podemos utilizar esa fórmula:

136)(04

)(2440

)()(],[ 0

0

01

0110

xf

xf

xx

xfxfxxf

Con los datos completos de la tabla tenemos:

X F(X) COLUMNA 1 COLUMNA 2

X0=0 1360 xf

X1=4 241 xf 40, 10 xxf

X2=7 62 xf 10, 21 xxf 7

50,, 210 xxxf

Por lo tanto ya podemos encontrar el Polinomio de Diferencias Regresivas de Newton, dicho polinomio tiene la forma:

))(()()( 102010 xxxxaxxaaxp



)4)(0(7

50)0(40136)( xxxxp

13657142857.6814285714.7)( 2 xxxp

EJEMPLO 5: Con una función “ xf ” y los nodos 75.0,5.0,25.0,0 3210 xxxx las Diferencias Divididas

Interpolantes Progresivas de Newton da el polinomio:

5.025.03

1625.04413 xxxxxxxP

Calcule el Polinomio de Diferencias Regresivas de Newton para aproximar 65.0f .

Solución:

Sabemos que xP3 ya es un polinomio de aproximación de diferencias progresivas para aproximar los valores de

xy ò xf , por lo tanto ya sabemos los primeros valores de la tabla de diferencias divididas de newton por la

forma que tiene xP3

Evaluando los nodos “x” en xP3 obtenemos los valores de xy , aplicando las formulas podemos completar la

tabla para obtener los últimos valores de las columnas para formular el polinomio de diferencias regresivas:

25.025.025.025.025.03

1625.025.025.0425.04125.03 P

5.35.05.025.05.05.03

1625.05.05.045.0415.03 P

65.075.025.075.075.03

1625.075.075.0475.04175.03 P

Ahora ya teniendo todos los valores de “x” y “y” podemos calcular los valores de toda la tabla:

Con estos valores ya podemos calcular el Polinomio de Diferencias Regresivas de Newton:

25.05.075.03

165.075.0875.0106 xxxxxxxP

Calculando la Interpolación de x=0.65 tenemos:

848.425.065.05.065.075.065.03

165.065.075.065.0875.065.010665.0 P


0 1

0.25 4

0.5 4

0.75

3

16


0 1

0.25 2 4

0.5 3.5 6

4

0.75 6 10

8 3

16

diferencias divididas de newton

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