DETERMINANTES

Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.Determinante de A se puede escribir de dos formas:

A determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un número real)

Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para evitar la confusión.

Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y 11aA y

definimos la determinante de A como 11aA .

Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2de modo que

2221

1211

aa

aaA es una matriz cuadrada de segundo orden.

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:

2221

1211

aa

aaA A ( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )

Ejemplo:

Encuentre A si 58383241314

23

A

EJERCICIO I

Hallar el determinante de las siguientes matrices:

1) 12

31

A

2) 35

13

A

3) 46

23B

4) qp

nmC

MENOR Y COFACTOR

MENOR

multiplicar multiplicar

RESTAR

multiplicar multiplicar

RESTAR

Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden 2nn , el menor Mij se definecomo el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y lacolumna j-ésima de A.Asi, para

Para hallar el menor M11:a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi

b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos)

c) Tercero hallamos el determinante

Hallar los menores M12, M22 y M32

COFACTOR

1

2

2 3

4

751

6A =

1

2

2 3

4

751

6M11 =

1

2

2 3

4

751

6M11 =75

64

1

2

2 3

4

751

6M11 = 23028657475

64

1

2

2 3

4

751

6M12 = 8614617271

62

1

2

2 3

4

751

6M22 = 437137171

31

1

2

2 3

4

751

6M32 = 066326162

31

El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij multiplicado por

ijjiij MA

1 El cofactor nos da como resultado es el signo del

menor.

Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores

MENOR COFACTOR

M11 = -2 22121211 211

ijji

ij MA

M12 = 8 88181811 321

ijji

ij MA

M22 = 4 44141411 422

ijji

ij MA

M32 = 0 0011 23

ijji

ij MA

En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:

EJERCICIO II

Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada.

1) 20

13A 2)

01

53

B

3) 41

23

C 4)

423

210

412

D

5) 031

242

523

D

DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3

Definición: el determinante de A de una matriz cuadrada de tercer orden se define así:

131312121111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

En esta definición se establece un patrón de multiplicar cada elemento de la fila 1 por sucofactor, luego se suman todos los resultados para hallar A . A éste proceso se leconoce como expandir A por primera fila, pero podemos expandir A por cualquierfila o columna.

Teorema de expansión de determinantes:El determinante de una matriz A de orden 2nn puede evaluarse multiplicando cadaentrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productosresultantes.

Ejemplo:

Hallar el determinante de A

321

542

356

A

Primero hallamos los cofactores de la primera fila

Cofactor de 11A 616166 211

Cofactor de 12A 515155 321

Cofactor de 13A 313133 431

Luego hallamos los menores de la primera fila

32

54 M

321

542

356

11A

31

52 M

321

542

356

12A

21

42 M

321

542

356

13A

Ahora lo colocamos como la definición

131312121111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

21

423

31

525

32

546

321

542

356

A

Ahora operamos

412231532525346

7755132

03115226

Teorema sobre una fila o columna de cerosSi todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entonces

.0A

Ejemplo:Calcule el determinante de

523

405

301

A

2215420045

312

53

310

53

450A

523

405

301

A

Ejemplo 2:Calcule el determinante de:

6251

0032

4010

3001

A

Desarrollamos A

Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segundacolumna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos eldeterminante por la segunda columna.

Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera columnatiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinantepor la tercera columna.

43

43332313

4343333323231313

2

2000

A

AAAA

AaAaAaAaA

6251

0032

4010

3001

A

032

410

301

22 43A

32

103

02

400

03

411122 34

43A

12626122301212

EJERCICIOS

Hallar el determinante de la matriz dada.

1)

136

524

213

A 2)

043

310

201

A 3)

324

613

152

A

4)

543

010

053

A 5)

214

401

372

A 6)

032

011

123

A

7)

112

043

152

A 8)

602

723

145

A 9)

214

401

372

A

Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43

así