determinar la solución de la ecuación

Determinar la solución de la ecuación '' 2 ' 0 xy y xy + + = alrededor de 0 x = empleando el método de Frobenius. Solución Dado que la serie de Frobenius es: 0 n r n n y a x ∞ + = = ∑ Entonces: 1 0 2 0 ' ( ) '' ( 1)( ) n r n n n r n n y n r a x y n r n r a x ∞ + − = ∞ + − = = + = + − + ∑ ∑ Sustituir ' y y '' y en la ecuación diferencial dada: 2 1 0 0 0 ( 1)( ) 2 ( ) 0 n r n r n r n n n n n n x n r n r a x n r a x x a x ∞ ∞ ∞ + − + − + = = = + − + + + + = ∑ ∑ ∑ Es decir: 1 1 1 0 0 0 ( 1)( ) 2( ) 0 n r n r n r n n n n n n n r n r a x n r a x a x ∞ ∞ ∞ + − + − + + = = = + − + + + + = ∑ ∑ ∑ Ahora factorizar r x : 1 1 1 0 0 0 ( 1)( ) 2( ) 0 r n n n n n n n n n x n r n r a x n r a x a x ∞ ∞ ∞ − − + = = = + − + + + + = ∑ ∑ ∑ Agrupar en una la primera y segunda series: [ ] 1 1 0 0 ( 1)( ) 2( ) 0 r n n n n n n x n r n r n r a x a x ∞ ∞ − + = = + − + + + + = ∑ ∑ Y simplicar: [ ] 1 1 0 0 ( 1)( ) 0 r n n n n n n x n r n r a x a x ∞ ∞ − + = = + + + + = ∑ ∑ A continuación enfasamos las series desarrollando la primera por tanto: [ ] 1 0 1 1 0 1 2 0 ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( ) 0 r n n n n n n x r r a x r r a x n r n r a x a x ∞ ∞ − − + = = + + + + + + + + + = ∑ ∑ Ahora ambas series deben empezar en el mismo !ndice por tanto para la primera serie 1; 1 k n n k = − = + y para la segunda serie 1; 1 k n n k = + = − por lo que: "

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ecuaciones diferenciales

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Determinar la solucin de la ecuacin alrededor de empleando el mtodo de Frobenius.SolucinDado que la serie de Frobenius es:

Entonces:

Sustituir y en la ecuacin diferencial dada:

Es decir:

Ahora factorizar :

Agrupar en una la primera y segunda series:

Y simplificar:

A continuacin enfasamos las series desarrollando la primera, por tanto:

Ahora ambas series deben empezar en el mismo ndice, por tanto, para la primera serie y para la segunda serie , por lo que:

Al sumar las dos series y al factorizar se tiene que:

En donde:

Por lo que la ecuacin indicativa es:

Y sus races son:

Notar que de la ecuacin se observa que y que para la ecuacin de recurrencia es:

Es decir:

Por tanto, iterando la ecuacin anterior y al considerar , tendremos:

Ahora bien, al considerar que y son distintas y que su diferencia es igual a un nmero entero positivo, ver que las soluciones de la ecuacin tienen la forma:

Por tanto se tiene que:

Lo cual se puede expresar factorizando como:

Por otra parte, para la ecuacin de recurrencia es:

De donde:

Igualmente al considerar , iterando se tiene:

Dado que la forma general de solucin es:

Al sustituir los valores de los coeficientes se tiene que:

Finalmente al factorizar se tiene:

De esta forma, la solucin general de la ecuacin diferencial dada es:

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