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DIAGRAMAS DE ESTADO

Fernando di Sciascio (2016)

Diagramas de Estado

Los Diagramas de Estado son una extensión de losdiagramas de flujo señal y permiten describirgráficamente ecuaciones diferenciales y de estado. Eldiagrama de estado tiene una relación muy cercana conlas ecuaciones de estado, las funciones de transferenciay las simulaciones mediante computadora. Se construyensiguiendo todas las reglas de los gráficas de flujo señal,utilizando la transformada de Laplace de las ecuacionesde estado o en el dominio del tiempo medianteoperadores integrales.

Diagramas de Estado

Vamos a construir el Diagrama de Estado de un ejemplo apartir de las Ecuaciones de Estado. Esta herramienta nosayuda a visualizar las Variables de Estado.

Posteriormente el Diagrama de Estado nos permitirá obtenerrepresentaciones alternativas de los sistemas en espacio deestado, por ejemplo, las distintas formas canónicas.

Consideremos las siguientes ecuaciones de estado y de salida.

Diagramas de Estado a partir de las Ecuaciones de Estado

(a) Dibujar los nodos de derecha a izquierda

1) Se identifican los nodos de las variables de estado x1, x2, x3,

…; también se identifican los nodos a la izquierda de lasvariables de estado que serán las derivadas de las variables deestado (Figura a). También se identifican los nodos de entradar y de salida y.


2) Se conectan las variables de estado con sus derivadasmediante 1/s (o el operador integral 1/p) como se muestra en

la Figura (b).

(b) Interconectar las variables de estado y las derivadas

3) Utilizando las ecuaciones de estado, se introducen en cada nodolas señales indicadas. Por ejemplo, al nodo de sX1=>dx1/dt debe llegar2x1 - 5x2 + 3x3+ 2r, Figura (c).

(c) Formar dx1/dt

(d) Formar dx2/dt

4) De manera similar el nodo sX2=>dx2/dt debe recibir - 6x1 - 2x2

+ 2x3 + 5r ver Figura (d).


5) De manera similar al nodo sX3=>dx3/dt debe llegar x1 - 3x2 -

4x3 + 7r ver Figura (e).

(e) Formar dx3/dt

6) Finalmente, utilizando la ecuación de salida, al nodo de la salida y

debe llegar - 4x1 + 6x2 + 9x3, ver la Figura (f)

Se ha llegado a la representación final en variables de fase dondelas variables de estado son las salidas de los integradores.

(f) Formar la señal de salida Y(s)

Diagramas de Estado

Ahora utilizaremos los Diagramas de Estado paradesarrollar formas alternativas de los modelos deVariables de Estado a partir de la función detransferencia. Esto se conoce como DESCOMPOSICIÓN

DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

Como ejemplo veremos dos descomposiciones:

● Descomposición en serie o cascada.

● Descomposición en paralelo.

Descomposición de una Función de Transferencia en Serie

Consideremos la siguiente función de transferencia paraejemplificar el método.

Se descompone la función de transferencia en bloques en serie defunciones de transferencia simples como se muestra en la figura(de primer orden para polos reales distintos, de orden r para polosreales repetidos r veces y de segundo orden para polos complejosconjugados).


En este ejemplo, cada bloque simple de primer orden tiene lasiguiente función de transferencia.


Ahora construimos el Diagrama de Estado de cada ecuacióndiferencial representativa de los bloque de funciones detransferencia de primer orden.


Ahora construimos el Diagrama de Estado total con los tres bloquesde las funciones de transferencia de primer orden.


Ahora a partir del Diagrama de Estado escribimos las ecuaciones deestado y de salida.


Finalmente, rescribimos las ecuaciones escalares en formamatricial.

La descomposición de la función de transferencia en serie nos ha llevado a la forma canónica triangular de Jordan.

Descomposición de una Función de Transferencia en Paralelo

Consideremos la misma función de transferencia que en ladescomposición serie para ejemplificar el método. Al desarrollar lafunción de transferencia en fracciones parciales y calcular losresiduos se obtiene la última igualdad.

El desarrollo en fracciones parciales es equivalente a descomponerla función de transferencia original en bloques de funciones detransferencia simples en paralelo (de primer orden para polosreales distintos, de orden r, r-1,… para polos reales repetidos rveces y de segundo orden para polos complejos conjugados).

Ahora construimos el Diagrama de Estado total con los tres bloquesen paralelo de funciones de transferencia de primer orden.

Descomposición de una Función de Transferencia en Paralelo

Ahora a partir del Diagrama de Estado escribimos las ecuacionesde estado y de salida y rescribimos las ecuaciones escalares enforma matricial.

La descomposición de la función de transferencia en paralelo nuevamente nos ha llevado a la forma canónica triangular de Jordan.

MODELOS DE ESTADO

PARA

SISTEMAS INTERCONECTADOS

CONEXIÓN EN SERIE O CASCADA

CONEXIÓN EN PARALELO

CONEXIÓN EN REALIMENTACIÓN


Interconexión de Modelos en Espacio de Estado

Para construir modelos en espacio de estados desistemas complejos, es necesario saber interco-nectar sistemas simples. Esta interconexión esusualmente la combinación de tres tipos básicosde estructuras:

Conexión en serie o cascada.

Conexión en paralelo.

Conexión en realimentación.

En cada uno de estos casos nos interesa obtenerun modelo en variables de estado del sistemacompleto resultante.

Interconexión de Modelos en Espacio de Estado

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

x t A x t B u tSistema

y t C x t D u t

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( )

x t A x t B u tSistema

y t C x t D u t

Para el análisis que sigue consideramos dos sistemas, definidos mediante su modelo en variables de estado:

Interconexión en Serie o Cascada

Para obtener el modelo de estado deseado, observamosque:

1 2 2 1( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )u t y t u t u t y t y t


2 2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y t C x t D u t

u t

x t A x t B u t

A x t B C x t D u t

A x t BC x t B D u t

x t A x t B u t A x t B u t

1 2 2 1( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )u t y t u t u t y t y t

Escribimos la ecuación de estado para cada subsistema yreemplazamos las igualdades de arriba.


Ahora escribimos la ecuación de salida para S1 yreemplazamos variables.

1 1 1 1 2 2 1 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t A x t BC x t B D u t

x t A x t B u t

2 2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y t C x t D u t

y t y t C x t D u t

C x t D C x t D u t

C x t DC x t D D u t


Reescribiendo en forma matricial:

1 1 1 2 1 1 2

2 2 2 2

11 1 2 1 2

2

( ) ( )( )

( ) 0 ( )

( )( ) ( )

( )

x t A BC x t B Du t

x t A x t B

x ty t C DC D D u t

x t

1 1 2 1 2

2 2

1 1 2 1 2

,0

,

s s

s s

A BC B DA B

A B

C C DC D D D

clear, clc, close all

S1=ss([0 1;-4 -3],[0; 1],[1.5 1],[0])

S2=ss([-2],[1],[3],[1])

[A1,B1,C1,D1]=ssdata(S1);


As=[A1 B1*C2;0 0 A2];

Bs=[B1*D2;B2]; Cs=[C1 D1*C2]; Ds=D1*D2;

serie=ss(As,Bs,Cs,Ds); serie2=series(S1,S2);

[y,t]=step(serie,4); [y2,t2]=step(serie2,4);

plot(t,y,'b','LineWidth',2)

hold on

plot(t2,y2,'or','LineWidth',2,'MarkerSize',4)

hold off

Se compara la interconexión serie que genera el comandode Matlab serie2=series(S1,S2) con el modelo teóricoserie=ss(As,Bs,Cs,Ds).

Ejemplo de interconexión serie:

Ejemplo de interconexión serie:

Interconexión en Paralelo

Para obtener el modelo equivalente de la interconexiónparalelo observamos que:

1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )u t u t u t y t y t y t


1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )u t u t u t y t y t y tEscribimos las ecuaciones de estado para cadasubsistema y la ecuación de salida utilizando lasigualdades de arriba.

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t A x t B u t

x t A x t B u t

y t y t y t

C x t C x t D D u t


Reescribimos en forma matricial.

1 1 1 1

2 2 2 2

11 2 1 2

2

( ) 0 ( )( )

( ) 0 ( )

( )( ) ( )

( )

x t A x t Bu t

x t A x t B

x ty t C C D D u t

x t

1 1

2 2

1 2 1 2

0,

0

,

p p

p p

A BA B

A B

C C C D D D


S1=ss([0 1;-4 -3],[0; 1],[1.5 1],[0])

S2=ss([-2],[1],[3],[1])



Ap=[A1 zeros(2,1);zeros(1,2) A2];Bp=[B1;B2];

Cp=[C1 C2]; Dp=D1+D2;

paralelo=ss(Ap,Bp,Cp,Dp);

paralelo2=parallel(S1,S2);

[y,t]=step(paralelo,2);

[y2,t2]=step(paralelo2,2);

plot(t,y,'b','LineWidth',2);hold on


hold off

Se compara la interconexión paralelo que genera el comandode Matlab paralelo2=parallel(S1,S2) con el modeloteórico paralelo=ss(Ap,Bp,Cp,Dp).

Ejemplo de interconexión paralelo:

Ejemplo de interconexión paralelo:

Interconexión en Realimentación o Feedback

La interconexión de sistemas en realimentación o feedback(con realimentación negativa unitaria) aparece normalmenteasociada a la estructura básica del lazo de controlrealimentado, donde S1 es el sistema a controlar y S2 es elcontrolador. Se observan las siguientes relaciones:

2 1 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( )u t u t y t y t y t y se asume que D1=0

Interconexión en Realimentación o Feedback

1 1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 2 1 2 2 2

11

2

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) 0

( )

x t A B D C BC x t B Du t

x t B C A x t B

x ty t C

x t

1 1 2 1 1 2 1 2

2 1 2 2

1

,

0 , 0

f f

f f

A B DC BC B DA B

B C A B

C C D

Se llega a :


S1=ss([0 1;-4 -3],[0; 1],[1.5 1],[0])

S2=ss([-2],[1],[3],[0])



Af=[A1-B1*D2*C1 B1*C2;-B2*C1

A2];Bf=[B1*D2;B2];Cf=[C1 0];Df=0;

feedback_conection=ss(Af,Bf,Cf,Df);

feedback_conection2=feedback(S1*S2,1);

[y,t]=step(feedback_conection,2);

[y2,t2]=step(feedback_conection2,2);

plot(t,y,'b','LineWidth',2);hold on


hold off

Se compara la interconexión feedback que genera elcomando de Matlab feedback1=feedback(S1,S2) con elmodelo teórico feedback2=ss(Af,Bf,Cf,Df).

Ejemplo de interconexión feedback:

Ejemplo de interconexión feedback:

MODELOS DUALES


Todo modelo tiene su dual. Si se describe unmodelo en el espacio de estado por las matricesA, B, C y D, su modelo dual se describe por lasmatrices AD=AT; BD=CT; CD=BT y DD=D.

MODELOS DUALES

TD

TD

TD

D

A A

B C

C B

D D

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )d

Td d

T

T

x t x t u t

y t x t u t

A C

B D

Modelos Duales

Si se tiene un Diagrama de Estado del modelo originalcomo el de la figura siguiente:

Entonces el modelo dual se obtiene de la forma siguiente:

Modelos Duales

1. Se cambia el sentido de las fechas en todas lasramas.

2. Se intercambian las posiciones de Y(s) y U(s).

Modelos Duales

3. Se cambian las variables de estado por susderivadas y viceversa.

Modelos Duales

Las formas canónicas controlables y observables, sonformas duales (FCC1 dual de FCO1y FCC2 dualde FCO2), pues la matriz A de una forma es la

transpuesta de la otra, la B, la transpuesta de la C,

la C la transpuesta de la B, y como el sistema es

monovariable las matrices D son iguales.

Modelos Duales

Ejemplos

Modelos Duales

3 2

3 2

10 42 72: ( )

8 17 10

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 ,

0 1

1

1

8 2

cc cc cc cc

co co co

s s sEjemplo G s

s s s

A B C

FCC

O

D

A B C

FC

1coD

Modelos Duales

3 2

3 2

10 42 72: ( )

8 17 10

8 17 10 1

1 0 0 , 0 , 2 25 62 , 1

0 1 0 0

8 1 0 2

17 0 1 , 25 , 1 0 0 ,

1 0

2

0 2

2

0 6

cc cc cc cc

co co co

s s sEjemplo G s

s s s

FCC

A B C D

A B C

FCO

1coD

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