determinacion de matriz de rigidez reticulado

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Determinación de matriz de rigidez de reticulado en forma directa Para el reticulado que se indica, determinar la matriz de rigidez. Considerar: [ ] 2 2 cm A A BC AC = = , [ ] 2 3 cm A AB = , [ ] 2 6 10 2 cm kg E = . Solución: Determinación de grados de libertad : 1 r desplazamiento horizontal de B ( ) : 2 r desplazamiento horizontal de C ( ) : 3 r desplazamiento vertical de C ( ) Por consiguiente la matriz de rigidez de la estructura será: [ ] 3 3 x K = Determinación de la matriz K mediante generación directa, aplicando la definición de rigidez: a) 1 1 = r , 0 3 2 = = r r . Se imprime un desplazamiento horizontal unitario al punto B, permaneciendo los restantes sin desplazarse. Producto de lo anterior, aparecerán fuerzas que permitan tal condición. Para la barra AB, mediante Hooke: [ ] Ton E T E T AB AB AB 1500 4 3 3 4 = = = Δ . Para la barra BC: mediante Hooke: 2 4 . 2 = Δ E T BC BC y por geometría en ABC Δ se tiene 5 3 = Δ BC (¿Cómo se obtiene este valor?). Por tanto: [ ] Ton T BC 1000 = Equilibrio de nudo B En este caso, se tiene: K 11 : Fuerza en dirección 1 cuando 1 1 = r . K 21 : Fuerza en dirección 2 cuando 1 1 = r . K 31 : Fuerza en dirección 3 cuando 1 1 = r .

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Se describe la determinación de la matriz de rigidez de un reticulado plano en forma directa

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  • Determinacin de matriz de rigidez de reticulado en forma directa Para el reticulado que se indica, determinar la matriz de rigidez.

    Considerar: [ ]22 cmAA BCAC == , [ ]23 cmAAB = , [ ]26102 cmkgE = .

    Solucin:

    Determinacin de grados de libertad

    :1r desplazamiento horizontal de B ( )

    :2r desplazamiento horizontal de C ( )

    :3r desplazamiento vertical de C ( ) Por consiguiente la matriz de rigidez de la estructura ser: [ ]

    33xK =

    Determinacin de la matriz K mediante generacin directa, aplicando la definicin de rigidez:

    a) 11 =r , 032 == rr . Se imprime un desplazamiento horizontal unitario al punto B,

    permaneciendo los restantes sin desplazarse. Producto de lo anterior, aparecern fuerzas

    que permitan tal condicin.

    Para la barra AB, mediante Hooke: [ ]TonETE

    TAB

    ABAB 1500

    4

    3

    3

    4==

    = .

    Para la barra BC: mediante Hooke: 2

    4.2

    =

    E

    TBCBC y por geometra en ABC se tiene

    5

    3= BC (Cmo se obtiene este valor?). Por tanto: [ ]TonTBC 1000=

    Equilibrio de nudo B

    En este caso, se tiene:

    K11: Fuerza en direccin 1 cuando 11 =r . K21: Fuerza en direccin 2 cuando 11 =r . K31: Fuerza en direccin 3 cuando 11 =r .

  • [ ]TonKKFH 210006.0100015000 1111 ==+= Equilibrio nudo C

    [ ]TonKKFH 60006.010000 2121 ==+=

    [ ]TonKKFV 80008.010000 3131 ===

    b) 12 =r , 031 == rr . Se imprime un desplazamiento horizontal unitario al punto C,

    permaneciendo los restantes sin desplazarse. Producto de lo anterior, aparecern fuerzas

    que permitan tal condicin.

    Por geometra en ABC se tiene: 5

    4= AC (alargamiento) y

    5

    3= BC (acortamiento)

    Para la barra AC, mediante Hooke: [ ]TonTE

    TAC

    ACAC 1000

    2

    2.3=

    = (tracc)

    Para la barra BC: mediante Hooke: [ ]TonTE

    TBC

    BCBC 1000

    2

    4.2=

    = (comp)

    Equilibrio de nudo B

    [ ]TonKKFH 60006.010000 1212 ==+= Equilibrio de nudo C

    [ ]TonKKFH 140006.010008.010000 2222 ==+=

    En este caso, se tiene:

    K12: Fuerza en direccin 1 cuando 12 =r . K22: Fuerza en direccin 2 cuando 12 =r . K32: Fuerza en direccin 3 cuando 12 =r .

  • [ ]TonKKFV 20008.010006.010000 3232 ==++=

    c) 13 =r , 021 == rr . Se imprime un desplazamiento vertical unitario al punto C,

    permaneciendo los restantes sin desplazarse. Producto de lo anterior, aparecern fuerzas

    que permitan tal condicin.

    Por geometra en ABC se tiene: 5

    3= AC (alargamiento) y

    5

    4= BC ( alargamiento)

    Para la barra AC, mediante Hooke: [ ]TonTE

    TAC

    ACAC 750

    2

    2.3=

    = (tracc)

    Para la barra BC: mediante Hooke: [ ]TonTE

    TBC

    BCBC 1333

    2

    4.2=

    = (comp)

    Equilibrio de nudo B

    [ ]TonKKFH 80006.013330 1313 ==+= Equilibrio de nudo C

    [ ]TonKKFH 20006.013338.07500 2323 ==+=

    [ ]TonKKFV 151608.013336.07500 3333 ==+= d) Finalmente, la matriz de rigidez de la estructura es:

    [ ]mTonK

    =

    1516200800

    2001400600

    8006002100

    En este caso, se tiene:

    K13: Fuerza en direccin 1 cuando 13 =r .

    K23: Fuerza en direccin 2 cuando 13 =r .

    K33: Fuerza en direccin 3 cuando 13 =r .