DIDACTICA DE LA MATEMATICA

Marlon Bladimir Rosa

13 de febrero de 2017

Indice

1. Epistemologıa de la Matematica, su naturaleza y Estructura 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Conceptualizacion ¿Que es la matematica? Diversas teorıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. La Estructura Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Definiciones nominales explıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Definiciones por abstraccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Definicion por recurrencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4. Axiomatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Diversos enfoques en la ensenanza- aprendizaje de la Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. El asociacionismo de Thorndike. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2. El aprendizaje acumulativo de Gagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3. La Matematica Moderna. Posicion de Jean Diudonne. El formalismo. . . . . . . . . . . . . 171.4.4. Enfoque constructivista. Epistemologıa genetica de Jean Piaget. . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.5. Enfoque del procesamiento de la informacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.6. Pedagogıa del descubrimiento de Polya. El metodo Heurıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.7. Enfoque basado en la resolucion de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4.8. Enfoque en el modelado. La aplicabilidad de la matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.4.9. Corriente socio- culturalista. Posicion de Vygotsky. Enfoque socio-constructivista. . . . . . 60

1.5. Rasgos y caracterısticas de la Matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.5.1. Razonamiento Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.5.2. Lenguaje y Comunicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.5.3. Exactitud y Aproximacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.6. Estandares para la Ensenanza de la Matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.6.1. La matematica y la Educacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.6.2. Conocimiento profesional en Educacion matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.6.3. Necesidades formativas en la formacion del profesorado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.6.4. Factores socioculturales que inciden en la Educacion Matematica. . . . . . . . . . . . . . . . 80

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1.7. Campo de trabajo. Matematicas Escolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.7.1. Principios para las Matematicas escolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.7.2. Valores y Fines de la Educacion Matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.8. La evaluacion en Matematica. Conceptualizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.8.1. Formativa, Sumativa y Diagnostica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.8.2. Criterios para Seleccionar tareas de evaluacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.9. Metodologıas APA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2. Proceso de ensenanza Aprendizaje de la Matematica 872.1. Aspectos psicologicos en el proceso de ensenanza - aprendizaje de la matematica. . . . . . . . . . . 88

2.1.1. Teorıas del Aprendizaje. Exigencias cognitivas en el aprendizaje de la matematica . . . . . 882.1.2. Diferencias individuales. ¿Por que unos(as) alumnos(as) rinden mas que otros(as) . . . . . . 892.1.3. La matematica Moderna y su influencia en la Educacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.2. Propuestas Didacticas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.2.1. metodo Heurıstico. Propuesta de G. Polya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.2.2. Propuesta Didactica de Brousseau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2.3. Propuesta Didactica de Los Van Hiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.2.4. La Resolucion de Problemas. Conceptualizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.2.5. Metodo de Proyectos. Investigacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.3. Metodos de Prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.1. Metodo Inductivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.2. Metodo Directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.3. Metodo indirecto o Recıproco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.4. Metodo Contra Recıproco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.5. Metodo de Casos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.6. Metodo de Reduccion al Absurdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3. Planificacion Didactica 1073.1. El currıculo de Matematica de Tercer Ciclo y de Bachillerato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.1. Secuenciacion y temporalizacion de los bloques de unidades tematicas. . . . . . . . . . . . . 1073.2. Organizadores Didacticos y Componentes del Currıculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.2.1. Analisis Fenomenologico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2.2. Representacion y Modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2.3. Errores y Dificultades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2.4. Materiales y recursos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2.5. Desarrollo Historico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3. Analisis Didactico del Contenido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.1. Elaboracion de Unidades Didacticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.4. La matematica en el aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4.1. Enfoques didacticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

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3.4.2. Uso de Nuevas tecnologıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4.3. Elaboracion de Material didactico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4.4. Matematica Ludica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.5. Abordajes Metodologicos de temas especıficos: Aritmetica, Algebra, Funciones, Calculo, Estadısticay Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1. Epistemologıa de la Matematica, su naturaleza y Estructura

1.1. Introduccion

Imagine una clase, una escuela o un distrito escolar donde todos los estudiantes tienen acceso a una educacionmatematica atractiva y de calidad. Hay expectativas ambiciosas para todos y adaptaciones para los que las nece-siten.Los profesores, bien preparados, poseen los recursos adecuados para apoyar su trabajo y estan perfeccionandosecontinuamente como profesionales. El currıculo es matematicamente rico y ofrece oportunidades a los estudiantespara entender importantes conceptos y procedimientos matematicos. La tecnologıa es un componente esencial delentorno. Los alumnos trabajan, con confianza, en tareas matematicas complejas cuidadosamente elegidas por elprofesorado. Adquieren conocimientos a partir de una amplia variedad de temas matematicos y, a veces, abordanun mismo problema desde distintos puntos de vista, o representan las matematicas de diferentes formas, hasta queencuentran metodos que los capacitan para progresar. Los profesores ayudan a sus alumnos a formular, perfeccio-nar y explorar conjeturas partiendo de evidencias y a utilizar diferentes tipos de razonamiento, ası como distintastecnicas de demostracion para confirmarlas o refutarlas. Los estudiantes son flexibles y habiles resolutores deproblemas. Solos o en grupos, y con acceso a los medios tecnologicos, trabajan, productiva y reflexivamente, bajola experta guıa de sus profesores. Oralmente y por escrito, comunican sus ideas y resultados con eficacia. Valoranlas matematicas y se dedican activamente a aprenderlas.

La perspectiva historica muestra claramente que las matematicas son un conjunto de conocimientos en evolu-cion continua y que en dicha evolucion desempena a menudo un papel de primer orden la necesidad de resolverdeterminados problemas practicos (o internos a las propias matematicas) y su interrelacion con otros conocimien-tos.

Sin embargo, la evolucion de las matematicas no solo se ha producido por acumulacion de conocimientos o decampos de aplicacion. Los propios conceptos matematicos han ido modificando su significado con el transcursodel tiempo, ampliandolo, precisandolo o revisandolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegadosa segundo plano.

La didactica de la matematica o educacion matematica es una disciplina cientıfica cuyo objetode estudio es la relacion entre los saberes, la ensenanza y el aprendizaje de los contenidos propiosde la matematica.

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1.2. Conceptualizacion ¿Que es la matematica? Diversas teorıas.

Para comprender cualquier fenomeno se necesita la matematica, esta forma parte de la construccion de lasciencias, todas ellas creaciones del ser humano; por lo que para poder interpretarlas en toda su dimension y quemuchas puedan existir es necesaria la ciencia lenguaje del universo; pero la relacion matematica-ciencias muchasveces esta ausente en la ensenanza, sus conocimientos se dan de manera aislada, sin mostrar su cultura y utilidad.Como recurso didactico se puede utilizar tal reciprocidad de manera amena, en cualquiera de sus formas paraenriquecer la ensenanza, la praxis y formacion del docente de matematica. Todo esto se puede hacer desde unapedagogıa integral que aboga por un proceso educativo vivo y transdisciplinar que muestre el concierto de fantasıasque entrelazan todas las ciencias, en mayor o menor intensidad.

En la reflexion sobre las propias concepciones hacia las matematicas habran surgido diversas opiniones y creen-cias sobre las matematicas, la actividad matematica y la capacidad para aprender matematicas. Pudiera parecerque esta discusion esta muy alejada de los intereses practicos del profesor, interesado fundamentalmente por comohacer mas efectiva la ensenanza de las matematicas (u otro tema) a sus alumnos. La preocupacion sobre que esun cierto conocimiento, forma parte de la epistemologıa o teorıa del conocimiento, una de las ramas de la filosofıa.

Sin embargo, las creencias sobre la naturaleza de las matematicas son un factor que condiciona la actuacionde los profesores en la clase, como razonamos a continuacion.

Supongamos que un profesor cree que los objetos matematicos tienen una existencia propia (incluso aunqueesta “existencia” sea no material). Para el, objetos tales como “triangulo”, “suma”, “fracciones”, “proba-bilidad”, existen, tal como lo hacen los elefantes o los planetas. En este caso, solo tenemos que ayudar alos ninos a “descubrirlos”, ya que son independientes de las personas que los usan y de los problemas a losque se aplican, e incluso de la cultura. Para este profesor, la mejor forma de ensenar matematicas serıa lapresentacion de estos objetos, del mismo modo que la mejor forma de hacer que un nino comprenda que esun elefante es llevarlo al zoologico, o mostrarle un vıdeo sobre la vida de los elefantes.

¿Como podemos mostrar lo que es un cırculo u otro objeto matematico? La mejor forma serıa ensenarsus definiciones y propiedades, esto es lo que este profesor considerarıa “saber matematicas”. Las aplicacio-nes de los conceptos o la resolucion de problemas matematicos serıan secundarios para este profesor. Estasse tratarıan despues de que el alumno hubiera aprendido las matematicas.

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�Para pensar:Para los siguientes objetos matematicos, razona si su existencia es o no indepen-diente de la cultura: a) sistema de numeracion; b) unidades de medida; c) notacion algebraica.

Otros profesores consideran las matematicas como un resultado del ingenio y la actividad humana (comoalgo construido), al igual que la musica, o la literatura. Para ellos, las matematicas se han inventado, comoconsecuencia de la curiosidad del hombre y su necesidad de resolver una amplia variedad de problemas,como, por ejemplo, intercambio de objetos en el comercio, construccion, ingenierıa, astronomıa, etc. Paraestos profesores, el caracter mas o menos fijo que hoy dıa –o en una etapa historica anterior- tienen losobjetos matematicos, es debido a un proceso de negociacion social. Las personas que han creado estos ob-jetos han debido ponerse de acuerdo en cuanto a sus reglas de funcionamiento, de modo que cada nuevoobjeto forma un todo coherente con los anteriores. Por otro lado, la historia de las matematicas muestra quelas definiciones, propiedades y teoremas enunciados por matematicos famosos tambien son falibles y estansujetos a evolucion. De manera analoga, el aprendizaje y la ensenanza deben tener en cuenta que es naturalque los alumnos tengan dificultades y cometan errores en su proceso de aprendizaje y que se puede aprenderde los propios errores. Esta es la posicion de las teorıas psicologicas constructivistas sobre el aprendizaje delas matematicas, las cuales se basan a su vez en la vision filosofica sobre las matematicas conocida comoconstructivismo social.

�Busca algun episodio de historia de las matematicas en que se muestre como un conceptoha evolucionado.

Concepcion idealista-platonica: Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las ma-tematicas y sus aplicaciones y sobre el papel de estas en la ensenanza y el aprendizaje, podemos identificardos concepciones extremas. Una de estas concepciones, que fue comun entre muchos matematicos profesio-nales hasta hace unos anos, considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales delas matematicas de forma axiomatica. Se supone que una vez adquirida esta base, sera facil que el alumnopor sı solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten. Segun esta vision no se puedeser capaz de aplicar las matematicas, salvo en casos muy triviales, si no se cuenta con un buen fundamentomatematico. La matematica pura y la aplicada serıan dos disciplinas distintas; y las estructuras matematicasabstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad.

Las aplicaciones de las matematicas serıan un .apendice.en el estudio de las matematicas, de modo que nose producirıan ningun perjuicio si este apendice no es tenido en cuenta por el estudiante. Las personas quetienen esta creencia piensan que las matematicas son una disciplina autonoma. Podrıamos desarrollar lasmatematicas sin tener en cuenta sus aplicaciones a otras ciencias, tan solo en base a problemas internos alas matematicas. Esta concepcion de las matematicas se designa como ıdealista-platonica”. Con esta con-cepcion es sencillo construir un currıculo, puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras

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Figura 1: Platon

areas. Estas aplicaciones se “filtrarıan”, abstrayendo los conceptos, propiedades y teoremas matematicos,para constituir un dominio matematico “puro”.

Los matematicos son, como Colon, descubridores de continentes. El papel de las matematicas no es otro queel ejercer de mediador entre el mundo de los sentidos y el mundo de las ideas con una existencia propia eindependencia del mundo sensible. Las teorıas matematicas tienen su existencia propia en ese mundo ideal,el matematico solo se limita a interpretar las sombras de esas ideas en las paredes de la caverna.

�Consulta algunos libros de texto destinados a estudiantes de secundaria o de primeros cursosde Universidad y escritos en los anos 70 y 80. Compara con algunos libros recientes destina-dos a los mismos alumnos. ¿Puedes identificar si la concepcion del autor del texto sobre lasmatematicas es de tipo platonico? ¿Como lo deduces?

Concepcion constructivista: Otros matematicos y profesores de matematicas consideran que debe haberuna estrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currıculo. Piensan quees importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matematicas antes de que les seapresentada. Los alumnos deberıan ser capaces de ver como cada parte de las matematicas satisfacen unacierta necesidad.

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Figura 2: Constructivismo

�Ejemplo: Poniendo a los ninos en situaciones de intercambio les creamos la necesidad decomparar, contar y ordenar colecciones de objetos. Gradualmente se introducen los numerosnaturales para atender esta necesidad.

En esta vision, las aplicaciones, tanto externas como internas, deberıan preceder y seguir a la creacion de lasmatematicas; estas deben aparecer como una respuesta natural y espontanea de la mente y el genio humanoa los problemas que se presentan en el entorno fısico, biologico y social en que el hombre vive. Los estudiantesdeben ver, por sı mismos, que la axiomatizacion, la generalizacion y la abstraccion de las matematicas sonnecesarias con el fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas partidariasde esta vision de las matematicas y su ensenanza les gustarıa poder comenzar con algunos problemas de lanaturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las matematicas a partir de ellas. Deeste modo se presentarıa a los alumnos la estrecha relacion entre las matematicas y sus aplicaciones.

La elaboracion de un currıculo de acuerdo con la concepcion constructivista es compleja, porque, ademasde conocimientos matematicos, requiere conocimientos sobre otros campos. Las estructuras de las cien-cias fısicas, biologicas, sociales son relativamente mas complejas que las matematicas y no siempre hay unisomorfismo con las estructuras puramente matematicas. Hay una abundancia de material disperso sobreaplicaciones de las matematicas en otras areas, pero la tarea de seleccion, secuenciacion e integracion no essencilla.

�¿Por que son necesarios los conceptos de longitud y area? ¿Que tipo de problemas resuel-ven? ¿Que otros conceptos, operaciones y propiedades se les asocian?

¿Como surgen las matematicas?La perspectiva historica muestra claramente que las matematicas son un conjunto de conocimientos en evo-

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lucion continua y que en dicha evolucion desempena a menudo un papel de primer orden la necesidad deresolver determinados problemas practicos (o internos a las propias matematicas) y su interrelacion con otrosconocimientos.

�Ejemplo: Los orıgenes de la estadıstica son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebasde recogida de datos sobre poblacion, bienes y produccion en las civilizaciones china (aproxi-madamente 1000 anos a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de Numerosaparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos queprecisamente fue un censo, segun el Evangelio, lo que motivo el viaje de Jose y Marıa a Belen.Los censos propiamente dichos eran ya una institucion en el siglo IV a.C. en el imperio romano.Sin embargo, solo muy recientemente la estadıstica ha adquirido la categorıa de ciencia. En elsiglo XVII surge la aritmetica polıtica, desde la escuela alemana de Conring. Posteriormentesu discıpulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y analisis de datos numericos, con finesespecıficos y en base a los cuales se hacen estimaciones y conjeturas, es decir se observan yalos elementos basicos del metodo estadıstico.

La estadıstica no es una excepcion y, al igual que ella, otras ramas de las matematicas se han desarrolladocomo respuesta a problemas de ındole diversa:

XMuchos aspectos de la geometrıa responden en sus orıgenes historicos, a la necesidad de resolver problemasde agricultura y de arquitectura.

XLos diferentes sistemas de numeracion evolucionan paralelamente a la necesidad de buscar notaciones quepermitan agilizar los calculos aritmeticos.

La teorıa de la probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas que plantean los juegos deazar.

Las matematicas constituyen el armazon sobre el que se construyen los modelos cientıficos, toman parte enel proceso de modelizacion de la realidad, y en muchas ocasiones han servido como medio de validacion deestos modelos. Por ejemplo, han sido calculos matematicos los que permitieron, mucho antes de que pudiesenser observados, el descubrimiento de la existencia de los ultimos planetas de nuestro sistema solar.

Sin embargo, la evolucion de las matematicas no solo se ha producido por acumulacion de conocimientos

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o de campos de aplicacion. Los propios conceptos matematicos han ido modificando su significado con eltranscurso del tiempo, ampliandolo, precisandolo o revisandolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario,siendo relegados a segundo plano.

�Ejemplos:El calculo de probabilidades se ha transformado notablemente, una vez que seincorporaron conceptos de la teorıa de conjuntos en la axiomatica propuesta por Kolmogorov.Este nuevo enfoque permitio aplicar el analisis matematico a la probabilidad, con el consiguien-te avance de la teorıa y sus aplicaciones en el ultimo siglo. El calculo manual de logaritmosy funciones circulares (senos, cosenos, etc.) fue objeto de ensenanza durante muchos anos ylos escolares dedicaron muchas horas al aprendizaje de algoritmos relacionados con su uso.Hoy las calculadoras y ordenadores producen directamente los valores de estas funciones yel calculo manual ha desaparecido. El mismo proceso parece seguir actualmente el calculo deraıces cuadradas.

1.3. La Estructura Matematica

Los elementos que constituyen la estructura de la Matematica son de dos tipos: por una parte los conceptos,por otra las proposiciones y relaciones que se refieren a esos conceptos.Igualmente encontraremosdos procesos diferentes: por una parte un encadenamiento de conceptos que constituyeel proceso de conceptuacion; por otra parte, un encadenamiento o procesos de reduccion entre proposiciones yrelaciones que permite pasar de unas a otras, llamado demostracion.El estudio de los metodos de conceptuacion y de demostracion constituye lo esencial de la metodologıa matematica.

CONCEPTUACION MATEMATICA.En Logica suelen clasificarse los conceptos en individuales y especıficos: los primeros se refieren a objetos parti-culares, los segundos a grupos de objetos que tienen ciertas propiedades comunes. La coleccion de objetos a loscuales es aplicable el concepto especıfico constituye la extension del mismo; la coleccion de propiedades que lodeterminan constituye su comprension. Cuanto mas general es un concepto, mayor es su extension y menor sucomprension, y recıprocamente.

Los conceptos matematicos son abstractos (es decir, tienen su existencia en la mente humana) y resultan deconsiderar objetos o grupos de objetos (reales o pensados) a los que se supone desprovistos de su contenido, y soloreferidos a ciertas relaciones, de manera que resultan identificados, desde el punto de vista matematico, dos objetoso grupos de objetos semejantes respecto a aquellas relaciones. Resulta de aquı que los conceptos matematicos sonsiempre especıficos o genericos, pero no individuales.

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La extension de los conceptos matematicos es generalmente infinita, no ası su comprension, la que es suscep-tible de fijarse con entera precision, agotando las propiedades caracterısticas que la determinan. Resulta de esto,que la conceptuacion en matematicas es mas simple y perfecta que en otras disciplinas.

Dado un cierto grupo de propiedades, para que ellas constituyan la comprension de un concepto matematicoes necesario probar la existencia y unicidad. Se considerara satisfecha la condicion de existencia cuando se hayaprobado que hay un sistema de entes matematicos que poseen esas propiedades. Se dira satisfecha la condicion deunicidad cuando se haya probado que hay un solo sistema de entes que tiene esas propiedades. Esto ultimo requiereuna aclaracion: decir que el sistema es unico, o “esencialmente unico”, segun el lenguaje de Veblen, significa que,si hay dos sistemas de entes que satisfacen al grupo de propiedades, entre esos dos sistemas hay un isomorfismo,es decir, una correspondencia biunıvoca que deje invariantes esas propiedades.

Las condiciones de existencia y unicidad se traducen matematicamente en lo siguiente: la introduccion de nue-vos conceptos no tendra valor si no viene acompanada por un teorema o postulado existencial y otro de unicidad.

Las diversas formas de conceptuacion suelen clasificarse en creadoras y tautologicas; son creadoras aquellasque introducen un concepto que resulta ampliacion del campo de conceptos de la teorıa, y tautologicas aquellasque sirven para dar un nombre a un concepto ya creado.

Ultimamente se ha atribuido mucha importancia a la distincion entre conceptuacion existencial y conceptua-cion constructiva; difieren esencialmente en la manera de probar la existencia, pues, mientras en la conceptuacionexistencial se exige la demostracion de la no contradiccion del nuevo concepto, y sin mas se afirma la existencia,en alas definiciones constructivas se avanza mas, dandose por probada la existencia del nuevo concepto solamentecuando se ha establecido un metodo de calculo que permita determinar en cada caso el ente matematico repre-sentativo del concepto.

Los tipos de conceptuacion que mas interesan a la Matematica son:XLas definiciones nominales explıcitas;XLas llamadas definiciones por abstraccion;Xlas definiciones por recurrencia,XLa axiomatica.

1.3.1. Definiciones nominales explıcitas.

Este tipo de conceptuacion, que constituye el unico tipo de definiciones propiamente dichas, tiene por objetointroducir palabras nuevas para designar combinaciones logicas de conceptos ya definidos. El caracter nominal

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alude a que la definicion se refiere a la palabra, y representa una convencion de lenguaje, pues introduce unapalabra simple para representar un concepto complejo ya conocido.

Ejemplo: Diremos que un numero natural es primo cuando no tiene otros divisores que sı mismoy la unidad.

Las definiciones nominales explıcitas corresponden generalmente al tipo de definiciones llamadas por generoproximo y diferencia especıfica o definiciones por clasificacion.

Una definicion de este tipo constituye una convencion y no una proposicion, puesto que no es ni verdaderani falsa. Estas definiciones son tautologicas y logicamente eliminables, lo que puede realizarse reemplazando lapalabra o sımbolo nuevo por su equivalente logico.

1.3.2. Definiciones por abstraccion.

Si los elementos de una clase se agrupan segun determinado criterio en subclases, y se consideran identicos loselementos de cada subclase, es decir, se fija la atencion unicamente en los caracteres comunes de los elementosde cada subclase, no considerando los caracteres diferenciales; el conjunto de los caracteres comunes se consideracomo la comprension de un nuevo concepto que se dice ha sido definido por abstraccion.

�Ejemplos: Se desea definir el concepto de numero racional, supuesta conocida la teorıa delos numeros naturales. Sea N la clase de los numeros naturales y sean a, b, c, d, numeros naturales.Se llama numero racional (y lo indicaremos en la forma a/b) a la funcion de un par de numerosnaturales, tal que la igualdad venga caracterizada en la siguiente forma: un numero racional a/b esigual a otro c/d cuando se verifica la igualdad ad = bc entre numeros naturales.

Las definiciones por abstraccion constituyen uno de los recursos mas fecundos de la Matematica, permitiendoconjuntamente con las definiciones por recurrencia, desarrollar el metodo genetico mediante el cual se efectuan lassucesivas ampliaciones de las teorıas de la Matematica. Ası, por ejemplo, partiendo del concepto de numero naturalse puede definir por abstraccion los numeros racionales, de estos pasar por igual camino a los reales, y de aquı alos complejos. El metodo genetico, que permite elevarse de los conjuntos simples hasta los mas complejos, tienecomo norma el principio enunciado por Hankel, llamado de permanencia de las leyes formales: “Al generalizarseun concepto se debe tratar de conservar el mayor numero de propiedades, y al nuevo concepto debe correspon-der como caso particular el generalizado”. Esta generalizacion se realiza por una ampliacion del contenido de lossımbolos de una teorıa, de tal manera que conserven su estructura formal.

Las definiciones por abstraccion son creadoras, puesto que permiten ampliar el campo de los conceptos ma-

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tematicos. Al respecto deben distinguirse en el proceso de las definiciones por abstraccion dos partes: la primera,que consiste en dar un criterio de igualdad, y la segunda en probar la existencia y unicidad del nuevo concepto;el poder creador esta en esta segunda parte del proceso, como lo hace notar Couturat1 .

1.3.3. Definicion por recurrencia.

Constituyen un caso muy importante de conceptuacion matematica, las definiciones por recurrencia, ası llama-das porque utilizan el principio de induccion completa. Constituyen otro de los recursos fundamentales del metodogenetico. Indudablemente son, mas que definiciones, un metodo de razonamiento constructivo.

�Ejemplo, la definicion por recurrencia de la suma de numeros naturales.

Aceptamos como ya definidos el numero natural y el concepto de siguiente de un numero natural, es decir quesi a es un natural, su siguiente (a + 1) tambien lo es (1).Tambien aceptamos el Principio de Induccion Completa (del que trataremos mas adelante)(2).

Sean a y b numeros naturales.Damos a continuacion las siguientes definiciones explıcitas:a+ 0 = a Def. (3)a+ (b+ 1) = (a+ b) + 1 Def. (4)Probaremos que con estas hipotesis queda definida cualesquiera que sean los numeros naturales a y b, la suma a+b.

En efecto, por (3) resulta la definicion para 0. (5)

Por (4) suponiendo valida la definicion para x puede generalizarse para x+ 1.Es decir, H) para x : a+ (x+ 1) = (a+ x) + 1 (aplicamos la Def.(4) para b = x)T) aplicada para b = x +1 resulta:a+ [(x+ 1) + 1] = [a+ (x+ 1)] + 1 surge directamente de la H)] (6)De (5) y (6) por el principio de induccion completa (2) resulta la definicion para todos los numeros.

Debe distinguirse en este proceso tambien, como en el de las definiciones por abstraccion, lo que es propia-mente definicion, de la demostracion que sirve para justificarla, probando la existencia y unicidad. La creacion

1Louis Couturat (17 de enero de 1868 - 3 de agosto de 1914) fue un filosofo, logico, linguista y matematico frances. Estudio filosofıay matematicas en la Escuela Normal Superior y fue luego profesor en la Universidad de Toulouse y en el Colegio de Francia. Fueen Francia uno de los precursores de la logica simbolica, que habıa comenzado a difundirse en este paıs poco antes de la PrimeraGuerra Mundial gracias a los trabajos de Charles Peirce, Giuseppe Peano y especialmente a los Principia Mathematica de Alfred NorthWhitehead y Bertrand Russell, este ultimo amigo personal de Couturat. Concibio la logica simbolica como un instrumento para elperfeccionamiento de las matematicas y de la filosofıa, integrando ası la corriente llamada logicismo; en este aspecto, se opuso a HenriPoincare, quien anticipo a su vez el intuicionismo de Brouwer. Couturat contribuyo asimismo al desarrollo del lenguaje artificial ido,una variante del esperanto. Murio en un accidente de transito.

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esta precisamente en la demostracion.

1.3.4. Axiomatica.

La axiomatizacion de un teorıa consiste en establecer un grupo de conceptos llamados conceptos primitivos yun grupo de proposiciones y relaciones llamadas proposiciones y relaciones primitivas.

Las demostraciones matematicas.Se llama demostracion o raciocinio matematico a la combinacion o enlace de dos o mas preoposiciones para obtenernuevas proposiciones y relaciones. Una proposicion o relacion obtenida por ese camino de otras proposiciones orelaciones anteriormente establecidas, mediante un numero finito de pasos, se dice deducida de estas o demostrada.Todas las proposiciones y relaciones de la Matematica quedan clasificadas en dos tipos, las proposiciones deduci-das, llamadas teoremas, y las aceptadas sin demostracion, que son las definiciones y los axiomas. Se considera nojustificada y debe ser eliminada toda otra proposicion o relacion.

El esquema de la demostracion es:

XSe acepta que a es verdadero (hipotesis).

Xa ⇒ b (demostracion).

Xb es verdadero (tesis).

1.4. Diversos enfoques en la ensenanza- aprendizaje de la Matematica

Didactica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal (1991, p 45), la organizacion de los pro-cesos de ensenanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores deeducacion, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propioaprendizaje individual o grupal.

Para Brousseau (Kieran, 1998, p.596), la didactica es la ciencia que se interesa por la produccion y comunica-cion del conocimiento. Saber que es lo que se esta produciendo en una situacion de ensenanza es el objetivo de ladidactica.

Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situacion de ensenanza y aprendizaje, Schoenfeld(1987) postula una hipotesis basica consistente en que, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de losalumnos pueden ser comprendidas y que tal comprension ayudara a conocer mejor los modos en que el pensamientoy el aprendizaje tienen lugar. El centro de interes es, por lo tanto, explicar que es lo que produce el pensamiento

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Figura 3: Didactica de la Matematica

productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos.

Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didactica de las matematicas producedos reacciones extremas. En la primera estan los que afirman que la didactica de la matematica no puede llegara ser un campo con fundamentacion cientıfica y, por lo tanto, la ensenanza de la matematica es esencialmente unarte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didactica comociencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando solo un aspecto parcial al que atribuyen un pesoespecial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. Steiner considera que ladidactica de la matematica debe tender hacia lo que Piaget denomino transdisciplinariedad lo que situarıa a lasinvestigaciones e innovaciones en didactica dentro de las interacciones entre las multiples disciplinas, (Psicologıa,Pedagogıa, Sociologıa entre otras sin olvidar a la propia Matematica como disciplina cientıfica) que permitenavanzar en el conocimiento de los problemas planteados.

La didactica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro ultimas decadas de estesiglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprension medianteuna vision amplia de la matematica, y el practico, que clama por el restablecimiento de las tecnicas basicas eninteres de la eficiencia y economıa en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los gruposde investigadores, innovadores y profesores de matematicas de los diferentes niveles educativos. Para una visionhistorica del desarrollo de la didactica, remitimos al lector interesado a una reciente publicacion (Kilpatrick, Ricoy Sierra, 1992), donde el primer autor muestra una amplia panoramica desde una perspectiva internacional, y losotros dos autores se centran mas en el desarrollo de la misma en Espana durante el siglo XX.

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1.4.1. El asociacionismo de Thorndike.

Esta doctrina radica en sostener que todo hecho mental complejo esta constituido por multiples elementosirreductibles de origen sensorial, combinados entre sı en virtud de “leyes asociativas”; el numero y la naturalezade estas se definen de forma diferente en las diversas orientaciones asociacionistas.

En la cultura occidental el asociacionismo tiene una larga historia. Fue Platon el primero que en un pasajedel ”Fedonılustro con ejemplos dos leyes asociativas: las de contiguidad y semejanza entre las ideas. Aristotelesobserva que una idea tiende a evocar otra en la mente, y enuncia las que durante mucho tiempo seran las tresleyes fundamentales de la asociacion: semejanza, contraste y proximidad o contiguidad en el espacio y en el tiempo.

A comienzos de siglo E.L. Thorndike inicio una serie de investigaciones en educacion que caracterizarıan conel paso del tiempo, a lo que se ha denominado como corriente conductista en educacion matematica. Thorndikese intereso en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de respuestas satisfactorias. Ideo un tipo de en-trenamiento en el que los vınculos establecidos entre los estımulos y las respuestas quedarıan reforzados medianteejercicios en los que se recompensaba el exito obtenido.

El propio Thorndike denomino conexionismo (asociacionismo) a este tipo de psicologıa. El aprendizaje es elproducto de un funcionamiento cognitivo que supone ciertas conexiones o asociaciones de estımulo y respuestaen la mente de los individuos. Por tanto, los programas para ensenar matematicas podrıan elaborarse sobre labase de estımulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados de este proceso se podrıan objetivar encambios observables de la conducta de los alumnos.

En 1922 publico su libro The Psychology of Arithmetic. En el presentaba el principio central de su teorıadel aprendizaje: todo el conocimiento incluso el mas complejo esta formado por relaciones sencillas, vınculos en-tre estımulos y respuestas. Ası, la conducta humana, tanto de pensamiento como de obra, se podrıa analizaren terminos de dos sencillos elementos. Si se reducıa la conducta a sus componentes mas elementales, se des-cubrıa que consistıa en estımulos (sucesos exteriores a la persona) y repuestas (reaccion a los sucesos externos).Si se premiaba una respuesta dada a un estımulo propuesto, se establecıa un vınculo fuerte entre estımulo y res-puesta. Cuanto mas se recompensaba la respuesta mas fuerte se hacıa el vınculo y por lo tanto, se sugerıa queuno de los medios mas importantes del aprendizaje humano era la practica seguida de recompensas (ley del efecto).

Thorndike sugirio como aplicar sus ideas a la ensenanza de la aritmetica afirmando que lo que se necesitabaera descubrir y formular el conjunto determinado de vınculos que conformaban la disciplina a ensenar (lo hizopara la aritmetica). Una vez formulados todos los vınculos, la practica sujeta a recompensas, serıa el medio paraponer en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los alumnos.

La teorıa de Thorndike significo un gran paso hacia la aplicacion de la psicologıa a la ensenanza de las ma-tematicas, siendo su mayor contribucion el centrar la atencion sobre el contenido del aprendizaje y en un contextodeterminado como es la aritmetica.

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1.4.2. El aprendizaje acumulativo de Gagne.

Una teorıa psicologica que quisiera dominar la ensenanza deberıa explicar por que el aprendizaje sencillo fa-cilitaba el mas complejo. La lista de vınculos se establecıa desde las tareas mas faciles a las mas difıciles, sinembargo, no existıa una teorıa que explicase la dificultad psicologica de las diferentes tareas y por lo tanto, queexplicase por que si se aprendıan primero los problemas mas faciles, se facilitaba el aprendizaje de los mas difıciles.

El problema central aquı es la transferencia desde un aprendizaje a otro. Thorndike sugirio que tal transferenciapodrıa ocurrir siempre que ambas tareas contuviesen elementos comunes (teorıa de los elementos identicos). Sinembargo la mayor parte de las investigaciones, en la transferencia, se realizaron en experimentos de laboratoriodonde se analizaban, en detalle, una o mas tareas. Otra empresa, mucho mas compleja, era aplicar la teorıa alcurriculum escolar.

Robert Gagne, con su teorıa del aprendizaje acumulativo dio este paso. En su teorıa, las tareas mas sencillasfuncionan como elementos de las mas complejas. Ası al estar las tareas mas complejas formadas por elementosidentificables se posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo. Gagne propuso analizar las habilidadesdisgregandolas en subhabilidades ordenadas, llamadas jerarquıas del aprendizaje. De esta manera, para una de-terminada habilidad matematica, por ejemplo la suma de numeros enteros, el trabajo del psicologo consiste enun analisis de las tareas que permite identificar los objetivos o habilidades elementales que constituyen otro mascomplejo, creando de este modo una jerarquıa. Tal jerarquıa del aprendizaje permite plantear objetivos perfecta-mente secuenciados desde una logica disciplinar.

Sin embargo, una de estas jerarquıas no es mas que una hipotesis de partida, sobre la manera en que se re-lacionan entre sı ciertas habilidades matematicas, y nos lleva a una pregunta importante ¿como podemos estarseguros de que tal jerarquıa de habilidades es una jerarquıa de transferencia que resultara util para la ensenanzay el aprendizaje?. Ademas, las secuencias de aprendizaje bajo tales jerarquıas se manifiestan rıgidas y no tienenen cuenta las diferencias individuales entre los alumnos.

La practica educativa se centra, por lo tanto, en la ejecucion y repeticion de determinados ejercicios secuencia-dos, en pequenos pasos, que deben ser realizados individualmente y que mas tarde se combinan con otros formandograndes unidades de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matematica. No se presta importancia alsignificado durante la ejecucion sino que se espera que sea al final de la secuencia, cuando el aprendiz adquiera laestructura que conforma la habilidad matematica. Se presta importancia principal al producto, respuesta de losalumnos, y no al proceso, como y por que se ha dado la respuesta. En definitiva, existe poco o nulo interes enexplorar las estructuras y los procesos cognitivos. La ensenanza programada, las fichas y las secuencias largas deobjetivos y subobjetivos caracterizan la corriente mas radical dentro del conductismo.

Entre las crıticas mas recientes al diseno de instruccion (instructional design), pues con este termino se conoce

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a la tecnologıa educativa derivada de los trabajos de Gagne, la mas clara es la expuesta por A. Arcavi (1995) quepasamos a exponer.

El diseno de instruccion centra su interes en una descomposicion logica de los contenidos y, por tanto, eldiseno puede hacerse a priori por expertos y sin contacto alguno con alumnos. Ademas, pone el enfasis en losaspectos mas conductistas de lo que significa ser competente en matematicas definiendo .objetivos de conducta”.Se presupone que tal diseno deberıa estar en manos exclusivamente de expertos, quienes son los indicados paraestablecer los contenidos, los problemas y las secuencias. No parece que de cabida a concepciones alternativas dela actividad matematica y parece implicar que el diseno curricular riguroso”, al tener en cuenta la textura logicade los contenidos garantiza una trayectoria satisfactoria del aprendizaje.

Un aspecto importante de tales investigaciones es que no se interesaban en que ocurrıa durante la realizacionde determinados problemas, las secuencias de aprendizaje o las cuestiones presentadas en los tests. Si algo miden,tales metodologıas, es el producto o resultado del proceso de tales tratamientos. Nunca los procesos de pensa-miento involucrados en tales productos. La distincion entre proceso y producto caracteriza, de forma radical, ladiferencia entre una metodologıa conductista o neoconductista y una metodologıa de tipo cognitivo.

�Se recomienda investigar sobre jerarquıa de habilidades matematicas y ampliacion para elloremitirse a la obra: La ensenanza de las matematicas y sus fundamentos psicologicos. L.B. Resnicky W.W.Ford. Paidos. Ministerio de Educacion y Ciencia. 1990.)

1.4.3. La Matematica Moderna. Posicion de Jean Diudonne. El formalismo.

A finales de los anos cincuenta y comienzo de la decada de los sesenta, se produce un cambio curricular im-portante en la ensenanza de las matematicas escolares, conocida como la nueva matematica o matematica moderna.

Las bases filosoficas de este movimiento se establecieron durante el seminario de Royamount, celebrado en1959. En el transcurso del mismo, el famoso matematico frances Jean Diudonne lanzo el grito de .abajo Euclides 2

propuso ofrecer a los estudiantes una ensenanza basada en el caracter deductivo de la matematica y que partierade unos axiomas basicos en contraposicion a la ensenanza falsamente axiomatica de la geometrıa imperante enaquellos momentos. En ese mismo seminario la intervencion de otro matematico frances, G. Choquet va en elmismo sentido: ... disponemos de un excelente ejemplo, el conjunto de los numeros enteros, donde estudiar losprincipales conceptos del algebra, como son la relacion de orden, la estructura de grupo, la de anillo ...”. Estas dosintervenciones se pueden considerar como paradigmaticas del movimiento que se inicia, pues la primera dibuja elenfoque que ha de caracterizar la ensenanza de la matematica y la otra cual es el contenido mas apropiado. Laidea en principio parecıa bastante logica y coherente. Por un lado se pretendıa transmitir a los alumnos el caracterlogico-decuctivo de la matematica y al mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teorıa de conjuntos,las estructuras algebraicas y los conceptos de relacion y funcion de la matematica superior. A finales de los sesentay principios de los setenta parece claro que la nueva matematica ha sido un fracaso. Surgen entonces algunas vocesen contra del enfoque adoptado, como es el caso de R. Thom (Modern Mathematics: does it exist? (1973): .Ellos,

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los bourbakistas, abandonaron un campo ideal para el aprendizaje de la investigacion: La geometrıa euclıdea,mina inagotable de ejercicios y la sustituyeron por las generalidades de los conjuntos y la logica, materiales tanpobres, vacıos y frustrantes para la ensenanza como los que mas. El enfasis puesto por los estructuralistas en laaxiomatica no es solo una aberracion pedagogica sino tambien matematica.”

El fracaso del movimiento conocido como la matematica moderna, pues no se aprenden los conceptos ni lasestructuras superiores y ademas los alumnos siguen sin dominar las rutinas basicas del calculo, produce nuevosmovimientos renovadores. Entre estos movimientos, en lo que sigue, nos referiremos a los conocidos como retornoa lo basico, la resolucion de problemas y la matematica como actividad humana.

El retorno a lo basico (Back to Basic), supuso para las matematicas escolares retomar la practica de los al-gorıtmos y procedimientos basicos de calculo. Despues de un tiempo, se hizo evidente que tal retorno a lo basico noera la solucion razonable a la ensenanza de las matematicas. Los alumnos, en el mejor de los casos, aprendıan dememoria los procedimientos sin comprenderlos. A finales de los setenta empezo a cuestionarse el eslogan retornoa lo basico”. ¿Que es lo basico? Ya que no parecıa posible ensenar matematicas modernas, ¿habrıa que ensenarmatematicas basicas?. Esta ultima pregunta nos lleva a otra de forma natural, ¿que son matematicas basicas?¿la geometrıa elemental?, ¿la aritmetica?. Habıa demasiadas opiniones sobre que es ”lo basico”. Esta preguntaimpregno el III Congreso Internacional de Educacion Matematica (ICME), celebrado en Berkeley en el veranode 1980. ¿Podrıa ser la resolucion de problemas el foco de atencion y respuesta a esa pregunta? Casi como unabienvenida a todos los profesores que asisten al ICME el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)edita su famosa Agenda in Action para toda la decada de los ochenta. Ası la resolucion de problemas, the problemsolving approach, se pretende que sea algo mas que otro eslogan y se convierta en toda una tarea a desarrollar, ainterpretar y a llevar a cabo.

En el congreso de Berkeley hay un invitado de honor especial, H. Freudenthal, que interviene en una ponenciabajo el tıtulo ”Major Problems of Mathematics Education”(Grandes problemas de la educacion matematica).Ası comenzo H.Freudenthal su intervencion: ”Perdonadme, no fui yo quien eligio este tema, aunque cuando se mepropuso, experimente un gran reto. Un reto, de verdad, pero para ser sinceros no como para emular a D. Hilbert,quien anuncio sus famosos 23 problemas de matematicas en el congreso internacional de matematicas celebradoen Parıs en 1900, que tanto influyeron el desarrollo y curso de las investigaciones matematicas a lo largo de estesiglo... Para a continuacion rechazar el camino seguido por Hilbert y considerar como su centro de interes losproblemas que surgen en la educacion matematica como una actividad social y no solo como campo de investiga-cion educativa. Creo que es importante y clarificadora esta toma de postura de Freudenthal, pues a continuacionentra de lleno en el problema que considera, no mas importante, pero sı mas urgente: Lo que es un problema escomo formularlo correctamente y sin errores . ..Why can Johnny not do arithmetic? , parodiando el tıtulo de unfamoso libro de M.Kline que aquı fue traducido como El Fracaso de la Matematica Moderna, para preguntarse sisuena sexista tal cuestion y si no sonara mas sexista aun si la formula como Why can Mary not do arithmetic?,pues esta ultima formulacion sugerirıa que las ninas son mucho peores que los ninos en aritmetica. Por ultimoFreudenthal reformula la pregunta de forma mas concreta Why can Jennifer not do arithmetic?, Jennnifer no es

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un ser abstracto, es una alumna que a los ocho anos tenıa graves fallos en aritmetica y que habıan desaparecido ala edad de once anos, despues de una atencion particularizada. En contra del planteamiento general que encierrala pregunta Why can Johnny not do arithmetic? Freudenthal opta por un enfoque particular, ası, la preguntaWhy can Jennifer not do arithmetic? tiende a plantear un problema particular, individual, que permita abordar elproblema personal que Jennifer tiene con la aritmetica y sobre todo a profundizar en que aspectos del aprendizajede Jennifer la han conducido al fracaso. Tanto Polya (que no pudo asistir, pero que envio una nota de excusa enla que planteaba que puede hacer el profesor para mejorar la mente de sus alumnos) como Freudenthal situan encentro de atencion sobre el aprendizaje, el primero solicitando de los profesores un compromiso con el aprendizajede sus alumnos hacia la adquisicion y mejora de las capacidades intelectuales; el segundo en concretar, particu-larizar los problemas derivados de la ensenanza y en investigar los aprendizajes individuales para dar posiblessoluciones a los aparentes fracasos, y obtener ejemplos paradigmaticos de diagnosis y prescripcion de los mismos.Freudenthal hace una llamada a la conciencia de todos los profesores e investigadores para que estos ejemplos seregistren y se transmitan, de tal forma que unos puedan aprender de los otros y se gestione de forma efectiva elconocimiento en educacion matematica.

1.4.4. Enfoque constructivista. Epistemologıa genetica de Jean Piaget.

Piaget denomino epistemologıa genetica a su teorıa sobre la construccion del conocimiento por los individuos(Piaget, 1987; Garcıa, 1997). Su centro de interes es la descripcion del desarrollo de los esquemas cognitivos delos individuos a lo largo del tiempo y de acuerdo con ciertas reglas generales.

El principio central de la teorıa de Piaget sobre la construccion del conocimiento es la equilibracion (Piaget,1990; Garcıa, 1997). Tal equilibracion se lleva a cabo mediante dos procesos, ıntimamente relacionados y depen-dientes, que son la asimilacion y la acomodacion.

Cuando un individuo se enfrenta a una situacion, en particular a un problema matematico, intenta asimilardicha situacion a esquemas cognitivos existentes. Es decir, intentar resolver tal problema mediante los conoci-mientos que ya posee y que se situan en esquemas conceptuales existentes. Como resultado de la asimilacion, elesquema cognitivo existente se reconstruye o expande para acomodar la situacion.

La asimilacion y la acomodacion se muestran en la teorıa piagetiana como las herramientas cognitivas utiles yfundamentales en el restablecimiento del equilibrio cognitivo en el individuo. El binomio asimilacion-acomodacionproduce en los individuos una reestructuracion y reconstruccion de los esquemas cognitivos existentes. Si los in-dividuos construyen su propio conocimiento, la equilibracion expresa el proceso mediante el cual se produce talconstruccion, senalandose ası el caracter dinamico en la construccion del conocimiento por los individuos, comohipotesis de partida para una teorıa del analisis de los procesos cognitivos (Garcıa, 1997, p 41).

La abstraccion reflexiva o reflectora es un termino definido por Piaget y central en su teorıa de la construcciondel conocimiento. Piaget llama ası a la abstraccion que parte de las acciones u operaciones y no meramente de los

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objetos (Beth y Piaget, 1980, p. 212). La abstraccion reflexiva conlleva dos momentos indisolubles (Piaget, 1990,p. 40): un proceso de reflexion, ‘reflejamiento’ o proyeccion que hace pasar lo que es abstraıdo de un plano inferiora otro superior (por ejemplo de la accion fısica a la representacion mental) y un producto de la reflexion, una‘reflexion’ en el sentido mental, que permite una reorganizacion o reconstruccion cognitiva, sobre el nuevo planode la que ha sido extraıdo del plano precedente. En el plano inferior las acciones y operaciones se realizan sobreobjetos concretos, fısicos o imaginados, mientras que en el plano superior las acciones y operaciones interiorizadasactuan sobre objetos abstractos y las coordina para formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos objetos. Siendoası que el sujeto reconstruye lo ası abstraıdo en un plano superior nuevo, cuyo funcionamiento es distinto, y quetal reconstruccion conduce a un esquema cognitivo mas general (Beth y Piaget, 1980, p. 229).

Piaget senalo su caracter constructivo, por lo tanto no de descubrimiento, pues la abstraccion reflexiva consisteen traducir una sucesion de actos materiales en un sistema de operaciones interiorizadas cuyas leyes o estructurase comprenden en un acto simultaneo. La abstraccion reflexiva se refiere, por tanto, a las acciones y operacionesdel sujeto y a los esquemas que le conduce a construir (Piaget y Garcıa, 1982 p. 247) y es, por lo tanto, puramenteinterna al sujeto. Destaquemos aquı que lo que constituye la genesis del conocimiento y que aporta su cualidadconstructiva son las acciones y no la mera observacion. Pues por medio de las acciones se desencadena el procesode abstraccion reflexiva en el individuo y su conclusion sera la construccion mental de un nuevo ente abstracto,objeto o concepto mas general.

La importancia del papel jugado por la abstraccion reflexiva en la construccion de los conceptos matematicosha dado lugar, recientemente, a dos marcos teoricos, extensiones de la teorıa desarrollada por Jean Piaget: La gene-ralizacion operativa (Dorfler, 1991) y el marco teorico accion-proceso-objeto (Dubinsky, 1991 y 1997). Tales marcosteoricos, que no expondremos aquı, pueden ser consultados por los interesados en las citas bibliograficas senaladas.

1.4.5. Enfoque del procesamiento de la informacion.

Frente a la teorıa de Piaget sobre la forma en que las personas comprenden los conceptos y, a partir de ciertosestudios realizados en el campo de la computacion sobre habilidades linguısticas de los humanos, surge en ladecada de los setenta la teorıa denominada procesamiento de la informacion.

La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la mente actua (procesan) sobre losdatos que proceden del entorno interno o externo (informacion). Toda la informacion es procesada por una seriede memorias, que procean y almacenan de forma distinta y que ademas estan sujetas a determinadas limitacionesen su funcion. La combinacion de tales memorias constituyen el sistema de procesamiento de la informacion.

La informacion entra en el sistema a traves de un registro de entrada sensorial, llamado a veces memoria iconicao buffer sensorial. Esta primera memoria, es capaz de recibir informacion visual, auditiva o tactil directamente delentorno y puede recibir mucha informacion al mismo tiempo, pero solo puede almacenarla durante una fraccionmuy pequena del mismo despues del cual se pierde.

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La memoria que se encarga de recoger la informacion situada en el primer componente, la memoria iconica, esla memoria de trabajo o a corto plazo. La memoria de trabajo es aquella en la que se almacena temporalmentela informacion codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento activo de la informacion,es decir, donde se realiza el proceso de pensar.

Por ultimo, se encuentra la memoria a largo plazo o semantica. En este componente del sistema es donde sealmacena todo el conocimiento, lo que sabe, el individuo de forma permanente.

Como se almacena y como se utiliza la memoria semantica por el individuo es una cuestion clave en este modelode construccion del conocimiento por los individuos. Por ejemplo, como utiliza el individuo la memoria semanticapara desarrollar y poner en practica determinadas habilidades como lo es comprender, deducir, generalizar, entreotras. La forma mas simple que se ha dado es en una lista larga, estructurada y organizada. Los objetos, pie-zas de informacion de tal lista, estan conectados mediante vınculos o asociaciones significativas, denominadas redes.

Existen varios modelos, dentro de esta teorıa, sobre la memorıa semantica y las redes para explicar las habi-lidades propias del conocimiento en los individuos y todos describen el conocimiento humano como estructuradoy organizado. Los modelos mas recientes se parecen mucho a las concepciones asociacionistas, siendo ası que, seha considerado recientemente al procesamiento de la informacion, aunque dentro de la ciencia cognitiva, como unheredero del asociacionismo.

1.4.6. Pedagogıa del descubrimiento de Polya. El metodo Heurıstico.

Para George Polya (1945), la resolucion de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien defi-nidas:

Figura 4: Metodo Heurıstico

�Comprender el problema. ¿Cual es la incognita? ¿Cuales son los datos?

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�Concebir un plan. ¿Se ha encontrado con un problema semejante?¿Conoce un problema relacionado con este?¿Podrıa enunciar el problema de otra forma?¿Ha empleado todos los datos?�Ejecutar el plan.¿Son correctos los pasos dados?�Examinar la solucion obtenida.¿Puede verificar el resultado?¿Puede verificar el razonamiento?

Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompana de unaserie de preguntas, al puro estilo socratico, cuya intencion clara es actuar como guıa para la accion. Los trabajosde Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.

Una pregunta, ¿Por que es tan difıcil entonces, para la mayorıa de los humanos, la resolucion de problemas enmatematicas?

Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la busqueda inagotable de explicaciones para la conductade los resolutores reales de problemas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el analisis de lacomplejidad del comportamiento en la resolucion de problemas.

XRecursos congnitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposicion del resolutor.

XHeurısticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.

XControl o metacognicion: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.

XSistema de creencias: Se refiere a aquellas creencias y opiniones relacionadas con la resolucion de proble-mas y que pueden afectarla favorable o desfavorablemente.

Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco exito en la resolucion de problemasde los resolutores reales. Ası, cuando a pesar de conocer las heurısticas no se sabe cual utilizar o como utilizarla sesenala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heurısticas y un buen control noson suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento especıfico del dominiomatematico del problema en cuestion. En este caso se senala la carencia de recursos cognitivos como explicacional intento fallido en la resolucion.

Por otro lado, puede que todo lo anterior este presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo quees resolver problemas en matematicas o de la propia concepcion sobre la matematica haga que no progrese en la

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resolucion. La explicacion, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teorico, lascreencias.

Por ultimo estan las heurısticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de conocimientosespecıficos del tema o dominio matematico del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento dereglas para superar las dificultades en la tarea de resolucion.

Las heurısticas son las operaciones mentales tıpicamente utiles en la resolucion de problemas, son como reglaso modos de comportamiento que favorecen el exito en el proceso de resolucion, sugerencias generales que ayudanal individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solucion.

Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heurısticas. Entre las mas importantes cabrıa citar:

�Buscar un problema relacionado.

�Resolver un problema similar mas sencillo.

�Dividir el problema en partes.

�Considerar un caso particular.

�Hacer una tabla.

�Buscar regularidades.

�Empezar el problema desde atras.

�Variar las condiciones del problema.

Sin embargo, como bien ha senalado Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, queson, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido analisis.

Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurıstica pues se senala una direccion de trabajo, y sobretodo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema.

Considerar un caso sı se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado,formular un problema relacionado con el. Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes delcontenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heurısticas. (Talobservacion parte de una nota marginal de Polya (Polya, 1962, vol 2. p.84))

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Por ultimo, hacer una tabla se podrıa considerar como una destreza al no poseer el caracter de transformar elproblema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heurısticas.

La caracterıstica mas importante del proceso de resolucion de un problema es que, por lo general, no es unproceso paso-a-paso sino mas bien un proceso titubeante.

En el proceso de resolucion, Schoenfeld ha senalado que tan importante como las heurısticas es el controlde tal proceso, a traves de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de que hacer en un problema. Lacaracterıstica mas importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienenconsecuencias globales para la evolucion del proceso de resolucion de un problema.

Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos enservicio para la resolucion del problema.

Son decisiones ejecutivas:

- Hacer un plan.

- Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos.

- Buscar los recursos conceptuales y heurısticos que parecen adecuados para el problema.

- Evaluar el proceso de resolucion a medida que evoluciona.

- Revisar o abandonar planes cuando su evaluacion indica que hay que hacerlo.

Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese termino en Inteligencia Artificial, son equivalentesa las decisiones de gestion en el campo de los negocios, o decisiones de tactica y estrategia en el campo militar.El termino metacognicion se ha usado en la literatura psicologica en la discusion de fenomenos relacionados conel que aquı tratamos.

Son por tanto, decisiones acerca de que caminos tomar, pero tambien acerca de que caminos no tomar.

Cuanto mas precisas sean las respuestas a las preguntas:

¿ Que estoy haciendo?¿ Por que lo hago?¿ Para que lo hago?

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¿ Como lo usare despues?

mejor sera el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solucion.

La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolucion deun problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolucion de un problema es debido a que, lapersona que afronta el problema, no dispone de un plan de solucion.

Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolucion. Entreellas cabe destacar:

- Inflexibilidad para considerar alternativas.

Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay mas salida que cambiar de perspectiva parasalir del bloqueo.

- Rigidez en la ejecucion de procedimientos.

Mas de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situacion en la que no es aplicable.Nuestra obstinacion es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la situacion,aunque distinta, se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz.

- Incapacidad de anticipar las consecuencias de una accion.

Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una accion pensada: Cuando hayaejecutado lo que pienso ¿que consecuencias tendra para la resolucion del problema?

- El efecto ”tunel”.

Se produce cuando la ejecucion de una tarea es tan absorbente que no hay energıas disponibles para la eva-luacion de lo que se esta realizando. Suele darse mas facilmente cuanto mas embebido se esta en la ejecucion deuna accion.

Miguel de Guzman partiendo de las ideas de Polya, Mason et al. (Mason, Burton y Stacey, 1988) y de lostrabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupacion con problemas, donde se incluyen tanto lasdecisiones ejecutivas y de control como las heurısticas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine yremodele sus propios metodos de pensamiento de forma sistematica a fin de eliminar obstaculos y de llegar aestablecer habitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denomino como pensamiento productivo.

Ejemplo 1. Mi edad es el triplo de la de mi hermano y hace 4 anos la suma de ambas edades era igual a la

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tendra mi hermano dentro de 16 anos. Puedes ayudar al vendedor a encontrar cual es la edad actualdel hermano de Luis?Solucion:Paso 1:Comprender el problema.¿Que quiere decir el triplo de la edad ? Resp: Quiere decir la edad multiplicada por tres.¿Distingues cuales son los datos? La edad de Luis es el triplo de la de su hermano. Hace 4 anos lasuma de ambas edades era igual a la que tendra su hermano dentro de 16 anos.¿ Sabes a que quieres llegar? Resp: A encontrar la edad actual del hermano de Luis.Paso 2:Configurar un plan.¿Se puede usar alguna estrategia para resolver el problema?Usar una variable : Sea x la edad actual del hermano, 3x la edad de Luis.Por otro lado: Hace 4 anos la edad de Marcos era 3x− 4 y la de su hermano era x− 4.La edad que tendra el hermano dentro de 16 anos es x+ 16.La suma de ambas edades [(3x− 4) y (x− 4)] era igual a (x− 16).Paso 3: Ejecutar el plan Implementa la estrategia que escogiste hasta solucionar completamente elproblema. (3x+ 4) + (x− 4) = x+ 164x− 8 = x+ 164x− 8− x = x+ 16− x3x− 8 = 163x− 8 + 8 = 16 + 83x = 24Paso 4:Mirar hacia atras ¿Es tu solucion correcta?¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?La cantidad obtenida parece razonable ya que: La suma de ambas edades hace 4 anos era: 20 + 4 = 24y 24 anos es exactamente la edad que tendra el hermano de Marcos dentro de 16 anos.

Ejemplo 2. En un cumpleanos un joven debe amarrar unos globos en lo alto de una pared de 4.33 m de altura¿Cual debe ser la longitud de la escalera que el joven coloca de tal manera que forme un angulo de 60con el piso?Solucion: Paso 1:Entender el problema ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Puedes replantear el problema?¿Distingues cuales son los datos? Resp: La altura de la pared es de 4.33 m, El angulo que forma laescalera con el piso es de 60.¿Sabes a que quieres llegar? Resp: A encontrar la longitud de la escalera.¿Hay suficiente informacion? Resp: Si la hay¿ Hay informacion extrana para ti? Resp: No¿ Este problema es similar a otro que hayas hecho?Paso 2:Configurar un plan.¿Usar una variable? Resp: Sea c= longitud de la escalera. b=altura de la pared¿Hacer una figura?

Paso 3: Ejecutar el plan

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Figura 5: Torre

¿Hay alguna razon geometrica? Para ello utilizaremos la razon trigonometrica:senθ = Opuesto

Hipotenusa

sen60 = 4,33c = 5,0m

Paso 4: Comprobar el resultado. Para ello encontraremos ela angulo ahora.

sinθ = 4,33m5m ' 60◦

Ejemplo 3. (Los huevos de la campesina) Una campesina llevo a la ciudad una cesta de huevos. Al primer clientele vendio la mitad de sus huevos mas medio huevo, al segundo cliente le vendio la mitad de los huevosque le quedaban mas medio huevo, al tercer cliente le vendio la mitad de los huevos que le quedabanmas medio huevo y dio por terminada la jornada.Si al final se volvio a casa con tres huevos en la cesta¿cuantos huevos llevaba al principio?.Solucion

Paso 1: Comprender el Problema

En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema es muy importante entenderlo. Elproblema nos dice que a cada cliente le vende la mitad de los huevos que le van quedando mas mediohuevo. Ese medio significa que el numero total de huevos sera un numero impar.Paso 2. Concebir un plan

Tal y como esta estructurado el problema es facil darse cuenta de que tiene mas de una manera deabordarlo para intentar dar con la solucion. En este caso yo he visto dos estrategias posibles:

- Una de ellas haciendolo en funcion de x

- La otra averiguando, utilizando los datos que nos da el problema (el dato de que al final le quedan3 huevos es muy importante) el numero de huevos que llevaba al principio la campesina, simplemente

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razonando.Paso 3. Ejecutar el planSi me centro en la primera estrategia el plan, el decir, los paso para llegar a la solucion final serıan lossiguientes:- Llamamos x al numero total del huevos que la campesina llevaba al principio.- Como dice que al primer comprador le vende la mitad de los huevos que tenıa mas medio huevo serıalo siguiente: x

2 + 12 que es lo mismo que decir x+1

2- Ahora tendrıamos que averiguar cuantos huevos le siguen quedando a la campesina despues deesta primera venta. Para eso restamos lo que le vendio al primer cliente, x+1

2 , al numero total, x.x– x+1

2 = x−12 Por lo tanto nos quedarıa x−1

2 huevos.

- A continuacion dice que al segundo cliente le vende la mitad de los huevos que le quedaban mas

medio huevo mas. Es decirx−122 + 1

2 . El resultado de esto es x+14

- Al igual que antes, tendrıamos que volver a averiguar cuantos huevos le quedan del total despues deesta segunda venta. Para ello restamos el numero de huevos que le acaba de vender al 2o cliente a losque le quedaban antes: x−1

2 −x+14 . Ası ahora solo le quedan x−3

4

Por ultimo el problema nos vuelve a decir que le vende a un tercer cliente la mitad de los huevos que le

quedaban despues de estas dos ventas anteriores mas medio huevo mas. Es decirx−342 + 1

2 = x+18 - Tras

vender al ultimo comprador, solo le quedan a la campesina 3 huevos. Para saber a cuanto equivalenesos 3 huevos, debemos restarle a los que nos quedaban tras las 2a venta los que acabamos de vender:x−34 −

x+18 = x−7

8

Por tanto si x−78 = 3

x = 31

De esta forma sabemos que la campesina tenıa 31 huevos al principio.4. Examinar la solucion (Comprobar si el plan ha tenido exito) Una vez llevado a cabo el plan y trashaber averiguado la solucion debemos comprobar si el resultado que hemos obtenido puede ser posi-ble o no. Para ello sustituimos en cada caso el valor de la x por 31 y vemos que si es posible la solucion.

Ejemplo 4. (Las Hijas del Profesor)Este problema le fue planteado a Einstein (Alemania 1879-1955) por unalumno: Dos profesores pasean charlando de sus respectivas familias.- Por cierto - pregunta uno - ¿de que edades son sus tres hijas?- El producto de sus edades es 36 - contesta su colega -, y su suma, casualmente es igual al numero

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de tu casa. Tras pensar un poco, el que ha formulado la pregunta dice:- Me falta un dato.- Es verdad - dice el otro -. Me habıa olvidado de aclararte que la mayor toca el piano¿Que edades tienen las tres hijas del profesor?

Solucion:1. Comprender el problemaEn primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema es muy importante entenderlo.El problema nos dice que van dos profesores charlando sobre sus familias y uno de ellos tiene queadivinar cuantos anos tienen las tres hijas del otro.Los datos que conocemos son:- Que son tres las hijas- Que el producto de las edades es igual a 36- Que la suma de las tres edades es igual al numero de la casa del que pregunta.- Que la hija mayor toca el pianoSin embargo, hay algunos datos que no conocemos, como es el caso del numero de la casa del amigo.

2. Concebir un planQuiza el mejor de los planes es intentar deducir cuales son las edades de las tres ninas a partir deldato que nos dice que su producto es igual a 36. Por eso, voy a ir haciendo grupos de tres numerosdiferentes cuyo producto me de 36.

3. Ejecutar el planEn este paso, llevare a cabo la estrategia anterior: formare grupos de 3 numeros cuyo producto me de36.1 x 1 x 36 = 381 x 2 x 18 = 211 x 3 x 12 = 161 x 4 x 9 = 141 x 6 x 6 = 132 x 2 x 9 = 132 x 3 x 6 = 113 x 3 x 4 = 10

El producto de todos estos grupos de tres numeros es igual a 36. Pero eso no nos da el resultado, porlo que tendremos que tener en cuenta otro de los datos que nos da el problema: que la suma de los 3es igual al numero de la casa del amigo. No sabemos cual es ese numero, pero sı que podemos sumarlos numeros de todos los grupos y ver si tenemos la suerte de que alguno coincida con otro.

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Al realizar las sumas, nos damos cuenta de que hay dos grupos de numeros que nos dan el mismoresultado:

1 x 6 x 6 = 13

2 x 2 x 9 = 13

Por lo tanto uno de estos dos tiene que ser la solucion al problema. Pero ¿cual?

Para ello podemos utilizar el ultimo de los datos que nos daba el problema: el hecho de que la mayorde las hijas tocara el piano.

Por tanto, claramente la solucion tendrıa que ser la 2a, ya que al decirnos “la mayor de las hijas”,tiene que haber una mayor, y en el primer caso no lo habrıa puesto que serıan las dos de la misma edad.

4. Examinar la solucion

Una vez realizado todo el problema comprobamos que nuestra solucion ha tenido exito. En esta oca-sion, las hijas del profesor tendrıan: la mayor 9 anos y las dos mas pequenas tendran la misma edad,2 anos (por lo que serıan gemelas o mellizas).

Ejemplo 5. (El ramo de los enamorados)El dıa 14 de febrero fue el dıa de los enamorados y por dicho motivo en-cargue un magnıfico ramo de flores para mi novia Eurelina. El ramo costo $68 euros y estaba formadopor petunias y orquıdeas.

Recuerdo que el precio de cada petunia era de $0,5 y en el ramo habıa 16; pero no llego a recordarcual era el precio de una orquıdea, aunque se que este no tenıa centesimas y no era multiplo de 5.

Ayuda a este joven enamorado calculando cual era el precio de cada orquıdea y cuantas habıa en elramo, si sabemos que al sumar ambas cantidades se obtiene un numero que tiene una cantidad imparde divisores.

SolucionPaso 1. Comprender el problema

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En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema es muy importante entenderlo.El problema nos dice que el muchacho encargo un ramo para su novia, el cual estaba formado porpetunias y por orquıdeas, y que le costo $68. Los datos que conocemos son:

- Que en el ramo habıa 16 petunias y que cada petunia costaba $0,5.- Que el precio de cada orquıdea no tiene centimos, es decir, es un numero entero y no es multiplo de5.- Que la suma del precio y de la cantidad de orquıdeas da un numero el cual tiene un numero imparde divisores.El dato que no conocemos es el numero de orquıdeas que tenıa el ramo, ni el precio de cada una. Yeso es lo que tenemos que calcular.

Paso 2. Concebir un planEl mejor de los planes sera intentar deducir cuanto puede valer cada orquıdea a partir de los datosque nos da el problema. Gracias a que el problema nos dice que el ramo tenıa 16 petunias y que cadapetunia costaba $0,5, llegamos a la conclusion de que de los $68que costaba el ramo en total, $8 deeste ramo se lo llevan las petunias. Por lo tanto los $60 restantes son de orquıdeas. Ese sera el datodel cual partiremos para poder resolver el problema.

Paso 3. Ejecutar el planAhora nos centraremos en intentar buscar la solucion al problema.En primer lugar, como sabemos que lo que se gasto en orquıdeas puede ser como maximo $60, ave-riguaremos los divisores de 60, ya que como maximo, una orquıdea podra costar $60 pero no mas,y como ademas nos dice que el precio no tiene decimales, el numero que buscamos sera un numeroentero.Los divisores de 60 son:60, 30, 20, 15, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1Como el problema nos dice que el precio de la orquıdea no es multiplo de 5, de los divisores de 60,todos los multiplos de 5 no valdrıan.60, 30, 20, 15, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1Por tanto, los numeros que nos quedarıan serıan los siguientes: 6,4, 3, 2, 1

Una vez llegados a este punto del problema, utilizaremos el ultimo dato que nos da el problema, elcual nos dice que la suma del precio y de la cantidad de orquıdeas da un numero el cual tiene unnumero impar de divisores. Ası que, calcularemos los divisores de estas 5 posibles soluciones:

Si cada orquıdea vale $6 , el ramo tendrıa 10 orquıdeas (ya que 60 : 6 = 10).Por tanto: 6 + 10 = 16

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Divisores de 16= 16, 8, 4, 2, 1 ⇒ 5 divisores [impares]

Si cada orquıdea vale $4, el ramo tendrıa 15 orquıdeas (ya que 60:4 = 15).Por tanto: 4 + 15 = 19Divisores de 19= 19, 1 ⇒ 2 divisores [par]

Si cada orquıdea vale $3, el ramo tendrıa 20 orquıdeas (ya que 60:3 = 20).Por tanto: 3 + 20 = 23Divisores de 23= 23, 1 ⇒ 2 divisores [par]

Si cada orquıdea vale $2, el ramo tendrıa 30 orquıdeas (ya que 60:2 = 30).Por tanto: 2 + 30 = 32Divisores de 32= 32, 16, 8, 4, 2, 1 ⇒ 6 divisores [par]

Si cada orquıdea vale $1, el ramo tendrıa 60 orquıdeas (ya que 60:1 = 60).Por tanto: 1 + 60 = 61Divisores de 61= 61, 1 ⇒ 2 divisores [par]

Al estudiar todas las soluciones posibles, llegamos a la conclusion de que, el unico resultado vali-do es el primero, es decir, que cada orquıdea valga $6y por consiguiente, que en el ramo haya 10orquıdeas, ya que es la unica opcion que tiene un numero impar de divisores.

Paso 4. Examinar la solucionUna vez realizado todo el problema comprobamos que nuestra solucion ha tenido exito. En esta oca-sion, el ramo, como sabemos formado por petunias y orquıdeas, valdrıa un total de $68 de los cuales:

$8 serıan de petunias ⇒ 16 petunias x $0,5 (que vale 1 petunia)$60 de orquıdeas ⇒ 10 orquıdeas x $6 (que vale cada orquıdea)

Ejemplo 6. (Tarjetas numeradas)Calculın, Pitagorın, Thalesa, Hipotenusia y Arquimedın tienen un monton de100 tarjetas enumeradas del 1 al 100. Como son muy maniaticos con los numeros se dedican a incluiro quitar del monton aquellas tarjetas segun le gusten o no, los numeros que en ellas aparecen.

Calculın toma las cien tarjetas y como detesta los numeros pares, los descarta y pasa las tarjetas aPitagorın, este que es un amante de los multiplos de cinco se da cuenta que le faltan algunos, y loscoge de los que Calculın habıa eliminado, y seguidamente le entrega las tarjetas a Thalesa.

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Thalesa como esta enfadada con Calculın y Pitagorın decide deshacerse de ellas y coger las tarjetasque estos habıan descartado y se las pasa a Hipotenusia.

Hipotenusia tras observarlas elimina aquellas que son multiplos de seis y de ocho porque las considerade mal gusto y finalmlente se las pasa a Arquimedın, que odia tanto los numeros primos mayores que7 que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de esos numeros.

Arquimedın hace recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuantas tarjetas tiene ahora en su poder?,¿cual es el mayor numero escrito en esas tarjetas?

Figura 6: Tarjetas numeradas

Solucion.

Paso 1. Comprender el problema En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problemaes muy importante entenderlo. El problema nos da una grandısima cantidad de informacion y de datosque nos permiten resolverlo poco a poco.El problema nos dice que hay 5 personajes los cuales tienen un monton de 100 tarjetas, y estas tarjetasse van eliminando poco a poco segun las manıas de cada uno.

En un primer momento, Calculın elimina todas las tarjetas pares y pasa las tarjetas restantes a Pi-tagorın. En segundo lugar, Pitagorın, decide coger de esas tarjetas que anteriormente Calculın habıaeliminado, todas las que fueran multiplos de 5, ya que le encanta esos numeros.

En tercer lugar, Thalesa como esta enfadada con Calculın y Pitagorın decide deshacerse de ellas ycoger las tarjetas que estos habıan descartado y se las pasa a Hipotenusia.En cuarto lugar, Hipotenusa, elimina de ese monton de tarjetas que han quedado, aquellas que sonmultiplos de 6 y de 8 al mismo tiempo.Y por ultimo, las tarjetas caen en manos de Arquimedın, elcual elimina todas aquellas tarjetas que tienen como divisor algun numero primo mayor que 7.

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Hasta ahı son los datos que el problema nos da, y lo que nos pide es que, averiguemos despues detodos estos pasos que tenemos que dar, con cuantas tarjetas nos quedamos, y cual es el numero mayorescrito en estas tarjetas.

Paso 2. Concebir un plan

En segundo lugar, y una vez estudiado el problema, debemos concebir un plan, una estrategia paracomenzar a resolverlo. En esta ocasion, creo que la mejor forma de llegar a la solucion es escribir todoslos numeros, del 1 al 100, e ir tachando poco a poco, segun los datos que nos da el problema.

Paso 3. Ejecutar el plan

Llegados a este punto del problema, comenzaremos a resolverlo. En primer lugar, y tal como habıamosplaneado, escribiremos todos los numeros del 1 al 100Se comienza a tachar numeros segun los datos:

Figura 7: Tabla del 1 al 100

Tal y como nos dice Calculın, eliminamos todas las tarjetas pares.Despues, como Pitagorın decide coger de esas tarjetas que anteriormente Calculın habıa eliminado,todas las que fueran multiplos de 5, volvemos a rescatar algunos numeros de los que habıamos tacha-dos, mas concretamente aquellos de la ultima fila que terminan en 0.

A continuacion y atendiendo al dato que nos da Thalesa, se le da al problema un giro, ya que, a partirde este momento, los numeros que valdran, seran los que hasta ahora habıamos eliminado.El siguiente paso sera eliminar todas las tarjetas que sean multiplos de 6 y de 8 al mismo tiempo.

Para ello, calculamos el mcm de 6 y 8 y averiguamos sus multiplos.mcm (6 y 8) = 24

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Figura 8: Tabla obtenida

Multiplos de 24 = 24, 48, 72, 96. . . (con que lleguemos hasta el 96 es suficiente puesto que el siguienteserıa 120 y este ya se pasa del 100, que es el numero maximo que nosotros tenemos)

Y por ultimo, eliminamos, segun el que nos da Arquimedın, todas aquellas tarjetas que tienen comodivisor algun numero primo mayor que 7.

Para ello, en primer lugar escribiremos todos los numeros primos mayores que el 7 y calcularemos susmultiplos para que sea mas facil saber cuales son las tarjetas que tenemos que eliminar.

Primos: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51. . . (con que lleguemos hasta el 51 es suficientepuesto que 51x2=102 y eso se pasa ya del 100)

Multiplos de 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

Multiplos de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104. . .

Multiplos de 17: 17, 34, 51, 68, 85, 102. . .

Multiplos de 19: 19, 38, 57, 76, 95. . .

Multiplos de 23: 23, 46, 69, 92, 115. . .

Multiplos de 29: 29, 58, 87, 116. . .

Multiplos de 31: 31, 62, 93,. . .

Multiplos de 37: 37, 74, 111,. . .

Multiplos de 41: 41, 82, 123. . .

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Multiplos de 43: 43, 86, 129,. . .

Multiplos de 47: 47, 94, 141. . .

Multiplos de 51: 51, 102. . .

Figura 9:

Por lo tanto, nos quedarıan un total de 17 tarjetas las cuales serıan: 2, 4, 6, 8,12,14,16,18,28,32,36,42,54,56,64,84y 98 Y el numero mas grande de ellas tal y como podemos observar es el 98.

Paso 4. Examinar la solucion

Una vez hallada la solucion, repasamos todo el problema para ver si hemos seguido al pie de la letratodos los pasos y de esta forma intentar localizar cualquier posible error.

Problema 1. Un sillon y 4 sillas han costado $300. Si el sillon costo $100 ¿Cuanto pague por cada silla?

Problema 2. Si los angulos miden un numero entero de grados.Calcular los polıgonos regulares .

Problema 3. Un hombre compro doce sacos de verduras (manzanas y naranjas) por $99. Si un saco de chile cuesta$3 mas que un saco de cebolla, y compro mas saco chile que cebollas, ¿cuantos saco compro de cadauno?

Problema 4. En una escuela nacional hay 155 estudiantes en total; hay 75 estudiantes en el comite de orden ylimpieza, 55 estudiantes estan en el comite de actividades culturales y 20 mas en el comite de arte.¿Cuantos estudiantes de la escuela no participan en ningun comite?

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Problema 5. En un banco por error el cajero, le da x dolares y y centavos.Pero dicho mujerr deberıa de cobrar uncheque por y dolares y x centavos en un banco.Ella no se da cuenta hasta que gasta 23 centavos yademas observa que en ese momento tiene 2y dolares y 2x centavos. ¿Cual era el valor del cheque?

Problema 6. Sı tenemos tres numeros naturales a,b,c (numeros consecutivos en sucesion aritmetica, diferencia=2)calcular la suma de sus cuadrados tales que sea un numero de 4 cifras iguales.

Problema 7. ¿Que edad tiene la madre de Jose, si este tiene 18 anos y cuando el nacio su madre tenıa 26 anos?

Problema 8. Nueve palomas hembras y nueve palomas machos ¿Cuantas patas en total tienen?

Problema 9. Se dispone de 9 palillos que forman un triangulo equilatero. Cambiando la posicion de 5 palillostransformar el triangulo a manera de obtener 5 triangulos equilateros.

Problema 10. A un grupo de estudiantes les dejaron como tarea leer un documento de 300 paginas. El primer dıaleyeron 10 paginas, el segundo dıa 15 paginas, el tercer dıa 20 paginas y ası sucesivamente. ¿Cuantosdıas se tardaron en leer el documento?.

Problema 11. Tres amigos: Angel, Beto y Carlos tienen distintas aficiones por el futbol, basquetbol y voleibol, ygustan de colores diferentes, azul, rojo y blanco. Si se Sabe que: Beto no practica voleibol, al bas-quetbolista no le agrada el color rojo, Angel practica basquetbol, quien practica voleibol le agradael color blanco, a Beto no le gusta el color azul. ¿Que aficion tiene y que color prefiere cada uno?.

Problema 12. Caminando por las laderas un caracol tiene que escalar un muro de 7 metros de altura. Cada dıaconseguıa escalar 4 metros, pero como el muro era humedo y resbaladizo, cada noche resbalaba 3metros hacia abajo. ¿Cuantos dıas necesito el caracol para llegar a lo alto del muro?

Problema 13. Una rana esta en el fondo de un pozo de 20 pies de profundidad, cada dıa escala 4 pies pero cadanoche resbala 3 pies. ¿Despues de cuantos dıas alcanzara la rana la boca del pozo?.

Problema 14. Un autobus de 80 plazas iba completo, cuando en un pueblo bajaron 12 personas y entraron la cuartaparte de las mismas ¿Cuantos pasajeros haya hora?

Problema 15. Un tiburon joven tiene 26 dientes. Al viejo le quedan solo 8 dientes. ¿Cuantos dientes tienen entre losdos? El hotel de los lıos. Un hotel tiene infinitas puertas numeradas ası: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. . . Todasellas estan abiertas. Pero llega alguien y, comenzando desde el principio, las cierra ordenadamentede 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazana se va a dormir. Pero otro viene despues que

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decide cambiar la posicion de las puertas de 3 en 3; empieza tambien por el principio y, yendo de3 en 3, la que esta abierta la cierra y la que esta cerrada la abre. Divertido tambien por lo que hahecho se va a dormir. Sin embargo, otro viene despues y comenzando tambien desde el principio, vacambiando la posicion de las puertas de 4 en 4; de manera que la que esta abierta la cierra y la queesta cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que altera la posicion de las puertas de 5 en 5; abrelas cerradas y cierra las abiertas. Y luego otro que hace lo propio pero de 6 en 6. Y luego otro de7 en 7. Y ası hasta el infinito porque en el hotel habıa infinitos bromistas. Tu, que eres el conserjedel hotel, estas durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos lıos. ¿Que puertas creesque estaran abiertas y que puertas estaran cerradas cuando te despiertes por la manana?

Problema 16. Sea d(n) el numero de divisores de n. Probar que d(n) es impar si y solo si n es cuadrado.

Problema 17. ¿Que numeros tienen un numero impar de factores?Justifica tu respuesta.

Problema 18. Unos granjeros almacenaron heno para 57 dıas, pero, como el heno era de mejor calidad de lo quepensaban, ahorraron 113 kg por dıa, con lo que tuvieron heno para 73 dıas. ¿Cuantos kilos de henoalmacenaron?

Problema 19. Unas personas pensaban realizar un viaje de 5000 km. En su presupuesto habıan incluido ciertacantidad de dinero para gastarse en gasolina. Sin embargo, una oportuna bajada del precio de lagasolina les permitio ahorrar $0,04 por kilometro, con lo cual pudieron recorrer 250 km mas. ¿Acuanto ascendıa su presupuesto para gasolina?

Problema 20. Un dıa el padre de Andres se da cuenta de que el cuenta kilometros marca 4320 km. ¿Cuantoskilometros le faltan para hacer la revision del coche que es a los 5000 km?

Problema 21. El Sr. Sanchez desea hacer una valla alrededor de su piscina. El metro de valla vale $9,5.

Problema 22. El triciclo de Manolın tiene ruedas de diferente diametro: La delantera avanza 200 cm por vuelta, entanto que las traseras avanzan 150 cm por vuelta. ¿Cual es la mınima distancia que debe recorrer eltriciclo, para que cada rueda de un numero exacto de vueltas?.

Problema 23. Tres personas trabajan como conductores de autobuses en tres rutas que parten del mismo punto ycuyos recorridos completos se llevan 35, 60 y 70 minutos, respectivamente. Los tres salen a las 6 de la

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manana y deciden que almorzaran juntos cuando coincidan de nuevo en el mismo punto de partida.¿A que hora sera el almuerzo?.

1.4.7. Enfoque basado en la resolucion de problemas.

¿Que se entiende por problema?, ¿que es un problema abierto? Tradicionalmente los textos de ma-tematica han incluido ejercicios al final de cada unidad, para que los alumnos consoliden sus aprendizajes pormedio de la practica repetitiva y el encadenamiento de algunos comportamientos. En adicion a los ejercicios,algunos textos incluyen problemas de aplicacion, es decir, enunciados verbales referidos a situaciones vinculadasde manera casi directa a los procedimientos ejercitados. Tales problemas no ponen a los alumnos en una situacionque derive en la construccion de un conocimiento nuevo para ellos, sino que los expone a una situacion en la cualhan de integrar los conceptos asociados a los procedimientos recien ejercitados.

En el enfoque de ensenanza, donde el procedimiento que da origen a la ejercitacion (algoritmo de la multiplica-cion, por ejemplo) deriva de la comprension del concepto asociado (producto, por ejemplo como grupo de objetosque se repite cierta cantidad), el problema de aplicacion es solo un ejercicio.

La palabra problema proviene significa,lanzar adelante. Un problema es un obstaculo arrojado ante la in-teligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestion que reclama ser aclarada. Todosvivimos resolviendo problemas: desde el mas basico de asegurar la cotidiana subsistencia, comun a todos los seresvivos, hasta los mas complejos desafıos planteados por la ciencia y la tecnologıa. La importancia de la actividadde resolucion de problemas es evidente; en definitiva, todo el progreso cientıfico y tecnologico, el bienestar y hastala supervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad. No es de extranar por lo tanto que la mis-ma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atencion de psicologos, ingenieros,matematicos, especialistas en inteligencia artificial y cientıficos de todas las disciplinas. En el campo educativose ha reconocido ampliamente su importancia. y en muchas Universidades el desarrollo de la creatividad y de lahabilidad para resolver problemas es una parte integral del curriculum.

La resolucion de problemas resulta ser una de las problematicas que en estos ultimos tiempos esta siendoabordada con gran interes y preocupacion por la investigacion educativa. Para Gaulin (2001) hablar de problemasimplica considerar aquellas situaciones que demandan reflexion, busqueda, investigacion y donde para responderhay que pensar en las soluciones y definir una estrategia de resolucion que no conduce, precisamente, a una res-puesta rapida e inmediata.

La aparicion del enfoque de resolucion de problemas como preocupacion didactica surge como consecuenciade considerar el aprendizaje como una construccion social que incluye conjeturas, pruebas y refutaciones con baseen un proceso creativo y generativo. La ensenanza desde esta perspectiva pretende poner el acento en actividadesque plantean situaciones problematicas cuya resolucion requiere analizar, descubrir, elaborar hipotesis, confrontar,reflexionar, argumentar y comunicar ideas.

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Surge ası como necesaria la disposicion en los alumnos de los conocimientos declarativos y procedimenta-les requeridos como indispensables para resolver el problema que se le ha planteado. Esto senala la busquedaconsciente de un modelo que potencie el desarrollo de un alumno independiente, que en interaccion con el cono-cimiento y el mundo que lo rodea aprende y organiza su saber como parte de su construccion personal y profesional.

Por su parte, para Parra (1990) un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que seplantea el mismo) dispone de los elementos para comprender la situacion que el problema describe y no disponede un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata.

Intencion presente en la acepcion establecida por Polya (1965) para quien un problema significa buscar deforma conciente una accion apropiada para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable en formainmediata. Es en esta busqueda en la que subyace una idea derivada de los aportes de Newell y Simon (1972) quepone en evidencia en el marco de la psicologıa cognoscitiva que un problema puede pensarse como una discrepanciaentre un estado inicial y un estado final que constituye la meta a alcanzar.

En el siguiente problema, ¿cual es el conocimiento matematico que permite resolverlo? ¿Que significado intui-tivo permite construir sobre dicho conocimiento?Inventa otros problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento en cues-tion.

Nuestro principal objetivo en esta obra es ayudar al lector a desarrollar su habilidad para resolver problemas.Es bueno dejar claro desde el principio que el desarrollo de esta habilidad es el resultado del trabajo personal, dela practica adquirida resolviendo problemas y de la reflexion sobre esa practica. No es posible convertirse en unsolucionista experto mediante la mera lectura pasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirseen un buen nadador o pianista simplemente leyendo. Sin embargo el conocimiento de las tecnicas apropiadas yde los errores tıpicos que es preciso evitar puede ser tan util para el solucionista como lo es para el nadador o elpianista.

En este documento nos concentraremos en las tecnicas y estrategias especıficas que han demostrado ser masuttiles para la resolucion de problemas matematicos. Sin embargo haremos a continuacion una breve resena dealgunos de los metodos mas generales, remitiendo al lector interesado a la bibliografıa correspondiente.

1. Invertir el problema: Cada concepto tiene uno contrario y la oposicion entre ellos genera una tension favora-ble al hecho creativo. Esta idea, que tiene profundas raıces tanto en la filosofıa oriental como en la occidental,se refleja en la sabidurıa popular en aforismos tales como: “Para saber mandar hay que aprender a obedecer”o “Para ser un buen orador hay que saber escuchar”. Como ejemplo de esta tecnica supongamos que deseamosdisenar un zapato que sea muy comodo. El problema inverso serıa disenar un zapato incomodo. Pero el anali-sis de este problema nos llevara seguramente a descubrir los factores que causan incomodidad, y al evitarlos

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habremos dado un buen paso hacia la solucion del problema original.

2. Pensamiento lateral: Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso aparentemente absurdas para re-solver un problema. En otras palabras: evitar los caminos trillados, intentar lo que nadie ha intentado, ensayarpercepciones y puntos de vista diferentes.

3. Principio de discontinuidad:La rutina suprime los estımulos necesarios para el acto creativo, por lo tanto siexperimenta un bloqueo temporal de su capacidad creadora interrumpa su programa cotidiano de actividadesy haga algo diferente a lo acostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios que no conoce, ensaye una nueva recetade cocina, escuche musica diferente a la que escucha habitualmente, lea un libro que no tenıa pensado leer,asista a algun tipo de espectaculo diferente a sus favoritos.

4. Imitacion: La mayor parte de los grandes artistas comienzan imitando a sus maestros. Mas aun se ha llegado aafirmar, en parte en broma y en parte en serio, que “la originalidad no es otra cosa que un plagio no detectado”.En cualquier caso es claro que la imitacion puede ser un primer paso valido hacia la originalidad. En particularobserve y no vacile en imitar las tecnicas de resolucion de problemas empleadas con exito por sus companeros,maestros o colegas.

5. Tormenta de cerebros (Brainstorming): Es una tecnica desarrollada en el mundo de la publicidad, en elcual el exito depende de la generacion de nuevas y brillantes ideas. Para ello se reune un grupo de personasy se les invita a expresar todas las ideas que se les ocurran en relacion a un problema o tema planteado, sinimportar lo estrafalarias o ridıculas que parezcan. La evaluacion y la crıtica se posponen, esperando crear unclima estimulante que favorezca el surgimiento de algunas ideas realmente utiles. La utilidad de esta tecnica esdudosa fuera de ciertos campos o situaciones muy especıficas.

6. Mapas mentales:Es una tecnica desarrollada por Tony Buzan que trata de representar en forma grafica elcaracter asociativo de la mente humana. Se comienza con la idea principal ubicada en el centro de la hoja yalrededor de ella se van colocando las ideas asociadas y sus respectivos vınculos. Utilizando diversos coloresy sımbolos esta tecnica puede llegar a ser muy util para organizar las ideas que van surgiendo en torno a unproblema.

Problema 1. Se deben colocar los numeros 3,4,5,6,7,8,9,10,11 en el cuadro de 3x3, a manera que los numeroscolocados en forma horizontal, vertical y diagonal sumen 21.

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Problema 2. Un hombre debe llevar un mensaje a traves del desierto.Cruzar el desierto lleva nueve dıas. Un hombrepuede llevar unicamente alimento para 12 dıas. No hay alimento en el lugar donde debe dejarse elmensaje. Se dispone de dos hombres. ¿Puede llevarse el mensaje y volver sin que falte alimento?.

Problema 3. ¿Que contenidos matematicos serıan utiles para resolver los siguientes tipos de problemas:

Construir a escala la maqueta de un edificio.

Determinar en forma aproximada la altura de una torre, desde el suelo.

Calcular el numero de lentejas en un paquete de kilo, sin contarlas todas

Problema 4. (Usando corcholatas). Cada una de las siguientes figuras ha sido formada usando corcholatas y secontinuan construyendo figuras siguiendo el mismo patron.

Figura 10: Modelo de Corcholatas

Se pide completar la siguiente tabla:

Numero de figuras 1 2 3 4 5 6 10 20 50 100 ... n

Cantidad de Corcholatas ...Determinar si alguna figura se puede formar exactamente con 500 corcholatas, sino es posible ¿cuantashacen falta?

Problema 5. (Camino hexagonal). Cada una de las siguientes figuras explican los pasos de construccion que Pedrodebe seguir para terminar el camino. El diseno consta de un azulejo hexagonal que va en el centroy ladrillos (cuadrados), ademas los puntos son marcas que Pedro hace para llevar el control de laconstruccion.

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Figura 11: Camino Hexagonal

Juan continua con el mismo patron y desea determinar cuantas piezas (azulejo y ladrillos) necesitaen cada etapa. Se pide completar la siguiente tabla:

Numero de figuras 1 2 3 4 5 6 10 20 50 100 ... n

Cantidad de Ladrillos ...

Cantidad de Piezas ...

Cantidad de Puntos ...

Problema 6. (Modelo de Palillos) Cada una de las siguientes figuras ha sido formada usando palillos y se continuanconstruyendo figuras siguiendo el mismo patron.

Figura 12: Modelo de Palillos

Se pide completar la siguiente tabla:Numero de figuras 1 2 3 4 5 6 10 20 50 100 ... n

Cantidad de Palillos ...

Problema 7. Considerando cada uno de los patrones A, B y C.Completar la siguiente tabla indicando la cantidad de ladrillos en cada figura.Numero de figuras 1 2 3 4 5 6 10 20 50 100 ... n

Patron A ...

Patron B ...

Patron C ...

Problema 8. . Un arbol de Navidad tienen luces rojas que se encienden cada 15 segundos,luces amarillas quese encienden cada 10 segundos y luces azules que se encienden cada 18 segundos. ¿Cada cuantossegundos se encienden los tres colores juntos?¿Cuantas veces se encienden en el lapso de una hora?.

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Figura 13: Modelo de Ladrillos

Problema 9. Un centro educativo organiza sus intramuros,en total hay 2322 ninos y 654 ninas que parciparan.Sicada equipo debe tener la misma cantidad de ninas y la misma cantidad de ninos,1. ¿Cuales el menor numero de equipos que se pueden formar?2. ¿Cuantas ninas y cuantos ninos estaran en cada equipo?

Problema 10. Al realizar la division entre dos numeros enteros se obtiene como cociente 8 y residuo 3. Encontrardichos numeros si el producto de ambos es 121401.

Problema 11. Repartir cien camisas entre cinco mujeres, de modo que las porciones que reciban esten en progresionaritmetica y que la septima parte de la suma de las tres mayores sea igual a la suma de las dosporciones menores.

Problema 12. ¿Que cantidad de aceite habıa originalmente en cada recipiente? Si tenemos tres barriles de aceite.Si se vierte 1

3 del contenido del primer recipiente en el segundo, y a continuacion 14 del contenido

del segundo en el tercero, y por ultimo 110 del contenido del tercero en el primero, entonces cada

recipiente queda con 9 litros de aceite.

Problema 13. Si tenemos enteros no negativos en cada casilla de un tablero de m x m, de modo que la suma de losnumeros en cada fila y cada columna sea igual a 3 y en cada fila y en cada columna solo haya uno odos numeros diferentes de cero. Calcular la cantidad de formas de escribir dichos numeros.

Problema 14. Una joven parte al amanecer de Santa Ana hacia San Miguel. Simultaneamente otra joven parte deSan Miguel hacia Santa Ana. Cada una de ellas camina a velocidad constante. Al mediodıa ambasse cruzan. La primera llega a su destino a las 4 pm, mientras que la segunda lo hace a las 9 pm. ¿Aque hora amanecio ese dıa?

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Problema 15. En el mes de enero de cierto ano hubo exactamente cuatro lunes y cuatro viernes. ¿Que dıa de lasemana fue el 19 de enero?

1.4.8. Enfoque en el modelado. La aplicabilidad de la matematica.

La aplicabilidad de la matematica a la realidad es un misterio difıcil de explicar. El matematico observa elmundo real, lo que incluye su propio mundo mental y el universo exterior en toda su complejidad. Encuentra en elunos cuantos elementos que le parecen mas comprensibles, mas simples, mas facilmente manejables por su mente,por su espıritu. Comienza a jugar mentalmente con estos elementos. Explora sus relaciones mutuas, introduceestructuras mas complicadas que parecen capaces de resumir, simplificar su juego.

Se deja llevar, al hacerlo, por el sentido estetico y ludico de su espıritu y por su afan de una vision simple,unitaria, intuitiva de las estructuras. Construye un nuevo mundo a su medida, aunque no enteramente a su antojo,pues se atiene a una cierta realidad externa inicial y a una coherencia mental interna.

El juego se convierte en una teorıa matematica. Se complica, se persigue por si misma, pasa a ser un complejomundo de la mente, con muchos mas elementos anadidos espontaneamente por el matematico que los que provie-nen directamente de la realidad externa.

Y sin embargo, de modo insospechado, resulta que el mundo real parece adaptarse perfectamente a nuestromundo matematico, de modo que este es capaz de explicar de modo muy satisfactorio estructuras muy complejasde la realidad externa, fısica, quımica, biologica, economica, sociologica.

Aplicaciones de Teorıa de Conjuntos

Problema 1. Teorıa de conjunto En una encuesta a 170 comerciantes que laboran en un mercado del centro deLima se tiene: 30 son sordos y venden libros 32 que oyen musica, venden libros 75 que venden libros,no oyen musica 55 son sordos 60 oyen musica ¿Cuantos de los que no oyen musica, no venden libros,ni son sordos?

Problema 2. De 120alumnos que rindieron una prueba que contiene los cursos A, B y C se sabe que: Se anulo 10prue-bas y el resto aprobo por lo menos un curso Los que aprobaron A, desaprobaron B y C Hay 20 alumnosque aprobaron B y C ¿Cuantos aprobaron un solo curso?

Problema 3. Se hizo una encuesta entre 170 personas para ver la preferencia entre partidos polıticos: .A Y B decentro, C de derecha y D de izquierda con los siguientes resultados: 10 no simpatizan con partidoalguno, 32 solo con D, 22 solo con A, 20 solo con B y 20 solo con C; 20 con A y D pero no con B; 6solo con B y C; 4 solo con A y C; 24 con B y D Y 28 con A y B. Si ninguno que simpatiza con laderecha simpatiza con la izquierda. ¿Cuantos simpatizan con A, By D?

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Problema 4. 300 alumnos rindieron examenes de Aritmetica, Algebra o Geometrıa con el siguiente resultado:10 % desaprobaron los 3 cursos; de los que aprobaron al menos uno de los 3 examenes, el 60 %no desaprobaron al menos 2 examenes. Con respecto a los que aprobaron exactamente un examen.¿Que tanto por ciento representa los que aprobaron los 3 examenes si estos son el 20 % de los queaprobaron exactamente 2 examenes?

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Sirve para calcular alturas de edificios teniendo referencias de otros elementos que si que nos es facil medir,como por ejemplo un arbol y ayudandonos en los rayos del sol, las proyecciones de sobra.

Escribimos la proporcion:6

5=

270

h

(Siendo h la altura del edificio) Y resolvemos la proporcion:6x = 270 ∗ 5x = 270∗5

6

Aplicaciones del teorema de pitagoras

1. Una escalera se encuentra recargada sobre una pared, formando con el piso un angulo de 75◦. Calcular lalongitud de la escalera, si la distancia al pie de la escalera es de 2 m.

2. La pendiente de un tramo de la carretera es de 8◦32◦ ¿Que distancia recorre un automovil cuando sube 120metros?

3. Una persona se encuentra en la parte mas alta de un edificio de 24 metros de altura, observa un autoestacionado, mide el angulo de depresion al auto y obtiene 40◦. Calcula la distancia del pie del edificio alauto.

4. Rosa Nautica o Rosa de los Vientos: Tambien conocida como rosa de la aguja, fue antes de la genera-lizacion de las brujulas magneticas, una excelente referencia en las cartas marinas en la que se mostraba ladireccion de los ocho vientos principales. Las mas antiguas rosas de los vientos de las que se tiene noticias

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Figura 14: Solucion

Figura 15: Solucion

Figura 16: Solucion

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son las que aparecen en las cartas de navegacion del siglo XIII manejadas por los navegantes espanoles e ita-lianos. En ellas, los ocho puntos cardinales aparecıan marcados con las iniciales de los principales vientos, sibien en ocasiones -como puede observarse en la rosa que aparece en la imagen el punto cardinal Este aparecıasenalado con una cruz, en tanto que el Norte lo hacıa con una flor de lis. A partir de la expansion del usode la brujula, la rosa de los vientos paso a convertirse en una herramienta auxiliar de aquella. [EnciclopediaEncarta, Madrid,2004).

Figura 17: Rosa Nautica

Estrategias de Resolucion1) Lea e interprete adecuadamente el enunciado del problema.2) Elabore un grafico indicando en el los datos reconocidos del enunciado.3) Centralice su trabajo en triangulos rectangulos.4) Resuelva dichos triangulos rectangulos

Problema 1. Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia delpunto mas alto del edificio al extremo de la sombra.

Problema 2. Desde un punto a nivel del suelo un observador divisa una estatua con su pedestal de 5 m y 4m respectivamente. El angulo de elevacion de la cabeza de la estatua es el doble del angulo a laparte superior del pedestal o pie de la estatua. ¿Cual es el valor de la tangente del mayor angulo deelevacion? A)1/2B) 3/4C) 2/3D) 1/5E) 5/6

Problema 3. Una persona sube una cuesta y cuando llega a la cuspide, se da cuenta que la altura a la cual seencuentra es la mitad del camino recorrido. Calcular el angulo de elevacion con el cual se observa ala cuspide, desde la base de la cuesta.

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Problema 4. Si desean bajar frutos de un arbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que seacapaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del arbol ala base de la escalera.

Problema 5. Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo alporche. El porche esta a 3 pies sobre el suelo, y debido a regulaciones de construccion, la rampa debeempezar a 12 pies de distancia con respecto al porche. ¿Que tan larga debe ser la rampa?

Problema 6. Desde un avion que vuela horizontalmente y en lınea recta, a una altura ((h)) km, es ubicado en tierraun punto bajo un angulo de depresion El: Luego de ((l)) horas, este punto es visto nuevamente conun angulo de depresion igual al complemento del anterior. Siel avion no ha pasado por encima delpunto

Problema 7. Los lados de un triangulo rectangulo estan representados por tres numeros en progresion aritmetica.Calcular el coseno del menor angulo agudo.

Figura 18:

Problema 8. Una persona que camina por la playa observa la cresta de un acantilado con un angulo de elevacionde 48◦, caminando 150 m, alejandose del acantilado, lo observa con un angulo de 27◦. Calcule laaltura del acantilado

Problema 9. Desde la parte superior de un faro a 80 m por encima del horizonte los angulos de depresion de dosrocas que estan directamente al Oeste del observador son de 75◦ y 15◦. Hallese la distancia que lassepara

item Desde la azotea de una casa de 9 m de altura, el angulo de elevacion del remate de un monumentoes de 42◦ y el angulo de depresion de su base es de 17◦. Calcule la altura del monumento

Problema 10. Se va a cavar un hoyo cuya seccion en su parte superior mida 4.5 m y en el fondo 2.7 m, y que tengauna profundidad de 2.4 m; si un lado debe estar inclinado 12◦ respecto a la vertical, ¿cual debe serla inclinacion del otro lado?

Problema 11. Un avion pasa a 6,000 m de altura, en vuelo horizontal, sobre una estacion de radar; 10 segundosdespues, es observado desde el radar con un angulo de elevacion de 49◦. Halle la distancia querecorrio en los 10 s.

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Aplicaciones del triangulos oblicuangulos

Ejemplo 1. Hallar el area del siguiente triangulo: a=3m; b=3m; c=3m

Solucion:Como las medidas de los lados son iguales, entonces es un triangulo equilatero donde la medida de sustres angulos son iguales; es decir 60o. Entonces la formula queda de la siguiente manera:

A = 3∗3∗Sen60o2

A = 3,89m2

El area del triangulo es 3,89m2

Ejemplo 2. Altura de una montana:

Para medir la altura de una montana, un topografo realiza dos observaciones de la cima con una dis-tancia de 900 metros entre ellas, en lınea recta con la montana. El resultado de la primera observaciones un angulo de elevacion de 47o, mientras que la segunda da un angulo de elevacion de 35o. Si elteodolito esta a 2 metros de altura, ¿Cual es la altura h de la montana?

Solucion:

La figura 25b) muestra los triangulos que replican la ilustracion de la figura 25a).Como γ+47o = 180o, se encuentra que γ = 133o, Ademas, como α+γ+35o = 180o, se encuentra que

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α = 180o−35−γ = 145o−133o = 12o.

Se usa la ley de los senos para encontrar c.

Senαa = Senγ

c

c = a∗SenγSenα

c ≈ 3165,86

Usando el triangulo rectangulo mas grande, se tiene

sen35o = bc

b = c ∗ Sen35o

b ≈ 1815,86

La altura de la cima de la montana desde el nivel del suelo ( incluyendo los 2 metros de altura delteodolito)es 1815,86+2 = 1817,86

Ası que aproximadamente la altura de la montana es 1818 metros.

Ejemplo 3. Rescate en el mar:

La estacion de guardacostas Zulu esta a 120 millas al Oeste de la estacion X ray. Un barco en el marenvıa una llamada de auxilio que reciben las dos estaciones. La llamada a la estacion Zulu indica quela direccion al barco desde Zulu es 40o al Este del Norte. La llamada a la estacion X ray indica que ladireccion al barco desde X-ray es 30o al Oeste del Norte.

¿A que distancia esta cada estacion del barco?

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Solucion:

En la figura se ilustra la situacion. El angulo γ esγ = 180o−50o−60o = 70o

Ahora se utiliza la ley de los senos para encontrar las dos distancias a y b que son las que se buscan.

Sen50o

a = Sen70o

120

a = 120∗Sen50oSen70o

a ≈ 97,82

Sen60o

b = Sen70o

120

b = 120∗Sen60oSen70o

b ≈ 110,59La estacion Zulu esta a una distancia de 111 millas del barco aproximadamente; la estacion X rayesta a casi 98 millas del barco.

Ejemplo 4. Altura de arbol y ancho de rıo: Desde la orilla de un rıo se observa la copa de un arbol, situadoen la otra orilla, bajo un angulo de 60o. Si se aleja 8 m de la orilla, el angulo de observacion es de 45o.Calcular la altura del arbol y la anchura del rıo.

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Solucion:

Tan45o = hx+8 Ahora despejando h

h = Tan45o(x+ 8) *

Tan60o = hx Igualmente despejando h

h = xTan60o **Ahora igualando * y **

Tan45o(x+ 8) = xTan60o

xTan45o + 8Tan45o = xTan60o

8Tan45o = xTan60o − xTan45o

8Tan45o = x(Tan60o − Tan45o)8Tan45o

Tan60o−Tan45o = xx ≈ 10,93Ahora se sustituye este valor en ** para encontrar hh = 10,93tan60o

h ≈ 18,93

El ancho del rıo es 10.93 m aproximadamente y la altura del arbol es 18.93 m aproximadamen-te.

Problema 1. En los siguientes ejercicios resolver cada uno de los triangulos con los datos conocidos.

a) a=56cm; c=30cm; A=42o

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b) c=40cm; a=30cm; B=30o

c) a=7m; b=6m; c=4m

d) A=48o; C=58o; b=47.38m

e) b=15cm; a=10cm; B=42o

Problema 2. Encontrar el area de los triangulos siguientes con los datos conocidos.

a) a=62.5m; A=112o; C=42o

b) C=53o; a=140cm; c=115cm

c) c=25cm; A=35o; B=68o

d) b=321m; A=75o; C=80o

e) a=62.5cm; b=51.5cm; C=40o

Problema 3. Determine si la informacion dada tiene como resultado un triangulo o no.

a) a = 3; b = 2; a = 50o

b) b = 4; c = 3; b = 40o

c) b = 5; c = 3; b = 100o

d) a = 2; c = 1; a = 120o

e) a = 4; b = 5; a = 60o

Problema 4. Altura de un avion. Dos observadores que estan separados por 1000 pies detectan un avion. Cuan-do el avion pasa sobre la lınea que los une, cada uno hace una observacion del angulo de elevacional avion, como se indica en la figura. ¿A que altura va el avion?

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Problema 5. Inclinacion de la torre de Pisa. La famosa torre inclinada de Pisa tenıa originalmente 184.5 piesde altura. A un distancia de 123 pies de la base de la torre, el angulo de elevacion a la punta dela torre es de 60o. Encuentre el angulo CAB indicado en la figura. Ademas, encuentre la distanciaperpendicular de C a AB.

Problema 6. Navegacion. Un avion vuela de la ciudad A a la ciudad B, una distancia de 150 millas, y luego viraun angulo de 40o para ir hacia C, como se muestra en la figura.a) Si la distancia entre las ciudades A y C es de 300 millas, ¿cual es la distancia entre las ciudadesB y C?b) ¿Que angulo debe dar el piloto para regresar de la ciudad C a la ciudad A?

Problema 7. Distancia entre dos ciudades. Una carretera recta de 180km de longitud une las ciudades A yB. Otra carretera recta de 260km une las ciudades B y C. Si las dos carreteras forman un angulo de132.5o, hallar la distancia entre las ciudades A y C. (Hacer el dibujo)

Problema 8. Distancia en el mar. El navegante de un barco en el mar detecta dos faros en una costa recta,sabiendo que hay 3 millas entre ellos y los angulos formados entre las dos lıneas de observacionde los faros y la lınea del barco directamente a la costa son de 15o y 35o respectivamente (Vea lailustracion).

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a) ¿Cual es la distancia del barco al faro A?

b) ¿Cual es la distancia del barco al faro B?

c) ¿Cual es la distancia del barco a la costa?

Problema 9. Desde un punto se observan unos chopos con un angulo de 36◦, si avanzamos hacia ellos en lınearecta y los volvemos a observar el angulo es de 50◦. ¿Que altura tienen los chopos?.

Problema 10. Tres puntos A, B y C estan unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., laBC es 9 Km. y el angulo que forman AB y BC es de 120◦. ¿Cuanto distan A y C?.

Problema 11. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y elangulo opuesto al primer lado debe ser 40◦. ¿Lo conseguira?.

Problema 12. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un angulo de 38◦ ycada uno va por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a que distanciase encuentran al cabo de media hora?.

Problema 13. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un rıo y separados entre si 12 m., se observan el pieP y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que losangulos miden PAB = 42◦, PBA = 37◦ y PAC = 50◦

Aplicaciones de la Parabola El puente Golden Gate:Este enmarca la entrada a la bahıa de San Fran-cisco. Sus torres de 746 pies de altura estan separadas por una distancia de 4200 pies. El puente esta suspendidode dos enormes cables que miden 3 pies de diametro: el ancho de la calzada es de 90 pies y esta se encuentraaproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parabola y tocan la calzada en el centrodel puente. Determinar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

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Figura 19: Golden Gate

Solucion: que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente. Como resultado deesto, las torres gemelas quedaran a 746 − 220 = 526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 4200

2 = 2100 pies delcentro.Los cables de forma parabolica se extenderan desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendran su vertice en (0,0)como se ilustra en la figura. La manera en que seleccionamos la colocacion de los ejes nos permite identificar laecuacion de una parabola como:y = ax2, a > 0Observese que los puntos (−2100, 526) y (2100, 526) estan en la grafica parabolica.Con base en estos datos podemosencontrar el valor de a en y = ax2.y = ax2

526 = a(2100)2

a = 526(2100)2

Ası, la ecuacion de la parabola es:y = 526

(2100)2x2

La altura del cable cuando x = 1000 es;y = 526

(2100)2(1000)2 u 119,3 pies.

Por tanto, el cable mide 119,3 pies de altura cuando se esta a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Problema 1. Puente colgante:Los cables de un puente colgante tienen la forma de una parabola. Las torres quesostienen el cableado estan a 400 pies una de la otra y tienen 100 pies de altura. Si los cables estan a10 pies de altura a la mitad de la distancia entre las torres, ¿cual es la altura del cable en un puntoa 50 pies del centro del puente?

Problema 2. Reflector: Un reflector tiene la forma de un paraboloide de revolucion. Si la fuente de luz se colocaa lo largo del eje de simetrıa, a 2 pies de la base, y la fuente de luz esta a 4 pies de profundidad,¿cual debe ser el diametro de borde?

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Figura 20: Ecuaciones de la Parabola

Problema 3. Calor solar: Se utilizara un espejo con forma de paraboloide de revolucion para concentrar los rayosdel sol en su foco, creando una fuente de calor (vea la figura).Si el espejo tiene 20 pies de diametro en su extremo y 6 pies de profundidad, ¿en donde se concen-trara la fuente de calor?

Figura 21: Esquema del reflector

Aplicaciones de la Elipse Las elipses se encuentran en muchas aplicaciones de las ciencias e ingenierıas. Porejemplo, las orbitas de los planetas alrededor del Sol son elıpticas, con la posicion del Sol como foco.En la figura se muestran las especificaciones de un techo elıptico para un salon disenado como galerıa de susurros.

Figura 22: Orbitas del planeta

En una galerıa susurrante, una persona que esta en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por otra

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persona colocada en el otro foco, porque todas las ondas sonoras que llegan al techo procedentes de un foco sereflejan hacia el otro foco. ¿En donde estan los focos del salon?Solucion: Se determina un sistema de coordenadas rectangulares tal que el centro de la elipse quede en el origen

Figura 23: Aplicaciones de la Elipse

y el eje mayor a lo largo del eje x.Vea la figura . La ecuacion de la elipse es:

x2

a2+ y2

b2= 1

donde a = 25 y b= 20, Entonces, como:c2 = a2 − b2 = 252 − 202 = 625− 400 = 225

se tiene c = 15. Los focos se localizan a 15 pies del centro de la elipse, a lo largo del eje mayor.

Figura 24: Ecuaciones de la Elıpse

1. Puente con arco semielıptico: Se va a utilizar un arco con la forma de la parte superior de una elipsepara sostener un puente que va a atravesar un rıo con 20 metros de ancho. El centro del arco esta a 6 metrossobre el centro del rıo (vea la figura). Escriba la ecuacion de la elipse en la que el eje x coincide con el niveldel agua y el eje y pasa por el centro del arco.

2. Galerıa de susurros: En una galerıa de susurros, Raul se encuentra en uno de los focos y esta a 6 piesdel muro mas cercano. Su amigo esta en el otro foco, a 100 pies de distancia. ¿Cual es la longitud de estagalerıa de susurros? ¿Que altura tiene su techo elıptico en el centro?

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Figura 25: Puente en forma semi-eliptica

3. El perihelio de Pluton es de 4551 millones de millas y la distancia del Sol al centro de su orbita elıptica esde 897.5 millones de millas. Encuentre el afelio de Pluton. ¿Cual es la distancia media de Pluton al Sol?Escriba una ecuacion para la orbita de Pluton alrededor del Sol.

4. Pista de carreras: Una pista de carreras tiene la forma de una elipse, con 100 pies de largo y 50 de ancho.¿Cual es su anchura a 10 pies del vertice?

5. Pista de carreras: Una pista de carreras tiene la forma de una elipse con 80 pies de largo y 40 de ancho.¿Cual es su anchura a 10 pies del vertice?

Figura 26: Periferio de Pluton

1.4.9. Corriente socio- culturalista. Posicion de Vygotsky. Enfoque socio-constructivista.

Sierpinska y Lerman (1996) incluyen en su revision de las epistemologıas de (y para) la educacion matematicauna sıntesis de las visiones socio-culturales aplicadas a nuestro campo de investigacion. De acuerdo con estosautores, la etiqueta ’socio-cultural’ se usa para denotar epistemologıas que ven al individuo como situado den-tro de culturas y situaciones sociales de tal modo que no tiene sentido hablar del individuo o de conocimiento amenos que sea visto a traves del contexto o de la actividad. Conocimiento es conocimiento cultural considerado co-mo socialmente producido, siempre potencialmente cambiable, trabado con valores sociales y regulado socialmente.

Una caracterıstica de las tendencias cambiantes en la investigacion en educacion matematica durante los anosrecientes ha sido el interes creciente y la focalizacion sobre el contexto social de la clase de matematicas. El papeljugado por el contexto social en el desarrollo de los individuos o de los grupos ha sido teorizado implıcita o explıci-tamente, de muchas maneras; lo que caracteriza los intereses actuales es un desplazamiento desde la identificacionde factores sociales sobre el dominio de lo afectivo a una preocupacion con la parte que el entorno social y cultural

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juega como un todo en el desarrollo del nino.

Lave (1988) desarrollo la nocion de conocimiento-en-accion en contraste a una perspectiva cognitiva, y loca-lizo las matematicas en diversos contextos en los que actuan las personas. Sus estudios han sido en su mayorparte sobre las practicas matematicas en situaciones de la vida diaria y de los lugares de trabajo. En sus pocoscomentarios sobre las matematicas escolares enfatizo su orientacion hacia tecnicas y destrezas generalizables quese suponen son aplicables a la vida diaria y fue, naturalmente, crıtica en esa aproximacion.

Vygotsky y sus seguidores, por el contrario, estuvieron interesados centralmente con el aprendizaje (y la en-senanza). De hecho, Vygotsky no trata con cuestiones sobre la naturaleza de las matematicas o cualquier otraforma de conocimiento (excepto para la psicologıa, que intento redefinir y reestructurar como una ciencia ma-terialista). Vygotsky se intereso por la naturaleza de la conciencia y en particular con su desarrollo. Para el, lacomunicacion conduce la conciencia y, por tanto, el proceso de aprendizaje era integral para la comunicacion.Identifico dos tipos de pensamiento, pensamiento ordinario o espontaneo y pensamiento cientıfico o teorico. Esteultimo es el que pretende de modo consciente la ensenanza y aprendizaje mediante la apropiacion por el nino delconocimiento cultural. El primero es el que se logra de manera informal por medio de las interacciones del ninocon los companeros y los adultos.

Vygotsky (1978) identifico una region que llamo ’la zona de desarrollo proximo’, que era la diferencia entre loque un nino podıa hacer por sı mismo y lo que podıa hacer con la ayuda de un companero o un adulto experimen-tado. Este concepto fundamental establecio que todo el aprendizaje tiene lugar con otros, y que el aprendizajetira de cada persona, de modo que lo que ve hacer a otros hoy, lo hara con ellos manana y solo despues. Elaprendizaje conduce al desarrollo, una aproximacion que Vygotsky senalo en contraste directo con los escritos dePiaget para quien el desarrollo, en la forma de estadios de desarrollo del nino, conduce el aprendizaje. El procesode internalizacion era otra caracterıstica fundamental del pensamiento de Vygotsky. Para Vygotsky, ’el procesode internalizacion no es la transferencia de ’un plano de consciencia’ externo a otro interno preexistente; es elproceso en el que este plano se forma’ (Leontiev, 1981, p. 57). Por tanto hay una unificacion de la ensenanza y elaprendizaje en el nivel escolar.

La socioepistemologıa se presenta no solo como una vision ampliada de la epistemologıa que resalta la relati-vidad socioepistemica de los significados de los objetos matematicos (en concordancia con otras visiones sociocul-turales), sino una manera sistemica de afrontar el estudio de las interacciones entre esta vision de las matematicascon las dimensiones cognitiva e instruccional. Se plantea el examen del conocimiento matematico considerandolocomo social, historica y culturalmente situado, problematizandolo a la luz de las circunstancias de su construc-cion y difusion. Ademas de asumir como esencial la actividad humana resolviendo problemas como origen delas matematicas, considera necesario explicitar el componente sociocultural en la construccion del conocimientomatematico, el papel de las herramientas utilizadas y la diversidad de significados atribuibles a los objetos ma-tematicos.

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1.5. Rasgos y caracterısticas de la Matematica.

1.5.1. Razonamiento Matematico

No basta con que los estudiantes sepan restar o dividir para que sean capaces de resolver y utilizar la resta ola division como instrumentos adecuados para resolver un problema determinado.

Tampoco basta con que hagan muchos ejercicios y problemas tipos para creer que’ acrecientan conveniente-mente su capacidad para resolver problemas.

Las dificultades que uno encuentra a la hora de resolver un problema revisten muchos aspectos. A veces sonmuchas las variables en juego, no es facil enumerarlas todas y no es posible disenar una estrategia metodologicageneral y valida para todos los problemas.

Lo que pretendemos en este seccion es clasificar en cuanto sea posible aquellos problemas que requieren unproceso de razonamiento basico, que no vaya mas alla de calculos arimeticos que cualquier principiante domine,advirtiendo que en un inicio no le quedara claro el proceso mental posterior, aquel que permite intuir la soluciondel problema y no podemos dar una receta para lograr este proposito. En este capıtulo ejercitaremos una aptitudpara enfrentarlos y mejorar las tecnicas matematicas ya adquiridas por el estudiante.

1. PROBLEMAS DE SUMAR Y RESTARAquı conviene dominar la relacion ”partes-todo”, es decir, la accion reversible de agrupar, ası, descomponeres la clave para resolver las situaciones aditivo-sustractivos. Es necesario pues que la adicion y la sustraccionsean concebidas ambas como operaciones mentales que relacionan el todo y las partes.

Te recomiendo dominar estas ideas:a) Al todo le quito una parte para calcular lo que quedab) ¿Que tengo que anadir a una parte para conseguir el todo?e) ¿Cuanto mas hay en una parte que en la otra?

Ademas se pueden realizar esquemas apropiados para cada situacion, hasta que la operacion que resuelve elproblema sea evidente. clara y ”salte.a la vista.

2. PROBLEMAS DE MULTIPLICAR Y DIVIDIR:

Se necesita una cabal comprension del caracter inverso que presentan las acciones reunir partes iguales 2

repartir en partes iguales”para tener exito en el correcto empleo de una multiplicacion o division.

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Por ejemplo: Repartimos lapiceros en 60 cajas. Metemos 6 lapiceros en cada caja.¿Cuantos lapiceros se repartieron?.Algunos alumnos pueden plantear una division, aunque el resultado notenga ningun sentido logico ni mucho menos objetivo. Digo esto porque es ilogico repartir 60 cajas en 6lapiceros cuando lo correcto aquı es hacer una multiplicacion.

Las reacciones ante este tipo de preguntas suelen ser demasiado rapidas, lo que implica adiestramientosciegos en la resolucion de problemas. Cuando se lee en un problema las palabrasrepartir.o ”juntar”, el hechode plantear automaticamente una division-o multiplicacion respectivamente, puede ser incoherente.

En el fondo, se debe tener en claro dos grandes modelos de problemas:

a) Aquellos en lo que desconociendo .el todo”hay que hallarlo, utilizando lo conocido que son”las partes”.(En estos problemas generalmente hay que sumar y multiplicar)

Figura 27: Conociendo las partes

b) Aquellos en que conociendo .el todo”,se pregunta por algo que esta relacionado con ”las partes”(Paraestos problemas se debe restar y dividir)

3. PROBLEMAS COMBINADOSEntenderemos como combinados aquellos problemas que se componen de una asociacion de problemas ele-mentales o que requieren para su solucion plantear varias operaciones distintas.

Un problema combinado puede tener una-redaccion con muchos datos y una sola pregunta final. Estossuelen ser mas difıciles de resolver, sobre todo si el alumno esta falto de entrenamiento, por lo que se haceimprescindible practicar con esmero, recurriendo primero a una adecuada seleccion de problemas tipos comola que enseguida proponemos, y luego intentar con un grupo de problemas similares.

En este proceso debes tratar de hacerte con un monton de posibles modos de ataque del problema. Se trata de quefluyan de tu mente muchas ideas, aunque en principio puedan parecerte totalmente descabelladas. Las ideas maslocas pueden resultar despues ser las mejores. Para facilitar este flujo de ideas posibles aquı tienes unas cuantas

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Figura 28: Conociendo el todo

pautas que puedes ensayar.

Busca semejanzas con otros juegos y problemas. Nada hay nuevo bajo el sol. ¿A que te recuerda lasituacion? ¿No presientes que tal vez sea como aquella otra?

Empezar por lofacil hace facil lo difıcil. El problema es complicado tal vez porque hay muchos elementos.¿Porque no te lo haces mas facil tu mismo? Fabrıcate uno semejante, con menos piezas. Tal vez en el tesaltara la chispa que te sirva para resolver el mas complicado.

Experimenta y busca regularidades, pautas. La experiencia es la madre de la ciencia, tambien de lamatematica. Los grandes teoremas de la historia de la matematica son fruto de muchos experimentos, maso menos locos. Tambien la matematica procede por ensayo y error, otro ensayo y otro error. ...

Hazte un esquema y si se tercia ....,pintalo en colores. Somos muchos los que pensamos mejor conimagenes que con palabras. Una imagen vale mas que mil palabras. Si tu modo de pensar es ası, estas enbuena companıa. Einstein afirmaba que su pensamiento, cuando investigaba, no era nunca verbal, sino conimagenes sensoriales.

Modifica el problema, cambia en algo el enunciado, para ver si se te ocurre asi un posiblecamino. No sera ya el problema propuesto, pero te puede proporcionar una escalera a la que puedes anadirotra y ası llegar a tu objetivo.

Escoge una buena notacion. Muchos problemas resultan endiablados con una notacion inadecuada yse vuelven transparentes como el agua en cuanto tomas los ejes adecuados, los nombres apropiados de loselementos ....etc.

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Explota la simetrıa .....,si puedes.Son muchos losjuegos, los problemas que se resuelven mediante el apoyode la simetrıa que presentan de forma expresa o velada. Piensa en esta posibilidad en tu caso particular.

Supongamos que no ..... ¿a donde nos lleva? Este es el argumento que se llama indirecto o por reduccional absurdo. ¿Como marcha la cosa? Son muchos los problemas que se pueden manejar asi. Quieres demostrarque una situacion se comporta de la forma A. Empiezas suponiendo que no se comporta ası. Vas deduciendoy razonando correctamente y tu cadena de razonamiento te conduce a que lo blanco es negro.Entonces es claro que tu punto de partida. no A, tiene que ser falso. Ası, la situacion inicial tiene que ser A.

A continuacion se presentan algunos ejercicios resueltos de razonamiento matematico.

Ejemplo 1. La diferencia entre los ingresos semanales de Ricardo y Helena es de 80 dolares. La suma de susingresos semanales es 560. Si Helena es la que gana mas ¿Cuanto gana Ricardo?Solucion:Para el primer dato (la diferencia) es suficiente con elesquema adjunto:Para el segundo dato (la suma) repetimos el segmento que representa a Ricardo, pero hacia el ladoizquierdo:Se aprecia que el doble de lo que gana Ricardo es: 560− 80 = 480Entonces Ricardo gana: 480

2 = 240

Figura 29: Esquema del problema

Ejemplo 2. Un enfermo debe tomar una aspirina cada media hora. ¿En cuanto tiempo se tomara 10 aspirinas?Solucion:Intuitivamente se trata de responder que en 5 horas, sin entrar a considerar que en la primera hora elenfermo se toma 3 pastillas y a partir de ahı 2 en cada hora. Por lo tanto solo demorara cuatro horasy medias en tomar las pastillas.

Ejemplo 3. Un caracol sube por una pared vertical de 5 metros de altura. Durante el dıa sube 3 metros, perodurante la noche se queda dormido y resbala 2 metros. ¿En cuantos dıas subira la pared?Solucion:Hay que tener en cuenta que el primer dıa sube 3 metros pero por la noche baja 2, es decir, sube solo

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1 metro, lo mismo sucede el segundo dıa, pero el tercer dıa sube 3 metros y los 2 que habıa subidoanteriormente, lo que hacen un total de 5 metros y ya esta arriba, es decir ha subido la pared. Por loque demora tres dıas para subir la pared.

Ejemplo 4. Si en la Habana esta lloviendo a las 12 de la noche ¿Es posible que en Santiago de Cuba halla un dıasoleado 50 horas despues?Solucion:Debemos precisar que 50 horas despues significa exactamente dos dıas de 24 horas y dos horas mas,lo que quiere decir que serıan las 2 de la madrugada y es imposible que a esa hora tengamos un dıasoleado.

Ejemplo 5. Un buque que se encuentra anclado en un atracadero tiene fija a unos de sus costados una escaleraen la que la diferencia de altura entre cada peldano es de 30 cm. Si el agua esta a nivel del segundoescalon y la marea empieza a subir a razon de 30 cm por hora. ¿Al nivel de que escalon se encontrarael agua cinco horas despues?Solucion:Todo parecıa indicar que al transcurrir cada hora el agua taparıa un peldano mas, pero hay que teneren cuenta que el buque flota y a medida que la marea sube el lo hace tambien y se mantendra al niveldel segundo peldano.

Ejemplo 6. Se reunieron a comer 12 amigos y la comida importo 336 dolares ,pero a la hora de pagar, uno de loscomensales solo tenıa 10 dolares y otro 16.¿Cuanto tuvieron que abonar cada uno de los demas sobre la cuota que les correspondıa, para dejarpagada la cuenta?Solucion:Primero dividimos el importe (336) entre el numero de amigos (12)para conocer la cuota que a cadauno le toca:33612 = 28

Luego calculamos lo que les falta pagar a los 2 comensales mencionados:28 - 10 = 18 dolares; 28 - 16 = 12 dolaresPara cubrir esto: 18 + 12 = 30 dolares, las 10 personas restantes deben abonar:3010 = 3 dolares cada uno

Ejemplo 7. Juan le debe a Bruno 20 dolares, Bruno le debe a Carlos 30 dolares y Carlos le debe a Juan 40 dolares.Todas estas deudas pueden quedar canceladas si:A) Bruno paga 10soles a Carlos y Carlos paga 10soles a Juan.B) Carlos paga 10soles a Juan y Bruno respectivamente.C) Carlos paga 20 soles a Juan. D) Bruno y Carlos pagan 10soles cada uno a Juan.E) Juan paga 20 a Carlos.Solucion:

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Observando los saldos, concluimos que Juan debe recibir 20 dolares y esto puede suceder si Marcelo yCarlos le pagan a Juan 10 dolares cada uno.

Figura 30: Esquema de deudas y cancelaciones

Paga Recibe Saldo

Juan -20 +40 +20

Marcelo -30 +20 -10

Carlos -40 +30 -10

Problema 1. Un auto recorre 10km por litro de gasolina, pero ademas pierde 2 litros por hora debido a una fugaen el tanque. Si cuenta con 40 litros de gasolina y viaja a 80 km/h. ¿Que distancia lograra recorrer?

Problema 2. Tres jugadores acuerdan que el perdedor de cada juego triplicara el dinero de los otros dos. Jue-gan 3veces y pierden un juego cada uno en el orden A, B, C, quedando con 36; 12 Y 85 dolaresrespectivamente. ¿Cuanto tenıa A al principio?

Problema 3. Para instalar tuberıas de agua, un fontanero solicito 10 dolares por cada metro,incluyendo materialy mano de obra, y calculo ganar 96 dolares; pero acuerda una rebaja de 3soles por cada metro yresulta ganando solamente 63 dolares. ¿Cuanto invirtio el fontanero en el material de fontanerıa?

Problema 4. Un cuarto tiene 4 angulos, en cada angulo hay sentado un perro, frente a cada perro hay 3 perros,en cada rabo hay sentado un perro. ¿Cuantos perros hay en la habitacion?

Problema 5. Un colegio tiene 600 estudiantes, cada estudiante recibe 5 turnos de clase al dıa. Cada maestroimparte 5 clases. Cada aula tiene 30 estudiantes y un docente. ¿Cuantos docentes tiene la escuela?

Problema 6. Tres amigos fueron de caza y ninguno de ellos cazo la misma cantidad. Por la noche reunidos, dijeron:Pedro: ”Yo cace la mayor cantidad, Carlos la menor”. Braulio: ”Yo cace la mayor cantidad, mas queAndres y Carlos juntos”. Carlos:”Yo cacee la mayor cantidad, Braulio solo la mitad mıa”. ¿Quiencazo mas, si solo son ciertas 3 afirmaciones de las anteriores? ¿Es posible decir quien cazo la menorcantidad?

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Problema 7. Investiga la historia de los 4 cuatros

No cabe duda que existe relacion entre la inteligencia y la capacidad de desenvolverse con los numeros; de captarrelaciones entre ellos y realizar operaciones entre ellos. Sobre esto trata este capıtulo.

Indudablemente la inteligencia no es solo numerica, pero se acepta que la habilidad demostrada en el domi-nio de los numeros es expresion de inteligencia. No es ninguna casualidad que en los Tests de inteligencia y laspruebas de aptitud matematica, ocupan un lugar importante las preguntas sobre series, analogıas y distribucionesnumericas, cuyas peculiaridades presentamos a continuacion.

Analogıas NumericasEn su forma mas simple, son un grupo de numeros distribuıdos en dos lıneas horizontales (filas). La primerafila contiene tres numeros y el que ocupa la posicion central, es el resultado de efectuar ciertas operacionescon los que ocupan los extremos.

En la segunda fila solo se conocen los extremos y falta el central, que sera hallado efectuando las mismasoperaciones que se aplicaron en la primera fila.

En su forma mas elaborada, la analogıa presenta tres filas de los cuales dos tienen todos sus terminos y lafila restante esta incompleta, debiendo completarse segun el procedimiento ya expuesto.

Figura 31: Esquema de las Analogıas

Ejemplo:Ejemplo 1: ¿Que numero falta?20 (99) 57 ( ) 13Solucion:

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Si multiplicamoss los extremos de la primera fila. Hallamos 20 x 5= 100 Y si el numero central es 99, nohay que pensar mucho para decir que el producto esta disminuıdo en l.Esta sera la regla de formacion:numer central = (producto de extremos) - 1Procediendo igual en la segunda fila: 7 x 13 - 1= 90

Distribuciones NumericasEn este caso se consideran grupos de numeros distribuıdos en filas (horizontales) y columnas (verticales)pudiendo establecerse analogıas entre filas, como en el caso anterior; tambien entre columnas, sin que laincognita sea necesariamente el numero central, por este motivo las operaciones a realizarse alcanzan unamayor diversidad yexigen mas raciocinio.Ejemplo :¿Que numero falta?18 25 416 20 36 15Solucion:En cada columna el ultimo numero es el triple de la diferencia de los primeros; entonces:1ra columna: 18 - 16 = 2 =⇒ 2 x 3 = 62da columna: 25 - 20 = 5 =⇒ 5 x 3 = 153ra columna: 4 - 3 = 1 =⇒ 1 x 3 = 3

Distribuciones graficas Una manera de representar analogıas numericas, se basa en distribuirlos numerosque se van a relacionar, dentro de una o varias figuras. De este modo la forma de la figura es Unelementoadicional que se debe considerar al plantear laestrategıa de solucion.Ejemplo:¿Que numero falta?

Figura 32:

Solucion:Los numeros se relacionan con sus opuestos diametralmente. Cada par de opuestos da un producto constante.

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Ası: 5 x 8 = 40 , 2 x 20 = 40 Por esta razon el opuesto a 4 debe ser 10

Un cuadro magico: Es una disposicion de varios numeros distintos dispuestos en cuadro, con igual numerode filas que de columnas, de tal modo que la suma de los numeros que se encuentran en cada fila, o la suma delos que se encuentran en cada columna, o la suma de los de ambas diagonales, tenga el mismo valor.

Segun sea 3 ; 4 ; etc ... , el numero de filas (o de columnas), se dice que el cuadro es de orden 3; 4, ...etc. Noexisten cuadros magicos de orden 2.

Con los naturales consecutivos, del 1 hasta el 9, se puede formar el cuadro magico mostrado en la Fig.l, que esel mas antiguo que se encuentra en la Historia (probablemente se compuso unos diez siglos a. de C. en la India).En Europa se introdujeron a principios del siglo XV y de esa epoca son los mostrados en las Fig.2 y Fig.3 , queson de orden 4 .

Figura 33: Cuadrados Magicos

Problema: ¿Que numero falta?

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Figura 34:

1.5.2. Lenguaje y Comunicacion.

Una de las razones que dificultan el aprendizaje de las matematicas es porque se expresan en un lenguaje es-pecial, que es un dialecto del lenguaje natural (en nuestro caso, castellano), en el que no debe caber la posibilidadde interpretaciones diversas.

Para entender y aprender las matematicas es necesario conocer su idioma, pues en caso contrario, aunque sedigan cosas muy sencillas, no se entenderan.

Las matematicas fueron primeramente utilizadas como metodo de medida de las circunstancias y acontecimien-to fısico. Y quizas esa deberıa ser su principal funcion. Sin embargo, con el desarrollo de operaciones y sistemasmatematicos se cree haber sobrepasado el simple metodo de medida para convertir las matematicas en un leguajede expresion y demostracion con el cual podemos averiguar toda la realidad fısica.

El Lenguaje Matematico: Es una forma de comunicacion a traves de sımbolos especiales para realizarcalculos matematicos.

A continuacion algunos ejemplos expresados en lenguaje natural y/o lenguaje matematico: En el lenguajenatural no se utiliza el cero como numero.

En el lenguaje natural, sumar es aumentar y restar es disminuir. En el lenguaje matematico, sumar es aumen-tar o disminuir (si se suma un numero negativo).

Cuando se dice un numero, en el lenguaje natural se refiere a uno cualquiera determinado, mientras que en ellenguaje matematico se refiere a todos los numeros.

En el lenguaje matematico una curva simple es una curva que no se corta a si misma, aunque su forma sea

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extraordinariamente complicada.

Las matematicas siempre se ligan a la existencia de sımbolos que, paradojicamente, son necesarios para expre-sarlas de forma concisa y sencilla. Como muestra, los ejemplos de la forma en que simplifican los sımbolos:

1. Euclıdes (300 a.C.): Si un segmento rectilıneo se corta por un punto arbitrario, el cuadrado del total esigual a los cuadrados de cada uno de los segmentos y el doble del rectangulo cuyos lados son los segmentos.Con sımbolos: (a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab.

2. Arquımedes (225 a.C.): El area de un cırculo es igual a la del triangulo cuya base es el perımetro de su

circunferencia y la altura es igual al radio. Con sımbolos: A = r2

4 .

3. Un numero par se puede escribir como 2n. Esta expresion es equivalente a (n+1)+(n−1). Pero esta ultimaexpresion nos da una nueva informacion ya que muestra que todo numero par es la suma de dos imparesconsecutivos

Las matematicas, como el resto de las disciplinas cientıficas, aglutinan un conjunto de conocimientos con unascaracterısticas propias y una determinada estructura y organizacion internas. Lo que confiere un caracter distintivoal conocimiento matematico es su enorme poder como instrumento de comunicacion, conciso y sin ambiguedades.Gracias a la amplia utilizacion de diferentes sistemas de notacion simbolica (numeros, letras, tablas, graficos, etc,),las matematicas son utiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa, poniendode relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechossituaciones o resultados que todavıa no se han producido.

La comunicacion. La comunicacion de nuestras ideas a otros es una parte esencial de las matematicas y, portanto, de su estudio . Por medio de la formulacion, sea esta oral o escrita , y la comunicacion, las ideas pasan aser objetos de reflexion, discusion, revision y perfeccionamiento.

El proceso de comunicacion ayuda a construir significado y permanencia para las ideas y permite hacerlaspublicas. Cuando pedimos a los estudiantes que piensen y razonen sobre las matematicas y que comuniquen losresultados de su pensamiento a otras personas, de manera oral o escrita, aprenden a ser claros y convincentes.Cuando los estudiantes escuchan las explicaciones de otros companeros tienen oportunidades de desarrollar suspropias interpretaciones. Los dialogos mediante los que las ideas matematicas se exploran desde distintas perspec-tivas ayudan a los participantes a ajustar su pensamiento y hacer conexiones.

Cuando los alumnos participan en discusiones en las que tienen que justificar sus soluciones -especialmentecuando hay desacuerdos - mejoran su comprension matematica a medida que tienen que convencer a sus com-paneros de puntos de vista diferentes. Esa actividad tambien ayuda a los estudiantes a desarrollar un lenguajepara expresar ideas matematicas y les hace conscientes de la necesidad de usar un lenguaje preciso. Los alumnos

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que tienen oportunidades, estımulo y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de matematicasreciben un doble beneficio: mejoran su aprendizaje matematico al tiempo que aprenden a comunicarse de maneramatematica.

Simbologıa Matematica

Figura 35: Sımbolos Matematicos

1.5.3. Exactitud y Aproximacion.

Los metodos numericos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemati-cos para los cuales se dificulta la utilizacion de metodos analıticos tradicionales y,ocasionalmente, son la unicaopcion posible de solucion.Son tecnicas mediante las cuales un modelo matematico esresuelto usando solamenteoperaciones aritmeticas, . . . tediosos

Calculos Aritmeticos.Son tecnicas sistematicas cuyos resultados son aproximaciones delverdadero valor que

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Figura 36: Alfabeto Griego

asume la variable de interes; la repeticion consistente de la tecnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo quepermite acercarse cada vez mas al valor buscado.

Aproximacion numerica:Se entiende por aproximacion numerica X* una cifra querepresenta a un numerocuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca mas al valor exacto X, sera una mejor aproxi-macion de ese numero.Ejemplos:X3.1416 es una aproximacion numerica de ΠX2.7183 es una aproximacion numerica de eX1.4142 es una aproximacion numerica de

√2

X0.333333 es una aproximacion numerica de 13 .

Las mediciones se realizan normalmente a traves de instrumentos;Ejemplo: un velocımetro para medir la velocidad de un automovil, o unodometro para medir el kilometrajerecorrido.El numero de cifras significativas es el numero de dıgitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable.

Exactitud y precision:La precision se refiere al numero de cifras significativas que representa una cantidad.La exactitud se refiere a la aproximacion de un numero o de una medida al valor numerico que se supone representa.

Secuencia didactica 1:

Formen grupos de cuatro alumnos. A los integrantes los llamaremos alumno A, alumno B, alumno C yalumno D. Cada grupo tomara una hoja en blanco.

El alumno A medira con una regla los cuatro lados de la hoja en blanco con la mayor exactitud posible,utilizando obligatoriamente dos decimales en su medicion. Lo anotara en su carpeta. Luego el alumno B

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realizara la misma operacion. Luego el alumno C y, por ultimo, el alumno D. Todos los miembros del grupohabran medido los lados de la hoja en blanco y los habran registrado en sus carpetas. (¡No vale mirar elregistro de sus companeros!)

Cada alumno calculara el perımetro de la hoja (recuerden que el perımetro es la suma de todos los lados).

Comparen los resultados. ¿Coinciden exactamente?

Discutan entre ustedes los motivos por los que el resultado que cada integrante del grupo obtuvo no coincide.

Las conclusiones alcanzadas por ustedes abren un tema muy importante en el campo de las matematicas:el concepto de error, estimacion del error al realizar una medicion, variables que intervienen al realizarobservaciones y registrar medidas, etcetera.

Secuencia didactica 2:Ahora trabajaremos con ejercicios matematicos en los que no tengamos que realizar mediciones. Supongamosentonces que el error que se produce al medir; entonces, como no vamos a medir, el error ya no existe. Veamos:

1. Cada uno de los integrantes del grupo debe resolver las siguientes operaciones. Para hacerlo, pueden utilizarla calculadora cientıfica que esta disponible en sus equipos portatiles. Expresen el resultado con solo tresdecimales.233 + 8

7 +√

6 + 1,43x0,58 + 6,43 =

1,5x0,478 + 19 + 5,2

6 +√

8 =

2. ¿Obtuvieron el mismo resultado en los dos ejercicios?

Secuencia didactica 3:

1. Aquı tendremos que establecer algunas pautas que permitan a todos los operadores resolver los ejercicioscon las mismas consignas.

2. Establezcan en el grupo las pautas para redondear los numeros decimales y resuelvan la actividad 2 con lasconsignas establecidas por ustedes.

3. Vuelvan a hacer la actividad 2 pero utilizando cuatro decimales.

4. Busquen en Internet o en enciclopedias, manuales, etc., informacion sobre modelos aceptados matematica-mente para redondear numeros decimales.

Como conclusion, podemos afirmar que, al trabajar con numeros, podemos cometer errores no solo al medir sinotambien al redondear. Al primer tipo de error se lo denomina error de medicion y al segundo, error por aproxima-cion. Ambos temas pueden ser investigados por ustedes y tenerlos en cuenta al momento de realizar operaciones

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matematicas.

¿Como redondear numeros? Decide cual es la ultima cifra que queremos mantener.Aumentala en 1 si la cifra siguiente es 5 o mas (esto se llama redondear arriba)Dejala igual si la siguiente cifra es menos de 5 (esto se llama redondear abajo)Es decir, si la primera cifra que quitamos es 5 o mas, entonces aumentamos la ultima cifra que queda en 1.

1.6. Estandares para la Ensenanza de la Matematica.

1.6.1. La matematica y la Educacion.

El objetivo de la Matematica es la demostracion, la cual se puede hacer a traves de procedimientos puramenteteoricos o a traves de procedimientos experimentales y ludicos sin perder el rigor. Lo importante es desarrollarcapacidades de pensamiento que sean logicas, un principio que ubica a la Matematica como una especie de lenguajeque puede ser utilizado por el hombre para ordenar el proceso del pensamiento.

A partir de este planteamiento, se puede decir, entonces, que en vez de dolor de cabeza en cada estudiante,la Matematica debiera ser la mas importante asignatura del sistema educativo nacional, para que gradualmentese fuera fortaleciendo una forma diferente de entrarle a los problemas y, por tanto, de buscar las mejores soluciones.

Aumentar el atractivo de la Matematica para ninos y jovenes no es un reto facil. Ası lo manifesto el francesCedric Villani cuando, en 2011, recibio la Medalla Fields, un premio que se concede a los amantes de esa cienciamenores de 40 anos.

Este cientıfico es un sımbolo de la nueva imagen que los matematicos quieren dar a esta asignatura, un cambiode look para hacer mas digerible la Matematica, asegura un artıculo aparecido en un periodico espanol.

Villani, el matematico frances, se dedica ahora a dar conferencias, incluso a polıticos y a empresarios parahacerles ver la sabidurıa de la Matematica en la resolucion de los problemas de la vida.

En El Salvador, esta logica seguramente no ha incursionado en la cultura de los polıticos; sin embargo, hay unesfuerzo en el campo educativo que vale la pena tomar en cuenta.

La diferencia entre la Matematica tradicional y la moderna es la forma de abordaje porque ambas tienen elmismo objetivo: desarrollar capacidades de pensamiento que sean logicas y que nos permitan enlazar conocimientosprevios que nos lleven a argumentar y justificar los caminos para la resolucion de problemas, es, en otras palabras,el fortalecimiento del sentido comun.

En esta formacion de docentes, la Matematica es la asignatura que mas estudiantes tiene; tal vez esto sea un

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indicio de la incursion de esta logica cientıfica en la mentalidad de la ninez y la juventud para ir conformando unacultura diferente para resolver diferendos.

1.6.2. Conocimiento profesional en Educacion matematica.

El conocimiento social acumulado es hoy de tal complejidad y amplitud que la sociedad se organiza en tornoa subgrupos que tienden a la especializacion de la actividad de sus miembros, a la profesionalizacion. El profesorde matematicas no es ajeno al proceso que se esta viviendo (Flores, 1998).

Los profesionales se caracterizan por tener competencias especıficas basadas en conocimientos y destrezasadecuadas para el desarrollo de su actividad. El profesor de matematicas tiene competencias profesionales conlas que afronta los problemas de ensenanza, pero ademas tiene que para reconocerlas para identificarse comoprofesional y actuar de manera racional ante las situaciones que rodean a las pruebas de acceso y promocion delprofesorado (Flores y Moreno, 1999). En las “oposiciones a profesores de secundaria” y en el “acceso a la condicionde catedratico”, los profesores deberıan contar con una descripcion de sus competencias profesionales tanto parafacilitar la preparacion de los candidatos, como para disenar criterios de valoracion para que puedan ser aplicadospor aquellos que formen parte de un tribunal que juzgue estas pruebas. En esta comunicacion reflexionamos sobrelas competencias profesionales del profesor de matematicas, describiendo el conocimiento del profesor en relaciona los numeros racionales.

1.6.3. Necesidades formativas en la formacion del profesorado.

Las competencias profesionales del profesor de matematicas tienen un componente practico, que le permiteresolver los problemas profesionales de manera inmediata, y que se ejercita con la experiencia reflexiva, y uncomponente teorico especıfico de su actividad y que los hace distinguirse de otros grupos profesionales como losmatematicos. La forma en que se adquieren estas compentencias es compleja, ya que la docencia es una actividadpractica, por lo que el profesor no puede surtirse exclusivamente de una preparacion teorica, y a la vez, es ingenuoe irresponsable esperar adquirir la profesionalidad por medio del ejercicio empırico, dada la complejidad e impor-tancia social de su tarea, en la que se trabaja con sujetos que no pueden someterse a experimentos de manerairreflexiva.

La caracterizacion administrativa del conocimiento profesional del docente deja un margen de ambiguedad(Flores y Moreno, 1999) que ha dado lugar a que se enfatice el conocimiento matematico en las “oposiciones”,por encima de otras componentes profesionales. Tambien ha provocado que se esten ofreciendo “planteamientosdidacticos” en los Temarios de Oposiciones actuales, que son listas de terminos didacticos sin mucho significadopara los clientes ni para los jueces. Ello hace muy difıcil su estudio, recuerdo, exposicion y valoracion por partede quien actua como tribunal.

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Se abren pues, dos problemas: Clarificar las componentes del conocimiento profesional del profesor de ma-tematicas, (lo que constituye una lınea de investigacion en educacion matematica, Llinares 1998), y buscar formaspara favorecer que los profesores desarrollen este conocimiento, lo lleguen a explicitar y puedan compartirlo. Solocuando los profesores de matematicas consensuen conjuntos de problemas profesionales, discutan sobre su impor-tancia, establezcan criterios para enjuiciar si se han resuelto estos problemas o para establecer la calidad de lasolucion (valores de una programacion, por ejemplo, o de un libro de texto), estaremos en condiciones de realizarcon racionalidad pruebas de acceso a la docencia o de promocion profesional.

De acuerdo con este argumento, los autores de esta comunicacion estamos elaborando un conjunto de reflexio-nes sobre el conocimiento matematico, desde el punto de vista del profesor de matematicas de secundaria.

Conocimiento didactico de los numeros racionales.El numero racional amplia al numero entero con la posibilidad de resolver todas las ecuaciones de la formaax + b = c, permitiendo resolver todos los problemas reducibles a estas ecuaciones. Este hecho acarrea laconstruccion del cuerpo de fracciones en un anillo, pero tambien la posibilidad de realizar la division y conello la ruptura de la matematica discreta, para generar un conjunto denso. La densidad es una caracterısticade muchas de las magnitudes, por lo que los numeros racionales permiten encarar la medida de magnitudes,con todo lo que esto aporta a la ciencia, la tecnica y la practica social.

Las fracciones (origen de la construccion de Q) aparecen en muchas ocasiones como la relacion entre unaparte y un todo que actua como unidad de referencia (a medio camino). En otros casos aparecen como unadivision sin realizar (le toca a cada uno un tercio). Tambien puede indicar el resultado de una medida (cuartoy mitad). En otros casos es un operador (le corresponden los dos tercios del total). Pero el sentido que masse aproxima al de numero racional es el de la fraccion razon, entendida como relacion parte a parte, o comoproporcion. El numero racional esta, pues, en la base del razonamiento proporcional. Ligados a estos sentidosde uso de las fracciones, aparecen las equivalencias y las operaciones entre numeros racionales. La suma yresta son faciles de establecer con los mismos sentidos que la suma y resta de numeros naturales, especial-mente cuando se refieren a la misma unidad, pero la multiplicacion y division obedecen a otros criterios ysentidos diferentes de las operaciones en N. En general, la multiplicacion exige la actuacion como operadorde una fraccion sobre el resultado obtenido por la otra, mientras que la division se refiere a la comparacionentre partes, mas que al reparto. Como se observa, los numeros racionales tienen su propia significacion,que no siempre coincide con la de los numeros enteros y naturales, por lo que el profesor debe conocer estascaracterısticas.

El origen historico de los numeros racionales se encuentra en la necesidad de medir, lo que lleva a proponerexpresiones numericas para llevar a cabo la operacion. Los Babilonicos y Egipcios emplean fracciones denumerador unidad con las que obtienen relaciones numericas y medidas. La matematica griega encara elproblema de la busqueda de la parte aliquota entre dos longitudes, para establecer la medida de una respecto

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a la otra, con la expectativa de que siempre sea posible, pero la constatacion de que es imposible encontrarlaentre el lado del cuadrado y su diagonal les lleva a una crisis de la que salen enfocando su atencion a lageometrıa.

Representaciones y modelos.

Nos referimos al termino representacion como “el modo en que los sujetos expresan sus conocimientos connotaciones simbolicas o mediante algun tipo de grafico” (Rico, 1997:53). Los modelos sirven para la presenta-cion y el desarrollo de un concepto determinado. Las fracciones pueden representarse de manera geometrica,discreta, numerica y literal. Las representaciones geometricas se realizan en un contexto continuo y las masfrecuentes son los diagramas circulares, rectangulares y la recta numerica. En las representaciones discretasla unidad esta formada por un conjunto discreto de objetos. Las representaciones numericas encuentrandistintas formas de utilizar los numeros para indicar una relacion parte-todo: representacion como divisionindicada (3/5), representacion como razon (3:5), representacion decimal (0.6), representacion de porcentajes(60 %). En las representaciones literales podemos distinguir distintas formas: tres quintos, tres de cinco yproporcion de tres a cinco (Llinares y Sanchez, 1988).

Entre los modelos usuales en el trabajo con numeros y operaciones podemos destacar los siguientes: lineales,utilizan la recta numerica como modelo de representacion numerica; metricos, emplean longitudes, super-ficies, balanzas para el estudio de conceptos numericos; geometricos, que utilizan figuras geometricas pararepresentar partes de la unidad; funcionales, aunque no son los modelos habituales actualmente se empleanpara operaciones con racionales pero no con decimales, excepto algunos casos de porcentajes.

Obstaculos, errores y dificultades.

El conocimiento de los obstaculos, errores y dificultades anticipa al profesor los conceptos que van a teneruna especial dificultad, pero tambien permite el diseno de instrumentos para su diagnostico y tratamiento.

Algunos errores conceptuales aparecen al relacionar distintas interpretaciones de la fraccion. La identifica-cion de la fraccion con una cantidad es un obstaculo para interpretar y manejar la fraccion como razon,y para el numero racional. La nocion de equivalencia de fracciones es origen de errores debidos al manejosimultaneo de diversos sentidos de fraccion y de equivalencia, y otras veces por los problemas originadosante la transitividad del signo igual.

La introduccion temprana del calculo algorıtmico puede provocar confusiones en su manejo. Estos equıvocostambien se pueden producir por la similitud entre las notaciones de los numeros naturales y las fracciones. Eneste sentido se puede considerar que las operaciones aprendidas con los numeros naturales son un obstaculopara las operaciones realizadas con racionales ya que, por ejemplo, la multiplicacion no significa siempre un

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aumento de la cantidad. En el aprendizaje de los numeros decimales, los alumnos encuentran dificultades enlas operaciones, en el uso del cero, en la lectura y escritura de los numeros y en el orden. Estas dificultadesse deben en gran medida a la persistencia de conocimientos de los numeros naturales.

Sugerencias metodologicas.

Las orientaciones metodologicas del currıculo oficial no difieren mucho de unos bloques a otros. En esteepıgrafe recogemos algunas sugerencias metodologicas especıficas para el tema que nos ocupa y que estanrecogidas en la bibliografıa didactica sobre el tema. Conviene comenzar el estudio de los racionales con larelacion parte-todo para ir readaptando esta nocion durante la secuencia de ensenanza, de manera que alfinal el concepto de numero racional tenga como subconceptos las diferentes interpretaciones que el alumnoha ido adaptando a lo largo de su formacion (Llinares y Sanchez, 1988). El objetivo de desarrollar la com-prension del concepto viene vinculado a la capacidad de representacion que el nino pueda hacer de la nocionparte-todo (lo que excluye la representacion sobre la recta en edades tempranas) y a la necesidad de negociarcon los alumnos el significado de los sımbolos (la representacion de la relacion).

Para el diseno del proceso de ensenanza del numero racional se sugiere comenzar a trabajar en contextosconcretos, tratando de vincular las fracciones a problemas reales. Posteriormente se abordaran los contextoscontinuos hasta finalizar con la recta numerica.

Materiales y recursos.

Para la ensenanza de las fracciones podemos emplear materiales y recursos relacionados con la ensenanzade los numeros, como los marcadores, los abacos, etc. Tambien se pueden emplear otros materiales gene-rales, como el Tangram y la calculadora. Otros recursos especıficos son el cırculo de fracciones, los puzzlestroquelados de fracciones, el domino de fracciones, la baraja de fracciones y cualquier objeto que se prestea la particion y estudio de las relaciones entre las partes. Hay que destacar la importancia de los instru-mentos de medida en la ensenanza de los racionales: reglas graduadas, escalas, vasos graduados, jeringuillas,calibradores, cartulinas, papel cuadriculado, etc.

1.6.4. Factores socioculturales que inciden en la Educacion Matematica.

El enfoque sociocultural de la educacion matematica es una perspectiva que ha tomado fuerza durante losultimos 40 anos aproximadamente, la cual tiene en cuenta, en el proceso de ensenanza y aprendizaje de las ma-tematicas, los factores sociales y culturales en contextos escolares y extraescolares en diversos ambientes economi-cos, polıticos y multiculturales.

En este sentido, este artıculo es una invitacion a los maestros a reflexionar sobre como en los procesos deensenanza y de aprendizaje de las matematicas no solo intervienen factores de tipo cognitivo, psicologico o meto-

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dologico, sino que tambien existen aspectos sociales y culturales que influyen en la actitud y el desempeno de losestudiantes en la escuela.

De acuerdo con lo anterior, algunas de las problematicas socioculturales sobre las que se viene investigando eneducacion matematica son: las relaciones de genero, donde las ninas se sienten inferiores a los ninos con respectoa sus habilidades en matematicas (Yelland, 2001; Forgasz y Leder, 2001; Salazar, Hidalgo y Blanco, 2010); lasinfluencias que ejercen los padres, los profesores y los companeros en la actitud de los estudiantes frente a lasmatematicas, aspectos que muchas veces no son tenidos en cuenta en el aula ni fuera de esta, porque la mayorıade las ocasiones los actores no son conscientes de ellos (Bishop, 2005; Munoz y Bravo, 2007); el desarrollo de lacompetencia democratica de los estudiantes en las clases de matematicas, mediante la instauracion, en el aula,de diversas acciones en donde ellos tengan la oportunidad de debatir una idea o la solucion de un procedimien-to, y de escoger una alternativa de respuesta bajo previa consideracion grupal de las ventajas y las desventajasque esta pueda traer consigo (Valero, 2004; Suarez y Jaramillo, 2008); la ensenanza de las matematicas en aulasmulticulturales, donde aspectos culturales, como el lenguaje, cumplen un papel determinante en el aprendizajede las matematicas (Vilella, 2007), y la recuperacion de historias de las matematicas que la historia oficialistaniega, etnohistorias de grupos culturales que, al igual que los griegos, fueron capaces de desarrollar pensamientomatematico (Gerdes, 1999; Blanco, 2009).

Otra problematica a la que hay que dedicar mas investigaciones es la ensenanza y el aprendizaje de lasmatematicas en comunidades indıgenas y afrocolombianas, que aunque desde la etnoeducacion3 se han venidorealizando ingentes esfuerzos por el rescate de la lengua, la musica, las danzas, la medicina tradicional, se necesitatrabajar mas en la recuperacion de los saberes matematicos autoctonos de estos grupos culturales, que en muchoscasos se han perdido o se encuentran inmersos en la practica cotidiana, en los ritos, en la agricultura, en lasmochilas, etc., para luego incorporarlos a sus currıculos (Aroca, 2009; Parra y Caicedo, 2009).

Por otro lado, en un nivel macrosocial, en particular vinculado con las polıticas nacionales educativas, losreferentes teoricos de los Lineamientos curriculares: matematicas y los Estandares basicos de competencias enmatematicas comparten principios relacionados con la postura sociocultural de la educacion matematica, cuestionque abre espacios y posibilidades para la integracion de esta al currıculo escolar de matematicas en la educacionbasica y media. No obstante, falta mucho camino por recorrer para ver resultados en la practica docente y en lasaptitudes de los estudiantes frente a las matematicas y, en general, del ciudadano comun y corriente.

En tercer lugar, convidan a los maestros a formular proyectos educativos institucionales, teniendo en cuentafactores polıticos y socioculturales, con el objetivo de formar estudiantes capaces de identificar, interpretar, evaluarinformacion matematica y pronunciarse crıticamente en diversas situaciones de la sociedad (Skovsmose, 1999):

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1.7. Campo de trabajo. Matematicas Escolares.

1.7.1. Principios para las Matematicas escolares.

os Principios y Estandares para la Matematica Escolar pretenden ser un recurso y una guıa para todas laspersonas que toman decisiones que afectan a la educacion matematica de los estudiantes de los niveles desdeinfantil hasta el bachillerato.

Los Principios:Son enunciados que reflejan preceptos basicos que son fundamentales para el logro de unaeducacion matematica de calidad; deberıan ser utiles como perspectivas sobre las que los educadores pueden basarsus decisiones que afectan a las matematicas escolares.

Los Estandares: Describen el contenido matematico y los procesos que los estudiantes deberıan aprender.Principios para las Matematicas Escolares:

Equidad. La educacion matematica de calidad ha de basarse en la equidad – unas altas expectativas y apoyopara todos los estudiantes, segun sus caracterısticas.

Currıculo. Un currıculo es mas que una coleccion de actividades: debe ser coherente, centrado en unas ma-tematicas importantes y bien articuladas a lo largo de los distintos niveles.

Ensenanza. Una ensenanza efectiva de las matematicas requiere que los estudiantes comprendan lo que co-nocen y lo que necesitan aprender, y por tanto se plantea el desafıo de apoyarles en un aprendizaje correcto.

Aprendizaje. Los estudiantes deben aprender matematicas con comprension, construyendo activamente elnuevo conocimiento a partir de la experiencia y el conocimiento previo.

Evaluacion. La evaluacion debe apoyar el aprendizaje de unas matematicas relevantes y proporcionar infor-macion util tanto a los profesores como a los estudiantes.

Tecnologıa. La tecnologıa es esencial en la ensenanza y el aprendizaje de las matematicas; influye en lasmatematicas que se ensenan y estimula el aprendizaje de los estudiantes.

Estos seis principios no se refieren a contenidos o procesos matematicos especıficos, mientras que los Estandaressı se refieren a dichos contenidos y procesos. Los principios describen cuestiones cruciales que, aunque no seanespecıficas de las matematicas escolares, estan profundamente interconectadas con los programas de matematicas.Pueden influir en el desarrollo de marcos curriculares, la seleccion de materiales curriculares, la planificacion deunidades o lecciones instruccionales, el diseno de evaluaciones, la asignacion de los profesores y los estudiantes alas clases, las decisiones instruccionales en las clases, y el establecimiento de programas de apoyo para el desarrolloprofesional de los profesores.

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1.7.2. Valores y Fines de la Educacion Matematica.

La evaluacion es el proceso de recogida y analisis de informacion que permite conocer hasta que punto seesta produciendo un buen proceso de ensenanza y aprendizaje y que problemas se estan planteando en esteproceso. La informacion resultante proporciona al profesor elementos para analizar crıticamente su intervencioneducativa, detectar necesidades y tomar decisiones al respecto. En la evaluacion, como seguimiento continuo delproceso de ensenanza y aprendizaje cabe distinguir tres momentos o aspectos complementarios:

1.8. La evaluacion en Matematica. Conceptualizacion.

La evaluacion se considera hoy dıa una parte importante del proceso de instruccion. Se concibe la evaluacioncomo un proceso dinamico y continuo de produccion de informacion sobre el progreso de los alumnos hacia losobjetivos de aprendizaje. El principal proposito es mejorar el aprendizaje de los alumnos. Otros fines secundariosde la evaluacion son:

1) Proporcionar a los alumnos informacion individual sobre que han aprendido y en que puntos tienen dificul-tades.

2)Proporcionar informacion al profesor, a los padres y al centro escolar sobre el progreso y la comprension desus alumnos, en general y sobre las dificultades de estudiantes particulares.

3)Proporcionar a las autoridades educativas o a cualquier agente educativo un indicador global del exito con-seguido en los objetivos educativos.

La evaluacion deberıa ser mas que un test al final de la instruccion para ver como se comportan los estudiantesbajo condiciones especiales; en su lugar, deberıa ser una parte integral de la instruccion que informa y guıa a losprofesores en la toma de decisiones.

1.8.1. Formativa, Sumativa y Diagnostica.

Evaluacion inicial: aporta informacion sobre la situacion de cada alumno al iniciar un determinado proceso deensenanza y aprendizaje que permite adecuar este proceso a sus posibilidades. Desde la perspectiva del aprendizajesignificativo, esta evaluacion se convierte en una tarea prioritaria para conocer los conocimientos previos de losalumnos.

Evaluacion formativa o continua: pone enfasis en el proceso de ensenanza y aprendizaje entendido como uncontinuo. Es una evaluacion con caracter regulador, de orientacion y autocorrectora del proceso educativo, alproporcionar informacion constante sobre si este proceso se adapta a las necesidades o posibilidades del sujeto,permitiendo la modificacion de aquellos aspectos que resulten poco funcionales.

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Evaluacion sumativa: proporciona informacion sobre el grado de consecucion de los objetivos propuestos,referidos a cada alumno y al proceso formativo. Esta evaluacion toma datos de la formativa y anade a estos otrosobtenidos de forma mas puntual.

1.8.2. Criterios para Seleccionar tareas de evaluacion.

Las tareas en que se implican los estudiantes - proyectos, problemas, construcciones, aplicaciones, ejercicios,etc. - y los materiales con los que trabajan enmarcan y centran sus oportunidades para aprender las matematicasen la escuela. Dichas tareas:1) Proporcionan el estımulo para que los estudiantes piensen sobre conceptos y procedimientos particulares, susconexiones con otras ideas matematicas, y sus aplicaciones a contextos del mundo real.2)Pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar destrezas en el contexto de su utilidad.3) Expresan lo que son las matematicas y lo que implica la actividad matematica. Pueden dar una vision de lasmatematicas como un dominio de indagacion valioso y atrayente.4)Requieren que los estudiantes razonen y comuniquen matematicamente y promueven su capacidad para resolverproblemas y para hacer conexiones. Una responsabilidad central del profesor consiste en seleccionar y desarro-llar tareas valiosas y materiales que creen oportunidades para que los estudiantes desarrollen su comprensionmatematica, competencias, intereses y disposiciones.

1.9. Metodologıas APA

La guıa de aprendizaje es un recurso que desarrolla las capacidades basicas del Currıculo Nacional del Minis-terio de Educacion, en una secuencia de pasos o secciones que privilegian procesos.

Los procesos deben ser vividos a traves de:

XLa exploracion.

XEl analisis.

XLa generalizacion y

Xla aplicacion de lo aprendido.

Los procesos llevan a los estudiantes a:a) Elaborar aprendizajes y/o b) Construir conocimientos, estableciendo relacion entre los saberes anteriores y losnuevos.

PASO 1: Analisis de las unidades del programa de estudio y organizacion de las guıas por unidad.

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PASO 2: Planificacion de las guıas de aprendizaje. Evaluacion de la planificacion.

PASO 3: Redaccion de las guıas de aprendizaje.

Organizacion de las guıas por unidad.

1. Seleccionamos una unidad de aprendizaje del Programa de estudios.

2. Analizamos los objetivos, contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales e indicadores de logro,sin descuidar el enfoque de la disciplina ni las competencias.

3. Analizamos todas las unidades propuestas en el programa de estudios y hacemos los ajustes necesarios.

4. Precisamos el numero de guıas que segun las capacidades y los contenidos se pueden desarrollar.

RECUERDA QUE LAS UNIDADES DE APRENDIZAJE SON GLOBALIZADORAS. ENTORNO A UNTEMA O EJE SE DESARROLLAN CAPACIDADES, ACTIVIDADES, CONTENIDOS DE LAS DIFERENTESAREAS Y ASPECTOS DEL ENTORNO CULTURAL Y SOCIAL DE LOS ESTUDIANTES.

Figura 37: Aprendo

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Figura 38: Practico

Figura 39: Aplico

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En el proceso de redaccion se deben considerar cinco aspectos basicos:

1. QUE quieres comunicar.

2. A QUIEN quieres comunicarlos.

3. COMO organizas lo que quieres comunicar.

4. PARA QUE lo comunicas.

5. CUAL es tu estilo al escribir.

Redacta las instrucciones en primera persona:Escribo - converso - investigo - exponemos.

Redacta las instrucciones en forma abierta de tal forma que dejes la posibilidad a los estudiantes de resolver lassituaciones segun sus conocimientos, intereses e iniciativas: “ Escribo un texto instructivo sobre la forma de pre-parar un plato tıpico del municipio”. Puede ser uno. . . o . . . , puedes consultar con tu familia . . . o si lo prefieres. . .

- Redacta los conceptos con rigor academico. Aclara los terminos tecnicos usando las expresiones: es decir, osea, eso significa. . .

- Redacta de tal forma que no se impongan verdades absolutas.

-Redacta actividades dandoles un tratamiento integrado ( inteligencias multiples, interdisciplinariedad. . . ) Ilus-tra para apoyar los textos, complementandolos y para hacer mas didactico el proceso.

- Lee, relee y corrige cada momento la guıa que elaboras.

2. Proceso de ensenanza Aprendizaje de la Matematica

El objetivo de la ensenanza de las matematicas no es solo que los ninosaprendan las tradicionales cuatro re-glas aritmeticas, las unidades de medida y unasnociones geometricas, sino su principal finalidad es que puedanresolver problemas yaplicar los conceptos y habilidades matematicas para desenvolverse en la vida cotidiana.Estoes importante en el caso de los ninos con dificultades en el aprendizaje de lasmatematicas (DAM).

El fracaso escolar en esta disciplina esta muy extendido, mas allade lo que podrıan representar las dificultadesmatematicas especıficas conocidas como DISCALCULIA. Para comprender la naturaleza de las dificultades esnecesario conocer cualesson los conceptos y habilidades matematicas basicas, como se adquieren y que procesos-cognitivos subyacen a la ejecucion matematica Tradicionalmente, la ensenanza de las matematicas elementalesabarcabasicamente las habilidades de numeracion, el calculo aritmetico y la resolucion deproblemas. Tambien seconsideran importantes la estimacion, la adquisicion de lamedida y de algunas nociones geometricas

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2.1. Aspectos psicologicos en el proceso de ensenanza - aprendizaje de la matematica.

La ensenanza de las matematicas debe estar basada en procesos de descubrimiento. Esta no se basa unica-mente en la transferencia de contenidos, sino que se otorga mas relevancia a su ensenanza a traves de procesosmatematicos derivados de la resolucion de problemas. Esta forma de ver la ensenanza de las matematicas implicaque los objetivos han de estar basados en lo manipulativo y concreto, con el fin de llevar al alumnado hasta losimbolico y lo abstracto. “Las Matematicas no se aprenden, sino que se hacen.” (Sanchez Huete, 1998: 143).

2.1.1. Teorıas del Aprendizaje. Exigencias cognitivas en el aprendizaje de la matematica

Es necesario hacer referencia a los principios del aprendizaje que plantean diversos autores, que adecuados ala fase evolutiva en la que se encuentren los alumnos, van a permitir el desarrollo de la didactica mas adecuadapara el alumnado.

En primer lugar, es primordial hacer referencia a uno de los autores mas importantes en cuanto al aprendizaje,Piaget (1948). Este propone cuatro periodos evolutivos de los ninos, los cuales van avanzando en funcion de laedad del alumnado. Este trabajo esta dirigido hacia el alumnado de tercer ciclo de primaria, es decir, los que seencuentran entre el periodo de operaciones concretas y el periodo logico-formal. Para llegar a estos periodos, loque conlleva a la construccion del conocimiento, es necesario la formacion de conceptos matematicos, formadosgracias a la propia experiencia.

Tambien hay que hacer referencia a su teorıa del desarrollo de los conceptos espaciales. En esta distingue entre:percepcion y representacion o imagen mental. La primera, que implica el contacto directo con los objetos con elfin de su conocimiento; y el segundo que se refiere a la evocacion de los objetos cuando no estan presentes. En suobra La representacion del espacio (1948) desarrolla sus ideas fundamentales sobre la adquisicion de los conceptosespaciales. Los cuales se van adquiriendo en los diferentes estadios de desarrollo.

Piaget (1948) en esta obra diferencia tres propiedades geometricas: las topologicas, respectivas a las propie-dades independientes de la forma o del tamano; las proyectivas, referidas a la capacidad del nino para predecirque aspecto tiene un objeto desde diferentes angulos; y por ultimo las euclıdeas, relativas a los tamanos, distan-cias y direcciones, que conducen a la medicion de longitudes, angulos y areas.

Por otro lado, cabe mencionar a Vygostky (1934), el cual hace referencia al papel fundamental que desempenael lenguaje en el aprendizaje de las matematicas, ya que este interviene en el desarrollo psicologico. Aprendizajeque se produce en un foco inicial que es la sociedad, lo que se transmite a lo individual. Definiendo tambien, lazona de desarrollo proximo, que es la distancia existente entre las habilidades del alumno y las que puede llegara desarrollar mediante apoyos externos.

Es necesario senalar a Ausubel (1983) en el tema a tratar, ya que el plantea que el aprendizaje deber ser

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significativo, es decir, el alumno debe integrar los nuevos conocimientos en los que ya tiene adquiridos. Por tanto,Ausubel huye de los aprendizajes mecanicos y memorısticos, para el, el aprendizaje se debe a la relacion de losconocimientos previos con los nuevos.

Para Burton (1970) el proceso de aprendizaje debe llevarse a cabo a traves de la experimentacion de la accionque se desea aprender. Pero es necesario que exista una motivacion hacia la tarea ya que junto con la madurez yla experiencia del propio alumnado hacen que el proceso de aprendizaje se ajuste y evolucione de manera positiva,estableciendo el alumno las relaciones existentes entre las distintas tareas.

En cuanto al aprendizaje de la geometrıa, hay que hacer alusion al matrimonio Van Hiele (1958). Estos ex-ponen que en el razonamiento de la geometrıa del alumnado existen varios niveles de desarrollo, necesarios paracomprender los conceptos nuevos que han de adquirir.

Existen cuatro niveles, los cuales tienen dependencia entre sı ya que si no se alcanza uno, no se puede avanzaral siguiente. El primero consiste en reconocer las figuras geometricas de manera global (color, forma, tamano ynombre); en el siguiente ya se reconocen las propiedades elementales de las figuras y pueden dar una definicion deellas. En el tercer nivel, existe un caracter deductivo y pueden abstraer las propiedades implıcitas de una figura, ypor ultimo, en el cuarto nivel, el alumnado ya puede entender y hacer demostraciones, es decir, alcanzan el nivelde deducciones formales.

2.1.2. Diferencias individuales. ¿Por que unos(as) alumnos(as) rinden mas que otros(as)

Dentro del salon de clases, el profesor debe tener la certeza que sus alumnos son diferentes. Dentro de esasdiferencias estan el genero, los atributos fısicos, la edad, los antecedentes etnicos, religiosos y clase social. Ademasse hace evidente la forma de hablar y estructurar las ideas, la forma en que escriben y otros comportamientosasociados al contexto dentro del salon de clases. Pero otros rasgos hay que estudiarlos con mas detenimiento,como sus motivaciones, necesidades, intereses, ansiedades, sus formas de aprender y modos de resolver problemasy conflictos, ya que a veces no son tan explıcitos. La impresion que se tiene de que los alumnos son tan distintosentre sı es porque en realidad son ası de distintos. Ası de diferentes como los maestros entre sı o los seres humanosen general. Todas esas variantes y posibilidades diferentes en cada alumno tienen incidencia directa en la formaque aprenden.

Uno de los elementos centrales al definir el proceso de aprender, es que cada persona enfrenta este proceso deuna manera distinta, desde nuestra historia personal, que condiciona nuestras motivaciones e intereses por uno uotro ambito, hasta nuestra constitucion biologica. Esa peculiaridad individual conforma las variables individualesdel aprendizaje. Los profesionales de la educacion deben estar familiarizados con dichas variables, de modo deconstruir situaciones educativas que consideren y atiendan la diversidad.

La diversidad: Entendida como caracterıstica humana que nos constituye, se expresa en la forma particularde aprender de cada individuo, la que, a su vez, esta formada por tres variables relevantes: el enfoque con que

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el individuo aborda el aprendizaje, esto es, la motivacion central que lo guıa en un aprendizaje; las modalidadessensoriales, que son predominantes en cada individuo (si predomina lo visual o lo auditivo, por ejemplo, comocanal fundamental de incorporar la informacion del entorno) ; y el estilo de aprendizaje particular con que se abor-da el aprender (la forma en que nos resulta mas comodo hacerlo, a partir de las acciones concretas que realizamos).

A partir del reconocimiento de estas variables, se pueden abordar las diferencias individuales de manera masefectiva, para garantizar ası que el aprendizaje se produzca de manera significativa.

2.1.3. La matematica Moderna y su influencia en la Educacion

¿Que es la Matematica Moderna? ¿Es que hay una Matematica Moderna que viene en sustitucion de otraantigua, ya fenecida? No; el calificativo de ((moderna)) se contrapone mas bien al de ((clasica)), aunque no sea facilel distinguir totalmente el porque. No es cierto en absoluto, que la Matematica llamada clasica se haya derrum-bado y ahora sea falso lo que antes se reputaba como verdadero. La diferencia entre ambas concepciones de laMatematica esta mas del lado de los metodos y del enfoque de los problemas que del contenido de los mismos.Hay, en efecto, problemas muy clasicos que forman parte hoy de la Matematica Moderna, y hay problemas muyactuales que admiten un enfoque muy clasico.

Frente a este desarrollo impresionante de la Matematica, ¿que panorama presenta la ensenanza de esta mate-ria? Tenemos que contestar necesariamente con una de las palabras de mayor frecuencia en nuestra epoca: crisis.Si, como tantas otras cosas, tambien la ensenanza de la Matematica, en todos sus niveles, esta en crisis, y, portanto, en estado de profunda renovacion.

2.2. Propuestas Didacticas:

2.2.1. metodo Heurıstico. Propuesta de G. Polya.

George Polya nacio en Hungrıa en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su diser-tacion para obtener el grado abordo temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnologico FederalenZurich, Suiza. En 1940 llego a la Universidad de Brown en E.U.A. y paso a la Universidad de Stanford en 1942.

En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o como es que se derivan los resultadosmatematicos. Advirtio que para entender una teorıa, se debe conocer como fue descubierta. Por ello, su ensenan-za enfatizaba en el proceso de descubrimiento aun mas que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Parainvolucrar a sus estudiantes en la solucion de problemas, generalizo su metodo en los siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema.

2. Configurar un plan

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3. Ejecutar el plan

4. Mirar hacia atras

Las aportaciones de Polya incluyen mas de 250 documentos matematicos y tres libros que promueven unacercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solucion de problemas. Su famoso libro Como Plan-tear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su metodo de cuatro pasos junto con laheurıstica y estrategias especıficas utiles en la solucion de problemas. Otros trabajos importantes de Polya sonDescubrimiento Matematico (I y II), y Matematicas y Razonamiento Plausible (I y II).

Polya, que murio en 1985 a la edad de 97 anos, enriquecio a las matematicas con un importante legado enla ensenanza de estrategias para resolver problemas. En suma, dejo los siguientes Diez Mandamientos para losProfesores de Matematicas:

1.Interesese en su materia.

2.Conozca su materia.

3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; pongase usted mismoen el lugar de ellos.

4.Dese cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriendolo por uno mismo.

5. De a sus estudiantes no solo informacion, sino el conocimiento de como hacerlo, promueva actitudes mentalesy el habito del trabajo metodico.

6.Permıtales aprender a conjeturar.

7.Permıtales aprender a comprobar.

8.Advierta que los razgos del problema que tiene a la mano pueden ser utiles en la solucion de problemasfuturos: trate de sacar a flote el patron general que yace bajo la presente situacion concreta.

9.No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; dejelos encon-trar por ellos mismos tanto como sea posible.

10. Sugierales; no haga que se lo traguen a la fuerza.

El Metodo de Cuatro Pasos de Polya: Este metodo esta enfocado a la solucion de problemas matematicos,

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por ello nos parece importante senalar alguna distincion entre ejercicio y problema.

Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver unproblema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no habıa ensayadoantes para dar la respuesta.

Esta caracterıstica de dar una especie de paso creativo en la solucion, no importa que tan pequeno sea, eslo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distincion no es abso-luta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solucion: Para unnino pequeno puede ser un problema encontrar cuanto es 3 + 2. O bien, para ninos de los primeros grados deprimaria responder a la pregunta ¿Como repartes 96 lapices entre 16 ninos de modo que a cada uno le toque lamisma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta solo sugiere un ejerciciorutinario: dividir. Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matematicas: Nos ayuda a aprenderconceptos,propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemosa la tarea de resolver problemas.

Como apuntamos anteriormente, la mas grande contribucion de Polya en la ensenanza de las matematicas essu Metodo de Cuatro Pasos para resolver problemas.

2.2.2. Propuesta Didactica de Brousseau.

Brousseau plantea las Situaciones Didacticas como una forma para “modelizar” los procesos de ensenanza-aprendizaje. Proporcionando un juego con reglas y donde el tipo de juego que se lleva a cabo determinara elconocimiento a ser adquirido por el alumno. Dentro de la interrelacion: profesor-alumno-medio didactico, hay dosconceptos que vienen a sumarse: la transposicion didactica , el paso del saber sabio al saber ensenado y el contratodidactico., el conjunto de comportamientos que el profesor espera del alumno y el conjunto de comportamientosque el alumno espera del docente.

Figura 40: Propuesta de Brousseau

Es imprescindible destacar que la variacion de algunas de las condiciones en una situacion pueden simplificar ocomplejizar un problema a voluntad del docente, esas modificaciones permiten comandar”la complejidad del pro-

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blema y se denominan: variables didacticas. Cuando segun los valores que toman, hace necesario para el alumnomodificar las estrategias de resolucion y en consecuencia el conocimiento necesario para resolver la cuestion. Eldocente (Brousseau, 1995) “puede utilizar valores que permiten al alumno comprender y resolver la situacion consus conocimientos previos, y luego hacerle afrontar la construccion de un conocimiento nuevo fijando un nuevovalor de una variable. La modificacion de los valores de esas variables permiten entonces engendrar, a partir de unasituacion, ya sea un campo de problemas correspondientes a un mismo conocimiento, ya sea un abanico de proble-mas que corresponden a conocimientos diferentes...una secuencia didactica”. La teorıa de Brousseau plantea unatipologıa de etapas en las situaciones didacticas. Cada una de ellas deberıa desembocar en una situacion a-didacti-ca, es decir, en un proceso de validacion del conocimiento construido. Dentro de las situaciones didacticas tenemos:

La situacion accion. Consiste basicamente en que los estudiantes trabajen activamente interactuando conel medio didactico, para lograr la resolucion de problemas y ası, la adquisicion de conocimientos. Este comporta-miento debe de darse sin la intervencion directa del docente.

La situacion de formulacion. Consiste en un trabajo grupal, donde se requiere la comunicacion entre losestudiantes. Se comparten experiencias en la construccion del aprendizaje. Por eso, en este proceso es importanteel control de la comunicacion de las ideas. La situacion de formulacion es basicamente el enfrentar a un grupo deestudiantes con un problema dado, generando la necesidad de que cada integrante del grupo participe del proceso,es decir, que todos se vean forzados a comunicar las ideas e interactuar con el medio didactico.

La situacion de validacion. Una vez que los estudiantes han interactuado de forma individual o de formagrupal con el medio didactico, se pone a juicio de un interlocutor el producto obtenido de esta interaccion. Esdecir, se valida lo que se ha trabajado,se ”discutecon el docente acerca del trabajo realizado para cerciorarse sirealmente es correcto.Es importante la interaccion, la interpelacion de las soluciones presentadas, tanto por partedel docente como de los companeros para poner de manifiesto la validez o no de las propuestas.

La situacion de institucionalizacion. En esta etapa los estudiantes ya han construido su conocimiento, seva a pasar del conocimiento a un saber. Es el momento donde se van a presentar los resultados, se designaranexplicitamente los contenidos trabajados en orden , digamos que se ”presentan.oficialmente a la clase.

Dentro de los intercambios que se producen en la Situacion Didactica, Brousseau identifica algunos efectos quepueden inhibir o interrumpir la construccion de conocimiento.Principalmente, son actitudes que generan efectosnegativos en los procesos de ensenanza-aprendizaje, o bien, en la definicion del Contrato Didactico. Principalmentese senalan cuatro efectos:

Efecto Topaze: se produce cuando los alumnos alcanzan la solucion de un problema, pero no por sus propiosmedios, sino porque el profesor asume la resolucion del problema. Ante las dificultades que tiene un grupo parallegar a la resolucion de un problema, el profesor termina indicando cual es el camino a seguir y de esa manera,no permite la construccion de conocimiento por parte de los estudiantes.

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Efecto Jourdain: Consiste en la actitud que toma el profesor cuando un estudiante da una respuesta que esincorrecta pero, no obstante, para no desilusionarlo le dice que “esta bien”, que esa la respuesta correcta.

Deslizamiento Meta-Cognitivo: Consiste en la actitud de tomar una heurıstica en la resolucion de unproblema y asumirla como el objeto de estudio, simplificando al extremo.Por ejemplo: el uso de Diagramas deVenn en la teorıa de conjuntos. Cuando se comenzaron a analizar los diagramas de Venn se dejo de lado lo que esla teorıa de conjuntos, pues se tomaron los primeros como la teorıa en sı misma.

Uso Abusivo de la Analogıa: Si bien es importante el uso de la analogıa, no es apropiado naturalizar elsuplantar el estudio de una nocion compleja por un caso analogo.

Ejemplo 1. El profesor trata de resolver un problema en forma oral y en conjunto con sus alumnos. Se esfuerzade suscitar la iniciativa y participacion de ellos, y le gustarıa recibir rapidamente ideas, sugerencias(aunque sean erroneas) que sirvieran de punto de partida, para tanteos, ensayos o conjeturas. Pero elcurso permanece ¡desesperadamente mudo! ¿Los alumnos han confundido esta situacion con la de unainterrogacion oral? En la situacion descrita los alumnos no saben a que juego se juega.

Ejemplo 2. El profesor propuso un ejercicio al curso (considerado debil en su conjunto) y trata de recoger ideaspara partir o enfocar el problema. Un alumno hace una intervencion claramente perdida. El profesorle pide que escriba su proposicion en el pizarron y se apresta a suscitar una crıtica con todo el curso.Pero el inspector general, presente en la sala, que no habıa captado hasta ese momento que tipo decontrato didactico estaba en juego, no pudo sobreponerse a su impaciencia. Salio a la pizarra y enalgunos segundos explico que la frase escrita era una estupidez y propuso inmediatamente una listade contraejemplos, que el profesor se proponıa justamente hacer que los alumnos descubrieran porsı solos. De este modo el ejercicio se termino antes de haber comenzado.

Ejemplo 3. Este es el dibujo de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes. Hay que fabricar un rompe-cabezas que sea igual a este pero mas grande, de manera que un lado que en este rompecabezas mide3 cm, en el otro mida 5 cm.

Solucion:La consigna es facilemente comprendida por los ninos de tercer grado, en primera instancia, la estra-tegia base que consiste en agregar 2 cm(puesto que 2+3=5)a cada uno de los lados de las figuras quecomponen el rompecabezas dado. El fracaso de esa estrategia constituye una gran sorpresa para losninos. Vuelven a insistir en ella, procurando efectuar las medidas con mayor precision. Hasta que caenen la cuenta de que deben buscar otra estrategia, cuyo desarrollo contribuira a la construccion delconcepto de numero racional (puesto que 3 ∗ 5

3 = 5). Una variable de comando de esta situacion es la

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Figura 41: Diseno de rompecabezas

relacion numerica entre los tamanos de los rompecabezas. Si se mpide que aumente el lado de 3 cm a6 cm gran parte de los alumos recurrira a un modelo multiplicativo (3*2=6) en vez del modelo aditivoque emplearon en el modelo anterior (3+3=6), debido a que, en este caso, el factor desconocido es unnumero entero.

2.2.3. Propuesta Didactica de Los Van Hiele.

Son de sobra conocidas las dificultades con que se encuentran los profesores de Matematicas de EnsenanzaSecundaria para con seguir que sus alumnos comprendan los temas que estudian y puedan ir mas alla de la simplememorizacion de las definiciones, demostraciones, algoritmos o metodos de resolucion de ejercicios que ”van parael examen”. Las causas de estas dificultades son multiples y complejas, tanto de tipo social como academico, siendouna de las principales la falta de preparacion de los estudiantes para superar el salto metodologico que supone elpaso de la Ensenanza en basica a la Secundaria.

Por una parte nos encontramos con que, en las clases de Matematicas de la Ensenanza Primaria, muchos pro-fesores utilizan metodologıas inductivas, activas, que estan caracterizadas por una ensenanza dc tipo informal (esdecir, no formal), basada en la manipulacion y la observacion por los estudiantes de su propia actividad como basepara la comprension y construccion de los conceptos antes de la memorizacion de las definiciones, los principalesresultados o los algoritmos.

Otros profesores de Primaria se inclinan por una ensenanza mas deductiva, donde predomina la clase magis-tral, quedando la comprension relegada a un segundo plano, en detrimento de la actividad comprensiva de losestudiantes, a los cuales solo se les pide memorizar definiciones, propiedades, formulas y algoritmos. En todo caso,es difıcil encontrar cursos de Primaria, ni siquiera del Ciclo Superior, en los que se realicen demostraciones mas omenos rigurosas, aunque sean intuitivas, de las propiedades o resultados que se estan estudiando. Por el contrario,las Matematicas de la Ensenanza Secundaria suelen ser mucho mas formales y desde el primer momento estanpresentes todos los elementos tıpicos de los metodos matematicos de trabajo: Definiciones formales, demostracio-nes logicas, redes de teoremas, etc. Si unimos este factor a otros de tipo psicologico y social que estan tambienpresentes en esta etapa de paso de un nivel de ensenanza a otro, es logico el desconcierto y la falta de recursos

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de los estudiantes ante un cambio de las reglas del juego. Las consecuencias mas evidentes son la mecanizaciondel aprendizaje, el fracaso escolar, el abandono de los estudiantes y la disminucion del nivel de exigencia delprofesorado.

No es un problema nuevo, ni exclusivo de los sistemas educativos o de las metodologıas actuales. De hecho,hace casi 40 anos, la preocupacion ante este problema experimentada por Pierre Marie Van Hiele y Dina VanHiele-Geldof, dos profesores holande- ses de Matematicas de Ensenanza Secundaria, les indujo a estudiar a fondola situacion para tratar de encontrarle alguna solucion. El propio P.M. Van Hiele explica ası el origen de su interespor este tema (Van Hiele, 1986, p. 39): Cuando empece mi carrera como profesor de Matematicas, pronto me dicuenta de que era una profesion difıcil. Habıa partes de la materia en cuestion que yo podıa explicar y explicar,y aun ası los alumnos no entendıan. Podıa ver que ellos lo intentaban realmente, pero no tenıan exito. Especial-mente al comienzo de la Geometrıa, cuando habıa que demostrar cosas muy simples, podıa ver que ellos daban elmaximo de sı, pero la materia parecıa ser demasiado difıcil. -De pronto parecıa que comprendıan la materia encuestion. Podıan hablar de ella con bastante sentido y a menudo decıan: No es tan difıcil, pero ¿por que nos loexplico usted de forma tan complicada? En los anos que siguieron cambie mi explicacion muchas veces, pero lasdificultades se mantenıan. Parecıa como si siempre estuviera hablando en una lengua distinta. Y considerandoesta idea descubrı la solucion, los diferentes niveles del pensamiento.”

Los Van Hiele sugieren la existencia de cinco niveles de razonamiento. Las descripciones que presentamos acontinuacion son una sıntesis de escritos de los propios esposos Van Hiele y de otros autores posteriores que haninvestigado sobre las caracterısticas de los niveles: Burger, Shaughnessy (1986); Crowley (1987); Fuys, Geddes,Tischler (1988); Jaime, Gutierrez (1990), Van Hiele (1957), (1986); Van Hiele-Geldof (1957).

Nivel 1 Reconocimiento: El razonamiento geometrico de este nivel se caracteriza porque los estudiantes:

Usan propiedades imprecisas de las figuras geometricas para compararlas, ordenarlas, describirlas oidentificarlas.

Hacen referencia a prototipos visuales para caracterizar figuras.

Perciben las figuras geometricas en su totalidad, de manera global, como unidades.

Los estudiantes se limitan a describir el aspecto fısico de las figuras.

Al identificar o describir figuras, incluyen atributos irrelevantes, normalmente de tipo fısico o visual(por ej., la orientacion en el papel o el tamano).

Pueden aprender vocabulario geometrico, identificar formas determinadas y, dada una figura, puedenreproducirla (por ej., dandoles un geoplano o una hoja de papel, los estudiantes podrıan construir odibujar las figuras).

Perciben las figuras como objetos individuales, es decir que los estudiantes no son capaces de genera-lizar las caracterısticas que reconocen en una figura a otras de su misma clase. Comparan y clasificanfiguras geometricas basandose en su apariencia global. Por ejemplo, suelen utilizar expresiones como”... se parece a ...”, ”... tiene la forma de ...”, ”... es como ...”, etc.

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No reconocen explıcitamente como tales las propiedades Matematicas de las figuras: Aunque losestudiantes de este nivel pueden reconocer algunas propiedades o elementos de una figura, estas nojuegan un papel apreciable en el reconocimiento de dicha figura.

Identifican partes de una figura, pero:a) No analizan una figura en terminos de sus componentes.b) No piensan en las propiedades como caracterısticas de una clase de figuras.c) No hacen generalizaciones sobre formas ni usan un lenguaje apropiado.

Nivel 2 Analisis: El razonamiento geometrico de este nivel se caracteriza porque los estudiantes:

Son conscientes de que las figuras geometricas estan formadas por partes y de que estan dotadasde propiedades matematicas. Pueden describir sus partes y enunciar sus propiedades, siempre demanera informal, utilizando vocabulario apropiado para componentes y relaciones (por ejemplo,”lados opuestos”, ”los angulos correspondientes son iguales”, ”las diagonales se cortan en el puntomedio”, etc.).

Cuando se les pide que definan una figura, recitan una lista de propiedades necesarias para identificarla figura, en vez de determinar propiedades necesarias y suficientes.

Comparan figuras mediante el uso explıcito de propiedades de sus componentes.

Rechazan las definiciones dadas por el libro (o el profesor) en favor de las definiciones propias.

No comprenden la necesidad ni la mision de las definiciones.

Reconocen las propiedades Matematicas mediante la observacion de las figuras y sus elementos.

Tambien pueden deducir propiedades generalizandolas a partir de la experimentacion.

Al comprobar la validez de una afirmacion, tratan la Geometrıa como si fuera una ciencia experi-mental: Observan una variedad de figuras y sacan conclusiones generales sobre ellas.

Despues de utilizar varias veces un tipo de ejemplos con unas figuras, pueden hacer generalizacionesa la clase de figuras en cuestion.

No son capaces de relacionar unas propiedades con otras, por lo que no pueden hacer clasificacioneslogicas de figuras basandose en sus elementos o propiedades.

No son capaces de deducir unas propiedades de otras, porque perciben cada una de forma aislada ysin relacion con las demas.

Todavıa no pueden explicar las relaciones entre las propiedades, no ven las relaciones logicas entreclases de figuras.

Muestran una ausencia explıcita de comprension de que es una demostracion matematica.

No admiten la inclusion de clases entre diversas familias de figuras, por ejemplo de cuadrilateros.

Nivel 3 Clasificacion: El razonamiento geometrico de este nivel se caracteriza porque los estudiantes:

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Comienzan a desarrollar su capacidad de razonamiento matematico: Son capaces de reconocer queunas propiedades se deducen de otras y de deducir esas implicaciones (de un solo paso). Sin embargo,no comprenden el significado de la deduccion como un todo ni el papel de los axiomas.

Comprenden los sucesivos pasos individuales de un razonamiento logico formal, pero no entienden laestructura de una demostracion.

Pueden entender una demostracion explicada por el profesor o el libro de texto, pero no son capacesde construirla por sı mismos.

Tampoco ven como podrıa alterarse el orden logico de una demostracion ni saben como construiruna demostracion a partir de premisa diferentes de las que han visto.

Saben como razonar de acuerdo con un sistema logico deductivo, pero esto no es equivalente arazonar con la fuerza de la logica formal. En particular, no distinguen con claridad una implicacion(p entonces q ) de su recıproca (q entonces p ).

Son capaces de realizar razonamientos deductivos informales, usando implıcitamente reglas logicas,por ej. la regla de la cadena (si p entonces q y q entonces r entonces p entonces r ).

Pueden comprender demostraciones formales cuando se las explica el profesor o el libro de texto.

Utilizan las representaciones fısicas de las figuras mas como una forma de verificar sus deduccionesque como un medio para realizarlas. Pueden clasificar logicamente diferentes familias de figuras apartir de propiedades suyas ya conocidas formuladas con precision matematica. No obstante, sus ra-zonamientos logicos se siguen apoyando en la manipulacion y sus demostraciones son de tipo informal.Comprenden el significado de .al menos un”, ”todo”, etc. Comprenden el papel de las definiciones ypueden dar defini- ciones matematicamente correctas. Son capaces de:a) Identificar conjuntos diferentes de propiedades que carac- terizan a una clase de figuras y compro-bar su suficiencia.b) Identificar conjuntos mınimos de propiedades que pueden caracterizar a una figura.c) Formular y utilizar una definicion para una clase de figuras. Pueden modificar definiciones yusar inmediatamente defini- ciones de conceptos nuevos. En sus demostraciones, hacen referenciasexplıcitas a las definiciones. Son capaces de aceptar formas equivalentes de una definicion.

Nivel 4 Deduccion formal: El razonamiento geometrico de este nivel se caracteriza porque los estudiantes:

Pueden entender y realizar razonamientos logicos formales.

Las demostraciones (de varios pasos) ya tienen sentido para ellos y aceptan su necesidad como unicomedio para verificar la veracidad de una afirmacion.

Realizan con frecuencia conjeturas e intentos de verificar las conjeturas deductivamente.

Pueden construir, no solo memorizar, demostraciones y ven la posibilidad de desarrollar una demos-tracion de distintas maneras.

Pueden comparar y contrastar demostraciones diferentes de un mismo teorema.

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Comprenden las interacciones entre las condiciones necesarias y las suficientes y distinguen entre unaimplicacion (p entonces q ) y su recıproca (q entonces p ).

Aceptan la existencia de definiciones equivalentes del mismo concepto y son capaces de demostrarsu equivalencia.

Pueden comprender la estructura axiomatica de las Matematicas, es decir el sentido y la utilidad determinos no definidos, axiomas, teoremas, ...etc.

Pueden pensar en las mismas cuestiones que en el nivel ante rior pero razonando o justificando lasafirmaciones de manera rigurosa.

Dan argumentos deductivos formales, pero no investigan los sistemas axiomaticos en sı mismos nicomparan sistemas axiomaticos diferentes.

Nivel 5 Rigor: El razonamiento geometrico de este nivel se caracteriza porque los estudiantes:

Se encuentran en el maximo nivel de rigor matematico segun los parametros actuales. Son capacesde prescindir de cualquier soporte concreto para desarrollar su actividad matematica. Aceptan laexistencia de sistemas axiomaticos diferentes y puede analizarlos y compararlos.

En resumen, podemos decir que la capacidad de razonamiento geometrico de los individuos puedeevolucionar a lo largo del tiempo pasando por diferentes grados de calidad:

Un primer nivel en el que se maneja solamente informacion visual y cuya forma de razonamiento nopuede ser considera- da como propiamente matematica.

Un segundo nivel en el que se empieza a reconocer la presencia de propiedades Matematicas de losobjetos, si bien el razonamiento se sigue basando en la percepcion fısica.

Un tercer nivel en el que comienza a desarrollarse la capacidad de razonamiento riguroso y se escapaz de manejar los elementos mas simples del sistema formal (definiciones o implicaciones de unsolo paso).

Un cuarto nivel en el que se completa la formacion del razona- miento matematico logico-formal delos individuos.

Por ultimo, un quinto nivel en el que se adquieren los conocimientos y habilidades propias de losmatematicos profesionales.

En general, en un determinado nivel, los estudiantes utilizan de forma implıcita (y por lo tanto inconsciente) de-terminadas habilidades y herramientas mentales, produciendose el paso al nivel siguiente cuando esas habilidadesy herramientas llegan a utilizarse de forma consciente y voluntaria, por lo que es posible reflexionar sobre ellas.Por lo tanto, para adquirir un nivel de razonamiento es necesario haber adquirido antes el nivel precedente. Lasiguiente tabla resume los principales elementos explıcitos e implıcitos en los diferentes niveles.

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Figura 42: Niveles y etapas de Van Hiele

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2.2.4. La Resolucion de Problemas. Conceptualizacion

Un problema es una dificultad o una duda que impide la comprension adecuada de una situacion; este metodoes muy parecido al de proyecto. La diferencia consiste en que el metodo de problemas tiende a obtener unacomprension racial de la realidad, el metodo de proyecto busca el dominio practico de esa realidad.

2.2.5. Metodo de Proyectos. Investigacion.

Para el docente, esta metodologıa, aunque siempre con excepciones, supone un mayor control de la clase, pueses el el que determina que ensenara y, por tanto, que tendran que aprender los alumnos. A su vez, los alumnossaben perfectamente que tendran que estudiar para el examen, pues suelen aparecer ejercicios similares a lospracticados en clase y/o contenidos teoricos que se han de memorizar.

Para los estudiantes, ademas de la ventaja comentada anteriormente, es suficientemente objetiva, pues se basaen haber respondido en la lınea del discurso del profesor. Tambien lo es para las familias, pues, mayoritariamente,tambien han aprendido con este tipo de metodologıa.

Sin embargo, este metodo no beneficia a todos los estudiantes, ni tan solo, aunque se crea lo contrario, a losque tienen mayor capacidad. El nivel impartido por el docente nunca se va a acomodar a la diversidad del aula.Si es alto, los de menor capacidad se descolgaran y podrıan aparecer, incluso, problemas conductuales. Si es bajo,los de altas capacidades se desmotivaran, llegando al caso de que pueden suspender la asignatura. Es cierto quetanto los unos como los otros suelen ser minorıa, pero, ¿no serıa mejor llegar a todos los alumnos?

Otro punto debil es que los contenidos estan determinados por el profesor o, peor, por un libro de texto. Estoprovoca falta de creacion por parte de los estudiantes, pues no participan ni de la confeccion de los contenidos, nide como mostrarlos ni de como evaluarlos. Son simples espectadores, pero sin capacidad de crıtica.

Finalmente, la instruccion directa se caracteriza por impartir los contenidos agrupados por tematicas similares,atomizados, de manera que no es que no haya transversalidad entre materias, sino que ni siquiera la suele haberentre contenidos de la propia asignatura. El alumno pierde, por tanto, en capacidad de abstraccion y de relacion,fundamentales para que puedan crear conocimiento por sı solos.

Aprendizaje basado en proyectosIndependientemente de como este disenado el proyecto, este permite interacciones de todo tipo: entre los

alumnos de un mismo grupo, entre alumno y profesor, entre grupos de la misma clase y otro, tan importante comolos anteriores, entre el alumno y el mismo, es decir, el alumno reflexionando sobre su propio aprendizaje.

Un proyecto, al poner en marcha, diferentes contenidos de la materia, o de otras materias, ademas de contextua-lizarlos permite aplicarlos en diferentes situaciones, lo que hace que se pongan en marcha diferentes competenciasde los alumnos. Incluso, en funcion del diseno del proyecto, los estudiantes puede participar de que contenidos sevan a trabajar y con que objetivos, democratizando el proceso de ensenanza-aprendizaje y, lo mas importante,viendose como parte de el. Naturalmente, el docente debe actuar como guıa para que los objetivos del curso, segunedad y nivel, se alcancen.

En funcion de como se disenen los grupos de alumnos, se puede atender mejor a la diversidad del aula, desdepoder dedicar mas tiempo a los de menor capacidad como el de llevar a cabo la misma actividad desde diferentes

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puntos de vista y dificultad, lo que va a favor de la motivacion de los estudiantes que, en otro caso, tirarıan latoalla ante un problema que ven imposible de resolver.

Naturalmente, toda metodologıa tiene sus aspectos menos ventajosos. A mi modo de ver, el principal es laevaluacion. En un proyecto las actitudes de los alumnos representan una parte muy importante del proceso, porlo que tambien deberan ser evaluados, con la dificultad que esto representa. Las rubricas ayudan en este tipo deevaluacion, pero no da la impresion, aunque lo sea, de ser tan objetiva como los tıpicos examenes.

El diseno de los grupos tambien puede plantear algunos problemas. Por ejemplo que algunos alumnos acabenasumiendo el pleno control de la situacion y que otros, deliberadamente, se dejen llevar. No creo que haya unasolucion global a esto. Mas bien, el docente debe conocer perfectamente a su alumnado y decidir cuantos integran-tes deberıa haber, si han de ser homogeneos segun el criterio de capacidad (en general, no en una unica materia),etcetera. Por eso, creo que no es bueno empezar el curso con un proyecto de muchas horas, sino mas bien conpequenos problemas, situaciones, discusiones, etcetera, a nivel individual.

Una cuestion, mas ambiental, es la del nivel de ruido”que se genera en una clase en la que se tiene que discutirsobre una cuestion. Hay que estar preparado para esto antes de empezar un proyecto y no esperar que los alumnostrabajen en voz baja o que se levanten para pedir consejo a otro grupo. El profesor debe tambien ensenar a crearel ambiente mas adecuado para trabajar. A esto tambien se aprende.

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Prototipo de un proyecto

Título del proyecto Reciclaje sostenible

Modalidad He escogido la retrospectiva, es decir, el producto final estará definido desde el principio y el

proyecto estará diseñada mediante actividades secuenciales. Sin embargo, el enfoque será una

mezcla entre explorativo y ejecutivo, aunque primará este segundo.

Etapa educativa Este proyecto está pensado para los alumnos de 4º de ESO. Principalmente se trabajarán

contenidos matemáticos, aunque tengo pensado que este englobado en un conjunto de

proyectos relacionados con el medio ambiente y la sostenibilidad, por lo que se implicaría a

otras asignaturas como biología y geología, física y química y tecnología.

Perfil de los estudiantes En mi centro, la asignatura de matemáticas en 4º de ESO se divide en tres grupos a partir de

las dos líneas de las que disponemos y según el criterio del itinerario formativo elegido por los

alumnos.

Este proyecto se llevará a cabo con los alumnos que han elegido el itinerario de ciencias y

tecnología, los cuales tienen pensado cursar el bachillerato de esta modalidad en nuestra

escuela, aunque se podría aplicar en cualquier otro curso, adaptando la formalización de los

conceptos matemáticos a su capacidad, nivel educativo y conocimientos previos.

Los alumnos trabajarán, según las actividades, o bien individualmente o bien en grupos de 2 a

4 integrantes, en función de las características de estos. No se asignará ningún rol en concreto

a ninguno de ellos. Si fuera necesario, serían ellos mismos los que deberían repartirse algunas

tareas.

Producto final El eje vertebrador del proyecto consiste en construir una papelera para almacenar las pilas que

consumimos en la escuela, la mayoría procedentes de los teclados y ratones inalámbricos, los

mandos de los proyectores y los lápices de algunas pizarras digitales interactivas.

Además, los alumnos, por grupos, tendrán que hacer un blog a modo de diario y una

presentación como resumen del proceso.

Recursos

Aula

Ordenador, con acceso a Internet, y proyector. A ser posible, pizarra digital interactiva para

facilitar el uso de los programas informáticos como GeoGebra y hoja de cálculo, que deberán

estar instalados.

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Alumnos

Ordenador portátil (con GeoGebra, procesador de textos y hoja de cálculo instalados), láminas

de cartón, tijeras, cinta adhesiva, regla y compás.

Se necesitará también que dispongan de un blog por grupo, lo que podría requerir una cuenta

de correo concreta (Gmail, por ejemplo).

Fases de trabajo El concepto de reciclaje sostenible, que da título al proyecto, se basa en que, además de

utilizar materiales fácilmente reciclables, la papelera ha de tener el máximo volumen posible.

Los grupos harán una entrada en el blog por cada fase del trabajo. Les servirá como diario y

como una manera de expresar sus ideas y conclusiones.

1ª fase: aproximación al problema (individual/grupal)

Para ello, utilizaremos una láminas de cartón que se suelen utilizar en plástica, de forma

cuadrada y se pedirá a los alumnos, en grupos de 3 o 4, que piensen de qué manera se podría

hacer una caja (ideas previas sobre desarrollos de figuras tridimensionales). Asimismo, se les

pedirá que piensen en cómo diseñarla para obtener el máximo volumen posible.

Primero, los alumnos trabajarán individualmente y entregarán un documento de trabajo con

sus propuestas al profesor. Más tarde, ya por grupos, las pondrán en común para decidir cuál

de ellas será la propuesta de grupo. Finalmente, se expondrán las de todos los grupos para

valorarlas. Al poner en común los posibles diseños, también se les propondrá, si es que no lo

han pensado ellos, que valoren construir la caja recortando unos cuadrados en las esquinas.

2ª fase: experimentación (grupal)

A continuación, se les propondrá averiguar si todos los diseños tendrán el mismo volumen, si

hay alguna que tenga volumen máximo, si es posible construir dos cajas de forma diferente

pero que tengan el mismo volumen, ... (más ideas previas o preconcebidas).

El objetivo que se persigue con este tipo de actividades es que descubran que las matemáticas

pueden ayudarnos a resolver este tipo de preguntas sin construir físicamente los objetos, a

cambio de utilizar los objetos propios de esta materia: ecuaciones, funciones, gráficas, ...

3ª fase: conclusiones y elaboración del producto final (grupal)

Una vez extraídas las conclusiones finales, procederían a la construcción de la caja óptima, que

se dejará en la clase para su uso como recipiente de pilas gastadas.

4ª fase: propuestas alternativas a la trabajada (individual/grupal)

Al final se plantearán algunas pregunta abiertas, en forma de construcciones alternativas,

como, por ejemplo, si la forma de las pilas podría influir en el diseño de las cajas, como aplicar

lo que hemos aprendido a otros diseños (cilíndricos, esféricos, ...) o a otras situaciones de la

vida cotidiana (envases de leche, refrescos, ...). Los alumnos harán su propuesta de forma

individual y en un documento de trabajo que deberán entregar al profesor.

Posteriormente, ya en grupos, pondrán en común sus diseños y determinarán, por consenso,

cuál de ellos será el de grupo, el cual, a su vez, se pondrá en común con el de resto de grupos

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para discutir su eficiencia respecto del problema planteado inicialmente y en comparación con

el modelo propuesto como producto final.

5ª fase: aplicación a otros contextos (individual)

De los contenidos matemáticos que se han trabajado durante el proyecto, los alumnos

deberán ser capaces de aplicarlos en otras situaciones problemáticas y de extraer las

conclusiones necesarios para resolverlas.

Tiempo Aunque se podrá revisar más adelante, calculo que la ejecución del proyecto llevará entre 10 y

12 horas, lo que supondría unas 3 semanas.

Relación con el currículo Se trabajan diferentes conceptos presentes en el currículo que se podrán adaptar según el

nivel educativo, las capacidades y los conocimientos previos de los alumnos.

En este proyecto se trabajan todas las competencias básicas en un momento u otro del

proceso.

En el currículo de la comunidad de Catalunya, para cuarto curso de ESO, se indica que los

alumnos deben trabajar los siguientes procesos, todos ellos presentes en este proyecto:

Resolución de problemas: determinar que papelera tiene el volumen máximo y cómo

construirla.

Razonamiento y prueba: en la aproximación al problema se trabaja el proceso de

prueba, a partir del cual se llega al de razonamiento al construir un modelo

matemático sobre el volumen de la papelera.

Comunicación y representación: mediante el uso del blog y el trabajo en clase.

Conexiones: el proyecto tiene un contexto claro y se relaciona con materias como las

ciencias naturales y sociales

De los bloques de contenidos, se trabajan los siguientes aspectos:

Numeración y cálculo:

o Uso de todo tipo de números, tanto racionales como irracionales y las

aproximaciones de estos.

o Representación gráfica de los números sobre la recta al dibujar la gráfica de

una función.

Cambio y relaciones:

o Análisis de funciones de una variable: polinómica de grado 3.

o Comprensión de relaciones funcionales, selección y utilización de diversas

formas de representación y paso de las unas a las otras.

o Utilización de las TIC en la generación de gráficas y de expresiones simbólicas

de las funciones.

o Uso del álgebra para la representación y expresión de relaciones matemáticas.

o Utilización de las TIC como soporte en la resolución de ecuaciones y análisis

del significado y la razonabilidad de los resultados.

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o Elaboración de conclusiones razonables de una situación, una vez modelada.

o Interpretación y construcción de gráficas de funciones.

Espacio y forma:

o Uso de modelos geométricos para facilitar la comprensión de los conceptos y

propiedades numéricas y algebraicas.

o Utilización de ideas geométricas para resolver problemas en contextos de

otras disciplinas.

Medida:

o Análisis de la precisión, la exactitud y el error en situaciones de medida.

Evaluación Se valorarán todas las fases del proyecto en cuanto al contenido matemático como a las

actitudes mostradas. Por supuesto, también la construcción de la papelera óptima y las

entradas al blog.

La evaluación se hará mediante rúbricas (pendientes de confección) que los alumnos

conocerán de antemano. El tipo de rúbrica será diferente en cada fase, haciendo más énfasis

en las actitudes en algunas y en los contenidos en otros:

1ª fase: primará la calidad de la propuesta sobre el contenido matemático.

2ª fase: se tendrán en cuenta actitudes como la perseverancia en el ensayo-error, pero

primará el uso de objetos matemáticos.

3ª fase: sobre todo que las conclusiones sean coherentes con los resultados de la 2ª

fase. También la estética del producto final.

4ª fase: de nuevo, la calidad de la propuesta.

5ª fase: la capacidad de aplicar lo aprendido en otros contextos.

En todas las fases se valorará la entrada en el blog, que deberá ser acorde a lo

trabajado en cada una de ellas y también en cuanto a la expresión escrita, incluyendo

la ortografía.

Queda también pendiente determinar el peso de las diferentes fases, aunque una primera

aproximación sería la siguiente:

1ª fase 2ª fase 3ª fase 4ª fase 5ª fase

20% 30% 20% 10% 20%

2.3. Metodos de Prueba.

Segun el diccionario de la Lengua Espanola de la Real Academia Espanola, demostracion (del latın demons-tratio, -onis) es, segun una de las entradas del termino, “la prueba de algo, partiendo de verdades universales yevidentes”.

En terminos matematicos, diremos que una demostracion es una serie de pasos logicos, donde cada paso sesigue de manera logica de los anteriores, encontrandose que el ultimo escalon es justamente la afirmacion que sequiere probar. El siguiente esquema nos aclara de forma intuitiva el procedimiento de trabajo en los diferentescampos de las Matematicas.

Partiendo de unas definiciones y un cuerpo axiomatico bien definidos, se trata de ir desarrollando un cuerpoteorico en el que en primer lugar se van deduciendo, mediante pasos logicos, una serie de resultados “menores”(lemas, proposiciones, . . . ), que vienen a ser piezas de un puzle que unidas convenientemente dan lugar a resultadosde mayor envergadura y calado.

Aunque en principio el cuerpo de doctrina que se desarrolla es meramente teorico, no son desdenables -nidebemos perder su perspectiva- las posibles aplicaciones de los resultados encontrados. Sin ir mas lejos, la des-composicion de los numeros naturales en factores primos es pilar en que se basa el fluir seguro de informacion enInternet.

A continuacion, veremos los diferentes metodos de demostracion que se emplean en los pasos logicos que con-ducen a las afirmaciones que se quieren probar. Debe destacarse que la validez de los resultados obtenidos siguenun estricto protocolo o control de calidad: partiendo de verdades ya conocidas debemos encontrar argumentoslogicos que nos conduzcan a la conclusion deseada.

2.3.1. Metodo Inductivo.

2.3.2. Metodo Directo.

Una demostracion de este tipo muestra que la verdad de la conclusion Q, se sigue logicamente de la verdad dela hipotesis P. La demostracion empieza asumiendo que P es verdad para despues, utilizando cualquier informaciondisponible, ası como teoremas probados con anterioridad, probar que Q es verdad.

Ejemplo: Demostrar que el cuadrado de un numero entero par tambien es par.Demostracion: El teorema a demostrar escrito en forma de condicional, serıa “Para cualquier entero n, si n es par,entonces n2espar”quesecorrespondeconelesquema

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2.3.3. Metodo indirecto o Recıproco.

2.3.4. Metodo Contra Recıproco.

2.3.5. Metodo de Casos.

2.3.6. Metodo de Reduccion al Absurdo.

3. Planificacion Didactica

3.1. El currıculo de Matematica de Tercer Ciclo y de Bachillerato.

3.1.1. Secuenciacion y temporalizacion de los bloques de unidades tematicas.

3.2. Organizadores Didacticos y Componentes del Currıculo.

3.2.1. Analisis Fenomenologico.

3.2.2. Representacion y Modelos.

3.2.3. Errores y Dificultades.

3.2.4. Materiales y recursos.

3.2.5. Desarrollo Historico.

3.3. Analisis Didactico del Contenido.

3.3.1. Elaboracion de Unidades Didacticas.

3.4. La matematica en el aula.

3.4.1. Enfoques didacticos.

3.4.2. Uso de Nuevas tecnologıas.

3.4.3. Elaboracion de Material didactico.

3.4.4. Matematica Ludica.

3.5. Abordajes Metodologicos de temas especıficos: Aritmetica, Algebra, Funciones, Calcu-lo, Estadıstica y Probabilidad.

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